2006年南京大学高等代数考研真题-考研真题资料

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精编版-2006考研数学一真题及答案

精编版-2006考研数学一真题及答案

2006考研数学一真题及答案一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=の通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)の下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=の距离z = .(5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上の均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出の四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处の增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下の一个极值点,下列选项正确の是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确の是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A の第2行加到第1行得B ,再将B の第1列の-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T=C P AP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P AB P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x の幂级数.(18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u の表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意の0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内の任意分段光滑の有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关の解,(1)证明方程组系数矩阵A の秩()2r =A . (2)求,a b の值及方程组の通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A の各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A の两个解.(1)求A の特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x の概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y の分布函数.(1)求Y の概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X の概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X の简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1の个数,求θの最大似然估计.参考答案 一、填空题(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x -+ (0x →当时)(2)微分方程(1)y x y x-'=の通解是(0)x y cxe x -=≠,这是变量可分离方程.(3)设∑是锥面1)Z ≤≤の下侧,则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(Ω为锥面∑和平面1∑所围区域)6V =(V 为上述圆锥体体积)623ππ=⨯=而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰(∵在1∑上:1,0z dz ==)(4),1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离d ====(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. (6)91 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0f x '>,()0f x ''>,x ∆为自变量x 在0x 处の增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分.若0>∆x ,则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又2212211220(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)x x xf x y d f r r rdr dx f x y dydx f x y dyπθθθ--⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于222211220(C)(,)(D)(,)y y ydy f x y dxdy f x y dx --⎰⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a∞=∞∞==∞∞∞+++===-+∑∑∑∑∑∑若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y xy x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选 (11)设1,2,…,s 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若1,2,…,s 线性相关,则A 1,A 2,…,A s 线性相关. (B) 若1,2,…,s 线性相关,则A 1,A 2,…,A s 线性无关. (C) 若1,2,…,s 线性无关,则A 1,A 2,…,A s 线性相关. (D) 若1,2,…,s 线性无关,则A 1,A 2,…,A s 线性无关. 解: (A)本题考の是线性相关性の判断问题,可以用定义解.若1,2,…,s 线性相关,则存在不全为0の数c 1,c 2,…,c s 使得c 11+c 22+…+c s s =0,用A 左乘等式两边,得c 1A 1+c 2A 2+…+c s A s =0,于是A 1,A 2,…,A s 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1.1,2,…,s 线性无关⇔ r(1,2,…,s )=s. 2. r(AB )≤ r(B ). 矩阵(A 1,A 2,…,A s )=A (1,2,…,s),因此 r(A 1,A 2,…,A s )≤ r(1,2,…,s). 由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A 是3阶矩阵,将A の第2列加到第1列上得B ,将B の第1列の-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中の作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1(13)根据乘法公式与加法公式有: P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C (14)依题:).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--,,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧-=<-σσμμX P X P .1}1{2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P 即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DD DxyD x y x y x I dxdyx y xydxdy x y r I dxdy d dr r x yr ππππθ-+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴=设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界,根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(),n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim()t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t ttt tttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====2(17)()2xf x x x x =+-将函数展开成的幂极数()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+-+-+解:2(1)(2)2,32,3A xB x x x A A ++-====令 11,31,3x B B =-=-=-令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯--⨯=+⨯--⨯= 10001111()(1)(1),132332n n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑(18)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ (I )验证()()0f u f u u'''+= (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证:(I)zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f xx y ∂'''=+∂+()()22322222x y f f x y x y '''=+++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++同理22220()()0z z f x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入得成立(II )令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==-=-+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是(19)设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内,函数(,)f x y 具有连续偏导数,且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=证明:对D 内任意分段光滑の有向简单闭曲线L ,都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证:把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导 得:(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =,则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0の充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y xf x y x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立,只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明,Q Px y∂∂∴=∂∂,于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1,ax 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关の解.① 证明此方程组の系数矩阵A の秩为2. ② 求a,b の值和方程组の通解. 解:① 设1,2,3是方程组の3个线性无关の解,则2-1,3-1是AX =0の两个线性无关の解.于是AX =0の基础解系中解の个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A の行向量是两两线性无关の,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组の增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A |)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4,x 2=-3+x 3-5x 4,求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0の基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组の通解:(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A の各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T ,2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0の解.① 求A の特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即0=(1,1,1)T 是A の特征向量,特征值为3.又1,2都是AX =0の解说明它们也都是A の特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0の重数大于1.于是A の特征值为3,0,0.属于3の特征向量:c0, c ≠0. 属于0の特征向量:c 11+c 22, c 1,c 2不都为0. ② 将0单位化,得0=(33,33,33)T . 对1,2作施密特正交化,の1=(0,-22,22)T ,2=(-36,66,66)T . 作Q =(0,1,2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0(22)随机变量X の概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ,令2X Y =,),(y x F 为二维随机变量)(Y X ,の分布函数. (Ⅰ)求Y の概率密度;(Ⅱ))4,21(-F 解: (Ⅰ)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=yy y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式 ⎰⎰=+=≤≤-=-y yy dx dx y X y P 00434121)()1(式; ⎰⎰+=+=≤≤-=-y y dx dx y X y P 00141214121)()2(式. 所以:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y 这个解法是从分布函数の最基本の概率定义入手,对y 进行适当の讨论即可,在新东方の辅导班里我也经常讲到,是基本题型.(Ⅱ))4,21(-F )212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰--dx . (23)设总体X の概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ,其中θ是未知参数(0<θ<1).n X X X ,,21为来自总体の简单随机样本,记N 为样本值n x x x ,,21中小于1の个数.求θの最大似然估计.解:对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类:pN p p x x x ,,21<1,pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他,,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ, 在pN p p x x x ,,21<1,pn pN pN x x x ,,21++≥1时, )1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ,01)(ln =---=θθθθN n N d L d ,所以n N =最大θ.。

