证明线线平行的方法
证明线线平行的方法-图文
证明线线垂直的方法 （1）线面垂直的性质——
一直线与平面垂直， 则直线与平面内的所有直线垂直 （2）三垂性定理及逆定理：
注意条件 （3）等腰三角形中线即高
4、勾股定理
证明线面垂直的方法 （1）线面垂直的判定定理——
直线与平面内的两相交直线垂直 （2）面面垂直的性质—— 若两平面垂直,
并交待射影与某角是直线与平面所成角
3）求—— 把角放到直角三角形中去求
关键：找射影， 找射影的关键是从斜线上一点作面的垂线
3、二面角—— 方法： （1）三垂线定理法（最常用）
（2）定义法—— 全等三角形或等腰三角形
（3）垂面法
（4）面积射影定理法—— 无棱二面角
无棱二面角的求法
法一、先作出二面角的棱，再根据有棱二 面角的平面角的作法作出其平面角求解
位置法、 元素法、 间接法
2、相邻问题
捆绑法
3、不相邻问题
插空法
4、其它 投信法、等可能法、列举法等
小结3、组合应用题的类型及处理方法
一、无条件的组合问题 二、有条件的组合问题
1、抽样问题
直接法 间接法
2、几何问题
直接法 间接法
3、分组问题
（不）均匀分组
4、其它 等可能法、无序插空法等
小结4、排列与组合的混合题
S
A B
E D
O
C
3、正棱锥的性质——
(1) 各侧棱相等，各侧面都是
S
全等的等腰三角形.
斜高相等
(2) 高、斜高和斜高射影
A
高、侧棱、侧棱射影 M
B
斜高、侧棱、底面边长的一半
E
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法
要证明两条直线平行，可以使用以下几种方法：
1. 利用线段的平行性质：如果两条线段存在平行的两边，则可以推断这两条线段平行，即如果有线段AB和线段CD，且AB//CD，则直线AB和CD平行。
2. 利用向量的平行性质：如果两个向量的方向相同或相反，则可以推断这两个向量平行。
因此，可以根据直线的向量方向，通过向量的运算来判断直线的平行性。
3. 利用平行线的特性：根据平行线的定义，如果两条直线上的任意一组对应角相等，则可以推断这两条直线平行。
因此，可以通过已知的角度来判断直线的平行性。
4. 利用三角形的相似性质：如果两个三角形的对应边成比例，则可以推断这两个三角形相似。
而在相似三角形中，对应边平行，因此可以利用这个性质判断直线的平行性。
5. 利用重心的性质：如果两个三角形的重心之间连接成的线段平行，则可以推断这两个三角形的底边平行。
而根据线段的平行性质，底边平行可以推导出直线的平行性。
这些方法可以根据具体的题目条件和图形特点灵活运用，以确定直线是否平行。
立体几何证明方法——证线线平行
C
a：
方法三：同垂直于一个平面的 两条直线互相平行。
a
b
a 推理过程： a // b b
一如何证明直线与直线平行：
方法四：同平行于一条直线的 两条直线互相平行。
a b c
a // c 推理过程： a // b b // c
方法演练1：
一如何证明直线与直线平行：
方法一：线面平行则线线平行；
a // 平面 推理过程： a 平面 a // b b
b
a
一如何证明直线与直线平行：
方法二：面面平行则线线平行；
// 推理过程： a b // a b
P
已知：四边形 ABCD 是平行四边形， 点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G， 过 AP 和 G 作平面交平面 BDM 于 GH，A 求证：AP∥GH （提示：线面平行则线线平行）
M D H G C
O
B
方法演练2：
在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 证明 BD // B1 D1 。 （面面平行）
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法
要证明线面平行，可以采用以下方法：
1. 使用向量法：设直线L上一点为P，平面M上一点为Q，
其中从直线L的方向向量可以得到直线L的法向量nL，从平
面M的法向量可以得到平面M的法向量nM。
若nL与nM相
互垂直，则可以判断直线L与平面M是平行的。
2. 使用点法式：设直线L的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其
中(A,B,C)为直线方向向量，(x,y,z)为直线上任意一点的坐标。
设平面M的方程为Ax + By + Cz + D' = 0，其中(A,B,C)为平面的法向量，(x,y,z)为平面上任意一点的坐标。
如果直线L的法
向量与平面M的法向量平行，则直线L与平面M是平行的。
3. 使用斜率法：对于直线L，找出直线上两点的坐标(x1, y1,
z1)和(x2, y2, z2)，计算直线的斜率mL = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
对于平面M，找出平面上两点的坐标(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，计算平面的斜率mM = (z2 - z1) / (y2 - y1)。
如果直线L和平面
M的斜率相等，则直线L与平面M是平行的。
以上三种方法可以用来证明直线与平面之间的平行关系，其实质上是通过分析向量或者坐标的关系来判断直线和平面是否平行。
证明线面平行的三种方法
证明线面平行的三种方法
证明线面平行有以下三种方法：
直接法。
直接法是最常见的一种证明线面平行的方法，即通过对给定的线段和平面作出垂线，证明垂线互相重合，从而说明所给线段与平面平行。
例如，已知线段AB和平面CD，作点E使AE⊥CD，BE⊥CD，则AE和BE互相重合，因此AB与CD平行。
反证法。
反证法是通过假设所证明的命题不成立，利用矛盾推导证明该命题成立。
证明线面平行的反证法即假设所给线段与平面不平行，那么在平面内存在一条直线与所给线段相交，从而可以得到一个矛盾，因此该假设错误，所给线段与平面平行。
例如，如果假设AB 与CD不平行，则它们必然会相交，但根据定义，平行的两个直线不会相交，因此假设错误，AB与CD平行。
平行线之间的性质法。
平行线之间的性质是指对于两个平行线及其所在的平面，它们之间的任意一条截线与这两条线的夹角都相等。
因此，用平行线之间的性质来证明线面平行，只需要证明所给线段与平面的任意一条截线与所给线段的夹角等于所给线段与平面的任意一条垂线的夹角即可。
例如，已知线段AB和平面CD，假设通过B点作平面CD的一条截线EF，其中E在AB上，则∠BEF=∠BED，而∠BED是所给线段与平面的垂线的夹角，因此∠BEF=∠BED，证明了线面平行。
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法一、平行的定义及基本命题在开始介绍线线平行的证明方法之前，我们先来了解一下平行的定义及其基本命题。
