2016-2017学年重庆市沙坪坝区六校联考九年级上学期期中数学试卷与解析

2016-2017学年重庆市沙坪坝区六校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（4分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠DAB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（4分）下列计算正确的是（）A．（a2）3=a5B．（ab2）2=ab4C．a4÷a=a4 D．a2•a2=a44．（4分）二次根式中，字母a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞15．（4分）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C．D．6．（4分）已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，那么a的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．97．（4分）下列说法正确的是（）A．四个数2、3、5、4的中位数为4B．了解重庆初三学生备战中考复习情况，应采用普查C．小明共投篮25次，进了10个球，则小明进球的概率是0.4D．从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生是总体的一个样本8．（4分）如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移l个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．12 B．14 C．15 D．169．（4分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（）A．8 B．9 C．10 D．1110．（4分）用火柴棒按如图中的方式搭图形，则搭第7个图形所需火柴棒的根数为（）A．28 B．29 C．34 D．3511．（4分）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A 处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米12．（4分）如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）2016年9月19日，重庆市第五届运动会开幕式将在涪陵区拉开大幕，组委会面向社会公开征集了主题口号、会徽、会歌、吉祥物等元素，共收到有效作品16000余件，数据16000用科学记数法表示为．14．（4分）计算：（2016﹣π）0﹣（﹣）﹣2+=．15．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，=，EF=3，则BC的值为．16．（4分）现有6个质地，大小完全相同的小球上分别标有数字﹣1，0.5，，1，1，2．先将标有数字﹣1，0.5，1的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里，现分别从这两个盒子里各随机取出一个小球，则取出的两个小球上的数字互为倒数的概率为．17．（4分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则快递车从乙地返回时的速度为千米/时．18．（4分）如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F为BE上一点，连接DF，过F作FG⊥DF交BC于点G，连接BD交FG于点H，若FD=FG，BF=3，BG=4，则GH的长为．三．解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．请将解答书写在答题卡中对应的位置上．19．（7分）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：BC=DE．20．（7分）备战中考，初三的学子们感觉到严重的睡眠不足，经抽样调查了同学们的睡眠时间，制成了如图两幅统计图：请根据两幅图形解决下列问题：（1）将条形统计图补充完整；求扇形统计图中B代表的扇形的圆心角是．（2）睡眠时间的中位数是．（3）如果把睡眠时间低于7小时称为严重睡眠不足，请估算全校2800个初三同学中睡眠严重不足的人数．四．解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．请将解答书写在答题卡中对应的位置上．21．（10分）计算：（1）（x+1）2﹣x（1﹣x）﹣2x2（2）÷（﹣a﹣b）22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，若tan∠ABO=，OB=4，OE=2，点D的坐标为（6，m）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积．23．（10分）每逢金秋送爽之时，正是大闸蟹上市的旺季，也是吃蟹的最好时机，可谓膏肥黄美．九月份，某经销商购进一批雌蟹、雄蟹共1000只，进价均为每只40元，然后以雌蟹每只75元、雄蟹每只60元的价格售完，共获利29000元．（1）求该经销商分别购进雌蟹、雄蟹各多少只？（2）民间有“九雌十雄”的说法，即九月吃雌蟹，十月吃雄蟹．十月份，在进价不变的情况下该经销商决定调整价格，将雌蟹的价格在九月份的基础上下调a%（降价后售价不低于进价），雄蟹的价格上涨a%，同时雌蟹的销量较九月下降了a%，雄蟹的销量上升了25%，结果十月份的销售额比九月份增加了1000元，求a的值．24．（10分）把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1所以32和70都是“快乐数”．（1）最小的两位“快乐数”是；（2）证明19是“快乐数”；（3）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．五.解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．请将解答书写在答题卡中对应的位置上．25．