高等数学27-313 73 齐次方程

合集下载

齐次与非齐次方程

齐次与非齐次方程方程是数学研究的基础，并且在各个领域中都起着重要作用。

在代数方程中，可以将其分为齐次方程和非齐次方程。

一、齐次方程齐次方程是指方程中所有项的次数均相同的方程，例如：ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0其中n为常数，a、b、c、…、p和q为系数。

解齐次方程的方法是假设方程有一个非零解，然后通过一系列的代数运算找到方程的通解。

例如，对于一次齐次方程ax + by = 0，可以假设x = 1并求解出y = -a/b，这就是方程的通解。

对于高次齐次方程，可以使用特征根法来解。

假设ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0有一个非零解y = x^m，其中m为常数。

将y 代入原方程中，得到：a(x^m)^n + b(x^m)^n-1 + c(x^m)^n-2 + … + px^m + q = 0化简后可得到：a + b/x + c/x^2 + … + p/x^(n-m-2) + q/x^(n-m) = 0由于x ≠ 0，所以方程可继续化简为：a + b/x + c/x^2 + … + p/x^(n-m-2) + q/x^(n-m) = 0这是一个关于x的齐次方程，可以通过求解它的特征根来得到方程的通解。

二、非齐次方程非齐次方程是指方程中至少有一个项的次数与其他项不同的方程，例如：ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = f(x)其中f(x)为非零函数。

求解非齐次方程的常用方法是通过特解和通解相加得到方程的完整解。

首先，找到一个特解y1，使得f(x) = q，然后将特解代入原方程得到齐次方程。

求解齐次方程得到通解y2，将特解和通解相加即可得到非齐次方程的解。

具体步骤如下：1. 求解齐次方程ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0的通解y2。

2. 找到一个特解y1，满足f(x) = q。

高数第三节齐次方程

分离变量法得
X 2 ( u2 2u 1) C ,
即 Y 2 2 XY X 2 C ,
将 X x 1,Y y 2 代回，
得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C , 或 x 2 2 xy y 2 2 x 6 y C1 .
dz x 2 z 3 , 令 sin y z dx 2 x 4 z 3 du 6 再令 x 2z u , dx 3 2u
两边积分后得 3u u2 6 x C , 变量还原得 3( x 2 sin y ) ( x 2 sin y ) 6 x C .
dy y y tan 例 3 求解微分方程 dx x x
例 4 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x 解令u y ，则 dy xdu udx，
x
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0,
2
解
2u u u xu , 2 1 u u
2
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
3 1 ln(u 1) ln(u 2) ln u ln x ln C , 2 2 u1 Cx. u ( u 2)
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u , 代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)

(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。

此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一：将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二：因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ），不能够用队列式的方法来判断），进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注：此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解：将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ；令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ；令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个基础解系为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的通解为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。

一齐次方程

dX
a1 X b1Y a1h b1k c1
ah bk c 0, a1h b1k c1 0,
(1)
a
b 0,
有唯一一组解.
a1 b1
dY dX
f ( aX bY ) a1 X b1Y
得通解代回
X Y
x h, y k，
(2) 0, 未必有解, 上述方法不能用.
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
令 z ax by,
则 dz a b dy， 1 ( dz a) f ( z c ). 可分离变量.
dx
d的通解. dx x y 3
利用变量代换求微分方程的解
例5 求 dy ( x y)2的通解. dx
三、小结
齐次方程 dy ( y).
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
dx
dy
例 2 求解微分方程 x2 xy y2 2 y2 xy .
例 3 抛物线的光学性质
实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面
解如图设旋转轴 ox轴 y T
光源在(0,0), L : y y( x)
二、可化为齐次的方程
1.定义形如 dy f ( ax by c )的微分方程
dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
2.解法令x X h,（其中h和k是待定的常数）
y Y k， dx dX , dy dY
dY f ( aX bY ah bk c )
§12、3 齐次方程
一、齐次方程
1.定义形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =；（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解；（4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。

齐次方程_??????

