二次函数图像平移规律

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二次函数的平移规律

二次函数的平移规律是指，将椭圆形、抛物线形等具有特定结构的函数按照一定的规律进行改变得到新图像，改变过程称为平移规律。

对于一般的函数f(x)，如果将其向右平移a，再将其向上平移b，则可以得到新函数f'(x)=f(x-a)+b，此时做出的函数图像就发生了变化。这就是二次函数的平移规律。

总之，二次函数的平移规律就是将函数 f(x) 向右平移 a，再将 y 向上平移 b，则得到新函数 f'(x)=f(x-a)+b。通过改变函数的一般形式也可以实现相应的平移，新函数图像也会随着平移距离的变化而发生变化。在实际应用中，二次函数的平移规律可以帮助我们快速地构建函数的图像，让我们充分利用二次函数的特性实现我们想要的函数图像，这一规律同样可以用于其他更多非线性函数的构建。

二次函数的平移

二次函数是数学中常见且重要的一类函数，它的一般形式是y =

ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a不等于0。二次函数具有许

多有趣的性质和特点，其中之一就是平移。平移是指通过改变函数的

参数，使得函数图像在平面上发生水平或垂直方向的移动。接下来，

我们将探讨二次函数的平移及其应用。

一、水平平移

水平平移是指二次函数图像在水平方向上的移动。要实现水平平移，我们只需要通过改变常数b来实现。当b大于0时，函数图像向左平移；当b小于0时，函数图像向右平移。具体来说，当b的绝对值越大，平移的幅度越大。

例如，考虑二次函数y = x^2。如果我们要将该函数向左平移2个单位，则可以将其改写为y = (x + 2)^2。在这个新的函数中，对于任意的

x值，我们都将x的值增加2，从而使函数图像整体向左平移2个单位。

二、垂直平移

垂直平移是指二次函数图像在垂直方向上的移动。要实现垂直平移，我们只需要通过改变常数c来实现。当c大于0时，函数图像向上平移；当c小于0时，函数图像向下平移。具体来说，当c的绝对值越大，平移的幅度越大。

举个例子，考虑二次函数y = x^2。如果我们要将该函数向上平移3

个单位，则可以将其改写为y = x^2 + 3。在这个新的函数中，对于任意

的x值，我们都将函数值增加3，从而使函数图像整体向上平移3个单位。

三、平移的应用

平移在数学中有着广泛的应用，尤其是在图形的移动和变化中。例如，在物理学中，我们经常需要描述物体的运动轨迹。如果一个物体

在某个坐标系下沿二次函数的轨迹运动，通过平移二次函数的图像，

二次函数图像的变化规律及应用

二次函数图像的变化规律及应用引言：

二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像呈现出一种独特的形态，具

有丰富的变化规律和广泛的应用。本文将从图像的变化规律和应用两个方面，对二次函数进行深入的探讨。

一、图像的变化规律

1. 平移变换

二次函数的图像可以通过平移变换而得到不同的形态。平移变换是指在坐标平

面上将图像整体向左、右、上、下平移的操作。对于二次函数y=ax^2+bx+c，当平

移向右时，a保持不变，b不变，c减小；当平移向左时，a保持不变，b不变，c增大；当平移向上时，a增大，b不变，c增大；当平移向下时，a减小，b不变，c减小。通过平移变换，我们可以观察到二次函数图像在平面上的移动轨迹，进而掌握其变化规律。

2. 缩放变换

缩放变换是指在坐标平面上将图像整体放大或缩小的操作。对于二次函数

y=ax^2+bx+c，当缩放因子为k时，a不变，b不变，c增大（或减小）k倍。缩放

变换可以改变二次函数图像的大小和形状，通过观察不同缩放因子下的图像，我们可以总结出二次函数图像的缩放规律。

3. 翻折变换

翻折变换是指在坐标平面上将图像关于某一直线进行对称的操作。对于二次函

数y=ax^2+bx+c，当翻折轴为x轴时，a不变，b变号，c不变；当翻折轴为y轴时，a变号，b不变，c不变；当翻折轴为直线x=k时，a不变，b变号，c变号。翻折变

