3.2.1圆的对称性(垂径定理)
《圆的对称性》圆圆的对称性
艺术家们也经常利用圆形的对称性来创作美丽的艺术作品，例如旋转对称的图案、镜像对称的图案等。
艺术创作
02
CHAPTER
圆的轴对称性
轴对称性是一种几何属性，指的是一个图形关于某一直线（称为“对称轴”）对称，即图形上的任意点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
对称轴是一条直线，它把图形划分成两个部分，其中一个部分相对于对称轴折叠后能够与另一个部分重合。
感谢您的观看。
04
CHAPTER
圆的旋转对称性
旋转对称性是指一个图形在旋转一定角度后，仍然保持不变的形状和大小。
旋转对称轴是一条通过图形中心的直线，将图形旋转特定角度后，图形上的点与旋转前的点重合。
圆在绕其中心旋转任意角度时，其形状和大小均保持不变。
圆上任意一点在绕圆心旋转一定角度后，都会与原来的点重合。
雕塑中的应用
许多生物形状都表现出圆的对称性，如人的身体、树叶等。这种对称性有助于保持生物体的平衡，使其在运动时更加流畅、自然。
在天体运动中，圆的对称性也非常重要。例如，地球的自转和公转都是以圆形轨道进行的，这种圆形运动方式使得天体能够更加稳定地运动，避免了不必要的震动和变化。
生物形状
天体运动
THANKS
圆是一个具有轴对称性的图形，它的对称轴是经过圆心的任意一条直线。
圆上的任意一点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
圆沿着对称轴折叠后，两侧的点能够完全重合。
通过圆的轴对称性，我们可以很容易地找到圆上任意一点的对称点，以及通过旋转和翻转等变换得到新的图形。
圆的轴对称性也是证明一些几何定理的重要工具，例如，利用圆的轴对称性可以证明圆中的垂径定理和切线长定理等。
数学知识点浙教版九上3.2《圆的轴对称性》word教案-总结
3.2 圆的轴对称性（一）教学目标知识目标1．理解圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．2．掌握圆的性质（垂径定理），并会用它解决有关弦、弧、•弦心距及半径之间关系的证明和计算．能力目标：经历折纸、画图、归纳等过程，培养学生的探索能力和应用能力．情感目标：通过合作学习，探索圆的性质；让学生亲身体验、直观感知，并操作确认，激发学生自主学习和应用数学的意识．教学重点难点重点：探索圆的轴对称性和圆的性质．难点：用圆的轴对称性推导出圆的性质及其应用．课堂教与学互动设计【创设情境，引入新课】复习提问：（1）什么是轴对称图形？（2）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？（3）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？──引入新课【合作交流，探究新知】一、自主探索1．在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，•然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？2．结论：圆是_________图形，_________的直线都是对称轴．二、合作学习1．在圆形纸片（如图3-3-1所示）上任意画一条直径CD，然后在CD上任意取一点E，过E画弦AB⊥CD于点E，把圆形纸片沿直径对折，观察直径CD两侧，你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？图3-3-12．请你用命题的形式表达你的结论．3．请你对上述命题写出已知、求证，并给出证明．4．圆的性质（垂径定理）：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．三、概括性质1．直径垂直于弦..⎧⇒⎨⎩直径平分弦直径平分弦所对的弧例如：CD 是直径，AB ⊥CD EA=EB ，CA CB =，DA DB =．2．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．例如，图3-3-1中，•点C•是AB 的中点，D 是ADB 的中点．【例题解析，当堂练习】例1 （课本例1）已知AB （如图3-3-2），用直尺和圆规求作这条弧的中点．图3-3-2练一练如图3-3-3，同心圆O 中，大圆的弦AB 与小圆交于C ，D 两点，判断线段AC 与BD 的大小关系，并说明理由．图3-3-3例2 （课本例2）一根排水管的截面如图3-3-4所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．图3-3-5想一想在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？练一练 在直径为20cm 的球形油槽内装入一些油后，截面如图3-3-5所示，•如果油面宽是16cm ，求油槽中油的最大深度．图3-3-5课外同步训练【轻松过关】1．⊙O 的弦AB 的长为16cm ，弦AB 的弦心距为6cm ，则⊙O 的半径为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条3．如图3-3-6，在⊙O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=BCB ．AN BN =C ．AM BM =D ．OC=CN图3-3-6 图3-3-7 图3-3-84．如图3-3-7，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠BOC ≠∠AOC ，则图中相等的弧共有（ ）A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对5．⊙O 的半径为6cm ，垂直平分半径的弦长是_______cm ．6．如图3-3-8，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O 的半径OB=_______cm．7．如图3-3-9，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，请你写出一个你认为正确的结论_________．图3-3-9 图3-3-10 图3-3-118．如图3-3-10，OA为⊙O的半径，弦CB⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CB•的长为________．9．如图3-3-11，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，•AB=•8cm，•PD=•2cm，•则CP=______cm．10．如图3-3-12所示，在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，•如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是_______cm．图3-3-12 图3-3-1311．•“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问长几何？”用现在的语言表达是：如图3-3-13所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长．12．如图3-3-14，已知AB交⊙O于C，D两点，且AC=BD，你认为OA=OB吗？为什么？图3-3-14【适度拓展】13．如图3-3-15，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点C，AB=8，CD=2，求⊙O的半径长．图3-3-1514．如图3-3-16有一拱桥是圆弧形，它的跨度（所对弦长）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m．•问是否要采取紧急措施？图3-3-16【探索思考】15．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB与CD之间的距离．。
3.3垂径定理
CD⊥AB,
M
O C A N M A O C
结论： MN⊥AB 直线MN过圆心 ⌒ ⌒ AM=BM AC=BC ⌒ ⌒ AN=BN 推论1. 平分弦（弦不是直径）的直 B 径垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧。
一个圆的任意两条直径总是 互相平分，但是它们不一定互相 垂直,因此这里的弦如果是直径， 结论就不一定成立.