2006-数一真题大全及答案

2006-数一真题大全及答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=−. (2)微分方程(1)y x y x−'=的通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++−=⎰⎰.(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .(5)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪−⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B =.(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0, 3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A )0.dx y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,).xf x y dy ⎰⎰(B)(,).f x y dy ⎰⎰(C)(,).yf x y dx ⎰⎰(C)(,).f x y dx ⎰⎰【 】(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A )1nn a∞=∑收敛. (B )1(1)nn n a ∞=−∑收敛.(C )11n n n a a ∞+=∑收敛.(D )112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【 】(10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(11)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.(C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.(D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A )1.C P AP −= (B )1.C PAP −=(C ).T C P AP =(D ).TC PAP = 【 】(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有 (A )()().P A B P A ⋃> (B )()().P A B P B ⋃>(C )()().P A B P A ⋃=(D )()().P A B P B ⋃= 【 】(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ−<>−<(A )1 2.σσ< (B )1 2.σσ>(C )1 2.μμ<(D )1 2.μμ> 【 】三 解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.16 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . 求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求之 .(Ⅱ)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 17 将函数()22xf x x x=+−展开成x 的幂级数. 18 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 19 设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的t>0都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有0),(),(=−⎰dy y x xf dx y x yf L.20 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=−⎧⎪++−=−⎨⎪++−=⎩有个线性无关的解 Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A = Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=−−=−是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.22 随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,x x f x x y x F x y ⎧−<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩令其他为二维随机变量(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ)1,42F ⎛⎫−⎪⎝⎭23 设总体X 的概率密度为()()01,0112010x F X x θθθθ<<⎧⎪=−≤<<<⎨⎪⎩其中是未知参数其它,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,1n x x x 中小于的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+−= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x −+ (0x →当时)(2)微分方程(1)y x y x−'=的通解是(0)xy cxe x −=≠,这是变量可分离方程.(3)设∑是锥面1)Z ≤≤的下侧,则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++−=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===−1236P Q R x y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(Ω为锥面∑和平面1∑所围区域)6V =(V 为上述圆锥体体积)623ππ=⨯= 而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++−=⎰⎰(∵在1∑上:1,0z dz ==)(4),1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离d ====(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. (6)91 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0f x '>,()0f x ''>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分.若0>∆x ,则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dy f x y dy πθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于(C)(,)(D)(,)ydy f x y dxf x y dx ⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a aC a aD a∞=∞∞==∞∞∞+++===−+∑∑∑∑∑∑若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y x y x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=−='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1(13)根据乘法公式与加法公式有: P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C (14)依题:).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ−−,,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧−=<−σσμμX P X P.1}1{2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=<−σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<−><−μμY P X P 即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−>⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DD DxyD x y x y x I dxdyx y xydxdy x y r I dxdy d dr r x yr ππππθ−+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴=设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界,根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(),n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim()t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤−−+−−+⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦−=====2(17)()2xf x x x x =+−将函数展开成的幂极数 ()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+−+−+解: 2(1)(2)2,32,3A xB x xx A A ++−====令 11,31,3x B B =−=−=−令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f −−⨯−−⨯=+⨯−−⨯= 10001111()(1)(1),132332n n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=−−=+−<⎢⎥⎣⎦∑∑∑(18)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ (I )验证()()0f u f u u'''+= (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证:(I)zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f xx y ∂'''=+∂+()()22322222x y f f x y x y '''=+++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++同理22220()()0z z f x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入得成立(II )令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==−=−+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=−+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是(19)设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内,函数(,)f x y 具有连续偏导数,且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y −=证明:对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有0),(),(=−⎰dy y x xf dx y x yf L.证:把2(,)(,)f tx ty t f x y t −=两边对求导得:(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=− 令 1t =,则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=− 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==−所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y xf x y x∂'=−−∂(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立,只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=− 我们已经证明,Q Px y∂∂∴=∂∂,于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1,a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4,x 2=-3+x 3-5x 4,求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0(22)随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<−=其他,020,4101,21)(x x x f X ,令2X Y =,),(y x F 为二维随机变量)(Y X ,的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度;(Ⅱ))4,21(−F 解: (Ⅰ)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=yy y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式 ⎰⎰=+=≤≤−=−yy y dx dx y X y P 00434121)()1(式; ⎰⎰+=+=≤≤−=−y y dx dx y X y P 00141214121)()2(式. 所以:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手,对y 进行适当的讨论即可,在新东方的辅导班里我也经常讲到,是基本题型.(Ⅱ))4,21(−F )212()22,21()4,21()4,21(2−≤≤−=≤≤−−≤=≤−≤=≤−≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰−−dx . (23)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ,其中θ是未知参数(0<θ<1).n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本,记N 为样本值n x x x ,,21中小于1的个数.求θ的最大似然估计.解:对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类:pN p p x x x ,,21<1,pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<−=++−其他,,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ, 在pN p p x x x ,,21<1,pn pN pN x x x ,,21++≥1时, )1ln()(ln )(ln θθθ−−+=N n N L ,01)(ln =−−−=θθθθN n N d L d ,所以nN =最大θ.。

