2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步23空间直角坐标系课件北师大版必修2
∴a2－2a＋6＝a2－4a＋8. ∴a＝1.∴点 P(1,0,0)． (2)设 M(x,0，z)，则有
x－12＋－22＋z＋12＝ x－22＋z－22. ∴x＋3z－1＝0. ∴M 点的轨迹是 xOz 平面内的一条直线．直线方程为 x＋3z－1 ＝0.
5．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐 标是________．
解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反 数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．
答案：(－4,1，－2)
课堂探究 互动讲练 类型一 空间中点的坐标的确定
[例 1] 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，|AD|＝3，|AB| ＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐 标．
|素养提升|
1．空间中特殊点的坐标 (1)原点坐标为(0,0,0)；x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，z 轴上的点 的坐标为(0,0，z)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，其中 x，y，z 为任 意实数． (2)xOy 平面上的点的坐标为(x，y,0)，yOz 平面上的点的坐标为 (0，y，z)，zOx 平面上的点的坐标为(x,0，z)．其中 x，y，z 为任意 实数． 2．空间直角坐标系中的中点坐标公式 空间中任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点 P0 的坐标 为x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
答案：D
3．已知点 A(－2,4,0)，B(3,2,0)，则线段 AB 的中点坐标是 ________．
解 析 ： 由 两 点 P(x1 ， y1 ， z1) ，Q(x2 ， y2 ，z2) 的 中 点坐 标 为 x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2，知线段 AB 的中点坐标是12，3，0.
2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3 空间直角坐标系 2.3.1 空间直
①关于 x 轴(横轴)对称的点的坐标是 P′(x，－y，－z)． ②关于 y 轴(纵轴)对称的点的坐标是 P′(－x，y，－z)． ③关于 z 轴(竖轴)对称的点的坐标是 P′(－x，－y，z)． ④关于 xOy 坐标平面对称的点的坐标是 P′(x，y，－z)． ⑤关于 yOz 坐标平面对称的点的坐标是 P′(－x，y，z)． ⑥关于 xOz 坐标平面对称的点的坐标是 P′(x，－y，z)．
方法归纳 空间直角坐标系中点的对称问题要类比平面直角坐标系中点 的对称问题思考解决． (1)点 P 关于定点 G 对称点 P′的坐标，即可视 G 为线段 PP′ 的中点求解，特别地，点 P(x0，y0，z0)关于原点 O 的对称点 P′(－x0，－y0，－z0)． (2)点 P 关于坐标轴或坐标平面对称点 P′的坐标，一般遵循 “关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标的符号相反”的口 诀．特别地，在空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种 特殊对称点的坐标如下：
学法 指导
通过建立空间直角坐标系，推导出空间两点间的 距离公式，通过对公式的应用，体会其与平面内 两点间距离求法的异同.
1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的概念 从空间某一个定点O引三条___互__相__垂__直_____且有相同单位长 度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O_坐__标__轴______， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 ___x_O_y_平__面______、__y_O__z平__面_______和___z_O_x_平__面______
确定空间任一点的坐标 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点，且正方体棱长为1，请建立适当的直角坐 标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标． (链接教材P119例2)
2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.3 空间直角坐标系 2.3.3 空间两点间
空间两点间的距离公式一、教材的地位和作用距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离。
点又是确定直线、平面的几何要素之一，所以对以后点、直线、平面的距离公式的推导和进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。
二、教学目标1．知识与技能：（1）掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标。
（2）掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。
