2019年高三数学最新信息卷二理含答案

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吉林省2019年高考全国2卷高三最新信息卷理数(含解析)

绝密 ★ 启用前理科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数2i1i z =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+2．[2019·哈六中]03x <<是12x -<成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（） A ．12B ．32C ．34D ．645．[2019·郑州一中]已知函数()2log ,11,11x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x ≤的解集为（）A ．(],2-∞B ．(](],01,2-∞UC ．[]0,2D ．(][],01,2-∞U6．[2019·烟台一模]将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（）A ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng ），下广三丈，袤（mào ）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A ．5.5B ．5C ．6D ．6.58．[2019·哈六中]实数x ，y 满足不等式组()20200x y x y y y m -⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为（）A ．2B ．12C ．10D ．1109．[2019·镇海中学]已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（）班级姓名准考证号考场号座位号A ．32B ．114 C ．83D ．10310．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）ABCD11．[2019·天津毕业]已知双曲线()222210,0x ya b a b -=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC △的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（） A．y = B．y = C．y x = D．y =12．[2019·上高二中]定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有()1n n a a d d ++=为常数，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3，则其前2019项的和2019S 的最小值为（） A ．2019- B ．3010-C ．3025-D ．3027-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·呼和浩特质检]在52x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为______．14．[2019·衡水二中]已知函数()22sin tan ,,0e xx x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____． 15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =u u u r u u u r ，则向量BA u u u r 在AD u u u r上的投影为______．16．[2019·德州一模]已知函数()22f x x ax =+，()24ln g x a x b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·甘肃联考]在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C = （1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长．18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()n n ∈*N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415．（1）求n 的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1BC ==，1B C 的中点为O ，若线段11A C 上存在点P 使得PO ⊥平面1AB C ．（1）求AB ；（2）求二面角11A B C A --的余弦值．20．（12分）[2019·烟台一模]已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()2ln 12a f x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值为0．（1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求M AB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x aa ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．绝密 ★ 启用前理科数学答案一、选择题． 1．【答案】B【解析】Q 复数()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -，就是复数2i1i z =+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，故选B ．2．【答案】A【解析】解12x -<得到13x -<<，假设03x <<，一定有13x -<<，反之不一定，故03x <<是12x -<成立的充分不必要条件．故答案为A ． 3．【答案】C【解析】对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确；对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C ． 4．【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a =，所以离心率12c e a ==，故选A ． 5．【答案】D【解析】当1x ≥时，()1f x ≤，即为2log 1x ≤，解得12x ≤≤；当1x <时，()1f x ≤，即为111x≤-，解得0x ≤，综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⎦U ，故选D ．6．【答案】C【解析】将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，可得πsin 6y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象， ∵所得图象关于y 轴对称，∴πππ62k ωϕ-+=+，k ∈Z ． ∵()1sin πsin 2πf ϕϕω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2ϕ=，则当ω取最小值时，π6ϕ=，∴ππ63πk ω-=+，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．7．【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为111231423115232V V V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯==-三棱柱三棱锥（立方丈）． 8．【答案】A【解析】先由2020x y x y -≤+≥⎧⎨⎩画可行域，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数．画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m ==⎧⎨⎩，得2m x y m ==⎧⎪⎨⎪⎩，即,2m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时max 352mz m =+=，解得2m =，故选A 项． 9．【答案】B【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，由7652a a a =+，得6662q a a a q=+，化简得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），因为2116m n a a a =，所以()()11211116m n a qa q a--=，则216m n q+-=，解得6m n +=，所以()19119191810106663n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n =+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得3292m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当2m =，4n =时，19m n +取最小值为114，故选B ．10．【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，90EHA ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，AHAE ，连接ED，ED =因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，在EAD △中，cos EAD ∠==，故选D ． 11．【答案】B【解析】Q 以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，∴以AB 为直径的圆的方程为222x y c +=，由对称性知ABC △的面积212222OBC S S ch ch a ==⨯==△，即22a h c =，即B 点的纵坐标为22a y c=，则由22222a x c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得224222224a a x c c c c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为点B 在双曲线上，则4422222441a a c c c a b --=，即()22422222441c a a a c c c a --=-，即2222222411c a a a c c a ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭，即222222241c a c a c c a -⋅=-，即2222241c a a c a -=-，即2222222241c a c a a c a a --==-，得()24224a c a =-，即2222a c a =-，得223a c =，得c =，b =．则双曲线的渐近线方程为by x a =±=，故选B ．12．【答案】C【解析】依题意，要使其前2019项的和2019S 的最小值只需每一项的值都取最小值即可， ∵12a =，绝对公和3d =，∴21a =-或21a =（舍）， ∴32a =-或32a =（舍），∴41a =-或41a =（舍），L ，∴满足条件的数列{}n a 的通项公式2,12,11,n n a n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩为大于的奇数为偶数， ∴所求值为()()()2345201801912a a a a a a a +++++++L()2019121230252-=+--⨯=-，故选C ．二、填空题． 13．【答案】80【解析】52x ⎛ ⎝的展开式中，通项公式()()35552155C 22C 1rr r r r r r r T x x ---+⎛ ⎝==-，令3522r -=，解得2r =．2x ∴的系数325C 280==，故答案为80． 14．