2006年考研数学一真题及答案

2006年考研数学一真题及答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学(一)一、填空题 (1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z =01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .(5)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2B A B E =+,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0, 3]上的均匀分布,则{}m a x {,}1P X Y ≤=.二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A )0.dx y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设(,)f x y 为连续函数,则1400(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A )0(,).xf x y dy ⎰⎰(B )00(,).f x y dy ⎰⎰(C )0(,).yf x y dx ⎰⎰(C )00(,).f x y dx ⎰⎰【 】(9)若级数1n n a ∞=∑收敛,则级数(A )1n n a ∞=∑收敛.(B )1(1)n n n a ∞=-∑收敛.(C )11n n n a a ∞+=∑收敛.(D )112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【 】(10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是 (A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(11)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.(C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.(D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】 (12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则 (A )1.C P AP -= (B )1.C PAP -=(C ).TC P AP =(D ).TC PAP = 【 】(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有 (A )()().P A B P A ⋃> (B )()().P A B P B ⋃>(C )()().P A B P A ⋃=(D )()().P A B P B ⋃= 【 】(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<(A )1 2.σσ< (B )1 2.σσ>(C )1 2.μμ<(D )1 2.μμ> 【 】三 解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy xy+=++⎰⎰ 。

南京大学考研高等数学甲2006

南京大学考研高等数学甲2006
������ ������������������������ ������������������������
������������������ ������������ 2 ������������ = ________ = ________ ������ 2 + ������ 2 ������������ = ________
4������ 2 +������ +1 5������ ������ +1
=
4 5
⒉证明:不论������取何值,方程������ 3 − 3������ + ������ = 0,在 −1,1 内至多只有一个实根。
⒋计算二重积分������ = ⒌求幂级数
������
∞ ln ⁡������ +1 ������ =1 ������ +1
⒍设������ ������ 是������的一个连续可微函数,且满足������
������ ������ ������������ = ������ + 1
������ 0
������ ������
������ ������, ������ ������������ = ________
������������ ������������
,其中������可导,则2 ������ ������������ + ������ ������������ = ________
⒍通解为������ = ������������ 2������ + 2������的常微分方程为________ ⒎设������ = ������������������������������������������ ,则������ 18 0 = ________ ⒏������������ ⒐

2006—数一真题、标准答案及解析

2006—数一真题、标准答案及解析

构造格朗日乘子法函数F=f ( x, y ) + λϕ ( x, y )
今ϕ ′ y ( x0 , y0 ) ≠ 0,∴ λ = −
f y′( x0 , y0 ) f ′( x , y )ϕ ′ ( x , y ) 代入(1)得f x′( x0 , y0 ) = y 0 0 x 0 0 ϕ′ ϕ′ y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )
n =1 ∞

( B) ∑ (−1) n an收敛
n =1 ∞

(C ) ∑ an an +1收敛
n =1
( D) ∑
an + an +1 收敛 2 n =1
(Q ∑ an +1也收敛)
n =1

(10)设f ( x, y )与ϕ ( x, y )均为可微函数,且ϕ ′ y ( x, y ) ≠ 0,已知(x0 ,y0 )是f ( x, y )
′ ( x, y ) = 0 ⎧Fx′ =f x′( x, y ) + λϕ x ⎪ ′ =f y′( x, y ) + λϕ ′ ⎨Fy y ( x, y ) = 0 ⎪ ′ ⎩Fλ =ϕ ( x, y ) = 0
(1) (2)
(D)若f x′ (x0 ,y0 ) ≠ 0,则f y′(x0 ,y0 ) ≠ 0
P{| X − μ1 |< 1} > P{| Y − μ2 |< 1},
(A) σ 1 < σ 2. (C) μ1 < μ 2. 三 解答题 15 设区域 D=
(B) σ 1 > σ 2. (D)μ1 > μ 2. 【 】
{( x, y ) x
2
+ y 2 ≤ 1, x ≥ 0 ,计算二重积分 I = ∫∫