2.过程与方法：通过空间直角坐标系的建立，空间两点距离公式的推导，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习，培养学生类比，迁移，化归的能力。
3.情感态度与价值观：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一问数学学科，在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想。
三、教学重难点教学重点：空间两点间的距离公式和它的简单应用教学难点：空间两点间的距离公式的推导四、教法学法和教具创设问题情境——引导探究——归纳与总结，引导、启发、总结和归纳，把类比思想，化归思想贯穿始终以符合学生的现有知识水平的特点，从而促进思维能力的进一步发展，通过探索活动发现规律，解决问题，发展探究能力和创造能力。
教具：多媒体五、教学过程温故知新1.建立空间直角坐标系空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴.记作：空间直角坐标系O-xyz.2.空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中, 用一个三元有序数组来刻画空间点的位置,,)P x y z （. x 是横坐标, y 是纵坐标, z 是竖坐标.3.长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c . 则对角线长d 创设情境一楼屋顶C’处有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达楼房角A 处，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4米，蜂巢能被击落吗？设计意图：通过谈话的方式将知识与生活中有实际联系的蜂巢能否被击落的问题创设情境，增强讲授的吸引力，提高学生的兴趣。
高中数学第2章平面解析几何初步2.3-2.3.1空间直角坐标系课件苏教版必修2
这是强者的精神宣言．然而，你是否思考过：当船航 行在茫茫无际的大海上时，四周只见水，不见物，那么， 怎样知道船所在的位置呢？怎样知道船离目的地还有多 远呢？
1．空间直角坐标系：从空间某一个定点 O 引三条互 相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直 角坐标系 O-xyz，点 O 叫作坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫 作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面分 别称为坐标平面 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．
点 E 在 xDy 面上射影为 B， B(1，1，0)，竖坐标为12， 所以 E1，1，12，
[变式训练] 3.在空间直角坐标系 O-xyz 中，作出点 P(5，4，6)． 解：第一步，从原点出发沿 x 轴正方 向移动 5 个单位；第二步，沿与 y 轴平行 的方向向右移动 4 个单位；第三步，沿与 z 轴平行的方向向上移动 6 个单位(如图所示)．
(－x，y，－z)
(－x，y)
(－x，－y，z)
题型 1 求空间内点的坐标
[典例 1] 已知棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1， 建立如图①和图②所示的不同的空间直角坐标系，试分 别写出正方体各顶点的坐标．
图①
图②
[变式训练] 1．在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，E，F 分别 是 BB′，D′B′的中点，棱长为 1，求 E，F 点的坐标． 解：建立如图所示空间直角坐标系，则
一、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点 M， 作出点 M 在三条坐标轴 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影， 其相应数轴上的坐标依次为 x，y，z，则把有序实数组(x， y，z)叫作点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x， y，z)，其中 x 叫作点 M 的横坐标，y 叫作点 M 的纵坐标， z 叫作点 M 的竖坐标．
2017_2018版高中数学第二章解析几何初步3_3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2
因此x＝±1，因此点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
例3 解 由题图可知，P( ， ， )．
∵Q点在CD上，
∴设Q(0,1，z)，z∈[0,1]，
∴|PQ|＝
，
＝ ，
∴当z＝ 时，|PQ|min＝ .
跟踪训练3 解 ∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，
∴设点M(a,2a,0)，
那么|MP|＝
＝ ＝ ，
∴当a＝1时，|MP|取最小值3 ，现在M(1,2,0)，
∴当点M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3 .
当堂训练
1．C 2.D 3.B 4.B
5．3
解析 |AB|＝
＝ .
当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为 ＝3 .
2．假设已知两Leabharlann 坐标求距离，那么直接代入公式即可．假设已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式成立相应方程求解．
答案精析
知识点
试探 .
题型探讨
例1 解 (1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．
(2)|MD|＝
＝ ，
|MN|＝ ＝ .
