二次函数图像平移规律
二次函数左右平移
二次函数左右平移
二次函数是数学中一个非常重要的函数形式，它的一般形式为
y=a(x-h)²+k，其中a、h、k分别是二次函数的参数。
在二次函数中，参数h和k可以分别对应二次函数的左右平移和
上下平移。
本文将针对二次函数的左右平移进行详细讲解，从而让大
家更好地掌握这一知识点。
首先，我们需要了解二次函数的对称轴。
对称轴是指二次函数图
像的中心轴线，对称轴的方程可以使用h来表示，即x=h。
当我们对二次函数进行左右平移时，实际上就是通过改变h来实
现的。
如果需要将二次函数向左平移k单位，我们只需要将h的值减
少k即可，即h' = h-k；相反，如果需要将二次函数向右平移k单位，我们只需将h的值增加k，即h' = h+k。
在进行左右平移时，需要注意的是，平移后的对称轴和平移前的
对称轴仍然是相等的。
这意味着，二次函数的左右平移不会影响对称
轴的位置，只会改变函数图像的位置。
二次函数的左右平移可以用来实现很多实际应用，比如在数据分
析中，我们可以通过对数据进行左右平移，来进行比较和分析；在图
像处理中，我们可以使用左右平移来调整图像的位置和大小。
总的来说，二次函数的左右平移是一项重要的数学知识点，在学
习中我们需要深入理解它的原理和应用。
同时，我们也需要不断练习，
加深对左右平移的掌握和运用能力，以便在未来的工作和学习中能够更好地利用这一知识点。
二次函数一般式的平移
二次函数一般式的平移
二次函数一般式是y=ax+bx+c，其中a、b、c为常数，代表二次函数的特征参数。
平移是将函数图像沿x、y轴方向移动一定距离的操作。
本文将介绍如何通过平移的方式改变二次函数的图像位置。
首先，我们考虑二次函数沿x轴方向平移。
如果要将二次函数
y=ax+bx+c向右平移h个单位，我们只需要将x替换为x-h，即可得到平移后的函数式为y=a(x-h)+b(x-h)+c。
同理，如果要将二次函数向左平移h个单位，可以将x替换为
x+h，即可得到平移后的函数式为y=a(x+h)+b(x+h)+c。
其次，我们考虑二次函数沿y轴方向平移。
如果要将二次函数
y=ax+bx+c向上平移k个单位，我们只需要在函数式中加上k，即可得到平移后的函数式为y=ax+bx+c+k。
同理，如果要将二次函数向下平移k个单位，只需要在函数式中减去k，即可得到平移后的函数式为y=ax+bx+c-k。
通过以上方法，我们可以轻松地将二次函数沿x、y轴方向平移。
需要注意的是，平移后二次函数的图像不会改变形状，只会改变位置。
- 1 -。
二次函数的平移
二次函数的平移
平移遵循的规则是：上加、下减、左加、右减。
（1）上加、下减，即图像上下平移解析式作相应的变化。
例如：y=ax²+b往上平移2个单位，即变为y=ax²+b+2；y=ax²+b往下平移3个单位，即变为y=ax²+b-3。
（2）左加、右减，即图象左右平移时解析所作的相应变化。
例如：y=ax²+b往左平移1个单位，即变为y=a(x+1)²+b；y=ax²+b往右平移4个单位，即变为y=a(x-4)²+b。
扩展资料
二次函数的性质
二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c(a≠0)，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0(a≠0)。
此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根，函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
a、b、c值与图像关系：
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a，b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a，b 异号。
c>0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；c<0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。
a=0时，此图像为一次函数。
b=0时，抛物线顶点在y轴上。
c=0时，抛物线在x轴上。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a，b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a，b 异号。
二次函数专题—函数图像的平移
二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。
函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。
1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。
解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。
这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。
反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。
如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。
二次函数的平移
二次函数的平移二次函数是一种常见的数学函数类型，它可以用来描述许多自然界和社会现象中的规律。
在二次函数中，平移是一种对函数图像的变换操作，可以改变函数的位置。
本文将详细介绍二次函数的基本概念和平移的概念，以及如何通过平移来改变函数的图像。
首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c都是实数常数，且a不等于零。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其形状由a的正负和大小决定。
在二次函数中，平移是指通过添加或减少常数值来改变函数的位置，而不改变它的形状。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种类型。
1. 水平平移：水平平移是指在函数图像上同时将所有点在x轴上向左或向右移动一个固定的距离。
若向左平移h个单位，则二次函数变为y = a(x - h)^2 + bx + c；若向右平移h个单位，则二次函数变为y = a(x + h)^2 + bx + c。
注意，平移的方向和距离由平移量h的正负号决定。
例如，考虑函数y = x^2的图像。
若向左平移2个单位，则函数变为y = (x - 2)^2。
这意味着函数上的每个点在x轴上都向左移动了2个单位。
2. 垂直平移：垂直平移是指在函数图像上同时将所有点在y轴上向上或向下移动一个固定的距离。
若向上平移k个单位，则二次函数变为y = ax^2 + bx + (c + k)；若向下平移k个单位，则二次函数变为y = ax^2 + bx + (c - k)。
同样，平移的方向和距离由平移量k的正负号决定。
例如，考虑函数y = x^2的图像。
若向上平移3个单位，则函数变为y = x^2 + 3。
这意味着函数上的每个点在y轴上都向上移动了3个单位。
通过水平和垂直平移，我们可以改变二次函数图像的位置，从而使其更好地适应问题的需求。
这在许多实际情况下都非常有用。
例如，当我们研究一个抛物线的轨迹时，可能需要将其平移以匹配特定的时间点或位置。
另外，平移还可以用来调整二次函数的顶点位置或对称轴位置。
二次函数图象的平移和对称变换
2二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。
所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。
利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。
下面由具体的例子进行说明。
一 、 平 移 。
例1、 把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关 系式的一般形式 y=ax 2+bx+c 中，求出各项系数即可。
例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。
法（二）2-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单先利用配方法把二次函数化成y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。
22222【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】 .法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为 “左右平移即把解析式中自变量 x 改为 x 加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。
