第21章一元二次方程

合集下载

人教版21章一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式,含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.注意：〔1〕一元二次方程必须是一个整式方程；〔2〕只含有一个未知数；〔3〕未知数的最高次数是2 ; 〔4〕二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0〔a 0〕,它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：〔1〕二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号.〔2〕要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式.〔3〕形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程,当且仅当 a 0时是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解, 如：当x 2 . 2 2时,x 3x 2 0所以x 2是x 3x 2 0万程的解.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 一元二次方程有两个根〔相等或不等〕三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.根据平方根的定义可知,x a是b的平方根,当b 0日寸,x a Vb , x a屈,当b<0时,方程没有实数根.三种类型：(1) x2a a 0的解是x ja ;(2) x m 2n n 0的解是x 品 m ;(3) mx n 2c m 0,且 c 0 的解是x ————n. m2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,那么有x2 2bx b2 (x b)2.(一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数；(3)把原方程变为x m2 n的形式.(4)假设n 0,用直接开平方法求出x的值,假设n<0,原方程无解.(二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax2 bx c 0a 0,a 1时,用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2) 先把常数项移到等号右边,再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；(3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为x m2 n的形式；(4)假设n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法.一i兀二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的求根公式： 2b b 4ac 2x ------------------------ 〔b 4ac 0〕2a用求根公式法解一元二次方程的步骤是：〔1〕把方程化为ax2 bx c 0 a 0的形式,确定的值a,b.c 〔注意符号〕；〔2〕求出b2 4ac的值；并判断方程根的情况；〔3 〕假设b2 4ac 0 ,那么把a,b,及b2 4ac的值代人求根公式b ' 4ac,求出x i,x2. 2a2x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即假设pq=0时,那么p=0或q=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：〔1〕将方程的右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕将方程左边分解成两个一次因式的乘积.〔3〕令每个因式分别为0,得两个一元一次方程.〔4〕解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.关键点：〔1〕要将方程右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法〔平方差公式,完全平方公式〕、十字相乘法.注意：一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法, 不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,由于配方法解题比较麻烦.三、一元二次方程根的判别式一i兀二次方程ax2 bx c 0〔 a 0〕中,b2 4ac叫做一i元二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的根的判别式,通常用“ 〞来表示,即b2 4acI 当4>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当4=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△ <0时,一元二次方程没有实数根利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b2 4ac的值；④根据b2 4ac的符号判定方程根的情况.根的判别式的逆用在方程ax2 bx c 0a 0中,(1)方程有两个不相等的实数根b2 4ac>0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac=0(3)方程没有实数根b2 4ac < 0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围, 但不能忽略二次项系数不为0这一条件.四、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是x1, x2 ,那么x i x2 b , x/2 -.a a也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程, 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.五、一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审题,(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答.关键点：找出题中的等量关系.(1) “审〞指读懂题目、审清题意,明确和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解决问题的根底；(2) “设〞是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的, 但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3) “列〞是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式, 即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4) “解〞就是求出所列方程的解；(5)检验应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100满等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.(6)作答知识点二用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关的问题增长率问题的有关公式：增长数(增长了多少)=基数X增长率实际数(增长后的值)=基数+增长数增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：1, 假设基数为a,增长率X为,那么一次增长后的值为a 1 x , 两次增长后的值为al x2;2, 假设基数为a,降低率x为,那么一次降低后的值为al x , 两次降低后的值为al x2.两次增长后的总和等于基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等.与利润相关的常用关系式有：(1)每件利润=销售价-本钱价；(2)利润率=(销售价一进货价)+进货价X 100%(3)销售额=售价X销售量知识点四数与数字的关系两位数=(十位数字)X10+个位数字三位数二(百位数字)X100+ (十位数字)X 10+个位数字连续的整数：设其中一数为x,另一数为x+1; (x-1 , x, x+1).连续的奇数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2).连续的偶数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2). 和一定的两数(和为a):设其中一数为x,另一数为a-x 差一定的两数(差为a):设其中一数为x,另一数为x+a 积一定的两数(积为a):设其中一数为x,另一数为a/x 商一定的两数(商为a):设其中一数为x,另一数为ax (x/a)知识点五传染问题：传染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1: (1+x)】患者：第一轮后：共(1+x)个第二轮后：共1+ x + (1+x) x = (1+x) ? (1+x),即(1+x) 2个第三轮后：共(1+x) 2+ (1+x) 2? x = (1+x) 2? (1+x),即(1+x) 3个第n轮后：共(1+x) “个［注意：上面例举的是传染源为“ 1〞的情况得到的结论.假设传染源为a,那么第n轮后患者共为：a (1+X) n个］知识点六翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍.知识点七银行利率应用题〔含利滚利问题〕年利息=本金X 年利率〔年利率为 a%知识点八几何类题：①等积变形,②动态几何问题,③梯子问题,④航海问题,⑤几何与图表信息,⑥探索存在问题,⑦平分几何图形的周长与面积积问题,⑧利用图形探索规律最常见的如：求直角三角形的边.面积S 一定,两直角边和〔和为a 〕一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,贝U l x 〔a-x 〕 =S 2面积S 一定,两直角边差〔差为a 〕一定：设其中一边为x,另一边为 x+a 或〔X-a 〕贝U l x 〔x+a 〕 =$或1乂〔x-a 〕 =S 2 2 斜边c 一定,两直角边和〔和为a 〕一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,那么 x 2+ 〔a-x 〕 2=c 2④斜边c 一定,两直角边差〔差为a 〕一定：设其中一边为x,另一边为 x+a 或 x-a 贝1J x 2+ 〔x+a 〕 2=c 2或 x 2+ 〔x-a 〕 2=c 2知识点九赛制循环问题：【单循环比双循环少了一半】单循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共1 [x 〔x-1 〕]场；双循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共x 〔x-1 〕场；注：双循环公式X 〔X-1〕,单循环公式1X 〔X-1〕,其实也就可以理 2 解为单循环循环赛就是和每个对手比赛 1次〔对手数量=参赛队数量 -1〕,而每场比赛有2队参加,就得除以2.双循环比赛场次是单循存一年的本息和: 存两年的本息和: 存三年的本息和: 存n 年的本息和: 本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕,即本金x ( 1+ a%) ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a%环的2倍.类似于此题其它题型如：相互握手；铁路沿线有n个站点要设计多少种车票；一条线段上有n个点(含两个端点),①该线段上共有n (n-1)条有向线段,②该线段上共有：n (n-1)条线段、二次根式的相关概念1 .平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫a的平方根,其中正的平方根而叫做a的算术平方根.2 .二次根式：形如a>0的式子叫做二次根式；3 .同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式称为同类二次根式.4 .最简二次根式：满足两个条件：①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.特别提示：二次根式,后有意义的条件是a>0 .二、二次根式的性质1. (1)三个非负性：①y>0(a>0);②册 2 a> 0(a> 0); 4a |a >0(a为任意实数).2.四个性质:_ 2① 4a a > 0(a > 0); =a (a>0)或-a(a <0)③ 7ab Va 而(a>0,b>0);④三、二次根式的运算:1 )二次根式的加减运算只需对同类二次根式进行合并;(2)二次根式的乘除法G x/b Vab(a > 0,b > 0) ^a^(a > 0,b>0)b特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式.。