定义：如果在一个平面上，两条线段或两条直线的方向相同或者互为反向，且它们之间的距离保持不变，那么我们说这两条线段或直线是平行的。
基本命题：1.如果两条直线平行，那么其上的任意两点的连线也平行。
2.如果两条直线与一条直线平行，那么这两条直线也平行。
3.如果两条直线与一条平面平行，那么这两条直线也平行。
基于上述基本命题，我们可以通过不同的方法证明线线平行。
二、证明方法一：同位角的性质同位角的性质：对于两条平行线l和m，以任意一条过l的直线a交m上的所有角，这些角的大小互等。
证明思路：通过证明在直线l和m之间任意取一点A，过点A分别作直线l和m的垂线AB和AC，则AB与AC垂直，由于l与m平行，所以AB 与m平行，而AC与l平行，所以AB与AC平行。
证明步骤：1.在直线l和m之间取任一点A。
2.作直线l和m的垂线AB、AC，其中B在l上，C在m上。
3.由l与m的平行性可知，AB与m平行，AC与l平行。
4.因此，AB与AC平行，即线段AB与线段AC平行。
三、证明方法二：等角定理等角定理（包括对顶角定理和同位角定理）：如果两条直线交叉，并且其中一个角与一个角互为对顶角，那么这两个角是相等的；而如果有一条直线与另一条直线有两对同位角相等，那么这两条直线是平行的。
证明思路：通过两条线段的同位角相等来证明两条线段是平行的。
证明步骤：1.假设存在两条不平行的线段l和m。
2.考虑两条线段上的两个同位角∠A和∠C，以及两个对顶角∠B和∠D。
3.如果∠A=∠C，那么根据等角定理，l与m平行。
4.如果∠A≠∠C，那么根据等角定理，∠B≠∠D，两对同位角不相等，即l与m不平行。
5.由于假设不成立，所以∠A=∠C，即l与m平行。
四、证明方法三：等比例分割定理等比例分割定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线被这条直线上的任意两点所分割的线段，长度之比相等。
证明平行的方法
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空间的平行关系
1．证明线线平行的方法：
(1)面面平行的判定：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们
的交线平行。
（2〕线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
这条直线就和两平面的交线平行。
（3〕平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线。
(4)根本性质四：平行于同一直线的两直线互相平行。
（5〕线面垂直的性质 : 垂直同一平面都两条直线平行
2.证明线面平行的方法：①面面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线
平行，那么这条直线和这个平面平行。
②线面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线
和平面内的一条直线
平行，那么这条直线和这个平面平行。
③定义：直线 a 与平面ａ没有公共点，那么直线与平面平行。
3.证明面面平行的方法：
(1)定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。
（2〕面面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（3〕面面平行的性质：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面平行。
（4〕线面垂直的性质：垂直通一条直线的两个平面平行
（5〕面面平行的判定定理 : 同时与第三个平面平行的两平面平行
----。
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法线线平行是几何学中的一个重要概念，它在直线和平面几何中有着广泛的应用。
在几何证明中，证明线线平行是一个常见的问题，本文将介绍几种常用的证明方法。
首先，我们来看一种常见的证明方法——使用等角定理。
等角定理指出，如果两条直线被一条直线交叉，而又分别与这条直线所成的相同对顶角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理可以被用来证明线线平行的问题。
例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们与一条直线EF的交点，然后通过观察它们所成的角是否相等来判断它们是否平行。
其次，还有一种证明方法是使用平行线的性质。
平行线有一个重要的性质，即平行线上的对应角相等。
这个性质可以被用来证明线线平行的问题。
例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们之间的一组对应角，然后通过观察这些对应角是否相等来判断它们是否平行。
另外，还有一种证明方法是使用平行线的转角定理。
平行线的转角定理指出，如果两条直线被一条直线交叉，而且它们的转角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理同样可以被用来证明线线平行的问题。
例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们与一条直线EF的交点，然后通过观察它们的转角是否相等来判断它们是否平行。
除了以上提到的方法，还有许多其他方法可以用来证明线线平行的问题，如使用同位角定理、使用平行线的性质等。
在实际的几何证明中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
总之，线线平行的证明方法有很多种，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
通过掌握这些证明方法，我们可以更加灵活地解决几何问题，提高解题的效率和准确性。
希望本文介绍的内容能够对大家有所帮助。
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法线线平行是几何学中非常基础的概念，它在我们日常生活和数学领域中都有着重要的应用。
在几何学中，我们经常需要证明两条线是否平行，而线线平行的证明方法也是我们学习的重点之一。
下面，我们将介绍几种常见的线线平行的证明方法。
首先，我们来介绍一种常见的线线平行的证明方法——同位角相等法。
同位角是指两条直线被一条截线所分开，所形成的对应角。
当两条直线被一条截线所分开时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
这是由同位角定理所决定的。