二次函数的平移与求解析式
二次函数平移平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。
1、 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴ 2y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2y ax bx c =++ 变成2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++- ）⑵2y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2()()y a x m b x m c =++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）3、二次函数2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 的比较从解析式上看，2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。
注：我们把2()y a x h k =-+直接就可以看出顶点是：（h ，k ），所以也称为顶点式。
这个函【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位数的关系式还能直接看出此二次函数的对称轴是2bh a=-： 例1：将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．y=-x 2-x+2B ．y=-x 2+x-2 C. y=-x 2+x+2 D ．y=x 2+x+2例4. 如图所示，已知抛物线C 0的解析式为x x y22-=，则抛物线C 0的顶点坐标 ；将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1、C 2、C 3、…、C n （n 为正整数），则抛物线C n 的解析式为 ．例5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C 的顶点为⎪⎭⎫ ⎝⎛--29 3，P ，且过点()0 0，O ．⑴ 写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点A 的坐标；⑵ 将抛物线1C 向右平移3个单位、再向上平移54.个单位得抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；⑶ 直接写出阴影部分的面积S ．练习一、选择题1.把抛物线y=-x 2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）A. y=-（x-1）2+3B. y=-（x+1）2+3C. y=-（x-1）2-3D. y=-（x+1）2-32.抛物线y=x 2+bx+c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ）A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=23.将函数y=x 2+x 的图像向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2的图像，则a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知二次函数y=x 2-bx+1（-1≤b ≤1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动5.已知抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移得到抛物线C ′.若两条抛物线C 、C ′关于直线x=1对称，则下列平移方法正确的是（ ）A. 将抛物线C 向右平移 2.5个单位B.将抛物线C 向右平移3个单位C.将抛物线C 向右平移5个单位D.将抛物线C 向右平移6个单位 6.把二次函数y=-41x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式A. y=-41(x-2)2+2B. y=41(x-2)2+4C. y=-41(x+2)2+4 D. y= (21x-21)2+37.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．y=2x 2-2B ．y=2x 2+2C ．y=2(x-2)2D ．y=2(x+2)28.将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y=2(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=2x 2-19.将函数y=x 2+x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数y=x 2-x+2的图象，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410.把抛物线y=-2x 2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A. y=-2（x-2）2+5B. y=-2（x+2）2+5C. y=-2（x-2）2-5D. y=-2（x+2）2-511.要得到二次函数y=-x 2+2x-2的图象，需将y=-x 2的图象（ ）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位12.若二次函数y=(x-m)2-1，当≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＝1 B ．m ＞1 C ．m ≥1 D ．m ≤1 二、填空题1.抛物线y=ax 2向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线2.二次函数y=-2（x+3）2-1由y=-2（x-1）2+1向_____平移______个单位，再向_____平移______个单位得到3.抛物线y=3（x+2）2-3可由抛物线y=3（x+2）2+2向 平移 个单位得到 4.将抛物线y=53（x-3）2+5向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 5.把抛物线y=-（x-1）2-2是由抛物线y=-（x+2）2-3向 平移 个单位，再向_____平移_____个单位得到6.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2-3x+5，则a+b+c=__________7.抛物线y ＝x 2-5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 8.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 三、解答题1.已知a+b+c=0，a ≠0，把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式2.已知二次函数y ＝-x 2-4x-5.①指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；②把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式；③把这个二次函数的图象左、右平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式。
二次函数图像上下和左右平移
函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
4
y y=-x2+3
2
-5
O
5
x
10
-2 y=-x2
-4
-6
y=-x2-2
图象向上移还是向下移,移多少个单位-8 长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是_位__置__不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上平移 c 个单位得到， 当c<0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2+1 …… 5
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图象 沿y轴向上平移1个
单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
20
y
8
12 14
二次函数的平移规律
.
