第21章一元二次方程考点

合集下载

九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识点大全(带答案)

九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识点大全单选题1、已知关于x 的一元二次方程标kx 2−(2k −1)x +k −2=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．k >−14B ．k <14C ．k >−14且k ≠0D ．k <14且k ≠0答案：C分析：由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．解：由题可得：{k ≠0[−(2k −1)]2−4k (k −2)>0, 解得：k >−14且k ≠0；故选：C ．小提示：本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．2、已知A =x 2+6x +n 2，B =2x 2+4x +2n 2+3，下列结论正确的个数为( )①若A =x 2+6x +n 2是完全平方式，则n =±3；②B －A 的最小值是2；③若n 是A +B =0的一个根，则4n 2+1n 2=659；④若(2022−A )(A −2019)=2，则(2022−A )2+(A −2019)2=4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B分析：①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．解：①∵A =x 2+6x +n 2是完全平方式，∴n =±3，故结论正确；②∵B -A=2x 2+4x +2n 2+3-（x 2+6x +n 2）=x 2-2x +n 2+3=（x -1）2+n 2+2，而（x -1）2+n 2≥0，∴B -A ≥2，∴B -A 的最小值是2，故结论正确；③∵A +B =x 2+6x +n 2+2x 2+4x +2n 2+3=3x 2+10x +3n 2+3，把x =n 代入3x 2+10x +3n 2+3=0，得3n 2+10n +3n 2+3=0，即6n 2+10n +3=0，解得n =−5±√76 当n =−5+√76时，2n +1n =−5+√73+−5−√73=−103,∴4n 2+1n 2=(2n +1n )2−4=1009−4=649当n =−5−√76时，2n +1n =−5−√73+−5+√73=−103 ∴4n 2+1n 2=(2n +1n )2−4=1009−4=649;故结论错误； ④∵（2022-A +A -2019）2=（2022-2019）2=（2022-A ）2+（A -2019）2+2（2022-A ）（A -2019）=（2022-A ）2+（A -2019）2+2×2=9，∴（2022-A ）2+（A -2019）2=5；故结论错误；故选B ．小提示：本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．3、已知x＝a是一元二次方程x2−2x−3=0的解，则代数式2a2−4a的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6答案：B分析：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．解：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a=6，故选：B．小提示：本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．4、已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6D．x1=﹣2，x2=﹣6答案：D分析：根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．小提示：本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．5、已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么m3+2m2−2025m+2022的值为（）A．−2022B．0C．2022D．4044答案：B分析：根据题意有m2+3m−2022=0，即有m3+3m2−2022m=0，据此即可作答．∵m为x2+3x−2022=0的根据，∴m2+3m−2022=0，且m≠0，∴m3+3m2−2022m=0，则有原式=(m3+3m2−2022m)−(m2+3m−2022)=0−0=0，故选：B．小提示：本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x−2022=0得到m2+ 3m−2022=0是解答本题的关键．6、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．7、若α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，且αβ−2α−2β=−11，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5答案：C分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=−b,αβ=−1，代入αβ−2α−2β=−11得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，∴α+β=−b,αβ=−1，∴αβ−2α−2β=αβ−2(α+β)=−1+2b=−11∴b=−5故选：C小提示：本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba ，两根之积为ca是解题的关键．8、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根答案：B分析：先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．9、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A．3(x−1)x=6210B．3(x−1)=6210C．(3x−1)x=6210D．3x=6210答案：A分析：设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10、一元二次方程x2−25=0的解为（）A．x1=x2=5B．x1=5，x2=−5C．x1=x2=−5D．x1=x2=25答案：B分析：先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：x2−25=0，移项得：x2=25，开平方得：x1=5，x2=﹣5，故选B．小提示：本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．填空题11、若关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n的值是___．答案：1分析：根据一元二次方程解的定义把x=1代入到mx2+nx−1=0(m≠0)进行求解即可．解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，∴m+n−1=0，∴m+n=1，所以答案是：1．小提示：本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．12、若a是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式−3a2−3a+2022的值为________．答案：2019分析：根据a是方程x2+x−1=0一个根，可以得到a2+a−1=0，然后即可得到a2+a=1，再整体代入所求式子计算即可．解：∵a是方程x2+x−1=0一个根，∴a2+a−1=0，∴a2+a=1，∴−3a2−3a+2022=−3(a2+a)+2022=−3×1+2022=−3+2022=2019，所以答案是：2019．小提示：本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．13、若a是方程2x2=x+5的一个根，则代数式6a2−3a的值是__________.答案：15分析：利用a是方程2x2=x+5的一个根，得到2a2−a=5，代入6a2−3a即可．解：∵a是方程2x2=x+5的一个根，∴2a2=a+5，∴2a2−a=5，∴6a2−3a=3(2a2−a)=3×5=15，所以答案是：15．小提示：本题考查了方程解的定义以及整体代入求值，其中利用方程解的定义求得2a2−a=5是解题的关键．14、近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米10000元，连续两次降价后售价为8100元，则平均每次降价的百分率是______．答案：10%分析：设平均每次降价的百分率为x，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得：10000（1-x）2=8100，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．所以答案是：10%．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．答案：x1=0,x2=−1,x3=1分析：先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.解：∵x3−x=0,∴x(x+1)(x−1)=0,则x=0或x+1=0或x−1=0,解得：x1=0,x2=−1,x3=1.所以答案是：x1=0,x2=−1,x3=1.小提示：本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.解答题16、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD 边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．答案：(1)4(2)存在，t=3；2√89+30(3)52分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法，得到PD=BQ=10，列出一元一次方程求解即可；（2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到PB=PR=10，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）先确定四边形BCMP的周长等于30+QM+CM，再利用轴对称的知识和两点之间线段最短的知识确定QM+CM的最小值即可得到周长最小值，最后求出AP的长即可得到P点运动时间．（1）解：连接BP、DQ，∵BC＝20，点Q为BC中点，∴BQ=CQ=10，要使四边形PBQD是平行四边形，则PD=BQ=10，∴18−2t=10，∴t=4，此时，PD=BQ且PD∥BQ，则四边形PBQD是平行四边形，∴当t为4时，四边形PBQD是平行四边形．（2）存在，t=3；假设R点在图中所示位置，则连接BP、QR，要使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，则有PB=PR=10，在Rt△ABP中，82+(2t)2=102，∴t=3，t=−3（舍去），此时AR=2×3+10=16，符合题意；∴在AD边上存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，且t=3．（3）5；2√89+302如图，连接BP、QM，因为PM=10，∴PM=BQ且PM∥BQ，∴四边形PBQM是平行四边形，∴PB=QM，∵四边形BCMP的周长=PM+PB+BC+CM=10+QM+20+CM=30+QM+CM，∴当QM+CM的值最小时，四边形BCMP的周长最小，作Q点关于AD的对称点G，连接CG，则QG=2QE=16，四边形ABQE是矩形，∴AE=BQ=10，AB=EQ=8，当C、M、G三点共线时（即M点位于图中的F点处），QM+CM的值最小等于CG，∴Rt△GQC中，CG=√QG2+QC2=√162+102=2√89，此时，四边形BCMP的周长最小值为2√89+30，∵E点为QG中点，EF∥QC，∴EF=1QC=5，2∴AF=15，∴AP=15-10=5,∴t=5．2∴当点P从点A向右运动5秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为2√89+30．2；2√89+30．所以答案是：52小提示：本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理解三角形、“将军饮马”问题、一元一次方程的应用、解一元二次方程等，解题关键是能正确建立方程，以及能确定最短路径．17、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，线段OB，OC（OB<OC）的长是关于x的方程x2−7x+6=0的两个根，且满足CO＝2AO．(1)求直线AC的解析式；(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，设△CPQ的面积为S（S≠0），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；(3)点M的坐标为(m,2)，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．答案：(1)y=12x+3；(2)S={74a2+212a,a<−6或a>0−74a2−212a,−6<a<0；(3)m的值为－3或－1或2或7；分析：（1）根据一元二次方程的解求出OB和OC的长度，然后得到点B，点C坐标和OA的长度，进而得到点A坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC的解析式；（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；（3）根据△MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．（1）解：解方程x 2−7x +6=0得x 1=6，x 2=1，∵线段OB ，OC （OB <OC ）的长是关于x 的方程x 2−7x +6=0的两个根，∴OB ＝1，OC ＝6，∴B (1,0)，C (−6,0)，∵CO ＝2AO ，∴OA ＝3，∴A (0,3)，设直线AC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，把点A (0,3)，C (−6,0)代入得{−6k +b =0b =3，解得{k =12b =3， ∴直线AC 的解析式为y =12x +3；（2）解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把A (0,3)，B (1,0)代入直线AB 解析式得{3=q 0=p +q，解得{p =−3q =3， ∴直线AB 的解析式为y =−3x +3，∵PD ⊥x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ，∴P (a,12a +3)，Q (a,−3a +3)，D (a,0)，∴PQ =|(−3a +3)−(12a +3)|=|72a|，CD =|a +6|，∴S=12PQ⋅CD=12×|72a|⋅|a+6|，当点P与点A或点C重合时，即当a=0或a=−6时，此时S=0，不符合题意，当a<−6时，S=12×(−72a)[−(a+6)]=74a2+212a，当−6<a<0时，S=12×(−72a)(a+6)=−74a2−212a，当a>0时，S=12×72a(a+6)=74a2+212a，∴S={74a2+212a,a<−6或a>0−74a2−212a,−6<a<0；（3）解：∵A(0,3)，B(1,0)，M(m,2)，∴AB=√(1−0)2+(0−3)2=√10，AM=√(m−0)2+(2−3)2=√m2+1，BM=√(m−1)2+(2−0)2=√m2−2m+5，当∠MAB=90°时，AM2+AB2=BM2，∴(√m2+1)2+(√10)2=(√m2−2m+5)2，解得m=−3，当∠ABM=90°时，AB2+BM2=AM2，∴(√10)2+(√m2−2m+5)2=(√m2+1)2，解得m=7，当∠AMB=90°时，AM2+BM2=AB2，∴(√m2+1)2+(√m2−2m+5)2=(√10)2，解得m1=−1，m2=2，∴m的值为－3或－1或2或7．小提示：本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．18、解方程：(1)2x2－5x－3＝0；(2)x2－2x＝2x－1；(3)x2＋3x＋2＝0答案：(1)x1＝－12，x2＝3(2)x1＝2＋√3，x2＝2－√3(3)x1＝－1，x2＝－2分析：（1）直接用公式法求解；（2）用配方法求解；（3）用因式分解法求解．(1)解：∵a＝2，b＝－5，c＝－3，∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－3)＝49＞0，∴x＝5±√492×2＝5±74，∴x1＝－12，x2＝3；(2)解：移项，得x2－4x＝－1，配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，两边开平方，得x－2＝±√3，即x－2＝√3或x－2＝－√3，∴x1＝2＋√3，x2＝2－√3；(3)解：原方程可变形为(x＋1)(x＋2)＝0，∴x＋1＝0或x＋2＝0，∴x1＝－1，x2＝－2．小提示：本题考查一元二次方程解法，根据方程的特征，选择适当方法求解是解题的关键．。

