Relativistic Kinetic Equation for Induced Compton Scattering of Polarized Radiation

合集下载

[精彩]量子力学英语词汇

1、microscopic world 微观世界2、macroscopic world 宏观世界3、quantum theory 量子[理]论4、quantum mechanics 量子力学5、wave mechanics 波动力学6、matrix mechanics 矩阵力学7、Planck constant 普朗克常数8、wave-particle duality 波粒二象性9、state 态10、state function 态函数11、state vector 态矢量12、superposition principle of state 态叠加原理13、orthogonal states 正交态14、antisymmetrical state 正交定理15、stationary state 对称态16、antisymmetrical state 反对称态17、stationary state 定态18、ground state 基态19、excited state 受激态20、binding state 束缚态21、unbound state 非束缚态22、degenerate state 简并态23、degenerate system 简并系24、non-deenerate state 非简并态25、non-degenerate system 非简并系26、de Broglie wave 德布罗意波27、wave function 波函数28、time-dependent wave function 含时波函数29、wave packet 波包30、probability 几率31、probability amplitude 几率幅32、probability density 几率密度33、quantum ensemble 量子系综34、wave equation 波动方程35、Schrodinger equation 薛定谔方程36、Potential well 势阱37、Potential barrien 势垒38、potential barrier penetration 势垒贯穿39、tunnel effect 隧道效应40、linear harmonic oscillator线性谐振子41、zero proint energy 零点能42、central field 辏力场43、Coulomb field 库仑场44、δ-function δ-函数45、operator 算符46、commuting operators 对易算符47、anticommuting operators 反对易算符48、complex conjugate operator 复共轭算符49、Hermitian conjugate operator 厄米共轭算符50、Hermitian operator 厄米算符51、momentum operator 动量算符52、energy operator 能量算符53、Hamiltonian operator 哈密顿算符54、angular momentum operator 角动量算符55、spin operator 自旋算符56、eigen value 本征值57、secular equation 久期方程58、observable 可观察量59、orthogonality 正交性60、completeness 完全性61、closure property 封闭性62、normalization 归一化63、orthonormalized functions 正交归一化函数64、quantum number 量子数65、principal quantum number 主量子数66、radial quantum number 径向量子数67、angular quantum number 角量子数68、magnetic quantum number 磁量子数69、uncertainty relation 测不准关系70、principle of complementarity 并协原理71、quantum Poisson bracket 量子泊松括号72、representation 表象73、coordinate representation 坐标表象74、momentum representation 动量表象75、energy representation 能量表象76、Schrodinger representation 薛定谔表象77、Heisenberg representation 海森伯表象78、interaction representation 相互作用表象79、occupation number representation 粒子数表象80、Dirac symbol 狄拉克符号81、ket vector 右矢量82、bra vector 左矢量83、basis vector 基矢量84、basis ket 基右矢85、basis bra 基左矢86、orthogonal kets 正交右矢87、orthogonal bras 正交左矢88、symmetrical kets 对称右矢89、antisymmetrical kets 反对称右矢90、Hilbert space 希耳伯空间91、perturbation theory 微扰理论92、stationary perturbation theory 定态微扰论93、time-dependent perturbation theory 含时微扰论94、Wentzel-Kramers-Brillouin method W. K. B.近似法95、elastic scattering 弹性散射96、inelastic scattering 非弹性散射97、scattering cross-section 散射截面98、partial wave method 分波法99、Born approximation 玻恩近似法100、centre-of-mass coordinates 质心坐标系101、laboratory coordinates 实验室坐标系102、transition 跃迁103、dipole transition 偶极子跃迁104、selection rule 选择定则105、spin 自旋106、electron spin 电子自旋107、spin quantum number 自旋量子数108、spin wave function 自旋波函数109、coupling 耦合110、vector-coupling coefficient 矢量耦合系数111、many-partic le system 多子体系112、exchange forece 交换力113、exchange energy 交换能114、Heitler-London approximation 海特勒-伦敦近似法115、Hartree-Fock equation 哈特里-福克方程116、self-consistent field 自洽场117、Thomas-Fermi equation 托马斯-费米方程118、second quantization 二次量子化119、identical particles全同粒子120、Pauli matrices 泡利矩阵121、Pauli equation 泡利方程122、Pauli’s exclusion principle泡利不相容原理123、Relativistic wave equation 相对论性波动方程124、Klein-Gordon equation 克莱因-戈登方程125、Dirac equation 狄拉克方程126、Dirac hole theory 狄拉克空穴理论127、negative energy state 负能态128、negative probability 负几率129、microscopic causality 微观因果性本征矢量eigenvector本征态eigenstate本征值eigenvalue本征值方程eigenvalue equation本征子空间eigensubspace (可以理解为本征矢空间)变分法variatinial method标量scalar算符operator表象representation表象变换transformation of representation表象理论theory of representation波函数wave function波恩近似Born approximation玻色子boson费米子fermion不确定关系uncertainty relation狄拉克方程Dirac equation狄拉克记号Dirac symbol定态stationary state定态微扰法time-independent perturbation定态薛定谔方程time-independent Schro(此处上面有两点)dinger equati on 动量表象momentum representation角动量表象angular mommentum representation占有数表象occupation number representation坐标（位置）表象position representation角动量算符angular mommentum operator角动量耦合coupling of angular mommentum对称性symmetry对易关系commutator厄米算符hermitian operator厄米多项式Hermite polynomial分量component光的发射emission of light光的吸收absorption of light受激发射excited emission自发发射spontaneous emission轨道角动量orbital angular momentum自旋角动量spin angular momentum轨道磁矩orbital magnetic moment归一化normalization哈密顿hamiltonion黑体辐射black body radiation康普顿散射Compton scattering基矢basis vector基态ground state基右矢basis ket ‘右矢’ket基左矢basis bra简并度degenerancy精细结构fine structure径向方程radial equation久期方程secular equation量子化quantization矩阵matrix模module模方square of module内积inner product逆算符inverse operator欧拉角Eular angles泡利矩阵Pauli matrix平均值expectation value （期望值）泡利不相容原理Pauli exclusion principle氢原子hydrogen atom球鞋函数spherical harmonics全同粒子identical partic les塞曼效应Zeeman effect上升下降算符raising and lowering operator 消灭算符destruction operator产生算符creation operator矢量空间vector space守恒定律conservation law守恒量conservation quantity投影projection投影算符projection operator微扰法pertubation method希尔伯特空间Hilbert space线性算符linear operator线性无关linear independence谐振子harmonic oscillator选择定则selection rule幺正变换unitary transformation幺正算符unitary operator宇称parity跃迁transition运动方程equation of motion正交归一性orthonormalization正交性orthogonality转动rotation自旋磁矩spin magnetic monent(以上是量子力学中的主要英语词汇，有些未涉及到的可以自由组合。

CALPHAD软件介绍

Abstract
The phase-ﬁeld method has become an important and extremely versatile technique for simulating microstructure evolution at the mesoscale. Thanks to the diffuse-interface approach, it allows us to study the evolution of arbitrary complex grain morphologies without any presumption on their shape or mutual distribution. It is also straightforward to account for different thermodynamic driving forces for microstructure evolution, such as bulk and interfacial energy, elastic energy and electric or magnetic energy, and the effect of different transport processes, such as mass diffusion, heat conduction and convection. The purpose of the paper is to give an introduction to the phase-ﬁeld modeling technique. The concept of diffuse interfaces, the phase-ﬁeld variables, the thermodynamic driving force for microstructure evolution and the kinetic phase-ﬁeld equations are introduced. Furthermore, common techniques for parameter determination and numerical solution of the equations are discussed. To show the variety in phase-ﬁeld models, different model formulations are exploited, depending on which is most common or most illustrative. c 2007 Elsevier Ltd. All rights reserved.

连续介质力学

3、教学方式方面：
该课程主要通过课堂讲授来进行教学，采用电子课件和板书相结合的方式。值得一提的是，本研究生课程完全独立地完成了大部分电子课件的建设，为进一步提高教学质量打下了基础。
4、教材方面：
本课程教材的选用经过了多次权衡和对比。一本为本系编著的油印教材《张量分析》，该书具有便于学生接受的特点；另外一本是国际著名学者J.N.Reddy主编的连续介质力学，是本领域的经典教材之一。
37
断裂力学、细观力学等
李振环
教授
固体力学
44
微纳米力学
黄敏生
副教授
固体力学
31
微纳米力学
课程负责教师教育经历及学术成就简介：
罗俊：博士、教授、湖北省力学学会理事、工程力学教研室主任。1997年和2000年于上海交通大学获工学学士和固体力学专业硕士学位，2004年获新加坡南洋理工大学博士学位。2003年到2005年在新加坡南洋理工大学从事博士后研究。目前主要从事断裂力学、细观力学、生物固体力学、电子产品冲击动力学等领域的研究工作。先后主持国家自然科学基金、教育部博士点新教师基金、留学回国人员基金、华中科技大学自主创新基金和人才引进基金等项目的研究工作，同时参与国家自然科学基金、教育部博士点基金、新加坡ASTAR基金等多项项目的研究。在国内外重要学术刊物上发表学术论文近30篇，其中SCI收录的有20余篇，发表的论文两次获湖北省自然科学优秀学术论文二等奖。目前是IJSS等9个国际主流期刊和1个国内权威期刊的审稿人。主讲张量分析与连续介质力学、材料力学、工程力学等本科和研究生课程。
5、其它：
在国际化课程建设项目的资助下，课程负责人邀请到了张量分析和连续介质力学领域的著名专家吴茂熙和匡震邦教授来校讲学。该项目的建设对本课程教学内容的编排和教学质量的提高起到了极大的推动作用。

薛定谔方程英语

薛定谔方程英语English: The Schrödinger equation, also known as the Schrödinger wave equation, is a fundamental equation in quantum mechanics that describes how the quantum state of a physical system changes over time. It is named after the Austrian physicist Erwin Schrödinger, who first formulated it in 1926. The equation is a partial differential equation that describes how the wave function of a physical system evolves over time, and it is central to the understanding of quantum mechanics. The Schrödinger eq uation is used to calculate the probability distribution of a particle in a given region of space, and it has been immensely successful in explaining the behavior of particles at the atomic and subatomic levels.中文翻译: 薛定谔方程，也被称为薛定谔波动方程，是量子力学中的基本方程，描述了一个物理系统的量子状态随时间的变化。

