A 证明线线平行的方法
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、两条直线垂直的判定（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
平行线与垂直线的判定
平行线与垂直线的判定平行线和垂直线是几何中重要的概念，它们在我们日常生活和数学领域中都有广泛的应用。
正确判定两条线是否平行或垂直对几何问题的解决至关重要。
本文将介绍如何准确判定平行线和垂直线，并提供一些实际应用的例子。
一、平行线的判定平行线是指在同一个平面内任意两条不相交的直线，它们永远保持相同的间距。
我们可以通过以下两种方法来判定两条线是否平行：方法一：几何法在几何法中，我们使用直角三角形的性质来判定两条线是否平行。
如果两条线上任意一点与另一线上的某点和垂直于该线的交线构成直角三角形，那么这两条线就是平行线。
举个例子，假设我们有两条线l和m，我们选择线l上的任意一点A，并找到其在线m上的垂直交线点B。
如果直线AB与线m构成直角，那么可以判定线l和线m是平行的。
方法二：向量法在向量法中，我们使用向量的性质来判定两条线是否平行。
如果两条线的方向向量相等或成比例，那么这两条线是平行的。
举个例子，假设我们有两条线l和m，可以找到线l的方向向量为u(x1, y1)和线m的方向向量为v(x2, y2)。
如果向量u与向量v成比例，即x1/x2 = y1/y2，那么可以判定线l和线m是平行的。
二、垂直线的判定垂直线是指两条线段，它们的斜率乘积为-1。
我们可以通过以下两种方法来判定两条线是否垂直：方法一：几何法在几何法中，我们使用两条直线的斜率来判定它们是否垂直。
如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。
举个例子，假设我们有两条直线l和m，我们计算出它们的斜率分别为k1和k2。
如果k1 * k2 = -1，那么可以判定线l和线m是垂直的。
方法二：向量法在向量法中，我们使用向量的性质来判定两条线是否垂直。
如果两条线的方向向量的内积为0，那么这两条线是垂直的。
举个例子，假设我们有两条直线l和m，可以找到线l的方向向量为u(x1, y1)和线m的方向向量为v(x2, y2)。
如果向量u与向量v的内积为0，即x1*x2 + y1*y2 = 0，那么可以判定线l和线m是垂直的。
面面平行证明线线平行的定理
面面平行证明线线平行的定理在几何学中，有一条重要的定理被称为面面平行证明线线平行的定理。
这个定理的内容十分有趣，可以帮助我们更好地理解平行线和平行面之间的关系。
本文将从生动、全面和指导意义的角度来介绍这个定理。
首先，我们来了解一下平行线和平行面的概念。
在平面几何中，我们知道两条直线如果在同一个平面上，且它们不相交，那么这两条直线就被称为平行线。
而面面平行指的是两个不相交的平面，它们之间没有任何交点或交线。
那么面面平行证明线线平行的定理是什么呢？简单来说，这个定理说明了如果两个平面分别与一条直线相交，并且与这条直线共有两个不同的交点，那么这两个平面一定是平行的。
这个定理可以通过以下的几何推理来证明。
首先，我们取一条直线AB和两个平面P1和P2。
假设这两个平面分别与直线AB相交，并且与直线AB共有两个交点C和D。
我们要证明的是P1与P2是平行的。
现在，我们将注意力放在平面P1上。
假设P1与直线AB的交线段为CD。
我们可以发现，在P1中，直线CD与直线AB具有相同的斜率，且它们不会相交或平行。
这是因为斜率是由直线在平面上移动的倾斜程度决定的，而在同一个平面上移动的两条直线具有相同的倾斜度。
同样地，在平面P2上，直线CD与直线AB也具有相同的斜率。
我们可以得出结论，P1和P2分别与直线AB都有相同的斜率。
由于平行线具有相同的斜率，我们可以推断P1和P2是平行的。
这就是面面平行证明线线平行的定理的一个简单而生动的证明过程。
通过这个定理，我们可以更好地理解平行线和平行面之间的关系。
这个定理的重要性在于它为我们提供了一种判断两个平面是否平行的方法，只需通过它们与同一条直线的相交情况即可。
这对于解决各种几何问题非常有帮助，例如在建筑设计、计算机图形学和工程测量等领域。
在实际应用中，这个定理也具有指导意义。
当我们遇到需要判断两个平面是否平行的问题时，可以使用这个定理来进行推理和证明。
同时，还可以应用这个定理进行计算，比如求解两个平面的交点、角度和距离等，以及解决与平行线和平行面相关的几何问题。
立体几何证明方法——证线线平行
C
a：
方法三：同垂直于一个平面的 两条直线互相平行。
a
b
a 推理过程： a // b b
一如何证明直线与直线平行：
方法四：同平行于一条直线的 两条直线互相平行。
a b c
a // c 推理过程： a // b b // c
方法演练1：
一如何证明直线与直线平行：
方法一：线面平行则线线平行；
a // 平面 推理过程： a 平面 a // b b
b
a
一如何证明直线与直线平行：
方法二：面面平行则线线平行；
// 推理过程： a b // a b
P
已知：四边形 ABCD 是平行四边形， 点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G， 过 AP 和 G 作平面交平面 BDM 于 GH，A 求证：AP∥GH （提示：线面平行则线线平行）
M D H G C
O
B
方法演练2：
在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 证明 BD // B1 D1 。 （面面平行）
证明线面平行的三种方法
证明线面平行的三种方法
证明线面平行有以下三种方法：
直接法。
直接法是最常见的一种证明线面平行的方法，即通过对给定的线段和平面作出垂线，证明垂线互相重合，从而说明所给线段与平面平行。
例如，已知线段AB和平面CD，作点E使AE⊥CD，BE⊥CD，则AE和BE互相重合，因此AB与CD平行。
反证法。
反证法是通过假设所证明的命题不成立，利用矛盾推导证明该命题成立。
证明线面平行的反证法即假设所给线段与平面不平行，那么在平面内存在一条直线与所给线段相交，从而可以得到一个矛盾，因此该假设错误，所给线段与平面平行。
例如，如果假设AB 与CD不平行，则它们必然会相交，但根据定义，平行的两个直线不会相交，因此假设错误，AB与CD平行。
平行线之间的性质法。
平行线之间的性质是指对于两个平行线及其所在的平面，它们之间的任意一条截线与这两条线的夹角都相等。
因此，用平行线之间的性质来证明线面平行，只需要证明所给线段与平面的任意一条截线与所给线段的夹角等于所给线段与平面的任意一条垂线的夹角即可。
例如，已知线段AB和平面CD，假设通过B点作平面CD的一条截线EF，其中E在AB上，则∠BEF=∠BED，而∠BED是所给线段与平面的垂线的夹角，因此∠BEF=∠BED，证明了线面平行。
总结证明线面平行的常用方法
BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。
证明线线平行的方法
证明线线平行的方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
证明线面平行的方法：1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。