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

九年级数学人教版(上册)第21章小结与复习

当m=2，x2-2x=2，解得x=1± 3，
所以，原方程的解为x1=3，x2=-1， x3=1+ 3 ，x4=1- 3 ．
侵权必究
考点3 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等
的实数根，则m的取值范围是（ A ）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
第二十一章一元二次方程小结与复习
侵权必究
目录页
要点梳理
考点精讲
课堂小结
当堂练习
侵权必究
要点梳理
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
要点梳理一、一元二次方程的基本概念 1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
解析本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
侵权必究
单件利润销售量（件）每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
侵权必究
解：设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg. 由题意可得 (x-40)［500-10(x-50)］=8000，解得 x1=60, x2=80，又 40［500-10(x-50)］≤10000. x≥75. ∴x=60<75(舍去) 答：销售单价应为80元.

第21章-一元二次方程知识点

一元二次方程知识点知识点一一元二次方程的定义只含有，并且未知数的的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是 ②只含有③未知数的（判断时，需将方程化成一般形式。

）知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中是二次项，叫做二次项系数；是一次项，是一次项系数；c 叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）x x 2752=；（2）()()832=+-x x ；（3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m是一元二次方程时，则=m知识点三一元二次方程的解使方程的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫。

知识点四解一元二次方程一直接开平方法若方程可化为()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。

例用直接开平方法解下列一元二次方程（1）01692=-x ；（2）()01652=-+x ；（3）()()22135+=-x x二因式分解法多项式因式分解的常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

第二十一章一元二次方程知识点归纳及典型问题训练

第二十一章一元二次方程【考点1】一元二次方程1、一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须同时满足的三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【例1】下列式子：①322-+x x ；②2152=+x x；③m t m t --=-412； ④)1(2)1(2+=+x x ；⑤02=++c bx ax ；⑥1222-=+x x x ；⑦0)1(22=++x a a ；110x -=是关于1m -且1m ≠ 1m - D】一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是)02+bx ax .其中ax 是一次项系数；c 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和0)．移项、合并同类项”等步骤化为一般形式；（2）确定各项系数包括符号；（3）化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则0=b ，若没有出现常数项c ，则0=c .【考点3】一元二次方程的解（根）1、一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2、判断一个数是不是一元二次方程的解的方法（代入检验法）将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解.【例5】请你检验2x =-，3x =是否是方程(1)22x x x +=--的根．【例6】已知一元二次方程20ax bx c ++=，若0a b c ++=，则该方程一定有一个根为( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．2，x （3）当0<p 时，因为对任意实数x ，都有02≥x ，所以方程p x =2无实数根.【例9】用直接开平方法解下列方程：（1）2160x -=；（2）23540x -=；（3）2(2)9x -=；（4）22(23)160y --=．点拨：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式.【考点5】配方法解一元二次方程1、把一般形式的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 左边配成一个含有未知数的完全【例10】用配方法解下列方程（1）2440x x +=+；（2）2210x x +-=；（3）22320x x -+=.点拨：用配方法解一元二次方程的步骤可灵活运用，如本例的（2）、（3）两小题，也可先将二次系数化为1，再移项、配方，结果也是一样的.【例11】当x 为何值时，代数式3822+-x x 有最小值，最小值是多少？点拨：（1）求多项式c b a c bx ax ,,2（++为常数，且）0≠a 的最值时，要先把多项式配方成p n x a ++2)(的形式.若1≠a ，需要提出二次项系数a ，对括号中的式子进行配方，配方时，括号内先加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方.若0>a ，则代数式c bx ax ++2有最小值；若0<a ，则代数式c bx ax ++2有最大值；（2）一元二a 的值.【考点6】一元二次方程根的判别式 1、一元二次方程根的判别式将)0(02≠=++a c bx ax 配方成22244)2aac b a b x -=+（后，可以看出，只有当042≥-ac b 时，方程才有实数根，这样ac b 42-的值就决定着一元二次方程根的情况.一般地，式子ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别工，通常用希腊字母“⊿”表示，即ac b 42-=∆. 2、判别式⊿与一元二次方程根的情况的关系⇔>∆0方程有两个不相等的实数根； ⇔=∆0方程有两个相等的实数根；c 与0程2x +求k 的取值范围．点拨：找出k 的所有限制条件，列出不等式组是关键.注意，明显的限制条件是方程有两个不相等的实数根，即0>∆，还有隐含的限制条件是原方程为一元二次方程，即021≠-k ，还有一次项系数-含有二次根式，所以k 的取值还必须使二次根式有意义，即01≥+k .只有所有的限制条件都考虑到了，才能求出完整的取值范围.由本题不难得到，参数是魔鬼，参数出现的所有地方，我们都要小心.【例18】已知a 、b 、c 为ABC ∆三边，且方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a --+--+--=有两个相等实数根，则ABC ∆为( )A ．两腰和底不等的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形，(当∆（2）求出ac b 42-=∆的值；（3）根据求根公式求解. 【例20】用公式法解下列方程：（1）210x -+=；（2）2441108x x x +-=--；（3）264x +=；（4）212x =．【考点8】因式分解法解一元二次方程1、因式分解法通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2、用因式分解法解一元二次方程的理论依据如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若0=ab ，则0=a 或0=b .3、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）移项、合并同类项：将方程的右边化为0；（2）因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积；（3）降次转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元一次方程的解. 4、几种常见的用因式分解法求解的方程（1）形如02=+bx x 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为0)(=+b x x ，则0=x 或0=+b x ，即01=x ，b x -=2（即缺常数项的一元二次方程必有一根为0）；（2）形如022=-a x 的一元二次方程，将左边运用平方差公式因式分解为0))(=-+a x a x （，则0=+a x 或0=-a x ，即a x -=1，a x =2；（3）形如0222=+±a ax x 的一元二次方程，将左边运用完全平方公式因式分解为0)(2=±a x ，则①0=+a x ，即a x x -==21；②0=-a x ，即a x x ==21；（4）形如0)2=+++ab x b a x （的一元二次方程，将左边运用十字相乘法因式分解为0))(=++b x a x （，则0=+a x 或0=+b x ，即a x -=1，b x -=2.【例21】用因式分解法解下列方程：（1）20x x +=；（2）241210x -=；（3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．【例22】用适当的方法解下列方程：（1）22(1)40x --=；（2）2410x x -+=；（3）229(1)5)(2x x =+-；（4）291210x x --=．点拨：根据一元二次方程的结构特征选择合适的解法，特殊结构，选用特殊解法；一般小题中的“实数”，隐含了0≥∆，不符合要求的要舍去.【例24】（1）解方程1x -=；（2）解方程3=.点拨：无理方程通常可以用平方法去根号转化为有理方程来解，因为在平方的过程中，扩大了未知数的取值范围，故最后要检验.【例25】解方程|32||3|2++-=+m m m 点拨：因为两数的绝对值相等，可得这两数相等或互为相反数，因此可以去掉绝对值符号，转化为常规的方程来解.在坐标系中，经常要用坐标来表示线段长，因此会出现含绝对212121221121（2）212212214)()x x x x x x -+=-（；（3）21221221214)()||x x x x x x x x -+=-=-（；（4）21212111x x x x x x +=+；（5）212122121222121122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+；（6）2212121)())(k x x k x x k x k x +++=++（. 点拨：应用这几个代数式的变形进行求解时，不要忘记两个前提：（1）方程是一元二次方程；（2）方程有实数根，即0≥∆...【例29】已知关于x 的一元二次方程22210x mx m --+=的两根的平方和是4，求m 的值．点拨：利用韦达定理求出参数的值后，必须检验参数值是否满足0≥∆，否则可能会多解.检验的方法有两种，一种是直接将参数代入原方程，计算，∆另一种是由0≥∆得到参数的取值范围，比较后进行取舍.【例30】已知1x ，2x 是方程2350x x +-=的两个根，求以11x +和21x +为根的一个一元二次方程．点拨：先运用韦达定理，得出21x x +，21x x 的值，再分别求出新的两根之和与两根之积，最后写出新方程.本题考查韦达定理和它的逆定理.【例31】已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m +++-=．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且2212()21x x m -+=，求m 的值．点拨：本题为根的判别式和韦达定理的综合运用.第（2）问中，一定要结合（1）中求出的m 的取值范围进行取舍.【例32】已知关于x 的一元二次方程22410x x m ++-=有两个非零实数根．（1）求m 的取值范围；（2）两个非零实数根能否同时为正数或负数？若能，请求出相应m 的取值范围；若不能，请说明理由．【例33】关于x 的一元二次方程25(5)0x kx k -+-=的两个根1x ，2x 异号，且满足1227x x +=，求k 的值．点拨：上面两个例题，都涉及到两根的符号问题.若⎪⎩⎪⎨⎧>=≥-=∆，，004212a cx x ac b 则两根同号，且当021>-=+a b x x 时，两根同为正数；当021<-=+a bx x 时，两根同为负数.反之，也成立；若021<=a c x x （此时隐含了042>-=∆ac b ），则两根一正一负（异号），且当x x 当x2x ，求k 从而去掉绝对值符号，【考点11】面积问题与一元二次方程【例35】如图所示，要建一个面积为2130m 的仓库，仓库有一边靠墙（墙长16)m ，并在与墙平行的一边开一道宽1m 的门，现有能围成32m 的木板，求仓库的长与宽？点拨：由于仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道m 1宽的门，所以本题的等量关系是：①1322+=+⨯长宽；②130=⨯宽长.同时，本题还要注意“墙长16m ”这一隐含条件对方程解的限制.【例36】如图所示，要建一个面积为2150m 的长方形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ，求养鸡场的长与宽．点拨：对方程的解进行取舍时，不要因忽视对实际情况的分析而造成错解.【例37】如图，小区计划在一个长为40cm ，宽为26m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为2144m ，求路的宽度．点拨：本题草坪的面积可以用矩形面积减去三条路的面积来表示，也可以通过平移的方法化零为整来表示.注意对方程解的检验，要满足解的实际意义.【考点12】增长率问题与一元二次方程【例38】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．81【例41】某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是()A．2+=B．2(1)31x++=C．(1)31131x x+=D．1231x x++=x x 点拨：本题类似于传播问题，也可以画表帮助理解.【例43】某商店将进价为8 元的商品按每件10 元出售，每天可销售200 件，现商家采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5 元，其销量就会减少10 件，那么要使利润为640 元，需将售价定为多少？点拨：注意销售问题中的几个公式：=-利润⨯=；进价利润率进价售价%100%100⨯-=⨯=进价进价售价进价利润利润率；利润率）（进价售价+⨯=1；总销售量单件利润总成本总售价总利润⨯=-=.解方程得到两解后，要养成检验的习惯，看解是否符合实际生活意义，看是否符合题目的条件.【考点15】动态几何问题与一元二次方程【例44】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC cm =，4BC cm =，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1/cm s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 边以2/cm s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为()t s ．（1）若PCQ ∆的面积是ABC ∆面积的14，求t 的值？（2）PCQ ∆的面积能否为ABC ∆面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．点拨：动点问题，要能熟练地表示动点运动的路程，从而表示出其它的相关线段长，再根据题意列出方程即可.“能否”型问题，判断的标准是对应的方程有没有实数根.【例45】如图，已知A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，16AB cm =，6AD cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3/cm s 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以2/cm s 的速度向点D 移动．设移动时间为()t s ，问（1）当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离是10cm ？（2）当t 为何值时，PAB △为等腰三角形？点拨：在表示涉及两个动点信息的线段长时，由于P 、Q 两动点相对的位置关系发生变化，因此表示方法有所变化，为了简化问题，我们通常可以画出其中的一种情况，在这种情况下表达出这条动线段的长，再在此基础上加上绝对值符号即可表示出所有的情况，而不需要再画图重新研究.这就是绝对值的妙用.本题PQ为“斜线段”，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来表示.【考点16】坐标系中的存在性问题与一元二次方程【例46】如图，B、C两点是等腰ABC的两个顶点，在平面直角坐标系中的坐标为C，第三个顶点A在坐标系的x轴上，求点A的坐标．B，(4,0)(0,3)点拨：等腰三角形的存在性问题，可以先将三边的平方利用勾股定理分别表示出来，再根据三边两两相等分别列方程求解即可.【例47】如图，点A坐标为（1，1），点B坐标为（5，2）.点P在x轴上，且PAB△为直角三角形.求点P的坐标.点拨：直角三角形的存在性问题，可以先将三边的平方利用勾股定理分别表示出来，再根据勾股定理，利用斜边不同分别列方程求解即可.。