它以奥地利物理学家埃尔温·薛定谔的名字命名，他在1926年首次提出了这个方程。

一类非线性偏微分方程的唯一解的证明

一类非线性偏微分方程的唯一解的证明一类非线性偏微分方程的唯一解的研究可以追溯到上世纪六十年代，当时有不少研究者投身于此，其中最有名的便是拉内克史凯什(Learning Sanchez)。

他曾提出了一种推广力学方法，该方法具有计算简便、易于理解、能够解决复杂偏微分方程问题的特点，并且在许多具体问题上取得了良好的效果。

之后，史凯什的推广力学方法成为一类非线性偏微分方程唯一解证明的基础。

为了解决一类非线性偏微分方程的唯一解问题，史凯什提出了一个叫做“参数依赖性”的概念，即所求解的非线性偏微分方程应当具有参数依赖性，即通过改变参数对所求解的非线性偏微分方程的结构进行把握。

这一思路有助于解决一类非线性偏微分方程的唯一解问题，但这样的问题也有一定的局限性，即它仅能够解决具有参数依赖性的非线性偏微分方程。

针对一类非线性偏微分方程而言，有两种不同的方法可以证明其唯一解的存在性。

第一种方法是基于史凯什的推广力学方法，只要满足参数依赖性，就可以证明一类非线性偏微分方程的唯一解的存在。

第二种方法则是基于山梨准则（Shanley criterion），它主要利用一类非线性偏微分方程的一些性质，如逐步可求解性、渐近平衡性等，通过山梨准则可以较容易地证明一类非线性偏微分方程的唯一解的存在。

值得一提的是，最近几年，研究人员又提出了一种新的方法，即模型校正技术，这种方法可以用来分析一类非线性偏微分方程的数学模型，优化解的性能，并最终证明该类非线性偏微分方程的唯一解的存在。

以上就是关于一类非线性偏微分方程唯一解的证明的主要思路，目前，研究人员已经取得一定的进展，为解决一类非线性偏微分方程唯一解问题提供了有效的方法。

希望未来研究人员在该领域继续努力，使得唯一解证明更加容易，更有效。

麦克斯韦方程组英文

麦克斯韦方程组英文English: The Maxwell's equations are a set of fundamental equations in classical electromagnetism that describe how electric and magnetic fields interact with each other and with electric charges and currents. They were formulated by the physicist James Clerk Maxwell in the 19th century and played a crucial role in the development of electromagnetic theory. The equations consist of four equations: Gauss's law for electric fields, Gauss's law for magnetic fields, Faraday's law of electromagnetic induction, and Ampère's law with Maxwell's addition. These equations are mainly concerned with the spatial and temporal changes of electric and magnetic fields, and they are usually written in differential form or integral form. In the differential form, the equations express how the fields change at each point in space, while in the integral form, they describe the flux of the fields through closed surfaces or the circulation of the fields along closed paths. The Maxwell's equations have important implications in many areas of physics and engineering, as they govern the behavior of electromagnetic waves, the propagation of signals through transmission lines, the behavior of antennas, the operation of electric motors and generators, andvarious other electromagnetic phenomena. In addition, the Maxwell's equations also played a crucial role in the development of the theory of relativity, as they led to the realization that electric and magnetic fields are two different manifestations of a single electromagnetic field, and they can transform into each other under certain conditions. Overall, the Maxwell's equations are of fundamental importance in understanding the behavior of electric and magnetic fields and their interactions with matter, and they have paved the way for numerous technological advancements and scientific discoveries.中文翻译: 麦克斯韦方程组是经典电磁学中描述电场、磁场与电荷电流相互作用的一组基本方程。

