第六章第四、五节万有引力理论的应用和宇宙航行,经典力学的局限性

一、学习目标：1、了解万有引力定律在天文学上的应用，会用定律计算天体质量及密度。

2、理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

3、了解人造卫星的有关知识，知道其运动规律。

4、知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。

5、了解牛顿力学的局限性。

了解牛顿的时空观和爱因斯坦的时空观。

二、重点、难点重点：1、理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

2、掌握第一宇宙速度的推导。

区分卫星的发射速度和环绕速度。

3、了解预测未知天体的科学方法。

难点：1、万有引力定律在天文学上的应用，会用定律计算天体质量及密度。

2、利用万有引力推导第一宇宙速度。

3、熟练掌握卫星的线速度，角速度，周期的推导和应用。

链接高考：本讲涉及的万有引力定律的理论应用与宇宙航行、宇宙探索，是历年高考的必考内容，考查的重点是万有引力定律与牛顿第二定律，圆周运动规律等知识的综合问题——求天体质量及密度、发现新天体等，这部分试题与实际问题、现代科技相联系，情景灵活多变，极具创新性，选择、计算的题型都有可能出现，万有引力定律的应用和宇宙速度在高考大纲里都属于二级要求，应作为同学们学习的重点。

一、发现未知天体1、天王星的发现过程：剑桥学生亚当斯和法国天文学家勒维耶的计算和预言，德国的伽勒在勒维耶预言位置发现天王星。

2、哈雷彗星轨道的计算和回归时间的预言。

二、求天体的质量（或密度）1、根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量由mg=G 2RMm 得 G gR M 2=.（式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径。

）2、根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得222224Tmr mr r v m r Mm G πω===若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体的质量为G r GT r G rv M 3223224ωπ=== 由以上分析可知：如果我们知道近地卫星的轨道半径R ，线速度v ，角速度ω（或半径R 、周期T 、线速度v ，或半径R ，频率f ，线速度v ）中的任意两个物理量就可以对行星的质量进行估算了。

如果已知天体的半径R 可得天体的体积为3/43R V π=∴ 32332323)34/(4/RGT r R GT r V M πππρ===（如果卫星在天体表面运行，R r =，23GT πρ=）。

三、人造卫星、宇宙速度（一）卫星绕行速度、角速度、周期、加速度与半径的关系1、由r v m rMm G 22=得：r GM v =即r v 1∝；（r 越大v 越小）可见第一宇宙速度也可以说成是卫星环绕地球的最大速度。

2、由r m r Mm G22ω=得：3r GM =ω即31r∝ω；（r 越大ω越小） 3、由r T m r Mm G 22)2(π=得：GMr T 324π=即3r T ∝（r 越大T 越大） 4、由ma r Mm G =2得： 2r GM a = 即 21ra ∝ （r 越大，a 越小）（二）卫星的运行及规律一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运行速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运行即变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行。

对于稳定运行状态的卫星，①运行速率不变；②轨道半径不变；③万有引力提供向心力，即r mv r GMm //22=成立。

其运行速度与运行轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确定速度相对应，而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化。

（三）宇宙速度1、第一宇宙速度（环绕速度）：7.9km/s 。

是地球卫星的最小发射速度。

推导（1）：当卫星在地球附近运行时，地r r ≈，由地地r v m r Mm G 22=得地r GMv =)/(109.7/104.61098.51067.6362411s m s m ⨯=⨯⨯⨯⨯=- 推导（2）：当卫星在地球附近运行时，mg F =引，地r r ≈。

由地r v m mg 2=得)/(109.7104.68.936s m gr v ⨯=⨯⨯==地这两种推导地球第一宇宙速度的方法，也可以推广到其他星球上去。

即知道了某个星球的质量M 和半径R ，或该星球的半径R 及星球表面的重力加速度g ，可以用同样的方法求得该星球上的第一宇宙速度。

强调：发射速度和环绕速度的区别：使物体成为卫星，7.9km/s 是发射卫星的最小速度，它是指把卫星发射到离地面最近的近地轨道上去，发射高度越大，发射越困难，要使卫星在较高轨道上运行，就必须使发射速度大于7.9km/s 。

