24.1.2圆的对称性垂径定理解析
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24.1.2 垂径定理-
1 在图中, AB 37.4, CD 7.2, AD AB 18.7, 2 OD OC CD r 7.2
在Rt OAD中,由勾股定理, 得OA2 AD 2 OD 2 ,
即r 2 18.7 2 (r 7.2) 2 , 解得r 27.9(m)
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
A
E D C
O
B
垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦 所对的两条弧。
(3)平分弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (2)垂直于弦 (5)平分弦所对的另一条弧
E
A D
B
（不是直径） 推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
O
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是 圆弧形，它的跨度（弧 所对的弦的长）为37.4 米，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.2米，你 能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？
C A r
D O
B
应用：
A
C
D r
B O
如图用
表示主桥拱，设
所在圆的圆心为O，半径为r.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点C, 根据前面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
A C
E D
B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
A
O B D
应用：
O
已知如图，在 O 中，弦AB 的长为8cm，若圆心O到AB 的距离为3 cm，则 O的半 径为 5 cm. B
24.1.2垂直于弦的直径
C
O
A
E D
B
证明：连结OA、OB，则OA＝ OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在 的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合， ⌒ ⌒ AE和BE重合， ⌒ ⌒ AC、AD分别和BC、BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
A E B
解：连结OA．过O作OE⊥AB， ． O 垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm．
2． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形ADOE是 正方形．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
证明： Q O E A C O D A B A B A C
O EA 90
o
EAD 90
o
O D A 90
C E A
o
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形．
· O
D B
24.1
24.1.2
圆的有关性质
垂直与弦的直径
轴 中心 圆心
O
A
E D
B
证明：连结OA、OB，则OA＝ OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在 的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合， ⌒ ⌒ AE和BE重合， ⌒ ⌒ AC、AD分别和BC、BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
A E B
解：连结OA．过O作OE⊥AB， ． O 垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm．
2． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形ADOE是 正方形．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
证明： Q O E A C O D A B A B A C
O EA 90
o
EAD 90
o
O D A 90
C E A
o
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形．
· O
D B
24.1
24.1.2
圆的有关性质
垂直与弦的直径
轴 中心 圆心
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
24.1.2-3圆的垂直定理及弦、弧、圆心角
B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________ ， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 到AB的距离是___________cm ，AB=_________cm. 2 4 A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
⌒ ⌒ = AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB CD ，_________________ AOB COD AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________ ， ______________ ． AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
又因为OE
所以
、OF是AB与CD对应边上的高，
O
·
F
D
OE = OF.
C
⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， = 2.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ BC CD DE
求∠AOE的度数．
解： E D C A
⌒
⌒ =⌒ = BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
O
·
AOE 180 3 35
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能 发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
24.1.2垂径定理(2)
（3）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， 直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝， 求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a、 弓形高h中，任意知道两个量，可根据 垂径 D 定理求出第三个量：
垂径垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
想一想 P94 2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， 直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝， 求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a、 弓形高h中，任意知道两个量，可根据 垂径 D 定理求出第三个量：
垂径垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
想一想 P94 2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
九年级数学人教版第二十四章圆整章知识详解图文结合(同步课本结合例题精讲)
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD= 1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
九年级数学第24章圆
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ． 【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转 过后的图形能与原图形重合吗？
B
Oα
A
圆绕圆心旋转任意角度α ，都能够与原来的图形重合. ___圆__具__有__旋__转__不__变__性___.
九年级数学第24章圆
(二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）相关概念
圆__心__角___：顶点在圆心的角
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
5
画出羊的活动区域.