垂径定理
AB是⊙O的一条弦 ,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. C
A
M└
●
B O
题设
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
结论
AM=BM,
⌒ ⌒ AC=BC,
D
⌒ ⌒ AD=BD.
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧.
∵ CD是⊙O直径,
⌒ =BC, ⌒ AD=BD. ⌒⌒ ∴AM=BM, AC
A
M
∟
B
A
B
C O C D O
D
N
（1）
（2）
回味引伸
垂径定理及其推论的实质是把 (1) 过圆心 ; (2) 垂直弦; (3) 平分弦; (4) 平分优弧; (5) 平分 劣弧 五个元素中的两个作条件，其余三个元素 作结论，共可以得到十个定理。其中，平分弦 作条件时，必须明确弦不能是直径。
B
3.已知:如图,⊙O中,C为弧AB的中点,OC 交AB于D,AB=6cm,CD=1cm.求⊙O的半径 A OA.
.
D
r-1
B
O
2.已知:AB是⊙O直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD. 求证:EC＝DF
证明:过 O作 OM ⊥ CD于 M ∴ CM = DM ∵ AE ⊥ CD, BF ⊥ CD ∴ AE / /OM / /BF ∵ AO = OB ∴ EM = FM ∴ EM - CM = FM - DM, 即 EC = DF
人教版九年级数学上册《第一单元_课时2_圆的轴对称性—垂径定理》名师教学设计
《圆的轴对称性——垂径定理》教学设计一、教学内容分析小学时，我们已经知道，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.也就是说，将圆沿着直径所在的直线对折，直线两侧的部分完全重合.这点学生通过动手操作不难理解，但是该如何证明呢？这是本课时首先要解决的问题.教科书中提供了一种证明轴对称的常用方法，即在圆上任意选取一点，证明该点关于给定对称轴（直径所在直线）的对称点也在圆上，这种证明轴对称的方法需要学生理解掌握.垂径定理将圆的轴对称性具体化、符号化，我们可以由下面这个问题引入垂径定理.如果我们在⊙O 中任意画一条弦AB ，观察图形（见下），它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？有几条呢？同学们通过动手实验不难得出，此时只要作出垂直于弦AB 的直径，沿着直径所在直线对折，图形的左右两边就可以完全重合，即图形关于该直径所在直线成轴对称.显然，我们只能找到一条这样的直径，因此图形只有一条对称轴.我们不妨设直径CD 与弦AB 垂直相交于点P （如图），观察图形，想想你能找出图中隐含的哪些相等关系.如图所示，通过动手操作发现：将⊙O 沿直径CD 所在的直线对折，CD 两侧的半圆重合，点A 与点B 重合，C A =BC ，D A = BD ，AP=BP.根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线段，我们可以得到，直线CD 是弦AB 的中垂线.学生通过直观感受总结出垂径定理的内容，接下来要引导学生通过严谨的逻辑推理来验证结论的正确性，这也体现了探究图形性质的科学过程.让学生分组讨论证明方法，引导学生构造辅助线，通过全等的知识证明垂径定理.上述图形结构特征可以概括为：（1）直径（半径或过圆心的直线）； （2）垂直于弦； （3）平分弦； （4）平分优弧； （5）平分劣弧.可以证明：由（1）（2）可以推出（3）（4）（5）. 即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.我们把圆的这个性质叫做垂径定理. 符号语言：如右图，∵直径CD ⊥AB 于P ， ∴C A =BC ，D A = BD ，AP=BP.引发学生思考：由（1）（3）是否可以推出（2）（4）（5）呢？ 即平分弦（非直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧. 上述结论可以通过全等三角形的知识证明，我们把圆的这个性质叫做垂径定理的推论.此处一定强调“非直径”，因为任意两条直径都是互相平分的，但并不一定都垂直.符号语言：如右图，∵直径CD 与弦AB 相交于P ，且AP=BP ， ∴C A =BC ，D A = BD ，CD ⊥AB.通过类比学习，引导学生思考：知道上述5个条件中两个条件是否就可以推导出其他3个结论呢？总结为“知二推三”，也就是说垂径定理有9个推论，这个可以留给学生课后分组讨论研究. 二、学情分析学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质、等腰三角形的对称性，以及证明垂径定理要用到的三角形全等的知识，并且在小学已初步了解了圆的对称性，具备了学习这节课的知识基础；学生通过学习平行四边形、角平分线、中垂线等几何内容，已经掌握了探究图形性质的不同手段和方法，具备了几何定理的分析探索和证明能力.但是垂径定理及其推论的条件和结论复杂，学生难以理解并应用. 三、教学目标1.通过观察、实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理，理解其证明过程，并会用它解决有关的证明与计算问题.3.掌握垂径定理的推论，理解其证明过程，并会用其解决有关的证明与计算问题.4.通过对定理的探究，提高观察、分析和归纳概括能力. 重点难点垂径定理及其推论的内容与证明是本节课学习的重点和难点. 四、评价设计.学习评价量表标准等级会用文字语言、图形语言、符号语言描述垂径定理 A 会用文字语言、图形语言、符号语言描述垂径定理的推论 A 会证明垂径定理及其推论 C 能利用垂径定理及其推论解决简单的计算问题Ｂ能利用垂径定理及其推论解决简单的证明问题Ｃ五、教学活动设计教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动导入新知问题1 约1400年前，我国隋代建造的赵州石拱桥（如图）主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果精确到0.1 m）．1.分析实际问题，将其转化为数学模型.赵州桥的桥拱呈圆弧形，如图，C为弧AB的中点，且CD⊥AB.已知CD=7.23 m，AB=37m，求该圆的半径.学生猜测（1）：AD=BD.学生猜测（2）：CD过圆心.不过该如何证明呢？带着这个问题进行本节课的学习.通过实际问题导入新知，引发学生思考，激发学习兴趣.探究新知问题 2 请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？哪些弧相等？2.（1）沿着直径将圆翻折，圆的直径两边的部分能够完全重合.圆是轴对称图形，直径所在直线为圆的对称轴,所以圆有无数条对称轴.（2）连接关于直径所在直线对称的两个点所形通过动手操作——沿着直径折叠圆，让学生直观感受圆的轴对称性，体会观察、实验在选定一条直径，在圆上任取一点，证明该点关于已知直径所在直线的对称点也在圆上.3.（1）作AB⊥CD，交⊙O 于B点，若能证明AP=BP即可.（2）连接OA，OB，通过三角形全等可以得到AP=BP.所以B为A的对称点.A B.=BC，D=D（2）可以从圆的轴对称性质出发证明，只要证明A和B是关于直线CD的对称点即可.连接OA，OB，通过证明△OAP与△OBP 全等，得到AP=BP，说明DC所在直线为线段AB的对称轴根据圆的轴对称性得到：AC=BC，A B.D=D（2）可以从圆的轴对称性质出发证明，只要证明A和B为关于直线CD的对称点即可.（3）此处强调非直径的弦，因为圆的所有直径都是互相平分的，但不一定垂直.