一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):511-523一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程杨怡,方钟波(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)摘要:本文研究一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程齐次Dirichlet初边值问题解的适定性及定性性质.借助于正则解的适定性并结合稠密性理论导出局部弱解的适定性,且利用修正能量泛函技巧,建立当p<γ时整体适定性.同时,利用反证技巧,证明当p>γ时解的有限时刻爆破现象.关键词:半线性波动方程;基尔霍夫型弱阻尼;对数非线性;整体适定性;爆破中图分类号:O175.29AMS(2010)主题分类:35L20;35A01;35B44文献标识码:A文章编号:1001-9847(2022)03-0511-131.引言我们考虑一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程u tt−∆u−σ(∥∇u∥22)|u t|γ−2u t=|u|p−2u log|u|,(x,t)∈Ω×(0,+∞),(1.1)给出齐次Dirichlet边界条件和初始条件u(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×(0,+∞),(1.2)u(x,0)=u0(x),u t(x,0)=u1(x),x∈Ω,(1.3)其中Ω⊂R N(N≥1)为具有光滑边界∂Ω的有界区域,基尔霍夫型阻尼系数σ,参数p和γ满足(H1)非局部阻尼系数σ∈C1([0,+∞)),对任意s∈[0,+∞),存在正常数b使得σ(s)≥b;;若N=1,2,则2<γ,p<+∞.(H2)参数γ,p满足:若N≥3,则2<γ,p<2N−2N−2我们的模型(1.1)出现于弹性力学理论,量子力学理论等.比如,在一维和二维空间中,具有常数阻尼系数(σ(∥∇u∥2)≡1)的模型(1.1)分别表示服从于粘性效应的均匀弦的横向振动2)=1))的非局部弱阻尼和均匀杆的纵向振动.特别是,当γ=2时,不为常数系数(σ(∥∇u∥22)u t模拟了作用在物体上的摩擦机制,该机制取决于u自身平均值.[1]同时,在量子场项σ(∥∇u∥22理论中,对数非线性项出现在膨胀宇宙学以及超对称场理论中.本文中,我们的目的在于分析在模型(1.1)-(1.3)中基尔霍夫型弱阻尼项σ(∥∇u∥2)|u t|γ−2u t2和对数非线性项|u|p−2u log|u|之间的相互作用与竞争关系对解的适定性及定性性质的影响.为了陈述研究动机,我们回顾此类问题的研究背景.实际上,具有常数系数阻尼项和乘幂型源项的如下半线性波动方程已被许多学者广泛关注且已有许多进展.[2−3]u tt−∆u+g(u t)=|u|p−2u.(1.4)∗收稿日期:2021-06-01基金项目:山东省自然科学基金面上项目(ZR2019MA072);中央高校基本科研基金(201964008)作者简介:杨怡,女,汉族,山东人,研究方向:偏微分方程.通讯作者:方钟波.512应用数学2022比如,Georgiev和Todorova[2]研究了方程(1.4)中g(u t)=a|u t|γ−2u t情形且在齐次Dirichlet边界条件下,证明了问题解的整体存在性及有限时刻爆破现象.之后,文[3]给出了具有任意负初始能量及正初始能量解的爆破现象.关于具有基尔霍夫阻尼系数(σ(∥∇u∥22)=1))的问题的研究方面,大部分集中于基尔霍夫型拟线性波动方程及四阶波动方程解的长时间动力行为,而很少有文献研究爆破现象.比如, Jorge和Narciso[4]在研究如下可扩展梁方程时首次提出了基尔霍夫型阻尼系数u tt+∆2u−κϕ(∥∇u∥22)∆u+σ(∥∇u∥22)g(u t)+f(u)=h(x),其中g(u t)≈|u t|γu t.他们在Dirichlet边界条件和铰接边界条件下建立了强解的适定性并给出了解的长时间动力行为.最近,ZHANG等[5]研究了具有退化非局部非线性阻尼项和乘幂型源项的半线性波动方程Dirichlet初边值问题u tt−∆u+σ(∥∇u∥22)|u t|γ−2u t=|u|p−2u,且利用位势井理论得到了能量的衰减估计和有限时刻解的爆破现象.另一方面,关于具有常数阻尼系数和对数非线性项的半线性波动方程研究也有一些新的进展,其主要难点在于对数非线性源项的单调性和符号无法确定.Cazenave和Haraux[6]首次考虑了具有对数非线性项的Schrˆo dinger方程及Klein-Gordon方程Cauchy问题解的存在性与唯一性.之后,ZHANG等[7]考虑了具有弱阻尼的模型Dirichlet初边值问题并得到了问题解的整体存在性及能量的指数衰减估计值.最近,我们在文[8]中研究了具有对数源和强阻尼的半线性波动方程Dirichlet初边值问题u tt−∆u−∆u t=u log|u|2,(1.5)且利用位势井理论和对数Sobolev不等式,得到了问题的整体可解性及能量衰减和无限爆破结果.文[9]的作者将方程(1.5)推广到具有更一般形式对数非线性项情形.LIAN和XU[10]考虑了具有强弱阻尼和对数源项的非线性波动方程Dirichlet初边值问题u tt−∆u−ω∆u t+µu t=u ln|u|,他们利用压缩映射原理,位势井方法及微分不等式技巧,证明了问题的可解性,能量衰减及解的无限爆破现象.此外,关于具有时滞阻尼的板模型问题的最新进展,我们阅读了文[11].综上所述,关于基尔霍夫型弱阻尼项和对数非线性项竞争的半线性波动方程初边值问题(1.1)-(1.3)的研究尚未得到完善.本文中,我们考虑与文[12]中相同意思下的正则解与弱解且有以下主要难点:1)当p>2时无法利用对数-Sobolev不等式来估计对数所在的项;2)局部弱解的适定性无法直接导出,需考虑更强的解的结果;3)分析两个非线性项之间的竞争关系,即基尔霍夫型非线性弱阻尼项与对数非线性项时遇到难度.为了克服这些困难,启发于文[2,13]的思想,从问题正则解的局部适定性出发,利用稠密性理论和紧性理论导出局部弱解的适定性.并通过修正能量泛函技巧将局部解推广到了整体解.同时利用反证技巧,得到具有负初始能量解的有限时刻爆破现象.本文的剩余部分结构如下:第二节,我们将证明问题(1.1)-(1.3)弱解的局部适定性;第三节中,给出当p<γ时弱解的整体适定性.关于p>γ时具有负初始能量解在有限时刻发生爆破的结论,在第四节中导出.整文中,C及C i(i=1,···)在不同表达式中可能表示不同的正常数.同时,记空间H:= {u∈H10(Ω):∆u∈L2(Ω)},且赋予内积(u,v)H:=(∇u,∇v)+(∆u,∆v),其中(·,·)表示L2(Ω)的内积.此外,H1(Ω)中的模取为∥∇u∥2.2.弱解的局部适定性本节中,我们将先证明问题(1.1)-(1.3)正则解的存在唯一性,之后,通过稠密性理论得到局部弱解的存在唯一性.注意到,得到弱解局部适定性之前,先证明正则解的原因在于:证明基尔霍夫型非局部阻尼项的收敛性时,需用正则解的一些结果.第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程513定理2.1假设(H1),(H2)成立且令(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω),则对某些T >0,问题(1.1)-(1.3)存在唯一弱解并满足正则性u ∈C ([0,T ];H 10(Ω))∩C 1([0,T ];L 2(Ω)),u t ∈L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L 2(0,T ;H −1(Ω)).证我们先分四个步骤来证明问题(1.1)-(1.3)正则解u ∈L ∞([0,T ];H 10(Ω)),u t ∈L ∞(0,T ;H 10(Ω))∩L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω))的存在唯一性结论.第一步逼近问题.令{ωj }∞j =1为H 的一组完备正交基且定义有限维子空间V m :=span {ω1,ω2,···,ωm },m ∈N .我们定义近似解u m (x,t ):=∑mj =1b jm (t )ωj (x ),其中u m (x,t )为如下Cauchy 问题的解:∫Ωu mtt ωj d x +∫Ω∇u m ∇ωj d x +σ(∥∇u m ∥22)∫Ω|u mt |γ−2u mt ωj d x =∫Ω|u m |p −2u m log |u m |ωj d x,(2.1)u m (0)=u 0m =m ∑j =1b jm (0)ωj →u 0,在H 中,(2.2)u mt (0)=u 1m =m ∑j =1b jmt (0)ωj →u 1,在L 2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω)中.(2.3)由ODE 标准理论可知,上述Cauchy 问题(2.1)-(2.3)在区间[0,T m ),T m >0上存在唯一解b jm (t ),我们将通过接下来的先验估计将解延伸到[0,T ].第二步先验估计.第一先验估计对(2.1)两边乘b ′jm (t ),关于j =1,2,···,m 求和并关于时间变量从0到t ≤T m 积分可得¯E m (t )+∫t0σ(∥∇u m (s )∥22)∥u ms (s )∥γγd s =¯E m (0)+∫t 0∫Ω|u m (s )|p −2u m (s )log (|u m (s )|)u ms (s )d x d s,(2.4)其中¯Em (t )=12[∥u mt ∥22+∥∇u m ∥22].且由(2.2)(2.3)可得¯Em (0)<+∞.另一方面,经过简单计算,我们易得log |u (x )|<|u (x )|ααa.e.x ∈Ω,∀α>0.(2.5)结合Young 不等式可以导出∫Ω|u m |p −2u m u mt log |u m |d x ≤1α∫Ω|u m |p +α−1u mt d x,≤14ε1α2γ−1γ∫Ω|u m |(p +α−1)γγ−1d x +ε1γ∫Ω|u mt |γd x.(2.6)根据p 和γ的选择,我们可取α满足:若N ≥3,则0<α<2N(γ−1)(N −2)γ+1−p ;若N =1,2,则0<α<+∞.且应用嵌入H 10(Ω) →L γ(p +α−1)γ−1(Ω),(2.6)可改写为∫Ω|u m |p −2u m u mt log |u m |d x ≤C (p +α−1)γγ−1s (γ−1)4ε1α2γ∥∇u m ∥(p +α−1)γγ−12+ε1γ∥u mt ∥γγ,(2.7)其中C s 为最优嵌入常数.将(2.7)代入(2.4),应用(H1)我们导出12[∥u mt ∥22+∥∇u m ∥22]+(b −ε1γ)∫t 0∥u ms (s )∥γγd s514应用数学2022≤¯E m (0)+C (p +α−1)γγ−1s (γ−1)4ε1α2γ∫t∥∇u m (s )∥(p +α−1)γγ−12d s,≤¯Em (0)+C (p +α−1)γγ−1s(γ−1)4ε1α2γ2β∫t0¯E βm (s )d s,其中β=(p +α−1)γγ−1>1.选取ε1使得ε1γ<b,则由非线性Gronwall 不等式可得:存在正常数L 1使得∥u mt ∥22+∥∇u m ∥22+∫t∥u ms (s )∥γγd s ≤L 1,∀m ∈N ,∀t ∈[0,T ].(2.8)因此,由(2.8)我们得到{u m }在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中有界,(2.9){u mt }在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中有界,(2.10){u mt }在L γ(0,T ;L γ(Ω))中有界.(2.11)第二先验估计首先我们估计∥u mtt (0)∥22.在(2.1)中,取t =0且ωj =u mtt (0),我们有∥u mtt (0)∥22+σ(∥∇u m (0)∥22)∫Ω|u mt (0)|γ−2u mt (0)u mtt (0)d x −∫Ωu mtt (0)∆u m (0)d x =∫Ω|u m (0)|p −2u m (0)u mtt (0)log |u m (0)|d x.(2.12)利用H¨o lder 不等式,我们可得∥u mtt (0)∥22≤[∥∆u 0m ∥22+σ(∥∇u 0m ∥22)∥u 1m ∥2(γ−1)+∥∇u 0m ∥2]∥u mtt (0)∥2,再由σ的连续性及(2.2),(2.3)可得∥u mtt (0)∥2≤L 2,∀m ∈N ,(2.13)其中L 2为与m 无关的常数.紧接着,将(2.1)两边关于时间t 求导并乘b ′′jm (t ),关于j 求和并关于时间变量从0到t ≤T m 积分可得E m (t )+1γ−1∫t 0σ(∥∇u m (s )∥22)∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss |2d x = E m (0)−2∫t 0σ′(∥∇u m (s )∥22)∫Ω∇u m (s )×∇u ms (s )d x ∫Ω|u mt |γ−2u mt u mss (s )d x d s +∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )d x d s+(p −1)∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )log |u m (s )|d x d s,(2.14)其中 E m (t ):=12[∥u mtt ∥22+∥∇u mt ∥22].且由(2.2)和(2.3)可得 E m (0)<+∞.结合(2.9)和(H1),(2.14)可重写为E m (t )+1γ−1b ∫t 0∫Ω|u ms |γ−2|u mss |2d x d s ≤ E m (0)+C 1∫t 0∫Ω∇u m (s )×∇u ms (s )d x3d s +I 1+I 2+I 3,(2.15)其中I 1:=−2∫tσ′(∥∇u m (s )∥22)∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x∫Ω|u ms |γ−2u ms u mss (s )d x d s,第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程515I 2:=∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )d x d s,I 3:=(p −1)∫t 0∫Ω|u m (s )|p −3u m (s )u ms (s )u mss (s )log |u m (s )|d x d s.下面,我们估计I 1∼I 3.首先,由H¨o lder 不等式可得∫t 0∫Ω|u ms |γ−2u ms u mss (s )d x d s ≤∫t 0∫Ω|u ms |γ−1|u mss |d x d s≤(∫t 0∥u ms (s )∥γγd s)12(∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s )12.(2.16)利用Young 不等式,σ′的连续性及(2.9),我们可以估计I 1如下:I 1≤L 121C 3(∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s)12∫t 0∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x d s ≤L 121C 3ε1∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s +L 121C 3ε1∫t 0(∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x )2d s.(2.17)对I 2应用p −22(p −1)+12(p −1)+12=1的H¨o lder 不等式,嵌入H 10(Ω) →L 2(p −1)(Ω)及(2.9),我们导出I 2≤∫t 0(∫Ω|u m (s )|2(p −1)d x )p −22(p −1)(∫Ω|u ms (s )|2(p −1)d x )12(p −1)(∫Ω|u mss (s )|2d x )12d s≤∫t 0∥∇u m (s )∥p −22∥∇u ms (s )∥2∥u mss (s )∥2d s ≤L p −221∫t∥∇u ms (s )∥2∥u mss (s )∥2d s≤12L p −221∫t∥∇u ms (s )∥22+∥u mss (s )∥22d s.(2.18)接下来,应用(2.5)并选取适当α满足:若N ≥3,则α<2N −2N −2−p ;若N =1,2,则0<α<+∞.我们可类似于(2.18)的过程来导出I 3≤p −12αL p +α−221∫t 0∥∇u ms (s )∥22+∥u mss (s )∥22d s.