同位角定理指出，如果两条直线被一条截线所分开，那么同位角相等的话，这两条直线就是平行的。
因此，我们可以利用同位角相等法来证明两条直线是否平行。
其次，我们介绍另一种线线平行的证明方法——对顶角相等法。
对顶角是指两条直线被一条截线所分开，所形成的相对角。
当两条直线被一条截线所分开时，如果对顶角相等，那么这两条直线就是平行的。
这是由对顶角定理所决定的。
对顶角定理指出，如果两条直线被一条截线所分开，那么对顶角相等的话，这两条直线就是平行的。
因此，我们可以利用对顶角相等法来证明两条直线是否平行。
最后，我们介绍一种常见的线线平行的证明方法——转角相等法。
转角是指两条直线被一条截线所分开，所形成的相邻角。
当两条直线被一条截线所分开时，如果转角相等，那么这两条直线就是平行的。
这是由转角定理所决定的。
转角定理指出，如果两条直线被一条截线所分开，那么转角相等的话，这两条直线就是平行的。
因此，我们可以利用转角相等法来证明两条直线是否平行。
综上所述，线线平行的证明方法主要包括同位角相等法、对顶角相等法和转角相等法。
通过这些证明方法，我们可以准确地判断两条直线是否平行，这对于我们的几何学学习和实际生活中的问题解决都具有重要的意义。
希望大家能够熟练掌握这些证明方法，提高自己的数学水平。
例谈证明两条直线平行的常用方法
数学篇学思导引数、负数、非正数、非负数等.在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有解，同学们要注意如下两点：一是认真审读题目，弄清题设中解的情况，即明确该解是正数，还是负数等；二是参数的取值要使分式有意义，即分式方程的分母不能为零.例3若关于x 的分式方程x +a x -5+6a 5-x=4的解为正数，则a 的值满足（）.A.a <4B.a >-4C.a <4且a ≠1D.a >-4且a ≠-1分析：本题分式方程有根，求解时既要考虑根为正数的情形，又要考虑分式方程的分母不能为零.解：原方程同时乘以（x -5），可得（x +a ）-6a =4(x -5)，整理可得3x =20-5a ，解得x =20-5a 3.因为分式方程的解为正数，所以20-5a 3>0，即20-5a >0，解得a <4.又因为x -5≠0，所以x ≠5，即20-5a 3≠5，解得a ≠1.所以当a <4,且a ≠1时，原分式方程的解为正数，故正确答案为C 项.评注：求分式方程参数的取值范围，一般先去分母，化分式方程为整式方程；然后用含参数的代数式把分式方程的解表示出来，再由分式方程中解的条件（正数、负数等），将其转化为不等式问题.在这一过程中，同学们特别要注意分式方程有解的隐含条件：分母不能为零.总之，分式方程中参数的值或取值范围与分式方程的增根、无解、有解息息相关.在平时做题时，同学们要仔细审题，把握已知条件，尤其是隐含条件，并注意结合具体情况展开分类讨论，及时检验和修正，从而规避漏解、多解以及错解，提高解题的准确性.我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.那么，如何证明两条直线平行呢？有关两条直线平行的证明方法有许多，笔者归纳了如下三种常用的证明方法，以期对同学们证题有所帮助.一、利用“平行线判定定理”平行线的判定定理是指两条直线被第三条直线所截，如果同位角、内错角相等，或同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称为“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.”它是判定两直线平行的基本定理，也是证明两条直线平行最为常用的一种方法.例1如图1所示，在△MNP 中，∠MNP =90°，NQ 是MP 边上的中线，将△MNQ 沿MN 边所在的直线折叠，使得点Q恰好落在点R 处，从而得到四边形MPNR .求证：RN ∥MP .分析：要想证明RN ∥MP ，关键是确定第三条直线.观察图形，很容易看出，这两条直线是被MN 所截的，由题意易知NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM ，∠RNM =∠QNM ，这样易推出∠QMN =∠RNM ，再由“内错角相等，两直线平行”进而得到RN ∥MP .证明：因为NQ 是MP 边上的中线，且∠MNP =90°，所以NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM .例谈证明两条直线平行的常用方法江阴市夏港中学姚菁菁图127数学篇学思导引又因为△MNR由△MNQ沿MN边所在的直线折叠，所以∠RNM=∠QNM，∠QMN=∠RNM.所以RN∥MP.(内错角相等，两直线平行)评注：在证明两条直线平行时，同学们要注意借助平行线的判定定理，证明这两条直线被第三条直线所截成的同位角、内错角相等，或者同旁内角互补.二、利用“三角形或梯形的中位线定理”由三角形或梯形的中位线定理可知，三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.因此，在证明两条直线平行时，若题目涉及中点，同学们要注意构造中位线，利用三角形或梯形的中位线定理进行求证.例2如图2所示，已知AM平分∠BAC，BM⊥AM，垂足为M，且BN=NC.求证：MN∥AC.分析：由题意可知，点N为边BC的中点，因此要证明MN与AC平行，可以从三角形中位线入手.不妨延长BM交AC于点P，这样只要证明M为边BP的中点，问题自然得证.证明：延长BM交AC于点P.因为AM平分∠BAC，所以∠BAM=∠CAM.因为BM⊥AM，所以∠AMB=∠AMP=90°.又因为AM为公共边，所以△AMB≌△AMP，所以BM=PM.因为BN=NC，所以MN为△BCP的中位线，所以MN∥PC，即MN∥AC.评注：三角形或梯形中位线定理反映了图形间线段的位置关系和数量关系.因此，当问题涉及三角形或梯形的中点时，同学们要注意考虑三角形或梯形的中位线，利用三角形或梯形的中位线定理来破解问题.三、利用“平行四边形对边平行”的性质对边平行且相等，是平行四边形的重要性质之一.因此，在证明两条直线平行时，若问题涉及平行四边形，同学们要注意结合已知条件，先证明这两条直线所在的四边形为平行四边形，再根据“平行四边形对边平行”这一性质判定这两条直线平行.例3如图3所示，已知BD平行四边形ABCD的一条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AF∥EC.分析：本题涉及平行四边形，仔细观察图形，不难发现，要想证明AF∥EC，实际上只要证明四边形AECF为平行四边形即可.根据已知条件AE⊥BD，CF⊥BD，可以得到AE∥CF.然后由四边形ABCD为平行四边形，易知AB与DC是平行且相等的，进而推出∠ABE=∠ADF.再由∠AEB=∠CFD=90°，易知Rt△ABE与Rt△CDF为全等三角形，由此得到AE=CF，最后根据平行四边形的性质，确定四边形AECF为平行四边形，从而得出AF∥EC.证明：因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以AE∥CF，且∠AEB=∠CFD=90°.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC，且AB=DC，∠ABE=∠CDF.由此可证Rt△ABE≌Rt△CDF.所以AE=CF，所以四边形AECF为平行四边形.所以AF∥EC(平行四边形对边互相平行).评注：平行四边形的两组对边是平行且相等的，利用这一性质既可以证明两直线平行，也可以证明两直线相等.总之，证明两条直线平行的方法多种多样，同学们在平时的学习中，既要注意夯实基础知识，掌握基本定理和推论，又要注意强化训练，结合具体问题，灵活选择恰当的证明方法，从而快速、准确、高效地解题.图2图328。