九年级数学第24章圆
【解析】
九年级数学第24章圆
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径;(
)
(2)半圆是弧;(
)
(3)过圆心的线段是直径;( )
(4)长度相等的弧是等弧;( )
(5)半圆是最长的弧;(
)
(6)直径是最长的弦;(
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
九年级数学第24章圆
24.1.2垂径定理
A
E
. O
B O A C E D B
实际应用
例4．据气象观测，沿海城市A的正南方向与A市的距离为220 km的B处有一台 风中心正以15 km/h的速度沿北偏东30°方向移动，且中心风力不变，离台风 中心160 km范围内都会受到台风影响．A市是否会受到台风影响？请说明理 由；若会受到影响，那么影响的时间有多长？
C M H N
A
E
D
F
B
∴HD=3.6-1.5=2.1 ∵2.1>2 ∴此货船能顺利通过
O
思考：图为一个破损了的古董圆盘，考古学家试图将其恢 复原貌，请你帮助其求出圆盘的半径？
O
课堂小结
请大家围绕以下两个问题小结本节课 ① 学习了一个与圆有关的重要定理，定理的内容 是什么？ ② 在圆中解决与弦有关问题时经常 做的辅助线是什么？
1 ∵AB＝220 km， ∠ B＝30°， ∴AC＝ AB＝110(km)． 2 ∵离台风中心 160 km 范围内都会受到台风影响，∴ A 市会受到台风影响． 设 AD＝ AE＝160 km，∵ AC⊥DE，∴CD＝CE，
在 Rt△ACD 中，CD＝ AD2－ AC2＝30 15(km)， ∴DE＝2CD＝60 15(km)． ∵台风中心正以 15 km/h 的速度沿北偏东 30°方向移动， ∴A 市受影响的时间为 60 15÷15＝4 15(h)． 答：A 市会受到影响，影响的时间为 4 15h.
E O1
A
F
O2
D
B
课堂小结
1.垂径定理相当于说一条直线如果同时具备： （1）过圆心；（2）垂直于弦； 则它有以下性质：（ 3 ）平分弦；（ 4 ）平分弦所对的劣弧；（ 5 ） 平分弦所对的优弧。
垂径定理(2).解析
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O， AB
O
A
┌E
D
B
D
600
C
通过这节课的学习， 你有哪些收获？ 能与大家一起分享吗？
·Ｏ
E
Ｄ
（4）ＯＢ平分∠ＣＢＤ
Ｂ
（５） B⌒C=B⌒D 正确的有——————
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点， 且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm
C
5 3 OO
A
4 PP B
D
⊙O的两条平行弦的长分别是 ＡＢ＝８㎝ ，CD＝6㎝ ，半径为5㎝. 求弦AB与CD之间的距离。
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
小华画圆时忘了点圆心，现在找 不到圆心在哪？你能帮他找出圆 心吗
练习
如图，点A是⊙O上的点，OB是⊙O的半径，
与弦CD相交于CD的中点E，连结BC、BD、
AC、AD。
Ａ
下列结论：（1）OB⊥CD （2）BC=BD（3）AC=ADＣ
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点， C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
24.1.2 垂直于弦的直径
O
O
A
EBA
DB
D
E
B D O
C
O A CB
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
证明猜想
形，利用垂径定理和勾股定理求解.
AC
B
C
弓形中重要数量关系
h
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r A a D
B
之间有以下关系：d+h=r
r2
d2
a 2
2
r 2d O
注意：“径”可以指直径、半径以及弦心距等线段
巩固练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 5cm .
可以发现： 圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
讲授新课
一 垂径定理及其推论
问题2：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足
为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
线段: AE=BE
C
弧: A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D
理由如下：
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
E
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm)
22
设OC=xcm，则OD=x-2,根据
·O
勾股定理，得 x2=42+(x-2)2，
AD
B
C
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
24.1.2-垂直于弦的直径-(复习)
第 5 题答图 又∵AC =B D , ∴C E =D E , ∴O E 是 C D 的中垂线, ∴O C =O D . ( 证法二) : 连接 O A, O B, ∵O A=O B , AC =B D , ∠O AD = ∠O B C ∴△AO C ≌△B O D , ∴O C =O D .
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6. 据气象观测, 沿海城市 A 的正南方向与 A 市的距离为 220 km 的 B 处有一台风中心正以 15 km / h 的速度沿北偏东 30°方向移动, 且中心风力不变, 离台风中心 160 km 范围内都会受到台风影响. A 市是否会受到台风影响?请说明理由; 若会受到影响, 那么影响的 时间有多长?