(2.19)将(2.17)-(2.19)代入(2.15)并整理得E m (t )+(b γ−1−L 121C 3ε1)∫t 0∫Ω|u ms (s )|γ−2|u mss (s )|2d x d s≤12L p −221∫t 0∥∇u ms (s )∥22+∥u mss (s )∥22d s + E m (0)+12(p −1αL p +α−221+L p −221)∫t 0∥∇u ms (s )∥22d s +L 121C 3ε1∫t 0(∫Ω∇u m (s )∇u ms (s )d x )2d s +12(p −1αL p +α−221+L p −221)∫t 0∥u mss (s )∥22d s.选取ε1<b (γ−1)L 121C 3,则存在正常数C 1,C 2使得 E m (t )≤C 1+C 2∫t 0E m d s.由非线性Gronwall 不等式可得,存在正常数L 3使得∥u mtt ∥22+∥∇u mt ∥22≤L 3,∀m ∈N ,(2.20)且知{u mt }在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中有界,(2.21){u mtt }在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中有界.(2.22)516应用数学2022第三步取极限.结合(2.9)-(2.11)即(2.21)-(2.22),存在函数u 及{u m }∞m =1的子序列(方便起见,仍记为{u m }∞m =1)使得u m W ∗−→u,在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中,(2.23)u mt W ∗−→u t ,在L ∞(0,T ;H 10(Ω))中,(2.24)u mt W −→u t ,在L γ(0,T ;L γ(Ω))中,(2.25)u mtt W ∗−→u tt ,在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中.(2.26)由(2.23),(2.24)及Aubin-Lions 引理可得u m −→u,在C ([0,T ];H 10(Ω))中.(2.27)因此u m −→u,a.e.(x,t )∈Ω×(0,T ].这表明σ(∥∇u m ∥22)−→σ(∥∇u ∥22),a.e.(x,t )∈Ω×(0,T ],|u m |p −2u m log |u m |−→|u |p −2u log |u |,a.e.(x,t )∈Ω×(0,T ].另一方面,由(2.5),(2.9)及嵌入不等式,我们导出∫Ω |u m |p −2u m log |u m | 2d x ≤∫{x ∈Ω||u m |≤1}|u m |p −2u m log |u m | 2d x +1µ∫{x ∈Ω||u m |>1}|u m |2(p −1+µ)d x,≤[1(p −1)e ]2|Ω|+1µ∥u m ∥2(p −1+µ)2(p −1+µ),≤[1(p −1)e ]2|Ω|+21µB 2(p −1+µ)µ−1∥∇u m ∥2(p −1+µ)2≤C 5,(2.28)其中选择合适的正数µ使其满足:若N ≥3,则0<µ<N2(N −2)+1−p ;若N =1,2,则0<µ<+∞,且对0<x <1,应用不等式|x p −1log x |≤(e (p −1))−1,我们得到|u m |p −2u m log |u m |W ∗−→|u |p −2u log |u |,在L ∞(0,T ;L 2(Ω))中.另外,由H ×(L 2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω))在H 10(Ω)×L 2(Ω)中的稠密性可知(u 0m ,u 1m )→(u 0,u 1),在H 10(Ω))×L 2(Ω)中.在(2.1)-(2.3)中取极限可得u tt −∆u +σ(∥∇u ∥22)g (u t )=|u |p −2u log |u |,在u tt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω))中,u (x,0)=u 0(x ),u t (x,0)=u 1(x ).第四步唯一性.令u 1和u 2是问题(1.1)-(1.3)的解并记z :=u 1−u 2,则由(1.1)我们可知z 满足如下的方程:∫Ωz tt ωj d x +∫Ω∇z ∇ωj d x +∫Ωσ(∥∇u 1∥22)|u 1t |γ−2u 1t ωj d x −∫Ωσ(∥∇u 2∥22)|u 2t |γ−2u 2t ωj d x =∫Ω|u 1|p −2u 1log |u 1|ωj d x −∫Ω|u 2|p −2u 2log |u 2|ωj d x,(2.29)用z t 代替上式中的ωj ,我们得到12d d t (∥z t ∥22+∥∇z ∥22)+I 4=I 5+I 6,(2.30)其中I 4=σ(∥∇u 1∥22)∫Ω(|u 1t |γ−2u 1t −|u 2t |γ−2u 2t )z t d x,I 5=−(σ(∥∇u 1∥22)−σ(∥∇u 2∥22))·∫Ω|u 2t |γ−2u 2t z t d x,I 6=∫Ω(|u 1|p −2u 1log |u 1|−|u 2|p −2u 2log |u 2|)z t d x.下面,我们将估计I 4∼I 6.首先,应用平均值定理,存在θ∈(0,1),我们导出(|u 1t |γ−2u 1t −|u 2t |γ−2u 2t )z t =∫1(θu 1t +(1−θ)u 2t )γ−2z t d θz t第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程517=1γ−1(|θu 1t +(1−θ)u 2t |γ−2(θu 1t +(1−θ)u 2t )) 10z t =1γ−1(12(|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)(u 1t −u 2t )+12(|u 1t |γ−2−|u 2t |γ−2)(u 1t +u 2t ))z t =12(γ−1)((|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z t |2+(|u 1t |γ−2−|u 2t |γ−2)(|u 1t |2−|u 2t |2))≥12(γ−1)((|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z t |2.结合(H1),我们可以对I 4估计如下:I 4≥b 2(γ−1)∫Ω(|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z 2t |d x.(2.31)然后,利用(H1),H¨o lder 不等式和Young 不等式,我们可估计I 5如下:I 5=−(σ(∥∇u 1∥22)−σ(∥∇u 2∥22))∫Ω|u 2t |γ−2u 2t z t d x≤C ∥∇z ∥2∫Ω|u 2t |z t d x +C ∥∇z ∥2∫Ω|u 2t |γ−1z t d x ≤C ∥u 2t ∥2∥∇z ∥2∥z t ∥2+C ε2∥u 2t ∥γγ∥∇z ∥22+ε2∫Ω(|u 1t |γ−2+|u 2t |γ−2)|z t |2d x.(2.32)对I 6,用H¨o lder 不等式得到I 6≤∥G (u 1)−G (u 2)∥2∥z t ∥2,(2.33)其中G (s )=|s |p −2s log |s |.再由平均值定理及(2.5),存在ξ∈(0,1)使得|G (u 1)−G (u 2)|=|G ′(ξu 1+(1−ξ)u 2)z |≤[1+(p −1)log |ξu 1+(1−ξ)u 2|]|ξu 1+(1−ξ)u 2|p −2|z |≤|ξu 1+(1−ξ)u 2|p −2|z |+(p −1)α3|ξu 1+(1−ξ)u 2|p +α3−2|z |≤|u 1+u 2|p −2|z |+(p −1)α3|u 1+u 2|p +α3−2|z |,(2.34)其中选取合适的α3使其满足:若N ≥3,则0<α3≤p −22(p −1)(2N N −2+2(1−p ));若N =1,2,则0<α3<+∞.对(2.34)右边的两项利用H¨o lder 不等式和Sobolev 嵌入不等式,我们分别导出∫Ω|u 1+u 2|2(p −2)|z |2d x ≤C 1(∫Ω|u 1+u 2|2(p −1)d x )p −2p −1(∫Ω|z |2(p −1)d x)1p −1≤C 1[∥u 1∥2(p −1)2(p −1)+∥u 2∥2(p −1)2(p −1)]p−2p −1∥z ∥22(p −1)≤C 2[∥∇u 1∥2(p −1)2+∥∇u 2∥2(p −1)2]p −2p −1∥∇z ∥22(2.35)∫Ω|u 1+u 2|2(p +α3−2)|z |2d x ≤C 3[∥∇u 1∥p ∗2+∥∇u 2∥p ∗2]p −2p −1∥∇z ∥22,(2.36)其中p ∗=2(p −1)+2α3(p −1)p −2.现在,我们把(2.34)-(2.36)代入到(2.33)并整理得到I 6≤C 4{[∥∇u 1∥2(p −1)2+∥∇u 2∥2(p −1)2]p −2p −1+[∥∇u 1∥p ∗2+∥∇u 2∥p ∗2]p −2p −1}(∥∇z ∥22+∥z t ∥22).(2.37)选取ε2<b2(γ−1),将(2.31),(2.32)和(2.37)代入到(2.30)且结合(2.23)得到d d t(∥∇z ∥22+∥z t ∥22)≤C (1+∥u 2t ∥γγ)(∥∇z ∥22+∥z t ∥22).518应用数学2022对上式从0到t 上积分,应用(2.25)和Gronwall 不等式,可知存在正常数L 4使得∥z t ∥22+∥∇z ∥22≤L 4(∥z 1∥22+∥∇z 0∥22),∀m ∈N ,且∥z t ∥22=∥∇z ∥22=0,即可得唯一性的结论.下面,我们应用稠密性理论,从局部正则解u ∈L ∞([0,T ];H 10(Ω)),u t ∈L ∞(0,T ;H 10(Ω))∩L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω))的适定性中导出局部解u ∈C ([0,T ];H 10(Ω))∩C 1([0,T ];L 2(Ω)),u t ∈L γ(0,T ;L γ(Ω)),u tt ∈L 2(0,T ;H −1(Ω))的适定性.由H 在H 10(Ω)中稠密,L 2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω)在L 2(Ω)中稠密及条件(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω)易知,存在{u 0η}⊂H 及{u 1η}⊂(L2(γ−1)(Ω)∩H 10(Ω))使得u 0η→u 0,在H 10(Ω)中,u 1η→u 1,在L 2(Ω)中,当η→+∞.(2.38)且对任意η∈N ,问题(1.1)-(1.3)存在以{u 0η,u 1η}为初值的正则解,且满足u η∈L ∞(0,T ;H 10(Ω)),u ηtt ∈L ∞(0,T ;L 2(Ω)),u ηt ∈L ∞(0,T ;H 10(Ω))∩L γ(0,T ;L γ(Ω)).类似于前述的正则解的存在性证明中第一先验估计的导出过程,并令η2≥η1是两个任取的自然数且记z η:=u η2−u η1则易知∥z ηt ∥22+∥∇z η∥22≤C 1(∥z 1η∥22+∥∇z 0η∥22),∀0≤t <+∞.结合(2.38),我们得到z η(0)=u η1(0)−u η2(0)→0,在H 10(Ω)中,z ηt (0)=u tη1(0)−u tη2(0)→0,在L 2(Ω)中,∥z ηt ∥22+∥∇z η∥22→0,且u η→u,在C 0([0,T ];H 10(Ω))中,(2.39)u ηt →u t ,在C 0([0,T ];L 2(Ω))中.(2.40)因此,以上收敛性并结合(2.28)允许我们对问题(1.1)-(1.3)取极限,且得到弱解满足u tt −∆u +σ(∥∇u ∥22)g (u t )=|u |p −2u log |u |,在u tt ∈L 2(0,T ;H −1(Ω)),u (0)=u 0,u t (0)=u 1,x ∈Ω,此外,关于局部弱解的唯一性需要用正则化方法,且可由Visik-Ladyzenskaya 的标准方法来得到.[14]14−16综上所述,我们得到问题(1.1)-(1.3)存在唯一的局部弱解.注2.1局部弱解的唯一性不可用常见的唯一性证明方法的原因在于:对偶积⟨H −1(Ω),L 2(Ω)⟩没有意义.3.弱解的整体适定性本节中,当p <γ时,结合连续性原理,我们得到与第一节中的局部弱解相同正则性的意思下问题(1.1)-(1.3)整体适定性.我们先给出下面引理,将在证明中起到关键作用.引理3.1假设(H1),(H2)成立,对任意的u ∈H 10(Ω)\{0},存在只依赖于Ω的正常数C >1使得∥u ∥s p ≤C (∥∇u ∥22+∥u ∥pp ),其中2≤s ≤p.证当∥u ∥p ≤1时,由Sobolev 嵌入定理可知∥u ∥s p ≤∥u ∥2p ≤C ∥∇u ∥22.同时,当∥u ∥p >1时,我们有∥u ∥s p ≤∥u ∥pp .由此可知,引理3.1成立.定理3.1假设(H1),(H2)成立,p <γ,令(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω),则问题(1.1)-(1.3)存在唯一整体弱解并满足正则性u ∈C ([0,+∞);H 10(Ω))∩C 1([0,+∞);L 2(Ω)),u t ∈L γ(0,+∞;L γ(Ω)),u tt ∈L 2(0,+∞;H −1(Ω)).第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程519证已证明了弱解的局部存在性定理,因此可证明连续性原理(见文[15]).这表明,解的生命跨度T max =∞或T max 有限且满足lim t →T −max ∥u t ∥22+∥∇u ∥22=+∞.然而,用通常的能量泛函E (t ):=12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22−1p ∫Ω|u |p log |u |d x +1p 2∥u ∥pp ,来分析对数源项和基尔霍夫型非线性弱阻尼项之间的相互作用遇到困难,故我们引入如下修正能量泛函:F (t )=12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22−1p ∫Ω|u |p log |u |d x +1p 2∥u ∥p p +2pµ∥u ∥p +µp +µ,其中µ满足适当条件且我们只需证明F (t )满足指数形式有界,即通常的能量E (t )得到控制.由简单计算,易知E (t )关于时间变量单调递减,即d d tE (t )=−σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ≤0.对F (t )直接求导,结合上式,(H1)和Young 不等式,我们导出F ′(t )=−σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµ∫Ω|u |p +µ−2uu t d x ≤−σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµ∫Ω|u |p +µ−1u t d x ≤−b ∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ+2(p +µ)pµε3∥u t ∥p +µp +µ,其中ε3>0且C ε3是只依赖于ε3的正常数.注意到p <γ,我们可选µ足够小使得p +µ≤γ.因此,可用嵌入L γ →L p +µ可得F ′(t )≤−b ∥u t ∥γγ+2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ+C 1ε3∥u t ∥p +µγ,且F ′(t )≤C 2+2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ.(3.1)事实上,当∥u t ∥γγ>1时,我们可选取ε3足够小使得−b ∥u t ∥γγ+C 1ε3∥u t ∥p +µγ≤0且有F ′(t )≤2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ;当∥u t ∥γγ≤1时,我们易知F ′(t )≤2(p +µ)pµC ε3∥u ∥p +µp +µ+C 1ε3.由此可知(3.1)显然成立.另一方面,由(2.5)可得如下F (t )的估计:F (t )=12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22−1p ∫Ω|u |p log |u |d x +1p 2∥u ∥p p+2pµ∥u ∥p +µp +µ>12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22+1p 2∥u ∥p p +1pµ∥u ∥p +µp +µ>1pµ∥u ∥p +µp +µ.(3.2)结合(3.1)和(3.2),可得F ′(t )≤C 2+C 4F (t ),其中C 4=2(p +µ)C ε3pµ且F (t )≤(F (0)+C 2C 4)e C 4t .上式与连续性原理结合,即可得整体解的存在性.事实上,我们只需证明:如果T max <+∞,则lim t →T −max ∥u t ∥22+∥∇u ∥22=+∞就可.利用反证技巧,假设上述结论不成立,即T max <+∞且lim t →T −max ∥u t ∥22+∥∇u ∥22<+∞.