线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法线面平行的常用证明方法有以下几种：1.直线斜率法：对于一条直线和一个平面，我们可以通过计算直线的斜率和平面的法向量来判断它们是否平行。
如果直线的斜率与平面的法向量垂直，那么它们就是平行的。
举个例子，如果一条直线的斜率为m，并且平面的法向量为N(x,y,z)，那么直线和平面平行的条件是m*N=0。
2.距离法：使用距离的概念，我们可以通过计算一条直线到一个平面的距离来判断它们是否平行。
如果直线到平面的距离为0，那么它们就是平行的。
假设直线的方程为ax + by + cz + d = 0，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线上任意一点的坐标为(x₀, y₀, z₀)，那么直线到平面的距离可以通过以下公式计算：distance = ，A * x₀ + B * y₀ + C * z₀ + D， / sqrt(A^2 + B^2+ C^2)如果直线到平面的距离为0，那么它们就是平行的。
3.两向量法：我们可以通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来判断它们是否平行。
如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么它们就是平行的。
假设直线的方向向量为V(a,b,c)，平面的法向量为N(x,y,z)，那么直线和平面平行的条件是V·N=a*x+b*y+c*z=0。
4.三点共线法：对于一个包含直线上三个不同点的平面，如果这三个点共线，那么直线和平面是平行的。
假设直线上的三个点为A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，C(x₃,y₃,z₃)，可以计算三个向量AB，AC和平面的法向量N进行叉乘，得到一个新的向量M。
如果M的长度为0，那么直线和平面是平行的。
5.平行线与交线法：如果两个平行的直线分别与一个平面的交线平行，并且交线不在这两条直线上，那么这两条直线和平面是平行的。
假设平行直线的方程为l₁: ax + by + cz + d₁ = 0，l₂: ax + by + cz + d₂ = 0，平面的方程为π: Ax + By + Cz + D = 0。
证明线线平行的方法
证明线线平行的方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
证明线面平行的方法：1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。
证明面面平行的方法：1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。
3.垂直与同一直线的两个平面平行。
4.利用向量法证明。
证明线线垂直的方法：1.定义法：两直线夹角90度2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。
证明线面垂直的方法：1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。
2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。
4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
5.1来证。
6.证明面面垂直的方法：1.定义：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角。
2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。
12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD ，所以设AD=a,则AB=2a,又因为BAD=∠60°,所以在ABD ∆中,由余弦定理得：2222(2)22cos 603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以BD=3a ,所以222AD BD AB +=,故BD ⊥AD,又因为1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D ⊥BD,又因为1AD D D D ⋂=, 所以BD ⊥平面11ADD A ,故1AA BD ⊥.(2)连结AC,设AC ⋂BD=0, 连结1A O ,由底面ABCD 是平行四边形得:O 是AC 的中点,由四棱台1111ABCD A B C D -知:平面ABCD ∥平面1111A B C D ,因为这两个平面同时都和平面11ACA C 相交,交线分别为AC 、11A C ，故11AC AC ，又因为AB=2a,BC=a, ABC=120∠，所以可由余弦定理计算得，又因为A 1B 1=2a, B 1C 1=2a , 111A B C =120∠，所以可由余弦定理计算得A 1C 1=2a ，所以A 1C 1∥OC 且A 1C 1=OC ，故四边形OCC 1A 1是平行四边形，所以CC 1∥A 1O ，又CC 1⊄平面A 1BD ，A 1O ⊂平面A 1BD ，所以11CC A BD ∥平面.20.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【解析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⋅.