证明面面平行的方法：1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。
3.垂直与同一直线的两个平面平行。
4.利用向量法证明。
证明线线垂直的方法：1.定义法：两直线夹角90度2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。
证明线面垂直的方法：1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。
2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。
4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
5.1来证。
6.证明面面垂直的方法：1.定义：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角。
2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。
12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD ，所以设AD=a,则AB=2a,又因为BAD=∠60°,所以在ABD ∆中,由余弦定理得：2222(2)22cos 603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以BD=3a ,所以222AD BD AB +=,故BD ⊥AD,又因为1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D ⊥BD,又因为1AD D D D ⋂=, 所以BD ⊥平面11ADD A ,故1AA BD ⊥.(2)连结AC,设AC ⋂BD=0, 连结1A O ,由底面ABCD 是平行四边形得:O 是AC 的中点,由四棱台1111ABCD A B C D -知:平面ABCD ∥平面1111A B C D ,因为这两个平面同时都和平面11ACA C 相交,交线分别为AC 、11A C ，故11AC AC ，又因为AB=2a,BC=a, ABC=120∠，所以可由余弦定理计算得，又因为A 1B 1=2a, B 1C 1=2a , 111A B C =120∠，所以可由余弦定理计算得A 1C 1=2a ，所以A 1C 1∥OC 且A 1C 1=OC ，故四边形OCC 1A 1是平行四边形，所以CC 1∥A 1O ，又CC 1⊄平面A 1BD ，A 1O ⊂平面A 1BD ，所以11CC A BD ∥平面.20.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【解析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⋅.（Ⅱ）因为(1)ln n n n b a a =+-=123n -⋅+1(1)ln 23n --⋅, 所以12n n S b b b =+++=1212()(ln ln ln )n n a a a a a a +++-++=2(13)13n ---12ln n a a a =31n --121ln(21333)n n -⋅⨯⨯⨯⨯= 31n --(1)2ln(23)n n n -⋅,所以2n S =231n --2(21)22ln(23)n n n -⋅=91n --22ln 2(2)ln 3n n n --.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值.16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900.（1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29.10、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________16、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线E F ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD20、设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式 1. F E A D如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ 3cm ． 答案：62. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．答案：23. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．答案：24. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．A B C E F D （第7题）（1） 求证：tan 3tan B A =；（2） 若cos C =求A 的值． 解：（1）∵3AB AC BA BC = ∴3AB AC cos A BA BC cos B = ∴3AC cos A BC cos B = 由正弦定理得：AC BC sin B sin A =∴3sin B cos A sin A cos B =∴3tan B tan A =（2）∵cos C =0C π<<∴5sinC = ∴2tanC = ∴()2tan A B +=-又∵3tan B tan A =∴23421113tan A tan B tan A tan A tan A tan Atan B tan A tan B tan A++-===--- ∴1tan A =或13- ∵3tan B tan A =∴A ，B 必为锐角，否则A ，B 同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾 ∴0tan A >∴1tan A =∴4A π=5. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2） 直线1//A F 平面ADE ．证明：（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱 ∴1CC ABC ⊥平面∵AD ABC ⊂平面∴1CC AD ⊥∵AD DE ⊥，且1DE CC E = ∴11AD BCC B ⊥平面∵AD ABC ⊂平面∴11ADE BCC B ⊥平面平面（2）∵11AD BCC B ⊥平面， 11BC BCC B ⊂平面∴AD BC ⊥∵直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC = ∴AB AC =∴D 是BC 的中点∵F 是11B C 的中点 ∴1DFAA ，且1DF AA =∴四边形1AA FD 是平行四边形 ∴1A FAD∵1D F A A E ⊄平面，1D F A A E ⊂平面 ∴1//A F 平面ADE 6. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n n n n n a n a b *+=∈+N ．（1） 设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2） 设12nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 解： （1）∵()22222221221211n n n n*n n n n n n n n n nnn n a b a b bb b a b b n N a a b a a a ++⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-=-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝++⎭+ （2）∵0n a >，0n b >∴()()22222n n n n n n a b a b a b +≤+<+∴12212n n n n na ab +<=≤+∵{}n a 是各项都为正数的等比数列 ∴设其公比为q ，则0q >①当1q >时， ∵0n a >∴数列{}n a是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得1n a +> ②当01q <<时 ∵0n a >∴数列{}n a 是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得11n a +< 由①②得：1q = ∴()1*n a a n N =∈∵11n a +<=≤得：1a =，且11a <≤∴1n b =∵*11n n n n b b n N a +==∈， ∴数列{}n b是公比为1a 的等比数列∵11a <≤∴11a ≥ ①当11a >时 数列{}n b是单调递增的数列，这与1n b =矛盾 ②11=时数列{}n b 是常数数列，符合题意∴1a∴n b∴1b =1.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ .解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =2.3. 设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析： 易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+=4.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：ABC1ADE F1B1C2252552667123123115521155223 (1),.222222011522360022n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴-><<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12 15.（本小题满分14分）已知()cos sin a αα=，，()cos sin b ββ=，，0βαπ<<<. (1) 若2a b -=，求证：a b ⊥；(2) 设()01c ,=，若a b c +=，求α，β的值.解：(1)()()cos ,sin ,cos ,sin ,0a b ααβββαπ==<<<2a b -= 22a b ∴-=2222a b ab ∴+-= 1122a b +-⋅= 0a b ⋅= a b ∴⊥ (2)()()()0,1,cos cos ,sin sin 0,1cos cos 0sin sin 1c a b cαβαβαβαβ=+=∴++=∴+=∴+=①②22+①②得：()2+2cos 1αβ-= ()1cos 2αβ-=-0023βαπαβππαβ<<<∴<-<∴-=又cos cos 05,66αβαβπππαβ+=∴+=∴==16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.求证：(1) 平面EFG //平面ABC ; (2) BC SA ⊥. 解：(1),E G 分别是侧棱,SA SC 的中点EG AC ∴∥AC 在平面ABC 中，EG 在平面外EG ∴∥平面ABC,AS AB AF SB =⊥F ∴为SB 中点 EF AB ∴∥AB 在平面ABC 中，EF 在平面外EF ∴∥平面ABCEF 与EG 相交于E,EF EG 在平面EFG 中 ∴ 平面EFG //平面ABC(2)平面SAB ⊥平面SBCSB 为交线AF 在SAB 中，AF SB ⊥AF ∴⊥平面SBC AF BC ∴⊥BC AB ⊥AF 与AB 相交于A ,AF AB 在平面SAB 中 BC ∴⊥平面SAB BC SA ∴⊥ 19. （本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.(1) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2) 若{}n b 是等差数列，证明：0c =. 解：（1）()()10n a a n d d =+-≠22n n nS na d -=+ 0c =时，nn S b n=112244122342S b a S db a S d b a ====+==+124,,b b b 成等比2142b b b ∴=222222222322202n nk k nk kd d a a a d ad d d aS n a S n k a n S n k a S n S ⎛⎫⎛⎫∴⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=≠∴=∴===∴=（2）由已知23222222n n nS n a n d n db nc n c+-==++n b 是等差数列∴设n b kn b =+（k,b 为常数）∴有()()32222220k d n b d a n ckn bc -++-++=对任意n N +∈恒成立202202020k d b d a ck bc -=⎧⎪+-=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩0d ≠k c ∴≠∴=此时222dka d b=-=命题得证3.。
平行线的判定