则存在一个序列{t n ,n =1,2,···}和一个正常数K 使得当n →+∞时t n →T max 且满足∥u t ∥22+∥∇u ∥22<K,n =1,2,···.由前述证明可知,对每一个n ∈N ,初值为u (x,t n )的问题(1.1)-(1.3)的解在[t n ,t n +T ∗]上存在且唯一,其中正常数T ∗依赖于K 但不依赖于n ∈N .因此,对足够大的n ∈N ,我们可得到T max <t n +T ∗.这与T max 是解的最大存在时间矛盾.定理3.1证毕.4.爆破现象本节中,我们利用反证技巧得到,当p >γ时问题(1.1)-(1.3)具有负初始能量的解在有限时刻发生爆破.引理4.1[11]若满足∫Ω|u |plog |u |d x >0.则存在一个只依赖于Ω的正常数C 使得下式成立∥u ∥p p ≤C [∫Ω|u |plog |u |d x +∥∇u ∥22],∀u ∈L p (Ω).(4.1)520应用数学2022现在,我们陈述有限时刻发生爆破结论.定理4.1假设(H1),(H2)成立,p >γ且令(u 0,u 1)∈H 10(Ω)×L 2(Ω),E (0)<0,则问题(1.1)-(1.3)的解在有限时刻发生爆破,即T max <+∞.证利用反证技巧,假设问题(1.1)-(1.3)解整体存在,即T max =+∞.我们引入辅助函数K (t ):=∥u (t )∥22,H (t ):=−E (t ),∀0≤t ≤T 1,其中正常数T 1将在之后给出.且由E (t )的单调性可知:H ′(t )=−E ′(t )≥0,且H (t )≥H (0)=−E (0)>0,∀0≤t ≤T 1.(4.2)我们记G (t ):=∫Ωσ(∥∇u ∥22)u |u t |γ−2u t d x,∀0≤t ≤T 1.现在,由问题解的整体存在性假设知∥∇u ∥22≤C 1,∥u t ∥22≤C 0,∀0≤t ≤T 1.(4.3)并由条件(H1)中σ(s )的连续性,我们有σ(∥∇u ∥22)≤max 0≤∥∇u ∥22≤C 1σ(∥∇u ∥22):=σ1,∀0≤t ≤T 1.(4.4)结合H¨o lder 不等式和Young 不等式,我们导出|G (t )|= ∫Ωσ(∥∇u ∥22)u |u t |γ−2u t d x =σ(∥∇u ∥22)∫Ω|u ||u t |γ−1d x ≤(σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγη−γγ−1)γ−1γ(σ(∥∇u ∥22)1γ∥u ∥γη)≤γ−1γη−γγ−1σ(∥∇u ∥22)∥u t ∥γγ+1γηγσ(∥∇u ∥22)∥u ∥γγ≤γ−1γη−γ−1γH ′(t )+1γηγ∥u ∥γγσ1,(4.5)其中正常数η将在之后给出.接下来,对K (t )直接求导得到K ′(t )=2∫Ωuu t d x,K ′′(t )=2dd t ∫Ωuu t d x,且令y (t ):=H 1−ξ+γ2γ(t )+ε4∫Ωuu t d x,其中正常数ε4将在之后给出.由p >γ知,我们可取正常数ξ满足γ(p −γ)p 2<ξ<p −γp<1.(4.6)且对y (t )直接求导,并利用(4.5)式,我们有y ′(t )=1−ξ+γ2γH 1−ξ−γ2γH ′(t )+12K ′′(t )ε4=1−ξ+γ2γH 1−ξ−γ2γH ′(t )+ε4∥u t ∥22−ε4∥∇u ∥22+ε4∫Ω|u |p log |u |d x −ε4σ(∥∇u ∥22)∫Ωu |u t |γ−2u t d x,≥[1−ξ+γ2γH 1−ξ−γ2γ(t )−ε4γ−1γηγ−1γ]H ′(t )+ε4∥u t ∥22−ε4∥∇u ∥22+ε4∫Ω|u |plog |u |d x −ε4ηγγσ1∥u ∥γγ.进一步,引入0<a <1,并将上式改写为y ′(t )≥[1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γH −1+ξ+γ2γ(t )]H 1−ξ−γ2γ(t )H ′(t )+ε4p (1−a )H (t )+ε4p (1−a )+22∥u t ∥22+ε4p (1−a )−22∥∇u ∥22+aε4∫Ω|u |plog |u |d x +(1−a )p ∥u ∥p p −ε41γηγH −ξ(t )H ξ(t )σ1∥u ∥γγ.(4.7)第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程521现在,我们断言∫Ω|u |plog |u |d x >0.事实上,由能量函数E (t )的定义和单调性,我们有1p ∫Ω|u |p log |u |d x =12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22+1p2∥u ∥pp −E (t )≥12∥u t ∥22+12∥∇u ∥22+1p2∥u ∥p p −E (0)≥0,(4.8)且引理4.1的条件成立.下面,我们估计(4.7)式右端最后一项.由引理4.1可得∥u ∥γγ≤C 2[(∫Ω|u |plog |u |d x )γp +∥∇u ∥2γp 2],并结合(4.2)和Young 不等式,我们导出H ξ(t )∥u ∥γγ≤(1p ∫Ω|u |plog |u |d x )ξ∥u ∥γγ≤C 3[(∫Ω|u |p log |u |d x )γp +ξ+(∫Ω|u |plog |u |d x )ξ∥∇u ∥2γp2]≤C 4[(∫Ω|u |p log |u |d x )γp +ξ+∥∇u ∥22+(∫Ω|u |p log |u |d x )ξpp −γ].(4.9)由(4.6),知γp<γ+pξp≤1,γp <ξp p −γ≤1,且利用(4.9)可得H ξ(t )∥u ∥γγ≤C 5(∫Ω|u |plog |u |d x +∥∇u ∥22).将上式代入到(4.7)并整理得到y ′(t )≥[1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γH −1+ξ+γ2γ(t )]H 1−ξ−γ2γ(t )H ′(t )+ε4p (1−a )H (t )+ε4p (1−a )+22∥u t ∥22+ε4(p (1−a )−22−1γηγH −ξ(t )σ1C 5)∥∇u ∥22+ε4(a −1γηγH −ξ(t )σ1C 5)∫Ω|u |plog |u |d x +ε4(1−a )p ∥u ∥p p .(4.10)此外,应用(2.5),(4.3),H (t )的定义和嵌入不等式,我们得到H (t )=−12∥u t ∥22−12∥∇u ∥22+1p ∫Ω|u |p log |u |d x −1p2∥u ∥p p≤1p 1δ∥u ∥p +δp +δ≤1p 1δB p +δδ∥∇u ∥p +δ2≤1p 1δB p +δδC p +δ21.且上式与(4.2)和(4.10)结合,我们导出y ′(t )≥ 1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γ(1p 1δB p +δδC p +δ21)−1+ξ+γ2γ H 1−ξ−γ2γ(t )H ′(t )+ε4p (1−a )H (t )+ε4p (1−a )+22∥u t ∥22+ε4(p (1−a )−22−1γηγH −ξ(0)σ1C 5)∥∇u ∥22+ε4(a −1γηγH −ξ(0)σ1C 5)∫Ω|u |plog |u |d x +ε4(1−a )p ∥u ∥p p .(4.11)可选取充分小的正数a 使得p (1−a )−22>0,并可选取η充分小,使得p (1−a )−22−1γηγH −ξ(0)σ1C 5>0,且a −1γηγH −ξ(0)σ1C 5>0.固定η和a 之后,我们现在可选取充分小的ε4使得1−ξ+γ2γ−ε4γ−1γη−γ−1γ(1p 1δB p +δδC p +δ21)−1+ξ+γ2γ>0,522应用数学2022(−E(0))1−ξ+γ2γ−C2ε4C1−12ε4C0≥0,(4.12)且H1−ξ+γ2γ(0)+ε4∫Ωu0u1d x>0.于是,由(4.11)知,存在正常数C6使得y′(t)≥C6[H(t)+∥u t∥22+∥∇u∥22+∥u∥p p]≥0,(4.13)且知y(t)在(0,T max)上单调递增且满足y(t)=H1−ξ+γ2γ(t)+ε4K′(t)≥H 1−ξ+γ2γ(0)+ε4K′(0)>0.再由(4.6)及p>γ知,0<ξ<1且令r:=γ1−ξ+γ2,则根据不等式:|a+b|r≤2r−1(|a|r+|b|r),r≥1,以及Young不等式,我们得到y r(t)≤2r−1(H(t)+ε4∥u(t)∥r2∥u t(t)∥r2)≤C7(H(t)+∥u(t)∥11−ξγ2+∥u t(t)∥22).(4.14)进一步,我们估计(4.14)右端第二项.由(4.6)知,1−ξ>γp,且应用如下不等式:xτ≤(1+1m)(m+x),x≥0,0≤τ≤1,m>0,并取x=∥u(t)∥p2,τ=γ(1−ξ)p<1,m=H(0),得到∥u(t)∥γ1−ξ2≤(1+1H(0))(H(0)+∥u(t)∥p2)≤C8(H(t)+∥u(t)∥pp).(4.15)将(4.15)代入到(4.14)中,我们有y r(t)≤C9(H(t)+∥u(t)∥pp+∥u t(t)∥22),由上式与(4.13),我们得到y′(t)≥C10y r(t),∀0≤t≤T1.(4.16)且对上式关于时间变量从0到t积分,我们有y(t)≥(y(0)1−r−C10(r−1)t)−1r−1,0≤t≤T1.我们可取T1≥T∗=y(0)1−rC10(r−1),且由r:=γ1−ξ+γ2>1和y(0)>0知,在[0,T1]上存在有限时刻T2≤T∗使得y(t)满足limt→T−2y(t)→+∞.(4.17)但是,我们断言:存在正常数使得C11≤y(t)≤C12,∀0≤t≤T1.(4.18)事实上,由(4.3),(4.4),Poincare不等式,H¨o lder不等式和Young不等式和嵌入不等式,我们导出y(t)=H1−ξ+γ2γ(t)+ε4∫Ωuu t d x=(∫tσ(∥∇u∥22)∥uτ∥γγdτ−E(u(0)))1−ξ+γ2γ+ε4∫Ωuu t d x≤(∫tσ1∥uτ∥22dτ−E(u(0)))1−ξ+γ2γ+C2ε4∥∇u∥22+12ε4∥u t∥22≤C11,且y(t)≥(∫tb∥uτ∥γγdτ−E(u(0)))1−ξ+γ2γ−C2ε4∥∇u∥22−12ε4∥u t∥22,≥(−E(0))1−ξ+γ2γ−12ε4C0−C2ε4C1≥C12>0,其中最后一式由(4.12)得到.显然,(4.17)与(4.18)产生矛盾且我们知T max<+∞.定理4.1证毕.参考文献:[1]LANGE H,PERLA M G.Rates of decay of a nonlocal beam equation[J].Diﬀer.Integral Equ.,1997,10(6):1075-1092.第3期杨怡等:一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程523[2]GEORGIEV V,TODOROVA G.Existence of solutions of the wave equation with nonlinear dampingand source terms[J].J.Diﬀerential Equations,1994,109:295-308.[3]MESSAOUD S A.Blow up in a nonlinearly damped wave equation[J].Math.Nachr.,2001,231:105-111.[4]JORGE SILVA M A,NARCISO V.Long-time dynamics for a class of extensible beams with nonlocalnonlinear damping[J].Evol.Equ.Control Theory,2017,6(3):437-470.[5]ZHANG H W,LI D H,HU Q Y.Asymptotic stability and blow-up for the wave equation withdegenerate nonlocal nonlinear damping and source terms[J/OL].Appl.Anal.,2020[2021-06-01].DOI:10.1080/00036811.2020.1836354.[6]CAZENAVE T,HARAUX A.´Equations d’´e volution avec non-lin´e arit´e logarithmiqu[J].Ann.Fac.Sci.Toulouse Math.,1980,2(1):21-51.[7]ZHANG H W,LIU G W,HU Q Y.Exponential decay of energy for a logarithmic wave equation[J].J.Partial Diﬀ.Equ.,2015,28(3):269-277.[8]MA L W,FANG Z B.Energy decay estimates and inﬁnite blow-up phenomena for a strongly dampedsemilinear wave equation with logarithmic nonlinear source[J].Math.Method App.Sci.,2018,41(7): 2639-2653.[9]DI H F,SHANG Z F,SONG Z F.Initial boundary value problem for a class of strongly dampedsemilinear wave equations with logarithmic nonlinearity[J].Nonlinear Anal.Real World Appl.,2020, 51:102968.[10]LIAN W,XU R Z.Global well-posedness of nonlinear wave equation with weak and strong damp-ingterms and logarithmic source term[J].Nonlinear Anal.,2020,9:613-632.[11]KAFINI M,MESSAOUDI S.Local existence and blow up of solutions to a logarithmic nonlinearwave equation with delay[J].Appl.Anal.,2020,99(3):530-547.[12]LIU L,WANG M.Global existence and blow-up of solutions for some hyperbolic systems withdamping and source terms[J].Nonlinear Anal.,2006,64(1):69-91.[13]MESSAOUDI S A.Blow up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation[J].Math.Nachr.,2003,260:58-66.[14]LIONS J L.Quelques Méthodes de R´e solution des Probl´e mes aux Limites Non Lin´eéairess[M].Paris:Dunod,1969.[15]SEGAL I.Nonlinear semigroups[J].Ann.Math.,1963,78:339-364.On a Semilinear Wave Equation with Kirchhoﬀ-type Weak Damping Terms and Logarithmic NonlinearityYANG Yi,FANG Zhongbo(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao266100,China) Abstract:Under homogeneous Dirichlet conditions,the well-posedness and qualitative propertiesfor a semilinear wave equation with Kirchhoﬀ-type weak damping terms and logarithmic nonlinearity were considered.By improving the well-posedness for regular solution and density argument,a local existence of weak solutions was proved.Meanwhile,based on modiﬁed energy technique and contradiction argument, a global existence with p<γand theﬁnite time blow-up with p>γwere also established.Key words:Semilinear wave equation;Kirchhoﬀ-type weak damping;Logarithmic nonlinearity; Global existence;Blow-up。