齐次方程一、什么是齐次方程？简言之，齐次方程是指形如 $ax^2+bx+c=0$ 的二次方程，其中$a,b,c$ 是常数，而且 $a\e 0$，此时对比出来的齐次方程是$\\frac{x^2}{a}+\\frac{bx}{a}+\\frac{c}{a}=0$，也就是 $x^2+bx+c=0$。

通用地说，形如 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$（其中，$a_1,a_2,\\cdots,a_n$ 都是常数，而且至少有一个 $a_i\e 0$ ）的一次齐次方程称为 $n$ 元线性齐次方程。

总之，齐次方程的特点有以下几点：1. 带有 $0$ 项的方程是齐次方程；2. 每一项的次数都相同；3. 方程中的常数项为 $0$；4. 方程中每个系数都是相同次数的幂。

二、齐次方程的解法通常使用行列式解法或保持族的形式解法来解齐次方程。

〇、零解首先，任何一个齐次方程都有一个特殊的解，那就是零解。

这个解比较好解决，因为当 $x_1=x_2=\\cdots=x_n=0$ 时，方程显然成立。

一、行列式解法1. 唯一性定理：对于 $n$ 元线性齐次方程 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$，若其有非零解，则该方程的任意$n$ 个非零解在它们的比值下等于几个常数的比值。

2. 基础定理：对于 $n$ 元线性齐次方程 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$，其通解可以表示成 $x_i=C_1x_{i_1}+C_2x_{i_2}+\\cdots+C_tx_{i_t}$，其中$t$ 是非零解的个数，$i_1,i_2,\\cdots,i_t$ 是一个 $1,2,\\cdots,n$ 的排列，而$C_1,C_2,\\cdots,C_t$ 是任意常数。

3. 行列式解法：若要解决 $n$ 元线性齐次方程 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$，可以构造行列式：$$\\left\\vert\\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \\cdots & a_{1,n} \\\\a_{2,1} & a_{2,2} & \\cdots & a_{2,n} \\\\\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{n,1} & a_{n,2} & \\cdots & a_{n,n}\\end{matrix}\\right\\vert$$如果此行列式等于 $0$，则有非零解；否则只有零解。

齐次方程组

定理：若齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r ( A) = r < n，则它有基础解系，且基础解系所含解向量的个数为n − r。
必须牢记：基础解系所含向量的个数为基础解系所含向量的个数为
未知数个数减系数矩阵的秩。未知数个数减系数矩阵的秩。
推论1：对齐次线性方程组，有若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=r<n ，则方程组有无数多解，其通解为 k1ξ1 + k 2ξ 2 + ⋯ + k n − rξ n − r
(ii )任一解都可由ξ1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n − r 线性表示。
设ξ = (c1 , c2 ,⋯ cr , cr +1 ,⋯ , cn )T 为方程AX = O的任意解，令
ξ0 = cr +1ξ1 + cr + 2ξ 2 +⋯ cnξ n-r
由齐次线性方程组的性质知ξ 0也是方程组的解向量，且ξ 0 的后n − r个分量为cr +1 , cr + 2 ,⋯ , cn , 与ξ的后n − r个分量相等。
A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0
所以ξ1 + ξ 2 也是方程组的解向量。性质2： ξ 是解向量，∀k ∈ R,则kξ 也是解向量。证：由于 A(λξ ) = λ ( Aξ ) = λ 0 = 0, 故 λξ 是方程组的解向量。
从几何上看，这两个性质是清楚的.在n=3时,每个齐次方程表示一个过原点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质. 由上述性质知，若 ξ1 , ξ 2 ,⋯, ξ n−r 都是方程组的解向量， λ1 , λ2 ,⋯, λn−r 为任意数，则