【答案】31e 【解析】因为225π25π25π13sin tan 144422f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3232331ee 2ef -⨯-⎛⎫===⎪⎝⎭．故答案为31e． 15．【答案】【解析】2BC BD =u Q u u r u u u r ，D ∴为BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r，111222cos1203222BA AD AB BA AC BA ∴⋅=⋅+⋅=-+⨯⨯⨯︒=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AD ==u u u r则向量BA u u u r 在AD u u u r上的投影为BA AD AD⋅==u u u r u u u r u u u r16．【答案】【解析】设()00,P x y ，()22f x x a '=+，()24a g x x'=．由题意知，()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，即2200024ln x ax a x b +=+，① 200422ax a x +=，② 解②得：0x a =或02x a =-（舍），代入①得：2234ln b a a a =-，()0,a ∈+∞，()68ln 4214ln b a a a a a a '=--=-，当140,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0b '>；当14e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0b '<．∴实数b的最大值是1144e e b ⎛⎫== ⎪⎝⎭三、解答题．17．【答案】（1）1718-；（2）5+．【解析】（1）∵tan C =1cos 6C =，∴2117cos 221618C ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵1AC BC b a -=-=，∴2a =，3b =．由余弦定理可得2222cos 13211c a b ab C =+-=-=，则c =ABC △的周长为5．18．【答案】（1）7n =；（2）37；（3）详见解析．【解析】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28C n +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()282856487C C 15n n n +==++，整理得到()()78210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有27C 21=种情况；若2个全是小集团，共有28C 28=种情况，故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，计算()0487415C C 10C 39P X ===；()1387415C C 81C 39P X ===；()2287415C C 282C 65P X ===；()3187415C C 563C 195P X ===；()4087415C C 24C 39P X ===，故X 的分布列为：数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1（2．【解析】（1）方法一：设AB 的长为t ，依题意可知BA ，BC ，1BB 两两垂直，分别以BC u u u r ，1BB uuu r ，BA u u u r的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,A t，)C ，()10,1,0B，)1C，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,A t ，因此)11,0B C =-u u u u r，)AC t =-u u u r，)11AC t =-u u u u r．设)111,0,A P AC t λλ==-u u u r u u u u r ，易求得点P的坐标为),1,t t λ-，所以1,2OP t t λ⎫=-⎪⎪⎭u u u r ．因为OP ⊥平面1AB C，所以()1110221102OP B C OP AC t t λλλ⎧⎪⎫⋅=--=⎪⎭⎫⋅=--⋅-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r ．解之得23t λ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以AB方法二：如图，在平面11BCC B 内过点O 作1B C 的垂线分别交BC 和11B C 于M ，N ，连接PN ，在平面ABC 内过点M 作BC 的垂线交AC 于R ，连接OR ．依题意易得，11RM A B PN R ⇒∥∥，M ，N ，P ，O 五点共面．因为PO ⊥平面1AB C ，所以RM ONPO RO RMO ONP MO PN⊥⇒~⇒=△△．① 在1B ON △中，1tan30ON B O =⋅︒=，11cos30OB B N =︒N 为线段11B C 靠近1C 的三等分点．由对称性知，M 为线段BC 靠近B 的三等分点，因此23RM AB =，13PN AB =．代入①，得AB ==．（2）由（1）方法一可知，12OP =⎝⎭u u u r 是平面1AB C的一个法向量且)11,0B C =-u u u u r，11B A ⎛= ⎝⎭u u u u r ．设平面11A B C 的法向量为n ，则1110B C B A ⋅=⇒⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u u r u u u u rn n n可以为()．cos ,OP OP OP ⋅〈〉===u u u ru u u r u u u rn n n．因为二面角11A B C A --为锐角，故所求二面角11A B C A --20．【答案】（1）24y x =；（2）()1,2P ±．【解析】（1）因为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±．于是当直线与x 轴垂直时，24AB p ==，解得2p =．所以抛物线的方程为24y x =．（2）因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以()1,2M --．设直线AB 的方程为1y x =-，联立241y xy x ==-⎧⎨⎩消去x ，得2440y y --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-．若点()00,P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+，即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--，因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004y x =，2114y x =，2224y x =．代入化简可得()()00122200120122224y y y y y y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±．将02y =±代入抛物线方程，可得01x =．于是点()1,2P ±为满足题意的点． 21．【答案】（1）1a =；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=--，记()()h x f x ='，则()1axh x x='-．当0a ≤时，()10axh x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =．所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x ='>，故0a ≤时不成立；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=<．所以()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．所以()max1ln 10h x h a a a ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭．令()ln 1g a a a =-+-，则()111a g a a a'-=-=．当01a <<时，()0g a '<；当1a >时，()0g a '>．所以()g a 在()0,1的单减，在()1,+∞单增．所以()()10g a g ≥=，故1a =．（2）当1a =时，()21ln 2f x x x x =-，则()1ln f x x x =+-'．由（1）知()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立，所以()21ln 2f x x x x =-在()0,+∞上单调递减，且()112f =-，()()()12121f x f x f +=-=，不妨设120x x <<，则1201x x <<<，欲证122x x +>，只需证212x x >-，因为()f x 在()0,+∞上单调递减，则只需证()()212f x f x <-，又因为()()121f x f x +=-，则只需证()()1112f x f x --<-，即()()1121f x f x -+>-．令()()()2F x f x f x =+-（其中()0,1x ∈），且()11F =-．所以欲证()()1121f x f x -+>-，只需证()()1F x F >，()0,1x ∈，由()()()()()21ln 1ln 22F x f x f x x x x x =--=+--+-'-'+'，整理得()()()()ln ln 2210,1F x x x x x -'=--+∈，， ()()()22102x F x x x -=-'>'，()0,1x ∈，所以()()()ln ln 221F x x x x =--+-'在区间()0,1上单调递增，所以()0,1x ∀∈，()()()()ln ln 22110F x x x x F =--+-<'='，所以函数()()()2F x f x f x =+-在区间()0,1上单调递减，所以有()()1F x F >，()0,1x ∈，故122x x +>．22．【答案】（1）1:4cos C ρθ=，2:4sin C ρθ=；（2）3．【解析】（1）曲线1C 的圆心为()2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2πP ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin π2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）M 到射线π3θ=的距离为2sin 3πd ==)4sin cos ππ2133B A AB ρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯= 23．【答案】（1）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）12ax -≤，212ax -≤-≤，13x a a -≤≤，13,A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． ()2,2A ⊆-Q ，1232aa⎧->-⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩，32a >，a ∴的取值范围3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意3112ax x -++>恒成立，设()11h x ax x =-++，()()()()()1,1112,111,a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪⎛⎫=-+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，①01a <≤时，由函数单调性()()min 11h x h a =-=+，312a +>，112a ∴<≤， ②1a >时，()min 11a h x h a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，132a a +>，12a ∴<<，综上所述，a 的取值范围1,22⎛⎫⎪⎝⎭．。