2006年考研数学一真题及解析

2006年考研数学一真题及解析

∆y < dy < 0.
dy < ∆y < 0 .
[ A ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解. 【详解】 由 f ′( x ) > 0, f ′′(x ) > 0 知,函数 f ( x ) 单
调增加,曲线 y =
f ( x) 凹向,作函数 y = f ( x) 的图形如
右图所示,显然当 ∆ x > 0 时,
(1) lim
x→ 0
【分析】 本方程为可分离变量型,先分离变量,然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为
dy ⎛ 1 ⎞ = ⎜ − 1⎟ dx , y ⎝x ⎠
两边积分得
ln y = ln x − x + C1 ,整理得
y = Cxe − x .( C = eC1 )
(ห้องสมุดไป่ตู้)设 Σ 是锥面 z =
⎧1 ⎪ , 0 ≤ x ≤ 3 f (x ) = ⎨ 3 . ⎪ ⎩0, 其他

P { max { X ,Y } ≤ 1} = P { X ≤ 1,Y ≤ 1} = P { X ≤ 1} P {Y ≤ 1}
2 ⎛ 11 ⎞ 1 = ( P { X ≤ 1} ) = ⎜ ∫ d x ⎟ = . ⎝ 03 ⎠ 9 2
2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、填空题:1-6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上.
x ln(1 + x) = 2. 1 − cos x 0 【分析】 本题为 未定式极限的求解,利用等价无穷小代换即可. 0 x ln(1 + x) x ⋅x 【详解】 lim = lim = 2. x→ 0 1 − cos x x→ 0 1 2 x 2 y (1 − x ) −x 的通解是 y = Cxe ( x ≠ 0). (2) 微分方程 y′ = x

2006年考研数学一真题

2006年考研数学一真题

(9)若级数 an 收敛,则级数 n1
3
(A) an 收敛 n1
(B) (1)n an 收敛 n1
(C)
anan1 收敛.
n1
(D) an an1 收敛.
n1
2
【分析】 本题主要考查级数收敛的性质和判别法。可以通过举反例或级数的性质来判 定。
【详解】法一:由
n1
an
收敛知
n1
【分析】主要考查考生基本的计算能力。本题 不是封闭曲面,首先想到加一曲面 1 :
使 1 构成封闭曲面,然后利用高斯公式转化为三重积分进行计算即可。
【详解】 令 1 是平面 z 1在锥面 z x2 y2 内的部分取上侧,则
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
y dy f (x0)dx f (x0)x 0 ,故应选(A).
法二: y f (x0 x) f (x0) f ()x, x0 x0 x
因为 f (x) 0 ,所以 f (x) 单调增加,即 f () f (x0) ,又 x 0 ,所以
f ()x f (x0)x 0 ,即 0 dy y .故应选(A).
一元函数
f
(x, y(x)) 的一个极值点,从而 d dx
f (x, y(x))
x x0
0

d dx
f
(x, y(x))
f x( x,
y(x))
f y(x,
y(x)) y(x) ,所以
f x( x0 ,
y(x0 ))
f y(x0,
y(x0 )) y(x0 )
0 ,即

2006年考研数学一真题及解析

2006年考研数学一真题及解析

Aα 1 , Aα 2 ,⋯ , Aα s 也线性相关,故应选( A).
(12)设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B 的第 1 列的 −1 倍加到第 2
⎛ 1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 列得 C ,记 P = 0 1 0 ,则 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠
(A) C = P 1 AP . (C) C = P T AP .
(1) lim
x→ 0
【分析】 本方程为可分离变量型,先分离变量,然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为
dy ⎛ 1 ⎞ = ⎜ − 1⎟ dx , y ⎝x ⎠
两边积分得
ln y = ln x − x + C1 ,整理得
y = Cxe − x .( C = eC1 )
(3)设 Σ 是锥面 z =
消去 λ0 ,得
f x′ ( x 0 , y 0 )ϕ y′ ( x 0 , y 0 ) − f y′ ( x 0 , y 0 )ϕ x′ ( x0 , y0 ) = 0 ,
整理得
f x′ ( x0 , y0 ) =
1
ϕ y′ ( x0 , y0 )
, f y′ ( x0 , y0 )ϕx′ ( x0 , y0 ) .(因为 ϕ y ′ ( x, y) ≠ 0 )
若 f x′ ( x0 , y0 ) ≠ 0 ,则 f y ′ ( x0 , y 0 ) ≠ 0 .故选(D). (11)设 α1 , α 2 ,⋯ , α s 均为 n 维列向量, A 为 m × n 矩阵,下列选项正确的是 (A) (B) (C) 若 α1 ,α 2 ,⋯ ,α s 线性相关,则 Aα 1 , Aα 2 ,⋯ , Aα s 线性相关. 若 α1 ,α 2 ,⋯ ,α s 线性相关,则 Aα 1 , Aα 2 ,⋯ , Aα s 线性无关. 若 α1 ,α 2 ,⋯ ,α s 线性无关,则 Aα 1 , Aα 2 ,⋯ , Aα s 线性相关.