卫星绕行过程中由rGMv =知道，r 越小，v 越大，所以当卫星离地面最低时，其环绕速度最大，即卫星“贴”着地面运动。

所以v=7.9km/s 是卫星发射的最小速度，是卫星运动的最大速度。

2、第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s ，使物体可以挣脱地球吸引力的束缚，成为绕太阳运行的人造行星（或飞到其他行星上去）的最小发射速度。

3、第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度。

（四）地球同步卫星运转周期与地球自转周期相同（T=24h ），所有的地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内，且轨道半径和环绕速度均相同。

推导：由r T m r Mm G 22)2(π=得：3224πGMTr = ∵ T 恒定 ∴ r 恒定地球同步卫星的“五定”：地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星。

1、定轨道。

地球同步卫星的轨道平面唯一确定：非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。

2、定周期。

地球同步卫星的同期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。

3、定高度。

地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有r m r GMm 202/ω=，得320/ωGM r =，0ω与地球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为km r 41024.4⨯=，其离地面的高度也是一定的。

4、定速度。

地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为s m r v /1008.330⨯==ω，为定值，绕行方向与地球自转方向相同。

5、定点。

每颗同步卫星都定点在世界卫星组织规定的位置上。

四、经典力学的局限性1、经典力学的适用范围：低速、宏观物体和弱引力，对高速微观强引力问题由相对论力学来解决。

2、狭义相对论的两个基本假设：a ：相对性原理：物理规律在一切参考系中都具有相同的形式。

b ：光速不变原理：在一切惯性参考系中，测得的真空光速c 都相同。

3、爱因斯坦狭义相对论： a ：速度对物体质量的影响：201⎪⎭⎫⎝⎛-=c v m mb ：速度对时间的影响：运动的时钟变慢c ：速度对空间的影响：运动的尺子变短知识点一：万有引力在天文学上的应用例1：若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为R ，周期为T ，万有引力常量为G ，则可求得（ ）A. 该卫星的质量B. 行星的质量C. 该卫星的平均密度D. 行星的平均密度分析：卫星绕行星做圆周运动的基本解题思路为：F 万=F 向，由已知的不同条件，选择向心力公式的不同表达式进行解题。

解题过程：由R Tm R Mm G 2224π=，得232GT R 4M π=，其中M 表示行星的质量。

在质量的表达式中可以看到，中心天体的质量和环绕天体无关，所以不能计算卫星的质量和密度。

同时题目条件中没有给出中心天体的半径，也就无从计算它的体积，因此无法求解行星的密度，所以答案选择B 项。

例2：下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ） A. 地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B. 月球绕地球运行的周期T 和地球的半径rC. 月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离rD. 月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r分析：该题的解题思路和例1是相同的，各选项中给出了环绕天体的不同运动学参数，我们只需要把这些参数和相应的向心力公式联系起来，再通过F 万=F 向进行解题即可。

解题过程：解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径。

已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A 项不对。

已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，B 项不对。

已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由22ωmr rMmG=可以求出中心天体地球的质量，所以C 项正确。

由2224T mr r Mm G π=求得地球质量为2324GTr M π=，所以D 项正确。

解题后的思考：例1和例2属于同一类型的题，在这类问题的求解过程中，环绕天体运动的向心力由中心天体对它的万有引力提供，环绕天体的轨道半径和周期可以用天文的方法观测到. 用此种方法可以计算中心天体的质量，不能计算卫星的质量.所以在求解天体质量的问题中，用F 万=F 向的思路解题时，带球天体必须处于中心天体的位置，同时找出它的一颗环绕天体，知道环绕天体的轨道半径R 和它运动参数v ，ω，Ｔ中的任意一个，就可求解中心天体的质量。

例3：宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.分析：解此题的关键是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度。

解题过程：根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221gt y =设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt 。

有2222)()21(L vt gt =+ ① 当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt 。

所以有2222)3()2()21(L vt gt =+ ②在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2RMm③联立①②③三个方程解得22332GtLR M = 而天体的体积为334R V π=，由密度公式V M =ρ得天体的密度为RGt L223πρ=。

解题后的思考：解题中要注意应用平抛运动规律时要细心，正确理解抛出点与落地点间的距离，应用运动规律写出不同初速度抛出的规律表达式，从而求解出g 的值，在解题过程中要注意公式的灵活运用。