紧束缚近似公式(一)

紧束缚近似公式(一)紧束缚近似公式紧束缚近似（Tight Binding Approximation）是一种描述电子在固体晶格中行为的数学方法。

在紧束缚近似中，电子波函数被表示为原子轨道的线性组合，通过求解薛定谔方程来得到能级结构和电子态密度等信息。

Bloch定理Bloch定理表明在理想晶体中，电子波函数可以表示为平面波和某个周期函数的乘积形式。

根据Bloch定理，电子波函数可以用下式表示：Ψk(r)=e ik⋅r u k(r)其中，e ik⋅r是平面波，u k(r)是周期函数。

紧束缚近似基本公式紧束缚近似基本公式是在Bloch定理的基础上，进一步假设电子波函数由最近邻原子的原子轨道线性组合构成。

根据紧束缚近似，电子在晶体中的波函数可以用下式表示：e ik⋅R n u n(r−R n)Ψk(r)=∑c nn其中，R n是最近邻原子的位置矢量，u n(r−R n)是最近邻原子的原子轨道。

紧束缚近似能带关系根据紧束缚近似基本公式，可以得到能带关系，即能量与波矢之间的关系。

能带关系可以用下式表示：E k=∑c n∗c n e ik⋅(R n−R m)ϵnmn其中，E k是能量，c n∗和c n是电子的系数，e ik⋅(R n−R m)是相位因子，ϵnm是最近邻原子间的相互作用能。

紧束缚近似的应用举例紧束缚近似在描述材料的能带结构和电子态密度等方面有广泛的应用。

以下是一些应用举例：1.能带计算：通过紧束缚近似，可以计算材料的能带结构，进而分析材料的导电性、绝缘性等特性。

2.电子态密度计算：紧束缚近似可以用于计算材料的电子态密度，这对于研究材料的化学反应等方面非常重要。

3.值得注意的是，紧束缚近似也有其局限性，适用于描述弱相互作用体系，如共价键、金属键等。

对于强相互作用系统，如强关联电子体系，紧束缚近似可能不适用。

总之，紧束缚近似是一种重要的描述电子在晶体中行为的方法，在材料科学和凝聚态物理等领域有着广泛的应用。

基于冻结系数法的唯一稳态消谐法及其在铁磁谐振中的应用

磁谐振的模型 … 。
采用的方法有如下几种。第一是实验研究 “ ，即
通过大量的实验数据得到各种经验结论。第二是进
行数值模拟和仿真
第三是理论研究
，通过建立模型，大范围内在
，对这种谐振建立相应的数即
第２卷第４期
２０１０年７月
南阳理工学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＡＮＹＡＮＧＩＴＩＮＳＴＵＴＥＯＦＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｖｏ．．１２ＮＯ４
Ｊ１２０ｕ．０１
文章编号：６４—５３２１０１７１２（００）４—０００６—０３
衡法、面相图法、频பைடு நூலகம்法、述函数法平幅描、
图１铁磁谐振等效电路
非线性动态系统理论 ’ 。但由于该问题数学上等的复杂性，目前采用的都是各种近似的方法，到的得
结论和实验数据往往有一定的差距。因此，出和提
力系统造成很大的危害。围绕这种谐振的机理及消
除方法，内外进行了广泛的研究国。从方法上看，目前对这种铁磁谐振问题所主要
１等效电路及其数学模型
以图１示的电路作为中性点接地电力系统铁所
摘要：一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的方法。该方法的基本思想是：果非线性系统存唯如

