一元二次方程培优

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(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

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一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x,则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ,则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ,且07200552=++a a ,05200572=++b b ,则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根,则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62,则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ,2=abc ,0φc ,则( )A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ,0162=++c ab ,则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ,则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ,042=++c ab ,则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ,2x ,且11φx ,03φ++q p ,则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根,则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ,则=+--+200872129234x x x x ( )A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ,则x y x 222++的最大值是( )A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根,则=m ( )A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为( )A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x (a 为常数)的两根之比3:2:21=x x ,则=-12x x ( )A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根,则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解,求a 的值。

备战中考数学一元二次方程组(大题培优)含答案解析

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备战中考数学一元二次方程组(大题培优)含答案解析一、一元二次方程1.解方程:(x+1)(x ﹣3)=﹣1.【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析:根据方程的特点,先化为一般式,然后利用配方法求解即可.试题解析:整理得:x 2﹣2x=2,配方得:x 2﹣2x+1=3,即(x ﹣1)2=3,解得:x 1,x 2=12.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程;(2)若这个方程有两个实数根x 1,x 2,求a 的取值范围;(3)若方程两个实数根x 1,x 2满足[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,求a 的值. 【答案】(1)123,4x x =-=(2)54a ≤(3)-4 【解析】分析:(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案; (2)根据判别式即可求出a 的范围; (3)根据根与系数的关系即可求出答案.详解:(1)把a =﹣11代入方程,得x 2﹣x ﹣12=0,(x +3)(x ﹣4)=0,x +3=0或x ﹣4=0,∴x 1=﹣3,x 2=4;(2)∵方程有两个实数根12x x ,,∴△≥0,即(﹣1)2﹣4×1×(a ﹣1)≥0,解得54a ≤:; (3)∵12x x ,是方程的两个实数根,222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-,,,.∵[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦,把22112211x x a x x a -=--=-, 代入,得:[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9,即(1+a )2=9,解得:a =﹣4,a =2(舍去),所以a 的值为﹣4.点睛:本题考查了一元二次方程,解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系.3.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价;(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程中,“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%,购买数量和原计划一样:“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元,购买数量在原计划基础上增加15m%,最终,在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%,求出m的值.【答案】(1)120;(2)20.【解析】试题分析:(1)本题介绍两种解法:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,解出即可;解法二:根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价;(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额:120a(1﹣25%)(1+52m%),在“美团”网上的购买实际消费总额:a[120(1﹣25%)﹣920m](1+15m%);根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可.试题解析:(1)解:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,x≤120;解法二:7680÷80÷0.8=96÷0.8=120(元).答:每个礼盒在花店的最高标价是120元;(2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得:120×0.8a(1﹣25%)(1+52m%)+a[120×0.8(1﹣25%)﹣920m](1+15m%)=120×0.8a(1﹣25%)×2(1+ 152m%),即72a(1+52m%)+a(72﹣920m)(1+15m%)=144a(1+ 152m%),整理得:0.0675m2﹣1.35m=0,m2﹣20m=0,解得:m1=0(舍),m2=20.答:m的值是20.点睛:本题是一元二次方程的应用,第二问有难度,正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键.4. y与x的函数关系式为:y=1.7x(x≤m);或( x≥m) ;5.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围;(2)若方程的两实数根分别为1x ,2x ,且221212615x x x x +=-,求k 的值.【答案】(1)32k ≥ (2)4 【解析】 试题分析:根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ,解之即可得出结论.根据韦达定理可得:212121114x x k x x k ,+=+⋅=+ ,结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程,解之即可得出k 值,再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析:因为方程有两个实数根,所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭, 解得32k ≥. 根据韦达定理,()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+, 因为221212615x x x x +=-,所以()212128150x x x x +-+=,将上式代入可得()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭,整理得2280k k --= ,解得1242k k ,==- ,又因为32k ≥,所以4k =.6.沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A ,B 两个社区,B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍. (1)求A 社区居民人口至少有多少万人?(2)街道工作人员调查A ,B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A 社区有1.2万人知晓,B 社区有1.5万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A 社区的知晓人数平均月增长率为m %,B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %,第二月在第一个月的基础上又增长了2m %,两个月后,街道居民的知晓率达到92%,求m 的值.【答案】(1)A 社区居民人口至少有2.5万人;(2)m 的值为50. 【解析】【分析】(1)设A 社区居民人口有x 万人,根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可;(2)A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%,据此列出关于m 的方程并解答. 【详解】解:(1)设A 社区居民人口有x 万人,则B 社区有(7.5-x )万人, 依题意得:7.5-x ≤2x , 解得x ≥2.5.即A 社区居民人口至少有2.5万人;(2)依题意得:1.2(1+m %)2+1.5×(1+45m %)+1.5×(1+45m %)(1+2m %)=7.5×92%, 解得m =50 答:m 的值为50. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解题的关键是读懂题意,找到题中相关数据的数量关系,列出不等式或方程.7.已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=(m 为常数)(1)求证:不论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程有一个根是2,求m 的值及方程的另一个根. 【答案】(1)见解析;(2) 即m 的值为0,方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】(1)可用根的判别式,计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4>0,则方程有两个不相等实数解,于是可判断不论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的另一个根为t ,利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明:△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4, ∵无论m 为何值时m 2≥0, ∴m 2+4≥4>0, 即△>0,所以无论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ,()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m , 解得t=0, 所以m=0,即m 的值为0,方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系,对于问题(1)可用根的判别式进行判断,在判断过程中注意对△的分析,在分析时可借助平方的非负性;问题(2)可先设另一个根为t ,用根于系数关系列出方程组,在求解.8.关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ,2x .(1)求实数k 的取值范围;(2)若方程两实根1x ,2x 满足121210x x x x ++-=,求k 的值. 【答案】(1) k <14;(2) k=0. 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式得出△>0,求出不等式的解集即可;(2)根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1•x 2=k 2,代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0,即可求出k 值. 【详解】解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2k-1)x+k 2=0有两个不等实根x 1,x 2,∴△=(2k-1)2-4×1×k 2=-4k+1>0, 解得:k <14, 即实数k 的取值范围是k <14; (2)由根与系数的关系得:x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1•x 2=k 2,∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0, ∴1-2k+k 2-1=0, ∴k 2-2k=0 ∴k=0或2,∵由(1)知当k=2方程没有实数根, ∴k=2不合题意,舍去, ∴k=0. 【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点,能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键,注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式,以防错解.9.已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数,m≠0). (1) 试说明:此方程总有两个实数根.(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m 的值. 【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0;(2)m=-1,-3. 【解析】分析: (1)先计算判别式得到△=(m -3)2-4m •(-3)=(m +3)2,利用非负数的性质得到△≥0,然后根据判别式的意义即可得到结论; (2)利用公式法可求出x 1=3m,x 2=-1,然后利用整除性即可得到m 的值. 详解: (1)证明:∵m ≠0,∴方程mx 2+(m -3)x -3=0(m ≠0)是关于x 的一元二次方程, ∴△=(m -3)2-4m ×(-3) =(m +3)2,∵(m +3)2≥0,即△≥0, ∴方程总有两个实数根; (2)解:∵x =()()332m m m--±+ ,∴x 1=-3m,x 2=1, ∵m 为正整数,且方程的两个根均为整数, ∴m =-1或-3.点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2-4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了解一元二次方程.10.关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)=0有两个不相等的实数根. (1)求n 的取值范围;(2)若n 为取值范围内的最小整数,求此方程的根. 【答案】(1)n >0;(2)x 1=0,x 2=2. 【解析】 【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ,即可求出n 的取值范围; (2)根据题意得出n 的值,将其代入方程,即可求得答案. 【详解】(1)根据题意知,[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯--> 解之得:0n >;(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数,则方程为220x x -=, 即(2)0x x -=, 解得120,2x x ==. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系(①当>0∆ 时,方程有两个不相等的实数根;②当0∆= 时方程有两个相等的实数根;③当∆<0 时,方程无实数根)是解题关键.11.淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售的A 商品的成本为30元/件,网上标价为80元/件.(1)“双十一”购物活动当天,甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客,问该店平均每次降价率为多少时,才能使A 商品的售价为39.2元/件?(2)据媒体爆料,有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动,存在欺诈行为.“双十一”活动之前,乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致,一周可售出1000件A 商品.在“双十一”购物活动当天,乙网店先将A 商品的网上标价提高a %,再推出五折促销活动,吸引了大量顾客,乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %,“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元,求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价.【答案】(1)平均每次降价率为30%,才能使这件A 商品的售价为39.2元;(2)乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元. 【解析】 【分析】(1)设平均每次降价率为x ,才能使这件A 商品的售价为39.2元,根据原标价及经过两次降价后的价格,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论; (2)根据总利润=每件的利润×销售数量,即可得出关于a 的一元二次方程,解之取其正值即可得出a 的值,再将其代入80(1+a %)中即可求出结论. 【详解】(1)设平均每次降价率为x ,才能使这件A 商品的售价为39.2元,根据题意得:80(1﹣x )2=39.2,解得:x 1=0.3=30%,x 2=1.7(不合题意,舍去).答:平均每次降价率为30%,才能使这件A 商品的售价为39.2元. (2)根据题意得:[0.5×80(1+a %)﹣30]×1000(1+2a %)=30000,整理得:a 2+75a ﹣2500=0,解得:a 1=25,a 2=﹣100(不合题意,舍去), ∴80(1+a %)=80×(1+25%)=100.答:乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元.本题考查一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.12.已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0。

一元二次方程专题能力培优(含答案)

一元二次方程专题能力培优(含答案)

一元二次方程专题能力培优(含答案)解得:m≠2m10当m≠2时,原方程可化为x-m+1=0.2.C解析:将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0,由于常数项为0,所以m-6=0,即m=6.3.a=2解析:由于一次项系数为0,所以根据一元二次方程的求根公式可得:x1=x2=-b/2a,代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析:将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0,由于一次项系数为0,所以2a-4+3a+6=0,解得a=2.5.D解析:由题可得另一个根为-b,代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a,代入a-b得到a=2b,所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析:由于a-b+c=0,所以c=b-a,代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a,x2=(b-√(b^2-4ac))/2a,代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a),解得a/2=b-a,即a=2b-2a,解得a/2.7.2012解析:由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1),代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+(m-2)≠0且m+1=1时,它是一元一次方程。

解得:m=-1,m=0.因此,当m=-1或m=0时,为一元一次方程。

给定方程m^2-1=0,解得m=-1.因为m-1≠0,所以这是一元一次方程。

解方程3a+6=0,得到a=-2.因此,这是一元一次方程。

根据题意,方程x+bx+a=0的一个根是-a(a≠0)。

由此得到a-b=-1.解方程x^2=1,得到x=±1.因此,x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解,因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式,则m=9.用配方法证明:无论x为何实数,代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义:一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料1.一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:(1)配方法:如,经配方得2670x x ++=,再直接用开平方法;2(3)2x +=(2)公式法;(3)因式分解法。

这三种方法并不是孤立的,直接开平方法,实际也是因式分解法,解方程,只2670x x ++=要变形为即可,或原方程22(3)0x +-=经配方化为,再求解时,2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法,所以配方法归为用因式分解法的手段。

公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法,因此,它还是归到因式分解法,所不同的是,公式法用一元二次方程的系数来表示根,因而可以作为公式。

由此可见,对因式分解法应予以足够的重视。

因式分解法还可推广到高次方程。

2.我国古代的一元二次方程提起代数,人们自然就把它和方程联系起来。

事实上,过去代数的中心问题就是对方程的研究。

我国古代对代数的研究,特别是对方程解法的研究有着优良的传统,并取得了重要成果。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步?”答:”阔二十四步,长三十六步.”这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。

原题另一个提法是:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法,以不变应万变。

本章内容蕴涵了丰富的数学方法,主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。

(1)转化思想我们知道,解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。

因此,转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。

在本章,转化无所不在,无处不有,可以说这是本章的精髓和特色之一,其表现主要有以下方面:①未知转化为已知,这是解方程的基本思路:②一元二次方程转化为一元一次方程,这是通过将原方程降次达到的:③特殊转化为一般,一般转化为特殊。

第21章 一元二次方程(单元测试-培优卷)(原卷版)

第21章 一元二次方程(单元测试-培优卷)(原卷版)