• 分析：把把x轴，y轴分别向上、向右平移2个 单位，也可以看成把抛物线向下，向左平移2 个单位.
例3.如果要得到 y x2 6x 7 的图像，需
将 y x2 的 图像（ ）
A.先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度
B.先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单 位长度
C.先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度
例1.在平面直角坐标系中，将抛物线 y 2x 2
向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位
长度，所得抛物线的解析式是
.
y 2x2向下平移3个单位得 y 2x2 3
y 2x2 3
例2.在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2x2 不动， 而把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在
新坐标系下抛物线的解析式是
D.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单 位长度二次函数一般式直接平移
• 例4.已知抛物线 y x2 2x 1 向右平移
3个单位长度，向下平移2个单位长度得到
的函数解析式是
.
总结：二次函数的平移规律： 上下平移后变化，上加下减； 左右平移括号里面变化，左加右减. 也可以说成： 上下平移函数值y变化，上加下减； 左右平移自变量x变化，左加右减
九年级数学上册
二次函数的平移规律
二次函数的平移规律
• 二次函数的解析式一共有5种形式
1 y ax2 2y ax2 k
3y ax h2
4y ax h2 k
5y ax2 bx c
1 y ax2 2y ax2 k 3y ax h2 4y ax h2 k 5y ax2 bx c
由（1）经过上下平移得到（2）， 即上下平移后变化，上加下减 由（1）经过左右平移得到（3） 即左右平移括号里面变化，左加右减. 由（1）经过上下平移和左右平移得到（4） （4）式和（5）式可以互相转化.
二次函数一般式平移规律总结
二次函数一般式平移规律总结二次函数是高中数学中常用的一种函数，它包含不同类型的函数，如二次多项式函数、指数函数、对数函数等，二次函数已经成为数学研究实际应用中不可或缺的重要内容。
学习过程中，我们一定会接触到二次函数的平移规律，因此，对此要有良好的了解和掌握，本文将结合实例对二次函数的一般式的平移规律进行总结，以更深层次的理解和掌握这一知识点。
二、二次函数的一般式二次函数的一般式为：y＝ax＋bx＋c。
其中，a、b、c为实数，a≠0：（1）当a＞0时，f（x）为凸函数，图象为上支或右支抛物线；（2）当a＜0时，f（x）为凹函数，图象为下支或左支抛物线。
三、二次函数的平移规律1、平移y轴当y轴上的常数变化时，曲线的位置会发生变化。
由f（x）＝ax＋bx＋c可得，当c变化时，曲线的位置也会发生变化，实际上就是曲线在y轴上向上或向下平移。
假设y轴上常数c变化d，则函数f（x）＝ax＋bx＋c变化为f （x）＝ax＋bx＋（c＋d），图象就是向上或向下平移d个单位，可以写作：（1）当d＞0时，f（x）＝ax＋bx＋（c＋d）＝f（x）＋d，曲线向上平移d个单位；（2）当d＜0时，f（x）＝ax＋bx＋（c＋d）＝f（x）－｜d｜，曲线向下平移｜d｜个单位。
2、平移x轴当x轴上的常数b变化d，则函数f（x）＝ax＋bx＋c变化为f （x）＝ax＋（b＋d）x＋c，曲线就是向左或向右平移d个单位，即：（1）当d＞0时，f（x）＝ax＋（b＋d）x＋c＝f（x－d），曲线向左平移d个单位；（2）当d＜0时，f（x）＝ax＋（b＋d）x＋c＝f（x＋｜d｜），曲线向右平移｜d｜个单位。
四、实例分析（1）实例一：已知y＝2x＋3x－2，求y＝2x＋3x＋1的图象。
解：在原函数f（x）＝2x＋3x－2的基础上，x轴上的常数b增加1，即b＋d＝3＋1＝4，因此新函数f（x）＝2x＋（3＋1）x－2＝2x＋4x－2，即所求函数f（x）＝2x＋3x＋1，令d＝1；由上可知，原函数向右平移1个单位，即y＝2x＋3x＋1的图象。
二次函数平移规律总结
二次函数平移规律总结二次函数是高中数学中重要的内容之一，它的图像特点丰富多彩，而二次函数的平移规律更是其中的重要内容之一。
通过对二次函数平移规律的总结，我们可以更好地理解和掌握二次函数的性质和特点。
下面，我将对二次函数平移规律进行总结，希望能为大家的学习和理解提供帮助。
首先，我们来看二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
对于二次函数y=ax²+bx+c，我们可以通过平移变换得到新的二次函数。
具体来说，对于函数y=ax²+bx+c，我们可以通过以下几种平移方式得到新的二次函数：1. 上下平移，当二次函数y=ax²+bx+c上下平移h个单位时，新的二次函数为y=ax²+bx+(c+h)。
这里，如果h大于0，那么函数图像将向上平移h个单位；如果h小于0，那么函数图像将向下平移|h|个单位。
2. 左右平移，当二次函数y=ax²+bx+c左右平移k个单位时，新的二次函数为y=a(x-k)²+bx+c。
其中，如果k大于0，那么函数图像将向右平移k个单位；如果k 小于0，那么函数图像将向左平移|k|个单位。
