高等数学基本知识点大全

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高等数学基础知识点大全

一、函数与极限

1、集合的概念

一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

集合的表示方法

⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结【4篇】

知识产业需要了解市场和消费者的需求和趋势，拥抱变革和技术进步。知识的应用和创新需要进行有效的市场调查和市场分析，了解商业机会和风险。下面就让小编给大家带来高等数学知识点总结，希望大家喜欢!

高等数学知识点总结1

一、不定积分计算方法

1. 凑微分法

2. 裂项法

3. 变量代换法

1) 三角代换

2) 根幂代换

3) 倒代换

4. 配方后积分

5. 有理化

6. 和差化积法

7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)

8. 降幂法

二、定积分的计算方法

1. 利用函数奇偶性

2. 利用函数周期性

3.参考不定积分计算方法

三、定积分与极限

1. 积和式极限

2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3. 洛必达法则

4. 等价无穷小

四、定积分的估值及其不等式的应用

1. 不计算积分，比较积分值的大小

1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x) =g(x),则 =()dx

2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)

b) 当0 x 兀 p= 兀 1

2. 估计具体函数定积分的值

积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) = =M(b-a)

3. 具体函数的定积分不等式证法

1) 积分估值定理

2) 放缩法

3) 柯西积分不等式

≤ %

4. 抽象函数的定积分不等式的证法

1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

2) 积分中值定理

3) 常数变易法

4) 利用泰勒公式展开法

五、变限积分的导数方法

高等数学知识点总结2

A.Function函数

(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限

1、集合的概念

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

2、函数

⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。

⑶、域函数的表示方法

a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2

高等数学各项基础知识点总结

高等数学知识点总结

第一章函数与极限

一.函数的概念

1.两个无穷小的比较

设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)

()(lim （1）l =0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l =1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x)~g(x)

2.常见的等价无穷小

当x →0时

sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x

，

1−cos x ~2/2^x ，x e −1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x

α二．求极限的方法

1．两个准则

准则1.单调有界数列极限一定存在

准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x )

若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A

x f =)(lim 2．两个重要公式

公式11sin lim 0=→x

x x 公式2e x x x =+→/10

)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

4．用泰勒公式

当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

233521211...()2!3!!

sin ...(1)()3!5!(21)!n x

n n n n x x x e x o x n x x x x x o x n ++=++++++=-+++-++)(!

2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=

高等数学基本知识点大全

一、导数和微分

在高等数学中，导数和微分是重要的基本概念。导数描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们求解函数的最值、刻画曲线形状等问题。微分则是导数的一种运算形式，表示函数在给定点附近的局部线性逼近。

1. 导数的定义和性质：

- 导数定义：函数f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) =

lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗。

- 导数的几何意义：导数表示曲线在某一点的切线斜率。

- 导数的性质：求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数法则等。

2. 微分的定义和性质：

- 微分的定义：设y=f(x)为定义在区间I上的函数，若存在常数dy 使得Δy=f'(x)Δx+dy，其中Δx是x的增量，则称dy为函数f(x)在区间I 上的微分。

- 微分的性质：微分是线性近似，具有微分的小量运算法则。

3. 一阶导数和高阶导数：

- 一阶导数：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称f(x)在该点可导，其导数为一阶导数，记作f'(x)或dy/dx。