第21章 一元二次方程(单元测试-培优卷)一、单选题(共30分)1.(本题3分)(2022·全国·九年级单元测试)下列方程:①3x2+1=0;②x2﹣ x+1=0;③2x ﹣ 1x=1;④x2﹣2xy=5;⑤=1;⑥ax2+bx+c=0其中是一元二次方程的个数( )A .2B .3C .4D .52.(本题3分)(2021·江苏淮安·九年级期末)方程23x x =的根是( )A .3x =B .0x =C .123,0x x =-=D .123,0x x ==3.(本题3分)(2021·贵州毕节·中考真题)三角形两边长分别为3和6,第三边是方程2680x x -+=的解,则这个三角形的周长是( )A .11B .13C .11或13D .不能确定4.(本题3分)(2022·全国·八年级单元测试)若一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根,则m 的取值范围是( )A .m≤12B .m >1C .m≤1D .m <15.(本题3分)(2022·全国·九年级单元测试)方程4326131240x x x x -+-+=的不同有理根的个数是( )A .0B .1C .2D .46.(本题3分)(2021·甘肃·夏河县夏河中学九年级阶段练习)一元二次方程25410x x --=的二次项系数和一次项系数分别为( )A .5,-1B .5,4C .5,-4D .5x 2,-4x7.(本题3分)(2022·黑龙江大庆·八年级期末)已知1x =是方程220x ax ++=的一个根,则方程的另一个根为( )A .-2B .2C .-3D .38.(本题3分)(2021·全国·九年级专题练习)已知1x =-是关于x 的方程20x x m -+=的一个根,则m 的值为( )A .-2B .-1C .0D .29.(本题3分)(2022·全国·九年级单元测试)若一元二次方程()212860k x x -+-=没有实数根,那么k 的最小整数值是( )A .2B .0C .1D .310.(本题3分)(2022·全国·九年级单元测试)某班学生打算在毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各留一张作纪念,全班共送了4160张相片.如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程是( )A .()14160x x -=B .()14160x x +=C .()214160x x +=D .141602x -=二、填空题(共16分)11.(本题2分)已知1x ,2x 是一元二次方程240x x m -+=的两根,若11x =,则1212x x x x +-=______.12.(本题2分)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等实数根,则k 的取值范围是________.13.(本题2分)已知关于x 的方程()21230a x x +-+=有实数根,则整数a 的最大值是_____.14.(本题2分)已知a 、b 、c 满足227a b +=,221b c -=-,2617c a -=-,则a b c ++=_______.15.(本题2分)已知a ,b 是一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根,则3a 2﹣b 22+a 的值是_____.16.(本题2分)已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),下列结论:①若方程两根为-1和2,则2a +c =0;②若b >a +c ,则方程有两个不相等的实数根;③若b =2a +3c ,则方程有两个不相等的实数根;④若m 是方程的一个根,则一定有b 2-4ac =(2am +b )2成立.其中结论正确的序号是__________.17.(本题2分)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.为实现平均每月10000元的销售利润,则这种台灯的售价应定为________元.18.(本题2分)如图,在等边三角形ABC 中,D 是AC 的中点,P 是边AB 上的一个动点,过点P 作PE AB ^,交BC 于点E ,连接,DP DE .若8AB PDE =V ,是等腰三角形,则BP 的长是_________________.三、解答题(共54分)19.(本题6分)解方程:(1)x2+2x ﹣9999=0(用配方法求解);(2)3x2﹣6x ﹣1=0(用公式法求解)20.(本题8分)某种植户每年的种植成本包括两部分:固定成本为3万元/年,可变成本逐年增加,已知该种植户第1年的可变成本为6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x .(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为_______万元;(2)如果该种植户第3年的种植成本为11.64万元,求可变成本平均每年增长的百分率.21.(本题10分)阅读下面的解题过程,求21030y y -+的最小值.解:∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+,而()250y -³,即()25y -最小值是0;∴21030y y -+的最小值是5依照上面解答过程,(1)求222020m m ++的最小值;(2)求242x x -+的最大值.22.(本题10分)阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现:当0a >,0b >时,20a b =-³Q ,a b \+³a b =时取等号.请利用上述结论解决以下问题:(1)当0x >时,1x x+的最小值为__________.(2)当0m >时,求2512m m m++的最小值.(3)请解答以下问题:如图所示,某园艺公司准备围建一个矩形花圃,其中一边靠墙(墙足够长),另外三边用篱笆围成,设垂直于墙的一边长为x 米.若要围成面积为200平方米的花圃,需要用的篱笆最少是多少米?23.(本题10分)阅读下列材料:在解一元二次方程时,无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法,我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程,用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如:一元三次方程3220x x x +-=,可以通过因式分解把它转化为()220x x x +-=,解一元一次方程0x =和一元二次方程220x x +-=,可得10x =,21x =,32x =-.2=,可以通过方程两边平方把它转化为14x +=,解得3x =.(1)解下列方程:①32340x x x --=x=(2)根据材料给你的启示,求函数2232121x x y x x -+=++的最小值.24.(本题10分)换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法,我们通常把未知数或变数称为元.所谓换元法,就是解题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使得复杂问题简单化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元.例如解方程组11122120x y x yì+=ïïíï+=ïî,设m =1x ,n =1y ,则原方程组可化为12220m n m n +=ìí+=î,解之得84m n =ìí=î,即18,1 4.x yì=ïïíï=ïî所以原方程组的解为1814x y ì=ïïíï=ïî.运用以上知识解决下列问题:(1)求值:11111111111111(1)()(1)()1113171113171911131719111317+++´+++-++++´++= .(2)方程组635921x y x y x y x y ì+=ï+-ïíï-=ï+-î的解为 .(3)分解因式:(x 2+4x +3)(x 2+4x +5)+1= .(4)解方程组21132311122386x y x y +++ì´-=í+´=î(5)已知关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î的解是95x y =ìí=î,求关于x 、y 的方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ì-+=-í-+=-î的解.。

一元二次方程 (限时满分培优训练)-九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】(原卷版)

一元二次方程 (限时满分培优训练)-九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】(原卷版)

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】专题21.1一元二次方程 (限时满分培优测试)班级:_____________ 姓名:_____________ 得分:_____________本试卷满分100分,建议时间:30分钟.试题共23题,其中选择10道、填空6道、解答7道.试题包含基础题、易错题、培优题、压轴题、创新题等类型,没有标记的为基础过关性题目.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2023春•谯城区期中)下列是一元二次方程的是( )A .x 2=4xB .x 2+y 2=1C .xy =1D .2(x +1)=12.(2023春•肇源县月考)下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A .x 2+1x =0B .x =x 2C .(x ﹣1)2=(x +3)(x ﹣2)+1D .ax 2+bx +c =03.(2023春•肇源县月考)将一元二次方程3x 2=5x ﹣1化成一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A .3,5B .3,1C .3x 2,﹣5xD .3,﹣54.(2023春•瓯海区月考)将方程2x 2﹣1=3x 化为一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A .2,1,3B .2,﹣1,3C .2,﹣3,﹣1D .2,﹣3,15.(2023春•巴东县期中)已知x =2是一元二次方程x 2+bx ﹣b =0的解,则b =( )A .﹣2B .﹣4C .0D .46.(2023•兰溪市模拟)如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0的一个解是x =1,则代数式2023﹣a ﹣b 的值为( )A .﹣2022B .2022C .2023D .2024 7.(易错题)(2023•江汉区模拟)已知a 是方程x 2﹣2x ﹣2=0的根,则(1−1a+1)÷a 3a 2+2a+1的值是( ) A .16 B .12 C .19 D .28.(易错题)(2023春•莱西市期末)根据下表的对应值,试判断一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个解的取值范围是( )A .﹣3<x <﹣1B .﹣0.03<x <0.02C .﹣1<x <1D .﹣0.07<x <﹣0.03x﹣3﹣114ax2+bx+c0.060.02﹣0.03﹣0.079.(易错题)(2023•盐都区二模)我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化,从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国.2021年我国GDP约为115万亿元,如果以后每年按相同的增长率增长,2023年我国GDP约达135万亿元,将增长率记作x,可列方程为()A.115+115(1+x)=135B.115(1+x)=135C.115(1+x)2=135D.115(1+x)+115(1+x)2=13510.(培优题)(2023•阜新一模)如图,某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆,一面利用墙(墙的长度足够),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD,为了方便出入,建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口(不需材料),若花圃的面积刚好为40平方米,设AB的长为x米,则可列方程为()A.x(18﹣3x)=40B.x(20﹣2x)=40C.x(22﹣3x)=40D.x(20﹣3x)=40二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)请把答案直接填写在横线上11.(2023春•沙坪坝区校级期中)若方程(a+4)x a2−14−3x+8=0是关于x的一元二次方程,则a的值为.12.(2023春•西城区校级期中)若方程5x2﹣x﹣3=x2﹣3+x的二次项系数是4,则方程的一次项系数是,常数项是.13.(2023春•崇左月考)把一元二次方程x(x﹣1)=4(x+1)化为一般形式是.14.(2023春•六安月考)若a是方程x2﹣2x﹣5=0的一个根,则2a2﹣4a=.15.(易错题)(2023•福田区校级模拟)若a是一元二次方程x2+2x﹣3=0 的一个根,则﹣2a2﹣4a的值是.16.(培优题)(2023春•瓯海区月考)如图,在一块长8m、宽6m的矩形绿地内,开辟出一块矩形的花圃,使花圃四周的绿地等宽,已知绿地的面积与花圃的面积相等,求花圃四周绿地的宽.设花圃四周绿地的宽为xm,可列方程为(不需要化简).三、解答题(本大题共7小题,共52分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(2023春•肇源县期中)方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是多少?18.(易错题)(2023春•崇左月考)已知关于x的方程(m2﹣1)x2+x﹣2=0.(1)m为何值时,此方程是一元一次方程?(2)m为何值时,此方程是一元二次方程?19.(易错题)(2021秋•龙岗区校级期末)把下列方程化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项.(1)(2x﹣1)(3x+2)=x2+2;(2)(2√2−x)(2√2+x)=(3+x)2.20.(2020秋•商河县校级月考)设a,b,c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项,根据下列条件,写出该一元二次方程.(1)a:b:c=3:4:5,且a+b+c=36;(2)(a﹣2)2+|b﹣4|+√c−6=0.21.(培优题)(2022秋•瑞金市校级月考)(1)如图,利用一面墙(墙的长度不限),用20m长的篱笆,怎样围成一个面积为50m2的矩形场地?能围成一个面积为60m2的矩形场地吗?(2)如图,要设计一个长为15cm,宽为10cm的矩形图案,其中有两横两竖彩条,横竖彩条的宽度之比为5:4,若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?(只列方程不计算)22.(培优题)(2023春•鄞州区期末)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2﹣2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.(1)如果x=1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.23.(压轴题)已知a2﹣3a+1=0,求下列各式的值:(1)2a2﹣6a﹣3;(2)a2+a﹣2;(3)a﹣a﹣1.。

《一元二次方程》培优竞赛

《一元二次方程》培优竞赛

《一元二次方程》培优【知识要点】:1、一元二次方程的解法 (1) 法;(2) 法;(3) 法;(4) 法2、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的根的判别式为△= ,当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ;当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ; 当△<0时根据平方根的意义,负数没有平方根,所以一元二次方程ax 2+bx +c = 0没有实数解.3、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 即x 1=,x 2那么:12x x += ,12x x = ,此结论称为”韦达定理”,其成立的前提是0∆≥.3.特别地, 以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2+( x 1+x 2 )x +x 1.x 2 = 0.【精选题型】:1、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根; (4)方程无实数根.2 、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值: (1) 2212x x +; (2)1211x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.3、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=.(1)求证:无论m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根;(2)若这个方程的两个实数根x 1,x 2满足x 2=x 1+2,求m 的值及相应的x 1,x 2.4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0.(1)求证:无论m 取何实数时,原方程总有实数根;(2)若原方程有两个实数根x 1和x 2,当52221=+x x 时求m 的值(3)若原方程有两个实数根,能否存在一个根大于2,另一个根小于2 ?若存在,请求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【拓展练习】:1.若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根,则1211x x +的值为( )A .2 B .2-C .12 D .922.若t 是一元二次方程20 ax bx c ++=的根,则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A .M ∆=B .M ∆>C .M ∆<D .大小关系不能确定3.若关于x 的方程mx 2+ (2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 ( )A . m <14 B 。