2019年高考理科数学全国卷Ⅱ真题理数(附参考答案和详解)

文档说明绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2019全国卷Ⅱ·理）设集合2{|560}A x x x =-+>，{|10}B x x =-<，则A B =I （）A.(,1)-∞B.(2,1)-C.(3,1)--D.(3,)+∞【解析】A B =I 2{|560}x x x -+>I {|10}x x -<{|23}{|1}{|1}x x x x x x x =<><=<I 或.故选A. 【答案】A2.（2019全国卷Ⅱ·理）设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】由32i z =-+，得32i z =--，则32i z =--，对应点(3,2)--位于第三象限．故选C. 【答案】C 3.（2019全国卷Ⅱ·理）已知(2,3)AB =u u u r ，(3,)AC t =u u u r ，||1BC =u u u r ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r（）A.3-B.2-C.2D.3【解析】因为(3,)(2,3)(1,3)BC AC AB t t -=-==-u u u r u u u r u u u r ，||1BC =u u u r，1，解得3t =，所以(1,0)BC =u u u r，所以21302AB BC ⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r.故选C.【答案】C4.（2019全国卷Ⅱ·理）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++．设rR α=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为（）【解析】由rR α=得r R α=，代入121223()()M M M R r R r r R +=++，整理得5132243(1)+3+M M αααα=+. 又因为3453233(1)+3+ααααα≈+，所以2133M M α≈，所以α≈，所以r R α=≈.故选D. 【答案】D5.（2019全国卷Ⅱ·理）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.中位数B.平均数C.方差D.极差【解析】中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极值均受影响.故选A.【答案】A6.（2019全国卷Ⅱ·理）若a b >，则（）A.ln()0a b ->B.33a b <C.330a b ->D.||||a b >【解析】不妨设1,2a b =-=-，则a b >，可验证选项A ，B ，D 错误，只有选项C 正确.故选C. 【答案】C.7.（2019全国卷Ⅱ·理）设α，β为两个平面，则αβP 的充要条件是（） A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面【解析】若αβP ，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交；故A ，C ，D 均不是充要条件.根据平面与平面平行的判定定理可知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两个平面平行，则两个平面平行，反之也成立.因此B 选项中条件是αβP 的充要条件.故选B. 【答案】B8.（2019全国卷Ⅱ·理）若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =（）A.2B.3C.4D.8【解析】抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆2213x y p p+=的焦点坐标为(.由题意得2p=，所以0p =（舍去）或8p =.故选D. 【答案】D9.（2019全国卷Ⅱ·理）下列函数中，以π2为周期且在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（） A.()|cos2|f x x = B.()sin2|f x x =|C.()cos ||f x x =D.()sin ||f x x =【解析】作出函数()|cos2|f x x =的图象，如图.由图像可知()|cos2|f x x =的周期为2π，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递增. 同理可得()sin2|f x x =|的周期为为2π，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，()cos ||f x x =的周期为2π.()sin ||f x x =不是周期函数，排除B ，C ，D 选项.故选A.【答案】A10.（2019全国卷Ⅱ·理）已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin2cos21αα=+，则sin α=（）A.15【解析】由2sin2cos21αα=+，得24sin cos 2cos ααα=g. 因为π0,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2sin cos αα=.又因为22sin cos 1αα+=，所以21sin 5α=.又因为π0,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α故选B.【答案】B11.（2019全国卷Ⅱ·理）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为（）C.2【解析】令双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 的坐标为(,0)c ，则c =.如图所示，由圆的对称性及条件||||PQ OF =可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF . 设垂足为M ，连接OP ，则||OP a =，||||2c OM MP ==，由222||||||OM MP OP +=，得22222c c a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ce a==.故选A. 【答案】A12.（2019全国卷Ⅱ·理）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（）A.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，所以当(0,1]x ∈时，1(),04f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.因为(1)2()f x f x +=，所以当(1,0]x ∈-时，1(0,1]x +∈，11()(1)(1)22f x f x x x =+=+，1(),016f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； …当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--， 1(),02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)4(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--， ()[1,0]f x ∈-；…()f x 的图象如图所示.若对于任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则有23m <≤.设8()9f m =-，则84(2)(3)9m m --=-，解得7833m m ==或.结合图像可知，当73m ≤时，符合题意.故选B. 【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2019年高三数学最新信息卷二理科(含答案)