第21章一元二次方程

第21章：一元二次方程一．基础知识（1）定义：一元二次方程的一般形式为： )0(2=++c bx ax (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

（2）一元二次方程的解法：（基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

）1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解。

2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解。

3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根aac b b x 242-±-=；（3）解一元二次方程的步骤：1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c（4）一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：①当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；②当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；③当△<0时，一元二次方程没有实数根；（5）C 一元二次方程与一次函数、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系：方程定义：含有未知数的的等式。

函数定义：如果两个变量x 、y ，并且对于x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数；一元一次方程：（0=+b ax ）定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

人教版初三九年级数学第二十一单元一元二次方程知识点及单元测试

第二十一章一元二次根式一．知识框架二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。

（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。

这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。

进而举例说明如何解形如的方程。

然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。

最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。

在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。

对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。

（3）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

第21章一元二次方程

结合教材中的问题1、问题2，从实际问题出发列出方程【活动方略】教师演示，给出题目．请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．8．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A 、k>-1B 、k>1C 、k ≠0D 、k>-1且k ≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是（） A 、3x 2－x －1=0; B 、x 2－2x －1=0; C 、9x 2=4（3x －1）;D 、x 2＋7x ＋15=0.10．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（）． A ． 4或-2 B ． -4或2 C ． 4 D ．-2三．简答题11．用公式法解方程(1)x 2+15x=-3x; (2)x 2+x-6=0; (3)3x 2-6x-2=0; (4)4x 2-6x=012．（8分）如图，是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x 的值．13. （10分）已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240x x -+=的一个根，求这个三角形的周长。

14．已知一元二次方程2-40x x k +=有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程2+-10x mx =与2-40x x k +=有一个相同的根，求此m 的值。

人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点

人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。

形如：()200ax bx c a ++=≠ 例1．关于x 的方程(m －4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.【答案】≠4，=4【解析】试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果.由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程.考点：一元二次方程，一元一次方程点评：熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.例2．关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.【答案】m ≠-1且m ≠2【解析】试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。