高等数学同济五版123齐次方程

举例
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过引入参数 $lambda = frac{y}{x}$，我们可以得到参数方程 $xlambda' = y'$，进一步求解得到 $x^2 = lambda y$。
幂级数法
总结词
通过将齐次方程转化为幂级数形式，求解齐次方程。
详细描述
幂级数法是将齐次方程转化为幂级数形式，然后通过求解幂级数得到原方程的解。这种方法适用于某些难以直接求解的齐次
方程。
举例
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过幂级数法，我们可以得到 $y = x^n$，其中 $n$ 是待求的幂级数系数。
03
齐次方程的应用
在物理中的应用
投资组合优化
在投资组合优化问题中，投资者需要选择一组资产进行投资，以实现收益的最大化和风险的最小化。在这个问题中，可以通过建立齐次方程来描述资产之间的相关性，从而帮助投资者进行投资决策。
在工程中的应用
机械振动
在研究机械振动问题时，常常需要用到齐次方程来描述振动的规律。例如，在研究桥梁、建筑物的振动问题时，可以通过建立齐次方程来描述振动的频率和振幅。
齐次方程的特点
齐次方程的每一项都是$y$的整数次幂之和，且每一项的次数都相同。
齐次方程的性质
齐次方程的解的性质
如果$(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$是齐次方程的一个解，那么$k(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$也是该方程的解，其中$k$为任意非零常数。
齐次方程的分类
按照指数分类
根据指数的不同，可以将齐次方程分为线性齐次方程、二次齐次方程、三次齐次方程等。

同济大学高等数学第六版第三节齐次方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

du 1 u2 解得 arctan u x C , dx 代回 u x y,得 arctan( x y) x C ,
原方程旳通解为 y tan( x C ) x.
例求方程 f (xy) ydx g(xy)xdy 0 通解.
解令u xy, 则 du xdy ydx,
分离变量
u
d
2
u
u
dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
阐明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程旳解, 但在
求解过程中丢失了.
dy y
y
令 v x , 则 x yv, dx v y dv
y
dy
dy
y dv 1 v 2 dy
积分得 ln ( v 1 v2 ) ln y ln C
故有
y2 C2
2y v C
1
v 1 v2 y C
( y v)2 1 v2 C
代入 y v x, 得 y2 2C ( x C ) (抛物线) 2
arctan y 5 1 ln (x 1)2 ( y 5)2 x 1 2 思索: 若方程改为 dy x y 4 , 怎样求解?
dx x y 6 提醒: 令 v x y.
例. 求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
解
1
1 2 0,
11
方程组hh
k k
故反射镜面为旋转抛物面.
阐明:
y2
2C
(
x
C 2

齐次微分方程概念

齐次微分方程概念全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：齐次微分方程是微积分中一类重要的方程类型，其解的形式非常特殊且具有重要的应用价值。