平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行平行线的判定（提高）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握平行线的画法；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】要点一、平行线的画法及平行公理1.平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.2.平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、平行公理及推论1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数为：( ) .A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】正确的是：（1）(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．举一反三：【变式】下列说法正确的个数是() .（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个【答案】B2.证明：平行于同一直线的两条直线平行．【答案与解析】已知：如图，a//c,b//c．求证：a//b．证明：假设直线a与直线b不平行，则直线a与直线b相交，设交点为A，如图．Q，a//c,b//c则过直线c外一点A有两条直线a、b与直线c平行，这与平行公理矛盾，所以假设不成立．．a//b【总结升华】本题采用的是“反证法”的证明方法，反证法证题的一般步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．类型二、平行线的判定3.（2015春•荣昌县校级期中）如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F．试说明：EC∥DF．【思路点拨】根据BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，得出∠DBF=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∠DBF=∠ECB，再根据∠DBF=∠F，得出∠ECB=∠F，即可证出EC∥DF．【答案与解析】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBF=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∵∠ABC=∠ACB，∴∠DBF=∠ECB，∵∠DBF=∠F，∴∠ECB=∠F，∴EC∥DF．【总结升华】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等，两直线平行，关键是证出∠ECB=∠F．举一反三：【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°【答案】A提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．图B显然不同向，因为路线不平行．图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．只有图A路线平行且同向，故应选A．4.如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．【答案与解析】解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．∴AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．∴∠DCM＝∠CDN(等量代换)．∴CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．∵AB∥CM，EF∥DN(已证)，∴AB∥EF(平行线的传递性)．解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°，∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°，∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．∴∠CNB＝∠EMD(等量代换)．所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．举一反三：【高清课堂：平行线及判定403102经典例题2】【变式】（2015秋•巨野县期末）如图，已知∠BED=∠B+∠D，求证：AB∥CD．【答案】证明：延长BE交CD于F．∵∠BED+∠DEF=180°，(平角的定义)∴∠DEF+∠D+∠EFD=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠BED=∠D+∠EFD，（等量代换）又∠BED=∠B+∠D，∴∠B=∠EFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．平行线的判定（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列说法中正确的有() .①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角() .A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．（2015•黔南州）如图，下列说法错误的是（）A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1=∠2，则a∥cC．若∠3=∠2，则b∥c D．若∠3+∠5=180°，则a∥c4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是()．A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．5．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是() .A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°6.(绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)—(4)）:从图中可知，小敏画平行线的依据有（）.①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．A.①②B. ②③C. ③④D. ④①二、填空题7.（2015春•高密市月考）如图，在下列条件中：①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD；③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线AB∥CD成立的是．（填序号）8．如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行，则A、B、C三点，其依据是12.如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有．三、解答题13.（2015春•兴平市期末）如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．14．小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?15．如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD?16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A；【解析】只有④正确，其它均错．