南京大学数学分析高等代数考研真题与解析

南京大学数学分析高等代数考研真题与解析

南京大学数学分析,高等代数考研真题南京大学 2002 年数学分析考研试题一 求下列极限。

(1 x)xcosx(1) lim2;xsin x)ln(1 x)(sin x2(2)设 f ( x) xln( a x) , x ( , a) ,( i ) f ( x) 在 (, a) 上的最大值;( ii )设 x 1 ln a , x 2 ln( ax 1 ) , x n 1二 设 f ( x) sin x1f (x) 在 [2,,试证明ln x三 设 f ( x) 在 x 0 的某个邻域内连续,且 f (0)( 1)求 f (0) ;f ( x)( 2)求 lim2;x 0xf ( x n ) , ( n 2,3,) ,求 lim x n 。

n) 内有无穷多个零点。

0 , limf ( x) ,2 x 01cosx( 3)证明 f ( x) 在点 x 0 处取得最小值。

四 设 f ( x) 在 x0 的某个邻域内具有二阶连续导数,且limf (x)0 ,试证明:x 0x( 1) f (0) f (0) 0 ;( 2)级数f ( 1 ) 绝对收敛。

n 1n五 计算下列积分( 1)求xe xdx;ex1(2) Izxdydz xydzdx yzdxdy ,其中 S 是圆柱面 x 2y 2 1,三个坐标平面及S旋转抛物面 z 2 x 2 y 2 所围立体的第一象限部分的外侧曲面。

六 设 f ( x)C[a, b] , f ( x) 在 ( a, b) 内可导, f (x) 不恒等于常数,且f (a) f (b) ,试证明:在 (a,b) 内至少存在一点 ,使 f ( ) 0 。

七在变力F yzi zxj xyk 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x 2 y 2 z 2 1 ,a2b2c2第一象限的点 M ( , ,,) 取何值时, F 所做的功 W最大,并求 W的最大值。