在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，因此对齐次微分方程的概念和解法有着深入的研究意义。

我们来介绍一下什么是齐次微分方程。

齐次微分方程是指形如dy/dx=f(y/x)的微分方程，其中f是一个关于y/x的函数。

齐次微分方程的特点是其右端函数中只包含y/x的比值，不包含y和x的独立函数。

这种形式的微分方程在解析上具有很大的优势，因为通过变换可以将其转化为分离变量的形式，从而更容易求解。

齐次微分方程的一般形式为dy/dx=f(y/x)，其中f是一个关于y/x 的函数。

我们可以通过引入新的变量u=y/x来将齐次微分方程转化为分离变量的形式。

令u=y/x，则dy/dx=y'*x-y/x^2=y'-u，带入原方程可得u'=f(u)，这就是一个分离变量的形式。

通过对u=f(y/x)进行积分，可以求得u关于x的表达式，进而求得y关于x的表达式，从而解决齐次微分方程的问题。

齐次微分方程的解法并不复杂，但是要注意一些技巧和方法。

首先要注意将齐次微分方程转化为分离变量的形式，通常引入新的变量来简化方程是一个有效的方法。

其次要注意对分离变量的方程进行积分时，需要注意常数C的选取，通常根据题目给出的初始条件来确定。

在求解过程中要注意对微分方程的变量进行合理的代换和替换，以简化计算和降低难度。

齐次微分方程是微积分中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。

通过对齐次微分方程的解法和原理的深入研究，可以更好地理解微分方程的性质和解法，提升数学建模和问题求解的能力。

希望通过这篇文章的介绍，读者对齐次微分方程有更加深入的理解和掌握。

【字数：502】第二篇示例：齐次微分方程是微分方程中的一类重要问题，它在数学中具有重要的应用价值。

齐次微分方程的定义相对较为简单，但是在解题过程中却需要一定的技巧和方法。

高数第七章齐次方程

A
y
d
x
O h
( C , 0)
2
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为 d2 d2 y2 z2 x 4h 16h
作业目录上页下页返回结束
作业
P309 1 (4), (6) ; 2 (2), (3) ;
3;
第四节
目录
上页
下页
返回
结束
dx 1 分离变量得， 1- du x u
两端积分得，u ln u C ln x
ln xu u C
y y u代入上式得，ln y C x x
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程. 解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设
y
由光的反射定律: 入射角 = 反射角可得 OMA = OAM =
M
T

y
A O P 从而 AO = OM y 而 AO AP OP y cot x x y 2 2
x
OM x y
于是得微分方程 :
y x x2 y2 y
目录上页下页返回结束
目录上页下页返回结束
例2. 解微分方程
dy y y 2 解: 方程变形为 dx x x 2u u2 则有 u xu
y , 令u , x
2
du dx 1 1 dx 分离变量即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln 即 ln x ln C , u u

齐次方程)高等数学微积分课件

y2 2C( x C ) 2
抛物线
所求旋转轴为 ox轴的旋转抛物面方程为
y2 z2 2C( x C ). 2
6.2.3 可化为齐次的方程
1.定义形如 dy f ( ax by c )的微分方程
dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
例3.解微分方程
解:方程变形为 d y 2 y y 2 ,令 u y ,则有
dx x x
x
u x u 2 u u2
分离变量
du dx u2 u x
yT
M
R
o
x
N
L
得微分方程
由夹角正切公式得
tanOMN tanNMR

1 1 y
1y y x y
xy
yy2 2xy y 0, 即 y x ( x)2 1. yy
令u y，得 u x du 1
例1. 解微分方程解:令 u y , 则 y
yபைடு நூலகம்
y tan y . xx
u x u, 代入原方程得
x
u x u u tanu
分离变量 cos u d u dx
sin u
x
两边积分

cos sin
u u
d
u

dx x
得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x

高等数学齐次方程

代回原变量得通解
求解过程中丢失了.
机动目录上页下页返回结束
x ( y x ) C y(C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
第四节一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
*
第七章
二、伯努利方程
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、一阶线性微分方程
( x ) d x P y C e
机动目录上页下页返回结束
故通解为
d y P (x )yQ (x ) 2. 解非齐次方程 d x
用常数变易法: 作变换 y ( x ) u ( x ) e
P ( x ) d x则
,
P (x) ue P ( x ) u e d u P (x )dx Q (x )e 即 d x ( x ) d x P y C e 对应齐次方程通解 P ( x ) d x 两端积分得 u Q ( x ) e d x C
2 y u ( x 1 ) 2 u ( x 1 )
代入非齐次方程得
1 (x u 1 )2
3 2 u ( x 1 ) 2 C 解得 3 3 2 2 ( x 1 ) ( x 1 )2 C 故原方程通解为 y 3
机动目录上页下页返回结束
思考与练习
判别下列方程类型: d y d y ( 1 ) x yx y d x d x d y ( 2 )x y (ln y ln x ) d x 提示: y 1 dx 可分离 dy 变量方程 y x dy y y 齐次方程 ln dx x x 2 d y 1 x 3 线性方程 y ( 3 ) ( y x ) d x 2 x d y 0 dx 2x 2 2 线性方程 d x 1 y 3 x ( 4 ) 2 y d x ( y x ) d y 0 dy 2y 2