2019年高考高三最新信息卷理科数学（二）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·拉萨中学]已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B =ð（）A ．{}1,3,4B ．{}3,4C ．{}3D ．{}42．[2019·黔东南州一模]12i 12i1i 1i-++=+-（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i3．[2019·济南模拟]已知双曲线2219x y m-=的一个焦点F 的坐标为()5,0-，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．43y x =±B ．34y x =±C ．53y x =±D ．35y x =±4．[2019·贵州适应]2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况。

为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论中不一定正确的是（）A ．样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通B ．样本中多数女性是35岁以上C ．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D ．样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高5．[2019·阆中中学]设D 为ABC △的边BC 的延长线上一点，3BC CD =，则（）A ．1433AD AB AC =-B ．4133AD AB AC =+ C ．1433AD AB AC =-+D ．4133AD AB AC =- 6．[2019·银川质检]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为（）A ．6B ．10C ．8D ．47．[2019·樟树中学]函数()()sin f x x ωϕ=+（其中π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把sin y x ω=的图象上所有点（）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 8．[2019·烟台一模]我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（）A ．π12+B ．1π36+C ．12π+D ．12π33+9．[2019·临沂质检]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =，c =πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b =则（）A ．1BCD10．[2019·山西冲刺]函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是（）A ．B ．C ．D ．11．[2019·南昌二中]已知E ，F 分别是长方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A B 的中点，若AB =，12AD AA ==，则四面体1C DEF -的外接球的表面积为（） A ．13πB ．16πC ．18πD ．20π12．[2019·凯里一中]已知函数()2e xf x x -=⋅，()321233g x x x x c =-+-+，若对()10,x ∀∈+∞，[]21,3x ∃∈，使()()12f x g x =成立，则c 的取值范围是（） A ．24e 43c << B ．24e 43c ≤≤ C ．43c ≤D ．2e 4c ≥第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·烟台一模]已知()()52a x x -+的展开式中3x 的系数为40，则实数a 的值为_____．14．[2019·焦作模拟]设x ，y 满足约束条件202300x y x y x y --≤-+≥+≤⎧⎪⎨⎪⎩，则46y x ++的取值范围是________．15．[2019·海安中学]若cos 24πcos αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则an 8πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．16．[2019·聊城一模]抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动P 点在抛物线C 上，点()1,0A -，当PF PA取得最小值时，直线AP 的方程为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·济南模拟]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 11n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值及取得最小值时n 的值．18．（12分）[2019·上饶模拟]如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AA =，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，点D 为线段AB 上一点，3AD DB =．（1）求证：1AC ∥平面DEF ；（2）若1AC EF ⊥，求二面角F DE B --的余弦值．19．（12分）[2019·海淀一模]据《人民网》报道，“美国国家航空航天局()NASA发文称，相比20年前世界变得更绿色了．卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？（3）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．20．（12分）[2019·上饶模拟]已知椭圆()2222:10x yD a ba b+=>>的离心率为2e=，点)1-在椭圆D上．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过y轴上一点()0,E t且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率分别为OAk，OBk，若对任意实数k，存在[]2,4λ∈，使得OA OBk k kλ+=，求实数t的取值范围．21．（12分）[2019·焦作模拟]已知函数()22ln f x x x a x =-+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若4a =时，存在两个正实数m ，n 满足()()221f m f n m n+=，求证：3m n +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·东莞调研]在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为()34 x t y a ⎧⎪⎨=⎪⎩=为参数，圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．求直线l 和圆C 的极坐标方程；若射线π3θ=与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·河南联考]已知函数()2f x x a x a =-+-．（1）当1a =-时，求()4f x ≤的解集；（2）记()f x 的最小值为()g a ，求()g a 在[]0,2a ∈时的最大值．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（二）一、选择题． 1．【答案】A【解析】集合{}1,2A =，{}2,3B =，则{}2A B =，又全集{}1,2,3,4U =，则(){}1,3,4U A B =ð，故选A ．2．【答案】A 【解析】12i 12i 13i 13i11i 1i 2-+---++==-+-，故答案为A ． 3．【答案】A【解析】双曲线2219x y m-=的一个焦点为()5,0F -，∴由222a b c +=，得925m +=，解得16m =，∴双曲线方程为221916x y -=，∴双曲线的渐近线方程为43y x =±．故选A 项．4．【答案】C【解析】由左图知，样本中的男性数量多于女性数量，A 正确；由右图知女性中35岁以上的占多数，B 正确；由右图知，35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数少，C 错误；由右图知样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，D 正确．故选C ． 5．【答案】C【解析】()44143333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，故选C ．6．【答案】C【解析】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：134n =+=，2146S =⨯+=；第二循环：437n =+=，26719S =⨯+=；第三循环：7310n =+=，2191048S =⨯+=，要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C ． 7．【答案】C【解析】由图知，17ππ1π41234T =-=，()2ππ0T ωω∴==>，2ω∴=，又ππ3ωϕ+=，π2ππππ333ϕω∴=-=-=，又1A =，()πsin 23y f x x ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()sin 2g x x =，πππsin 2sin 2663g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴为了得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将()sin 2g x x =的图象向左平移π6个单位长度．故选C ． 8．【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体，如图所示：则该组合体的体积为211111π112π12323436V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，所以对应不规则几何体的体积为1π36+，故选B ．9．【答案】C【解析】因为πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开得1sin cos sin 2b A B a B=-，由正弦定理化简得1sin sin cos sin sin 2B A A B A B -， cos B B =，即tanB 而三角形中0πB <<，所以π6B =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入(222π3236b =+-⨯⨯，解得b C ． 10．【答案】A【解析】函数()f x 是偶函数，排除D ；由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+，知当()0,2πx ∈时，cos 0x =有两个解π2，3π2，令2sin 10x x +=，1sin 2x x =-，而sin y x =与12y x=-在()0,2π有两个不同的交点（如下图所示），故函数在()0,2π上有4个零点，故选A ． 11．【答案】A 【解析】如图所示，四面体1C DEF -的外接球就是直三棱柱11DEC D FC -的外接球，设棱柱11DEC D FC -的底DEC 的外接圆圆心为G ，三棱柱11DEC D FC -的外接球球心为O ， DEC △的外接圆半径r ．()222r r +=-，解得32r =，外接球的半径R ==， ∴四面体1C DEF -的外接球的表面积为24π13πR =，故答案为13π． 12．【答案】B【解析】若对()10,x ∀∈+∞，[]21,3x ∃∈，使()()12f x g x =成立，则()g x 在[]1,3x ∈上的值域范围比()f x 在()0,x ∈+∞的值域范围大． ()2e x f x x -=⋅，()()2e xx x f x '-=，所以()0,2x ∈，()0f x '>，则()f x 单调递增，()2,x ∈+∞，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以2x =时，取极大值，为()2e 42f =，且()00f =，当+x →∞，()0f x →，所以()f x 在()0,+∞上的值域为240,e ⎛⎤⎥⎝⎦，()321233g x x x x c =-+-+，()243g x x x '=-+-，所以[]1,3x ∈，()0g x '≥，则()g x 单调递增，所以()g x 在[]1,3上的值域为4,3c c ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，要使()g x 在[]1,3x ∈上的值域范围比()f x 在()0,x ∈+∞的值域范围大，则需满足24403e c c⎧⎪≤≥-⎨+⎪⎪⎪⎩，解得24e 43c ≤≤，故选B 项．