九年级上册数学第21章《一元二次方程》知识点梳理完整版

【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；九年级数学上册第21 章《一元二次方程》知识点梳理2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：1 2 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为 2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0．要点二、一元二次方程的解法1. 基本思想一元二次方程 −降−次−→ 一元一次方程 2. 基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 一元二次方程根的判别式一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中， b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，通常用“ ∆ ”来表示，即∆ = b 2 - 4ac（1）当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.要点诠释：1. 一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1) 不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0 的一个根是0，则a 的值为（）A．1 B．﹣1 C．1 或﹣1D．【思路点拨】根据方程的解的定义，把 x=0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B；【解析】解：根据题意得：a2﹣1=0 且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选 B．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于 x 的方程(a2−2a −8) x2+ (a + 2) x −1 = 0 ,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2- =0； (2) (x+a)2= ；(3) 2x2-4x-1=0；(4) (1- )x2=(1+ )x．【答案与解析】(1)原方程可化为 0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1= ，x2=- ．(2)原方程可化为 x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2= a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1= a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1= ，x2= .(4)将方程整理，得(1- )x2-(1+ )x=0用因式分解法，得x[(1- )x-(1+ )]=0∴x1=0，x2=-3-2 ．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴(3x-2)(3x-2-1)＝0．∴3x-2＝0 或 3x-3＝0，∴x=2，x= 1．1 3 2(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴(t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴(t-1)(2t-1)＝0，∴t-1＝0 或2t-1＝0．∴t= 1，t=1 ．1 2 2类型三、一元二次方程根的判别式的应用1 23．（2015•荆门）若关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（） A ．a≥1B ． a ＞1C ． a≤1D ． a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a≥1．故选 A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出 a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2- 2x + t + 2 = 0 的两个不相等的实数根，（1）求 t 的取值范围；（2）设 s = x 2+ x 2 ，求 s 关于 t 的函数关系式．【答案与解析】(1) 因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即 t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知： x 1 + x 2 = 2 ， x 1x 2 = t + 2 ，从而 s = x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x = 22 - 2(t + 2) = -2t ，即 s = -2t (t < -1) ．1 2 1 2 1 2【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x 2 = 2(1- m )x - m 2 的两实数根为 x ， x ．1 2（1）求 m 的取值范围；（2）设 y = x 1 + x 2 ，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2(m -1)x + m 2 = 0 ．∵ 原方程有两个实数根．∴ △= [2(m -1)]2 - 4m 2 = -8m + 4 ≥ 0 ，∴ m ≤ 1． 2（2） y = x + x = -2m + 2 ，且 m ≤ 1 ． 1 2 2因为 y 随 m 的增大而减小，故当m 1时，取得最小值 1．2类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为 10cm，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为 xcm，由题意得 4x2＝10×8×(1-80%)．解得 x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2 符合题意，x2＝-2 不符合题意舍去．∴x＝2．答：截去的小正方形的边长为 2cm．【总结升华】设小正方形的边长为 x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的 80%，所以 4 个小正方形面积是原矩形面积的 20%．举一反三：【变式】（2015 春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在欲砌 50m 长的墙，砌成一个面积 300m2的矩形花园，则 BC 的长为多少 m?【答案】解：设 AB=x 米，则 BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为 20m．6．某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元，空床可全部租出；若每床每晚提高 2 元，则减少 10 张床位租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出．以每次提高 2 元的这种方法变化下去，为了每晚获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高 x 个2 元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得 x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴ 当 x＝2 时，2x＝4；当 x＝3 时，2x＝6．答：每床每晚提高 4 元或6 元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高 x 个2 元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高 2 元，出租出去的床位减少 10 张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．一元二次方程及其解法（一）直接开平方法【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3.理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1 是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1 是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为 0.要点二、一元二次方程的解法1.直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1) ；(2) ．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例 1】【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2 +x +1 ；②9x2 - 6x = 0 ；③1y2= 0 ；④5x2-1+ 4 = 0 ；2 2x⑤x2+xy - 3y2= 0 ；⑥3y2= 2 ；⑦(x +1)(x -1) =x2．【答案】②③⑥.【解析】①x2 +x +1不是方程；④5x2-12x+4 = 0 不是整式方程；⑤ x2+xy - 3y2= 0 含有 2 个未知数，不是一元方程；⑦(x + 1)(x -1) =x2化简后没有二次项，不是 2 次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0； (2) ．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中 c=-2 不能写为 c=2，(2)题中不能写为．举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的形式-例 3】【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2 = 5x - 2 ；（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x ．【答案】（1）3x2 - 5x+2=0 ，二次项系数是 3、一次项系数是-5、常数项是 2.（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x 化为ax2 +x -a - 2 = 0, 二次项系数是 a、一次项系数是 1、常数项是-a-2.⎩ ⎩类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2+px+q ＝0 的两根分别为 x 1＝2，x 2＝1，那么 p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2 是方程 x 2+px+q ＝0 的根，∴ 22+2p+q ＝0，即 2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即 p+q ＝-1 ②⎧2 p + q = -4, ⎧ p = -3,联立①，②得⎨ p + q = -1, 解之得： ⎨q = 2.【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用 2，1 代替方程中未知数 x 的值，得到两个关于 p 、q 的方程，解方程组可求 p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. （2016 春•仙游县月考）求下列 x 的值（1）x 2﹣25=0 （2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x 2﹣25=0， ∴x 2=25， ∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16， ∴x+5=±4，∴x=﹣1 或﹣9．【总结升华】应当注意，形如 =k 或（nx+m ）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式 1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x 2=361；(2)2y 2-72=0；(3)5a 2-1=0；(4)-8m 2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19 或 x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6 或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2= ，∴a=或 a=- ．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2= ，∴m=或m=- ．【变式 2】解下列方程：(1) （2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014 秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5 或 2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3 或1﹣2x=﹣（x﹣3），4∴x1=，x2=﹣2．3一元二次方程的解法（二）配方法【学习目标】1.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式a2± 2ab +b2= (a ±b)2．知识点二、配方法的应用1.用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3.用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4.用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为 x2-4x=2．两边都加 4，得 x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2= 或 x-2=- ．于是，原方程的根为x=2+ 或x=2- ．(2)将常数项移到方程右边 x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2 或 x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式M = 10a2 +b2 - 7a + 8 ，N =a2 +b2 + 5a +1 ，则M -N 的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）M -N = 10a2+b2- 7a + 8 - (a2+b2+ 5a +1)=10a2 +b2 - 7a + 8 -a2 -b2 - 5a -1= 9a2 -12a + 7 = 9a2 -12a + 4 + 3 = (3a - 2)2+ 3 > 0 ．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5 的值一定小于 0．【答案与解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣ ＜0，即﹣8x 2+12﹣5 的值一定小于 0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式】求代数式 x 2+8x+17 的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0 时，代数式 x 2+8x+17 的最小值是 1.4．已知 a2- 3a + b 2 - b + 37= 0 ，求 a - 4 2 16的值．【思路点拨】解此题关键是把 37拆成 9+ 1，可配成两个完全平方式．16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得⎛ a 2- 3a + 9 ⎫ + ⎛ b 2 - b +1 ⎫ = 0 ，4 ⎪ 2 16 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2即 a - 2 ⎪ + b - 4 ⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ a - 3 = 0 且b - 1= 0 ，24∴ a = 3，b = 1． 2∴ a - 4 4= 3 - 2= 3 - 2 = - 1 ． 2 2【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0 的形式，进而求出 a ．b 的值．b b1 4【学习目标】一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a ≠ 0) ，用配方法将其变形为：(x + b)22a=b2- 4ac4a2.①当∆=b2-4ac > 0 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x1,2 =2a .②当∆=b2 - 4ac = 0 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x =-b1,2 2a .③ 当∆=b2 - 4ac < 0 时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0； (2) 2x2 = 4x -1 ；(3) 2x2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1= ，x2= ．(2)原方程化为一般形式，得2x2 - 4x +1 = 0 ．-b ±∵a = 2 ，b =-4 ，c =1 ，∴b2- 4ac = (-4)2- 4 ⨯ 2 ⨯1 = 8 > 0 ．∴ x =4 ± 2 2= 1±2，即x =1+2，x= 1-2．2 ⨯ 2 2 1 2 2 2(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1= ，x2= ．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对 a、b、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定 a，b，c 的值并计算b2 - 4ac 的值；(3)若b2 - 4ac 是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2= ．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014 秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x== = ，-1± 3 -1- 3 -1+ 3 ∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1= ，x 2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ，解得 x 1=，x 2= ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出 a 、b 、c 的值，在b 2- 4ac ≥ 0 的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2x 2+ 2x = 1；【答案】解：移项，得2x 2 + 2x -1 = 0 ．∵ a = 2 ，b = 2 ，c = -1 ， b 2 - 4ac = 22 - 4 ⨯ 2 ⨯(-1) = 12 > 0 ，∴ x =-2 ± 12 = ， 2 ⨯ 2 2∴ x 1 =2 ， x 2 = 2 ．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2016•沈阳）一元二次方程 x 2﹣4x=12 的根是（） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6D ．x 1=2，x 2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【答案】B【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0，分解因式得：（x+2）（x ﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选 B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2) (3x -1)(x -1) = (4x +1)(x -1) ．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即(2x + 3)2= 0 ，∴x =x =-3 ．1 2 2(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以x1=1 ，x2=-2 ．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉 x＝1 这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3 x(2 x+1) =4 x+2【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0x =-1, x =2.1 2 2 35．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）x1= ，x 2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=2（x+）（x+2）x1=﹣，x2=﹣2将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 中，b 2- 4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，通常用“ ∆”来表示，即∆=b 2- 4ac（1）当△>0时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计1 2 算b 2 - 4ac 的值；④根据b 2 - 4ac 的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒b 2 - 4ac ﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒b 2 - 4ac =0；（3）方程没有实数根⇒b 2 - 4ac ﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 b 2 - 4ac ≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b ， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x 1、x 2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：① x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x ； 1 2 1 2 1 2② 1 +1 x 1 x 2= x 1 + x 2 ； x 1 • x 2 ③ x x 2 + x 2 x = x x (x + x ) ； 1 2 1 2 1 2 1 2。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程全部重要知识点(带答案)