（Ⅱ）因为(1)ln n n n b a a =+-=123n -⋅+1(1)ln 23n --⋅, 所以12n n S b b b =+++=1212()(ln ln ln )n n a a a a a a +++-++=2(13)13n ---12ln n a a a =31n --121ln(21333)n n -⋅⨯⨯⨯⨯= 31n --(1)2ln(23)n n n -⋅,所以2n S =231n --2(21)22ln(23)n n n -⋅=91n --22ln 2(2)ln 3n n n --.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值.16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900.（1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29.10、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________16、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线E F ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD20、设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式 1. F E A D如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ 3cm ． 答案：62. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．答案：23. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．答案：24. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．A B C E F D （第7题）（1） 求证：tan 3tan B A =；（2） 若cos C =求A 的值． 解：（1）∵3AB AC BA BC = ∴3AB AC cos A BA BC cos B = ∴3AC cos A BC cos B = 由正弦定理得：AC BC sin B sin A =∴3sin B cos A sin A cos B =∴3tan B tan A =（2）∵cos C =0C π<<∴5sinC = ∴2tanC = ∴()2tan A B +=-又∵3tan B tan A =∴23421113tan A tan B tan A tan A tan A tan Atan B tan A tan B tan A++-===--- ∴1tan A =或13- ∵3tan B tan A =∴A ，B 必为锐角，否则A ，B 同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾 ∴0tan A >∴1tan A =∴4A π=5. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2） 直线1//A F 平面ADE ．证明：（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱 ∴1CC ABC ⊥平面∵AD ABC ⊂平面∴1CC AD ⊥∵AD DE ⊥，且1DE CC E = ∴11AD BCC B ⊥平面∵AD ABC ⊂平面∴11ADE BCC B ⊥平面平面（2）∵11AD BCC B ⊥平面， 11BC BCC B ⊂平面∴AD BC ⊥∵直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC = ∴AB AC =∴D 是BC 的中点∵F 是11B C 的中点 ∴1DFAA ，且1DF AA =∴四边形1AA FD 是平行四边形 ∴1A FAD∵1D F A A E ⊄平面，1D F A A E ⊂平面 ∴1//A F 平面ADE 6. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n n n n n a n a b *+=∈+N ．（1） 设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2） 设12nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 解： （1）∵()22222221221211n n n n*n n n n n n n n n nnn n a b a b bb b a b b n N a a b a a a ++⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-=-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝++⎭+ （2）∵0n a >，0n b >∴()()22222n n n n n n a b a b a b +≤+<+∴12212n n n n na ab +<=≤+∵{}n a 是各项都为正数的等比数列 ∴设其公比为q ，则0q >①当1q >时， ∵0n a >∴数列{}n a是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得1n a +> ②当01q <<时 ∵0n a >∴数列{}n a 是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得11n a +< 由①②得：1q = ∴()1*n a a n N =∈∵11n a +<=≤得：1a =，且11a <≤∴1n b =∵*11n n n n b b n N a +==∈， ∴数列{}n b是公比为1a 的等比数列∵11a <≤∴11a ≥ ①当11a >时 数列{}n b是单调递增的数列，这与1n b =矛盾 ②11=时数列{}n b 是常数数列，符合题意∴1a∴n b∴1b =1.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ .解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =2.3. 设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析： 易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+=4.