齐次方程的原理

齐次方程的原理
齐次方程是指形如 $ax^n + bx^{n-1}+ \cdots + kx^2 + px + q =
0$ 的方程，其中 $a, b, k, p, q$ 都是常数，且 $n \geq 2$，
$x$ 是未知数。

齐次方程的求解可以通过引入新的变量来简化。

设$y = x^n$，则原方程可以转化为 $ay + by^{n-1} + \cdots + ky^2 + py + q =
0$。

这样一来，方程中的指数被降低了。

进一步观察可发现，$y=x^n$ 可以看作是一个齐次方程，因此
我们可以将它化简为 $a_1y^{n-1} + \cdots + a_{n-1}y + a_n =
0$。

这个方程可以通过代数方法或高等数学中的求根公式进行求解。

一旦求出了 $y$ 的值，再回代得到 $x$ 的值即可。

注意，由于方程中的指数降低了，因此可能会有多个实或复数解。

总结来说，齐次方程的原理是通过引入新的变量将方程化简，进而转化为一个更易求解的齐次方程。

通过求解齐次方程得到的结果再回代，即可得到原方程的解。

《齐次方程》课件

偏微分齐次方程
总结词
偏微分齐次方程是偏微分方程中的一类重要方程，其解法涉及到偏微分方程的基本理论和数值计算。
详细描述
偏微分齐次方程通常出现在物理、工程和金融等领域。其解法包括分离变量法、有限元方法和谱方法等。这些方法能够处理复杂的偏微分方程，并给出精确或近似解。偏微分齐次方程在解决实际问题中具有重要的作用，例如描述波动现象、流体动力学或金融衍
非线性齐次方程
总结词
非线性齐次方程是线性代数中的一类重要方程，其解法涉及到非线性分析和数值计算。
详细描述
非线性齐次方程的解通常需要使用迭代法、摄动法或数值分析中的其他方法。这些方法能够处理非线性问题，并给出近似解。非线性齐次方程在物理、化学和工程等领域有广泛的应用，例如描述化学反应的动力学行为或预测工程结构的稳定性。
定性。
04
齐
高阶齐次方程是线性代数中一类重要的方程，具有高度的数学美感和实际应用价值。
VS
详细描述
高阶齐次方程是二阶或更高阶的线性方程，其解法通常涉及到复杂的代数运算和矩阵理论。通过对方程进行因式分解、降阶或使用特殊矩阵，可以求解高阶齐次方程。此外，高阶齐次方程在物理、工程和经济学等领域有广泛的应用。
在工程中的应用
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
建筑设计
在建筑设计中，齐次方程被用来解决各种结构分析和设计问题，如分析建筑结构的稳定性、优化建筑材料的用量等。它能够确保建筑的安全性和经济性。
机械设计
在机械设计中，齐次方程被用来描述和分析各种力学问题，如分析机械零件的应力分布、预测机械系统的运动轨迹等。它能够提高机械设
03
3. 解齐次方程的方法是将其化为标准形式，然后利用代数方法求解。

高等数学课件D73齐次方程

解: 令 u y , 则 y u x u, 代入原方程得 x
u x u u tan u
分离变量
cos u d u dx
sin u
x
两边积分得
cos u sin u
d
u
dx x
此处 C 0
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
故原方程的通解为
sin y C x x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
例2. 解微分方程
解: 方程变形为 dy 2 y y 2, 令 u y ,
dx x x
x
则有
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u
dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得
ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
dx
dx
dv a b v c (可分离变量方程)
dx
v c1
注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
( c2 c12 0 )
例4. 求解
解: 令 h k 4 0 得 h 1, k 5 hk 6 0
令 x X 1, y Y 5 , 得 dY X Y d X X Y
再令 Y＝X u , 得
第三节
第七章
齐次方程
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y ,
x
代入原方程得
u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得