二、填空题． 13．【答案】3【解析】∵()()()()5234523*********a x x a x x x x x x -+=-+++++的展开式中3x 的系数为408040a -=，∴3a =，故答案为3． 14．【答案】[]3,1-【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则46y x ++的几何意义是区域内的点到定点()6,4P --的斜率，由2300x y x y -+=+=⎧⎨⎩，得1x =-，1y =，即()1,1A -，则AP 的斜率14116k +==-+，由20230x y x y --=-+=⎧⎨⎩，得5x =-，7y =-，即()5,7B --，则BP 的斜率74356k -+==--+，则46y x ++的取值范围是[]3,1-，故答案为[]3,1-． 15．【答案】13【解析】πcos 2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππππcos 2cos 8888αα⎛⎫⎛⎫∴+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππππcos cos sin sin 2cos cos 2sin sin 88888888αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为ππππcos cos 3sin sin 8888αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ3tan tan 188α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2π2tanπ8tan 1π41tan 8==-，解得πtan 18=．πtan 8α⎛⎫∴+==⎪⎝⎭． 16．【答案】10x y ++=或10x y -+= 【解析】设P 点的坐标为()244,t t ，()1,0F ，()1,0A -，()22224241161681PF t t t t -++==∴+，()222242411616241PA t t t t +=+++=，24224242221681161611111111624116241221624PF t t t PA t t t t t t ⎛⎫++∴==-=-≥=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭++，当且仅当22116t t =，即12t =±时取等号，此时点P 坐标为()1,2或()1,2-，此时直线AP 的方程为()1y x =±+，即10x y ++=或10x y -+=，故答案为10x y ++=或10x y -+=．三、解答题．17．【答案】（1）2n n a =；（2）当5n =时，n T 有最小值525T =-．【解析】（1）当1n =时，11122S a a ==-，解得12a =，当2n ≥时，()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，所以12n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn a =．（2）222log 112log 211211n n n b a n =-=-=-，所以{}n b 为等差数列，所以()()1292111022n n n b b n n T n n +-+-===-，所以当5n =时，n T 有最小值525T =-． 18．【答案】（1）见证明；（2．【解析】（1）证明：连结1BC 交于EF 于点H ，E 、F 为BC 、1BB 的中点，114BH BDBC BA∴==，1AC DH ∴∥， DH ⊂面DEF ，1AC ∴∥面DEF ．（2）矩形11BCC B 中，连结1C F 、1C E ，连结AE ，AE BC ⊥，面1BCC B ⊥面ABC ，1AE BCC B ∴⊥面，AE EF ∴⊥，1AC EF ⊥，EF ∴⊥面1AC E ，1EF EC ∴⊥， 1FEC Rt △中，22211EF EC FC +=，221112FC B C =+，221184EC BC =+，22124EF BC =+， 4BC ∴=，以点B 为原点，BA 为x 轴，BC为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，(F ，()1,0,0D，()E ，(DF =-，()DE =，平面DEF 的一个法向量()1,,x y z =n ，∴1100DF DE ⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，即00x ⎧-==⎪，取x =，则)1=n ，平面ADE 的一个法向量()20,0,1=n ，()12,cos ∴=n n，F DE B ∴--． 19．【答案】（1）甘肃省，青海省；（2）710；（3）67．【解析】（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省．（2）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过50%为事件A ，在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比值超过50%，则()710P A =．（3）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X 的取值为0，1，2，所以()2427C 120C 42P X ===；()113427C C C 24142P X ===；()2327C C 6242P X ===，随机变量X 的分布列为12246366012424242427EX =⨯+⨯+⨯==． 20．【答案】（1）22142x y +=；（2）[]1,1t ∈-．【解析】（1）椭圆D的离心率e ==，a ∴，又点)1-在椭圆上，22211a b∴+=，得2a =，b ， ∴椭圆D 的标准方程为22142x y +=．（2）由题意得，直线l 的方程为y kx t =+，由22142x y y kx t +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消元可得()222214240k x ktx t +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421kt x x k -+=+，21222421t x x k -⋅=+，()212121222212121242142221242OA OB t x x y y kx t kx t kt k kk k k k t x x x x x x k t t +++-+-+=+=+=+=+⋅⋅=+--，由OA OB k k k λ+=，得242t λ-=-，即242t λ=-，又[]2,4λ∈，[]20,1t ∴∈，[]1,1t ∴∈-． 21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】（1）依题意，可知()0,x ∈+∞，()22222a x x af x x x x-+'=-+=，对于函数222y x x a =-+，48Δa =-，当0Δ≤，即12a ≥时，2220x x a -+≥，此时函数()f x 在()0,+∞上单调递增．当0Δ>，即12a <时，函数222y x x a =-+有两个零点1x ，2x ，且121x x +=，122a x x =，其中1x =2x =，若102a <<，则10x >，当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，若0a ≤，则10x ≤，当()20,x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>．综上所述，当12a ≥时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当102a <<时，函数()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；当0a ≤时，函数()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增．（2）当4a =时，存在两个正数m ，n 使得()()221f m f n m n+=成立，则()()220f m f n m n +-=，所以2222241n 241n 0m m m n n n m n -++-+-=，即()()2222241n m n m n m n mn mn +-+=+-，令t mn =，()()224ln 0t t t t t ϕ=+->，则()()()()2124220t t t t t t tϕ-+=+-=>'，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数()()224ln 0t t t t t ϕ=+->在()0,1上单调递减；当()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数()()224ln 0t t t t t ϕ=+->在()1,+∞上单调递增；所以函数()()224ln 0t t t t t ϕ=+->在1t =取得最小值，最小值为3．所以()()223m n m n +-+≥，即()()2230m n m n +-+-≥，解得3m n +≥或1m n +≤-，因为m ，()0,n ∈+∞，所以3m n +≥． 22．【答案】（1）直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=，圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=；（2）94a =．【解析】（1）∵直线l的参数方程为()34 x t y a ⎧⎪⎨=+⎪⎩+=为参数， ∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为304x y a --+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中，得到直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=．圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=，∴圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，由已知可设1π3,M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π3,A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π3,B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立236cos π6sin 140θρρθρθ=⎧--+=⎪⎨⎪⎩，得(23140ρρ-++=，233ρρ∴+=+点M 恰好为AB的中点，1ρ∴，即3πM ⎫⎪⎪⎝⎭，把3πM ⎫⎪⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a +-+=，解得94a =． 23．【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）2．【解析】（1）当1a =-时，原不等式变为114x x ++-≤． ①当1x ≥时，114x x ++-≤，得2x ≤，所以12x ≤≤； ②当1x ≤-时，114x x ---+≤，得2x ≥-，所以21x -≤≤-； ③当11x -<<时，1124x x +-+=≤恒成立，所以11x -<<．综上，得22x -≤≤．故()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤．（2）()()()22f x x a x a a a ≥---=-，所以()2g a a a =-． ①当01a ≤<时，()2g a a a =-，最大值为1124g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②当12a ≤≤时，()2g a a a =-，最大值为()22g =．综上，得()g a 在[]0,2a ∈时的最大值为2．。