跟踪训练1 解 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，成立如下图的空间直角坐标系．
A. B．2
C．11 D．3
4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )
A. aB. a
C．aD. a
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，那么|AB|的最小值为________．
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推行，它能够求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导进程表现了化空间为平面的转化思想．
高中数学第二章解析几何初步2-3空间直角坐标系2-3-1空间直角坐标系的建立2-3-2空间直角坐标系中点的坐标学
高中数学第二章解析几何初步2-3空间直角坐标系2-3-1空间直角坐标系的建立2-3-2空间直角坐标系中点的坐标学案北师大版必修23.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置.(重点、难点)[基础·初探]教材整理空间直角坐标系阅读教材P89至P91“例3”以上部分，完成下列问题.1.空间直角坐标系的建立：(1)空间直角坐标系建立的流程图：↓↓(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直；②四指先指向x轴正方向；③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；④大拇指的指向即为z轴正方向.(3)有关名称：如图231所示，图231①O叫作原点；②x，y，z轴统称为坐标轴；③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，由x，y轴确定的平面记作xOy平面，由y，z轴确定的平面记作yOz平面，由x，z轴确定的平面记作xOz平面.2.空间直角坐标系中点的坐标：(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画.(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标.(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组.(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系.( )(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上.( )(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0).( )(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同.( )【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√[小组合作型]。
2017_2018版高中数学第二章解析几何初步3_1空间直角坐标系的成立3_2空间直角坐标系中点的坐
|CC1|＝|AA1|＝5，那么点C1(4,3,5)．
(2)由(1)知C(4,3,0)，C1(4,3,5)，那么C1C的中点为( ， ， )，
即N(4,3， )．
类型二 已知点的坐标确信点的位置
例2 在空间直角坐标系中作出点P(5,4,6)．
反思与感悟 已知点P的坐标确信其位置的方式
(1)利用平移点的方式，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.
(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的极点确信点P的位置．
(3)通过作三个别离与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确信点P.
引申探讨
1．假设本例中的正四棱锥成立如下图的空间直角坐标系，试写出各极点的坐标．
1题图 2题图
2．假设本例中的条件变成“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10”，试成立适当的空间直角坐标系，写出各极点的坐标．
反思与感悟 (1)成立空间直角坐标系时应遵循的两个原那么
①让尽可能多的点落在座标轴上或坐标平面上．
跟踪训练3 在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关于________对称．
例4 在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1,3，－5)B．(1，－3,5)
C．(1,3,5)D．(－1，－3,5)
反思与感悟 此题易错点是把关于平面对称与关于线对称弄混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如此题，点P关于平面xOy对称，那么对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变成其相反数．
C．关于xOy平面对称D．关于z轴对称
3．点A(－1， ，2)在xOz平面的投影点的坐标为( )
A．(－1，－ ，2)B．(－1,0,2)
高中数学 第二章 解析几何初步 2.3 空间直角坐标系素材 北师大版必修2(2021年最新整理)
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空间直角坐标系过空间定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，具有相同的单位长度。
这三条数轴分别称为x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴（竖轴)，统称为坐标轴。
坐标轴（coordinate axis)用来定义一个坐标系的一组直线或一组线;位于坐标轴上的点的位置由一个坐标值所唯一确定，而其他的坐标轴上的点的位置由一个坐标值所唯一确定，而其他的坐标在此轴上的值是零。
定义：各轴之间的顺序要求符合右手法则,即以右手握住Z轴，让右手的四指从X轴的正向以90度的直角转向Y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向。
这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系.与之相对应的是左手空间直角坐标系。
一般在数学中更常用右手空间直角坐标系，在其他学科方面因应用方便而异.三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面，称为坐标面。
它们是：由x轴及y轴所确定的xOy平面；y轴与z轴所确定的yOz 平面；z轴与x轴所确定的zOx平面。
这三个相互垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个象限．位于x,y，z轴的正半轴的卦限称为第一象限,从第一象限开始，在xOy平面上方的象限，按逆时针方向依次称为第一、二,三，四象限;下方的卦限依次称为第五,六，七，八象限。
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.4 空间直角坐标系学案(含解析)新人教B版必修2
2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式1．了解空间直角坐标系的建系方式．(重点)2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点)3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(重点))4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(难点[基础·初探]教材整理1 空间直角坐标系阅读教材P106～P107“练习”以上内容，完成下列问题．1．空间直角坐标系本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指轴的正方向，中指指向空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )．( ) (2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )．( ) (3)在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )．( ) (4)在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．( ) 【解析】 (1)错误．x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0. (2)、(3)、(4)正确．