)问(,,八 ( 1)证明: (1x ) n e x , (n N ,0x n) ;nn(1x) nx 2dx。

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库北大重大第一部分名校考研真题第1章多项式一、判断题1.设Q是有理数域,则P={α+βi|α,β∈Q}也是数域,其中.()[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0,1∈P,故P非空;其次令a=α1+β1i,b=α2+β2i其中α1,α2,β1,β2为有理数,故a±b=(α1+β1i)±(α2+β2i)=(α1±α2)+(β1±β2)i∈Pab=(α1+β1i)(α2+β2i)=(α1α2-β1β2)+(α1β2+α2β1)i∈P又令c=α3+β3i,d=α4+β4i,其中α3,α4,β3,β4为有理数且d≠0,即α4≠0,β4≠0,有综上所述得P为数域.2.设f(x)是数域P上的多项式,a∈P,如果a是f(x)的三阶导数f‴(x)的k 重根(k≥1)并且f(a)=0,则a是f(x)的k+3重根.()[南京大学研] 【答案】错查看答案【解析】反例是f(x)=(x-a)k+3+(x-a)2,这里f(a)=0,并且f‴(x)=(k+3)(k+2)(k+1)(x-a)k满足a是f(x)的三阶导数f‴(x)的k重根(k≥1).3.设f(x)=x4+4x-3,则f(x)在有理数域上不可约.()[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】令x=y+1,则f(y)=y4+4y3+6y2+8y+2,故由艾森斯坦因判别法知,它在有理数域上不可约.二、计算题1.f(x)=x3+6x2+3px+8,试确定p的值,使f(x)有重根,并求其根.[清华大学研]解:f′(x)=3(x2+4x+p).且(f(x),f′(x))≠1,则(1)当p=4时,有(f(x),f′(x))=x2+4x+4所以x+2是f(x)的三重因式,即f(x)(x+2)3,这时f(x)的三个根为-2,-2,-2.(2)若p≠4,则继续辗转相除,即当p=-5时,有(f(x),f′(x))=x-1即x-1是f(x)的二重因式,再用(x-1)2除f(x)得商式x+8.故f(x)=x3+bx2-15x+8=(x-1)2(x+8)这时f(x)的三个根为1,1,-8.2.假设f1(x)与f2(x)为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式,且x4+x2+1整除f1(x3)+x4f2(x3),试求f1(x)与f2(x)的最大公因式.[上海交通大学研]解:设6次单位根分别为由于x6-1=(x2)3-1=(x2-1)(x4+x2+1),所以ε1,ε2,ε4,ε5是x4+x2+1的4个根.由于ε13=ε53=-1,且x4+x2+1∣f1(x3)+x4f2(x3),所以,分别将ε1,ε5代入f1(x3)+x4f2(x3)可得从而f1(-1)=f2(-1)=0即x+1是f1(x)与f2(x)的一个公因式.同理,将ε2,ε4代入f1(x3)+x4f2(x3)可得f1(1)=f2(1)=0,即x-1是f1(x)与f2(x)的一个公因式.所以(x-1)(x+1)是f1(x)与f2(x)的一个公因式.又因为f1(x),f2(x)为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式,所以(f(x),g(x))=x2-1三、证明题1.设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n的根,证明:q∣a0,p∣a n[华中科技大学研]证明:因为p/q是f(x)的根,所以(x-p/q)∣f(x),从而(qx-p)∣f(x).又因为p,q互素,所以qx-p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子],且f(x)=(qx-p)(b n-1x n-1+…+b0,b i∈z比较两边系数,得a0=qb n-1,a n=-pb0⇒q∣a0,p∣a n2.设f(x)和g(x)是数域P上两个一元多项式,k为给定的正整数.求证:f (x)∣g(x)的充要条件是f k(x)∣g k(x)[浙江大学研]证明:(1)先证必要性.设f(x)∣g(x),则g(x)=f(x)h(x),其中h (x)∈P(x),两边k次方得g k(x)=f k(x)h k(x),所以f k(x)∣g k(x)(2)再证充分性.设f k(x)∣g k(x)(i)若f(x)=g(x)=0,则f(x)∣g(x)(ii)若f(x),g(x)不全为0,则令d(x)=(f(x),g(x)),那么f(x)=d(x)f1(x),g(x)=d(x)g1(x),且(f1(x),g1(x))=1①所以f k(x)=d k(x)f1k(x),g k(x)=d k(x)g1k(x)因为f k(x)∣g k(x),所以存在h(x)∈P[x](x),使得g k(x)=f k(x)·h(x)所以d k(x)g1k(x)=d k(x)f1k(x)·h(x),两边消去d k(x),得g1k(x)=f1k(x)·h(x)②由②得f1(x)∣g1k(x),但(f1(x),g1(x))=1,所以f1(x)∣g1k-1(x)这样继续下去,有f1(x)∣g1(x),但(f1(x),g1(x))=1故f l(x)=c,其中c为非零常数.所以f(x)=d(x)f1(x)=cd(x)⇒f(x)∣g(x)3.设f(x),g(x)都是P[x]中的非零多项式,且g(x)=s m(x)g1(x),这里m≥1.又若(s(x),g1(x))=1,s(x)∣f(x).证明:不存在f1(x),r(x)∈P[x],且r(x)≠0,∂(r(x))<∂(s(x))使①[浙江大学研]证明:用反证法,若存在f1(x),r(x)使①式成立,则用g(x)乘①式两端,得f(x)=r(x)g1(x)+f1(x)s(x)②因为s(x)∣f(x),s(x)∣f1(x)s(x),由②式有s(x)∣r(x)g1(x).但(s(x),g1(x))=1,所以s(x)∣r(x).这与∂(r(x))<∂(s(x))矛盾.4.设f(x)是有理数域上n次[n≥2]多项式,并且它在有理数域上不可约,但知f (x)的一根的倒数也是f(x)的根.证明:f(x)每一根的倒数也是f(x)的根.