数学 一元二次方程的专项 培优练习题附详细答案

数学 一元二次方程的专项 培优练习题附详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.关于x 的方程x 2﹣2(k ﹣1)x +k 2=0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围;(2)若x 1+x 2=1﹣x 1x 2,求k 的值.【答案】(1)12k ≤;(2)3k = 【解析】 试题分析:(1)方程有两个实数根,可得240b ac ∆=-≥,代入可解出k 的取值范围; (2)由韦达定理可知,()2121221,x x k x x k +=-=,列出等式,可得出k 的值. 试题解析:(1)∵Δ=4(k -1)2-4k 2≥0,∴-8k +4≥0,∴k ≤12; (2)∵x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2,∴2(k -1)=1-k 2,∴k 1=1,k 2=-3.∵k ≤12,∴k =-3.2.如图,A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点,AB =16cm ,BC =6cm ,动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发,点Q 从点C 向点D 移动.(1)若点P 从点A 移动到点B 停止,点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ?(2)若点P 从点A 移动到点B 停止,点Q 随点P 的停止而停止移动,点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ?(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动,点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,点Q 从点C 移动到点D 停止时,点P 随点Q 的停止而停止移动,试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2?【答案】(1)2cm ;(2)85s 或245s ;(3)经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2.【解析】 试题分析:(1)作PE ⊥CD 于E ,表示出PQ 的长度,利用PE 2+EQ 2=PQ 2列出方程求解即可;(2)设x 秒后,点P 和点Q 的距离是10cm .在Rt △PEQ 中,根据勾股定理列出关于x 的方程(16-5x)2=64,通过解方程即可求得x的值;(3)分类讨论:①当点P在AB上时;②当点P在BC边上;③当点P在CD边上时.试题解析:(1)过点P作PE⊥CD于E.则根据题意,得EQ=16-2×3-2×2=6(cm),PE=AD=6cm;在Rt△PEQ中,根据勾股定理,得PE2+EQ2=PQ2,即36+36=PQ2,∴2cm;∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2;(2)设x秒后,点P和点Q的距离是10cm.(16-2x-3x)2+62=102,即(16-5x)2=64,∴16-5x=±8,∴x1=85,x2=245;∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm;(3)连接BQ.设经过ys后△PBQ的面积为12cm2.①当0≤y≤163时,则PB=16-3y,∴12PB•BC=12,即12×(16-3y)×6=12,解得y=4;②当163<x≤223时,BP=3y-AB=3y-16,QC=2y,则1 2BP•CQ=12(3y-16)×2y=12,解得y1=6,y2=-23(舍去);③223<x≤8时,QP=CQ-PQ=22-y ,则12QP•CB=12(22-y )×6=12, 解得y=18(舍去).综上所述,经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2.考点:一元二次方程的应用.3.在等腰三角形△ABC 中,三边分别为a 、b 、c ,其中ɑ=4,若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +4(k ﹣12)=0的两个实数根,求△ABC 的周长. 【答案】△ABC 的周长为10.【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k 值,将k 值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k 值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论.【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k =当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0, 解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4.∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形.∴△ABC 的周长为10.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.4.已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数,m≠0).(1) 试说明:此方程总有两个实数根.(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0;(2)m=-1,-3.【解析】分析: (1)先计算判别式得到△=(m -3)2-4m •(-3)=(m +3)2,利用非负数的性质得到△≥0,然后根据判别式的意义即可得到结论;(2)利用公式法可求出x 1=3m ,x 2=-1,然后利用整除性即可得到m 的值. 详解: (1)证明:∵m ≠0,∴方程mx 2+(m -3)x -3=0(m ≠0)是关于x 的一元二次方程,∴△=(m -3)2-4m ×(-3)=(m +3)2,∵(m +3)2≥0,即△≥0,∴方程总有两个实数根;(2)解:∵x =()()332m m m --±+ , ∴x 1=-3m,x 2=1, ∵m 为正整数,且方程的两个根均为整数,∴m =-1或-3.点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2-4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了解一元二次方程.5.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2=0…①(1)若x =﹣1是方程①的一个根,求m 的值和方程①的另一根;(2)对于任意实数m ,判断方程①的根的情况,并说明理由.【答案】(1)方程的另一根为x=2;(2)方程总有两个不等的实数根,理由见解析.【解析】试题分析:(1)直接把x=-1代入方程即可求得m 的值,然后解方程即可求得方程的另一个根;(2)利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断.(1)把x=-1代入得1+m-2=0,解得m=1∴2--2=0. ∴∴另一根是2;(2)∵, ∴方程①有两个不相等的实数根.考点:本题考查的是根的判别式,一元二次方程的解的定义,解一元二次方程点评:解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根6.为了让学生亲身感受合肥城市的变化,蜀山中学九(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动,某旅行社推出了如下收费标准:(1)如果人数不超过30人,人均旅游费用为100元;(2)如果超过30人,则每超过1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不能低于80元.该班实际共支付给旅行社3150元,问:共有多少名同学参加了研学游活动?【答案】共有35名同学参加了研学游活动.【解析】试题分析:由该班实际共支付给旅行社3150元,可以判断出参加的人数在30人以上,等量关系为:(100﹣在30人基础上降低的人数×2)×参加人数=3150,得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可.试题解析:∵100×30=3000<3150,∴该班参加研学游活动的学生数超过30人.设九(1)班共有x人去旅游,则人均费用为[100﹣2(x﹣30)]元,由题意得:x[100﹣2(x﹣30)]=3150,整理得x2﹣80x+1575=0,解得x1=35,x2=45,当x=35时,人均旅游费用为100﹣2(35﹣30)=90>80,符合题意.当x=45时,人均旅游费用为100﹣2(45﹣30)=70<80,不符合题意,应舍去.答:该班共有35名同学参加了研学旅游活动.考点:一元二次方程的应用.7.已知:关于x的方程x2-4mx+4m2-1=0.(1)不解方程,判断方程的根的情况;(2)若△ABC为等腰三角形,BC=5,另外两条边是方程的根,求此三角形的周长.2【答案】(1) 有两个不相等的实数根(2)周长为13或17【解析】试题分析:(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=4>0,由此可得出:无论m 为何值,该方程总有两个不相等的实数根;(2)根据等腰三角形的性质及△>0,可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根,将x=5代入原方程可求出m值,通过解方程可得出方程的解,在利用三角形的周长公式即可求出结论.试题解析:解:(1)∵△=(﹣4m)2﹣4(4m2﹣1)=4>0,∴无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.(2)∵△>0,△ABC为等腰三角形,另外两条边是方程的根,∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根.将x=5代入原方程,得:25﹣20m+4m2﹣1=0,解得:m1=2,m2=3.当m=2时,原方程为x2﹣8x+15=0,解得:x1=3,x2=5.∵3、5、5能够组成三角形,∴该三角形的周长为3+5+5=13;当m =3时,原方程为x 2﹣12x +35=0,解得:x 1=5,x 2=7.∵5、5、7能够组成三角形,∴该三角形的周长为5+5+7=17.综上所述:此三角形的周长为13或17.点睛:本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程,解题的关键是:(1)牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”;(2)代入x =5求出m 值.8.已知:如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,8AC =cm ,6BC =cm.直线PE 从B 点出发,以2 cm/s 的速度向点A 方向运动,并始终与BC 平行,与线段AC 交于点E .同时,点F 从C 点出发,以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动,设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时,四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时,求出t 的值;【答案】(1)3011t =;(2)552t ±=。

一元二次方程培优(含答案)

一元二次方程培优(含答案)

一元二次方程培优卷【思维入门】1.若关于x 的一元二次方程的两根为x 1=1,x 2=2,则这个方程是 ( )A .x 2+3x -2=0B .x 2-3x +2=0C .x 2-2x +3=0D .x 2+3x +2=02.用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),此方程可变形为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x +b 2a 2=b 2-4ac 4a 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x +b 2a 2=4ac -b 24a 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x -b 2a 2=b 2-4ac 4a 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x -b 2a 2=4ac -b 24a 2 3.一元二次方程2x 2-3x +1=0的解为____.4.已知关于x 的一元二次方程2x 2-3kx +4=0的一个根是1,则k =____.5.一元二次方程(a +1)x 2-ax +a 2-1=0的一个根为0,则a =____.6. 先化简,再求值:(x -1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +1-1,其中x 为方程x 2+3x +2=0的根.【思维拓展】7.若关于x 的方程m (x +h )2+k =0(m ,h ,k 均为常数,m ≠0)的解是x 1=-3,x 2=2,则方程m (x +h -3)2+k =0的解为( ) A .x 1=-6,x 2=-1B .x 1=0,x 2=5C .x 1=-3,x 2=5D .x 1=-6,x 2=28.定义运算“★”:对于任意实数a ,b ,都有a ★b =a 2-3a +b ,如:3★5=32-3×3+5.若x ★2=6,则实数x 的值是____.9.关于x 的一元二次方程为(m -1)x 2-2mx +m +1=0.(1)求出方程的根;(2)m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数?10.某文献对分式方程验根的归纳如下:“解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0,因此应如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.”请你根据对这段话的理解,解决下面问题:已知关于x的方程m-1x-1-xx-1=0无解,方程x2+kx+6=0的一个根是m.(1)求m和k的值;(2)求方程x2+kx+6=0的另一个根.【思维升华】11.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-5m+6=0的常数项为0,则m的值是()A.2 B.3C.2或3 D.012.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+3n=0的根,则m+n的值是____.13.已知n为正整数,且n4+2n3+6n2+12n+25为完全平方数,则n=____.14.若x2-||2x-1-4=0,则满足该方程的所有根之和为____.15.若x=-1是关于x的方程a2x2+2 015ax-2 016=0的一个根,则a的值为______.一元二次方程的解法【思维入门】1.若关于x 的一元二次方程的两根为x 1=1,x 2=2,则这个方程是 ( B )A .x 2+3x -2=0B .x 2-3x +2=0C .x 2-2x +3=0D .x 2+3x +2=02.用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),此方程可变形为 ( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x +b 2a 2=b 2-4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x +b 2a 2=4ac -b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x -b 2a 2=b 2-4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x -b 2a 2=4ac -b 24a 2 3.一元二次方程2x 2-3x +1=0的解为__x 1=1,x 2=12__.4.已知关于x 的一元二次方程2x 2-3kx +4=0的一个根是1,则k =__2__.5.一元二次方程(a +1)x 2-ax +a 2-1=0的一个根为0,则a =__1__.【解析】 ∵一元二次方程(a +1)x 2-ax +a 2-1=0的一个根为0,∴a +1≠0且a 2-1=0,∴a =1.6. 先化简,再求值:(x -1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +1-1,其中x 为方程x 2+3x +2=0的根. 解:原式=(x -1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2-x -1x +1=(x -1)·x +1-x +1=-x -1. 由x 2+3x +2=0,得x 1=-1,x 2=-2.当x 1=-1时,原式无意义,所以x 1=-1舍去.当x 2=-2时,原式=1.【思维拓展】7.若关于x 的方程m (x +h )2+k =0(m ,h ,k 均为常数,m ≠0)的解是x 1=-3,x 2=2,则方程m (x +h -3)2+k =0的解为( B ) A .x 1=-6,x 2=-1 B .x 1=0,x 2=5C.x1=-3,x2=5 D.x1=-6,x2=28.定义运算“★”:对于任意实数a,b,都有a★b=a2-3a+b,如:3★5=32-3×3+5.若x★2=6,则实数x的值是__-1或4__.9.关于x的一元二次方程为(m-1)x2-2mx+m+1=0.(1)求出方程的根;(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?解:(1)根据题意得m≠1,Δ=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,∴x1=2m+22()m-1=m+1m-1,x2=2m-22()m-1=1.(2)由(1)知x1=m+1m-1=1+2m-1,∵方程的两个根都是正整数,∴2m-1是正整数,∴m-1=1或2.∴m=2或3.10.某文献对分式方程验根的归纳如下:“解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0,因此应如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.”请你根据对这段话的理解,解决下面问题:已知关于x的方程m-1x-1-xx-1=0无解,方程x2+kx+6=0的一个根是m.(1)求m和k的值;(2)求方程x2+kx+6=0的另一个根.解:(1)∵将分式方程m-1x-1-xx-1=0去分母化成整式方程得(m-1)-x=0,解得x=m-1.又∵关于x的方程无解,∴x=m-1是增根.∴m-1-1=0,解得m=2.∵方程x2+kx+6=0的一个根是m,即x=2.∴22+2k+6=0.解得k=-5.(2)x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.【思维升华】11.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-5m+6=0的常数项为0,则m的值是(B)A.2 B.3C.2或3 D.012.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+3n=0的根,则m+n的值是__-3__.13.已知n为正整数,且n4+2n3+6n2+12n+25为完全平方数,则n=__8__.【解析】易知n=1,n=2均不符合题意,所以n≥3,此时一定有(n2+n+2)2=n4+2n3+5n2+4n+4<n4+2n3+6n2+12n+25,(n2+n+4)2=n4+2n3+9n2+8n+16≥n4+2n3+6n2+12n+25,而n4+2n3+6n2+12n+25为完全平方数,所以一定有n4+2n3+6n2+12n+25=(n2+n+3)2,整理得n2-6n-16=0,解得n=8(负根n=-2舍去).2x-1-4=0,则满足该方程的所有根之和为.14.若x2-||15.若x=-1是关于x的方程a2x2+2 015ax-2 016=0的一个根,则a的值为__2__016或-1__.【解析】∵x=-1是关于x的方程a2x2+2 015ax-2 016=0的一个根,∴将x=-1代入方程得a2-2 015a-2 016=0,因式分解得(a-2 016)(a+1)=0,可化为a-2 016=0或a+1=0,解得a1=2 016,a2=-1,则a的值为2 016或-1.。

第二章 一元二次方程 综合题型归类 培优练习(含详解)

第二章  一元二次方程  综合题型归类 培优练习(含详解)