（4）垂径定理还有别的推论吗？需要继续研究.论.解决问题提问1：对于活动1提出的问题，你现在有思路了吗？请大家小组讨论，给出问题的计算过程.如图，赵州桥的桥拱呈圆弧形，C为AB的中点，且CD⊥AB，已知CD=7.23 m，AB=37m，求该圆的半径．提问2：应用垂径定理解决问题的一般思路是什么？1.根据垂径定理的推论，可知CD的延长线必定过O点，且AD=BD．设半径为r，则OB=r，OD=r-7.23，BD=18.5，根据勾股定理列方程为：222r18.5=r（-7.23）.一般思路：垂径定理构造直角三角形勾股定理建立方程.帮助学生进行知识迁移，熟练运用垂径定理及其推论解决计算问题.重要辅助线：过圆心作弦的垂线．典型例题例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点 M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB,若CD=16，BE=4，求⊙O的直径．例2 H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的疾病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3 km范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3~5 km范围内为免疫区，所有禽类强制免疫.同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理.现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点，在扑杀区内公路CD长为4 km.问：这条公路在免疫区内有多少千米？例1 解设半径为R，因为CD=16，直径AB⊥CD，根据垂径定理得AB平分CD，所以DE=8.因为BE=4，所以OE=R-4.根据勾股定理列方程得：222R8=R（-4）.解得R=10，则直径等于20．例2 分析：利用垂径定理解决实际问题，首先需要理解题意，将实际问题抽象为数学模型.如图，过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC，OA，在Rt△OCE中就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，最后求出结论．帮助学生进行知识迁移，学以致用，熟练运用垂径定理及其推论解决计算及证明问题.利用垂径定理的关键是：熟悉基本图形，会过圆心作弦的垂线，熟悉连接半径等辅助线的作法，能够结合勾股定理、设参法等知识或方法解决问题．例3 如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=53，求弦CD及⊙O的半径．例4如果圆中两条弦互相平行，那么两条弦所夹的弧相等吗？例3 解如图，作OM⊥CD. ∵OE=4 cm，∠CEA=30°，∴OM=2 cm，EM=23cm DE=53 cm，∴D M=33 cm．∴OD=31 cm，即⊙O的半径为31 cm.OM⊥CD，∴CD=63 cm（根据垂径定理）例4 解通过画图可知，有三种情况.下图所示．在图（1）中，作 MN⊥AB 交圆于 M，N点，充分利用垂径定理即可解决此问题.∵ MN⊥AB，∴M=MA B.∵CD∥AB，∴ MN⊥CD.∴MC=MD.∴M MCA-=MB MD-∴=DAC B.同理：在其他两个图形中AC B的结也能得到=D论．六、板书设计圆的轴对称性——垂径定理七、达标检测与作业A级1．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于M.（1）AB=10，CD=8，求OM的长；（2）CD=8，OM=3，求AB的长；（3）CD=8，BM=2，求AB的长.2.如图，是一条直径为2 m的通水管道横截面，其水面宽1.6 m，则这条管道中此时水最深为 m.B级3.如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10，BP:PA=4：1.若⊙O的半径为7，求线段OP 的长.4.如图，AB为⊙O的直径，P为OB的中点，∠APC=30°.若AB=16，求CD的长.5.如图，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠CNM.求证：AB=CD.6.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径.如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，若这个输水管道此时的水面宽为16c m，且水最深高度为4c m，求这个圆形截面的半径.C级7.已知AB，CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5 cm，AB=8 cm，CD=6 cm，求AB，CD之间的距离.8.有一石拱桥的桥拱呈圆弧形.如图所示，正常水位时水面宽AB=60 m，水面到拱顶距离CD=18 m；当洪水泛滥时，水面宽 MN=32 m时，高度为5 m的船此时能否通过该桥？请说明理由．八、教学反思本节课遵循研究几何图形的一般过程：提出问题、猜想、实验、证明、得出结论、应用.研究过程中将直观感知、动手实验、逻辑推理有机结合，全面提高学生的数学核心素养.从以赵州桥为背景的实际问题出发，创设学习氛围，激发学生的学习兴趣，引发学生的探究欲望；接着通过实验操作让学生直观感受圆轴对称的性质；引导学生证明圆的轴对称性，并指出证明图形轴对称的一般方法，便于学生积累几何证明方法，产生学习迁移；利用圆的轴对称性和全等三角形的知识证明本节课的重点和难点——垂径定理及其推论；最后运用垂径定理及其推论解决赵州桥问题和平行弦所夹弧等问题.整个过程层层铺垫，环环相扣.本节课渗透研究问题的方法.比如在证明垂径定理的过程中，向学生渗透“先由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法.由动手操作、逻辑推理得到圆的轴对称性，这是由特殊到一般；再利用圆的轴对称性证明垂径定理及其推论，这是由一般到特殊.教师作为引导者，课堂上尽管给了学生充足的思考时间，但还没有完全放开.比如，在“提出问题”环节，可以让学生给出各种问题形式，而不是由老师给出问题或者例题.在探究垂径定理的证明时，应引导学生进行充分的讨论交流等．11/ 11。
3.2.1圆的对称性(垂径定理)
想一想P91 2
驶向胜利 的彼岸
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点o是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且 oE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
E F
●
老师提示: 注意闪烁 的三角形 的特点. O
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 D CF CD 600 300(m). 2 2 OC 2 CF 2 OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
5.已知: AB 和 CD 是⊙O的两条弧,且
AB =2 CD ,则( C )
A.AB=2CD C.AB<2CD B.AB>2CD D.都不对
D F
6.已知直径AB被弦CD分成AE=4, EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
A C
E
O
B
1 2 35 的弦心距OF=____;CD=_____.