（12分）在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．（1）如图1，若AB=AC，∠DBA=60°，AD=7，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP；（3）如图3，若AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．26．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM 对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．2016-2017学年重庆市沙坪坝区六校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2，故选：A．2．（4分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠DAB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=60°，∵BC∥DE，∴∠DAB=∠B=60°，故选：C．3．（4分）下列计算正确的是（）A．（a2）3=a5B．（ab2）2=ab4C．a4÷a=a4 D．a2•a2=a4【解答】解：A、（a2）3=a6，故此选项错误；B、（ab2）2=a2b4，故此选项错误；C、a4÷a=a3，故此选项错误；D、a2•a2=a4，正确．故选：D．4．（4分）二次根式中，字母a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1【解答】解：根据题意得：a﹣1≥0，解得a≥1．故选C．5．（4分）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C．D．【解答】解：：A、不是轴对称图形，本选项正确；B、是轴对称图形，本选项错误；C、是轴对称图形，本选项错误；D、是轴对称图形，本选项错误．故选：A．6．（4分）已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，那么a的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【解答】解：把x=﹣2代入方程得：﹣4﹣a﹣5=0，解得：a=﹣9，故选：A．7．（4分）下列说法正确的是（）A．四个数2、3、5、4的中位数为4B．了解重庆初三学生备战中考复习情况，应采用普查C．小明共投篮25次，进了10个球，则小明进球的概率是0.4D．从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生是总体的一个样本【解答】解：A、四个数2、3、5、4的中位数为3.5；故本选项错误；B、了解重庆初三学生备战中考复习情况，应采用抽查；故本选项错误；C、小明共投篮25次，进了10个球，则小明进球的概率是0.4；故本选项正确；D、从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生的体考成绩是总体的一个样本；故本选项错误；故选：C．8．（4分）如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移l个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．12 B．14 C．15 D．16【解答】解：根据题意，将周长为10个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；又∵AB+BC+AC=10，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=12．故选：A．9．（4分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵一个多边形内角和等于1260°，∴（n﹣2）×180°=1260°，解得，n=9．故选：B．10．（4分）用火柴棒按如图中的方式搭图形，则搭第7个图形所需火柴棒的根数为（）A．28 B．29 C．34 D．35【解答】解：第一个图形中火柴棒的根数为4×1+1=5；第二个图形中火柴棒的根数为4×2+1=9；第三个图形中火柴棒的根数为4×3+1=13；…可以发现第几个图形中火柴棒的根数为4与几的乘机加1．所以，搭第n个图形需火柴棒的根数为4n+1，当n=7时，4n+1=29．故选：B．11．（4分）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A 处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米【解答】解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴==．设BD=5k（米），AD=12k（米），则AB=13k（米）．∵AB=13（米），∴k=1，∴BD=5（米），AD=12（米）．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8（米），∴BC=10.8﹣5≈5.8（米）．故选：D．12．（4分）如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8【解答】解：，解①得x＞m，解②得x＞1．不等式组的解集是x＞1，则m≤1．解方程+=3，去分母，得1﹣x﹣m=3（2﹣x），去括号，得1﹣x﹣m=6﹣3x，移项，得﹣x+3x=6﹣1+m，合并同类项，得2x=5+m，系数化成1得x=．∵分式方程+=3有非负整数解，∴5+m≥0，∴m≥﹣5，∴﹣5≤m≤1，∴m=﹣5，﹣3，﹣1，1，∵m=﹣1时，方程无解，∴符合条件的m的所有值的和是﹣5﹣3+1=﹣7．故选：C．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）2016年9月19日，重庆市第五届运动会开幕式将在涪陵区拉开大幕，组委会面向社会公开征集了主题口号、会徽、会歌、吉祥物等元素，共收到有效作品16000余件，数据16000用科学记数法表示为 1.6×104．【解答】解：将16000用科学记数法表示为：1.6×104．故答案为：1.6×104．