九年级数学上册第二十一章一元二次方程全部重要知识点单选题1、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．故选：D．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．2、若α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，且αβ−2α−2β=−11，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5答案：C分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=−b,αβ=−1，代入αβ−2α−2β=−11得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，∴α+β=−b,αβ=−1，∴αβ−2α−2β=αβ−2(α+β)=−1+2b=−11∴b=−5故选：C小提示：本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba ，两根之积为ca是解题的关键．3、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根答案：B分析：先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．4、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3(x −1)x =6210B ．3(x −1)=6210C ．(3x −1)x =6210D ．3x =6210 答案：A分析：设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210，故选：A ．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5、已知两个关于x 的一元二次方程M:ax 2+bx +c =0，N:cx 2+bx +a =0，其中ac ≠0，a ≠c ．下列结论错误．．的是（） A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根 B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根 C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x =1 答案：D分析：利用根的判别式判断A ；利用根与系数的关系判断B ；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D ．解：A 、如果方程M 有两个相等的实数根，那么△=b 2-4ac =0，所以方程N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B 、若方程M 有一个正根和一个负根，那么△=b 2-4ac >0，c a<0，所以a 与c 符号相反，ac<0，所以方程N 也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；C 、如果5是方程M 的一个根，那么25a +5b +c =0，两边同时除以25，得125c +15b +a =0，所以15是方程N 的一个根，结论正确，不符合题意；D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么ax 2+bx +c =cx 2+bx +a ，（a -c ）x 2=a -c ，由a ≠c ，得x 2=1，x =±1，结论错误，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键．6、若x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，则2+8a−2b的值为（）A．0B．2C．4D．6答案：D分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程ax2−x−b=0得4a-b=2，再把2+8a−2b变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可．解：∵x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，∴4a-2-b=0，∴4a-b=2，∴2+8a−2b=2+2(4a−b)=2+2×2=2+4=6，故选：D．小提示：本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．7、直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（）.A．0个B．1个C．2个D．1个或2个答案：D分析：根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况.∵直线y=x+a不经过第二象限，∴a≤0，∵方程ax2+2x+1=0，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆=b2−4ac=4−4a，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：D.小提示：此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a 的取值范围，再分类讨论.8、若直角三角形的两边长分别是方程x 2−7x +12=0的两根，则该直角三角形的面积是（） A ．6B ．12C ．12或3√72D ．6或3√72答案：D分析：根据题意，先将方程x 2−7x +12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．解方程x 2−7x +12=0得x 1=3，x 2=4当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为12×3×4=6；当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为√42−32=√7，面积为12×√7×3=3√72；则该直角三角形的面积是6或3√72，故选：D ．小提示：本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．9、已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x 2−6x +8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（） A ．2B ．4C ．8D ．2或4 答案：A分析：解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．解：x 2－6x+8=0 （x －4）（x －2）=0 解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．小提示：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．10、把一元二次方程(x+1)(x−1)=3x化成一般形式，正确的是（）A．x2−3x−1=0B．x2−3x+1=0C．x2+3x−1=0D．x2+3x+1=0答案：A分析：先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为x2−3x−1=0,从而可得答案．解：∵(x+1)(x−1)=3x，∴x2−1=3x,∴x2−3x−1=0,∴方程的一般形式为：x2−3x−1=0,故选A小提示：本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)”是解本题的关键．填空题11、若m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，则代数式m2+n2-2mn＝_____．答案：21分析：先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，∴m+n＝3，mn＝﹣3，∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21．所以答案是：21．小提示：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b，ax1x2=c．a12、“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人．答案：4分析：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，由题意得1+x+x(1+x)=25解得x=4或−6（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人所以答案是：4．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13、观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．答案：不存在分析：首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是n(n+1)；最后根据图形中的2“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1×(1+1)2；n=2时，“○”的个数是3=2×(2+1)2，n=3时，“○”的个数是6=3×(3+1)2，n=4时，“○”的个数是10=4×(4+1)2，……∴第n个“○”的个数是n(n+1)2，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022∴3n−n(n+1)2=2022①，n(n+1)2−3n=2022②解①得：无解解②得：n1=5+√162012,n2=5−√162012所以答案是：不存在小提示：本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．14、如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则a与b数量关系是______．答案：b=√5+12a分析：根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)，整理得：a 2+b 2+2ab =2b 2+ab ，则a 2-b 2+ab =0，方程两边同时除以b 2，则(a b )2−1+ab =0，解得：ab =−1±√52， ∵a b不能为负， ∴ab=−1+√52，∴b =√5+12a ，所以答案是：b =√5+12a ．小提示：此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题15、如果一元二次方程x 2+3x −2=0的两个根为x 1，x 2，则x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=______．答案：-4分析：根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-3，x 1x 2=-2，根据一元二次方程根的意义得到x 12+3x 1−2，然后利用整体代入的方法计算，即可求得结果．解：由题意得：x 1+x 2=−3 ， x 1x 2=−2，∴x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=x 1(x 12+3x 1−2)+2(x 1+x 2)−x 1x 2=0+2×(−3)+2 =-4．所以答案是：-4．小提示：本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系的公式和理解一元二次方程根的意义．解答题16、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)(2√2−x)(2√2+x)=(3+x)2．答案：(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4(2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1分析：根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．小提示：本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17、已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=6，求m的值．答案：(1)见解析(2)3分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=2m即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）根据题意可知：Δ=(2m)2−4(m2−9)=36>0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）有题意得：x 1+x 2=2m∴x 1+x 2=2m =6，解得m =3小提示：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．18、综合与探究：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x 2+x =0的两个根是x 1=0，x 2=−1，则方程：x 2+x =0是“邻根方程”．(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x 2+x −6=0； ②2x 2−2√5x +2=0．(2)已知关于x 的一元二次方程x 2−(m −2)x −2m =0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值．答案：(1)x2＋x −6＝0不是“邻根方程”；2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”(2)m ＝−1或−3分析：（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；（2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m 的方程，注意有两种情况．（1）解：①解方程得：(x +3)(x −2)=0，∴x 1=−3，x 2=2，∵2≠−3+1，∴x 2+x −6=0不是“邻根方程”；②x =2√5±√20−164=2√5±24=√5±12， ∴x 1=√5+12，x 2=√5−12， ∵ √5+12−√5−12=1，∴2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”；（2）解：x2−(m−2)x−2m=0(x−m)(x+2)=0，∴x1=m，x2=−2，∵方程x2−(m−2)x−2m=0(m是常数）是“邻根方程”，∴m=−2+1或m=−2−1，∴m=−1或−3.小提示：本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．。

第21章一元二次方程考点练习(有答案)

根是﹣3，1.小明看错了一次项系数 P，得到方程的两个根是 5，﹣4，则原来的方程是（） A .x2+2x﹣3＝0 B .x2+2x﹣20＝0 C .x2﹣2x﹣20＝0 D .x2﹣2x﹣3＝0
19.（2021 枣庄）若等腰三角形的一边长是 4，另两边的长是关于 x 的方程 x2﹣6x+n＝0 的两
25.已知关于 x 的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中 a，b，c，分别为△ABC 三
边长. （1）如果 x=－1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
的最大值是（）
A .1 B . 2 C . 3 D .2
13.（2020 潍坊）关于 x 的一元二次方程 x2 (k 3)x 1 k 0 根的情况，下列说法正确
的是（） A. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根
B. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
3
14.（2021 枣庄、泰安）已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（）
个根，则 k 的值为（）
A. 3
B. 4 C. 3 或 4
D. 7
5.(2020 张家界) 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 x2-6x+8=0 的两根，则该
等腰三角形的底边长为（
）
A .2 B .4 C .8
D .2 或 4
6.(2021 雅安) 若直角三角形的两边长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根，则该直角三角形的

(完整版)21章一元二次方程重难点、易考点汇总,推荐文档

3.下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( ) 1
A．x2＋x2＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
4.下列方程中，无论取何值，总是关于 x 的一元二次方程的是（）
D．3x2－2xy－5y2＝0
A. ax 2 bx c 0
B. ax 2 1 x 2 x
5.下列方程中是一元二次方程的有（
2.关于x的一元二次方程（a2—1）x2+x—2=0是一元二次方程，则a满足（）
A. a≠1
B. a≠—1
C. a≠±1
D.为任意实数
3.当 k
时，关于 x 的方程 kx 2 2x x 2 3 是一元二次方程。
4 关于x的方程(m 1)x m 1 3x 6,当m ___ 时，该方程是一元二次方程
．
6、一元二次方程 ax2 bx c 0 ，若 x=1 是它的一个根，则 a+b+c=
,若 a－b+c=０，则方程必有
一根是。
7.已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的系数满足 a c b ，则此方程必有一根为
21 章一元二次方程重点、易考点
一、一元二次方程的概念
1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方
程．
2．一元二次方程的一般形式是________________．
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的基本思想是
，
主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.
2．配方法：通过配方把一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为

人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》知识点小结与复习

当 a 0 时,它是一元二次方程;
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程；当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
m=
。
3、当m
时，关于x的方程3x2－
2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数
根。
4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－
2=0的根的判别式的值等于4，则m=
。
一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
2(a－2)x+a２－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
【例4】已知x1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
拓展练习：
１、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
情况是
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
b2 4ac 0,

2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程“必背知识点

2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程”必背知识点一、一元二次方程的定义定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。

其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。

方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

二、一元二次方程的解法1. 配方法步骤：一移（把常数项移到等号的右边）、二除（方程两边都除以二次项系数）、三配（方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式）、四开（若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解）。

2. 公式法求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠。

0），如果b²-4ac ≥ 0，则方程的两个根为x1,2=−b±√b2−4ac2a 根的判别式：Δ = b² - 4ac。

当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

当Δ < 0时，方程无实数根。

3. 直接开平方法适用条件：如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

步骤：移项、使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1、两边直接开平方。

4. 因式分解法方法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。

三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a四、一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

人教版数学九年级上册第21章一元二次方程知识点汇总

第二十一章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．2、一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 【注意】1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。

其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．3、任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．二、一元二次方程的解法１．一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零．（2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值．求根公式：x =2(40)b ac -≥（3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为： 2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．三、根的判别式1、一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-2、根的判别式用来判别根的个数情况：（1）0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =（2）0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．（3）0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3、一元二次方程根的判别式的应用（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围；（3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况．四、根与系数的关系——韦达定理1、设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ，，则两个根满足：1212b cx x x x a a+=-⋅=，2、韦达定理的重要推论推论1：如果方程20x px q ++=的两个根是12x x ，，那么1212x x p x x q +=-⋅=，．推论2：以两个数12x x ，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++= 3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要的结论：（1）若两根互为相反数，则0ba -=，得0b =；（2）若两根互为倒数，则1c a =，得a c =；若两根互为负倒数，则1ca =-，得a c =-；（3）若有一个根是零，则0ca=，得0c =；（4）若两根都为零，则0b a -=，0ca =，得0b =，0c =；（5）若有一根为1，则0a b c ++=；若有一根为1-，则0a b c -+=．4、几个常见转化；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x 1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221（2）222121212()2x x x x x x +=+-；（3）12121211x x x x x x ++=；（4）22121212()()4x x x x x x -=+-；（5）12||x x -=（6）2212121212()x x x x x x x x +=+；（7）22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==．五、用一元二次方程解决实际问题 1、面积最大化问题 2、利润最大化问题 3、增长率问题 4、传播问题 5、动点问题解题方法技巧1、一元二次方程的整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：（1） 24b ac ∆=-为完全平方数；（2）2b ak -+或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)2、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．3、把一元二次方程根的判别式和根与系数的关系结合起来，判别讨论一元二次方程根的符号常常需要解不等式组．对于方程20(0)ax bx c a ++=≠，则：（1）有两正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪->+>⎪⎩≥（2）有两负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪-<+<⎪⎩≥（3）有一个正跟一个负根：121200(0)0(0)c x x a b x x a ⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪->+>⎪⎩正根的绝对值较大 121200(0)0(0)cx x a b x x a⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪-<+<⎪⎩负根的绝对值较大（4）有一零根一正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪->+>⎪⎩（5）有一零根一负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a ⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-<+<⎪⎩（6）有两个零根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆=⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-=+=⎪⎩。