垂径定理的应用
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C A D O
B
挑战自我做一做
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
M
· N 0
G
D
B
E
F
C
挑战自我 做一做
5. 已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm， CD=8cm，⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。
R
O
做一做P补 8
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 垂径定理的应用 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如 图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
圆的轴对称性与垂径定理
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，
仍与原来的圆重合。
C
分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学
的圆心角定理，应先证明什么相等？
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
∴
⌒⌒ ⌒ ⌒ AB=BC=CD=DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
点此继续
∵把圆心角等分成功360份,则每一份的圆 心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.
A
如图：
B
AOB= COD
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧A 有什么关系？ B
如图： AOB= COD
o
C
D
∵∠AOB= ∠COD,
∴半径OB与OA重合，
∴ 点A与点C重合，点B与点D重合。
∴ AB=CD， 根据圆的性质，A⌒B与C⌒D重合。
此时，称作
两条圆弧相等。
记作:“A⌒B=C⌒D”
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆的垂径定理课件
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
圆的垂径定理
做一做P90
5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
圆的垂径定理
想一想P91
8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
B
M└
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
圆的垂径定理
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B ,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
m • 直半径圆将(如圆弧分A成BC两⌒).部分,每一部分都叫做
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用
C 两个字母).
试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
驶向胜利 的彼岸
BE
·
F
C
0
圆的垂径定理
独立作业P91 16
挑战自我
• P94:习题3.2
(一) 圆的相关概念及垂径定理
AODBCAO（一） 圆的相关概念及垂径定理一、知识梳理（一）圆的有关概念1.圆的基本概念：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。
（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。
（三）和圆有关的角：1、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
第二节：垂径定理
3.2圆的对称性-垂径定理学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．学习重点:垂径定理及其应用．学习难点:垂径定理及其应用．【知识要点】1.圆的有关性质垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．1、如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。
2、如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。
3、如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。
4、如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线必经过圆心，并平分这条弦所对的弧。
5、如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并垂直于这条弦。
6、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并平分这条弦。
注：在圆中，当一条直线：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的弧（包括优弧和劣弧）.在这四种关系中，只要有两种关系成立，则其余两种关系也成立。
其中当（1）（3）成立时，注意只有在这条弦不是直径的情况下，才有（2）（4）成立。
口决：垂径定理不一般；题设结论二推三；定理推论也重要，总结起来共十条；求半径，连半径，弦的计算与证明；巧作垂线过圆心，构造直角三角形7.三角形的五心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外心：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，外接圆的圆心叫做三角形的外心。
内心：内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，内切圆的圆心叫做三角形的内心。
垂心：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心，重心：三角形重心是三角形三边中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
重心性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
圆的对称性、垂径定理 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
知识点2：圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。
注意：（1）圆的对称轴有无数条。
（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。
知识点 3：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等例1如图，⊙O 的半径O A、OB 分别交弦C D 于点E、F，且C E＝DF．试问：(1) OE 等于O F 吗？(2) AC 与 B D 有怎样的数量关系？例2如图，AB 是⊙O 的直径．(1)若 OD//AC， C D 与 B D 的大小有什么关系？为什么？(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．知识点4：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1.10的弧：将顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是10的角。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360 份，我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。
2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。
例1如图，在☉O 中，弦A D∥BC，DA=DC，∠AOC=1600，则∠BCO 的度数() A．200B．600 C. 400D．500例 2 如图，在△ABC 中，∠A=700，☉O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为例3如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点A作A E//CD 交⊙O 于点E，连接B D，DE．求证：BD＝DE.例4如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．知识点5：垂径定理及垂径定理的推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
初三数学 圆的性质定理
初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4．圆的内接四边形：①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分D．随点C的移动而移动4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B．C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A 、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？（1）（2）（3）例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．1、下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心和半径B．直径 C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外D．外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）A．重心B．垂心 C．外心D．无法确定5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？。
2、垂径定理
1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
2、垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
3、垂径定理的推论：（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧。
（4）平分弦和弦所对的弧的直线经过圆心，并且垂直于这条弦。
（5）垂直于弦并且平分弦所对的弧的直线经过圆心，并且平分这条弦。
在圆中，对于某一条直线“经过圆心” 、“垂直于弦” 、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
二、例题精讲：例1、如图，M 是弦CD 的中点，EM 过圆心O ，已知CD=4cm ，EM=6cm ，求CED 所在圆的半径。
例2、如图，P 是O外一点，过点P 的两条直线分别交O 于点A 、B 和点C 、D ，又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，联结EF ，交AB 、CD 于点M 、N 。
请判断PMN 的形状，并证明你的结论。
例3、如图，O 中的两条弦AB 、CD 相交于点P ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且PE=PF 。
求证：AB=CDPC A例4、如图，在同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，联结OC 、OD ，并分别延长，交大圆于点E 、F 。
求证：AE=BF例5、如图，在ABC ∆中，AB=AC=10，BC=12，求ABC ∆外接圆半径的长。
例6、ABC ∆内接于O ，AB=AC ，已知O 的半径为7，且圆心O 到BC 的距离为3，求腰AB 的长。
例7、如图①，在O 中，CD 为弦，AB 为直径。
AE CD BF CD ⊥⊥，，垂足分别为E 、F（1）求证：EC=DF ；（2）若将CD 向上平移，使它与直径AB 相交，其他条件不变，如图②，试问：（1）中的结论还成立吗？为什么？① ②F BD例8、如图，已知AB 为O 的弦，从圆上任意一点C 引弦CD AB ⊥，作O C D ∠的平分线交O 于点P ，联结PA 、PB 。
§3.2 圆的对称性1、2
