立体几何证明方法——证线线平行
立体几何平行垂直的证明方法
立体几何平行垂直的证明方法在立体几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行指的是两条直线或两个平面在平面内没有交点，而垂直则表示两条直线或两个平面之间存在90度的夹角。
在解决立体几何问题时，我们常常需要证明两条线段或两个平面是否平行或垂直。
本文将介绍几种常用的证明方法，帮助读者更好地理解立体几何中平行和垂直的性质。
一、平行线的证明方法1. 共面法：若两条直线在同一个平面内且没有交点，则它们是平行线。
要证明两条直线平行，我们可以找到一个共同的平面，使得这两条直线在该平面内且没有交点。
通过构建图形或使用法向量等方法，可以证明两条直线共面且没有交点，从而得出它们是平行线的结论。
2. 平行线定理：若两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也是平行线。
这一方法常用于证明平行线的性质，通过构建平行线与其他直线的交点关系，可以得出所求结论。
3. 平行线的性质：在平面几何中，平行线具有很多性质。
常见的平行线定理包括等角定理、同位角定理、内错角定理等。
通过运用这些性质，可以证明两条直线平行。
二、垂直关系的证明方法1. 垂直定理：若两条直线互相垂直，则构成的四个角中有两个互为相应角。
根据这一定理，我们可以通过证明两个角互为相应角，从而得出两条直线互相垂直的结论。
2. 垂线定理：若两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1。
这一方法常用于证明两条直线垂直的情况。
通过计算两条直线的斜率，如果它们的斜率之积等于-1，则可以得出它们垂直的结论。
3. 垂直角的性质：在平面几何中，垂直角的性质是我们常用的性质之一。
两条直线垂直时，其错角是互相垂直的。
通过构建直线的错角，可以证明所求的两条直线垂直关系。
三、平面的平行和垂直关系的证明方法1. 共面定理：在空间几何中，三条或三条以上的直线如果在同一个平面内，则它们是共面的。
通过在空间中构建直线和平面的关系，可以证明所求直线是否共面。
2. 平行平面定理：若两个平面各与第三个平面平行，则这两个平面也是平行的。
立体几何(平行线的证明)
立体几何(平行线的证明)在立体几何中，平行线是一种非常重要的概念。
平行线可以定义为在同一个平面内没有交点的两条直线。
证明两条直线平行的方法有很多种，下面将介绍一种简单而常用的方法。
方法一：使用平行线的性质平行线有很多性质，其中一个性质是平行线与横截线之间的夹角相等。
根据这个性质，我们可以通过检查两条线的夹角来证明它们是否平行。
具体步骤如下：1. 给定两条直线AB和CD，我们要证明这两条直线平行。
2. 构建一条横截线EF，该直线与AB和CD相交于点E和F。
3. 使用量角器或直尺测量∠AED和∠CFD的夹角。
如果这两个夹角相等，即∠AED = ∠CFD，那么我们可以得出结论AB与CD平行。
这种方法的好处是简单直观，只需要测量夹角即可。
然而，这种方法并不适用于所有情况，因为有些情况下无法构建合适的横截线。
方法二：使用等边三角形的性质等边三角形是一个有趣的几何形状，所有边都相等。
在等边三角形中，对角线之间的直线也是平行线。
具体步骤如下：1. 给定两条直线AB和CD，我们要证明这两条直线平行。
2. 构建一个等边三角形BCD，在这个等边三角形中，BC = CD。
3. 连接线段AD，我们可以发现线段AD与线段BC平行。
这种方法的好处是不需要测量夹角，只需要利用等边三角形的性质即可。
然而，这种方法也有局限性，因为有些情况下无法构建等边三角形。
综上所述，证明平行线的方法有很多种，其中一些常用的方法是使用平行线的性质和使用等边三角形的性质。
选择合适的方法取决于具体的几何形状和问题要求。
立体几何证明方法——证线线平行
C
a：
方法三：同垂直于一个平面的 两条直线互相平行。
a
b
a 推理过程： a // b b
一如何证明直线与直线平行：
方法四：同平行于一条直线的 两条直线互相平行。
a b c
a // c 推理过程： a // b b // c
方法演练1：
一如何证明直线与直线平行：
方法一：线面平行则线线平行；
a // 平面 推理过程： a 平面 a // b b
b
a
一如何证明直线与直线平行：
方法二：面面平行则线线平行；
// 推理过程： a b // a b
P
已知：四边形 ABCD 是平行四边形， 点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G， 过 AP 和 G 作平面交平面 BDM 于 GH，A 求证：AP∥GH （提示：线面平行则线线平行）
M D H G C
O
B
方法演练2：
在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 证明 BD // B1 D1 。 （面面平行）