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 教材整理2 空间两点间的距离公式 阅读教材P 108内容，完成下列问题．1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离|OP |2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离|P 1P 2|＝在空间直角坐标系中，A (－1,2,3)，B (2,1，m )，若|AB |＝110，则m 的值为________． 【解析】 |AB |＝(－1－2)2＋(2－1)2＋(3－m )2＝110，∴(3－m )2＝100,3－m ＝±10. ∴m ＝－7或13. 【答案】 －7或13[小组合作型]11111G 在棱CD上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标．【精彩点拨】 要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标． 【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知FM ＝12、FN ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 点G 在y 轴上，其x 、z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故HK ＝12、CK ＝18.∴DK ＝78.故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．[再练一题]1．在棱长都为2的正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱ABC A 1B 1C 1各顶点的坐标.【导学号：45722118】【解】 取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连接OA ，OO 1， 根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且OA ＝32×2＝3，以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则正三棱柱ABCA1B1C1各顶点的坐标分别为：A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2).(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．【精彩点拨】对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．【自主解答】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12)．任意一点P x，y，z，关于原点对称的点是P1－x，－y，－z；关于x轴横轴对称的点是P2x，－y，－z；关于y轴纵轴对称的点是P3－x，y，－z；关于z 轴竖轴对称的点是P4－x，－y，z；关于xOy平面对称的点是P5x，y，－z；关于yOz平面对称的点是P6－x，y，z；关于xOz平面对称的点是P7x，－y，z,求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.[再练一题]2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x 轴、y轴对称的点M3，M4.【解】由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3)．[探究共研型]探究1【提示】 |PQ |＝(1－4)2＋(0－3)2＋(1＋1)2＝22.探究2 上述问题中，若在z 轴上存在点M ，使得|MP |＝|MQ |，请求出点M 的坐标． 【提示】 设M (0,0，z )，由|MP |＝|MQ |， 得(－1)2＋02＋(z －1)2＝42＋32＋(－1－z )2， ∴z ＝－6.∴M (0,0，－6)．如图241所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求线段MN 的长度．图241【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系，求出点M 、N 的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．【自主解答】 如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[再练一题]3．如图242所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E 分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．图242【解】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0)B ．(－1,0,0)，(－1,2,0)C ．(－1,0,0)，(－1,0,0)D ．(－1,2,0)，(－1,2,0)【解析】 点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)，点A (－1,2,1)在xOy 平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．【答案】 B2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对【解析】 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．【答案】 A3．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________.【导学号：45722119】【解析】 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴线段AB 的中点坐标为(4,0，－1)． 【答案】 (4,0，－1)4．设A (4，－7,1)，B (6,2，z )，|AB |＝11，则z ＝________. 【解析】 由|AB |＝(6－4)2＋(2＋7)2＋(z －1)2＝11， 解得z ＝7或－5. 【答案】 7或－55．V ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，若AB ＝2，VO ＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．【解】 以底面中心O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∵V 在z 轴正半轴上，且|VO |＝3，它的横坐标与纵坐标都是零， ∴点V 的坐标是(0,0,3)．而A 、B 、C 、D 都在xOy 平面上，∴它们的竖坐标都是零．又|AB|＝2，∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．。
2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系课件北师大版必修220171016317
这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,是平面直角坐 标系中中点坐标公式的拓展.
【做一做2-1】 点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A.y轴上 B.xOy平面上 C.xOz平面上 D.yOz平面上 答案:C 【做一做2-2】 在空间直角坐标系中,x轴上的点的坐标可记为 ( ) A.(0,b,0) B.(a,0,0) C.(0,0,c) D.(0,b,c) 答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标有两个为0,则此点是坐标轴 上的点,可直接在坐标轴上作出此点. 2.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标有且只有一个为0,则此点不在坐 标轴上,但在某一坐标平面内,可以按照类似于平面直角坐标系中 作点的方法作出此点. 3.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标都不为0,则需要按照一定的步骤 作出该点,一般有三种方法: (1)先在x轴上取横坐标为x0的点M1;再将M1在xOy平面内沿与y轴 平行的方向向左(y0<0)或向右(y0>0)平移|y0|个单位长度,得到点M2; 再将点M2沿与z轴平行的方向向上(z0>0)或向下(z0<0)平移|z0|个单 位长度,即可得到点M(x0,y0,z0).