- 高阶导数：若函数f(x)的导数f'(x)也存在导数，则称导数f'(x)为函数f(x)的二阶导数，记作f''(x)或d²y/dx²。

二、积分和定积分

积分和定积分是数学中的重要工具，可以用来求解曲线下的面积、求解定量累计、求解方程等问题。它们是导数的逆运算。

1. 定积分的定义和性质：

- 定积分的定义：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，则称函数

f(x)在区间[a,b]上的积分为定积分，记作∫_a^b▒f(x)dx。

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高等数学知识点总结

一、函数与极限

1. 函数的定义、连续性与间断点

2. 导数与极值

3. 不定积分与定积分

4. 泰勒展开式与幂级数展开

5. 重要的极限定理：夹逼定理、洛必达法则等

二、微分方程

1. 一阶常微分方程与分离变量法

2. 一阶线性微分方程

3. 高阶线性常系数齐次微分方程

4. 高阶线性常系数非齐次微分方程

5. 欧拉方程与特征方程法

三、多元函数与偏导数

1. 多元函数的定义与性质

2. 偏导数与全微分

3. 隐函数与参数方程

4. 多元函数的极值与条件极值

四、重积分与曲线积分

1. 重积分的概念与性质

2. 极坐标系与二重积分

3. 三重积分与球坐标系

4. 曲线积分的概念与性质

5. 向量场的曲线积分和曲面积分

五、无穷级数与傅里叶级数

1. 数列极限与数列的收敛性

2. 数项级数的概念与性质

3. 正项级数的审敛法与一致收敛性

4. 幂级数与傅里叶级数的展开

六、空间解析几何

1. 点、直线与平面的方程

2. 曲线与曲面的方程

3. 空间中的向量运算

4. 空间曲线的切线与法平面

5. 空间曲面的切平面与法线

七、常微分方程

1. 一阶常微分方程的概念与解法

2. 高阶常微分方程的特征方程法

3. 常系数线性齐次微分方程的解法

4. 变系数线性齐次微分方程的解法

这些是高等数学中的一些重要知识点总结，掌握了这些知识，对于解题和理解高等数学的相关概念非常有帮助。

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高等数学基本知识点

一、函数与极限

1、集合的概念

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

集合的表示方法

⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。

高等数学基本知识点大全

高等数学

基

础

知

识

大

全

一、函数与极限

1、集合的概念

我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a A 。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N +或N +。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z 。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q 。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R 。集合的表示方法

⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系

⑴、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A 、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A

B （或B A ）。。

⑵相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A ＝B 。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A ，我们称集合A 是集合B 的真子集。

高等数学常用基础知识点

一、极限与连续

极限是高等数学中的重要概念之一。当自变量趋于某个确定值时，函数的极限描述了函数在这个点附近的表现。极限的计算方法包括利用极限的四则运算法则、夹逼定理和洛必达法则等。

连续是指函数在某个点上无间断的性质。如果函数在某个点上连续，那么其极限存在且与函数在该点的取值相等。连续函数的性质包括介值定理、零点定理和罗尔定理等。

二、导数与微分

导数是函数在某一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。导数的计算方法包括利用导数的四则运算法则、链式法则和隐函数求导等。

微分是函数在某一点的局部线性逼近。微分的计算方法包括利用微分的四则运算法则、高阶导数和泰勒公式等。

三、不定积分与定积分

不定积分是导数的逆运算。不定积分的计算方法包括利用基本积分公式、换元积分法和分部积分法等。

定积分是函数在某一区间上的累积效应。定积分的计算方法包括利用定积分的性质、换元积分法和分部积分法等。

四、级数与幂级数

级数是无穷个数的和。级数的收敛与发散是级数理论中的重要问题。级数的测试方法包括比值判别法、根值判别法和积分判别法等。

幂级数是形如∑(a_n*x^n)的级数。幂级数的收敛半径是幂级数理论中的重要概念。幂级数的运算方法包括利用幂级数的性质、求和运算和乘法运算等。

五、常微分方程与偏微分方程

常微分方程是描述物理、经济和工程等领域中变化规律的数学工具。常微分方程的求解方法包括利用分离变量法、一阶线性微分方程的求解和二阶线性齐次微分方程的求解等。

偏微分方程是描述多变量函数的方程。偏微分方程的求解方法包括利用分离变量法、变量代换和特征线法等。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结1

一、不定积分计算方法

1. 凑微分法

2. 裂项法

3. 变量代换法

1) 三角代换

2) 根幂代换

3) 倒代换

4. 配方后积分

5. 有理化

6. 和差化积法

7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)

8. 降幂法

二、定积分的计算方法

1. 利用函数奇偶性

2. 利用函数周期性

3.参考不定积分计算方法

三、定积分与极限

1. 积和式极限

2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3. 洛必达法则

4. 等价无穷小

四、定积分的估值及其不等式的应用

1. 不计算积分，比较积分值的大小

1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x)>=g(x),则 >=()dx

2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)

b) 当0<x<兀 p="" 兀<<1

2. 估计具体函数定积分的值

积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为m，最小值为m则

m(b-a)<= <=m(b-a)

3. 具体函数的定积分不等式证法

1) 积分估值定理

2) 放缩法

3) 柯西积分不等式

≤ %

4. 抽象函数的定积分不等式的证法

1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

2) 积分中值定理

3) 常数变易法

4) 利用泰勒公式展开法

五、变限积分的导数方法

高等数学知识点总结2

a.function函数

(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)

(2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数)

(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)

(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)

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高等数学基本知识点

一、函数与极限

1、集合的概念

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

集合的表示方法

⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。

高等数学知识点总结

高等数学是一门基础学科，对于理工科学生来说是必修课程。它涵盖了多个重要的数学概念和理论，为学生提供了解决实际问题的数学工具。本文将对高等数学中的一些重要知识点进行总结和概述。

一、极限与连续

1. 极限的概念

极限是数列或函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近的概念。数列极限和函数极限是高等数学中的基础概念，对于后续的微积分和微分方程等学科具有重要作用。