由题意得m2-m-2≠0，解得m ≠-1且m ≠2.考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0.2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。

例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A ．3，-6，1B ．3，6，1C ．3x2,6x ，1D ．3x2,-6x ，1【答案】A【解析】试题解析：3x2-6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1．故选A ．考点：一元二次方程的一般形式．例2．若关于x 的方程0142=--x ax 是一元二次方程，则a 满足的条件是（）A ．a ＞0B ．0≠aC ．0<aD ．4≠a【答案】B【解析】试题分析：本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a b c 都是常数，且a ≠0）．根据一元二次方程的定义得出a ≠0即可．考点：一元二次方程的定义．例3．请你写出一个有一根为1的一元二次方程____________________．【答案】（x+1）（x －1）=0（不唯一）【解析】试题分析：本题利用因式分解法，保证其中有一个解为x=1就可以．考点：一元二次方程的解．例4．关于x 的方程053)2(2=-+-x x m 是一元二次方程，则m 的取值范围是．【答案】m ≠2．【解析】试题解析：由一元二次方程的定义可得m-2≠0，解得m ≠2．考点：一元二次方程的定义．例5．关于x 的方程221(1)50a a a xx --++-=是一元二次方程，则a=_________．【答案】3．【解析】试题分析：221(1)a a a x --+是方程二次项，即221210a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得：a=3．故答案为：3．考点：一元二次方程的定义．21.2解一元二次方程21.2.1 配方法配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章一元二次方程
课程结束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

九年级上册数学21章22章知识点

九年级上册数学21章22章知识点第 21 章一元二次方程。

1. 一元二次方程的概念。

形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程叫做一元二次方程，其中ax^2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 一元二次方程的一般形式。

一般形式为ax^2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，a≠0）3. 一元二次方程的解法。

- 直接开平方法：适用于形如(x + m)^2 = n（n≥0）的方程。

- 配方法：通过配方将方程化为完全平方式，再求解。

- 公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），其解为x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，前提是b^2 - 4ac≥0。

- 因式分解法：将方程化为两个因式乘积等于 0 的形式，从而求解。

4. 一元二次方程根的判别式。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），Δ = b^2 - 4ac- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根。

5. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为x_1、x_2，则有x_1 + x_2 = -(b)/(a)，x_1x_2 = (c)/(a)第 22 章二次函数。

1. 二次函数的概念。

形如y = ax^2 + bx + c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。

2. 二次函数的图象和性质。

- 图象是一条抛物线。

- 当a > 0时，抛物线开口向上，对称轴为x = -(b)/(2a)，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，抛物线开口向下，对称轴为x = -(b)/(2a)，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。

第21章一元二次方程教案

第二十一章一元二次方程课题课时1课时课型新授课学习目标1、理解一元二次方程的概念；2、知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；3、会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

判定一个数是否是方程的根；难点由实际问题列出一元二次方程。

准确理解一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

考点一元二次方程的定义、一般式、系数。

导学流程【自主预习】－－－－－－不议不讲（一）温故知新问题1如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__________，宽为__________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场.列方程____________________________化简整理得________________________ ③（二）探索新知请回答下面问题：（1）方程①②中未知数的个数各是多少？（2）它们最高次数分别是几次？方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.（三）、总结归纳1.一元二次方程：_____________________________________________.2.一元二次方程的一般形式：____________________________ .。

第二十一章21.1一元二次方程

答案 2 易错警示根据一元二次方程的定义求未知字母的值是常考题型.当二次项系数中含有未知字母时,如果忽视隐含条件a≠0,也许就会导致解题错误.如本题中,如果忽视这个条件,就会得出m有两个值,扩大m的取值范围.
21.1 一元二次方程
栏目索引
知识点一一元二次方程的定义及一般形式
1.(2019江西九江柴桑月考)下列方程属于一元二次方程的是 ( )
解析
① 3
x2-x= 5
1
符合一元二次方程的定义;②x= x 不是整式方程,故
不是一元二次方程;③由x(x-3)Байду номын сангаас(x-2)(x+2)化简得到-3x=-4,是一元一次方
程;④由(2x-1)(x+3)=2x-1化简得到2x2+3x-2=0,符合一元二次方程的定
义;⑤ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)不是方程.综上所述,是关于x的一
定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程
一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b 是一次项系数;c是常数项
知识拓展 (1)构成一元二次方程的三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.(2)这里所说的整式是关于未知数的整式,在有些含有字母系数的方程中,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含未知数,这样的方程仍是整式方程
正确理解题目的含义
找出其中的数量关系和等量关系
列出一元二次方程
栏目索引