第二十一章一元二次方程数学九年级上册单元复习一遍过(人教版)

每天的销售价为x元.
单件利润销售量（件）正源自销售432涨价销售
x-20
32-2(x-24)
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
每星期利润（元） 128 150
课堂检测
考点4 实际问题与一元二次方程—销售利润问题
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
解：(1)2.6(1+x)² (2)由题意可得4+2.6(1+x)²=7.146 解得，x1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍去)
答：可变成本平均每年增长10%.
课堂检测
考点4 实际问题与一元二次方程—增长(降低)率问题
菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售. 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
答：售价应当为25元.
知识梳理
考点4 实际问题与一元二次方程—面积问题
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的
围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求
羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？解：设AB长是xm，依题意得： (100-4x)x=400.
25米
A
D
解得x1=20，x2=5.
B
C
当x=20时,100-4x=20<25
当x=5时,100-4x=80>25 x=5(舍去).
答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.
课堂检测

人教版数学九年级上册第二十一章 —一元二次方程知识点总结及练习

一元二次方程一、基本概念（1）方程定义：含有未知数的等式叫方程。

（2）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

（3）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

（4）一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为 02=++c bx ax （0≠a ）.注：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根考察一元二次方程概念例○1：下列方程不是整式方程的是（） A 、321=+x B 、07222=++z xy y x C 、21373+=-+x x D 、172=m ○2下列方程不是一元二次方程的是（） A 、01262=++y y B 、m m 531212-= C 、043611012=+-p p D 、x 2+x-1=x 2○3方程013)2(=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（） A 、2±=m B 、2=m C 、m =-2 D 、2±=m○4一元二次方程0352=-+-x x ，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（）A.0352=+-x xB.0352=--x xC.0352=-+x xD.0352=++x x二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解.计算：（1）2x 2-8=0 （2）9x 2-5=3（3）（x+6）2-9=0 （4）3（x-1）2=6 （5）（2x+1）2=（x-1）2 （6）（5-2x ）2=9（x+3）22．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．练习题1．用适当的数填空：①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x －）2； ③x 2+ x+ =（x+ ）2；④ x 2－9x+ =（x －）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=28．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2B ．-2C ．D ．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41x 2-x-4=0（5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=5211.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。

新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结

一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。

(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。

第二十一章一元二次方程易错必考68题(10个考点)专练(解析版)