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：ABC1ADE F1B1C2252552667123123115521155223 (1),.222222011522360022n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴-><<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12 15.（本小题满分14分）已知()cos sin a αα=，，()cos sin b ββ=，，0βαπ<<<. (1) 若2a b -=，求证：a b ⊥；(2) 设()01c ,=，若a b c +=，求α，β的值.解：(1)()()cos ,sin ,cos ,sin ,0a b ααβββαπ==<<<2a b -= 22a b ∴-=2222a b ab ∴+-= 1122a b +-⋅= 0a b ⋅= a b ∴⊥ (2)()()()0,1,cos cos ,sin sin 0,1cos cos 0sin sin 1c a b cαβαβαβαβ=+=∴++=∴+=∴+=①②22+①②得：()2+2cos 1αβ-= ()1cos 2αβ-=-0023βαπαβππαβ<<<∴<-<∴-=又cos cos 05,66αβαβπππαβ+=∴+=∴==16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.求证：(1) 平面EFG //平面ABC ; (2) BC SA ⊥. 解：(1),E G 分别是侧棱,SA SC 的中点EG AC ∴∥AC 在平面ABC 中，EG 在平面外EG ∴∥平面ABC,AS AB AF SB =⊥F ∴为SB 中点 EF AB ∴∥AB 在平面ABC 中，EF 在平面外EF ∴∥平面ABCEF 与EG 相交于E,EF EG 在平面EFG 中 ∴ 平面EFG //平面ABC(2)平面SAB ⊥平面SBCSB 为交线AF 在SAB 中，AF SB ⊥AF ∴⊥平面SBC AF BC ∴⊥BC AB ⊥AF 与AB 相交于A ,AF AB 在平面SAB 中 BC ∴⊥平面SAB BC SA ∴⊥ 19. （本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.(1) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2) 若{}n b 是等差数列，证明：0c =. 解：（1）()()10n a a n d d =+-≠22n n nS na d -=+ 0c =时，nn S b n=112244122342S b a S db a S d b a ====+==+124,,b b b 成等比2142b b b ∴=222222222322202n nk k nk kd d a a a d ad d d aS n a S n k a n S n k a S n S ⎛⎫⎛⎫∴⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=≠∴=∴===∴=（2）由已知23222222n n nS n a n d n db nc n c+-==++n b 是等差数列∴设n b kn b =+（k,b 为常数）∴有()()32222220k d n b d a n ckn bc -++-++=对任意n N +∈恒成立202202020k d b d a ck bc -=⎧⎪+-=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩0d ≠k c ∴≠∴=此时222dka d b=-=命题得证3.。
证明线线平行的六种方法
证明线线平行的六种方法
线线平行是几何学中的基本概念之一，可以通过多种方法来证明线线平行，本文将介绍六种常用的证明方法。
方法一：同位角定理法
同位角定理指的是：如果两条直线被一条截线分成两对同位角相等的角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的同位角相等即可。
方法二：平行线性质法
如果一条直线与两条平行直线相交，那么它所对应的两个内角互为补角。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的内角互为补角即可。
方法三：转折法
转折法是通过反证法来证明线线平行的方法。
假设两条直线不平行，那么它们一定会相交，那么在相交点处一定存在一对同位角不相等的角，这与同位角定理相矛盾，因此假设不成立，两条直线必须平行。
方法四：等夹角法
如果两条直线被一条截线分成一对相等的内角，则这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们被一条截线分成的内角相等即可。
方法五：延长线法
如果两条直线的一对相邻内角互为补角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需找到这两条直线上的相邻内角，将它们延长成一条直线，然后证明这条直线与另一条直线是垂直的即可。
方法六：反向证明法
反向证明法是证明两条直线不平行的方法，只需证明这两条直线的内角不互为补角即可。
因为如果两条直线不平行，它们在相交处的内角一定不互为补角。
通过同位角定理法、平行线性质法、转折法、等夹角法、延长线法、反向证明法这六种方法，我们可以轻松地证明线线平行的问题。
对于几何学的学习来说，掌握这些方法是非常重要的。
证平行的方法范文
证平行的方法范文证明平行的方法有很多种，本文将介绍几种常见的证明平行的方法。
一、使用平行线定理证明平行平行线定理是证明平行的基本方法之一、平行线定理有三种形式：同位角平行线定理、内错角平行线定理和外错角平行线定理。
1.同位角平行线定理证明平行同位角平行线定理是最常见的证明平行的方法之一、当两直线被一条横截线切割时，同一侧与截线相交的内角和为180度，则这两条直线平行。
证明步骤如下：a.画出两条直线以及一条横截线，形成两个同位角集合。
b.通过已知条件，求出同位角的和，并确保和为180度。
c.如果同位角和为180度，则这两条直线平行。
2.内错角平行线定理证明平行内错角平行线定理是另一种常见的证明平行的方法。
当两条平行线被两条截线切割时，由截线与平行线之间的错角性质可得，两条截线上的错角相等。
证明步骤如下：a.画出两条平行线以及两条截线，形成两对内错角对。
b.通过已知条件，求出两对内错角的大小，并确保两对内错角相等。
c.如果两对内错角相等，则这两条直线平行。
3.外错角平行线定理证明平行外错角平行线定理是类似于内错角平行线定理的方法。
当两条平行线被两条截线切割时，由于错角性质可得，两条截线上的外错角相等。
证明步骤如下：a.画出两条平行线以及两条截线，形成两对外错角对。
b.通过已知条件，求出两对外错角的大小，并确保两对外错角相等。