人教版初中数学《第21章一元二次方程》单元教材教学分析

学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
1.为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程
学生已经具备解一元二次方程的基本思想—化归，即把方程转化为一次方程，但在面对解一元二次方程的任务时，不知该用什么解法，因此，在教学中应加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。
2.加强数学抽象能力和数学建模能力的建构
许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与一元一次方程相比，一元二次方程有更广泛的应用，这可以通过建立和求解一元二次方程模型的完整过程，即从具体情境中抽象出数学问题建立方程表示数量关系，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处。
人教版初中数学《第21章一元二次方程》单元教材教学分析
学段及学科
初中数学
教材版本
人教版
单元名称
《第21章一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型，一元二次方程的解法和实际应用是初中阶段的核心内容。并学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题，为后续的二次函数等打下学习基础。
单元目标
会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，掌握根的判别式的应用，以及能够用一元二次方程解决有关实际问题。
重点、难点与关键
1.重点：解一元二次方程的基本思路和具体解法
2.难点：建立一元二次方程模型解决实际问题
教学方法和手段的设计
第一节课采用问题和情景引入，如“什么是一元二次方程，你能举个例子吗？”，对于解法“基本思路：通过恒等变形，把方程逐步转化为x=a的形式”
课时安排
第一课时：一元二次方程
第二课时：解一元二次方程—直接开平方法
第三课时：解一元二次方程—配方法（一）
第四课时：解一元二次方程—配方法（二）
第五课时：解一元二次方程—公式法

人教版九年级数学上册知识点总结：第二十一章一元二次方程

人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：1、已知关于x的方程（）x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

九年级上册数学第二十一章-一元二次方程教案

第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点]通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程你能举一个方程的例子吗2．下列哪些方程是一元一次方程并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x ＋1＝0 (4)x 2＝1·3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知根据题意列方程．1．教材第2页问题1. 提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定本题应该设哪个量为未知数(2)本题中有什么数量关系能利用这个数量关系列方程吗怎么列方程^(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗请说出整理之后的方程． 2．教材第2页问题2. 提出问题：(1)本题中有哪些量由这些量可以得到什么(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系如果有5个队参赛，每个队比赛几场一共有20场比赛吗如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题： <本题需要设两个未知数吗如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少活动3 归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字 (3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．】2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点等号的左、右分别是什么 (2)为什么要限制a≠0，b ，c 可以为0吗(3)2x 2－x ＋1＝0的一次项系数是1吗为什么3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4 例题与练习例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________． ,(1)4x 2＝81；(2)2x 2－1＝3y ；(3)1x 2＋1x ＝2；(4)2x 2－2x(x ＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2 教材第3页例题．例3 以－2为根的一元二次方程是( ) A ．x 2＋2x －1＝0 B ．x 2－x －2＝0 C ．x 2＋x ＋2＝0 D ．x 2＋x －2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．；练习：1．若(a －1)x 2＋3ax －1＝0是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围是________． 2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x 2＝81；(2)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3. 3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x 的一元二次方程2x 2＋7x －k ＝0的一个根，则k 的值为________．答案：≠1；2.略；3.略；＝4. 活动5 课堂小结与作业布置 >课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识一元二次方程的一般形式是什么一般形式中有什么限制你能解一元二次方程吗作业布置教材第4页习题第1～7题. 解一元二次方程21．配方法(3课时) 第1课时直接开平方法:理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．。

人教版数学九年级上册第21章一元二次方程知识点汇总

人教版数学九年级上册第21章一元二次方程知识点汇总1. 一元二次方程的定义及一般形式：(1) 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如 (x+a )²=b(b≥0) 的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得 x +a =√b 或者 x +a =−√b,∴x =−a ±√b 。

注意：若b<0，方程无解(2) 因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0：②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

(3) 配方法:用配方法解一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当n<0时，方程无解(4) 公式法:一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 根的判别式： △=b²-4ac△>0⇔方程有两个不相等的实根： x =−b±√b 2−4ac 2a (b 2−4ac ≥0)f (x )的图像与x 轴有两个交点 (2) 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x+m)²=n(n≥0)的形式；。

第21章 一元二次方程

人教版21章一元二次方程知识点总结

第21章 一元二次方程

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结

人教版初三九年级数学第二十一单元一元二次方程知识点及单元测试

第21章 一元二次方程

人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

九年级上册数学21章22章知识点

第21章 一元二次方程教案

第二十一章21.1一元二次方程

人教版初中数学《第21章一元二次方程》单元教材教学分析

人教版九年级数学上册知识点总结：第二十一章一元二次方程

九年级上册数学第二十一章-一元二次方程教案

人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总

第21章一元二次方程

第21章一元二次方程

第21章一元二次方程

第21章一元二次方程教案

人教版数学九年级上册第21章一元二次方程知识点汇总