第二十一章一元二次方程易错必考68题（10个考点）专练易错必考题一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，则一次项是（）A ．x-B ．1-C ．x D ．1【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义可得36m +=，30m +¹，可得m 的值，再代入原方程，由此即可得结果．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，∴36m +=，30m +¹，解得：3m =，把3m =代入原方程可得2660x x -+=，∴一次项是x -，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是20(0)ax bx c a ++=¹，其中，2ax 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项．2．（2023春·八年级课时练习）将一元二次方程()11x x -=-化成()200ax bx c a ++=>的形式则a b c ++=．【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【详解】解：将一元二次方程()11x x -=-化成一般形式20(0)ax bx c a ++=>之后，变为210x x -+=，故1,1,1a b c ==-=，1111a b c \++=-+=，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y 的一元二次方程()()223811my m my y y +-=-+，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案】二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -；参数m 的取值范围是22m ¹±【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m 的取值范围．【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：()()22383110m y m y m ---+-=，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件280m -¹，即22m ¹±．可知它的各项系数分别是二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -．参数m 的取值范围是22m ¹±．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．易错必考题二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）如果关于x 的一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，则代数式2023a b --的值为（）A ．2021-B ．2021C ．2025-D ．2025【答案】D【分析】根据一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，得到20a b ++=即2a b +=-，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，∴20a b ++=，∴2a b +=-，∴2023202322025a b --=+=，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．5．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=和20cx bx a ++=，其中a ，b ，c 是常数，且0a c +=，如果2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程20cx bx a ++=的根的是（）A ．2B ．2-C ．1±D ．1【答案】B【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．【详解】∵0a ¹，0c ¹，0a c +=，∴a c=-∴1c a =-，∴20b c x x a a++=，210c b x x a a ++=，∴210b x x a +-=，210b x x a--=，∵2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，∴2x =是方程210b x x a+-=的一个根，即32b a =-，∴2231102b x x x x a --=+-=，∴2x =-是方程210b x x a --=的一个根，即2x =-时方程20cx bx a ++=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）已知m 为方程2320230x x +-=的根，那么32220262023m m m +--的值为．【答案】4046-【分析】先根据一元二次方程解的定义得到232023m m =-+，再用m 表示3m 得到()2220262023m m m +--，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 为方程2320230x x +-=的一个根，∴2320230m m +-=，∴232023m m =-+，∴()322220262023220262023m m m m m m +--=+--()()32023220262023m m m =-++--23620232023220262023m m m m =--++´--()33202392023m m =--+-+93202392023m m =-´-+4046=-，故答案为：4046-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入的方法是解题关键．7．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知a ，b ，c 是非零实数，关于x 的一元二次方程204c ax bx ++=，204b cx ax ++=，204a bx cx ++=，有公共解，则代数式2c a b ab b a--的值为．【答案】2或1-【分析】设公共解为t ，根据一元二次方程根的定义得到204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加可得：0abc ++=或12t =-，分别代入所求式可解答．【详解】解：设公共解为t ，则204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加得()()204abc a b c t a b c t ++++++++=，即()2104a b c t t æö++++=ç÷èø，因为2211()042t t t ++=+³，所以0a b c ++=或12t =-，当0a b c ++=时，c a b =--，\原式222c a b ab--= 22222a ab b a b ab++--= 2=；当12t =-时，110424c a b -+=，110424b c a -+=，22c b a a b \=-=-，a b \=，\原式222244b ab a a b ab-+--=234b ab ab-= 22b b-= 1=-，综上，代数式2c a b ab b a--的值为2或1-．故答案为：2或1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，求代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值．【答案】117【分析】利用一元二次方程的解可得出281x x -=，将其代入24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的化简结果中即可求出答案．【详解】解：∵x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，∴281x x -=．24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø()()247137233x x x x x x +=+---+-¸()()2497343x x x x x +--=¸---()()2416343x x x x x +-=¸---()()()()444343x x x x x x +-+=¸---()()()()433444x x x x x x +-=×--+-()()144x x =--21816x x =-+1116=+17∴代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值为117．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键．9．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø；化简，得2240y y +-=；故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2320x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a -+=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2320y y --=(2)()200cy by a c -+=¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，将x y =-代入已知方程2320x x +-=，化简即可得到答案；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，x y \=-，把x y =-代入已知方程2320x x +-=，得()()2320y y -+´--=，化简得，2320y y --=，\这个一元二次方程为：2320y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x=，y 把1x y=代入已知方程()200ax bx c a -+=¹，得2110a b c y y æö-×+=ç÷èø，去分母得，20a by cy -+=，若0c =，则20ax bx -=，于是方程()200ax bx c a -+=¹有一根为0，不符合题意，0c \¹，\所求方程为：()200cy by a c -+=¹．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．易错必考题三、换元法解一元二次方程10．（2023秋·全国·九年级专题练习）若整数x ，y 使()()22221212x y x y +---=-成立，则满足条件的x ，y 的值有（）A ．4对B ．6对C ．8对D ．无数对【答案】C【分析】先化简()()22221212x y x y +---=-可得()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-；然后求得a 的值，最后列举出符合题意的x ，y 的整数值即可解答．【详解】解：由()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-，∴23100a a --=，即()()520a a -+=，解得：5a =或2a =-（舍弃），∴225x y +=．∴满足条件的x ，y 的整数值有：12x y =ìí=î，12x y =-ìí=î，12x y =ìí=-î，12x y =-ìí=-î，21x y =ìí=î，21x y =ìí=-î，21x y =-ìí=î，21x y =-ìí=-î，共8对．故选C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．11．（2023春·全国·八年级专题练习）用换元法解方程()()22212x x x x +++=时，如果设2x x y +=，那么原方程可变形为（）A ．2120y y ++=B ．2120y y --=C ．2120y y -+=D ．2120y y +-=【答案】D【分析】将原方程中的2x x +换成y ，再移项即可．【详解】解：根据题意，得212y y +=，即2120y y +-=；故选：D ．【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如果关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，那么关于y 的方程()21a y by c b -++=的解是．【答案】12y =，24y =，【分析】根据关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1x y =-，即可得到112211y x y x -=ìí-=î，解这个方程组即可得到答案．【详解】解：∵()21a y by c b -++=,∴()()2110a y b y c -+-+=,Q 关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令1x y =-，∴112211y x y x -=ìí-=î，∴1111y x -==或2213y x -==，解得12y =，24y =，故答案为：12y =，24y =．【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1y x -=是解决问题的关键．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程210210x x -+=的根为13x =，27x =，则方程2(21)10(21)210x x ---+=的根是．【答案】12x =，24x =【分析】设21x t -=，可得210210t t -+=，根据210210x x -+=的根为13x =，27x =，可得213x -=或217x -=，即可得到答案；【详解】解：设21x t -=，可得210210t t -+=，∵210210x x -+=的根为13x =，27x =，∴213x -=或217x -=，解得：12x =，24x =，故答案为12x =，24x =；【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设21x t -=，得到210210t t -+=，结合方程210210x x -+=的根为13x =，27x =．14．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =，代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø．化简，得2240y y +-=，故所求方程为2240y y +-=这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2210y y --=(2)20a by cy ++=()0c ¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，代入原方程即可得；（2）设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y =()0y ¹，代入方程20ax bx c ++=整理即可得．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，把x y =-代入方程2210x x +-=，得：2210y y --=，故答案为：2210y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y=()0y ¹，把1x y =代入方程()200ax bx c a ++=¹，得2110a b c y y æöæö++=ç÷ç÷èøèø，去分母，得20a by cy ++=，若0c =，有20ax bx +=，于是，方程20ax bx c ++=有一个根为0，不合题意，∴0c ¹，故所求方程为20a by cy ++=()0c ¹．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读材料：为了解方程()22215140x x ---+=（），我们可以将21x -看作一个整体，设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=①，解得121,4y y ==．当1y =，时，211x -=，∴22x =．∴2x =±；当4y =时，214x -=，∴25x =．∴5x =±．故原方程的解为12x =， 22x =-，35x =，45x =-．解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：()()222540x x x x +-++=；(3)请利用以上知识解方程：42340x x --=．【答案】(1)换元；转化(2)123411711715152222,,,x x x x -+---+--====(3)122,2x x ==-【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；（2）利用换元法解方程即可；（3）利用换元法解方程即可．【详解】（1）解：利用了换元法，体现了转化思想；故答案为：换元，转化；（2）设2x x y +=，原方程可变为2540y y -+=，则()()410y y --=，∴40y -=或10y -=，∴124,1y y ==，当4y =时，24x x +=，解得1172x -±=，当1y =时，21x x +=，解得152x -±=，∴原方程的解为123411711715152222,,,x x x x -+---+--====；（3）设2y x =，原方程可变为2340y y --=，解得124,1y y ==-，∵20x ³，∴24x =，解得122,2x x ==-．【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是理解并掌握换元法解方程．易错必考题四、配方法的应用16．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n \=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x 的一元二次方程新定义：若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22015ax bx -++取的最大值是（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a 与b 的方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【详解】解：∵22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”，∴22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ++-+=+-+，即22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ++-+=+-+++，∴2(2)438a b a -+=-ìí+=î解得510a b =ìí=-î∴22015ax bx -++＝25105201x x -+-＝25(1)2020x -++，则代数式22015ax bx -++能取的最大值是2020．故选：A ．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．18．（2023秋·江苏·九年级专题练习）实数x 和y 满足2212521640x xy y y -+++=，则22x y -= ．【答案】384【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x 与y 的值，代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】解：∵()()()()222222212521641236161646420x xy y y x xy y y y x y y -+++=+++-+++-==，∴60x y +=且420y -=，解得：12y =，3x =-，则22139844x y ==--，故答案为：384．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．（2023秋·全国·九年级专题练习）设m 为整数，且420m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个不相等的整数根，则m 的值是．【答案】12【分析】将方程化为2(23)21x m m -+=+，根据m 为整数，且方程有两个不相等的整数根即可求解．【详解】解：222(23)(23)21x m x m m --+-=+，\[]2(23)21x m m --=+，\2(23)21x m m -+=+，Q 420m <<，92141m \<+<，\2(23)21x m m -+=±+，Q m 为整数，且方程有两个不相等的整数根，\当2125m +=时，符合题意，解得：12m =；故答案：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，求参数的整数问题，掌握方法是解题的关键．20．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++． ②求2611x x ++的最小值．