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明要证明两个线面平行，一般可以通过以下几种方法来进行证明：方法一：使用平行线的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设线面A和线面B不平行，即存在一条线a与线面A不平行，又与线面B相交于一点P。
2.假设在线面A上存在一点Q，它与直线a上相交于一点R。
3.由于线a与线面B相交于P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于线a与线面A相交于R，所以线段PR必然属于线面A。
5.由于线面A和线面B都包含线段PR，所以它们必然相交。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法二：使用支撑面的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.过直线a作平行于线面B的平面，该平面与线面A相交于线段QR。
3.由于直线a与线面B相交于点P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于平面上的任意两点可以确定一条直线，所以线段QR也属于线面B。
5.因此，线段QR同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法三：使用平行四边形的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.在线面A上选择一点Q，并通过P点作一条平行于线面A的直线b。
3.连接直线a和直线b，得到平行四边形PQRD。
4.由于平行四边形的特性，相邻两边平行且长度相等，所以线段PD也是平行于线面A的，并且它必然属于线面B。
5.因此，线段PD同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
以上三种方法是一些常用的证明线面平行的方法，根据实际问题的具体情况，可以选择适合的方法进行证明。
立体几何常见证明方法
立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。
3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。
4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。
(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。
3、垂直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。
二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。
三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。
二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。
2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。
3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。
4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。
立体几何线线平行的判定
立体几何线线平行的判定
线线平行是立体几何中的一个基本概念，它可以用来描述两条直线在空间中始终保持相同的距离的关系。
在很多几何问题中，我们需要判定两条直线是否平行，因此，本文将介绍立体几何中线线平行的判定方法。
一、两线斜率相等且不相交
两条直线若在平面内不相交，则可以通过比较它们的斜率是否相等来判断它们是否平行。
但在立体几何中，两条直线可以在空间中相交，因此我们需要另一种方法来判断它们是否平行。
在立体几何中，两条直线的斜率可以用其在平面内的投影来计算。
设直线L1与L2在平面P上的投影分别为l1、l2，且l1与l2的斜率相等，则L1与L2平行。
二、两线所在平面平行或重合
当两条直线分别位于两个平面内，且这两个平面平行或重合时，这两条直线也平行。
这个方法的证明比较复杂，需要用到一些向量知识。
我们可以将两条直线所在的两个平面各取一个法向量，若这两个法向量平行，则两个平面平行。
在这种情况下，两条直线在各自所在的平面内的投影也是平行的，因此它们在空间中也是平行的。
这种方法比起前两种方法，更加简单直观，因为两个平行的平面可以看作是两个相似的平面铺在一起。
同时，这种方法可以直接代入向量公式进行计算，非常方便。
最后，需要注意的是，在实际问题中，我们往往需要综合运用这几种判断方法来判断两条直线是否平行。
同时，我们也需要注意区分线线平行和线面平行的概念，因为这两者有着本质的差别。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
总结证明线面平行的常用方法
BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。
立体几何平行垂直定理
类别语言表述图形表示符号表示应用判定一条直线与一个平面,则称这条直线与这个平面平行a ∩α=⌀⇒a ∥α证明直线与平面平行如果平面外平行,那么该直线与此平面平行a ⊄α,b ⊂α,且a ∥b ⇒a ∥α性质一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与a ∥α,a ⊂β,α∩β=b ⇒a ∥b证明直线与直线平行2.平面与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示判定如果一个平面内的两条与另一个平面平行,那么这两个平面平行a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥β,b ∥β⇒α∥β证明平面与平面平行垂直于的两个平面平行a ⊥α,a ⊥β⇒α∥β性质两个平面平行,则其中一个平面内的直线必于另一个平面α∥β,a ⊂α⇒a ∥β证明直线与平面平行两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条平行α∥β,α∩γ=a ,β∩γ=b ⇒a ∥b证明直线与直线平行常用结论1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a ⊥α,a ⊥β,则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a ⊥α,b ⊥α,则a ∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.2.两个平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)两个平面垂直的判定与性质常用结论1.与线面垂直相关的常用结论:(1)两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与这个平面垂直;(2)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直;(3)过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;(4)过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.。
立体几何证明8条定理
立体几何证明8条定理立体几何是几何学的一个分支，研究的是在三维空间中的图形和体的性质。
在立体几何中有许多定理，其中一些重要的定理包括平行线定理、垂直线定理、欧拉定理、等角定理、切线定理、割线定理、同位角定理和三角形内角和定理等。
下面将详细讨论这些定理：1.平行线定理：如果两条平行线被一组平行线截断，那么它们的对应线段成比例。
这个定理可以用于证明两条线平行。
2.垂直线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线垂直于另一条直线，那么相交处的四个角都是直角。
这个定理可以用于证明两条线垂直。
3.欧拉定理：在任意一个凸多面体中，顶点数、棱数和面数之间存在一个关系：顶点数加上面数等于棱数加上2、这个定理被应用于立体几何中的多面体的计算。
4.等角定理：如果两条线分别与一条平行线相交，且其中一对内错角（相对于平行线的两条线之间的两个角）或一个内错角和一个外错角（与平行线的两条线相交形成的一对内角和一对外角）相等，那么这两条线是平行线。
这个定理可以用于证明平行线。
5.切线定理：给定一个圆和一个与圆相切且通过切点的直线，那么切线的切点与切线所跨越的弦的两个端点之间的角是直角。
这个定理可以用于证明圆的性质。
6.割线定理：给定一个圆和一个与圆相交的直线，那么直线与圆的切线所跨越的弦的两个端点之间的角相等。
这个定理也可以用于证明圆的性质。
7.同位角定理：如果两条平行线被一条截线截断，那么同位角（相对于平行线的两条线的每一对内角）相等。
这个定理可以用于证明平行线。
8.三角形内角和定理：三角形的三个内角的度数之和等于180度。
这个定理是三角形的基本性质，可以用于证明其他三角形的性质。
这些定理是立体几何中的一些基本定理，通过运用它们可以推导出其他一些更复杂的定理。
这些定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在物理学、工程学等其他学科中也有广泛的应用。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
a // b //
⇒ /性：如正方体的上下底面互相平行等
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a b ba
b a
α
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这
两条直线互相垂直。
4
l a b al
bl
ab
β b
立体几何中的平行性的证明.