《齐次线性方程组》课件

齐次线性方程组的通解
通过求解齐次线性方程组，可以得到一组通解，形式上可以表示为一组自由变量的线性组合。
齐次线性方程组的特殊情况
零解是齐次。
齐次线性方程组的基础解系
基础解系是指一组特殊的解集，可以通过基础解系的加权线性组合来表示齐次线性方程组的所有解。
《齐次线性方程组》PPT 课件
让我们一起探索《齐次线性方程组》的奥秘吧！从定义、解法、应用，到更深入的拓展，这个课件将带领您解开这道数学之谜。
线性方程组的定义
线性方程组是具有类似形式的一组方程，解是可以同时满足所有方程的数值或变量。
齐次线性方程组的概念
齐次线性方程组是指其中所有方程的右侧都为零的线性方程组。
齐次线性方程组的应用
齐次线性方程组在几何、物理和工程领域都有广泛的应用，可以帮助解决各种实际问题。
齐次线性方程组的解法思路
解齐次线性方程组的关键在于确定基础解系和通解，通过逐步推导和变量的代入可以得到解的具体形式。
非齐次线性方程组的概念
非齐次线性方程组与齐次线性方程组相比，其右侧的常数项不全为零。
谢谢观看！
希望这个《齐次线性方程组》的PPT课件能够对您有所帮助，谢谢观看！
非齐次线性方程组的解法
非齐次线性方程组的解法需要先求解对应的齐次线性方程组，再确定特解，通过齐次解和特解的组合得到非齐次方程组的解。
齐次线性方程组在数学中的重要性
齐次线性方程组是数学中重要的概念之一，它是线性代数和高等数学的基础，为解决各种实际问题提供了强有力的工具。
关于作者
作者是一位热爱数学的专家，拥有多年从事齐次线性方程组研究的经验，并积极分享自己的知识和见解。

高数齐次方程

y 解法: 令 u , x
代替 u, 便得原方程的通解.
y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u, 代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx 此处 C 0 du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
第三节齐次方程
一、齐次方程
*二、可化为齐次方程的方程
3/2/2017
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
积分后再用
3/2/2017
代回原变量得通解求解过程中丢失了.
3/2/2017
x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
3/2/2017
例2. 解微分方程
dy y y 2 解: 方程变形为 dx x x 则有 u x u 2 u u 2
y , 令u , x
2
du dx 1 1 dx 分离变量即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln

探究齐次方程的求解方法

探究齐次方程的求解方法齐次方程，又称为齐次线性方程，是数学中常见的一类方程。

它的特点是所有项的次数都相同，并且常数项为零。

在本文中，我们将探究齐次方程的求解方法，深入了解它的性质和解的特点。

一、齐次方程的定义与性质齐次方程可以表示为：$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$，其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为常数，且$a_n \neq 0$。

1. 齐次方程的次数：齐次方程中最高次项的次数即为方程的次数。

2. 齐次方程的特征根：一个齐次方程的解是一个同次线性方程$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$的零根。

3. 齐次方程的解集：齐次方程的解构成一个向量空间，记为$V$。

解集中的解可用零空间的基来表示。

二、求解齐次方程的方法求解齐次方程的方法主要有特征方程法和降阶法。

下面我们将分别介绍这两种方法。

1. 特征方程法特征方程法适用于齐次线性常系数微分方程或差分方程。

对于一个$n$次齐次线性方程$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$，根据它的特征根可得到通解。

具体步骤如下：Step 1：将齐次方程的每一项除以$x^n$，得到标准形式。

Step 2：假设$x=ke^{rt}$为齐次方程的解，其中$k$为常数，$r$为特征根。

Step 3：将$x=ke^{rt}$代入方程，整理得到特征方程。

Step 4：求解特征方程，得到特征根$r_1, r_2, ..., r_n$。

Step 5：利用特征根构造通解，通解为$x=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}+...+c_ne^{r_nt}$，其中$c_1,c_2,...,c_n$为常数。

2. 降阶法降阶法适用于齐次线性代数方程。

对于一个$n$次齐次线性方程$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$，通过逐次降阶，我们可以求解得出特解。