【精品】2019年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版附答案

（ 2）由（ 1）知， an bn
1 2n 1 ， an bn
2n 1．
1
1
1
所以 an
2[( an bn ) (an bn)]
2n
n， 2
1
1
1
bn
[( an bn) (an 2
bn )]
2n
n． 2
20．解：（ 1） f （ x）的定义域为（ 0， 1），（ 1， +∞）单调递增．
因为 f （e） =1 e 1 0 ， f (e2 ) e1
点 G. （ i ）证明： △ PQG 是直角三角形；（ ii ）求 △ PQG 面积的最大值 .
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
在极坐标系中， O为极点，点 M ( 0, 0 )( 0 0) 在曲线 C :
D． α，β 垂直于同一平面
8．若抛物线 y2=2px( p>0) 的焦点是椭圆 x2
y2 1 的一个焦点，则 p=
3p p
A． 2 C． 4
B． 3 D． 8
9．下列函数中，以为周期且在区间 ( ， ) 单调递增的是
2
42
A． f ( x)= │cos 2 x│
B． f ( x)= │ sin 2 x│
x2 y2 a2交于 P， Q两点 . 若 PQ OF ，则 C的离心率为
A． 2
B． 3
C． 2
D． 5
12．设函数 f ( x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) 2 f (x) ，且当 x (0,1] 时， f (x) x(x 1) . 若对任意

2019年高考理科数学全国2卷(附答案)