换可以改变二次函数图像的位置和形状，通过观察不同翻折轴下的图像，我们可以总结出二次函数图像的翻折规律。

二、图像的应用

1. 最值问题

二次函数的图像呈现出一个开口朝上或朝下的抛物线形态，通过观察图像的顶点，我们可以得出二次函数的最值。当抛物线开口朝上时，顶点为最小值；当抛物线开口朝下时，顶点为最大值。最值问题在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学中，我们可以通过最值问题求解物体的最高点或最低点。

【数学知识点】二次函数的性质和平移规律

一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，下面

总结了二次函数的性质和平移规律，供大家参考。

1.二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

2.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

3.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

4.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)。

当c>0时，图像与y轴正半轴相交。

当c<0时，图像与y轴负半轴相交。

上加下减，左加右减

y=a(x+b)²+c，是将y=ax²的二次函数图像按以下规律平移

(1)c>0时，图像向上平移c个单位(上加上)。

(2)c<0时，图像向下平移c个单位(下减)。

(3)b>0时，图像向左平移b个单位(左加)。

(4)b<0时，图像向右平移b个单位(右减)。

一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;

②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x的取值

范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，

y=ax2+bx+c变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。

③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）有密切联系，

如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。

二次函数移动的规律

二次函数移动的规律：

一、定义：

二次函数移动是指把二次函数轴心平移，使原函数在新位置上仍然具有相同形状和性质的一种运算。

二、移动步骤：

（1）分析系数a、b、c的影响；

（2）令x = x′ + h，把x′带入y = ax²+bx+c函数中，得到新的函数y′；

（3）求出移动后的函数的新顶点坐标(h,k)；

（4）计算函数切线和切线预测值等。

三、移动规律：

（1）顶点的横坐标变化：

（a）当a>0时，顶点横坐标变小，函数图像左移；

（b）当a<0时，顶点横坐标变大，函数图像右移；（2）顶点的纵坐标变化：

（a）当b>0时，顶点纵坐标变大，函数图像上移；（b）当b<0时，顶点纵坐标变小，函数图像下移；（3）函数图像的缩放变化：

（a）当c > 0时，函数图像放大；

（b）当c < 0时，函数图像缩小；

四、应用：

（1）工程应用：用于物体变形和运动模拟；

（2）统计学应用：用于归纳数据特征；

（3）医学应用：用于预测潜在疾病风险。

二次函数左右平移规律公式

二次函数是高中数学中的重要概念，它可以描述许多实际问题中的变化规律。其中，左右平移是二次函数中一个常见的操作，它可以使函数图像在横向上发生平移，从而改变函数的位置和形状。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c来说，左右平移的规律可以通过改变参数b来实现。当b为正数时，函数图像会向左平移；当b为负数时，函数图像会向右平移。平移的距离与b的绝对值成正比，绝对值越大，平移的距离就越远。

以一个生活中的例子来说明左右平移的规律。假设有一位叫小明的大学生，他每天都要骑自行车去上学。起初，他住在学校的东侧，离学校很近，只需要骑行10分钟就可以到达。但是后来，小明搬到了学校的西侧，离学校很远，需要骑行30分钟才能到达。

我们可以用二次函数来描述这个过程。假设x表示骑行的时间（分钟），y表示距离学校的距离（公里），那么二次函数可以表示为y = ax^2 + bx + c。在这个例子中，a的值可以设为0.01，c的值可以设为0。

当小明住在东侧时，b的值为-0.1，此时二次函数可以表示为y = 0.01x^2 - 0.1x。这个函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点位于x = 5的位置，也就是骑行5分钟时距离最近。随着时间的增加，距离逐渐增加，但是增加的速度越来越慢。