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2. [ 2013· 绍兴] 绍兴是著名的桥乡, 如图 24-1-18, 圆拱桥的拱顶到 水面的距离 C D 为 8 m , 桥拱半径 O C 为 5 m , 则水面宽 AB 为( D )
图 24-1-18 A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m
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平分
弦, 并且平分 弦
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3. 垂径定理的推论 推 论: 平分弦( 不是直径) 的直径 垂直 于弦, 并且 平分弦
所对的两条弧. 拓 展: 如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个
条件中的任意两个, 那么它一定满足其余三个: ①直线过圆心; ② 直线垂直于弦; ③直线平分弦; ④直线平分弦所对的优弧; ⑤直线 平分弦所对的劣弧.
人教版九年级上册24.1.2垂径定理圆(教案)
在学生小组讨论环节，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，鼓励学生发表自己的观点，提出问题，并尝试解决问题。我发现这种开放式的讨论对于提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力非常有帮助。
然而，我也意识到，在教学过程中，对于难点的讲解和解析还需要更加细致和生动。举例来说，我可以准备更多的实物模型或者动态演示，让学生更直观地理解垂径定理的证明过程。此外，对于一些理解能力较弱的学生，我需要设计更多针对性的练习和辅导，帮助他们克服困难。
2.提升学生的逻辑推理能力，通过自主探究和合作交流，让学生经历垂径定理的发现与证明过程，掌握Fra bibliotek谨的数学论证方法。
3.增强学生的问题解决能力，将垂径定理应用于解决实际问题，培养学生将理论知识与实际情境相结合的能力。
4.培养学生的数学抽象素养，通过对弦、弧、圆心角关系的探讨，使学生理解数学概念之间的内在联系，提高数学思维能力。
在今后的教学中，我会继续关注学生的个体差异，尽可能让每个学生都能在课堂上有所收获。同时，我也会不断丰富自己的教学方法和手段，尝试引入更多有趣的教学活动，激发学生的学习兴趣和积极性。
人教版九年级上册24.1.2垂径定理圆（教案）
一、教学内容
人教版九年级上册24.1.2垂径定理圆：本节课我们将探讨圆的性质，主要内容包括：
1.垂径定理：通过直观演示和推理，使学生理解并掌握垂径定理，即圆的直径垂直于弦，并且将弦平分。
2.垂径定理的应用：通过例题讲解，使学生学会利用垂径定理解决相关问题，如求圆中弦长、半径等。
-解决实际问题时，将理论知识与问题情境有效结合。
举例解释：
-在讲解垂径定理的证明时，需详细解释每一步的推理过程，特别是如何利用已知条件和几何原理得出结论。
-对于弦、弧、圆心角的综合应用，提供一些具有挑战性的题目，如多个弦和圆心角相互关系的问题，指导学生如何分解问题，逐步应用所学知识。
然而，我也意识到，在教学过程中，对于难点的讲解和解析还需要更加细致和生动。举例来说，我可以准备更多的实物模型或者动态演示，让学生更直观地理解垂径定理的证明过程。此外，对于一些理解能力较弱的学生，我需要设计更多针对性的练习和辅导，帮助他们克服困难。
2.提升学生的逻辑推理能力，通过自主探究和合作交流，让学生经历垂径定理的发现与证明过程，掌握Fra bibliotek谨的数学论证方法。
3.增强学生的问题解决能力，将垂径定理应用于解决实际问题，培养学生将理论知识与实际情境相结合的能力。
4.培养学生的数学抽象素养，通过对弦、弧、圆心角关系的探讨，使学生理解数学概念之间的内在联系，提高数学思维能力。
在今后的教学中，我会继续关注学生的个体差异，尽可能让每个学生都能在课堂上有所收获。同时，我也会不断丰富自己的教学方法和手段，尝试引入更多有趣的教学活动，激发学生的学习兴趣和积极性。
人教版九年级上册24.1.2垂径定理圆（教案）
一、教学内容
人教版九年级上册24.1.2垂径定理圆：本节课我们将探讨圆的性质，主要内容包括：
1.垂径定理：通过直观演示和推理，使学生理解并掌握垂径定理，即圆的直径垂直于弦，并且将弦平分。
2.垂径定理的应用：通过例题讲解，使学生学会利用垂径定理解决相关问题，如求圆中弦长、半径等。
-解决实际问题时，将理论知识与问题情境有效结合。
举例解释：
-在讲解垂径定理的证明时，需详细解释每一步的推理过程，特别是如何利用已知条件和几何原理得出结论。
-对于弦、弧、圆心角的综合应用，提供一些具有挑战性的题目，如多个弦和圆心角相互关系的问题，指导学生如何分解问题，逐步应用所学知识。
24.1.2垂径定理2
C M H A E D F N
O