2. 【答案】D；3. 【答案】C；【解析】A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C．4. 【答案】B；5. 【答案】B；【解析】∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6. 【答案】C；【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7. 【答案】②③；【解析】①∠DAC=∠ACB利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，错误；②∠BAC=∠ACD 利用内错角相等两直线平行得到AB∥CD，正确；③∠BAD+∠ADC=180°利用同旁内角互补得到AB∥CD，正确；④∠BAD+∠ABC=180°利用同旁内角互补得到AD∥BC，错误；故答案为：②③8. 【答案】BC，DE；【解析】∠CFD＝180°－70°－55°＝55°，而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠CFD＝∠FDE．9. 【答案】a1∥a100；【解析】为了方便，我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因为a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9，a9∥a12∥a13，…，接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100．10.【答案】40°或140°；11.【答案】共线，平行公理；【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用．12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；【解析】理由：∵AB⊥EF，CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∴∠1＝12EGB＝45°．∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．同理∠GHQ＝135°，∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．三、解答题13. 【解析】解：∵∠A=∠F（已知），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠CEF（等量代换），∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．14．【解析】解：如图所示，用量角器在两个边缘之间画一条线段MN，用量角器测得∠1＝50°，∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平行，可知画板的上下边缘是平行的．15. 【解析】解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．∴∠BAF＝12∠B′AB＝12×110°＝55°．16．【解析】解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC(已知)．∴∠1＝∠DBC(角平分线定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠DBC(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．。
证明线线平行的六种方法
证明线线平行的六种方法
线线平行是几何学中的基本概念之一，可以通过多种方法来证明线线平行，本文将介绍六种常用的证明方法。
方法一：同位角定理法
同位角定理指的是：如果两条直线被一条截线分成两对同位角相等的角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的同位角相等即可。
方法二：平行线性质法
如果一条直线与两条平行直线相交，那么它所对应的两个内角互为补角。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的内角互为补角即可。
方法三：转折法
转折法是通过反证法来证明线线平行的方法。
假设两条直线不平行，那么它们一定会相交，那么在相交点处一定存在一对同位角不相等的角，这与同位角定理相矛盾，因此假设不成立，两条直线必须平行。
方法四：等夹角法
如果两条直线被一条截线分成一对相等的内角，则这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们被一条截线分成的内角相等即可。
方法五：延长线法
如果两条直线的一对相邻内角互为补角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需找到这两条直线上的相邻内角，将它们延长成一条直线，然后证明这条直线与另一条直线是垂直的即可。
方法六：反向证明法
反向证明法是证明两条直线不平行的方法，只需证明这两条直线的内角不互为补角即可。
因为如果两条直线不平行，它们在相交处的内角一定不互为补角。
通过同位角定理法、平行线性质法、转折法、等夹角法、延长线法、反向证明法这六种方法，我们可以轻松地证明线线平行的问题。
对于几何学的学习来说，掌握这些方法是非常重要的。
平行线性质的证明题方法
平行线性质的证明题方法关于平行线性质的证明题方法平行线是数学的知识，平行线的证明题是怎么一回事呢?该怎么证明呢?下面就是店铺给大家整理的平行线的性质证明题内容，希望大家喜欢。
平行线的性质知识两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
也可以简单的说成：1.同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
也可以简单的`说成：2.内错角相等两直线平行3.同旁内角相等两直线平行这个是平行线的性质一般地，如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
也可以简单的说成：1.两直线平行，同位角相等2.两直线平行，内错角相等3.两直线平行，同旁内角互补平行线的性质证明题解答已知以下基本事实：①对顶角相等;②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行;④全等三角形的对应边、对应角分别相等.在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有①②①②(填入序号即可).考点：平行线的性质.分析：此题属于文字证明题，首先画出图，根据图写出已知求证，然后证明，用到的知识由一条直线截两条平行直线所得的同位角相等与对顶角相等，故可求得答案.解答：解：如图：已知：AB∥CD，求证：∠2=∠3.证明：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，(一条直线截两条平行直线所得的同位角相等)∵∠1=∠3，(对顶角相等)∴∠2=∠3.故用的基本事实有①②.平行线的性质证明题方法探照灯、锅形天线、汽车灯以及很多灯具都与抛物线形状有关。