一元二次方程-综合题型归类 培优练习【综合题型一】一元二次方程➼➻解法【综合①】一元二次方程的解法➼➻解一元二次方程★✭分式方程★✭换元法1.(2008·浙江温州·中考真题)我们已经学习了一元二次方程的四种解法:因式分解法,开平方法,配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个,并选择你认为适当的方法解这个方程.①2310x x -+=;①2(1)3x -=;①230x x -=;①224x x -=.2.(2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题)用配方法求一元二次方程()()23616x x +-=的实数根.3.(2019·上海·中考真题)解分式方程:228122-=--x x x x.4.(2020·湖北荆州·统考中考真题)阅读下列问题与提示后,将解方程的过程补充完整,求出x 的值.问题:解方程2250x x ++=(提示:可以用换元法解方程),()0t t =≥,则有222x x t +=,原方程可化为:2450t t +-=,续解:2212(1)121x x x x x x +++-÷+++,其中x 满足220x x --=.6.(2020·四川广元·统考中考真题)先化简,再求值:2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭,其中a 是关于x 的方程2230x x --=的根.【综合题型二】解一元二次方程➼➻根的判别式★✭韦达定理★✭换元法【综合①】根的判别式➼➻求参数取值范围★✭证明7.(2017·北京·中考真题)已知关于x 的方程()23220x k x k -+++=(1)求证:方程总有两个实数根(2)若方程有一个小于1的正根,求实数k 的取值范围8.(2013·山东淄博·中考真题)关于x 的一元二次方程()2a 6x 8x 90--+=有实根.(1)求a 的最大整数值;(2)当a 取最大整数值时,①求出该方程的根;①求2232x 72x x 8x 11---+的值.9.(2016·北京·中考真题)关于x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2-1=0有两个不相等的实数根.【综合②】根的判别式✭★韦达定理➼➻求参数取值范围★✭证明10.(2022·湖北十堰·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=.(1) 求证:方程总有两个不相等的实数根;(2) 若方程的两个实数根分别为α,β,且25αβ+=,求m 的值.11.(2021·湖北荆门·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x ,2x 两实数根.(1)若11x =,求2x 及m 的值;(2)是否存在实数m ,满足()()126115x x m --=-?若存在,求出求实数m 的值;若不存在,请说明理由.12.(2022·四川南充·中考真题)已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根.(1) 求实数k 的取值范围.(2) 设方程的两个实数根分别为12,x x ,若()()12111x x ++=-,求k 的值.【综合题型三】一元二次方程的应用【综合①】一元二次方程的应用➼➻增长率问题★✭传播问题13.(2022·四川眉山·中考真题)建设美丽城市,改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元,2021年投入资金1440万元,现假定每年投入资金的增长率相同.(1) 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率;(2) 2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加14.(2022·广西南宁·校联考一模)有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242人患了流感.(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子(忽略触角近似于球体)达8000万个,且该流感病毒粒子的直径为160纳米.请完成下列填空及问题:①用科学记数法表示数据8000万个为__________个;①如图,若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上,求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米?(参考数据:1纳米910-=米)15.(2017·广西桂林·中考真题)为进一步促进义务教育均衡发展,某市加大了基础教育经费的投入,已知2018年该市投入基础教育经费5000万元,2020年投入基础教育经费7200万元.(1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率;(2) 如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算.该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台,调配给农村学校.若购买一台电脑需3500元,购买一台实物投影需2000元,则最多可购买电脑多少台?【综合②】一元二次方程的应用➼➻图形问题★✭营销问题16.(2010·湖北宜昌·中考真题)如图,有一块等腰梯形的草坪,草坪上底长48米,下底长108米,上下底相距40米,现要在草坪中修建一条横、纵向的“H”型甬道,甬道宽度相等,甬道面积是整个梯形面积的213.设甬道的宽为x米.(1)求梯形ABCD的周长;17.(2021·山东日照·统考中考真题)某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y (桶)与每桶降价x (元)(020x <<)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多少元?18.(2021·山东烟台·统考中考真题)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元?(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?19.(2012·山西·中考真题)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?【挑战题型一】一元二次方程➼➻阅读材料问题★✭规律问题20.(2022·湖北黄石·统考中考真题)阅读材料,解答问题:材料1为了解方程()22213360x x -+=,如果我们把2x 看作一个整体,然后设2y x ,则原方程可化为213360y y -+=,经过运算,原方程的解为1,22x =±,3,43x =±.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.材料2已知实数m ,n 满足210m m --=,210n n --=,且m n ≠,显然m ,n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根,由韦达定理可知1m n +=,1mn =-.根据上述材料,解决以下问题:(1) 直接应用:方程42560x x -+=的解为_______________________;(2) 间接应用:已知实数a ,b 满足:422710a a -+=,422710b b -+=且a b ,求44a b +的值; (3) 拓展应用:已知实数x ,y 满足:42117m m +=,27n n -=且0n >,求241n m+的值.21.(2022·四川凉山·统考中考真题)阅读材料:材料1:若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根为x 1,x 2,则x 1+x 2=b a -,x 1x 2=c a 材料2:已知一元二次方程x 2-x -1=0的两个实数根分别为m ,n ,求m 2n +mn 2的值.解:①一元二次方程x 2-x -1=0的两个实数根分别为m ,n ,①m +n =1,mn =-1,则m 2n +mn 2=mn (m +n )=-1×1=-1(2)类比应用:已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n,求n mm n+的值.(3)思维拓展:已知实数s、t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,求11s t-的值.22.(2018·贵州黔东南·统考中考真题)“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法.例如:图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,……,按此规律,求图10、图n有多少个点?我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图),这样图1中黑点个数是6×1=6个;图2中黑点个数是6×2=12个:图3中黑点个数是6×3=18个;所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、.请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块(画在答题卡上),再完成以下问题:(1)第5个点阵中有个圆圈;第n个点阵中有个圆圈.(2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.23.(2022·安徽合肥·校考二模)观察下列图形中小黑点个数与等式的关系,按照其图形与等式的规律,解答下列问题:=第1个等式:1221+=++=+=第2个等式:4682+=+=第3个等式:912183+=+=第4个等式:1620324(1)写出第5个等式:________.(2)写出你猜想的第n个等式:________(用含n的等式表示).(3)若第n组图形中左右两边各有210个小黑点,求n.24.(2018·江苏常州·中考真题)阅读材料:各类方程的解法求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想--转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;(2)拓展:用“转化”x=的解;(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.【挑战题型二】一元二次方程➼➻拓展问题★✭探究问题25.(2014·四川凉山·统考中考真题)实验与探究:三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前多少行的点数的和吗?如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300.得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n,可以发现.2×[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]=[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]+[n+(n﹣1)+(n﹣2)+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加,第二项相加…第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于n(n+1),于是得到1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n=1n(n+1)2n(n+1)这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是12下列用一元二次方程解决上述问题n(n+1)设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有12整理这个方程,得:n2+n﹣600=0解方程得:n1=24,n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300.请你根据上述材料回答下列问题:(1)三角点阵中前n行的点数的和能是600吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗?这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.26.(2022·山东青岛·统考二模)实际问题:婚礼上有116名宾客,地面上水平放置了一个长方体蛋糕,要保证这116名宾客都能分得蛋糕(忽略大小,水平切割的方向只能与地面平行,垂直切割只能与地面垂直),小明说我10刀即可完成任务,你认为小明是怎样切这个蛋糕才能完成任务.问题探究:为解决这个问题我们从最简单的长方形分割开始研究.探究一:用一条直线分一个长方形,最多可以分成几部分?如图1所示,一条线来分多出1部分,最多分成1+1=2部分;探究二:用2条直线分一个长方形,最多可以分成几部分?如图2所示,第2条线与第一条线相交,多出2部分,最多分成1+1+2=4部分;探究三:用3条直线分一个长方形,最多可以分成几部分?如图3所示,第3条线与前2条线相交,多出3部分,最多分成1+1+2+3=7部分;探究四:用4条直线分一个长方形,最多可以分成几部分?如图4所示,第4条线与原来3条线相交,多出4部分,最多分1+1+2+3+4=11部分;(1)探究五:用5条直线分一个长方形,第5条线与原来4条线相交,多出部分,即最多分成部分;(2)探究六:用n条直线分一个长方形,最多可以分成部分;(用含n的代数式表示)(3)探究七:我们可以将开始提出的问题转化为切割长方体,借助以上探究长方形切割的结论如何将长方体切割成14块?我们只需要在探究三的基础上,先在长方体中竖直切割3刀最多分成7块,平行于地面切一刀,此时4刀可切成7×2=14块.探究八:如何用最少的切割次数,将一个长方体蛋糕切割成44块,请说明切割过程,无需画图;切割的方向只能与地面平行,垂直切割只能与地面垂直),小明说我10刀即可完成任务,你认为小明是怎样切这个蛋糕?请说明切割的过程,无需画图.27.(2020·山东青岛·中考真题)实际问题:某商场为鼓励消费,设计了投资活动.方案如下:根据不同的消费金额,每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券,奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会,小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额?问题建模:从1,2,3,…,n (n 为整数,且3n ≥)这n 个整数中任取()1a a n <<个整数,这a 个整数之和共有多少种不同的结果?模型探究:我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,从中找出解决问题的方法. 探究一:(1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果? 表①3,最大是5,所以共有3种不同的结果.(2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果? 表①所以共有5种不同的结果.(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有______种不同的结果.(4)从1,2,3,…,n (n 为整数,且3n ≥)这n 个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有______种不同的结果.探究二:(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有______种不同的结果.(2)从1,2,3,…,n (n 为整数,且4n ≥)这n 个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有______种不同的结果.探究三:从1,2,3,…,n (n 为整数,且5n ≥)这n 个整数中任取4个整数,这4个整数之和共有______种不同的结果.归纳结论:从1,2,3,…,n (n 为整数,且3n ≥)这n 个整数中任取()1a a n <<个整数,这a 个整数之和共有______种不同的结果.问题解决:从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取5张奖券,共有______种不同的优惠金额.拓展延伸:(1)从1,2,3,…,36这36个整数中任取多少个整数,使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果?(写出解答过程)(2)从3,4,5,…,3n +(n 为整数,且2n ≥)这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数,这a 个整数之和共有______种不同的结果.参考答案1.①x =①1x =①10x =,23x =;①1x = 【分析】①利用公式法求解即可.①利用直接开平方法求解即可.①利用因式分解法求解即可;①利用配方法求解即可;解:①2310x x -+=; ①a =1,b =-3,c =1, ①①=(-3)2-4×1×1=5>0,①x =即12x x ==; ①2(1)3x -=;①x -1=①1211x x == ①230x x -=; ①x (x -3)=0 ①x =0或x =3 ①10x =,23x =; ①224x x -= ①22141x x -+=+ ①()215x -=;①1x -=①1211x x ==2.1x 2x 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x -34=0,然后变形为29x x 172﹣=,然后利用配方法解方程. 解:原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣=, 29x x 172﹣=, 298181x x 1721616-++=,29353x 416-()=,所以12x 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.3.x =-4.【分析】首先去分母,化为整式方程,然后合并同类项,把未知数的系数化为1,最后检验求得的结果是否使原分式有意义,即可得到答案.解:去分母得2x 2-8=x 2-2x , 移项、整理得x 2+2x -8=0, 解得:x 1=2,x 2=-4.经检验:x =2是增根,舍去;x =-4是原方程的根. ①原方程的根是x =-4.【点拨】此题考查解分式方程,解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法;注意解分式方程要检验,避免产生增根.4.11x =-21x =-.【分析】利用因式分解法解方程t 2+4t -5=0得到t 1=-5,t 2=11=,然后进行检验确定原方程的解.解:续解:()229t +=,23t ∴+=±,解得11t =,25t =-(不合题意,舍去),1t ∴=,221x x +=,2(1)2x ∴+=,1211x x ∴=-=-经检验都是方程的解.【点拨】本题考查了换元法解方程,涉及了无理方程及一元二次方程的解法.看懂提示是解决本题的关键.换元法的一般步骤:设元、换元、解元、还元.5.x (x +1);6【分析】先求出方程220x x --=的解,然后化简分式,最后选择合适的x 代入计算即可. 解:①220x x --= ①x =2或x =-1 ①2212(1)121x x x x x x +++-÷+++ =()221212()111x x x x x x +++÷+++-=()2222()11x x x x x ++÷++ =()()22112x x x x x ++⨯++=x (x +1)①x =-1分式无意义,①x =2当x =2时,x (x +1)=2×(2+1)=6.【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点,化简分式是解答本题的关键,确定x 的值是解答本题的易错点.6.a 2+2a+1;16【分析】首先将括号里面通分,进而因式分解各项,化简求出即可. 解:2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭ ()()1111a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥-⎣⎦ ()()()1111a a a a aa+-+=⨯-()21a =+=a 2+2a+1①a 是关于x 的方程2230x x --=的根, ①a 2-2a -3=0, ①a=3或a=-1, ①a 2+a≠0, ①a≠-1, ①a=3,①原式=9+6+1=16.【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解,正确化简分式是解题关键. 7.(1)证明见分析;(2)10k -<<【分析】(1)证出根的判别式240b ac ∆=-≥即可完成; (2)将k 视为数,求出方程的两个根,即可求出k 的取值范围. 解:(1)证明:1,(3),22a b k c k ==-+=+22224[(3)]41(22)21(1)0b ac k k k k k ∆=-=-+-⨯⨯+=-+=-≥①方程总有两个实数根(2)()23220x k x k -+++=①3(1)2k k x +±-=①121,2x k x =+= ①方程有一个小于1的正根①011k <+< ①10k -<<【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系,熟练掌握相关知识点是解题关键. 8.(1)a 的最大整数值为7.(2)①12x 4x 4==①292-【分析】(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得到()644a 690∆=-⨯-⨯≥且a 60-≠,解得7a 79≤且a≠6,然后在此范围内找出最大的整数.(2)①把a 的值代入方程得到2x 8x 90-+=,然后利用求根公式法求解.①由于2x 8x 90-+=则2x 8x 9-=-,把2x 8x 9-=-整体代入所求的代数式,再变形得到()272x 8x 2-+,再利用整体思想计算即可.解:(1)根据题意() a 60{644a 690-≠∆=-⨯-⨯≥,解得 a 6{7a 79≠≤.①a 的最大整数值为7.(2)①当a=7时,原方程变形为2x 8x 90-+=, 6441928∆=-⨯⨯=,①x 4==①12x 4x 4== ①①2x 8x 90-+=,①2x 8x 9-=-. ①()()2222232x 732x 7777292x 2x 2x 16x 2x 8x 29x 8x 119112222---=-=-+=-+=⨯-+=--+-+【点拨】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数,掌握①与根的情况之间的关系是关键.9.(1)m >-54;(2)x 1=0,x 2=-3.【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ>0,代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式,解不等式即可得出结论;(2)结合(1)结论,令m =1,将m =1代入原方程,利用因式分解法解方程即可得出结论. 解:(1)①关于x 的一元二次方程2x +(2m +1)x +2m ﹣1=0有两个不相等的实数根, ①Δ=()()2221411m m +-⨯⨯-=4m +5>0, 解得:m >54-;(2)m =1,此时原方程为2x +3x =0, 即x (x +3)=0, 解得:1x =0,2x =﹣3.【点拨】本题考查了一元二次方程的根的情况,解一元二次方程,解决此题的关键是正确的计算. 10.(1) 见分析(2) 1m =±【分析】(1)根据根的判别式24b ac ∆=-,即可判断;(2)利用根与系数关系求出2αβ+=,由25αβ+=即可解出α,β,再根据23m αβ⋅=-,即可得到m 的值. 解:(1)()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+, ①2120m ≥, ①241240m +≥>,∴该方程总有两个不相等的实数根;(2)方程的两个实数根α,β,由根与系数关系可知,2αβ+=,23m αβ⋅=-, ①25αβ+=, ①52αβ=-, ①522ββ-+=, 解得:3β=,1α=-, ①23133m -=-⨯=-,即1m =±.【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系. 11.(1)25x =,3m =;(2)存在,2m =【分析】(1)根据题意可得①>0,再代入相应数值解不等式即可,再利用根与系数的关系求解即可; (2)根据根与系数的关系可得关于m 的方程,整理后可即可解出m 的值. 解:(1)由题意:Δ=(−6)2−4×1×(2m −1)>0, ①m <5,将x 1=1代入原方程得:m =3, 又①x 1•x 2=2m −1=5, ①x 2=5,m =3;(2)设存在实数m ,满足()()126115x x m --=-,那么 有()1212615x x x x m -++=-⋅, 即6(21)615m m --+=-, 整理得:28120m m -+=, 解得2m =或6m =. 由(1)可知5m <, ①6m =舍去,从而2m =, 综上所述:存在2m =符合题意.【点拨】本题主要考查了根的判别式,以及根与系数的关系,关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式①的关系:(1)①>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)①=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)①<0⇔方程没有实数根.以及根与系数的关系:x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时,12b x x a +=-,12cx x a=.12.(1) k 174≤;(2) k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4(k -2)≥0,解不等式即可;(2)根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-,将等式左侧展开代入计算即可得到k 值. (1)解:①一元二次方程2320x x k ++-=有实数根. ①∆≥0,即32-4(k -2)≥0, 解得k 174≤(2)①方程的两个实数根分别为12,x x , ①12123,2x x x x k -+==-, ①()()12111x x ++=-, ①121211x x x x +++=-, ①2311k --+=-, 解得k =3.【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系式,熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键.13.(1) 20% (2) 18个【分析】(1)先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ,根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金,列出方程求解即可;(2)由(1)得出的资金年增长率求出2022年的投入资金,然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金,列出不等式求解即可.(1)解:设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x , 根据题意得:21000(1)1440x +=, 解这个方程得,10.2x =,2 2.2x =-, 经检验,0.220%x ==符合本题要求.答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%. (2)设该市在2022年可以改造y 个老旧小区, 由题意得:80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+, 解得181823y ≤. ①y 为正整数,①最多可以改造18个小区. 答:该市在2022年最多可以改造18个老旧小区.【点拨】此题考查了一元二次方程的应用,不等式的应用,解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系,列出正确的方程和不等式.14.(1) 10个人(2) ①7810⨯;①12.8米【分析】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,根据“有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242人患了流感”建立方程,解方程即可得;(2)①根据科学记数法的定义(将一个数表示成10n a ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数,这种记数的方法叫做科学记数法)即可得;①利用160纳米乘以8000万即可得.(1)解:设每轮传染中平均一个人传染了x 个人, 由题意得:22(1)242x +=,解得1210,12==-x x (不符题意,舍去), 答:每轮传染中平均一个人传染了10个人. (2)解:①8000万34781010810=⨯⨯=⨯, 故答案为:7810⨯;①9729716010810 1.6101081012.8--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=(米), 答:这些病毒粒子最大纵切面的总直径是12.8米.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、科学记数法、负整数指数幂与同底数幂乘法的应用,正确建立方程和熟练掌握科学记数法是解题关键.15.(1) 该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2) 2021年最多可购买电脑880台【分析】(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ,根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;(2)根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额,再根据总价=单价×数量,即可得出关于m 的一元一次不等式,解之即可得出m 的取值范围,取其中的最大值即可.(1)解:设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x , 根据题意得:5000(1+x )2=7200, 解得:x 1=0.2=20%,x 2=−2.2(舍去).答:该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%;(2)解:2021年投入基础教育经费为7200×(1+20%)=8640(万元), 设购买电脑m 台,则购买实物投影仪(1500−m )台, 根据题意得:3500m +2000(1500−m )≤86400000×5%, 解得:m ≤880,答:2021年最多可购买电脑880台.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额,列出关于x 的一元二次方程;(2)根据总价=单价×数量,列出关于m 的一元一次不等式.16.(1)256米 (2)(128-2x )米 (3)4米解:(1)在等腰梯形ABCD 中, AD =EF =48,()121(10848)23050AE BC DF BC BE CF BC EF AB CD ⊥⊥==-=-=∴===,,,,∴梯形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA =50+108+50+48=256(米).···· 2分(2)甬道的总长:402482(1282)x x ⨯+-=-米.··············· 4分 (3)根据题意,得 21(1282)40(48108)132x x -=⨯⨯+.····················· 7分 整理,得x 2−64x +240=0, 解之得x 1=4,x 2=60.因6048>,不符合题意,舍去. 答:甬道的宽为4米.···························· 10分17.(1)y =10x +100;(2)这种消毒液每桶实际售价43元【分析】(1)设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+,将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式,即可求解; (2)根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x 的一元二次方程,通过解方程即可求解. 解:(1)设y 与销售单价x 之间的函数关系式为:y kx b =+, 将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得:1101303k bk b=+⎧⎨=+⎩,解得:10100k b =⎧⎨=⎩,故函数的表达式为:10100y x =+;(2)由题意得:(10100)(5535)1760x x +⨯--=, 整理,得210240x x --=. 解得112x =,22x =-(舍去). 所以5543x -=.答:这种消毒液每桶实际售价43元.【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识,正确利用销量⨯每件的利润=总利润得出一元二次方程是解题关键.18.(1)50元;(2)八折【分析】(1)设每件的售价定为x 元,根据利润不变,列出关于x 的一元二次方程,求解即可; (2)设该商品至少打m 折,根据销售价格不超过(1)中的售价列出一元一次不等式,解不等式即可. 解:(1)设每件的售价定为x 元, 则有:60(1020)(40)(6040)205xx -⨯+⨯-=-⨯,解得:125060x x ==,(舍),答:每件售价为50元;(2)设该商品至少打m 折, 根据题意得:62.55010m ⨯≤, 解得:8m ≤,答:至少打八折销售价格不超过50元.【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用,找准等量关系列出方程是解决问题的关键.19.(1)4元或6元;(2)九折【分析】(1)设每千克核桃降价x 元,利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可;(2)为了让利于顾客因此应下降6元,求出此时的销售单价即可确定几折.解:(1)设每千克核桃应降价x 元根据题意,得(60﹣x ﹣40)(100+x 2×20)=2240, 化简,得 x 2﹣10x+24=0,解得x 1=4,x 2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.①要尽可能让利于顾客,①每千克核桃应降价6元此时,售价为:60﹣6=54(元),54100%=90%60⨯ 答:该店应按原售价的九折出售.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.20.(1) 1x ,2x =3x 4x =(2)454(3) 15【分析】(1)利用换元法降次解决问题;(2)模仿例题解决问题即可;(3)令21m =a ,-n =b ,则2a +a -7=0,2b +b =0,再模仿例题解决问题. (1)解:令y =2x ,则有2y -5y +6=0,①(y -2)(y -3)=0,①1y =2,2y =3,①2x =2或3,①1x =2x =3x =4x =故答案为:1x =,2x =3x 4x =。