船宽EF=3m，在正中间行 驶，当MN=3m时，比较 B HD与船高2m的大小，若 HD＞2m时，船能通过。
C
M N
H
A E D F O B
解： ∵ OC ⊥ AB 于D
过E作EM⊥AB交弧于M，过F作FN⊥AB交弧 于N，连接MN交OC于H，由圆的对称性可知
则OD=R-CD=R-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2
欢迎提出宝贵意见！
课件制作：艾强
在Rt△OAD中,由勾股定理,得 即 R2=42+(R－2)2 解得：R＝5（cm） ∴拱形的半径为5cm.
练习
C
2.在拱形中，弦AB的长为8cm， O 拱高为8cm，求拱形的半径． A B D ⌒ 解：设 AB所在圆的圆心为O，半径为R， ⌒ 过点O 作OC ⊥弦AB于D，交AB于C，连接OA， ⌒ 由垂径定理可知， C是AB的中点，CD 就是拱高
即 R2=3.62+(R－2.4)2 解得：R=3.9 2=NH2+OH2 ON 在Rt△OHN中，由勾股定理，得 即 3.92=1.52+OH2 解得：OH=3.6
连接OA、ON,设OA=R
∴ HD=3.6-1.5=2.1>2
∴ 船能安全通过
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
C
·
E
A D
O
B
1、圆是轴对称图形,都它的对称轴是什么？
直径所在的直线都是圆的对称轴。
2、说出垂径定理及其推论？
①垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧。
O
船宽EF=3m，在正中间行 驶，当MN=3m时，比较 B HD与船高2m的大小，若 HD＞2m时，船能通过。
C
M N
H
A E D F O B
解： ∵ OC ⊥ AB 于D
过E作EM⊥AB交弧于M，过F作FN⊥AB交弧 于N，连接MN交OC于H，由圆的对称性可知
则OD=R-CD=R-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2
欢迎提出宝贵意见！
课件制作：艾强
在Rt△OAD中,由勾股定理,得 即 R2=42+(R－2)2 解得：R＝5（cm） ∴拱形的半径为5cm.
练习
C
2.在拱形中，弦AB的长为8cm， O 拱高为8cm，求拱形的半径． A B D ⌒ 解：设 AB所在圆的圆心为O，半径为R， ⌒ 过点O 作OC ⊥弦AB于D，交AB于C，连接OA， ⌒ 由垂径定理可知， C是AB的中点，CD 就是拱高
即 R2=3.62+(R－2.4)2 解得：R=3.9 2=NH2+OH2 ON 在Rt△OHN中，由勾股定理，得 即 3.92=1.52+OH2 解得：OH=3.6
连接OA、ON,设OA=R
∴ HD=3.6-1.5=2.1>2
∴ 船能安全通过
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
C
·
E
A D
O
B
1、圆是轴对称图形,都它的对称轴是什么？
直径所在的直线都是圆的对称轴。
2、说出垂径定理及其推论？
①垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧。
24.1.2圆的对称性-谈垂径定理
归纳：在圆中，经常连接半径、作弦的
．
已知⊙O的半径为5cm，⊙O内有一点Ｐ，且OP＝3cm， 则： ⑴点Ｐ到圆上各点的距离中，最短距离为 ，最长距离 为 ； ⑵过点Ｐ的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ； ⑶在过点Ｐ的所有弦中，弦长为整数的弦有 条．
24.1.2 谈垂径定理
1.为什么水桶的提手那样栓才平稳，这说明了什么？ 2.剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做 几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明 你的结论吗？
归纳：的直径，作任意一条弦CD⊥AB于Ｅ． ⑴如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ ⑵沿AB对折，你能发现哪些等量关系？你能证明它们吗？ ⑶你能用语言表达你的发现吗？
1.如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，证明： AC＝BD． 2.已知⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离 (弦心距)为3cm，求⊙O的半径． 2.已知⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，则： ①AB的弦心距(弦与圆心的距离)为 ． ②若P为弦AB上的一个动点，则OP的范围为 ． ③当A、B在圆上运动时，AB的中点Ｐ形成的图形为 .
