2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.2.4精要课件 二面角及其度量

1 2 → ∴cos〈n，AD〉＝ ＝ . 1 6 × 6 2 → 设平面 SAB 与 SCD 的夹角为 θ，由图知 θ＝〈n，AD〉为锐 2 角，即 tan θ＝ . 2
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.4
小结
本 专 题 栏 目 开 关
当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，
用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平 面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法 向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们 完全可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还 是锐二面角一般是明显的．
∴二面角的大小为 60° .
答案 60°
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.4
小结
本 专 题 栏 目 开 关
若 AB， 分别是二面角 α—l—β 的两个面 CD
内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的平面角就是 → → 向量AC与BD的夹角(如图所示)．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 如图所示，在 120° 的二面角 α—AB—β 中 ， AC ⊂ α ， BD ⊂ β ， 且 AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为 A、B.已 知 AC＝AB＝BD＝6，试求线段 CD 的长．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.4
探究点一 定义法求二面角 问题 1 如何找二面角的平面角？
本 专 题 栏 目 开 关
答案
(1)定义法
由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目 选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识． (2)垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角． (3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作 法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．
3.2.4
本 专 题 栏 目 开 关
∴∠EOF 等于面 EAC 与平面 ABCD 的夹角(或补角)． → → OE· OF 2 → → cos〈OE，OF〉＝ ＝ . 2 → → |OE||OF| ∴二面角 E—AC—D 的大小为 45° .
研一研·问题探究、课堂更高效
方法二 建系如方法一，∵PA⊥平面 ABCD， → ∴AP＝(0,0，a)为平面 ABCD 的法向量， a a → → b AE＝2，－2，2，AC＝(b,0,0)．
研一研·问题探究、课堂更高效
例 3 如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中 ， ∠ABC ＝ 90°， SA⊥ 平 面 1 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，求平面 2 SCD 与平面 SAB 所成二面角 α 的正切值．
本 专 题 栏 目 开 关
3.2.4
解 方法一 延长 BA、CD 交于 E 点． 1 ∵AD 綊 BC，∴AD 为△EBC 的中位线，A 2 为 BE 的中点． 面 SCD∩面 SAB＝SE，过 A 作 AH⊥SE 于 H 点，连接 HD. ∵AD⊥面 SAB，∴HD⊥SE， ∴∠AHD 为二面角 A—SE—D 的平面角．
研一研·问题探究、课堂更高效
2 在 Rt△SAE 中，AH＝ ， 2 1 AD 2 2 在 Rt△AHD 中，tan∠AHD＝ ＝ ＝ . AH 2 2 2 2 ∴二面角 A—SE—D 的正切值为 . 2 即平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角 α 的正切值为 2 . 2
3.2.4
本 专 题 栏 目 开 关
3.2.4
怎样利用向量法求二面角？
答案 (1)分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直的两个向 量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；
本 专 题 栏 目 开 关
(2)通过平面的法向量求解：设二面角的两个面的法向量分别为 n1 和 n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或 π－〈n1，n2〉)． 利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐 角还是钝角．
研一研·问题探究、课堂更高效
例1 如图所示，S 是△ABC 所在平面外一点，
3.2.4
且 SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB ＝BC，E 是 SC 的中点，DE⊥SC 交 AC 于 D.求二面角 E—BD—C 的大小．
本 专 题 栏 目 开 关
解 ∵SB＝BC，E 为 SC 的中点， ∴SC⊥BE. 由题设知，SC⊥ED， 而 ED∩EB＝E， ∴SC⊥平面 BDE，∴SC⊥BD. 又 SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BD. ∴BD⊥平面 SAC， ∴∠EDC 为二面角 E—BD—C 的平面角．
本 专 题 栏 目 开 关
3.2.4