c.如果两对外错角相等，则这两条直线平行。
二、使用三角形内角和定理证明平行三角形内角和定理是证明平行的另一种常见方法。
当两条直线被一条横截线切割时，如果两个三角形的内角和相等，则这两条直线平行。
证明步骤如下：a.画出两条直线以及一条横截线，形成两个三角形。
b.通过已知条件，求出两个三角形的内角和，并确保它们相等。
c.如果两个三角形的内角和相等，则这两条直线平行。
三、使用向量证明平行向量也可以用来证明平行。
当两个向量的方向相同或相反时，说明这两条向量所在的直线是平行的。
证明步骤如下：a.给出两个向量。
证明平行的方法
证明平行的方法在几何学中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的两条直线。
那么，如何证明两条直线是平行的呢？下面我们将介绍几种证明平行线的方法。
首先，我们可以利用平行线的定义来证明。
平行线的定义是指在同一平面上不相交的两条直线。
因此，如果我们能够证明两条直线在同一平面上且不相交，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于简单的几何题目，通过观察图形的特点，我们可以直接得出结论。
其次，我们可以利用平行线的性质来证明。
平行线的性质包括对应角相等、内错角相等、同位角相等等。
通过利用这些性质，我们可以得出两条直线是平行的结论。
例如，如果两条直线的对应角相等，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于复杂的几何题目，通过分析角度关系，我们可以得出结论。
另外，我们还可以利用平行线的判定定理来证明。
平行线的判定定理包括同位角相等定理、内错角相等定理、对顶角相等定理等。
通过利用这些定理，我们可以得出两条直线是平行的结论。
例如，如果两条直线的内错角相等，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于需要严格证明的几何题目，通过利用定理，我们可以严谨地得出结论。
最后，我们还可以利用平行线的推论来证明。
平行线的推论包括平行线的性质推论、平行线的判定定理推论等。
通过利用这些推论，我们可以得出两条直线是平行的结论。
例如，如果两条直线的同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于需要推理的几何题目，通过利用推论，我们可以得出结论。
综上所述，证明平行线的方法包括利用平行线的定义、性质、判定定理和推论。
通过灵活运用这些方法，我们可以准确地证明两条直线是平行的。
在解决几何问题时，我们可以根据题目的要求选择合适的方法来进行证明，从而得出正确的结论。
希望以上内容能够帮助大家更好地理解证明平行线的方法。
证明线线平行的方法
证明线线平行的方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
证明线面平行的方法：1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。
证明面面平行的方法：1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。
3.垂直与同一直线的两个平面平行。
4.利用向量法证明。
证明线线垂直的方法：1.定义法：两直线夹角90度2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。
证明线面垂直的方法：1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。
2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。
4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
5.向量法。
就是用向量乘积为零则两向量垂直来证线线垂直，再用方法1来证。
线线平行的五种证法
线线平行的五种证法湖南省 龙志明一、定义法即证明两条直线在同一个平面上且没有公共点。
【例1】如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 已知：//,,a b αβγαγβ==，求证：//a b ． 证明：∵//,,a b αβαβ⊂⊂，∴,a b 没有公共点，又∵,a b γγ⊂⊂，∴//a b ． 二、平行公理平行于同一直线的两条直线平行【例2】经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B证明：11111111111////B BEE AA B BEE BB B BEE AA BB AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄1111111111111////EE AA EE B BEE A ADD A ADD AA B BEE AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂ 111111//////EE BB EE AA BB AA ⇒⎭⎬⎫三、利用“平行链”即利用直线与平面平行的判定与性质定理。
【例3】已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α平面β=b ，求证//a b ．证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ，∵a ∥平面α，a ∥平面β，∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ⊂平面β，c ∉平面β，∴c ∥平面β， 又c ⊂平面α，平面α∩平面β=b ，∴c ∥b ，又∵a ∥c ，所以，a ∥b ． 点评：本题的证明综合了直线与平面平行的判定与性质定理以及公理4，利用了一系列的“平行链”。
四、利用线面垂直的性质定理即垂直于同一平面的两直线平行。
【例4】如图，已知.,,,,AB a a B EB A EA l ⊥⊂⊥⊥=⋂αβαβα于于求证a ∥l证明：d c b aδγβαD 1C 1B 1ABCDA 1E 1E,,,,,//.EA EB l EA l EABl l EB a EA a EA a AB a EAB a l αβαβαα⊥⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⋂=⊥⎭⎭⊂⊥∴⊥⊥∴⊥∴平面又又平面五、利用面面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
如何证明平行线的性质