12．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1]时，
f(x)x(x1).若对任意x(,m]，都有
8
f(x)，则m的
9
取值范围是
A．
,
9
4
B．
,
7
3
C．
,
5
2
D．
,
8
3
- 3 -- 4 -
12B-SX-0000020
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题
假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果
⊥EC1.
相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结（1）ຫໍສະໝຸດ 明：BE⊥平面EB1C1；束.
（1）求P（X=2）；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M
２，地月距离为
9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分
与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
6．若a>b，则
a<3bC．a3-b3>0D．│a│>│b│

2019年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国2卷参考版)【含答案及解析】

2019年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国2卷参考版）【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（________ ）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）2. 已知集合，，则（________ ）（ A ）_________ （ B ）________ （ C ）（ D ）3. 已知向量，且，则m= （________ ）（ A ）－8 （ B ）－6 （ C ） 6 （ D ） 84. 圆的圆心到直线的距离为 1，则a= （________ ）（ A ）_________ （ B ）_________ （ C ）________ （ D ） 25. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（________ ）（ A ） 24______________ （ B ） 18______________ （ C ） 12___________ （ D ）96. 下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（________ ）（ A ）_________ （ B ）_________ （ C ）___________ （ D ）7. 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（________ ）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（________ ）（ A ） 7 （ B ） 12 （ C ） 17 （ D ） 349. 若，则（________ ）（ A ）___________ （ B ）_________ （ C ）___________ （ D ）10. 从区间随机抽取个数 , ，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ A ）_________ （ B ）_________ （ C ）___________ （ D ）11. 已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直， ,则E的离心率为（________ ）（ A ）___________ （ B ）_________ （ C ）___________ （ D ） 212. 已知函数满足，若函数与图像的交点为则（________ ）（ A ） 0____________________ （ B ）________ （ C ）___________（ D ）二、填空题13. 的内角的对边分别为，若，，，则______________ ．14. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（ 1 ）如果，那么 .（ 2 ）如果，那么 .（ 3 ）如果，那么 .（ 4 ）如果，那么与所成的角和与所成的角相等. 其中正确的命题有______________ ． . （填写所有正确命题的编号）15. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3 ．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______________ ．16. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______________ ．三、解答题17. 为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1 000项和．18. 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：p19. ly:宋体; font-size:10.5pt">上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：p20. ly:宋体; font-size:10.5pt">一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.150.20 0.20 0.10 0. 05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．21. 如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．22. 已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．（Ⅰ）当时，求的面积；（Ⅱ）当时，求的取值范围．23. （Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当时，；（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．24. 选修4-1 ：几何证明选讲如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．（Ⅰ）证明：四点共圆；（Ⅱ）若，为的中点，求四边形的面积．25. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数） , 与交于两点，，求的斜率．26. 选修4—5：不等式选讲已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

2019年高考理科数学全国2卷(附答案)(可编辑修改word版)

C．2
D． 5
12．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) 2 f (x) ，且当
x (0,1] 时， f (x) x(x 1) .若对任意 x (, m] ，都有
f (x) 8 9 ，则 m 的取值范围是
A．
,
9 4
B．
,
7 3
-4-
Hale Waihona Puke 12B-SX-0000020
M2 R A． M1
M2 R B． 2M1
3 3M 2 R C． M1
3 M2 R D． 3M1
5．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，
从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效
评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是
延长线上．设地球质量为 M１，月球质量为 M２，地月距离为 R， L2 点到月球
的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
M1 M2 (R r) M1
(R r)2 r2
R3 .
设
r R
，由于
3 3 3 4 5 的值很小，因此在近似计算中 (1 )2
3 3
，则
r 的近似值为
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
14．已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时， f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则
C．
,
5 2
D．
,
8 3

2019年高考理科数学全国卷2(附参考答案和详解)

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2019年高考理科数学全国2卷(附答案)

-- 12B-SX-0000020- 绝密★启用前__2019 年普通高等学校招生全国统一考试_-__ - 理科数学全国 II 卷___- 本试卷共 23 小题，满分150 分，考试用时120 分钟：号 - (适用地区：内蒙古 / 黑龙江 /辽宁 /吉林 /重庆 /陕西 / 甘肃 /宁夏 /青海 /新疆 / 西藏 /海南 )学-注意事项：_-__1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