[南开大学研]证明:设b是f(x)的一根,1/b也是f(x)的根.再设c是f(x)的任一根.下证1/c也是f(x)的根.令g(x)=f(x)/d,其中d为f(x)的首项系数,不难证明:g(x)与f(x)有相同的根,其中g(x)是首项系数为l的有理系数不可约多项式.设g(x)=x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0,(a0≠0).由于b n+a n-1b n-1+…+a1b+a0=0①(1/b)n+a n-1(1/b)n-1+…+a1(1/b)+a0=0⇒a0b n+a1b n-1+…+a n-1b+1=0⇒b n+(a1/a0)b n-1+…+(a n-1/a0)b+1/ a0=0 ②由g(x)不可约及①,②两式可得1/a0=a0,a i/a0=a n-i(i=1,2,…,n-1).故a0=±1,a i=±a n-i(i=1,2,…,n-1)③由③式可知,当f(c)=0时,有f(c)=0,且g(1/c)=0,从而f(1/c)=0.5.设f(x)是复系数一元多项式,对任意整数n有f(n)都是整数.证明:f(x)的系数都是有理数.举例说明存在不是整系数的多项式,满足对任意整数n,有f (n)是整数.[浙江大学研]证明:设f(x)=g(x)+ih(x),g(x),h(x)∈R[x]由于∀n∈Z,f(n)=g(n)+ih(n)∈Z,所以h(x)=0.下证g(x)∈Q[x].事实上,令g(x)=a0+a1x+…+a m x m,a m≠0,a i∈R,i=1,2,…,m则有a0+a1+…+a m=g(1)∈Z,a0+a1·2+…+a m·2m=g(2)∈Z,⋮a0+a1(m+1)+…+a m(m+1)m=g(m+1)∈Z.记则有(a0,a1,…,a m)T=(g(1),g(2),…,g(m+1))①又显见∣T∣=m!(m-1)!…2!1!≠0,由①式得(a0,a1,…,a m)=(g(1),g(2),…,g(m+1))T-1这里T-1是有理数域上的矩阵,g(1),g(2),…,g(m+1)均为整数,所以a0,a1,…,a m∈Q.因此f(x)=g(x)∈Q[x].取f(x)=x2/2-1/2,有f(x)=(x-n)(x/2+n/2)+(n2-1)/2可见存在不是整系数的多项式f(x),对任一整数n,有f(n)=(n2-1)/2∈Z.第6章线性空间一、选择题1.下面哪一种变换是线性变换().[西北工业大学研]A.B. C.【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换,比如则也不是线性变换,比如给而不是惟一的.2.在n维向量空间取出两个向量组,它们的秩().[西北工业大学研] A.必相等B.可能相等亦可能不相等C.不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I):0(Ⅱ)(Ⅲ).若选(I)(II),秩秩(II),从而否定A,若选(Ⅱ)(Ⅲ),秩(Ⅲ)=秩(Ⅱ),从而否定C,故选B.二、填空题1.若则V对于通常的加法和数乘,在复数域C上是______维的,而在实数域R上是______维的.[中国人民大学研]【答案】2;4.查看答案【解析】在复数域上令;则是线性无关的.则此即证可由线性表出.在实数域上,令若,其中,则此即在R上线性关.可由线性表出,所以在实数域R上,有三、分析计算题1.设V是复数域上n维线性空间,V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间,试求之维数的一切可能值.[南京大学研]解:取的一组基,再取的一组基则=秩2.设U是由生成的的子空间,W是由生成的的子空间,求(1)U+W:(2)L∩W的维数与基底.[同济大学研]解:(1)令可得.所以由于为的一个极大线性无关组,因此又可得且,故为U+W的一组基.(2)令因为秩=3.所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成:再令,则故ζ为U∩W的一组基.3.设A是数域K上的一个m×n,矩阵,B是一个m维非零列向量.令(1)证明:W关于K n的运算构成K n的一个子空间;(2)设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r.证明W的维数dimW=n-r+1:(3)对于非齐次线性方程组求W的一个基.[华东师范大学研]证明:(1)显然W≠,又因为存在t1,t2使Aα=t1B,Aβ=t2B.所以即kα+lβ∈W,此说明W是K n的子空间.(2)对线性方程组(A,B)X n+1=0,由题设,其解空间V的维数为(n+1)-r (A,B)=n-r+1.任取α∈W,存在t∈K,使所以是线性方程组(A,B)X n+1=0的解.这样,存在W到V的映射,显然,这是W形到V的一个双射.又α1,α2∈W,k∈K,存在t1,t2∈K,使Aα1=t1B,Aα2=t2B,则所以且可见W与V同构,从而有dim W=dim V=n-r+1.(3)由(2)W与如下齐次线性方程组解空间同构.该方程组的一个基础解系为:其在σ之下原像即为W的一组基.4.设V 1,V2均为有限维线性空间V的子空间,且,则和空间与另一个重合.[上海交通大学研]证明:因为所以由题设所以即当时,由得此时当时因为,所以,此时5.设V是数域K上n维线性空间,V1,…,Vs是V的s个真子空间,证明:(1)存在,使得(2)存在V中一组基,使[北京大学研]证明:(1)因V 1,…,Vs是V的真子空间,由上例,存在(2)令,同样有且显然,线性无关.令,则存在,且线性无关,如此继续下去,可得线性无关向量组(构成V的基),且有6.设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合,对于f,g∈V,a∈R,分别用下列式子定义f+g与af:则V成为实数域上的一个线性空间.设f0(x)=1,f1(x)=cosx,,f2(x)=cos2x,f3(x)=cos3x,(1)判断f0,f1,f2,f3是否线性相关,写出理由;(2)用<f,g>表示f,g生成的线性子空间,判断<f0,f1>+<f2,f3>是否为直和,写出理由.[北京大学研]解:(1)令k0f0+k1f1+k2f2+k3f3=0,分别取x=0,得解之得k0=k1=k2=k2=0,说明f0,f1,f2,f3线性无关.(2)因为<f,g>=L(f,g),所以从而又,故L(f0,f1,f2,f3)是<f0,f1>与<f2,f3>的直和.。