3. 综合平移，当二次函数y=ax²+bx+c进行上下平移h个单位和左右平移k个单位时，新的二次函数为y=a(x-k)²+bx+(c+h)。
这种综合平移方式将同时对函数图像进行上下和左右的平移。
通过以上总结，我们可以得出二次函数平移规律的结论，对于二次函数y=ax²+bx+c，当对其进行上下平移h个单位和左右平移k个单位时，新的二次函数为y=a(x-k)²+bx+(c+h)。
这一规律可以帮助我们更好地理解二次函数的图像特点，也为解决相关问题提供了便利。
在实际应用中，二次函数的平移规律也有着广泛的应用。
比如在物理学中，二次函数的平移规律可以用来描述抛物线运动的轨迹；在经济学中，二次函数的平移规律可以用来描述成本、收益等关系。
二次函数图像的平移规律
7．把二次函数y=2x2-4x+5的图像, 如何平移 可得到y=2x2+4x+1的图像.
y 2x 12 6
4 4
2 2
y 2x 62 1
-10 -10
-5 -5
OO
5 5
10
xx 10
y 2x 12 1
-2
-2
y 2yx27x2312 5
-4 -4
1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿y轴向 上平移３个单位，得到_y_=_(_x_+_1_)_2+__3_的图像；
y 2x －162
24Biblioteka y 2x 32上下左右
-10
-5
y
y=x2+4
8
6
4
y=x2
2
y=x2-2
O
5
x 10
-2
-4
y
8 6 4 2
-10
-5
O
5
x 10
y 2x 62 2
-2
y 2x2 2 y 2x 52 2
-4
y 2x 62 6
yy
8 8
y 2x 32 1
6 6
（2）把二次函数_y_=_x_2_+_3_的图像，沿y轴向 下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像。
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，沿x轴向 左平移３个单位，得到_y_=__(x_+_4_)_2_的图像； （2）把二次函数__y_=_(_x_+_2_)_2+__1_的图像，沿 x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像。
二次函数平移规律
二次函数平移规律 Revised by Petrel at 2021二次函数平移专项练习题平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加”｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小.a>0时抛物线开口向上，反之向上c>0时抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴a 、b 同号时对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的1、把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）A.2(1)3y x =--+B.2(1)3y x =-++C.2(1)3y x =---D.2(1)3y x =-+-根据左加右减、上加下减可得：B.2(1)3y x =-++2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（）A.1B.2C.3D.4由：2y x x =+=-（x+21）2-41232y x x =-+=(x-23)2-41 得：a=21-（-23）=2，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（）A.b=2，c=3B.b=2，c=0C.b=-2.，c=-1D.b=-3，c=2由y=x 2-2x-3=(x-1)2-4，再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为：y=(x+2-1)2-4+3=x 2+2x 所以：b=2c=04、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须[]A ．向上平移1个单位；B ．向下平移1个单位；C ．向左平移1个单位；D ．向右平移1个单位．根据上加下减可得：B5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为[]A ．y=-3(x-1)2-2；B ．y=-3(x-1)2+2；C ．y=-3(x+1)2-2；D ．y=-3(x+1)2+2．根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2；6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位7.把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是()A.()522+--=x yB.()522++-=x y C.()522---=x y D.()522-+-=x y 根据左加右减、上加下减可得：A ：()522+--=x y 8、将抛物线21(3)22y x =+-向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为y=x 212 9．抛物线232y x =-向左平移1个单位得到抛物线解析式为y=-23(x-1)210、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。