培优专题04一元二次方程的实际问题分类-解析版

培优专题04一元二次方程的实际问题分类-解析版



A. 50(1 x)2 175
C. 501 x 50(1 x)2 175
【答案】B
B. 50 501 x 50(1 x)2 175
D. 50 50(1 x)2 175
【分析】增长率问题,一般用增长后的量 增长前的量(1 增长率) 增长次数 ,本题可先用 x 表示出二月份的 产值,再根据题意表示出三月份的产值,然后将三个月的产值相加,即可列出方程.
【详解】解:二月份的产值为: 501 x, 三月份的产值为: 501 x1 x 50(1 x)2 , 故第一季度总产值为: 50 501 x 50(1 x)2 175 .
故选 B. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用,解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值,再根 据题意列出方程即可. 7.(2022·安徽·合肥市五十中学新校八年级期中)某口罩厂八月份的口罩产量为 100 万只,由于市场需求 量增加,十月份的产量比八月份增加了 44 万只,设该厂九、十月份的口罩产量的月平均增长率为 x,可列
下,经过两轮传染后共有 25 人感染,那么,每轮传染中平均一个人传染了(

A.3 人
B.4 人
C.5 人
D.6 人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x 人,则第一轮传染中感染了 x 人,第二轮传染中感染了
x(1+x)人,根据 1 人感染了后经过两轮传染共有 25 人感染,即可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其
2.(2022·全国·九年级专题练习)有一人患了流感,经过两轮传染后,共有 225 人患了流感,设每轮传染
中平均每人传染的人数为 x 人,则可列方程(

A. x x x 225
B. x x(1 x) 225 C. 1 x x(1 x) 225 D.1 x (1 x)(1 x) 225

(完整版)一元二次方程复习培优

(完整版)一元二次方程复习培优

一元二次方程复习+培优一.概念定义:只含有一个未知数整式方程,并且都可以化为ax2+bx+c=0 (a、b、c为常数,a≠0〕的形式,这样的方程叫做一元二次方程。

注意:满足是一元二次方程的条件有:〔1〕必须是一个整式方程;〔2〕只含有一个未知数;〔3〕未知数的最高次数是2。

〔三个条件缺一不可〕例:假设〔m+1〕x m(m2)1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程,那么m的值是________.练习:1、在4(x1)(x2)5,x2y21,5x2100,2x28x0,21222,3x 212x3x22x3x40,x3,a,(x3)(2x1)2x中,是x一元二次方程有_________个。

2、要使方程〔a-3〕x2+〔b+1〕x+c=0是关于x的一元二次方程,那么__________. A.a≠0B.a≠3C.a≠1且b≠-1D.a≠3且b≠-1且c≠03、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,那么a的值是___________.4、一元二次方程(x1)(x2)2(x21)的一般形式是;二次项系数是;一次项系数是;常数项是。

二.一元二次方程的解法一元二次方程的解法有:_____________________________________________________.例:用适当的方法解以下方程〔1〕x22x 2 0〔2〕3(x5)22(5 x)〔3〕(x2)(x 1) 10〔4〕(x2)2(6x)2〔5〕(2x3)23(2x 3) 4 0〔6〕x2(2a 1)x a2a0〔7〕3x 22(2)xb2a20ab练习:1..方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰,那么这个三角形的周长为。

2.方程x22x30的解是_______________________3〔2021绵阳〕关于m的一元二次方程7nm2n2m20的一个根为2,那么n2n2=.4..一元二次方程ax2bxc0的一个根是1,且a,b满足等式ba22a1,求此一元二次方程。