如图所示的是探照灯的纵剖面，从位于E点的灯泡发出的两束光线EA、EC经灯碗反射以后平行射出。
试探索∠AEC与∠ EAB、∠ECD之间的关系，并说明理由。
你能把这个实际问题转化为数学问题吗?例题1(一题多证)：已知AB∥CD,探索三个拐角∠E与∠A，∠C之间的关系(E在AB与CD之间且向内凹)※ 本题的难点在引导学生添加辅助线构造三线八角及如何利用已知条件AB∥CD。
空间两直线平行的判定
空间两直线平行的判定
在三维空间中，两条直线是否平行是一个非常重要的问题。
判断两条直线是否平行，可以通过以下两种方法进行。
方法一：向量法
向量法是判断两条直线是否平行的一种常用方法。
如果两条直线平行，则它们的方向向量也必须平行。
因此，我们可以通过比较两条直线的方向向量来判断它们是否平行。
假设有两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为v1和v2。
如果v1和v2平行，则L1和L2平行。
具体来说，我们可以计算v1和v2的叉积，如果叉积为零，则v1和v2平行。
方法二：点向式
点向式是另一种判断两条直线是否平行的方法。
点向式是指将直线表示为一个点和一个方向向量的形式。
如果两条直线的方向向量相同，则它们平行。
假设有两条直线L1和L2，它们的点向式分别为P1+t1v1和P2+t2v2。
如果v1和v2相同，则L1和L2平行。
需要注意的是，如果两条直线在平面上，则它们平行当且仅当它们的斜率相同。
如果两条直线在空间中，则它们平行当且仅当它们的方向向量平行。
判断两条直线是否平行是一个非常重要的问题。
通过向量法和点向式，我们可以轻松地判断两条直线是否平行。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的方法来判断两条直线是否平行。
证明线线平行的方法
三、长方体的性质
性质1 性质1、长方体的一条对角线长的平方等于 一个顶点上的三条棱的长的平方和。 一个顶点上的三条棱的长的平方和。 性质2、长方体的一条对角线与一个顶点上 性质2 的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 的三条棱所成的角分别为α 则有cos γ=1 则有cos2α+cos2β+cos2γ=1 性质3 性质3、长方体的一条对角线与各个面所 成的角分别为为α 成的角分别为为α、β、γ， 则有cos γ=2 则有cos2α+cos2β+cos2γ=2
求距离
3、线面距——特指线面平行时 、线面距 特指线面平行时
转化为点面距
4、线线距——特指异面直线 、线线距 特指异面直线
直接法——公垂线明显时 公垂线明显时 直接法 转化法——线面距 转化法 线面距 面面距
练习: 如图： 练习 如图：河堤斜面与水平面所成的二面角为 600，堤面上有一条直道 ，它与堤脚的水平线 堤面上有一条直道CD， AB的夹角为 0，沿这条直道从堤脚向上行走 的夹角为30 沿这条直道从堤脚向上行走10m 的夹角为 时人升高了多少？（精确到0.1m） ？（精确到 时人升高了多少？（精确到 ）
3、分组问题 、 （不）均匀分组 4、其它 等可能法、 、 等可能法、无序插空法等
小结4、 小结 、排列与组合的混合题 先组合后排列
证明面面平行的方法 证明面面平行的方法 面面平行
（1）面面平行的判定定理 ）面面平行的判定定理1—— 若一平面内的两相交直线都平行于另一平面， 若一平面内的两相交直线都平行于另一平面， 则两平面平行 （2）面面平行的判定定理 ）面面平行的判定定理2—— 垂直于同一直线的两平面平行 3、面面平行的判定定理3—— 、面面平行的判定定理 同时与第三个平面平行的两平面平行
证明直线平行的方法介绍
证明直线平行的方法介绍证明直线平行方法证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c 由同位角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
因为a‖b,a‖c, 所以b‖c (平行公理的推论)2“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理.5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人�晗�叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD 交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc(1)根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
证明线线平行的方法
证明线线平行的方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
证明线面平行的方法：1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。
证明面面平行的方法：1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。
3.垂直与同一直线的两个平面平行。
4.利用向量法证明。
证明线线垂直的方法：1.定义法：两直线夹角90度2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。
证明线面垂直的方法：1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。
2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。
4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
5.向量法。
就是用向量乘积为零则两向量垂直来证线线垂直，再用方法1来证。
证线面平行的常见方法
证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。
如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。
如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。
举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。
我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。
另一种证明线面平行的方法是使用投影。
这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。
如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。
如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。
相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。