当小明搬到西侧时，b的值变为0.3，此时二次函数可以表示为y = 0.01x^2 + 0.3x。这个函数的图像仍然是一个开口向上的抛物线，但是顶点的位置发生了变化。现在顶点位于x = -15的位置，也就是骑行15分钟时距离最近。同样地，随着时间的增加，距离逐渐增加，但是增加的速度越来越慢。

二次函数图象的平移规律

k2> k1 先将函数图像水平向上移动，[k1 ，k2 同号时，移动的单位长度是（大-小）的值，异号时，移动的单位长度是绝对值的和。当k2< k1 先将函数图像水平向下移动，[k1 ，k2 同号时，移动的单位长度是（大-小）的值，异号时，移动的单位长度是绝对值的和。
注：左右移动时k不变；上下移动时h不变。
y=a(x-h1)2+k1
y=a(x-h2)2+k2
按解析式书写的先后顺序，当h2> h1 先将函数图像水平向右移动，[h1 ，h2 同号时，移动的单位长度是（大-小）的值，异号时，移动的单位长度是绝对值的和。当h2< h1 先将函数图像水平向左移动， [h1 ，h2 同号时，移动的单位长度是（大-小）的值，异号时，移动的单位长度是绝对值的和。当
－4
y 1 x 12
2
－2 －2
－4
y 1 x2 －6 2
24
y 1 x 12
2
y 2x 42
－4 －2 －2 －4
y 2x －162
24
y 2x 32
y
y=x2+4
8
6
4
y=x2
2
y=x2-2
-10
-5
O
5
x 10
-2
-4
y
8 6 4 2

二次函数图象的平移和对称变换

二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题

有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。下面由具体的例子进行说明。

一、平移。

例1、把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。

法（一）选取图象上三个特殊的点，如（

0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运

算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移

3 个单位，再向下平移

4 个单位

后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式 y=ax 2

+bx+c 中，求出各项系数即可。

例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。

法（二）

-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单

先利用配方法把二次函数化成

y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然

后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。

二次函数图像的平移规律

二次函数图像的平移规律是加左减右，加上减下。

意思就是当二次函数写成下面这个样子时：

y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移。

1、b>0时，图像向左平移b个单位（加左）。

2、b<0时，图像向右平移b个单位（减右）。

3、c>0时，图像向上平移c个单位（加上）。

4、c<0时，图像向下平移c个单位（减下）。

一般地，把形如y=ax+bx+c（a≠0）（a，b，c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

二次函数一般式平移规律总结

二次函数是高中数学中常用的一种函数，它包含不同类型的函数，如二次多项式函数、指数函数、对数函数等，二次函数已经成为数学研究实际应用中不可或缺的重要内容。学习过程中，我们一定会接触到二次函数的平移规律，因此，对此要有良好的了解和掌握，本文将结合实例对二次函数的一般式的平移规律进行总结，以更深层次的理解和掌握这一知识点。

二、二次函数的一般式

二次函数的一般式为：y＝ax＋bx＋c。其中，a、b、c为实数，a≠0：

（1）当a＞0时，f（x）为凸函数，图象为上支或右支抛物线；

（2）当a＜0时，f（x）为凹函数，图象为下支或左支抛物线。

三、二次函数的平移规律

1、平移y轴

当y轴上的常数变化时，曲线的位置会发生变化。由f（x）＝

ax＋bx＋c可得，当c变化时，曲线的位置也会发生变化，实际上就是曲线在y轴上向上或向下平移。

假设y轴上常数c变化d，则函数f（x）＝ax＋bx＋c变化为f （x）＝ax＋bx＋（c＋d），图象就是向上或向下平移d个单位，可以写作：

（1）当d＞0时，f（x）＝ax＋bx＋（c＋d）＝f（x）＋d，曲

线向上平移d个单位；

（2）当d＜0时，f（x）＝ax＋bx＋（c＋d）＝f（x）－｜d｜，曲线向下平移｜d｜个单位。

2、平移x轴

当x轴上的常数b变化d，则函数f（x）＝ax＋bx＋c变化为f （x）＝ax＋（b＋d）x＋c，曲线就是向左或向右平移d个单位，即：（1）当d＞0时，f（x）＝ax＋（b＋d）x＋c＝f（x－d），曲线向左平移d个单位；