二次函数的平移与垂直变换
二次函数的平移与垂直变换二次函数是高中数学中的一个重要概念，它是指一个以x的二次方作为最高次项的函数。
在图像的表示中，二次函数的平移与垂直变换是非常常见的操作。
本文将介绍二次函数的平移与垂直变换的概念和应用，并通过具体的例子进行解析。
一、平移变换平移是指将函数的图像沿着x轴或y轴的方向进行移动。
对于二次函数，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.水平平移水平平移是指将函数的图像沿着x轴的方向进行移动。
具体而言，当二次函数的公式为y=a(x-h)²+k时，其中h表示水平平移的单位数。
当h为正数时，图像会向右移动h个单位；当h为负数时，图像会向左移动h个单位。
例如，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变h的值来实现水平平移。
当h=2时，原来的抛物线图像会向右平移2个单位，变为y=(x-2)²。
同样地，当h=-3时，图像会向左平移3个单位，变为y=(x+3)²。
2.垂直平移垂直平移是指将函数的图像沿着y轴的方向进行移动。
具体而言，当二次函数的公式为y=a(x-h)²+k时，其中k表示垂直平移的单位数。
当k为正数时，图像会向上移动k个单位；当k为负数时，图像会向下移动k个单位。
举个例子，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变k的值来实现垂直平移。
当k=3时，原来的抛物线图像会向上平移3个单位，变为y=x²+3。
同样地，当k=-4时，图像会向下平移4个单位，变为y=x²-4。
二、垂直变换垂直变换是指对函数的图像进行纵向的拉伸或压缩。
对于二次函数来说，这可以通过改变a的值来实现。
当a>1时，图像会被纵向拉伸；当0<a<1时，图像会被纵向压缩。
具体来说，当二次函数的公式为y=ax²时，参数a的变化会影响曲线的形状。
举个例子，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变a的值来实现垂直变换。
当a=2时，原来的抛物线图像将被纵向拉伸，变为y=2x²。
九年级数学讲义二次函数的图像及平移变换讲解
九年级数学讲义二次函数的图像及平移变换讲解一、基础知识图像的平移：（1）平移：将图像F 每个点，都沿着同一个方向，移动相同的距离，得到一个新图像F '， 我们称这个过程为一次平移；常见的平移有向左（右）平移，向上（下)平移；（2）以二次函数的顶点式来说明二次函数的平移：020)(y x x a y +-=−−−−−→−个单位向左平移h 020))((y x h x a y +-+=； 020)(y x x a y +-=−−−−−→−个单位向上平移k k y x x a y ++-=020)(；归纳为：左加右减，上加下减**（3）对称：此处只学习关于x 轴、y 轴、原点对称；图形对称前后，形状、大小均保持不变。
20)(y x x a y +-=−−−−−→关于x 轴对称200()y a x x y -=-+， 即200()y a x x y =--- 020)(y x x a y +-=−−−−−→关于y 轴对称200()y a x x y =--+， 即200()y a x x y =++ 020)(y x x a y +-=−−−−−→关于原点对称200()y a x x y -=--+，即200()y a x x y =-+-二、例题解析与跟进训练：练习：求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．（1）y=4x 2+24x+35； （2）y=﹣3x 2+6x+2；（3）y=x2﹣x+3；（4）y=2x2+12x+18．例1 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．例2 已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．例3 已知二次函数y=﹣2x2，怎样平移这个函数的图象，才能使它经过（0，1）和（1，6）两点？写出平移后的函数解析式．例4 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．当堂练习1．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．2．（1）请在坐标系中画出二次函数y=﹣x2+2x的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出y=﹣x2+2x的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式．注：图中小正方形网格的边长为1．3．已知点A（﹣2，﹣c）向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为﹣6，求这条抛物线的顶点坐标．4．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标；（2）阴影部分的面积S=______________；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．