§3.2 圆的对称性学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程，理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理，圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理重点:垂径定理及其应用，圆心角、弧、弦之间关系定理．难点:垂径定理及其应用，“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明学习过程:一、举例：【例1】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例2】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例3】如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2,若直线EF平移到与直径AB相交于点P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、当堂训练：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.6.已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF 7.在⊙O 中,弦AB ∥EF,连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB8.已知如图等腰三角形ABC 中,AB ＝AC,半径OB ＝5，圆心O 到BC 的距离为3，求ABC 的长 9.已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F.求证：EC ＝DF 第6题 5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．三、课后练习：1.已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2.已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离3.已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4.已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第7题 第8题 第9题§3.2 圆的对称性（第二课时）学习目标:圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．学习过程:一、例题讲解：【例1】如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC 、EB 、DF是否相等？为什么？【例2】如图，弦DC 、FE 的延长线交于⊙O 外一点P ，直线PAB 经过圆心O ，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．二、当堂训练：1、判断题（1）相等的圆心角所对弦相等 （ ）（2）相等的弦所对的弧相等 （ ）2、填空题⊙O 中，弦AB 的长恰等于半径，则弦AB 所对圆心角是________度．3、选择题:如图，O 为两个同圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点,OE ⊥AB ，垂足为E ，若AC ＝2.5 cm ，ED ＝1.5 cm ，OA ＝5 cm ，则AB 长度是___________．A 、6 cmB 、8 cmC 、7 cmD 、7.5 cm4、选择填空题: 如图2，过⊙O 内一点P 引两条弦AB 、CD ，使AB ＝CD ，求证：OP 平分∠BPD ．证明：过O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ．A.OM⊥PBB.OM⊥ABC.ON⊥CDD.ON⊥PD三、课后练习：1．下列命题中，正确的有（ ）A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是（ ）A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（ ）A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．以上都不对4．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）A ．43RB ．23RC ．3RD ．23R5．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为（ ）A ．23B ．3C ．5D ．256．已知：如图2，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ，则⊙O 的半径为（ ）第3题 第4题例2图例1图A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（） A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：48．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（）A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．09．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．1610．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为．12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长23cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为．13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF，⌒AC⌒AE，AC AE．20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．（1）求证：AC=DB；（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．23．已知一弓形的弦长为4 ，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．6。
圆的对称性
个性化辅导教案形又是轴对称图形的个数是_______．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系1：已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也为R ，则∠AOB ＝ ．2：已知：⊙O 的半径为2cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的31，则弦AB 的长为 cm ；圆心到弦AB 的距离为 cm ． 3：在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长 ．4：若一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．5：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且∠AMN=∠CNM ，AB=6，则CD= ．6：若圆内直径AB 垂直弦CD 于点E ，且AE=5cm,BE=13cm,则圆心到弦CD 的距离为________cm ．7：在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）A 、38cmB 、 34cmC 、4cmD 、8cm8：如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是________．第8题图 第9题图 第10题图9：如右图，⊙O 的半径为5，弦AB=8，点M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、510：如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个11：如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是半径AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ．求证：=AC BD．12：如图所示，已知AB交⊙O于C、D且AC=BD，你认为OA=OB吗？为什么？13：如图AB、CD是⊙O的两条弦，OF⊥CD，OE⊥AB且OE=OF求证：AB=CD．14：如图所示，点P为⊙O弦AB的中点，PC⊥OA，垂足为C，求证：PA•PB=AC•OA．【课堂练习】1：下列判断中，正确的是（）A、平分弦的直线垂直于弦；B、平分弦的直线也平分弦所对的两条弧；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧；D、平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦．2：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A、CM=DMB、弧CB=弧DBC、∠ACD=∠ADCD、OM=MD第2题图第5题图3：已知圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则弦长为（）A、3B、6C、4D、84：已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB、CD之间的距离为（）A、17 cmB、7 cmC、12 cmD、17 cm或7 cm5：如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N （0，8）两点，则点P的坐标是（）A、(5，3)B、(3，5)C、(5，4)D、(4，5)6：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，以CA的长为半径的圆交AB于点D，求AD的度数．7：如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm，则水管中水的最大深度为多少？【能力大考验】1：下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；A、1个B、2个C、3个D、4个2：如图，在半径为2cm的⊙O内有长为2cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB的度数为（）A、60°B、90°C、120°D、150°第2题图第3题图3：如图，AB是⊙O的直径，若∠COA=∠DOB=60°，则与线段AO等长的线段（）A、3条B、4条C、5条D、6条4：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm,CD=8cm,求两平行弦之间的距离．5：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．6：如图所示，点A、B为⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连结PA、PB，过O作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF= ．7：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，若以点C为圆心，CB为半径作圆交AB于点P，求AP=_________．第6题图第7题图第8题图8：如图，⊙O过点B、C圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为．60，求CD的长．9：如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm,∠DEB=10：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为11：如图是一个地通桥，上面是半径为2m的半圆，下面是一矩形，半圆拱的圆心到地面2m，现一辆高3.3 m，宽2.8 m的卡车想从这里通过，问这辆卡车能过去吗？请说明理由．。
3.2圆的对称性(1)
D海旺中学2012-2013学年九年级数学（下）学案§3.2 圆的对称性（第一课时）九（ ）班 姓名： 编制：蓝小燕 审核：蓝福隆学习目标:1、 经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2、 理解圆的对称性及相关知识．3、 理解并掌握垂径定理．学习重点: 垂径定理及其应用． 学习难点: 垂径定理及其应用．学习过程：一、知识点1：圆的轴对称性【做一做1】（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你使用什么方法解决上述问题的？定理：圆是 图形，其对称轴是任意一条 的直线二、知识点2：圆的几个概念1、圆上任意两点间的部分叫做 ，简称 弧AB 记作AB2、大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫做 优弧DCA劣弧AB 3、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径注意：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是 劣弧，也不是优弧。
三、知识点3：垂径定理【做一做2】如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB 于M 。
1、左图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？2、你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.⌒⌒ ⌒垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ，（1） 图中相等的线段有 ，相等的劣弧有 ； （2） 若AB = 10，则AM = ，BC = 5，则AC = 。
例1 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长。
【举一反三1】如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 10，OC = 6，求AB 的长。
例2 如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上。
你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？【举一反三2】．（2012•南通）如图，⊙O 的半径为17cm ，弦AB ∥CD ，AB=30cm ，CD=16cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，求AB 和CD 的距离．⌒ ⌒例3 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心），其中CD =600m ，E 为CD上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF = 90m 。
圆的对称性(二)垂径定理(十一大题型)( 原卷版)
2.2圆的对称性
第二课时 垂径定理
圆的轴对称性
圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
◆1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质.