14．（4分）计算：（2016﹣π）0﹣（﹣）﹣2+=0．【解答】解：原式=1﹣4+3=0，故答案为：015．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，=，EF=3，则BC的值为9．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AE：AB=EF：BC，∵=，∴AE：AB=1：3，∵EF=3，∴1：3=3：BC，∴BC=9，答：BC的长是9，故答案为：9．16．（4分）现有6个质地，大小完全相同的小球上分别标有数字﹣1，0.5，，1，1，2．先将标有数字﹣1，0.5，1的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里，现分别从这两个盒子里各随机取出一个小球，则取出的两个小球上的数字互为倒数的概率为．【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：（﹣1，）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（0.5，）、（0.5，1）、（0.5，2）、（1，）、（1，1）、（1，2），故取出的两个小球上的数字互为倒数的概率为：，故答案为：．17．（4分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．【解答】解：设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，则3（x﹣60）=120，x=100．则甲、乙两地之间的距离是3×100=300（千米）；快递车返回时距离货车的距离是：300﹣60（3+）=75（千米），设快递车从乙地返回甲地的速度是y千米/小时．根据题意得：（60+y）【4﹣（3+）】=75，解得：y=90．则快递车从乙地返回甲地的速度是90千米/小时．18．（4分）如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F为BE上一点，连接DF，过F作FG⊥DF交BC于点G，连接BD交FG于点H，若FD=FG，BF=3，BG=4，则GH的长为．【解答】解：解法一：如右图，过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MN⊥AD，延长GF交AD于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°，∴△MBF是等腰直角三角形，∵BF=3，∴BM=FM=3，∵BG=4，∴MG=1，∵FD⊥FG，∴∠DFG=90°，∴∠DFN+∠MFG=90°，∵∠DNF=90°，∴∠NDF+∠DFN=90°，∴∠NDF=∠MFG，在DNF和△FMG中，，∴△DNF≌△FMG（AAS），∴DN=FM=3，NF=MG=1，由勾股定理得：FG=FD=，∵QN∥BC，∴=，∴=，∴FQ=，QN=，设GH=x，则FH=﹣x，∵QD∥BG，∴，∴，x=，即GH=．解法二：如右图，过F作FN⊥BC于N，过B作BM⊥FG于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°，∴△NBF是等腰直角三角形，∵BF=3，∴BN=FN=3，∵BG=4，∴NG=1，在Rt△FNG中，由勾股定理得：DF=FG==，=BG•FN=FG•BM，∵S△BFG∴4×3=BM，∴BM=，∴GM===，∴FM=GF﹣GM=﹣=，∵DF∥BM，∴△DFH∽△BMH，∴，∴=，∴HM=，∴GH=HM+GM=+=；故答案为：．三．解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．请将解答书写在答题卡中对应的位置上．19．（7分）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：BC=DE．【解答】证明：∵AB∥EC，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE．20．（7分）备战中考，初三的学子们感觉到严重的睡眠不足，经抽样调查了同学们的睡眠时间，制成了如图两幅统计图：请根据两幅图形解决下列问题：（1）将条形统计图补充完整；求扇形统计图中B代表的扇形的圆心角是144°．（2）睡眠时间的中位数是7．（3）如果把睡眠时间低于7小时称为严重睡眠不足，请估算全校2800个初三同学中睡眠严重不足的人数．【解答】解（1）调查的总人数为9÷15%=60，∴6及以下的人数为60×20%=12（人），6.5h的人数为60﹣9﹣24﹣12=15，将条形统计图补充完整如下：求扇形统计图中B代表的扇形的圆心角是360°×=144°，故答案为：144°；（2）中位数是=7，故答案为：7；（3）×2800=1260，答：初三同学中睡眠不足的人数为1260人．四．解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．请将解答书写在答题卡中对应的位置上．21．（10分）计算：（1）（x+1）2﹣x（1﹣x）﹣2x2（2）÷（﹣a﹣b）【解答】解：（1）原式=x2+2x+1﹣x+x2﹣2x2=x+1；（2）原式=÷=×=．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，若tan∠ABO=，OB=4，OE=2，点D的坐标为（6，m）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积．【解答】解：（1）∵在直角△BCE中，tan∠ABO==，BE=OE+OB=4+2=6，∴EC=BE•tan∠ABO=6×=3．∴C的坐标是（﹣2，3）．设反比例函数的解析式是y=．把C的坐标代入得：3=，解得：k=﹣6，则反比例函数的解析式是：y=﹣；（2）B的坐标是（4，0）．∵在直角△AOB中，tan∠ABO==，∴OA=OB•tan∠ABO=4×=2，则A的坐标是（0，2），设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：．则直线AB的解析式是：y=﹣x+2；（3）解方程组：，解得：或，则D的坐标是：（6，﹣1）．∵OA=2∴S=S△OAC+S△OAD=×2×2+×2×6=2+6=8．△COD23．