_-__2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

__- 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在___ 答题卡上。

写在本试卷上无效。

_线__封_ 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

_密__-__12 小题，每小题5 分，共 60 分。

在每个小题给出的四个选：-一、选择题：本题共名- 项中，只有一项是符合题目要求的。

姓- 2- 1．设集合 A={ x|x -5x+6>0} ， B={ x|x-1<0} ，则A∩B=班- A ． (-∞， 1) B ． (-2， 1) C．(-3 ， -1) D． (3， +∞)_ _ _-_2．设 z=-3+2i，则在复平面内 z对应的点位于_-__A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限年-____线3．已知 AB =(2,3) ， AC =(3 ，t)， BC =1，则 ABBC =__封_A．-3 B．-2 C． 2 D． 3_密_-__ 4． 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，_-___- 我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键___-_技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中__-___-继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2 点的轨道运行． L2 点是平衡点，__-_ M１，月球质量为 M２，地月距离为：-位于地月连线的延长线上．设地球质量为校学--- R， L2点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R， L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M1M 2M1(R r)2r2 (R r )3 .R设r ，由于的值很小，因此在近似计算中 3 33 45 3 3，则R (1 ) 2r的近似值为A ．M 2 RB ．M 2 R C．33M2R D ．3M 2RM 12M 1M 13M 15．演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分，得到 7 个有效评分 .7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C．方差D．极差6．若 a>b，则A ． ln(a- b)>0B ．3a<3 b C． a3- b3>0 D ．│a│ >│b│7．设α，β为两个平面，则α∥ β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面2 x2y2p=8．若抛物线 y =2px(p>0) 的焦点是椭圆 1 的一个焦点，则3p p-1- -2---12B-SX-0000020A ．2B ． 3C ． 4D ． 8 9．下列函数中，以为周期且在区间( ， )单调递增的是 2 4 2A ．f(x)= │ cosx2│ B ． f(x)= │ sin 2x │C ．f(x)=cos│x │ D ． f(x)= sin x │10．已知 α∈(0， )， 2sin 2α=cos 2α+1，则 sin α=21B ．5 A ．5 5C ．3 D ． 2535x 2y 21(a 0,b 0) 的右焦点， O 为坐标原点，以 OF11．设 F 为双曲线 C ： b 2a 2为直径的圆与圆 x 2y 2a 2交于 P ，Q 两点 .若 PQOF ，则 C 的离心率为A ． 2B． 3C ． 2 D． 512．设函数 f ( x) 的定义域为 R ，满足 f (x1) 2 f ( x) ，且当 x (0,1] 时， f (x ) x(x 1) .若对任意 x ( , m] ，都有 f ( x) 8，则 m 的9取值范围是A ． 9B ．7 , , 43 C ．5 D ．8 ,,2 3-- 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

2019年高考理科数学(2卷)答案详解(附试卷)

2
2
16．（立体几何）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）．半正多面体是由两种或两
种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面
体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________
是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M１，月球质量为 M２，地月距离为 R， L2 点到月球
的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r
满足方程：
(
M R
1
r
)
2

M2 r2

(
R

r
)
M1 R3
.设

r R
，
第 1 页共 17 页
由于
3 3 3 4 5
3
9
【答案】B
图 A12
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（概率统计）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点
率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车
）
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
【解析】如图 A11 所示. ∵OF 为直径， PQ OF ，∴PQ 也是直径.，即点 P、Q 的坐标为 ( c , c ) . 22
把 ( c , c ) 代入 x2 y2 a2 得， c2 2a2 . ∴ e2 2 ，即 e 2 . 22

2019年高考理科数学全国2卷(附答案)

为直径的圆与圆
222
xya交于P，Q两点.若PQOF，则C的离心率
了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一
个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，
为
其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）
A．2B．3
C．2D．5
班
_
_
_
_
_
_
_
年
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
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_
_
_
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_
_
_
_
_
_
_
_
_
：
校
学
-
-
-
-
线
封
密
-
-
-
-
-
-
-
-
-
A．(-∞，1)B．(-2，1)C．(-3，-1)D．(3，+∞)
2．设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC=
1
2
.记
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点M(0,0)(00)在曲线C:4sin上，
M的轨迹为曲线C.
直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂
（1）当0=

2019年高考全国2卷理科数学及答案(word)[1]

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绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题,共150分，共5页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A＝｛x|x2－5x＋6>0}，B＝{ x｜x－1〈0}，则A∩B＝A．(－∞，1）B．（－2，1）C．（－3,－1）D．(3,＋∞）2．设z＝－3＋2i,则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知AB＝(2，3）,AC＝(3，t)，BC＝1，则AB BC＝A．－3 B．－2 C．2 D．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R+=++．设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是 A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若a >b ，则A ．ln （a −b ）〉0B ．3a〈3bC ．a 3−b 3〉0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α,β垂直于同一平面8．若抛物线y 2＝2px (p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p ＝A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中,以2π为周期且在区间（4π，2π）单调递增的是A ．f （x )＝│cos 2x │B ．f （x ）＝│sin 2x │C ．f （x )＝cos│x │D ．f (x ）＝ sin│x │10．已知α∈（0，2π)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝A ．15B 5C 3D 511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点,O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点．若PQ OF =,则C 的离心率为A B C ．2 D12．设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9(,]4-∞B ．7(,]3-∞C ．5(,]2-∞D ．8(,]3-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届高考信息卷(二)理科数学试题(解析版)

7.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有
第一节
第二节
第三节
第四节
地理B层2班
化学A层3班
地理A层1班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
6.若复数 ,当时,则复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
由题，先求出，即可得复数，求得在复平面所对应的点的坐标，可得答案.
【详解】由题，当时,
所以复数在复平面所对应点为在第三象限
故选C
【点睛】本题考查了复数的知识，求得三角函数值和复数的性质是解题的关键，属于基础题.
∴ ，
∵ ，
由正弦定理得，
∴ ．
（Ⅱ）由余弦定理得，
∴ ，
解得或（舍）
∴ ．
【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查计算能力．
16.在无穷数列中，是给定的正整数，，．
（Ⅰ）若，写出的值；
（Ⅱ）证明：数列中存在值为的项；
（Ⅲ）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．
【详解】；
∵ ；
∴ ；
∴m＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点睛】考查向量坐标运算和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件，熟记基本公式是关键，是基础题
11.甲乙两地相距 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不能超过 km/h.已知汽车每小时运输成本为元,则全程运输成本与速度的函数关系是 ______,当汽车的行驶速度为______km/h时,全程运输成本最小.