5．已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．6．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的解析式．7．推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位，使得该图象的顶点在原点．8．一次函数y=x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B．（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y=x﹣3的图象；**（2）求二次函数的解析式及它的最小值．课后挑战1．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的关系式；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．2．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．3．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 轴正半轴上，且AB=OC．（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．。
二次函数图象向左移，会怎么改变？
二次函数图象向左移，会怎么改变？二次函数的图象是抛物线，不管抛物线向哪个方向平移，改变的是位置，不变的是形状和大小。
如果题主是九年级的学生，这个提问暴露了数学学习在以下内容上存在问题：1.图形平移的有关知识。
2.二次函数的有关知识。
3.平移在二次函数中的应用。
一。
图形的平移把一个图形从一个位置平移到另一个位置，哪些量发生改变，哪些量没有改变（保持不变）？可以类比一个人，从甲地走到乙地，哪些量发生改变，哪些量保持不变。
除了时空变化外，身高体重性别等等都不变，人还是那个人！同样的道理，在数学中，把一个图形从一个位置平移到另一个位置，只是改变图形的位置，不变是的大小和形状（如下图所示）。
二。
二次函数相关知识二次函数的表达式y=ax^2+bx+c,其图象是抛物线，抛物线的顶点坐标（-b/(2a)，(4ac-b^2)/(4a)），对称轴为直线x=-b/(2a)。
其顶点式y=a（x+b/(2a)）^2+（4ac-b^2)/(4a)。
顶点决定位置，参数a决定大小和形状。
因而，抛物线的平移，重点是要搞清楚顶点坐标是如何变化的。
以抛物线y=2x^2+4x+5为例。
因为y=2x^2+4x+5=2（x+1）^2+3，所以抛物线的顶点坐标（-1，3），对称轴为直线x=-1。
三。
平移抛物线y=2x^2+4x+5平移抛物线y=2x^2+4x+5=2（x+1）^2+3，由前面分析可知，无论向哪个方向平移，变化的是抛物线的位置，形状和大小不变。
此处，参数a=2，它决定了抛物线的形状和大小，顶点（-1，3）决定了抛物线在坐标系中的位置。
当抛物线平移时，形状和大小不变，就是说抛物线表达式中参数a 是不变的，即a=2保持不变。
位置发生改变，即顶点的坐标发生变化！具体如何变化，就与平移的方向和距离有关系。
以抛物线分别向上下左右四个方向，各平移3个单位为例，总结顶点坐标的平移规律：•抛物线向左平移3个单位。
顶点坐标由（-1，3）变化为（-1-3，3）即（-4，3）。
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抛物
2、利用几何画板移动y= 2x2分别向 左和向右平移1个单位，观察其中xk的 变化规律（关注其正负值）
抛物线y=2x2与y=2(x-h)2图像位置有什么关 系？
可以发现，y=2(x-h)2的图像可以由y=2x2与 分别向左和向右平移 ｜k｜个单位得到。当 h>0时，向右平移， 当h<0时，向左平移。
是由函数y=－2x2的图象作怎样的平移 得到的? ②说出函数y=－2(x+3)2－5的图象 的开口方向，对称轴和顶点坐标. ③函数y=－2(x+3)2 －5有哪些性质？ ④若将函数y=－2(x+3)2－5的图象 向左平移3个单位得到哪个函数图象?
例2
已知抛物线y=ax2+k向下平移2个 单位后，所得抛物线为y=-3x2+2， 试求a、k的值.
课堂小结
本节课探究得出了二次函数的平移规律； 你知道如何通过平移y=ax2平移得到 y=a(x-h)2+k的图像吗？
作业
不画图象，回答下列问题. ①函数y=－2(x+3)2的图象可以看成
3、归纳猜想：如何通过平移y=2x2得 到y= 2（x－1）2+1的图像。
又如何通过平移y=ax2平移得到 y=a(x-h)2+k的图像。
引出平移规律
例1
抛物线y=ax2+k与y=-5x2的形状大小， 开口方向都相同，且其顶点坐标是(0， 3)，则其表达式为y=-5x2+3，它是由 抛物线y=-5x2向上平移3个单位得到的.
活动课 二次函数图像平移规律
利用几何画板画出二次函数y= 2x2 和y= 2x2－1及y= 2（x－1）2的图 象，并观察三个图象的位置关系？
注：上传课件不支持几何画板源自抛物 1、利用几何画板移动y= 2x2向上和向下平移 1负个值单）位，观察其中yk的变化规律（关注其正
抛物线y=2x2与y=2x2+k图像位置有什么关系？