中考数学一元二次方程(大题培优)附答案解析

中考数学一元二次方程(大题培优)附答案解析

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦,某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台设备的实际耗油量为36kg ,为了倡导低碳,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关. (1)甲车间通过技术革新后,加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ,用油的重复利用率仍然为60%,问甲车间技术革新后,加工一台设备的实际油耗量是多少千克? (2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑油用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新前的基础上,润滑用油量每减少1kg ,用油的重复利用率将增加1.6%,例如润滑用油量为89kg 时,用油的重复利用率为61.6%. ①润滑用油量为80kg ,用油量的重复利用率为多少?②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ,问加工一台设备的润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少? 【答案】(1)28(2)①76%②75,84% 【解析】试题分析:(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ,用油的重复利用率仍然为60%,进而得出答案;(2)①利用润滑用油量每减少1kg ,用油的重复利用率将增加1.6%,进而求出答案; ②首先表示出用油的重复利用率,进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ,得出等式求出答案.试题解析:(1)根据题意可得:70×(1﹣60%)=28(kg ); (2)①60%+1.6%(90﹣80)=76%; ②设润滑用油量是x 千克,则 x{1﹣[60%+1.6%(90﹣x )]}=12, 整理得:x 2﹣65x ﹣750=0, (x ﹣75)(x+10)=0, 解得:x 1=75,x 2=﹣10(舍去), 60%+1.6%(90﹣x )=84%,答:设备的润滑用油量是75千克,用油的重复利用率是84%. 考点:一元二次方程的应用2.已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. (1)当m 取什么值时,方程有两个不相等的实数根;(2)当4m =时,求方程的解.【答案】(1)当1m >-且0m ≠时,方程有两个不相等的实数根;(2)1x =,234x =. 【解析】 【分析】(1)方程有两个不相等的实数根,>0∆,代入求m 取值范围即可,注意二次项系数≠0;(2)将4m =代入原方程,求解即可. 【详解】(1)由题意得:24b ac ∆=- =()22404mm m+->,解得1m >-. 因为0m ≠,即当1m >-且0m ≠时,方程有两个不相等的实数根.(2)把4m =带入得24610x x -+=,解得1x =,2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解,熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.3.用适当的方法解下列一元二次方程: (1)2x 2+4x -1=0;(2)(y +2)2-(3y -1)2=0.【答案】(1)x 1=-1x 2=-12)y 1=-14,y 2=32.【解析】试题分析:(1)根据方程的特点,利用公式法解一元二次方程即可;(2)根据因式分解法,利用平方差公式因式分解,然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析:(1)∵a=2,b=4,c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24>0∴x=2b a-±=41222-=-±⨯∴x 1=-1,x 2=-1 (2)(y +2)2-(3y -1)2=0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1=-14,y 2=32.4.已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ﹣2=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)如果m为正整数,且该方程的根都是整数,求m的值.【答案】(1)m<3;(2)m=2.【解析】【分析】(1)根据题意得出△>0,代入求出即可;(2)求出m=1或2,代入后求出方程的解,即可得出答案.【详解】(1)∵方程有两个不相等的实数根.∴△=4﹣4(m﹣2)>0.∴m<3;(2)∵m<3 且 m为正整数,∴m=1或2.当 m=1时,原方程为 x2﹣2x﹣1=0.它的根不是整数,不符合题意,舍去;当 m=2时,原方程为 x2﹣2x=0.∴x(x﹣2)=0.∴x1=0,x2=2.符合题意.综上所述,m=2.【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程,能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键.5.关于x的一元二次方程.(1).求证:方程总有两个实数根;(2).若方程的两个实数根都是正整数,求m的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)-1.【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程,求得,再根据题意两个根都是正整数,从而可以确定的取值范围,即求出吗的最小值.【详解】(1)证明:依题意,得.,∴.∴方程总有两个实数根.由.可化为:得,∵方程的两个实数根都是正整数,∴.∴.∴的最小值为.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程,熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根,判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根,判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.6.某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?【答案】(1)2000;(2)2米【解析】【分析】(1)设未知数,根据题目中的的量关系列出方程;(2)可以通过平移,也可以通过面积法,列出方程【详解】解:(1)设该项绿化工程原计划每天完成x米2,根据题意得:4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得:x=2000,经检验,x=2000是原方程的解;答:该绿化项目原计划每天完成2000平方米;(2)设人行道的宽度为x米,根据题意得,(20﹣3x)(8﹣2x)=56解得:x=2或x=263(不合题意,舍去).答:人行道的宽为2米.7.某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.【答案】(1)每个月生产成本的下降率为5%;(2)预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.【解析】【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率),即可得出结论.【详解】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据题意得:400(1﹣x)2=361,解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).答:每个月生产成本的下降率为5%;(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元),答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)根据数量关系,列式计算.8.阅读下面的材料,回答问题:解方程x4﹣5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2=1,∴x=±1;当y=4时,x2=4,∴x=±2;∴原方程有四个根:x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用法达到的目的,体现了数学的转化思想.(2)解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0.【答案】(1)换元,降次;(2)x1=﹣3,x2=2.【解析】【详解】解:(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到降次的目的,体现了数学的转化思想;(2)设x2+x=y,原方程可化为y2﹣4y﹣12=0,解得y1=6,y2=﹣2.由x2+x=6,得x1=﹣3,x2=2.由x2+x=﹣2,得方程x2+x+2=0,b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7<0,此时方程无实根.所以原方程的解为x1=﹣3,x2=2.9.关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0.(1)证明:方程总有两个不相等的实数根;(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|﹣2,求m的值及方程的根.【答案】(1)证明见解析;(2)x1=﹣,x2=﹣1或【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可,当△>0时,有两个不相等的实数根,当△=0时,有两个相等的实数根,当△<0时,方程没有实数根;(2)根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba,x1•x2=ca,表示出两根的关系,得到x1,x2异号,然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析:(1)一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0,∵a=1,b=﹣(m﹣3)=3﹣m,c=﹣m2,∴△=b2﹣4ac=(3﹣m)2﹣4×1×(﹣m2)=5m2﹣6m+9=5(m﹣35)2+365,∴△>0,则方程有两个不相等的实数根;(2)∵x1•x2=ca=﹣m2≤0,x1+x2=m﹣3,∴x1,x2异号,又|x1|=|x2|﹣2,即|x1|﹣|x2|=﹣2,若x1>0,x2<0,上式化简得:x1+x2=﹣2,∴m﹣3=﹣2,即m=1,方程化为x2+2x﹣1=0,解得:x1=﹣x2=﹣1,若x1<0,x2>0,上式化简得:﹣(x1+x2)=﹣2,∴x1+x2=m﹣3=2,即m=5,方程化为x2﹣2x﹣25=0,解得:x1=1,x210.若两个一次函数的图象与x轴交于同一点,则称这两个函数为一对“x牵手函数”,这个交点为“x牵手点”.(1)一次函数y=x﹣1与x轴的交点坐标为;一次函数y=ax+2与一次函数y=x﹣1为一对“x牵手函数”,则a=;(2)已知一对“x牵手函数”:y=ax+1与y=bx﹣1,其中a,b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4=0的两根,求它们的“x牵手点”.【答案】(1)(1,0),a=﹣2;(2)“x牵手点”为(12-,0)或(12,0).【解析】【分析】(1)根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标;把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值;(2)根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0,根据根与系数的关系求得k=0,可得方程x2-4=0,解得x1=2,x2=-2,再分两种情况:①若a=2,b=-2,②若a=-2,b=2,进行讨论可求它们的“x牵手点”.【详解】解:(1)当y=0时,即x﹣1=0,所以x=1,即一次函数y=x﹣1与x轴的交点坐标为(1,0),由于一次函数y=ax+2与一次函数y=x﹣1为一对“x牵手函数”,所以0=a+2,解得a=﹣2;(2)∵y=ax+1与y=bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=,∴a+b=0.∵a,b为x2﹣kx+k﹣4=0的两根∴a+b=k=0,∴x2﹣4=0,∴x1=2,x2=﹣2.①若a=2,b=﹣2则y=2x+1与y=﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭;②若a=﹣2,b=2则y=﹣2x+1与y=2x﹣1的“x牵手点”为(12,0 )∴综上所述,“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或(12,0)【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用.。

中考数学 一元二次方程组 培优练习(含答案)含详细答案

中考数学 一元二次方程组 培优练习(含答案)含详细答案

中考数学 一元二次方程组 培优练习(含答案)含详细答案一、一元二次方程1.关于x 的方程x 2﹣2(k ﹣1)x +k 2=0有两个实数根x 1、x 2. (1)求k 的取值范围;(2)若x 1+x 2=1﹣x 1x 2,求k 的值. 【答案】(1)12k ≤;(2)3k = 【解析】试题分析:(1)方程有两个实数根,可得240b ac ∆=-≥,代入可解出k 的取值范围; (2)由韦达定理可知,()2121221,x x k x x k +=-=,列出等式,可得出k 的值.试题解析:(1)∵Δ=4(k -1)2-4k 2≥0,∴-8k +4≥0,∴k ≤12; (2)∵x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2,∴2(k -1)=1-k 2, ∴k 1=1,k 2=-3. ∵k ≤12,∴k =-3.2.李明准备进行如下操作实验,把一根长40 cm 的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2,李明应该怎么剪这根铁丝?(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2,你认为他的说法正确吗?请说明理由.【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段;(2) 李明的说法正确,理由见解析. 【解析】试题分析:(1)设剪成的较短的这段为xcm ,较长的这段就为(40﹣x )cm .就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可; (2)设剪成的较短的这段为mcm ,较长的这段就为(40﹣m )cm .就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程,如果方程有解就说明李明的说法错误,否则正确.试题解析:设其中一段的长度为cm ,两个正方形面积之和为cm 2,则,(其中),当时,,解这个方程,得,,∴应将之剪成12cm 和28cm的两段;(2)两正方形面积之和为48时,,,∵, ∴该方程无实数解,也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm 2,李明的说法正确.考点:1.一元二次方程的应用;2.几何图形问题.3.已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根.()1求k 的取值范围;()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值.【答案】(1)134k ≤;(2)2k =-. 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ,解之可得.()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】解:()1Q 关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根,0∴≥V ,即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥,解得134k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-,()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=Q ,224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-,134k ≤Q , 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0V >,方程有两个不相等的实数根;当0=V ,方程有两个相等的实数根;当0<V ,方程没有实数根.以及根与系数的关系.4.图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究:他用硬纸片做了两个三角形,分别为△ABC和△DEF,其中∠B=90°,∠A=45°,BC=,∠F=90°,∠EDF=30°, EF=2.将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).(1)请回答李晨的问题:若CD=10,则AD= ;(2)如图2,李晨同学连接FC,编制了如下问题,请你回答:①∠FCD的最大度数为;②当FC∥AB时,AD= ;③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形,且FC为斜边时,AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】(1)2;(2)① 60°;②;③;④.【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质,求出AC的长,即可得到AD的长.(2)①当点E与点C重合时,∠FCD的角度最大,据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H,应用等腰直角三角形的判定和性质,含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H,AD=x,应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示,根据勾股定理列式求解.④设AD=x,把△FCD的面积s表示为x的函数,根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析:(1)∵∠B=90°,∠A=45°,BC=,∴AC=12.∵CD=10,∴AD=2.(2)①∵∠F=90°,∠EDF=30°,∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时,∠FCD的角度最大,∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图,过点F作FH⊥AC于点H,∵∠EDF=30°, EF=2,∴DF=. ∴DH=3,FH=.∵FC∥AB,∠A=45°,∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12,∴AD=.③如图,过点F 作FH ⊥AC 于点H ,设AD=x , 由②知DH=3,FH=,则HC=.在Rt △CFH 中,根据勾股定理,得.∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形,且FC 为斜边, ∴,即,解得.④设AD=x ,易知,即. 而,当时,;当时,.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点:1.面动平移问题;2.等腰直角三角形的判定和性质;3.平行的性质;4.含30度角直角三角形的性质;5.勾股定理;6.由实际问题列函数关系式;7.求函数值.5.关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ,2x .(1)求实数k 的取值范围;(2)若方程两实根1x ,2x 满足121210x x x x ++-=,求k 的值. 【答案】(1) k <14;(2) k=0. 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式得出△>0,求出不等式的解集即可;(2)根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1•x 2=k 2,代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0,即可求出k 值. 【详解】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个不等实根x1,x2,∴△=(2k-1)2-4×1×k2=-4k+1>0,解得:k<14,即实数k的取值范围是k<14;(2)由根与系数的关系得:x1+x2=-(2k-1)=1-2k,x1•x2=k2,∵x1+x2+x1x2-1=0,∴1-2k+k2-1=0,∴k2-2k=0∴k=0或2,∵由(1)知当k=2方程没有实数根,∴k=2不合题意,舍去,∴k=0.【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点,能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键,注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式,以防错解.6.某水果店销售某品牌苹果,该苹果每箱的进价是40元,若每箱售价60元,每星期可卖180箱.为了促销,该水果店决定降价销售.市场调查反映:若售价每降价1元,每星期可多卖10箱.设该苹果每箱售价x元(40≤x≤60),每星期的销售量为y箱.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润达到3570元?(3)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780;(2) 57;(3)当售价为59元时,利润最大,为3610元【解析】【分析】(1)根据售价每降价1元,每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,(2)解一元二次方程即可求解,(3)表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解:(1)∵售价每降价1元,每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元(40≤x≤60),则y=180+10(60-x)=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得:(x-40)(-10x+780)=3570,解得:x=57,∴当每箱售价为57元时,每星期的销售利润达到3570元.(3)设每星期的利润为w,W=(x-40)(-10x+780)=-10(x-59)2+3610, ∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值, 当x=59时, 利润最大,为3610元. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7.设m 是不小于﹣1的实数,关于x 的方程x 2+2(m ﹣2)x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2,(1)若x 12+x 22=6,求m 值; (2)令T=121211mx mx x x +--,求T 的取值范围. 【答案】(1)m=5172-;(2)0<T≤4且T≠2. 【解析】 【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m <1,根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ,x 1•x 2=m 2﹣3m+3;(1)把x 12+x 22=6化为(x 1+x 2)2﹣2x 1x 2=6,代入解方程求得m 的值,根据﹣1≤m <1对方程的解进行取舍;(2)把T 化简为2﹣2m ,结合﹣1≤m <1且m≠0即可求T 得取值范围. 【详解】∵方程由两个不相等的实数根, 所以△=[2(m ﹣2)]2﹣4(m 2﹣3m+3) =﹣4m+4>0,所以m <1,又∵m 是不小于﹣1的实数, ∴﹣1≤m <1∴x 1+x 2=﹣2(m ﹣2)=4﹣2m ,x 1•x 2=m 2﹣3m+3; (1)∵x 12+x 22=6, ∴(x 1+x 2)2﹣2x 1x 2=6,即(4﹣2m )2﹣2(m 2﹣3m+3)=6 整理,得m 2﹣5m+2=0 解得m=;∵﹣1≤m <1 所以m=. (2)T=+=====2﹣2m.∵﹣1≤m<1且m≠0所以0<2﹣2m≤4且m≠0即0<T≤4且T≠2.【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.8.某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.【答案】(1)每个月生产成本的下降率为5%;(2)预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.【解析】【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率),即可得出结论.【详解】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据题意得:400(1﹣x)2=361,解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).答:每个月生产成本的下降率为5%;(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元),答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)根据数量关系,列式计算.9.已知关于x的方程(a﹣1)x2+2x+a﹣1=0.(1)若该方程有一根为2,求a的值及方程的另一根;(2)当a 为何值时,方程的根仅有唯一的值?求出此时a 的值及方程的根. 【答案】(1)a=15,方程的另一根为12;(2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)把x=2代入方程,求出a 的值,再把a 代入原方程,进一步解方程即可;(2)分两种情况探讨:①当a=1时,为一元一次方程;②当a≠1时,利用b 2-4ac =0求出a 的值,再代入解方程即可. 【详解】(1)将x =2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=,得4(a 1)4a 10-++-=,解得:a =15. 将a =15代入原方程得24x 2054x 5-+-=,解得:x 1=12,x 2=2. ∴a =15,方程的另一根为12; (2)①当a =1时,方程为2x =0,解得:x =0.②当a≠1时,由b 2-4ac =0得4-4(a -1)2=0,解得:a =2或0. 当a =2时, 原方程为:x 2+2x +1=0,解得:x 1=x 2=-1; 当a =0时, 原方程为:-x 2+2x -1=0,解得:x 1=x 2=1. 综上所述,当a =1,0,2时,方程仅有一个根,分别为0,1,-1. 考点:1.一元二次方程根的判别式;2.解一元二次方程;3.分类思想的应用.10.已知关于x 的方程(x-3)(x-2)-p 2=0.(1)求证:无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)设方程两实数根分别为x 1、x 2,且满足x 12+x 22=3 x 1x 2,求实数p 的值. 【答案】(1)详见解析;(2)p=±1. 【解析】 【分析】(1)先把方程化成一般形式,再计算根的判别式,判定△>0,即可得到总有两个不相等的实数根;(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积,再把2212123x x x x +=变形,化成和与乘积的形式,代入计算,得到一个关于p 的一元二次方程,解方程即可求解. 【详解】证明:(1)(x ﹣3)(x ﹣2)﹣p 2=0, x 2﹣5x+6﹣p 2=0,△=(﹣5)2﹣4×1×(6﹣p 2)=25﹣24+4p 2=1+4p 2, ∵无论p 取何值时,总有4p 2≥0, ∴1+4p 2>0,∴无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根; (2)x 1+x 2=5,x 1x 2=6﹣p 2,∵2212123x x x x +=, ∴(x 1+x 2)2﹣2x 1x 2=3x 1x 2, ∴52=5(6﹣p 2), ∴p=±1.考点:根的判别式;根与系数的关系.11.已知关于x 的一元二次方程(a+c )x 2+2bx+(a ﹣c )=0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长.(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由; (3)如果△ABC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.【答案】(1) △ABC 是等腰三角形;(2)△ABC 是直角三角形;(3) x 1=0,x 2=﹣1. 【解析】试题分析:(1)直接将x=﹣1代入得出关于a ,b 的等式,进而得出a=b ,即可判断△ABC 的形状;(2)利用根的判别式进而得出关于a ,b ,c 的等式,进而判断△ABC 的形状; (3)利用△ABC 是等边三角形,则a=b=c ,进而代入方程求出即可. 试题解析:(1)△ABC 是等腰三角形; 理由:∵x=﹣1是方程的根, ∴(a+c )×(﹣1)2﹣2b+(a ﹣c )=0, ∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0, ∴a ﹣b=0, ∴a=b ,∴△ABC 是等腰三角形;(2)∵方程有两个相等的实数根, ∴(2b )2﹣4(a+c )(a ﹣c )=0, ∴4b 2﹣4a 2+4c 2=0, ∴a 2=b 2+c 2,∴△ABC 是直角三角形;(3)当△ABC 是等边三角形,∴(a+c )x 2+2bx+(a ﹣c )=0,可整理为: 2ax 2+2ax=0, ∴x 2+x=0,解得:x 1=0,x 2=﹣1. 考点:一元二次方程的应用.12.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣12)=0.(1)求证:无论k取何值,此方程总有实数根;(2)若等腰△ABC的一边长a=3,另两边b、c恰好是这个方程的两个根,求k值多少?【答案】(1)详见解析;(2)k=32或2.【解析】【分析】(1)计算判别式的值,利用完全平方公式得到△=(2k﹣3)2≥0,然后根据判别式的意义得到结论;(2)利用求根公式解方程得到x1=2k﹣1,x2=2,再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1=2或2k﹣1=3,然后分别解关于k的方程即可.【详解】(1)∵△=(2k+1)2﹣4×4(k﹣12)=4k2﹣12k+9=(2k﹣3)2≥0,∴该方程总有实数根;(2)() 2k12k3 x=2±+﹣∴x1=2k﹣1,x2=2,∵a、b、c为等腰三角形的三边,∴2k﹣1=2或2k﹣1=3,∴k=32或2.【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质,分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.13.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶,其进价为每千克 240 元,按每千克 400 元出售,平均每周可售出 200 千克,后来经过市场调查发现,单价每降低 10 元,则平均每周的销售量可增加 40 千克,若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元,请回答:(1)每千克茶叶应降价多少元?(2)在平均每周获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?【答案】(1)每千克茶叶应降价30元或80元;(2)该店应按原售价的8折出售.【解析】【分析】(1)设每千克茶叶应降价x元,利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可;(2)为了让利于顾客因此应下降价80元,求出此时的销售单价即可确定几折.【详解】(1)设每千克茶叶应降价x 元.根据题意,得:(400﹣x ﹣240)(200+10x ×40)=41600. 化简,得:x 2﹣10x +240=0.解得:x 1=30,x 2=80.答:每千克茶叶应降价30元或80元.(2)由(1)可知每千克茶叶可降价30元或80元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克茶叶某应降价80元.此时,售价为:400﹣80=320(元),320100%80%400⨯=. 答:该店应按原售价的8折出售.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.14.解方程:(x 2+x )2+(x 2+x )=6.【答案】x 1=﹣2,x 2=1【解析】【分析】设x 2+x =y ,将原方程变形整理为y 2+y ﹣6=0,求得y 的值,然后再解一元二次方程即可.【详解】解:设x 2+x =y ,则原方程变形为y 2+y ﹣6=0,解得y 1=﹣3,y 2=2.①当y =2时,x 2+x =2,即x 2+x ﹣2=0,解得x 1=﹣2,x 2=1;②当y =﹣3时,x 2+x =﹣3,即x 2+x+3=0,∵△=12﹣4×1×3=1﹣12=﹣11<0,∴此方程无解;∴原方程的解为x 1=﹣2,x 2=1.【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法,设出元化简原方程是解答本题的关键.15.将进货单价为40元的商品按50元售出,能售出500件,如果该商品涨价1元,其销售量就要减少10件,为了赚取8000元的利润,售价应定为多少元?这时应进货多少件?【答案】要赚取8000元的利润,售价应定为60元或80元.售价定为60元时,应进货400件;售价定为80元时,应进货200件.【解析】【分析】设每件商品涨价x 元,能赚得8000元的利润;销售单价为(50)x +元,销售量为(50010)x -件;每件的利润为根据为(50+x-40)元,根据总利润=销售量×每个利润,可列方程求解【详解】解:设每件商品涨价x 元,则销售单价为(50)x +元,销售量为(50010)x -件. 根据题意,得(50010)[(50)40]8000x x -+-=.解得110x =,230x =.经检验,110x =,230x =都符合题意.当10x =时,5060x +=,50010400x -=;当30x =时,5080x +=,50010200x -=.所以,要赚取8000元的利润,售价应定为60元或80元.售价定为60元时,应进货400件;售价定为80元时,应进货200件.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键看到售价和销售量的关系,然后以利润做为等量关系列方程求解。