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 在空间直角坐标系中,作出下列各点: A(-2,4,4),B(3,-4,2),C(4,0,-3). 解:A(-2,4,4),B(3,-4,2),C(4,0,-3)的位置如图所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
确定点的坐标
【例2】 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所 在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
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3.3 空间两点间的距离公式1.会推导和应用长方体对角线长公式.(重点)2.会推导空间两点间的距离公式.(重点)3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题.(难点)[基础·初探]教材整理空间两点间的距离公式阅读教材P92“练习”以下至P94“例4”以上部分，完成下列问题.1.长方体的对角线：(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线.(如图239)图239(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d2.空间两点间的距离公式：(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )A.243B.221C.9D.86【解析】|AB|＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.【答案】 D[小组合作型]已知△ABC(1)求△ABC中最短边的边长；(2)求AC 边上中线的长度.【精彩点拨】 本题考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可. 【自主解答】 (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6， |AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72， ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.[再练一题]1.如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________.【解析】 由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|PA |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝2， 或|PA |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1＋1)2＝ 6. 【答案】2或 6已知A (x,5－、B 两点的坐标，并求此时的|AB |.【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标.【自主解答】 由空间两点的距离公式得|AB |＝ (1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357. 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.[再练一题]2.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)，B (1,0，－3).在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【解】 假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形. 由题意可知y 轴上的所有点都能使|MA |＝|MB |成立， 所以只要再满足|MA |＝|AB |，就可以使△MAB 为等边三角形. 因为|MA |＝32＋(－y )2＋12＝10＋y 2， |AB |＝2 5.于是10＋y 2＝25，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，此时点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).[探究共研型]探究1 角坐标系O xyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上.当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值.图2310【提示】 当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2.因为点Q 在线段CD 上， 故设Q (0，a ，z ). 则|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |取得最小值，且最小值为22a .即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ |有最小值，且最小值为22a . 探究2 在上述问题中，当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值.【提示】 因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ ⊥AB 时，|PQ |最短. 连接AQ ，BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ |＝|BQ |，所以△QAB 是等腰三角形，所以当P 是线段AB 的中点时，|PQ |取得最小值，由(1)知最小值为22a . 已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2).(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小.【精彩点拨】 本例中有两两垂直的直线，可以以它们为坐标轴建系求解，(2)问可利用函数知识来解决.【自主解答】 (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ， ∴AB 、BC 、BE 两两垂直.以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1.(2)∵|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，∴当a ＝22时，|MN |min ＝22.合理地建立空间直角坐标系是解决问题的关键，而研究某量的最值的问题通常将这个量表示为某一个未知量的函数，通过研究函数的最值而得到.[再练一题]3.如图2311，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，点P 是DM 上的点，DP ＝a ，当a 为何值时，NP 的长最小？图2311【解】 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0,0,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (2,1,0)，N (1,2,3)， 设点P 的坐标为(x ，y,0)， 则x ＝2y (0≤y ≤1).|NP |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝5y 2－8y ＋14 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545， 所以当y ＝45时，|NP |取最小值3305，此时a ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝455， 所以当a ＝455时，NP 的长最小.1.在空间直角坐标系中，设A (1,2，a )，B (2,3,4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( ) A.3或5 B.－3或－5 C.3或－5D.－3或5【解析】 由题意得|AB |＝(1－2)2＋(2－3)2＋(a －4)2＝3，解得a ＝3或5，故选A.【答案】 A2.已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】 由距离公式得：|AB |＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89， |AC |＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75， |BC |＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14， ∴|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，∴△ABC 为直角三角形. 【答案】 C3.已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________. 【解析】 ∵P 在z 轴上，可设P (0,0，z )，由|PA |＝|PB |， ∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝ (2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3. 【答案】 (0,0,3)4.点A (1，t,0)和点B (1－t,2,1)的距离的最小值为______. 【解析】 |AB |＝t 2＋(t －2)2＋1＝2(t －1)2＋3， ∴当t ＝1时，|AB |的最小值为 3. 【答案】35.如图2312，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且A ′N ＝3NC ′，试求MN 的长.图2312【解】 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a ， 所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a ).由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a .因为A ′N ＝3NC ′，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a . 根据空间两点间距离公式，可得： |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－a 2＝64a .。