解：原式2691a a =++- 解：原式2692x x =+++2(3)1a =+- 2(3)2x =++．()()3131a a =+-++ 2(3)0x +³Q ，()()24a a =++ 2(3)22x \++³，即2611x ++的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：24a a ++_______________．(2)因式分解：21232a a -+．(3)求2443x x ++的最小值．【答案】(1)4(2)(4)(8)a a --(3)2【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可；（2）将32化成364-，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）将式子进行配方，再利用平方的非负性即可求解．【详解】（1）解：∵()22442a a a ++=+，故答案为：4；（2）解：21232a a -+【答案】（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21()02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××- 2152AC AC =-+ 2125(5)22AC =--+21(5)02AC --£Q ，\当5AC =，四边形ABCD 的面积最大，最大值为252．【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值．易错必考题五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()221340a x x a a -+++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．4a =-或1B ．4a =-C ．1a =D ．0a =【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把0x =代入()221340a x x a a -+++-=得2340a a +-=，再解关于a 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a 的值．【详解】解：把0x =代入()221340a x x a a -+++-=，得2340a a +-=，解得1a =或4a =-，而10a -¹，所以a 的值为4-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．23．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 3,55=，因此，{}max 3,53--=-；按照这个规定，若{}2max ,35x x x x -=--，则x 的值是（）A ．5B ．5或16-C ．1-或16-D ．5或16+【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x --=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x --=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>-，∴{}2max ,35x x x x x -==--，即2450x x --=，解得：125,1x x ==-（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x ->>，∴{}2max ,35x x x x x -=-=--，即2250x x --=，解得：116x =+（不符合题意，舍去），216x =-，综上：x 的值是5或16-，故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．24．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列解方程()2923x x -=-的过程，并解决相关问题．解：将方程左边分解因式，得()()()3323x x x +-=-，…第一步方程两边都除以()3x -，得32x +=，…第二步解得=1x -…第三步①第一步方程左边分解因式的方法是，解方程的过程从第步开始出现错误，错误的原因是；②请直接写出方程的根为．【答案】公式法二 3x -可能为0 13x =，21x =-【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；②利用因式分解法求解即可．【详解】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：3x -可能为0，故答案为：公式法，二，3x -可能为0；②∵()2923x x -=-，∴()()()3323x x x +-=-，∴()()()33230x x x +---=，则()()310x x -+=，∴30x -=或10x +=，解得13x =，21x =-，故答案为：13x =，21x =-．【点睛】本题考查因式分解，解一元二次方程．运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．25．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：0a ¹且0b ¹，221003a b ab +-=，那么a b a b +-的值等于．【答案】2-或2【分析】先把已知条件化为2231030a ab b -+=，再利用因式分解法得到30a b -=或30a b -=，然后把3b a =或3a b =分别代入a b a b+-中计算即可．【详解】解：∵221003a b ab +-=，即2231030a ab b -+=，∴(3)(3)0a b a b --=，∴30a b -=或30a b -=，当30a b -=时，即33,23a b a a b a a b a a ++===---；当30a b -=时，即33,23a b b b a b b b a b ++=-==-，∴a b a b+-的值等于2-或2．故答案为：2-或2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．26．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程2430x x k -+=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】(1)43k £(2)95m =【分析】（1）一元二次方程有实数根，则0D ³，由此即可求解；（2）根据（1）中k 的取值范围求出k 的值，由此可求出方程2430x x k -+=的解，把x 的值代入一元二次方程2(2)30m x x m -++-=即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：2(4)430k D =--´³，解得43k £，∴k 的取值范围43k £．（2）解：由（1）可知，43k £，∴k 的最大整数是1，∴方程2430x x k -+=可化为2430x x -+=，解得121,3x x ==，∵一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，2130m m -++-=，解得2m =；当3x =时，(2)9330m m -´++-=，解得95m =，又20m -¹，∴95m =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，掌握一元一次方程的定义，有实根的计算方法，解一元二次方程的方法的知识是解题的关键．27．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为1x ，()212x x x >，且213x x +为整数，求整数m 所有可能的值．【答案】(1)见解析(2)4-或2-或0或2【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10D =>，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）解方程求出方程的两根为m ，1m +，得出11343111x m x m m ++==+++，然后利用有理数的整除性确定m 的整数值．【详解】（1）解：证明：Q 22[(21)]4()10m m m D =-+-´+=>，\无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）22(21)0x m x m m -+++=Q ，即()[(1)]0x m x m --+=，解得：x m =或1x m =+．\一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=的两根为m ，1m +，12x x >Q ，11x m \=+，\11343111x m x m m ++==+++，如果311m ++为整数，则4m =-或2-或0或2，\整数m 的所有可能的值为4-或2-或0或2．【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出m 的整数值．易错必考题六、根据一元二次方程根的情况求参数28．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）若关于x 的一元二次方程2160x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的值可以是（）A ．8B ．8-C ．4D ．10【答案】D【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个不相等的实数根，∴22441160b ac m D =-=-´´>，∴264m >，∴8b >或8b <-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹，若240b ac D =-＞，则原方程有两个不相等的实数根；若240b ac D =-=，则原方程有两个相等的实数根；若240b ac D =-＜，则原方程没有实数根．29．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）若关于x 的一元二次方程()22230k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（）A ．73k £B ．73k >C ．73k <且2k ¹D ．73k £且2k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 20k -¹且224(2)30,k D =--´>然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；【详解】解：根据题意得 20k -¹ 且()2Δ24230k =--´>，解得 73k < 且 2k ¹，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k 的不等式是解此题的关键30．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x 的方程29304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（）．A ．0k ¹B ．1k ³-且0k ¹C ．1k ³-D ．1k >-且0k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：当0k ¹时，990k D =+³，∴1k ³-，当0k =时，原方程是一元一次方程，有实数根，∴1k ³-故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ¹，，，为常数)的根的判别式24b ac D =-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．31．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）已知关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，且a 满足25113a a -<ìí-£î，则a 的取值范围是（）A ．2a £-B ．23a<-C ．223a<-£-D ．233<a<-且2a ¹【答案】C【分析】由所给方程是一元二次方程可知20a -¹，由方程没有实数根可知Δ0<，再解不等组，找出交集即可．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，\()()212426404a a a a D =+--´=+<，20a -¹，\23a <-，2a ¹，Q a 满足25113a a -<ìí-£î，由251a -<得3a <，由13a -£得2a ³-，\23a -£<，\223a<-£-，故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式、解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式，即Δ0<时，方程没有实数根；Δ0=时，方程有两个相等的实数根；0D >时，方程有两个不等的实数根．32．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知关于y 的一元二次方程2230ky y -+=有实根，则k 的取值范围是．【答案】13k £且0k ¹．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到0k ¹且△22120k =->，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：当0k ¹时，方程是一元二次方程，则△2(2)120k =--³有实数根，解得13k £且0k ¹．故答案为13k £且0k ¹．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根与△=-24b ac 有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．33．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，若关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，则b c +的值为．【答案】3-【分析】先解方程360x -=得2x =，再把2x =代入方程20x bx c ++=得420b c ++=，接着根据方程有两个相等的实数解，得到2(3)4(6)0b c D =--+=，然后通过解方程组求出b 、c ，从而得到b c +的值．【详解】解：解方程360x -=得2x =，Q 关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，2x \=为方程20x bx c ++=的解，420b c \++=，Q 关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，\2(3)4(6)0b c D =--+=，把24c b =--代入得2(3)4(246)0b b ----+=，解得121b b ==-，当1b =-时，242c =-=-，123b c \+=--=-．故答案为：3-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式关系：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的根与24b ac D =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．34．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是．【答案】2a <且1a ¹【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，\210Δ(2)4(1)0a a -¹ìí=--->î，解得：2a <且1a ¹．故答案为：2a <且1a ¹．【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．35．（2023·辽宁抚顺·统考三模）若关于x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是．【答案】1-【分析】根据方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，得到()20,240k k ¹--＞，确定符合题意的整数解即可．【详解】∵x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，∴()20,240k k ¹--＞，∴0,1k k ¹＜，∵k 是整数，∴k 的最大整数值是1-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程满足的条件，解不等式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．36．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于x 的方程24m x mx x m -=-．(1)有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)有两个相等的实数根，求m 的值，并求出此时方程的根；(3)有实根，求m 的最小整数值．【答案】(1)12m >-且0m ¹(2)12m =-，122x x ==-(3)0【分析】（1）分两种情况讨论：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =->，求解即可；（2）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-=，求解即可；（3）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-³，求解即可．【详解】（1）解：24m x mx x m -=-，移项合并同类项得：2(1)04m x m x m -++=，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´>ëû，解得：12m >-；当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；∴m 的取值范围是12m >-且0m ¹；（2）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´=ëû，解得：12m =-，把12m =-代入24m x mx x m -=-得：21110822x x ---=，整理得：2440x x ++=，解得：122x x ==-；（3）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，有一个实数根，符合题意，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´³ëû，解得：12m ³-，∴m 的最小整数值是0；【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24Δb ac =-与一元二次方程根的情况是解题的关键．37．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)是否存在k 的值，使k 为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第21章一元二次方程考点知识点1．一元二次方程的判断标准：（1）方程是整式方程（2）只有一个未知数——（一元）（3）未知数的最高次数是2——（二次）三个条件同时满足的方程就是一元二次方程练习：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3=1x；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2-1．一元二次方程的个数是 .2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程05122=+-+-x k xk 是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．4、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式20 (0)ax bx c a ++=≠ 2ax 是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号练习：1、将一元二次方程3(1)5(2)x x x -=+化成一般形式为_____________，其中二次项系数a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________知识点3．完全平方式 a 2+2ab+b 2a 2-2ab+b2练习：1、说明代数式2241x x --总大于224x x --2、已知110a a+=,求1a a -的值.3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m= ，若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是。