九年级数学上册培优题一元二次方程

九年级数学上册培优题一元二次方程

一元二次方程一、选择题1、一元二次方程042=++c x x 中,c >0,该方程的根的情况是: ( )A .没有实数根B .有两个不相等的实数根C .有两个相等的实数根D .不能确定2、如果关于x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个实数根,那么k 的取值范围是 ( )A .01≠-≥k k 且B .01≠->k k 且C .1≥kD .1>k3、下列方程中,无实数根的方程是( )A .012=+xB . 02=+x xC . 012=-+x xD . 02=-x x4、k 为实数,则关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是( )A .有两个不相等的实数根;B ..有两个相等的实数根;C .没有实数根;D .无法确定.5、关于x 的方程(3-a )x 2-2x +1=0有实数根,则a 满足 ( )A . a ≠3B . a ≥2C . a >2且a ≠3D . a ≥2且a ≠37、关于x 的方程(a -5)2x -4x -1=0有实数根,则a 满足( )A .a ≥1B .a >1且a ≠5C .a≥1且a ≠5D .a ≠58、一元二次方程042=-x 的解是( ).A .2,221-==x xB .2-=xC .2=xD .0,221==x x7、已知方程x 2-3 2 x +1=0,求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数,则这个一元二次方程是( )A .x 2+3 2 x +1=0B .x 2+3 2 x -1=0C .x 2-3 2 x +1=0D .x 2-3 2 x -1=08、m 是方程x 2+x -1=0的根,则式子m 3+2m 2+2009的值为( )A .2008B .2009C .2010D .20119.若a 为方程100)17(2=-x 的一根,b 为方程(y -3)2=17的一根,且a 、b 都是正数,则a -b 的值为( )A .13B .7C . -7D . -1310、若关于x 的一元二次方程0)1(22=-+-k x x k 的一个根为1,则k 的值为 ( )A .-1B .0C .1D .0或111、用配方法解方程x 2-2x -5=0时,原方程应变形为( )A .(x +1)2=6B . (x -1)2=6C . (x +2)2=9D . (x -2)2=912、已知m 是方程x 2-2x -5=0的一个根,则2m 2-4m 的值是A .5B .10C .-5D .-1013、一元二次方程x 2=2x 的根为( )A .2=xB .0=xC .2±=x D. 2,021==x x14、一元二次方程042=-x 的解是( ).A .2,221-==x xB .2-=xC .2=xD .0,221==x x15、方程032=-x 的根是 ( )A .3=xB .3,321-==x xC .3=x D .3,321-==x x 16、一元二次方程032=-x x 的解是( )A .0=xB .31,321==x x C .0,321==x x D .0=x 17、方程12)12(-=-x x x 的解是 ( )A .21=xB . 31,021==x xC . 21,021==x x D . 1=x 18、已知一元二次方程2x 2+5x -1=O 的两根为( )A .25 B . 25- C . 21 D . 21- 19、根据下列表格中的对应值,•判断方程02=++c bx ax (a ≠0,a ,b ,c 为常数)的根的个数是( )A .0B .1C .2D .1或220、下列哪一个数与方程1693=-x 的根最接近( )A .2B .3C .4D .521、商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每降价的百分率为x ,则下面所列方程正确的是( )A .256)1(2892=-xB .289)1(2562=-xC .256)21(289=-xD .289)21(256=-x22、某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2450张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为( )A .2450)1(=-x xB . 2450)1(=+x xC . 2450)1(2=+x xD . 23、 下列命题:①若b =2a +21c ,则一元二次方程02=++c bx ax 必有一根为-2; ②若ac<0,则方程02=++a bx cx 有两个不等实数根;③若042=-ac b ,则方程02=++a bx cx 有两个相等实数根.其中正确的个数是( )A .O 个B .l 个C .2个D .3 个21、设a ,b 是方程020092=-+x x 的两个实数根,则b a a ++22的值为( )A .2006B .2007C .2008D .2009 22、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0,则m 的值等于( )A .1B .2C .1或2D .024、下列方程是关于x 的一元二次方程的是( ) x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax 2+bx +c 0.02 -0.01 0.02 0.04 24502)1(=-x xA .02=xB .2)1(x x x =-C .12=x xD .1)1(2=-x 25、若x =3是方程x 2-3mx +6m =0的一个根,则m 的值为 ( )A .1B . 2C .3D .426、已知1=x 是关于x 的一元二次方程01)1(22=-+-x k x k 的根,则常数k 的值为___.27、用配方法解方程x 2+x -1=0,配方后所得方程是( )A .(x -12)2=34B .(x +12)2=34C .(x +12)2=54D .(x -12)2=54 28、一元二次方程x 2=2x 的根为( )A .2B .OC .l 或2D .O 或229、对于一元二次方程ax 2+bx +c =O(a ≠0),下列说法:①若c +c =-1,则方程ax 2+bx +c =O 一定有一根是x =1;②若c =a 3,b =2a 2,则方程ax 2+bx +c =O 有两个相等的实数根;③若a <0,b <0,c >0,则方程cx 2+bx +a =0必有实数根;④若ab-bc =0且c <-l ,则方程cx 2+bx +a =0的两实数根一定互为相反数.其中正确的结论是( )A .①②③④B .①②④C .①③D .②④30、已知x =2是关于x 的一元二次方程ax 2-3bx -5=0的一个根,则4a -6b 的值是( )A .4B .5C .8D .1031、对于一元二次方程ax 2+bx +c =O(a ≠0),下列说法:①若a +c =0,方程ax 2+bx +c =O 必有实数根;②若b 2+4ac <0,则方程ax 2+bx +c =O 一定有实数根;③若a -b +c =0,则方程ax 2+bx +c =O 一定有两个不等实数根;④若方程ax 2+bx +c =O 有两个实数根,则方程cx 2+bx +a =0一定有两个实数根.其中正确的是( )A .①②B .①③C .②③D .①③④32、下列关于 x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )A .0122=-+x xB .01442=+-x xC .032=+-x xD . 042=+x二、填空题1、已知关于x 的方程x 2+kx -3=0一个根是-2,则k 的值为 .2、已知m 、n 是方程020*******=+-x x 的两根,则)20052004(2+-n n 与)20052004(2+-m m 的积是3、把)14(2+-x x 化为k h x ++2)((其中h 、k 是常数)的形式是 __4、方程x 2-2x -1=0的两个实数根分别为x 1,x 2,则(x 1-1)(x 2-1)=5、若方程04)(3)(22222=-+++y x y x ,则=+22y x . 6、方程x x =-2的解是 .7、若方程0522=--kx x 的一个根是-1,则k = .8、已知m ,n 是方程0122=--x x 的两根,且8)763)(42(22=--+-n n a n m ,则a 的值等于 .9、等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程0652=+-x x 的两个解,则这个等腰三角形的周长是10、已知x =2是方程02232=-a x 的一个根,则2a +1= . 11、解方程:x 2=3x ,x = .12、已知关于x 的一元二次方程,(m -1)x 2+x +1=0,有实数根,则m 的取值范围是 .13、已知关于x 的一元二次方程ax 2-5x +1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是_____.14、拟已知关于x 的一元二次方程02)1(2=+--x k x k 有解,求k 的取值范围 .三、解答题1、已知:关于x 的方程041)1(22=++-m x m x (1)当m 取何值时,方程有两个实数根?(2)为m 选取一个合适的整数,使得方程有两个不相等的整数根,并求出这两个根。

一元二次方程的系数(培优)

一元二次方程的系数(培优)