（10分）每逢金秋送爽之时，正是大闸蟹上市的旺季，也是吃蟹的最好时机，可谓膏肥黄美．九月份，某经销商购进一批雌蟹、雄蟹共1000只，进价均为每只40元，然后以雌蟹每只75元、雄蟹每只60元的价格售完，共获利29000元．（1）求该经销商分别购进雌蟹、雄蟹各多少只？（2）民间有“九雌十雄”的说法，即九月吃雌蟹，十月吃雄蟹．十月份，在进价不变的情况下该经销商决定调整价格，将雌蟹的价格在九月份的基础上下调a%（降价后售价不低于进价），雄蟹的价格上涨a%，同时雌蟹的销量较九月下降了a%，雄蟹的销量上升了25%，结果十月份的销售额比九月份增加了1000元，求a的值．【解答】解：（1）设雌蟹购进x只，则雄蟹购进（1000﹣x）只，根据题意可得：（75﹣40）x+（60﹣40）（1000﹣x）=29000，解得：x=600，则1000﹣600=400（只），答：雌蟹600只，雄蟹400只；（2）十月份的销售额=75×600+60×400+1000=70000，75（1﹣a%）×600（1﹣a%）+60（1+a%）×400（1+25%）=70000，令a%=t，整理得：15t2﹣13t+2=0，解得：t1=，t2=，当t=时，售价=75×（1﹣）=25＜40，不合题意舍去；当t=时，售价=75×（1﹣）=60＞40，故a=20．24．（10分）把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1所以32和70都是“快乐数”．（1）最小的两位“快乐数”是10；（2）证明19是“快乐数”；（3）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．【解答】解：（1）最小的两位“快乐数”是10，故答案为：10；（2）∵19→12+92=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1，∴19是快乐数；（3）设三位“快乐数”为abc，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，所以a2+b2+c2=10或100，∵a，b，c为整数，且a≠0，∴a2+b2+c2=10 时，∴12+32+02=10，•当a=1时，b=3或0，c=0或3，三位“快乐数”为130，103，当a=3时，b=1或0，c=0或1，三位“快乐数”为310，301，同理当a2+b2+c2=10时，因为62+82+02=100，所以三位“快乐数”有680，608，806，860，综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个．又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．五.解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．请将解答书写在答题卡中对应的位置上．25．（12分）在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．（1）如图1，若AB=AC，∠DBA=60°，AD=7，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP；（3）如图3，若AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．【解答】（1）解：如图1中，∵∠ADB=90°，∠DBA=60°，AD=7，∴∠BAD=30°，∴AB=2BD，设BD=a，则AB=2a，∵AB2=BD2+AD2，∴（2a）2=a2+（7）2，∴a=7，∴AB=AC=14，∵AM=MB，PB=PC，∴PM=AC=7．（2）证明：如图2中，在ED上截取EQ=DP，连接CQ．∵AD=AE，∴∠1=∠2，∵∠ADB=∠AEC=90°，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∵BD=EC，∴△EQC≌△DPB，∴CQ=BP，∠QCE=∠DBP，∵∠CQP=∠3+∠QCE，∠CPQ=∠4+∠DBP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=PC，∴PB=PC．（3）结论：2AD2=FB2+CF2．理由：如图3中，连接AF交BD于N，连接CD延长至H．∵EA=EC，EF⊥AC，∴DA=DC，∵∠ADB=90°，DA=DB，∴DA=DC=DB，∴∠DBA=∠DAB=45°，AB=AD，∴∠DAC=∠DCA，∠DBC=∠DCB，∵∠ADH=∠DAC+∠ACD，∠BDH﹣∠DBC+∠DCB，∴∠ADB=2∠ACD+2∠DCB=90°，∴∠ACF=45°，∵FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=45°，∴∠AFC=90°∵∠AND=∠BNF，∠ADN=∠BFN=90°，∴△AND∽△BNF，∴=，∴=，∵∠ANB=∠DNF，∴△ANB∽△DNF，∴∠DFN=∠ABD=45°，∵FE⊥AC，AE=EC，∴FA=FC，∠AFE=∠CFE=45°，∴∠AFC=∠AFB=90°，∴AB2=BF2+AF2，∴2AD2=BF2+CF2．26．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM 对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），C（0，3），∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，∴∠FHG=∠DAB=45°，∴FG=GH=×=故△FGH周长的最大值为×2+=；（3）①当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y=﹣x+，∴4+p=﹣×2+，解得：p=﹣，∴PN=，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；②当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，联立，解得：x=，y=，∴H（，），∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．综上所述，▱APQM面积为5或10．。