立体几何中的平行性的证明
一、证明两直线平行的方法：
1、定义法：同一平面内无公共点的两条直线（用反证法证明）。
2、判定定理：如果一条直线与一个平面平行，则经过这条直线的平面与这个平
面相交，直线与交线平行。
3、平行与同一直线的两条直线平行。
4、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平
行。
5、向量法：如果两个直线的方向向量共线，则两直线平行。
6、垂直于同一平面的两直线平行。
二、证明直线和平面平行的方法：
1、定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）。
2、判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则直线和平面
平行。
3、面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平
行于另一个平面。
4、如果平面外的一条直线和平面的一条垂线垂直，那么这条直线和这个平面平
行。
5、如果平面外的一条直线和这个平面都垂直于同一个平面，那么这条直线和这
个平面平行。
三、证明平面与平面平行的方法：
1、定义法：证明两个平面没有公共点（反证法）。
2、判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这
两个平面相互平行。
3、推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相
交）平行，那么这两个平面相互平行。
4、垂直于同一直线的两个平面相互平行。
5、如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面平行。
6、。
立体几何中证明线线平行的方法
立体几何中证明线线平行的方法
在立体几何中，证明两条线平行的方法通常有以下几种：
1. 利用平行线的性质：如果可以证明两条线分别与同一条第三条线平行，则可以推断这两条线平行。
这可以通过使用平行线的定理或者平行线的判定条件来证明。
2. 利用等角定理：如果可以证明两条线与另一条线之间形成的对应角度相等，则可以推断这两条线平行。
这可以通过使用等角定理（如同位角、内错角等）来证明。
3. 利用平行四边形的性质：如果可以证明两条线分别是平行四边形的对角线，或者两条线分别平分平行四边形的两个对角线角度，则可以推断这两条线平行。
4.利用向量的性质：如果可以证明两条线的方向向量相等，则可以推断这两条线平行。
这可以通过计算两条线的方向向量并比较它们来证明。
需要注意的是，每种方法都需要根据具体问题的情况选择合适的方法，有时可能需要结合多种方法来证明两条线平行。
在证明过程中，也需要合理运用已知的几何定理和性质，并且注意推理的逻辑性和严密性。
立体几何证明平行和垂直
立体几何证明平行和垂直
在立体几何中，我们可以通过以下定理和性质来证明线段、平面、直线的平行和垂直关系：
1. 平行线定理：若两条直线与第三条直线交叉时，两个内角和等于180度，则这两条直线是平行的。
2. 垂直线定理：若两条直线相交时，相邻的内角是直角，则这两条直线是垂直的。
3. 垂直平分线定理：若一个直线通过一个线段的中点并与该线段垂直，则这条直线垂直于该线段。
4. 同位角定理：当一条直线与两条平行直线相交时，对应的同位角是相等的。
5. 垂直平分线性质：当一条直线垂直平分一条线段时，它同时垂直于该线段的两个中垂线。
6. 垂直平分线交角性质：当两条直线都垂直平分了同一条线段时，这两条直线是平行的。
根据以上定理和性质，我们可以利用构造图形、辅助线、角度计算等方法进行立体几何证明的平行和垂直关系。
这些证明通常涉及到直线与平面的交点、线段的中点、角度的大小等问题，需要根据给定的条件进行分析和推导。
需要注意的是，在立体几何证明中，除了以上的定理和性质，还可以利用立体几何中的其他相关定理和公式来辅助证明，具体证明方法也要根据具体情况灵活运用。
总之，立体几何的平行和垂直关系证明是一个比较重要的内容，需要熟悉相关定理和性质，并能够熟练运用各种证明方法来解决问题。
立体几何---线面平行
直线、平面平行的判定【要点梳理】要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.符号语言：a a a、b u a,a//b n a//a.要点诠释：(1)用该定理判断直线a与平面a平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面a外，即a a a；②直线b在平面a内，即b u a；③直线a,b平行，即a〃b.这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．(2)定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定,也就是说,要证明一条直线和一个平面平行,只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.图形语言：j n符号语言：若au a、b u a,ab=A，且a//p、b//p，则a//p.要点诠释：(1)定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的.(2)定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行n面面平行.要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点,有时直接证明非常困难,往往采用反证法．2．利用判定定理：要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,于是这两个平面平行,或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面互相平行．【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1.