圆的对称性垂径定理演示文稿

O
F E G
B D
延伸提高
1.过⊙O内一点A的最长弦为10㎝，最短弦为8㎝，则 OA= ㎝ 2.已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已 知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求CD的长 3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上 的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半 径. C D E
圆的对称性
——垂径定理
3.1
圆的对称性
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部 分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、 正方形
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
A
E
B
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， A 则下列结论不正确的是（ ）C C M└ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD O C、AM=OM D、CM=DM
●
3、在涉及圆的弦的问题时通常通过做过圆心的弦的垂线从而利用 垂径定理与勾股定理来解决问题。 a
⑴d + h = r ⑵
2
h
d O
AO 2 OM 2 AM 2 根据勾股定理，得：
∴ AM AO2 OM 2 102 62 8 ∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16
（2）如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD. ⌒ ⌒ 求证：AC = BD。 解：过点O作OE⊥CD，交CD于点E 交AB于点F， 交⊙O于点G 在⊙O中，OF⊥弦AB，由垂径定理得 A C ⌒ ⌒ ∴ AG = BG ∵ OE⊥弦CD，由垂径定理得 ⌒ ⌒ ∴ CG = DG ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AG - CG = BG - DG ⌒ ⌒ 即 AC = BD
C
发现相等的线段： AE=BE. ⌒ ⌒ 相等的弧： AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
A
·
E
D B
O
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， 且CD⊥AB于M， ⌒ AD ⌒ =BD ⌒ ⌒ =BC, 求证：AM=BM， AC
证明： 连接OA,OB, 则OA=OB.
C
A B O
M└
●
D
∵CD⊥AB于M ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ AC和 ⌒ BC重合, AD和 ⌒ BD重合. 重合, ⌒
.
O B
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
典型例题
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：
OE AB
∴由垂径定理得 AE=BE=1/2AB=4cm
在Rt △ AOE 中由勾股定理得
2 2
作业评讲 ：
（1） 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是 弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB。 C 解：连接OA M B A ∵ CD = 20 ∴ AO = CO = 10 ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6 O 在⊙O中，直径CD⊥弦AB，由垂径 定理得 ∴ AB =2AM △OMA是Rt △ D 在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6
E
A C O B
●
F
D
O
判断
挑战自我
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
D
判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）
(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ √ ）
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
①⑤
②③ ②④
②⑤
③④ ③⑤
④⑤
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
跟踪练习
1、在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8， OA = 5，则AC = 4 ，OC = 3 。
A O
5 ┏
C8
B
2、在⊙O中，C为AB上一动点，OC最长为 5，最短为3，则弦AB=
8
。
O
5
3
A
C
B
• 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
（ ）
C O B A B
(1) B
(2) D
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径
（ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ） （11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
B O O D A (5)
C
O E D (6)
A
C (4)
B
C
A
B
小结：
1、我们要掌握圆的对称性：圆是轴对称图形,利用圆的轴对称性， 熟练的掌握垂径定理及逆定理。 2、垂径定理的三种语言：文字语言、几何语言、结构语言
D
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
B
• 4.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
M A D
任意一条 直径都是圆的 对称轴
O
C B
N
读一读
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. AB ,读作“弧 以A,B两点为端点的弧.记作⌒ AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
B A
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). ⌒
●
O
C D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ACB (用三个字母).
活动三 画一条弦AB，再画一条直径CD使CD⊥AB 垂足为E.以CD所在的直线对折你能发现图 中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法.
O C
.
E
D
B
方法总结： 垂径定理常见辅助线为，圆心遇
弦作垂直，并结合勾股定理进 行求解。
方法总结：
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距 离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中， 只要已知其中任意两个量，就可以求 出另外两个量，如图有：
a 2
h d O
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 （7）平分弦的直线，必定过圆心
( ） （ ）
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦
A C O D A C O
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
A D O C
B
.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆 于C、D两点。 求证：AC＝BD。
4
证明：过O作OE⊥AB， 垂足为E。 则由垂径定理得 AE＝BE，CE＝DE。 A ∴ AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
. 图中相等的劣弧有: .
A
B M E D O F
C
N
做一做
垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? • 你能发现图中有哪些等量关系?与同 伴说说你的想法和理由. C
A
┗
●
B
O

小明发现图中有: 由 ① CD是直径
C
M└
●
A
B
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.

O
你可以写出相应的命题吗?
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径, ④AC= ② CD⊥AB,
C
③ AM=BM,
A
⌒ BC, ⌒
结论
⌒ ⌒ ⑤AD= BD.
M└
●
B
O
条件 ①② ①③ ①④
命
题
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 . ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.