A． B． C． D．
【例题5】（2022•甘肃模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（ ）
A．4≤OM≤5B．3≤OM＜5C．3＜OM≤5D．3≤OM≤5
解题技巧提炼
本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题来求范围，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【变式5-1】（2023•同心县校级二模）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
推导格式：
◆2、垂径定理的用法：
（1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值.
（2）如图弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
（3）r,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量.
◆1、垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂巧提炼
作弦的垂线并连接圆心与弦的一个端点，构造“垂径定理三角形”，利用勾股定理求解.
【变式2-1】（2023春•渝中区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若 ，
BE＝2，则AB的长是（ ）
A．12B．16C． D．
【变式2-2】（2023•伊川县一模）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是 上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
3.2.1垂径定理
才能平分弦,平分弦所对的弧.
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这 条弧的中点．
作法： ⒈ 连结AB. ⒉作AB的垂直平分线 CD， 交弧AB于点E.
E A B C
⌒
点E就是所求弧AB的中点．
D
变式： 求弧AB的四等分点．
错在哪里？
Ｅ
C
G
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
.O
A C
E
D
B
应用2:垂径定理有关的证明题.
M 练习6 已知：⊙O中 弦AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒
⌒
C A
∟
D
.O
B
N
小结:
A B C A A O E
M D B
. O
C
.
.O
D B N
解决有关弦的问题，经常是
①
过圆心作弦的垂线， 作垂直于弦的直径，
②
③
连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
拓展练习 ．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两 条平行弦AB=４０ cm ，CD=４８cm， 求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
C
20 E
25 25 24
B
7
A
C
E
B
. 15 O
F
D
.F O
D
AB、ＣＤ在点O两侧 AB、ＣＤ在点O同侧
ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
2 2
B 已知：AB是⊙O直径，CD O
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
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(整理)初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计
课题：第三章第2节圆的对称性（1）课型：新授课教学目标：1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点）2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点)教法与学法指导：这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神.课前准备：制作课件，学生预习学案.教学过程：一、情景导入明确目标组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心.[师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程.学生演示：[师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质?[生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形.[师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？[生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴.[师]：同学们，这位同学回答的对吗？[生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线.教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1）圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习 合作探究：探究活动一：圆的基本概念 （让学生注意观察动画课件）学案(问题3)：（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？ （2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？ 学情预设：可能出现的情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法.以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论.学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. [生1]：(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧;直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分叫C做半圆.大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧.[生2]：弦是线段，弧是曲线段.弧的表示方法是在两个端点上面添加“︵“符号. [生3]：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧.[师] 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质.教师活动：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明.[生4]：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.[生5]：直径是圆中最大的弦. 学生活动:整理好笔记.设计意图：让学生带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题，提高课堂效率.探究活动二：垂径定理 （问题4）（1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？（2）若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？（3）思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？（4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言.优弧AB半圆CD劣弧AB C学生活动：拿出圆形纸片,将其对折，得到一条折痕CD,在CD 上取一点M ，作CD 的垂线AB,然后再将圆沿CD 对折，观察，得出结论. [生1]：垂直关系；相等的量有，AM =BM , 因为圆沿直线CD 对折后，点A 与B 重合. [生2]： 若只证明AM =BM ， 还可以用等腰三角形“三线合一”. 证明：连接OA ,OB 则OA =OB 又 ∵CD ⊥AB∴AM =BM ,CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴点A 和点B 关于直线CD 对称 ∴ 教师活动:引导学生总结并板书文字语言和几何语言：垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧． 如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤① CD 是直径③AM =BM ，④② CD ⊥AB 于M ⑤ 设计意图：用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.探究活动三：垂径定理的推论 议一议：(问题5)同学们，如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例. 学情预设： 大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立. [生1]： 成立. = ,== ,=AD=BDAC=BC∴OA =OB ,AM =BM , ∴ CD ⊥A B(三线合一) ∴ [生2]：不一定成立，如图，当AB 是直径时，CD 平分AB ，但不垂直AB .只有AB 不是直径时，才成立.[师]： 同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结.那么这个推论我们应该怎么说？ 在学生的归纳中，板书. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（问题6）如果我们继续交换条件是否能够②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③？ 学生活动：采取折叠-重合-得出结论成立.师生共同归纳总结：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论.设计意图：对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性.（问题7）例题分析例1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题思路.教师活动:与个别学生交流解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答. [生]：解：连接OC ，设弯路的半径是R ，则OF =(R -90))m ∵OE ⊥CD = ,=∴CF =CD /2=300m （垂径定理） 由勾股定理得 OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+(R -90)2 解得R =545所以，弯路的半径是545m.设计意图:让学生在实践中理解垂径定理应用，在四个量半径R 、弦CD 的长、弦心距OF 长、弓形高EF 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 三、归纳总结，拓展提高[师]：同学们，我们本节课学习了垂径定理及推论，理解了与圆有关的应用，你有收获，或者是疑虑问题，交流一下.