一元二次方程的系数(培优)一元二次方程的系数(培优)1. 引言一元二次方程是高中数学中的重要内容,也是进一步研究数学的基础。

在解一元二次方程的过程中,我们需要了解方程中的系数及其含义。

本文将详细介绍一元二次方程的系数及其相关概念。

2. 系数的定义在一元二次方程ax^2 + bx + c = 0中,a、b、c分别代表方程的系数。

其中,a为二次项的系数,b为一次项的系数,c为常数项的系数。

3. 系数的含义- 二次项系数a:二次项系数决定了方程的开口方向和形状。

当a>0时,二次函数开口向上;当a<0时,二次函数开口向下。

- 一次项系数b:一次项系数决定了二次函数在x轴上的平移。

当b>0时,二次函数向左平移;当b<0时,二次函数向右平移。

- 常数项系数c:常数项系数决定了二次函数的纵轴截距,即与y轴的交点。

4. 系数的作用方程中的系数决定了方程的特征和解的性质:- 判别式D = b^2 - 4ac:判别式可以判断方程的根的情况。

当D > 0时,方程有两个不相等的实根;当D = 0时,方程有两个相等的实根;当D < 0时,方程没有实根。

- 平方完成项法:通过系数进行平方完成项法求解一元二次方程,可以简化计算过程。

- 解的图像:二次函数的图像与系数有关,可以通过系数的改变来观察二次函数图像的变化。

5. 知识拓展了解一元二次方程系数的基本概念后,可以进一步研究相关的拓展知识:- 根与系数的关系:根与系数之间存在一定的关系,可以通过根与系数之间的关系来判断方程的特征。

- 求根公式:一元二次方程的根可以通过求根公式计算得出。

根据方程的系数,可以将求根公式应用于解决实际问题。

6. 结论系数是一元二次方程中重要的概念,掌握系数的含义和作用能够帮助我们更好地理解和解决一元二次方程。

通过对系数的研究,我们可以进一步拓展相关的数学知识,提高解决问题的能力。

以上是关于一元二次方程系数的培优文档,希望对您的学习有所帮助!。

一元二次方程(培优)

一元二次方程(培优)

B、 m 2
C、 m 1或 m 2
D、 m 1且 m 2
2.方程 x3 4x 0 的解是
()
A、 -2,2 B、 0,-2 C、 0,2 D、 0,-2,2
3.已知关于 x 的方程 x2 2(k 4)x k 2 6k 8 0 有两个相等的实数根,则 k 之值是( )
A、4
B、2 或 4
22.如图,从一块长 80 厘米、宽 60 厘米的铁片中间截去一个小长方形,使剩下的长方框四周的宽度一 样,并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半,求这个宽度.(6 分)
23.在抗击“SARS”的过程中,某厂甲、乙两工人按上级指示同时做一批等数量的防护服,开始时,乙 比甲每天少做 3 件,到甲乙两人都剩下 80 件时,乙比甲多做了 2 天,这时,甲保持工作效率不变,乙
25.已知 x1, x2 是方程 x2 x 9 0 的两个实数根,求代数式 x13 7x22 3x2 66 的值.(8 分)
26. 若 x1, x2 是 一 元 二 次 方 程 4kx2 4kx k 1 0 的 两 个 实 数 根 . 问 是 否 存 在 实 数 k , 使
2x1
x2


15.已知 m, n 是方程 x2 10x 1 0 的两个实数根,则代数式 (m n)2 94

16.已知方程 ( 5 1)x2 ( 5 5)x 4 0 的有理根为 a ,则 a3 2a2 4a =

17.在一元二次方程 x2 bx c 0 中,若系数 b, c 在 1、2、3、4、5、6 中取值,则其中有实数解的方
,另一根为

12.已知方程 x2 4x 2k 0的一个根为 a ,比另一根 小 2,则 a k

一元二次方程培优题

一元二次方程培优题

1、已知关于x 的一元二次方程()0122=+--k x k kx 有两个不相等的实根,求k 的取值范围2、关于x 的方程0122=--x k x 有实根,求k 的取值范围 3、已知关于x 的方程0342=+-x kx 有实根,则k 的非负整数值是 4、方程012=--x x 的两根为 5、解方程03222=-+a x a x6、 设c b a ,,是ABC ∆三边的长,且关于x 的方程()())0(0222>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根,求证ABC ∆是直角三角形。

7、已知关于x 的方程()()011222=++---m x m x m ,当m 为何非负整数时, (1)方程只有一个实数根 (2)方程有两个相等的实根 (3)方程有两个不相等的实根8、 求证:k 为何实数,方程()()0112122=---+x k x k 一定有两个不相等的实根。

9、 已知n m ,为整数,关于x 的三个方程:()0372=++--n x m x 有两个不相等的实根; ()0642=++++n x m x 有两个相等的实根;()0142=++--n x m x 没有实根; 求n m ,的值。

10、若方程),(022是实数q p q px x =-+没有实根,(1)求证41<+q p ; (2)试写出上述命题的逆命题。

11、 关于x 的方程()()024*******=++++++b ab a x a x 有实根,求b a ,的值。

12、 设m 是有理数,问k 为何值时,方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根是有理数。

13、 设0≠c ,关于x 的一元二次方程02=++bc ax x 和02=++ca bx x 有一个公共根,求证:这两个方程的其他二根为方程02=++ab cx x 的根。

14、若关于x 的两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共解,(1)求此公共解; (2)求非公共解之和。

一元二次方程(培优)

一元二次方程(培优)

一元二次方程(培优)一元二次方程是一种只含一个未知数x,最高次数是2次的整式方程。

任何一个关于x的一元二次方程都能化成一般形式ax²+bx+c=0,其中ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。

1.对于方程(m²-m-2)x²+mx+n=0,条件是m不等于-1或2,才能成为一元二次方程。

2.方程x³-4x=0的解是-2,0,2.3.已知方程x²-2(k-4)x+k²-6k+8=0有两个相等的实数根,则k的值是4.4.若x₁,x₂是方程3x²+x-1=0的两个根,则x₁+x₂=-1/3.5.方程(x/(x-1))+2/(x-2)=3/(x-3)的根的情况是有一整数根。

6.设客车原来行驶的速度为每小时xkm,则所列的方程是20/(x+10)=20/(x-10)+6/60.7.当m<-2时,关于x,y的方程组x=my,y-x+1=0的实数解有3个。

8.如果方程 $x^2+x-1=0$ 的两个实数根为 $a,b$,那么代数式 $a^3+a^2b+ab^2+b^3$ 的值为()A、-3B、3C、-1D、1910.若 $a,b$ 都是实数且 $a\neq b。

ab\neq 0$,且满足$a^2=3a+1.b^2=3b+1$,则代数式 $a^2+b^2$ 的值是()A、7B、9C、11D、1011.若方程 $x^2-3x+k^2-5k-6=0$ 有一个根为 $k$,则另一根为 $6-k$。

12.已知方程 $x^2+4x-2k=0$ 的一个根为 $a$,比另一根$\beta$ 小 $2$,则 $a+\beta+k=2$。

13.若 $\begin{cases}x=5\\x+y=m\end{cases}$ 是方程组的一组解,则它的另一组解是 $\begin{cases}y=m-5\\x=5\end{cases}$。

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数学培优专题:一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料
1. 一元二次方程几种解法之间的关系 解一元二次方程有下列几种常用方法:
(1) 配方法:如2670x x ++=,经配方得
2(3)2x +=,再直接用开平方法;
(2) 公式法; (3) 因式分解法。

这三种方法并不是孤立的,直接开平方法,实际也是因式分解法,解方程2670x x ++=,只要
变形为22
(3)0x +-=即可,或原方程
2670x x ++=经配方化为2(3)2x +=,再求解
时,还是归到用平方差公式的因式分解法,所以配方法归为用因式分解法的手段。

公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法,因此,它还是归到因式分解法,所不同的是,公式法用一元二次方程的系数来表示根,因而可以作为公式。

由此可见,对因式分解法应予以足够的重视。

因式分解法还可推广到高次方程。

2. 我国古代的一元二次方程
提起代数,人们自然就把它和方程联系起来。

事实上,过去代数的中心问题就是对方程的研究。

我国古代对代数的研究,特别是对方程解法的研究有着优良的传统,并取得了重要成果。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步?”答:”阔二十四步,长三十六步.”
这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.
上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。

原题另一个提法是:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.
3. 掌握数学思想方法,以不变应万变。

本章内容蕴涵了丰富的数学方法,主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。

(1)转化思想 我们知道,解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。

因此,转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。

在本章,转化无所不在,无处不有,可以说这是本章的精髓和特色之一,其表现主要有以下方面:
① 未知转化为已知,这是解方程的基本
思路:
② 一元二次方程转化为一元一次方程,
这是通过将原方程降次达到的:
③ 特殊转化为一般,一般转化为特殊。

例如,通过用配方法解数字系数的一元二次方程2670x x ++=归纳出用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=的方法,进而得出一元二次方程的求根公式,而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程,推导出一元二次方程根与系数的关系。

又如,通过设未知数,找出等量关系,列方程,把实际问题转化为解方程问题,等等。

掌握转化思想并举一反三,还可以解决很多其他方程问题,如高次方程转化为一元一次或一元二次方程,分式方程转化为整式方程,无理方程转化为有理方程,二元二次方程组转化为二元一次方程组,总之,本章学习的关键之一是学会如何“转化”.
练习:
222
1
1.510a x x a a -+=+
是方程的一根,求的值;
2421032.
a x a ⋅--=--是方程x 的一根,求a 的值
2
2
42
3101
x x x x x --=-+、若,求的值。

(2)类比思想
本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识.
如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列

一元一次方程解应用题的思路和一般步骤.
类比思想是联系新旧知识的纽带,有利于帮助我们开阔思路,研究解题途径和方法,有利于掌握新知识、巩固旧知识,学习时应特别重视。

掌握了类比和转化这两大数学思想,举一反三,还可解决许多方程的相关问题。

我们来看下面两个例子。

例1. 解分式方程
21421242x x x x
++=+--
例2. 解方程组7
12x y xy +=⎧⎨=⎩
4. 配方法的妙用
所谓配方,就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式。

配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外,在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用,是一种很重要、很基本的数学方法。

例1. 分解因式21203456x x -+
例2.
例3. 解方程42
1510240x x x -++=
例4. 求2
2
42415x y y x +--+的最小值
5. 怎样巧用韦达定理解“看错数”问题 小红和小明一起做作业,在解一道一元二次方程时,小明在化简过程中写错了常数项,因而得方程的两个根是8和2;小红在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-9和-1.你知道原来的方程是什么吗?
6. 二次三项式的因式分解
我们把形如2(0)ax bx c a ++≠的多项式叫做
x 的二次三项式。

在了解了形如2
()x p q x pq
+++的二次三项式分解因式的方法的基础上,现在介绍利用求出一元二次方程的根的方法,将一般的二次三项式分解因式。

222121212()()(x x )().b c
ax bx c a x x a x x x x x x a x x a a
⎡⎤++=++=-++=--⎣⎦这就是说,在分解二次三项式2
(0)ax bx c a ++≠的因式时,可先求出方程20ax bx c ++=的两个根
1,2x x ,
然后再写成2
12(x x )().ax bx c a x x ++=-- 例:在实数范围内分解因式:
(1)221x x -- (2) 2
31x x --
(3)2
283x x -- (4)22
32x xy y --

二、拓展性问题 1.回答下列问题:
(1)若方程22
(2)10m x --=有一个根是1,则m 的的值是多少?
(2)已知2和-1是方程220x mx n ++=的两个根,求m 和n 的值。

(3) 若方程2
3520x x --=有一个根是a ,则
2610a a -的值是多少?
(4) 已知方程
2(0)ax bx c a ++≠的一个根是1,那么a b c ++的值是多少?
2. 解方程
(1)2
2
2
(3)3(3)2y y y y -=--
(2) 2
2
(1)(2)4t t t t +-++=
3. 已知m 、n 是二次方程2199970x x ++=的两
个根,求
22(19996)(20008)m m n n ++++的值。

4. 已知关于x 方程
2(2)2(1)(1)0a x a a ---++=,a 为何非负
整数时,(1)方程只有一个实数根?(2)方程有两个相等的的实数根?(3)方程有两个不相等的实数根?
5. 在实数范围内分解因式:
(1)2243x x --+ (2)2441x x --
6. 对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有这样的关系 : 2
12
h vt gt =-
,其中h 是上升高度, v 是初速, g 是重力加速度(为方便起见,本题目2
g 取10m/s ),t 抛出后所经历的时间,如果将一物体以25/v m s =的初速度向上抛,物体何时处在离抛出点20m 高的地方?

7. 某零售商购进一批单价为16元的玩具,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经过试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数为(y 件)是价格y (元/件)的一次函数.
(1)试求y 与x 之间的关系式;
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?
8. 根与系数的关系:
①(2012内江市)若方程2
0x px q ++=的两根分别是1,2x x ,那么1212,x x p x x q +=-=,请根据以上结论,解决下列问题:
⑴已知关于x 的方程2
6(0)x mx n n ++=≠,求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;
⑵已知,a b 满足2
2
1550,1550a a b b --=--=,求
a b
b a
+的值; ⑶已知,,a b c 满足0,16a b c abc ++==,求正数
c 的最小值.
②(2012
孝感)已知关于x 的方程
2(3)10x m x m ++++=
⑴求证:无论m 为何值时,原方程总有两个不相等的实数根.
⑵若1,2x x 是原方程的两根,
且12x x -=,求
m 的值和此时方程的两根.
三、数学思考
小明有5张人民币,面值合计20元。

(1)小明的5张人民币的面值分别是_______元、________元、________元、_______元、 _______元。

(2)小明到水果店,称了x 千克苹果(x 是整数),按标价应付y 元,正好等于小明那5张人民币中的两张面值之和,这时果筐里还剩下6千克苹果,店主便对小明说:“如果你把剩下的也都买去,那么连同刚才你称的,一共就付款10元吧。

”小明一算,这样相当于每千克比标价减少了0.5元,本着互利的原则,小明便答应了,试求x 和y .。

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