如何证明平行线的性质平行线的性质是几何学中的基本概念之一，它们具有一些特殊的性质和定理，这些性质和定理在证明几何问题时起到了重要的作用。
本文将介绍如何证明平行线的性质，包括平行线的定义、证明平行线的方法、相关的定理以及一些实际应用。
1. 平行线的定义平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。
这意味着平行线之间的距离始终相等，且它们的斜率也相等。
2. 证明平行线的方法（1）使用平行线的定义证明：假设有两条直线AB和CD，要证明它们平行，则需要证明AB和CD的斜率相等。
首先利用两点间的斜率公式计算出AB和CD的斜率，然后比较它们的值，如果相等则可得出结论。
（2）使用平行线的性质证明：平行线具有一系列重要性质，例如在直线上的平行线上的任意一对相交的角度都相等，内错角、同旁内角、同旁外角等相关角度关系。
可以根据这些性质来进行证明。
（3）使用横截线和平行线的性质证明：如果有一条直线与两条平行线相交，那么相交角的两边对应的内错角、同旁内角、同旁外角等相关角度关系也成立，根据这些角度关系可以证明平行线。
3. 相关定理（1）同旁内角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得同旁内角对应的两个内角相等，则这两条直线平行。
（2）对顶角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得对顶角对应的两个内角相等，则这两条直线平行。
（3）同旁外角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得同旁外角对应的两个外角相等，则这两条直线平行。
4. 实际应用平行线的性质在实际生活和工作中有广泛的应用。
例如，在建筑设计和土木工程中，需要合理布置平行线来确保建筑物的结构稳定和施工的准确性。
在航空航天领域，平行线的性质也用于制定飞行路线以及预测天体运动。
此外，平行线还被应用于地图绘制、电路设计等众多领域中。
总结：本文介绍了如何证明平行线的性质，包括平行线的定义、证明方法、相关定理以及实际应用。
通过深入理解平行线的性质和定理，可以更好地应用它们解决实际问题，并进一步推动几何学的发展与应用。
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证明线线平行的方法
内错角相等
同位角相等
同旁内角互补
A平行B，B平行C，则A平行C
平行四边形(那一类如菱形，矩形等)对边平行
证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾所以假使不成立所
以b‖c 由同位角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
因为a‖b,a‖c, 所以b‖c (平行公理的推论)
2
“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，
并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利
用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判
定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果
一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于
三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同
旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(20xx年南通市)已知:如图l,下列条
件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(20xx年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平
分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc
(1)根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常
用反证法证明。
(2)根据判定定理。
证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而
且也和直线与直线的平行有密切联系。
就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线
线的平行来判定;另一方面，平面
与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。
这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。
夹在两个平行平面之
间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
显
然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都
归结为两点之间的距离。
1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点
来区分。
因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：
(1) 平行—没有公共点;
(2) 相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对
应边平行。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：
4. 两个平面平行具有如下性质：
(1) 两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
(2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
(3) 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
(4) 夹在两个平行平面间的平行线段相等
2
用反证法
A平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为P
B平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为Q
假设A和B不平行，那么一定有交点。
设有交点R，那么
做三角形 PQR
PR垂直PQ QR垂直PQ
没有这样的三角形。
因为三角形的内角和为180所以 A一定平行于B。