超导体的基本理论

16
能斯特效应探测到了超导转变温度以上温区一定范围内存在磁通涡旋激发，支持了高温超导体赝能隙态中存在有限的超导序参量振幅和强烈的相位涨落图。由于高温超导铜氧化物的超导能隙和赝能隙都是各向异性的，而且被证实具有d波对称，人们很自然地将赝能隙产生的原因和超导能隙联系起来。
阿布里科索夫利用G-L理论计算了S波超导体的磁通晶格，发现在上临界磁场附件磁通晶格应该是一种三角点阵。
1 i eA 2 其中 A(r) B(r)
2m
B(r)是超导体内部的磁场
gs (H ) gn (0)
2
2
4 1 2m
i
eA 2 B2
20
BH
10
如何得到GL方程？
将 gs (H ) 分别对和A求极值，由常规的变分可得：
gs (H ) 0
1 (i eA)2 2 0 GL-I
gs 是超导态的Gibbs自由能密度。
对于第三点假设， GL假定：
(T ) (Tc ) c
(T
)
(T
Tc
)( d
dT
)T Tc
9
如何得到GL方程？
当超导体置于磁场中时，能量将发生变化：
1）磁场能密度 B2 20 B H
2）磁场将导致在空间的不均匀性，所以要附加一项与的梯度有关系的额外能。从量子力学知道梯度项将贡献于电子的动能密度。为了保持规范不变，GL假设额外的能量密度项是
赝能隙现象： •正常相中出现的类似于超导能隙的现象 •超导电子配对好像在相变之前就存在，但没有形成宏观相干
17
缺陷密度的分布导致电子运动的平均自由程在空间有涨落，因此能够影响到潮流子的动能项，从而起到钉扎作用。 ✓表面势垒和几何势垒