当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。
根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。
假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。
因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。
垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。
如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。
这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。
举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。
这证明了平行线的存在。
向量是另一种证明线面平行的有用工具。
向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。
如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。
总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。
判断平行线的五种方法
判断平行线的五种方法判断平行线有好几种超棒的方法呢！一、同位角相等法如果两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等，那么这两条直线平行。
这就好比两个小伙伴在同一起跑线上朝着同一个方向跑，速度一样的话，他们肯定是平行前进的呀！在使用这个方法的时候，一定要准确找到同位角，可别找错了哦！那可就闹大笑话啦！这种方法在几何图形的证明中超级好用，比如证明平行四边形的对边平行就可以用这招。
想象一下，平行四边形的两组对边就像两对整齐的队伍，同位角相等就是它们前进的规则，这样它们就一直平行啦！二、内错角相等法两条直线被第三条直线所截，内错角相等，它们就是平行线。
这就好像两个人走在一条路上，一个人走在左边，一个人走在右边，但是他们的方向偏差一样，那他们肯定也是平行走的嘛！用这个方法得仔细观察内错角，千万别搞混了。
在解决一些实际问题中，比如测量电线杆是否平行，就可以通过测量内错角来判断。
要是内错角相等，那就可以放心啦，电线杆肯定是平行的，不会歪七扭八。
三、同旁内角互补法两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，这两条直线平行。
这就像两个好兄弟，一个往东走，一个往西走，但是他们加起来走的角度是180 度，那他们肯定是平行的呀！用这个方法的时候要注意计算同旁内角的和，可不能算错了。
在建筑设计中，这个方法很有用哦！如果两根柱子的同旁内角互补，那它们肯定是平行的，这样建筑才会更稳固。
四、平行于同一条直线的两条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
这就好比三个人一起走路，A 和B 平行，B 和C 平行，那A 和C 肯定也平行呀！这个方法很简单明了，在解决一些复杂的几何问题时，可以通过找到中间的那条平行直线来判断另外两条直线是否平行。
五、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行如果两条直线都垂直于同一条直线，那么它们平行。
这就像两根柱子都垂直于地面，那它们肯定是平行的嘛！用这个方法的时候要确定是在同一平面内哦，不然可就不灵啦！在日常生活中，比如窗户的横竖框，它们垂直于同一条边，所以它们是平行的，这样窗户才会更美观。
证明垂直和平行的判定方法(一)
证明垂直和平行的判定方法(一)证明垂直和平行的判定方法一、垂直的判定方法要证明两条直线垂直，需要满足两个条件：•对于直线上的点，其斜率乘积为-1；•如果两条直线的斜率为k1和k2，则k1×k2=−1。
我们可以通过斜率判断两条直线是否垂直。
如果两条直线的斜率成乘积为-1，则这两条直线垂直。
二、平行的判定方法要证明两条直线平行，需要满足两个条件：•两条直线的斜率相等；•两条直线上的点连成的向量平行。
如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。
如果两条线段的斜率相等，且它们之间没有交点，则这两条直线平行。
三、总结证明直线垂直和平行的方法非常实用。
对于特定的问题和情况，可以使用不同的方法进行判定。
通过学习这些方法，我们可以更快速地解决数学问题。
四、实例分析假设有两条直线，分别可以表示为y=2x+3和y=−12x+5，现在需要判断这两条直线是否垂直和平行。
我们可以先求出两条直线的斜率，斜率分别为k1=2和k2=−12。
对于垂直的判定方法，我们可以计算两个斜率的乘积，k1×k2= =−1，因此这两条直线垂直。
2×−12对于平行的判定方法，我们可以直接比较两个斜率的大小，发现k1≠k2，因此这两条直线不平行。
五、注意事项在使用垂直和平行的判定方法时，需要注意以下几点：•两条直线的斜率必须存在，如果某条直线垂直于x轴或与y轴平行，则无法计算斜率；•计算斜率时需要注意分母为0的情况；•对于平行的判定方法，需要注意两条直线之间是否有交点。
六、结论通过以上的分析，我们可以得出结论：•如果两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线垂直；•如果两条直线的斜率相等，且它们之间没有交点，则这两条直线平行。
因此，在实际的数学问题中，我们可以利用这些判定方法来判断两个线段之间的关系，方便我们快速、准确地求解。
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A 证明线线平行的方法：
①面面平行的判定：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
②线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
③平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线。
④基本性质四：平行于同一直线的两直线互相平行。
B 证明线面平行的方法：
①面面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
②线面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
③定义：直线a与平面ａ没有公共点，则直线与平面平行。
C 证明面面平行的方法：
①定义：如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行。
②面面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
③面面平行的性质：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面的两条直线，则这两个平面平行。