已知AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，求证：AC//平面EFG,BD//平面EFG.例2.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ,如右图.求证：PQ〃平面CBE.【变式1】在正方体ABCD—ABCD中，O是正方形ABCD的中心，求证：AO//面BCD.11111111111【变式2】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF〃平面PEC.【变式3】如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)证明：EF〃平面PAD；(2)求三棱锥E-ABC的体积V.类型二、平面与平面平行的判定例3.如右图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1,求证：平面AB1D1〃平面BDC1.例4.如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点.求证：平面AMN〃平面EFDB.【变式1】点P是^ABC所在平面外一点，G,G,G分别是△PBC,△APC,△ABP的重心，求123证：面GGG//面ABC.123【变式2】如右图所示，在三棱柱ABC—A1B1c l中，点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB〃平面ADC1.【变式3】已知在正方体ABCD—A'B'C'D'中，M,N分别是A'D',A'B'的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN平行的平面，并证明你的结论.【巩固练习】1．下列说法中正确的是（）A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C.如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D.如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2.已知三条互相平行的直线a、b、c中，a u a,b,c u a，则平面a、p的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合3.已知m,n是两条不重合的直线，a、p是两个不重合的平面，给出下列三个命题：「m//p[m与n异面「m//n①\n m//n:②\n n与p相交；③\n m//a。
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中点、线、面的相互关系和性质。
在立体几何中，平行是一个基本的概念，它描述了两个或多个线或面在空间中不相交且始终保持相同的间距。
本文将从线面平行的定义、性质和应用等方面进行阐述，以展示立体几何中线面平行的证明方法。
一、线面平行的定义在立体几何中，我们常常会遇到线和面的关系。
当一个线和一个面的方向相同，并且线上的任意一点到面的距离保持不变时，我们称这个线和面是平行的。
具体来说，设有一条直线l和一个平面P，如果直线l上的任意一点到平面P的距离d保持不变，那么我们就说直线l和平面P是平行的。
二、线面平行的性质线面平行具有以下性质：1. 平行线和同一平面内的直线没有交点；2. 平行线和同一平面内的直线的距离是恒定的；3. 平行线在同一平面内的投影线也是平行的；4. 平行线和平行面之间的角度为零。
三、线面平行的证明方法证明线面平行的方法有多种，下面列举几种常用的证明方法：1. 利用垂直关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线上的任意一条垂线和平面垂直。
2. 利用距离关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线上的任意一点到平面的距离是恒定的。
3. 利用投影关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线在平面上的投影线也是平行的。
四、线面平行的应用线面平行在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑工程：在建筑设计中，我们常常需要考虑墙壁和地面的平行关系，以保证建筑的稳定和美观。
2. 几何光学：在光学中，光线和镜面的关系是平行的，这是实现反射现象和成像的基础。
3. 地理测量：在地理测量中，为了计算地球上两点之间的距离，我们需要考虑经线和纬线的平行关系。
4. 电磁学：在电磁学中，电场线和等势面的关系是平行的，这是电场分布和电势分布的重要性质。
线面平行是立体几何中一个重要的概念。
通过定义、性质、证明方法和应用等方面的介绍，我们可以更深入地理解和应用线面平行的概念。
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方法一：线面平行则线线平行；
a
b
a // 平面
推理过程：
a
平面
a
//
b
b
一如何证明直线与直线平行：
方法二：面面平行则线线平行； b
//
a
推理过程： a b // a
b
一如何证明直线与直线平行：
方法三：同垂直于一个平面的
两条直线互相平行。
ab
推理过程：
DG
H
O
M C
B
方法演练2：
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，
D1
A1
证明 BD // B1D1 。（面面平行）
D
A
C1 B1
C B
a b
Hale Waihona Puke a//b一如何证明直线与直线平行：
方法四：同平行于一条直线的
a
两条直线互相平行。
b
c
推理过程：
a b
// //
c c
a
//
b
方法演练1：
P
已知：四边形 ABCD 是平行四边形， 点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G， 过 AP 和 G 作平面交平面 BDM 于 GH，A 求证：AP∥GH （提示：线面平行则线线平行）