定理：垂直于弦的直径 两条弧．
弦，并且
弦所对的
1.(07n)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为Ｅ，若 ∠COD＝120°，OE＝3厘米，则OD＝ 厘米． 2.(97n)如图，O是圆心，OP⊥AB，AP＝4厘米，PC＝2 厘米，那么OP＝ 厘米．
归纳：在圆中，半径ｒ、弦长ａ、弦心距ｄ之间的关系 为： ．
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① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
想一想 9
C
A M└ B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
F
CF 1 CD 1 600 300(m).
●
D
2
2
O
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
R2 3002 R 902.
解这个方程,得R 545.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
试一试 10
挑战自我 画一画
• 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
试一试 11
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
想一想 8
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
挑战自我 填一填
• 1、判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（）
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读 3
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
AB ”连. 接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
直m圆径将圆(如分成两⌒部弧分A,每BC一).部分都叫做半
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
D
C
两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作
A⌒mB
(用三个字母).
做一做 4
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
这段弯路的半径约为545m.
随堂练习 3
赵州石拱桥
• 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高( 弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
你是第一 个告诉同 学解题方 法和结果 的吗？
随堂练习 4
24.1.2圆的对称性 -垂径定理
想一想 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少
条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少条对称轴？
你又是用什么方法解决这个
问题的?
想一想 2
圆的对称性
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
A M└ ●O
D
B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
想一想 6
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
说你的想法和理由.
B 发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
做一做 5
垂径定理
• 如图, 理由是: • 连接
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBMO中A,,OB,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C
∴AM=BM.
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
• 老师提示:
• 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
做一做 7
垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
24.1.3圆的对称性 -垂径定理应用
想一想 8
垂径定理
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
D
想一想 2
垂径定理的应用
• 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
37.4
11
C
AD AB 37.4 18.7, 22
7.2
OD OC DC R 7.2.
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2. O
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
想一想 9
C
A M└ B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
F
CF 1 CD 1 600 300(m).
●
D
2
2
O
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
R2 3002 R 902.
解这个方程,得R 545.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
试一试 10
挑战自我 画一画
• 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
试一试 11
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
想一想 8
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
挑战自我 填一填
• 1、判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（）
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读 3
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
AB ”连. 接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
直m圆径将圆(如分成两⌒部弧分A,每BC一).部分都叫做半
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
D
C
两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作
A⌒mB
(用三个字母).
做一做 4
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
这段弯路的半径约为545m.
随堂练习 3
赵州石拱桥
• 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高( 弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
你是第一 个告诉同 学解题方 法和结果 的吗？
随堂练习 4
24.1.2圆的对称性 -垂径定理
想一想 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少
条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少条对称轴？
你又是用什么方法解决这个
问题的?
想一想 2
圆的对称性
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
A M└ ●O
D
B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
想一想 6
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
说你的想法和理由.
B 发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
做一做 5
垂径定理
• 如图, 理由是: • 连接
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBMO中A,,OB,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C
∴AM=BM.
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
• 老师提示:
• 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
做一做 7
垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
24.1.3圆的对称性 -垂径定理应用
想一想 8
垂径定理
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
D
想一想 2
垂径定理的应用
• 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
37.4
11
C
AD AB 37.4 18.7, 22
7.2
OD OC DC R 7.2.
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2. O