（2）当d＜0时，f（x）＝ax＋（b＋d）x＋c＝f（x＋｜d｜），曲线向右平移｜d｜个单位。

二次函数平移规律口诀图像关系是什么

a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。

二次函数一般式及图像关系

二次函数的一般式为:y=ax²+bx+c(a≠0)。

a、b、c值与图像关系

a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。

当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。

c>0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；c<0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。

a=0时，此图像为一次函数。

b=0时，抛物线顶点在y轴上。

c=0时，抛物线在x轴上。

当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。

二次函数的顶点坐标公式

二次函数的一般式为:y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

二次函数的顶点式为：y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)。

推导过程：

y=ax^2+bx+c

y=a(x^2+bx/a+c/a)

y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

对称轴x=-b/2a

顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

二次函数的平移操作

二次函数是数学中的一类重要的函数类型，其基本形式为

y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。在函数图像上进行平移

操作，可以改变函数图像的位置，使其在平面坐标系中发生移动。下

面将分别介绍二次函数图像的水平平移和垂直平移两种操作。

一、水平平移操作

水平平移操作是指在平面坐标系中，沿水平方向使二次函数图像整

体发生平移。水平平移操作的实现方法是通过改变函数中x的值来实现。

1. 向右平移

要使二次函数图像向右平移，可以通过在函数中的x上加一个常数。具体而言，假设要将函数y=ax^2+bx+c向右平移h个单位，即新的函

数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。这样，原本在x轴上的点(x, y)将被移动到

(x+h, y)的位置。

2. 向左平移

如果要将二次函数图像向左平移，可以通过在函数中的x上减去一

个常数来实现。例如，将函数y=ax^2+bx+c向左平移h个单位，即新

的函数为y=a(x+h)^2+b(x+h)+c。这样，原本在x轴上的点(x, y)将被移

动到(x-h, y)的位置。

二、垂直平移操作

垂直平移操作是指在平面坐标系中，沿垂直方向使二次函数图像整体发生平移。垂直平移操作的实现方法是通过改变函数中y的值来实现。

1. 向上平移

要使二次函数图像向上平移，可以通过在函数中的常数c上加一个值。具体而言，假设要将函数y=ax^2+bx+c向上平移k个单位，即新的函数为y=ax^2+bx+(c+k)。这样，原本在y轴上的点(x, y)将被移动到(x, y+k)的位置。

2. 向下平移

二次函数的平移与对称性

二次函数是一个非常重要的数学概念，它在数学和实际问题中有着

广泛的应用。在本篇文章中，我们将探讨二次函数的平移与对称性。

1. 平移的概念

平移是指改变函数图像的位置而不改变其形状。对于二次函数来说，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。

1.1 水平平移

水平平移是指在横轴方向上移动函数图像的位置。当二次函数为

f(x) = ax^2 + bx + c时，水平平移的公式为f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c，其中h为平移的距离。

1.2 垂直平移

垂直平移是指在纵轴方向上移动函数图像的位置。当二次函数为

f(x) = ax^2 + bx + c时，垂直平移的公式为f(x) = ax^2 + bx + c + k，其

中k为平移的距离。

2. 平移的影响

平移会改变二次函数图像的位置，进而对函数的性质和方程产生影响。

2.1 平移对顶点的影响

顶点是二次函数图像的最低点（极小值）或最高点（极大值）。当进行平移时，顶点的坐标会发生改变。对于水平平移，顶点的横坐标会加上平移的距离；而对于垂直平移，顶点的纵坐标会加上平移的距离。