高等代数考研真题 第一章 多项式

高等代数考研真题  第一章 多项式

第一章 多项式1、(清华2000—20分)试求7次多项式()f x ,使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。

2、(南航2001—20分)(1)设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ,求p,q 之值。

(2)设f(x),g(x),h(x)∈R[x],而满足以下等式(x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0(x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明:x 2+1∣f(x),x 2+1∣g(x)3、(北邮2002—12分)证明:x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n (这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n )。

4、、(北邮2003—15分)设在数域P 上的多项式g 1(x),g 2(x),g 3(x),f(x),已知g 1(x)∣f(x),g 2(x)∣f(x), g 3(x)∣f(x),试问下列命题是否成立,并说明理由:(1)如果g 1(x),g 2(x), g 3(x)两两互素,则一定有g 1(x),g 2(x),g 3(x)∣f(x) (2)如果g 1(x),g 2(x), g 3(x)互素,则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、(北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身,则称之为素数。

证明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。

6、(大连理工2003—12分)证明:次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是,对任意的多项式g(x),h(x) ,由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x),或者对某一正整数m ,f(x)∣h m(x)。

7、(厦门2004—16分)设f(x),g(x)是有理数域上的多项式,且f(x)在有理数域上不可约。

南京大学真题2006年

南京大学真题2006年

南京大学真题2006年(总分:72.00,做题时间:90分钟)一、{{B}}Part Ⅰ Vocabulary{{/B}}(总题数:10,分数:10.00)1.You don't object ______ you by your first name, do you?(分数:1.00)A.that I callB.for callingC.that I am callingD.to my calling √解析:object to (doing) sth. 不赞成,反对做某事。

句中my是calling的逻辑主语; object that结构中,that引出的部分应该是反对某事的理由,本题表达的不是反对理由,因此A项不符合。

2.______ initial recognition while still quite young.(分数:1.00)A.Most famous scientists achieved √B.That most famous scientists schievedC.Most famous scientists who achievedD.For most famous scientists to achieve解析:根据句子结构判断,空缺部分应该是句子主句部分。

while引导的是时间状语,四个选项中,只有A 项是独立、完整的句子。

3.The Chisos Mountains in Big Bend National Park in Texas were created by volcanic eruptions that occurred ______.(分数:1.00)A.the area in which dinosaurs roamedB.when dinosaurs roamed the area √C.did dinosaurs roam the areaD.dinosaurs roaming the area解析:本题空缺部分应该在句中做状语,选项B符合。

南京大学数学系《801高等代数》历年考研真题(含部分答案)专业课考试试题

南京大学数学系《801高等代数》历年考研真题(含部分答案)专业课考试试题

2006年南京大学801高等代数考研真题
2005年南京大学高等代数考研真题及详解
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科目代码:801 科目名称:高等代数
2011年南京大学801高等代数考研真题
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2007年南京大学801高等代数考研真题

2006年考研数学一真题及解析

2006年考研数学一真题及解析

∆y > dy = f ′( x0 )dx = f ′( x0 )∆x > 0 ,故应选(A).
( 8 ) 设
f (x , y ) 为 连 续 函 数 , 则

π 4
0
dθ ∫ f ( r cos θ , r sin θ )r dr 等于
0
1
(A)

2 2
0
dx ∫
1− x2
x
f ( x, y)d y .
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【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:

P { max { X ,Y } ≤ 1} = P { X ≤ 1,Y ≤ 1} =
S阴 1 = . S 9
二、选择题:7-14 小题,每小题 4 分,共 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7)设函数
于是有
B A − E = 4 ,而 A − E =
1 1 = 2 ,所以 B = 2 . −1 1
( 6) 设 随机 变量
X 与Y 相 互 独 立 , 且 均 服 从 区 间 [ 0, 3] 上 的 均 匀 分 布 , 则
1 9
.
P { max { X ,Y } ≤ 1} =
【分析】 利用 X 与 Y 的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知, X 与 Y 具有相同的概率密度
⎛ 2 1⎞ ⎟ , E 为 2 阶单位矩阵,矩阵 B 满足 BA = B + 2 E ,则 ⎝ −1 2 ⎠
B = 2 .
【分析】 将矩阵方程改写为 AX = B或XA = B或AXB = C 的形式, 再用方阵相乘的行 列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设,有
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