解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB， → → → → ∴CA· ＝0，BD· ＝0， AB AB
又∵二面角 α—AB—β 的平面角为 120° ， → → ∴〈CA，BD〉＝180° －120° ＝60° . → → → → ∴CD2＝CD2＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 →2 → → → → → → ＝CA ＋AB ＋BD ＋2CA· ＋2CA· ＋2BD· AB BD AB ＝3×62＋2×62cos 60° ＝144，∴CD＝12.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.4
方法三
由题设条件知，以点 A 为坐标原点，
分别以 AD、AB、AS 所在直线为 x 轴、y 轴、
本 专 题 栏 目 开 关
z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)． 则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)， 1 D ，0，0，S(0,0,1)． 2 → → 1 SD＝ ，0，－1，SC＝(1,1，－1)， 2
本 专 题 栏 目 开 关
3.2.4
解
取 VB 的中点为 E，
连接 AE，CE. ∵VA＝AB＝BC＝VC， ∴AE⊥VB，CE⊥VB. ∴∠AEC 是二面角 A—VB—C 的平面角．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.4
设 AB＝a，连接 AC，在△AEC 中， 3 AE＝EC＝ a，AC＝ 2a， 2
研一研·问题探究、课堂更高效
方法二
3.2.4
本 专 题 栏 目 开 关
易证△SCD 在面 SAB 上射影为△SAB. 5 5 在△SCD 中，SD＝ ，SC＝ 3，DC＝ ， 2 2 3 5 1 6 2 2 － ∴S△ SCD＝ × 3· ＝ . 2 2 2 4 1 又 S△ SAB＝ ，设平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角为 θ， 2 S△SAB 6 2 ∴cos θ＝ ＝ ，∴tan θ＝ . 2 S△SCD 3
小结 利用定义法求二面角的过程要体现一作、二证、三计 算．即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角 为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角的 大小．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 1 如图，ABCD 是正方形，V 是平面 ABCD 外一点，且 VA＝VB＝VC＝AB，求二面 角 A—VB—C 的余弦值．
本 专 题 栏 目 开 关
由余弦定理可知： 3 2 3 2 2 a ＋ a － 2a 2 1 2 cos∠AEC＝ ＝－ ， 3 3 3 2× a× a 2 2 1 ∴二面角 A—VB—C 的余弦值是－ . 3
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 问题 用向量方法求二面角
填一填·知识要点、记下疑难点
3.2.4
1．二面角的概念 (1)二面角的定义： 平面内的一条直线把平面分成
本 专 题 栏 目 开 关
两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条
两个半平面 直线出发的______________所组成的图形叫做
二面角．如图所 ______，每个半平面叫做二面角的______，如图中的 α，β.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2
答案
3.2.4
如何利用面积射影求二面角？
教材 P110 例 2 结论：如图，已知二面角 π α—l—β 的大小为 θ (0≤θ≤ )，在 α 内有△ABC， 2
本 专 题 栏 目 开 关
它在 β 内的射影为△A′BC，它们的面积分别为 S′ S，S′，则有 cos θ＝ . S
3.2.4
3.2.4 二面角及其度量
【学习要求】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单
本 专 题 栏 目 开 关
图形中的二面角的平面角． 2．掌握求二面角的基本方法、步骤． 【学法指导】 二面角可以通过作二面角的平面角来求，但作平面角比较困 难，利用向量求二面角的平面角只需求出两个平面的法向量， 经过简单运算即可，体现了向量的工具性.
研一研·问题探究、课堂更高效
设 SA＝a，则 SB＝ 2a， 又∵AB⊥BC，由三垂线定理，SB⊥BC. ∴在 Rt△SBC 中，SC＝2a. 在 Rt△SAC 中，∵SA＝a，SC＝2a，∴∠SCA＝30° .
本 专 题 栏 目 开 关
3.2.4
故∠EDC＝60° ，即二面角 E—BD—C 的大小为 60° .
(2)二面角的记法：棱为 l，两个面分别为 α，β 的二面角，记 作 α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作 A—l—B.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.2.4
(3)二面角的平面角：在二面角 α—l—β 的棱上任取一点 O， 在两半平面内分别作射线 OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二 面角 α—l—β 的平面角，如图所示，由等角定理知，这个平 面角与点 O 在 l 上的位置无关．
研一研·问题探究、课堂更高效
例2
3.2.4
(教材 P109 例 1)二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、
BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB. 已知 AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2 17，则该二面角的
本 专 题 栏 目 开 关