若942++kx x 是完全平方式，则k = 。

知识点4．整体运算思路：把一个代数式看成一个整体来求值，然后代入去求另一个代数式的值。

练习：1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5．方程的解练习：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_ __．2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程。

知识点6．方程的解法⑴ 方法：①接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次练习：1、直接开方解法方程 (x-6)2-3=0 21(3)22x -=2、用配方法解方程 2210x x +-= 2430x x -+= 3、用公式法解方程 03722=+-x x 210x x --= 4、用因式分解法解方程3(2)24x x x -=- 22(24)(5)x x -=+5、用十字相乘法解方程2900x x --= 22100x x +-=知识点7．一元二次方程根的判别式：2b 4ac ∆=-练习：关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x . 求证：方程有两个不相等的实数根2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。

3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是知识点8．韦达定理1212,b cx x x x a a+=-=(a ≠0, Δ=b 2-4ac ≥0) 使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件0∆≥练习：1,已知方程25x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。

1、已知22x 4x 30+-=的两根是x 1 ,x 2 ，利用根于系数的关系求下列各式的值1211x x + 2212x x + 12(1)(1)x x ++ 212()x x - 3、已知关于x 的一元二次方程x 2－（m+2）x+14m 2－2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=18，求m 的值．知识点9．一元二次方程与实际问题病毒传播问题树干问题握手问题（单循环问题）贺卡问题（双循环问题）围栏问题几何图形（道路、做水箱）增长率、折旧、降价率问题利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）数字问题折扣问题第22章二次函数考点考点1、二次函数的定义定义： y=ax2＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习：1、y=-x ²，y=2x ²-2/x ，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？考点2、二次函数的图像及性质表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、练习：1、已知二次函数（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。

（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。

（3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x 为何值时，y<0？x 为何值时，y>0？2、直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……（）考点3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式y=ax2+bx+c(a ≠0) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式y=a(x-h)2+k(a ≠0)3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式y=a(x-x1)(x-x2) (a ≠0)练习：1、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。

2、已知二次函数y=ax2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。

求a 、b 、c 。

考点4、a ，b ，c 符号的确定抛物线y=ax2+bx+c 的符号问题：(1)a 的符号：上正下负（2）b 的符号：左同右异（3）C 的符号：上正下负原点零（4）b2-4ac 的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定mm -223212-+=x x y（5）a+b+c 的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c 的符号由x=1时，对应的y 值决定。

(6)a-b+c 的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y 值决定。

(7)4a+2b+c 的符号：因为x=2时,y=4a+2b+c,所以4a+2b+c 的符号由x=2时，对应的y 值决定。

(8)4a-2b+c 的符号：因为x=-2时,y=4a-2b+c,所以4a-2b+c 的符号由x=-1时，对应的y 值决定。

以此类推.练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（）A 、a<0,b>0,c>0B 、a<0,b>0,c<0C 、a<0,b<0,c>0D 、a<0,b<0,c<0 2、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（）A 、a>0,b>0,c=0B 、a<0,b>0,c=0C 、a<0,b<0,c<0D 、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 、 △的符号为（）A 、a>0,b=0,c>0,△>0B 、a<0,b>0,c<0,△=0C 、a>0,b=0,c<0,△>0D 、a<0,b=0,c<0,△<0要点：熟练掌握a ，b ， c ，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)4.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点和二、三、四象限，判断a 、b 、c 的符号情况：a 0,b 0,c 0.5.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，则a 、b 、c 满足的条件是：a 0,b 0,c 0.6.二次函数y=ax2+bx+c 中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数图象的顶点必在第象限要点：先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。

⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（）A 1个B 2个C 3个D 4个要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x 轴、y 轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。

考点5、抛物线的平移左加右减，上加下减；左右平移看自变量，上下平移看常数项。

练习：⑴二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2(x-3)2的图象。

⑵二次函数y=2x2的图象先向平移个单位，再向平移个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。

引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+641)25(2--=x 2152考点6二次函数与一元二次方程的关系 1、一元二次方程根的情况与b ²-4ac 的关系我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.2、二次函数y=ax ²＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax ²＋bx ＋c=0的解。

3、二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: (1)有两个交点 b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点, b2 – 4ac ≥0练习：(1)如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有＿个交 (2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x 轴的交点坐标是＿ (4)已知函数y ＝x 2－（2m ＋4）x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则m ＝___________．(5)若函数y ＝kx 2＋2（k ＋1）x ＋k －1与x 轴只有一个交点，求k 的值．考点7二次函数的综合运用例题：已知抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:Θ抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 ∴ a=1或-1又Θ顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5, ∴ 顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5练习：1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（）（A ）k ＜31 （B ）31＜k ＜1 （C ）k ＞1 （D ）k ＞1或k ＜1 2、若a+b+c=0,a ≠0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2) 新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线3、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，25），（1，6）三点，直线l 的解析式为y ＝2 x －3．（1）求抛物线G 的函数解析式；（2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；（3）若与l 平行的直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【分析】（1）略；（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．()有两个不相等的实数根方程时当00,0422≠=++>-a c bx ax ac b ():00,0422有两个相等的实数根方程时当≠=++=-a c bx ax ac b ()没有实数根方程时当00,0422≠=++<-a c bx ax ac b第23章旋转考点知识点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度练习：1、如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为，旋转角度为度（2）△AD D ′的形状是。