学生活动：有独立思考，落笔组织语言的，也有相互讨论，交流总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见.[生]：老师，如图，OC ⊥AB ，可不可以使用垂径定理.[师]：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用， 同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线，在以后的学习中，注意体会和总结.设计意图: 用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，学会提炼其中蕴含的数学思想方法，且能够灵活应用；学会自我反思，养成良好的数学学习习惯. 课堂检测:1.已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6 ，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为____. 考察知识点：理解垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题. 答案提示：解：过O 点作AB 的垂线，垂足是D ，且与弧AB 交于点C ,连接OA , ∵OC ⊥AB∴D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，∴OD =52-32=4∴DC =5-4=1所以，这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为12.两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，若AB =4，CD =2，圆心到AB 的距离为l ，则大圆的与小圆的半径之比为____________.考察知识点：理解垂径定理的使用，加深认识辅助线“弦心距和半径”经常是成对构造的，以便构造直角三角形，解决问题. 答案提示：解：51222=+=OA21122=+=OC则大圆的与小圆的半径之比为21025=3. 储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ， 求油的最大深度．考察知识点：主要是检测垂径定理在生活中的应用，解决此类问题的关键是画出示意图，转化为数学问题解答. 答案提示：由垂径定理知，mm oc 12530032522=-=油最大深度=325-125=200（mm ）4．已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，C 为 AB 的中点，OC 交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA .考察知识点：数学方法的综合应用，主要是方程知识与图形解答的结合.答案提示： 解：设⊙O 的半径为r在直角三角形AOD 中，222OA OD AD =+所以，222)1(3r r =-+∴r =5cm ∴OA =5cm学情预设：部分同学可以当堂完成，教师，当堂批改，及时知道学生的解答情况；部分同学需要老师的引导，才能完成解答.教师活动：通过检查，关键看学生的图形构造，是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角形，运用勾股定理解决问题.设计意图：通过例题的分析学习，让学生体会数学学习要善于构造图形，解决问题;进一步理解，为了应用条件和已有的性质定理，需要添加辅助线来完善图形，从而培养学生良好的学习习惯.板书设计：教学反思：《圆的对称性》是一节操作性较强的课，所以，我在教学中首先创设“找圆心”情境，让学生感到新颖、有趣同时又注重了垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学；再以连贯的问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维. 让学生真正体验了探索获取新知的成绩感和成功感，同时也达到了培养学生学习主动性和创造性的目的；最后，通过提供有层次的达标检测题让学生应用所学解决实际问题.孩子们在解决问题的同时享受到了成功的喜悦，个性得到了彰显，解决问题的能力也得到了充分的提升，更感受到数学的价值，从而更加热爱数学学习.感到课堂不足的地方是，本节课学生操作和自主学习的时间多，每个环节的衔接要流畅，才能在课堂上完成，所以本节课要提前发放导学案，才能顺利完成课堂教学任务.。
3.21圆的对称性
【课题】：3.2圆的对称性（1）【课型】：新课【主备人】：袁秀丽【审核人】：王莉【学生姓名】：【备课时间】：2012.5.29【学习目标】：通过自学圆的有关概念，利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理【学习重点】：垂径定理及其应用【学习难点】：垂径定理及其应用【学习过程】：学习范围：教材96页至101页一、学前准备：1、在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做图形，这条直线叫做。
2、圆既是对称图形，它的对称中心就是；同时又是对称图形，有条对称轴，其中每一条所在的直线就是对称轴。
3、如图，CF=300cm，OC=xcm，OF=(x-90)cm，∠F=090，则OF= cm。
二、探讨交流：（一）独立思考·解决问题：认识弧、弦、直径、弦心距这些与圆有关的概念。
1．圆上任意两点之间的部分叫做，简称。
如图所示的圆指出以A，B为端点的弧记作，读作，2.连接圆上任意两点的线段叫做，指出图中的弦。
3.经过圆心的弦叫做。
指出图中的直径。
4. 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做。
5. 大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做。
6．从圆心到弦的距离叫做 ,（二）师生探究·合作交流：探索垂径定理：做一做：按下面的步骤做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合。
2．得到一条折痕CD。
3．在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.问题：（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？（3）你能证明吗？小结垂径定理: 。
符号表示：例：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E 为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．探索垂径定理的逆定理想一想：如右图示，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M ．同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么? （2）你能发现图中有哪些等量关系？ （3）你能证明吗？总结垂径定理的逆定理： 。
垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm ．2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）A ．MP 与RN 的大小关系不定B ．MP ＝RNC ．MP ＜RND ．MP ＞RN【答案】B ；【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系，首先可通过测量猜测MP 与RN 相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP ≌△ONR ，如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ，∴ ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.举一反三：【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒∠=，AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（）A．5m B．8m C．7m D．53m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B；【解析】如图2，AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴ OD＝5，∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．【答案与解析】如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m，∵OE⊥CD，∴CF=12CD=12×600=300(m)，根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2，解得R=545，∴这段弯路的半径为545m．【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．。
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圆对称性(1) 圆对称性(1) 3.2 垂径定理
3.2
圆的对称性
复习提问: 复习提问:
1,什么是轴对称图形?我们在直线形中学过哪 什么是轴对称图形? 些轴对称图形? 些轴对称图形? 如果一个图形沿一条直线对折, 如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部 分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形. 分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形.如 线段, 等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形, 线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形, 正方形
推论1. 推论 (1)平分弦(不是直径) 平分弦( 平分弦 不是直径) 的直径垂直于弦, 的直径垂直于弦,并且平分 弦所对的两条弧. 弦所对的两条弧. A
M
一个圆的任意两 C 直径总是互相平分, 条直径总是互相平分, 但是它们不一定互相 垂直. 垂直.因此这里的弦 如果是直径, 如果是直径,结论就 不一定成立. 不一定成立.
O
D
B N
M
O
C A B N
探索二:
② MN⊥AB MN⊥ ③ AC=BC
①直线MN过圆心O 直线MN过圆心 过圆心O ④弧AM=弧BM AM=弧 ⑤弧AN=弧BN AN=弧
推论1: 推论1:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧;
M
O
C A B N
探索三:
①直线MN过圆心O 直线MN过圆心 过圆心O ⑤弧AN=弧BN AN=弧
A B D C M
●
1.两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的同侧
A C
●
O
O
B D
M
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等
讲解
如果圆的两条弦互相平 行,那么这两条弦所夹 的弧相等. 的弧相等.