2.2 平移对对称轴的影响

对称轴是二次函数图像的对称线，对称轴的方程是x = -b/(2a)。当进行平移时，对称轴的位置会发生改变。对于水平平移，对称轴的方程中的b会减去平移的距离；而对于垂直平移，对称轴的方程不会受到平移的影响。

2.3 平移对图像形状的影响

平移不会改变二次函数图像的形状，只会改变其位置。二次函数的形状由参数a的正负确定，正数的a使得图像开口向上，负数的a使得图像开口向下。平移只会改变图像在坐标系中的位置，不会改变其形状。

二次函数的平移

二次函数是数学中的一种基本函数，其代数表达式形式为f(x) =

ax^2 + bx + c（a ≠ 0）。

在平面直角坐标系中，二次函数的图像通常呈现出一种弧形，这种

弧形被称为抛物线。二次函数的平移就是将原来的抛物线在平面上移

动或改变位置的过程。

一、平移的基本概念

平移是指将图形在平面上按照某个方向和距离进行移动，而不改变

其形状和大小。在二次函数中，平移可以分为水平平移和垂直平移两

种情况。

1. 水平平移

水平平移是指将二次函数图像沿着x轴的正方向或负方向进行移动。当把二次函数f(x) = ax^2 + bx + c沿x轴正方向平移h个单位时，新的

函数表达式变为f(x) = a(x - h)^2 + b(x - h) + c。

其中，h为平移的距离。当h为正值时，表示向右平移；当h为负

值时，表示向左平移。

2. 垂直平移

垂直平移是指将二次函数图像沿y轴的正方向或负方向进行移动。

当把二次函数f(x) = ax^2 + bx + c沿y轴正方向平移k个单位时，新的

函数表达式变为f(x) = a(x^2 + b + c + k)。

其中，k为平移的距离。当k为正值时，表示向上平移；当k为负值时，表示向下平移。

二、平移对二次函数图像的影响

平移操作会改变二次函数图像的位置，进而影响图像的顶点和轴对称性。

1. 顶点的变化

二次函数图像的顶点是图像的最高或最低点，其坐标为顶点坐标（h, k）。

在进行水平平移时，顶点的横坐标会发生变化，新的顶点坐标为（h + X, k）。

在进行垂直平移时，顶点的纵坐标会发生变化，新的顶点坐标为（h, k + Y）。

二次函数平移与对称知识点

二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】

平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】

平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+k

y=a (x-h )2

y=ax 2+k

y=ax 2

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法二：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

二次函数平移

二次函数平移（Quadratic Function Transformation）

二次函数是一种常见的数学函数，其具有形如f(x) = ax^2 + bx + c 的表达式。其中，a、b、c是实数常数，x是自变量。在数学中，我们经常需要对函数进行平移变换，以便更好地理解和研究。本文将详细介绍二次函数平移的概念、方法和一些具体例子。

一、二次函数平移的概念

在二次函数平移中，我们通过改变二次函数的各项系数来实现函数图像的平移。这些系数主要是a、b、c。其中，a决定函数的开口方向（凹向上或凹向下）、大小和对称轴的方向；b决定对称轴的位置；c 决定函数图像和y轴的相对位置。

二、二次函数平移的方法

1. 水平平移：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x的值增加或减少时，函数图像沿x轴方向发生平移。我们可以通过改变b的值来实现水平平移。当b为正数时，图像向左平移；当b为负数时，图像向右平移。

例：考虑二次函数f(x) = x^2 - 2x + 1，如果我们将b的值改为2，则函数图像向左平移2个单位。

2. 垂直平移：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x的值不变时，函数图像沿y轴方向发生平移。我们可以通过改变c的值来实现垂直平移。当c为正数时，图像向上平移；当c为负数时，图像向下平移。

例：考虑二次函数f(x) = x^2 - 2x + 1，如果我们将c的值改为2，则函数图像向上平移2个单位。

3. 对称轴的位置：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，对称轴的位置与b的值有关。对称轴可以通过-x=-b/2a来确定。当b的值增加时，对