2. 连续性

连续性是函数的一个重要性质，它意味着函数在某一区间内没有跳跃或断裂的点。连续函数具有许多重要的性质，例如介值定理和最大最小值定理等。

二、微分学

1. 导数与微分

导数是函数在某一点的变化率，它的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。微分是导数的微小变化量，它在微积分中有着重要的应用，例如求解极值问题和描述曲线的几何性质等。

2. 微分中值定理

微分中值定理是微分学中的重要定理，它描述了函数在某一区间内必然存在某个点，该点的导数等于函数在该区间的平均变化率。微分中值定理在求解函数的性质和优化问题中具有重要作用。

三、积分学

1. 不定积分

不定积分是求解函数原函数的过程，它是微分的逆运算。不定积分的结果是

一个函数族，每个函数都是原函数的一个特解。不定积分在解决微分方程和计算曲线下的面积等问题中起着重要作用。

2. 定积分

定积分是计算曲线下的面积或曲线长度的工具。定积分的几何意义是曲线与

坐标轴之间的面积。定积分在物理学、经济学和统计学等领域有着广泛的应用。

四、级数

1. 数列与级数

数列是按照一定规律排列的一组数，级数是数列的和。级数在数学分析和实

高等数学知识点汇总

一.函数的概念

1．用变上、下限积分表示的函数

（1）()dt t f y x

∫

，其中()t f 连续，则

()x f dx

=（2）()()()

dt t f y x x

∫=21

ϕϕ，其中()x 1

ϕ，()x 2

ϕ可导，()

t f 连续，

则

()[]()()[]()x x f x x f dx

112

2ϕϕϕϕ′−′=2．两个无穷小的比较

设()0lim =x f ，()0lim =x g ，且()()

l x g x f =lim （1）0=l ，称()x f 是比()x g 高阶的无穷小，记以

()()[]x g x f 0=，称()x g 是比()x f 低阶的无穷

小。

（2）0≠l ，称()x f 与()x g 是同阶无穷小。（3）1=l ，称()x f 与()x g 是等价无穷小，记以

()()

x g x f ~ 3．常见的等价无穷小

当0→x 时

x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x

x ~arctan 2

cos 1x x −，x e x ~1−，()x x ~1ln +，()x

x αα

~11 −+二．求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则

准则1．单调有界数列极限一定存在

（1）若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数），则A x n n =∞

→lim 存在，且m A ≥

（2）若n n x x ≥+1（n 为正整数）又M x n ≤（n 为正整数），则A x n n =∞

→lim 存在，且M

A ≤准则2．（夹逼定理）设()()()x h x f x g ≤≤若()A x g =lim ，()A x h =lim ，则()A x f =lim 3．两个重要公式

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限 1、集合的概念

我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a A 。

⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系

⑴、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A 、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A

B （或B A ）。。

⑵相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A ＝B 。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A ，我们称集合A 是集合B 的真子集。

高等数学知识点总结

1. 极限与连续性

- 极限的定义与性质

- 无穷小与无穷大

- 极限的运算法则

- 连续函数的定义与性质

- 闭区间上连续函数的定理（确界存在定理、中值定理、罗尔定理等）

2. 导数与微分

- 导数的定义与几何意义

- 导数的计算方法（基本导数公式、链式法则、乘积法则、商法则、隐函数求导等）

- 高阶导数

- 微分的定义与应用

- 泰勒级数与麦克劳林级数

3. 积分学

- 不定积分的概念与性质

- 基本积分表与积分技巧（换元法、分部积分法等）

- 定积分的定义与性质

- 定积分的应用（面积、体积、弧长、工作量等）

- 微积分基本定理

- 积分技巧（特殊技巧、积分表的使用等）

4. 多元函数微分学

- 多元函数的偏导数与全微分

- 多元函数的极值问题与拉格朗日乘数法

- 梯度、方向导数与切平面

- 多重积分的概念与计算（二重积分、三重积分）

5. 向量代数与空间解析几何

- 向量的运算与性质

- 点、直线与平面的方程

- 空间曲线与曲面的方程

6. 级数

- 级数的基本概念（数项级数、幂级数、函数项级数）

- 收敛性判断（柯西准则、比较判别法、比值判别法、根值判别法等）

- 幂级数的收敛半径与收敛区间

- 傅里叶级数

7. 常微分方程

- 微分方程的基本概念

- 可分离变量的微分方程

- 一阶线性微分方程

- 二阶常系数线性微分方程

- 特殊类型的微分方程（贝塞尔方程、勒让德方程等）

8. 复变函数

- 复数的基本概念与运算

- 解析函数的概念与性质

- 复变函数的积分与柯西积分定理

- 留数定理与应用

9. 泛函分析初步

- 赋范线性空间与内积空间

- 线性算子与线性泛函