已知: 中弦AB‖ 已知:⊙O中弦 ‖CD. 中弦 求证:AC=BD 求证: =
●
O
M A D
O
圆是轴对称图形, 经过圆心 圆心的 经过圆心的 每一条直线 直线都是 每一条直线 它的对称轴.
B
C
N
M A D
任意一条直 或: 任意一条直 径所在的直线都是 径所在的直线都是 圆的对称轴. 圆的对称轴
O
C
任意一条直径都是 任意一条直径都是 圆的对称轴( 圆的对称轴( )
B N
练习1.判断题 练习 判断题 ( (1)直径是弦 (√) (2)过圆心的线段是直径 ×) 直径是弦 . ) 过圆心的线段是直径. 过圆心的线段是直径 (3)半圆是弧(√) (4)两个半圆是等弧(×) 半圆是弧 . ) 两个半圆是等弧. 两个半圆是等弧 (5)面积不等的两圆不是等圆(√) 面积不等的两圆不是等圆. ) 面积不等的两圆不是等圆 ( (6)长度相等的两条弧是等弧 (6)长度相等的两条弧是等弧. ×) 弧长 HG 长度相等的两条弧是等弧.
C
A
M└ └
●
B O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧 并且平分弦所的两条弧. ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 D ②④⑤ 平分弦 不是直径)的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧 平分弦(不是直径 的直径垂直于弦 不是直径 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦,并且平分弦所对的 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦 并且平分弦所对的 垂直平分弦 另一条弧. ②③④ 另一条弧 ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧 并且平分这条弦所对的两条弧 ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且 平分弦和所对的另一条弧. ①③④ 平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于 并且平分弦所对的另一条弧. 并且平分弦所对的另一条弧 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧 ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦 并且垂直平分弦 ①②⑤
C
如图∵ 是直径, 如图∵ CD是直径 是直径 CD⊥AB, ⊥
B O
A
M└ └
●
∴AM=BM,
⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
D
老师提示: 老师提示 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 要的结论 三 种语言要相 互转化,形成 互转化 形成 整体,才能运 整体 才能运 用自如. 用自如
C M└ └
●
在Rt△OAM和Rt△OBM中, △ 和 △ 中 A ∵OA=OB,OM=OM, , , ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. △ ≌ △ ∴AM=BM. 和点B关于 对称. ∴点A和点 关于 对称 和点 关于CD对称 ∵⊙O关于直径 对称, 关于直径CD对称 ∵⊙ 关于直径 对称
B O
D
对折时,点 与点 与点B ∴当圆沿着直径CD对折时 点A与点 当圆沿着直径 对折时 重合, AC和 ⌒重合 AD和 ⌒重合 重合 ⌒ 和BC重合 ⌒ 和BD重合 重合, 重合.
例:平分已知弧
已知: 已知:弧AB E 求作: 求作:弧AB的中点 A
C
AB
B 作法: 作法: 连结AB. ⒈ 连结 ⒉作AB的垂直平分线 的垂直平分线 CD,交弧 于点 于点E. ,交弧AB于点 D
点E就是所求弧AB的中点. 就是所求弧AB的中点. AB的中点
求弧AB的四等分点. AB的四等分点 变式一: 求弧AB的四等分点.
C M└ └
●
A
B O
只要具备其中两个条件, 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论. 就可推出其余三个结论
你可以写出相应的命题吗? 你可以写出相应的命题吗
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, 是直径 ⊥ , ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤ ④⑤ 结论 命 题
圆的两条平条平行弦所夹 的弧相等. 的弧相等.
挑战自我画一画
如图,M为 内的一点,利用尺规作一条弦AB, 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, ,M AB过点 并且AM=BM 过点M AM=BM. 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O
●
挑战自我画一画
A E B
. O
解:连结OA. 过O作OE⊥AB,垂足为 , 连结 作 ⊥ ,垂足为E, 厘米, = . 则OE=3厘米,AE=BE. = 厘米 ∵AB=8厘米 = 厘米 ∴AE=4厘米 = 厘米
在Rt △AOE中,根据勾股定理有 中 根据勾股定理有OA=5厘米 = 厘米 ∴⊙O的半径为 厘米 ∴⊙ 的半径为5厘米 的半径为
平分线EF.GH
A
P B
等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线. 的垂直平分线.
F D H
垂径定理的 垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中 如图 在下列五个条件中: 在下列五个条件中 是直径, ① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, 是直径 ⊥
⌒ ⌒ ⌒ = BC, ⑤ AD = BD. ⌒ ④AC
C
A
M└ └
●
B O
你能发现图中有哪些等量关系? 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由. 与同伴说说你的想法和理由
题设
D
结论
可推得
由 ① CD是直径 是直径 ② CD⊥AB ⊥
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
垂径定理
如图,小明的理由是 如图 小明的理由是: 小明的理由是 连接OA,OB, 连接OA,OB, 则OA=OB.
圆是轴对称图形吗? 圆是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么? 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴? 少条对称轴? 你是用什么方法解决上述问题的? 你是用什么方法解决上述问题的?
3.2 圆的对称性 圆是轴对称图形. 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 任意一条经过圆心的直线 有无数条对称轴. 有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
弧长 FE = 3.84 cm
G
= 3.84 cm
H
E
F C A
看一看
C C
.
A
O E B A
.
O E B
D
D
AE≠BE
AE=BE =
垂径定理
⌒ AmB
AB是⊙O的一条弦 是 的一条弦. 的一条弦 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为 作直径 使 ⊥ 垂足为M. 垂足为 下图是轴对称图形吗?如果是 其对称轴是什么? 如果是,其对称轴是什么 下图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么
A
m
n C
B
作图依据:
O
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
判断
挑战自我 填一填
⑴垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧( × ) 垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧 垂直于弦,并且经过圆心 ⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦 并且经过圆心 (√ ) 弦所对的两弧中点的连线 垂直于弦 ⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( × ) ⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ( × ) 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 ⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分( √ 圆内两条非直径的弦不能互相平分( )