带有线性记忆的波方程在Rn上的时间依赖吸引子

应用数学MATHEMATICA APPLICATA 2021,34(1):73-85带有线性记忆的波方程在R n 上的时间依赖吸引子吴晓霞,马巧珍(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070)摘要：本文基于Conti M,Di Plinio F 等人提出的关于时间依赖全局吸引子的概念,研究了无界域上带有线性记忆的波方程解的长时间行为.利用尾部估计和压缩函数的方法证明了过程的渐近紧性,进而获得了H 1(R n )×L 2(R n )×L 2µ(R +;H 1(R n))上时间依赖吸引子的存在性.关键词：波方程;线性记忆;压缩函数;无界域;时间依赖吸引子中图分类号：O175.29AMS(2000)主题分类：60H15;35Q35;35B40文献标识码：A 文章编号：1001-9847(2021)01-073-131.引言我们考虑如下带有线性记忆的波方程{ε(t )u tt +αu t +λu −∫∞0µ(s )∆ηt (s )d s −∆u +f (u )=h (x ),x ∈R n ,t ≥τ,u (x,t )=u 0(x,t ),x ∈R n ,t ≤τ,(1.1)时间依赖吸引子的存在性,其中u (x,t )是未知函数,h (·)∈L 2(R n ).η=ηt (x,s ):=u (x,t )−u (x,t −s ),s ∈R +,ε(t )和f (u )分别满足下面的条件:(F 1)ε是单调递减的并满足:lim t →+∞ε(t )=0,(1.2)特别地,存在L >0使得sup t ∈R[|ε(t )|+|ε′(t )|]≤L.(1.3)(F 2)非线性项f ∈C 1(R ),f (0)=0并满足|f ′(s )|≤c 0(1+|s |p ),∀s ∈R ,(1.4)lim inf |s |→∞f (s )s>−λ,λ>0,∀s ∈R ,(1.5)其中,当n =1,2时,0≤p <∞;当n ≥3时,0≤p (n −2)≤2.如文[1-3],对ηt (x,s )=u (x,t )−u (x,t −s )两边分别关于t 和s 求导,计算后可将(1.1)化为下面的系统:{ε(t )u tt +αu t +λu −∫∞0µ(s )∆ηt (s )d s −∆u +f (u )=h (x ),ηt t =−ηts +u t ,(1.6)∗收稿日期：2019-12-31基金项目：国家自然科学基金项目(11961059,11761062)作者简介：吴晓霞,女,汉族,甘肃人,研究方向：无穷维动力系统.74应用数学2021相应的初始条件为u (x,τ)=u 0(x ),x ∈R n ,u t (x,τ)=u 1(x ),x ∈R n ,ητ(x,s )=η0(x,s ),(x,s )∈R n ×R +,(1.7)其中{u 0(x )=u 0(x,τ),u 1(x )=∂t u 0(x,t )|t =τ,ητ(x,s )=u 0(x,τ)−u 0(x,τ−s ).(1.8)记忆核µ(·)满足以下条件:µ∈C 1(R +)∩L 1(R +),∫∞µ(s )d s =m 0<∞,µ(s )≥0,µ′(s )≤0,∀s ∈R +,(1.9)µ′(s )≤−ρµ(s )≤0,∀s ∈R +,(1.10)其中ρ是正常数.方程(1.1)可以用来描述具有衰减记忆的粘弹性固体,其中耗散性由固体周围的介质,混合材料,相场以及波现象所体现,见文[4-6].µ恒等于零时,方程(1.1)为阻尼波方程,这类问题已经被许多作者研究过.例如,当ε为常数时,文[7-12]在半群的框架下,利用全局吸引子的概念研究了解的长时间行为.而当ε依赖于时间且为正递减函数时,我们知道即使外力项不依赖于时间,系统(1.1)仍然为非自治的,其吸引子仍在非自治的框架下理解,见文[13-18].作者在文[19-20]中研究了有界域上带有非线性阻尼和线性记忆的波方程时间依赖吸引子的存在性,文[21-23]考虑了无界域上波方程解的长时间行为.无界域上plate 方程时间依赖吸引子的存在性在文[24]中被研究.然而,时间依赖全空间R n 上带有线性记忆的波方程时间依赖吸引子的存在性目前还没有任何结果,因此我们在本文研究这一问题解的长时间行为.2.准备知识不失一般性,记H =L 2(R n ),内积和范数分别为⟨·,·⟩和∥·∥.对于s ∈R +,记H s =H s (R n )=D (A s 2),并赋予以下内积和范数:⟨w,v ⟩s =⟨A s 2w,A s 2v ⟩,∥w ∥s =∥A s2w ∥.设L 2µ(R +;H s )是函数φ:R +→H s的Hilbert 空间族,相应的内积和范数分别为⟨φ1,φ2⟩µ,s =⟨φ1,φ2⟩µ,H s =∫∞0µ(s )⟨φ1(s ),φ2(s )⟩H s d s,∥φ∥2µ,s =∥φ∥2µ,H s =∫∞µ(s )∥φ(s )∥2s d s.特别地,⟨φ1,φ2⟩µ,1=⟨φ1,φ2⟩L 2µ(R +,H 1)=∫∞µ(s )⟨φ1(s ),φ2(s )⟩d s +∫∞µ(s )⟨∇φ1(s ),∇φ2(s )⟩d s,对应的范数为:∥φ∥2µ,1=∥φ∥2L 2µ(R +,H 1)=∥φ∥2µ,0+∥∇φ∥2µ,0,其中∥φ∥2µ,0=∥φ∥2µ,L 2.对于t ∈R ,s ∈R +,有下面的时间依赖空间H s t =H s +1×H s ×L 2µ(R +;Hs +1).对应的范数为:∥z ∥2H s t =∥(u,u t ,ηt )∥2H s t=∥u ∥2s +1+ε(t )∥u t ∥2s +∥ηt ∥2µ,s +1.当s =0时,记时间依赖空间为:H t =H 1×H ×L 2µ(R +;H 1),对应的范数为:∥z ∥2H t =∥(u,u t ,ηt )∥2H t =∥∇u ∥2+∥u ∥2+ε(t )∥u t ∥2+∥ηt ∥2µ,0+∥∇ηt ∥2µ,0.对∀t ∈R ,设X t 是一族赋范线性空间,下面介绍X t 的R -球:B (R )={z ∈X t :∥z ∥X t ≤R }.第1期吴晓霞等：带有线性记忆的波方程在R n 上的时间依赖吸引子75两集合(非空)B,C ⊂X t 的Hausdorﬀ半距离表示为:δt (B,C )=sup x ∈Bdist X t (x,C )=sup x ∈B inf y ∈C∥x −y ∥X t .对于任意给定ϵ>0,集合B ⊂X t 的ϵ-领域定义为O ϵt (B )=∪x ∈B{y ∈X t |∥y −x ∥X t <ϵ}=∪x ∈B{x +B t (ϵ)}.下面给出基本概念和抽象结果,详见文[13,18,24].定义2.1设{X t }t ∈R 是一族赋范线性空间.称双参数算子族{U (t,τ):X τ→X t ,t ≥τ,τ∈R }是一过程,如果它满足:i)U (τ,τ)=Id 是X τ上的恒等映射,∀τ∈R ;ii)U (t,s )U (s,τ)=U (t,τ),∀t ≥s ≥τ.定义2.2设有界集C t ⊂X t ,我们说集合族C ={C t }t ∈R 是一致有界的,如果存在常数R >0,使得C t ⊂B t (R ),∀t ∈R .定义2.3一致有界集族B ={B t }t ∈R 是过程U (t,τ)的时间依赖吸收集,如果对任意的R >0,存在常数t 0,使得τ≤t −t 0⇒U (t,τ)B τ(R )⊂B t .定义2.4一致有界族K ={K t }t ∈R 是拉回吸引的,若对所有ϵ>0,族{O ϵt (K t )}t ∈R 是拉回吸收的.定义2.5过程U (t,τ)的时间依赖吸引子是满足以下性质的最小的族U ={A t }t ∈R :i)任意的A t 在X t 中是紧的;ii)U 是拉回吸引的,即对任意一致有界族C ={C t }t ∈R ,成立:lim τ→−∞δt (U (t,τ)C τ,A t )=0.定理2.6[24]设{X t }t ∈R 为一族Banach 空间且C ={C t }t ∈R 为{X t }t ∈R 中的一致有界子集族.称定义在{X t }t ∈R ×{X t }t ∈R 上的函数,Φt T (·,·)为C t ×C t 上的渐近压缩函数是指:对任意t ∈R 与任意序列{X n }∞n =1⊂C t ,存在一个子序列{X n k }∞k =1⊂{X n }∞n =1,使得:Φt T (x n k ,x n l )≤ϵ+ΨtT (x n k ,x n l ),lim k →∞lim l →∞Ψt T (x n k ,x n l )=0,τ≤t,其中τ≤t.我们用C (C t )表示{C t }t ∈R ×{C t }t ∈R 上的渐近压缩函数全体.定理2.7[24]设U (·,·)为{X t }t ∈R 中的一族过程且对任意ϵ>0,存在τ<T (ϵ)≤t,Φt T ∈C (C T ),使得对任意固定t ∈R ,∥U (t,T )x −U (t,T )y ∥X t ≤ϵ+Φt T (x,y ),∀x,y ∈C T ,则U (·,·)是渐近压缩过程.定理2.8[24]若过程U (·,·)是渐近压缩的,则它是拉回渐近紧的.定理2.9[24]设U (·,·)是Banach 空间族{X t }t ∈R 中的过程,则{X t }t ∈R 中U (·,·)有一个时间依赖全局吸引子U ∗={A ∗t }t ∈R 如果它满足下面的条件:i)U (·,·)有拉回吸收族B ={B t }t ∈R ;ii)U (·,·)是B t 上的拉回渐近压缩过程.引理2.10[3]令F (u )=∫u0f (y )d y.根据(1.7),取0<ν=min {1,λ},则存在ϱ(ν)>0,c i (ν)>0(i =1,2),使得2⟨F (u ),1⟩≥−ν∥u ∥2−c 1,(2.1)⟨f (u ),u ⟩+ν2∥∇u ∥2≥ϱ(ν)∥u ∥2−c 2.(2.2)引理2.11[3]设ψ,r 1,r 2是非负局部可积函数,对δ>0,满足下面的微分不等式:d d tψ2(t )+δψ2(t )≤r 1(t )+r 2(t )ψ(t ),t ∈[τ,+∞),76应用数学2021同时设定m2=supr≥τ∫r+1rr2(y)d y<∞,则ψ2(t)≤2ψ2(τ)e−δ(t−τ)+2∫tτe−δ(t−y)r1(y)d y+eδm22(1−e−δ/2)2,∀t∈[τ,+∞).3.适定性和时间依赖吸收集定理3.1[25−26]设(1.2)-(1.5)成立,则对任意初值zτ=(u0,u1,η0)∈Hτ,在H t中存在问题(1.1)的唯一解z(t)=(u(t),u t(t),ηt(s)),且对任意τ∈R,t≥τ,满足u∈C([τ,t];H1),u t∈C([τ,t];H),ηt∈C([τ,t];L2µ(R+;H1)).此外,设z i(τ)∈Hτ是满足∥z i(τ)∥Hτ≤R(i=1,2)的两个初值,且z i(t)是(1.1)的解.则存在在C=C(R)>0,使得∥z1(t)−z2(t)∥H t≤e C(t−τ)∥z1(τ)−z2(τ)∥Hτ,∀t≥τ.因此,系统(1.6)-(1.7)生成一个强连续过程U(t,τ),其中U(t,τ):Hτ→H t,即U(t,τ)z(τ)= {u(t),u t(t),ηt(s)}.引理3.2假设(1.2)-(1.5)成立,当初值z(τ)∈Hτ,存在C>0,使得∥U(t,τ)z(τ)∥H t≤C,∀τ≤t.(3.1)证设δ>0,取j=0,1定义E j(t)=ε(t)∥v∥2+∥∇u∥2+λ∥u∥2+Λ+j∫∞0µ(s)∥ηt(s)∥2d s+∫∞µ(s)∥∇ηt(s)∥2d s+2⟨F(u),1⟩.选取足够大的常数Λ>0,使得对任意t,E j(t)≥0.此外,定义I j(t)=ε(t)∥v∥2+∥∇u∥2+λ∥u∥2+j∫∞0µ(s)∥ηt(s)∥2d s+∫∞µ(s)∥∇ηt(s)∥2d s.利用(2.1),Young不等式和H¨o lder不等式,取δ足够小,让Λ足够大,则存在一个正常数C1(依赖于δ)使得对任意t,E j(t)≥C1I j(t).(3.2)用v=u t+δu与(1.6)在L2(R n)中做内积,得到1 2dd t(ε(t)∥v∥2+∥∇u∥2+λ∥u∥2)+[α−δε(t)−12ε′(t)]∥v∥2+δ∥∇u∥2+δλ∥u∥2−(αδ−δ2ε(t))⟨u,v⟩=−∫∞0µ(s)⟨∇ηt(s),∇u t⟩d s−δ∫∞µ(s)⟨∇ηt(s),∇u⟩d s−⟨f,u t+δu⟩+⟨h,u t+δu⟩.(3.3)先用jηt与(1.6)2在L2µ(R+,H)上做内积,再用ηt与(1.6)2在L2µ(R+,H1)上做内积后相加得到1 2dd t(j∫∞µ(s)∥ηt(s)∥2d s+∫∞µ(s)∥∇ηt(s)∥2d s)=−j∫∞0µ(s)⟨ηts(s),ηt(s)⟩d s−∫∞µ(s)⟨∇ηts(s),∇ηt(s)⟩d s+j∫∞0µ(s)⟨u t,ηt(s)⟩d s+∫∞µ(s)⟨∇u t(s),∇ηt(s)⟩d s.(3.4)第1期吴晓霞等：带有线性记忆的波方程在R n 上的时间依赖吸引子77根据(1.10)有−∫∞0µ(s )⟨ηts (s ),ηt (s )⟩d s≤−ρ2∫∞µ(s )∥ηt (s )∥2d s,−∫∞0µ(s )⟨∇ηts (s ),∇ηt (s )⟩d s ≤−ρ2∫∞0µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s.(3.5)由(1.2)且将(3.3)和(3.4)加起来,并利用(3.5)有dd t E j +2[α−δε(t )]∥v ∥2+2δ∥∇u ∥2+2δλ∥u ∥2−2(αδ−δ2ε(t ))⟨u,v ⟩+jρ∫∞µ(s )∥ηt (s )∥2d s +ρ∫∞0µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s ≤2j ∫∞0µ(s )⟨u t ,ηt (s )⟩d s −2δ∫∞0µ(s )⟨∇ηt (s ),∇u ⟩d s−2δ⟨f,u ⟩+2⟨h,u t +δu ⟩.(3.6)根据Young 不等式,(1.9)和(3.2)则有2j ∫∞0µ(s )⟨u t ,ηt (s )⟩d s ≤2jm 0ρ∥u t ∥2+jρ2∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s ≤jC 2E 0+jρ2∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s,(3.7)其中C 2=2m 0/ρC 1且−2δ∫∞0µ(s )⟨∇ηt (s ),∇u ⟩d s ≤δ2∥∇u ∥2+2δm 0∫∞µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s.(3.8)利用(2.2),有2δ⟨f,u ⟩≥2δϱ(ν)∥u ∥2−δν∥∇u ∥2+C 3,(3.9)其中C 3=2δc 1.2⟨h,u t +δu ⟩≤2(1+δ)∥h ∥I 1/2j≤C 4∥h ∥E 1/2j ,(3.10)其中C 4=2(1+δ)/√C 1.结合(3.7)-(3.10)式,由(3.6)式有dd t E j +[α2−δε(t )]∥v ∥2+δ∥∇u ∥2+[2δλ−δ2α+2δϱ(1/2)]∥u ∥2+jρ2∫∞µ(s )∥ηt (s )∥2d s +(ρ−2δm 0)∫∞µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s +α2∥v ∥2≤jC 2E 0+C 3+C 4∥h ∥E 1/2j .(3.11)选取0<δ<min {α4L ,λ+2ϱ(1/2)α,ρ2m 0+1},C 5=C 3+δΛ,得d d tE j +δE j ≤jC 2E 0+C 5+C 4∥h ∥E 1/2j .(3.12)现在设j =0,1,利用引理2.11,得E 0(t )≤2E 0(τ)e −δ(t −τ)+M (∥h ∥),(3.13)E 1(t )≤2E 1(τ)e −δ(t −τ)+M (∥h ∥)+2C 2∫tτe −δ(t −y )E 0(y )d y,(3.14)其中M :R +→R +是依赖于C 4,C 5,δ的递增函数.结合(3.12)有2C 2∫tτe −δ(t −y )E 0(y )d y ≤ψ(t −τ)E 0(τ)+2C 2M (∥h ∥)δ,(3.15)其中ψ(y )=4C 2y e −δy (当y →∞,ψ(y )→0).由于E 0(τ)≤E 1(τ),从(3.14)-(3.15)得到E 1(t )≤(2e −δ(t −τ)+ψ(t −τ))E 1(τ)+(1+2C 2δ)M (∥h ∥).(3.16)因此,根据Young 不等式及嵌入H 1 →L 4(R n ),存在正常数C 6,使得E 1(τ)≤C 6(1+∥z (τ)∥4H τ),(3.17)78应用数学2021从而,对z (τ)∈H τ,存在C >0以及两个有界递增函数C 1i :R +→R +,i =1,2,以及(3.16)中的函数ψ,根据(3.16)和(3.17)可得∥U (t,τ)z (τ)∥H t ≤C 11∥z (τ)∥H t ψ(t −τ)+C 12(∥h ∥)≤C,∀τ≤t.从引理3.2,我们可以得下面的结果:引理3.3设条件(1.2)-(1.5)成立,对于引理3.2中的C >0,B ={B t (C )}为问题(1.1)生成过程{U (t,τ)}的时间依赖吸收集,且对R ≥C,有sup z ∈B τ(C ){∥U (t,τ)z (τ)∥H t +∫∞τ∥v (y )∥2d y }≤R,∀t ∈R .(3.18)证结合(3.11),且δ=0,得到d d t E (t )+12∥v ∥2≤0,在[τ,t ]上积分,当t →∞时,(3.18)就得到了证明.对于非线性项f ,为了得到无界域上过程的渐近紧性,我们还需要下面的条件:f ′(u )≤l,∀u ∈R ,(3.19)其中l >0.4.尾部估计引理4.1设条件(1.2)-(1.5)成立,则对任意的ϵ>0,存在T 1=T 1(ϵ),使得当t ≥T 1且k =k (ϵ)>0,成立∫Ωc k(ε(t )|v |2+|∇u |2+|u |2+|ηt |2µ,0+|∇ηt |2µ,0)d x ≤Cϵ,∀t ≥T 1,k ≥K (ϵ),其中Ωck={x ∈R n ;|x |≥k },C 是正常数,v =u t +δu.证选择合适的光滑函数θ,使得对任意的s ∈R +,有0 θ(s ) 1.具体地,当0 s 1时,有θ(s )=0;当s 2时,有θ(s )=1,且存在一正常数 C0,使得max {|θ′(s )|,θ′′(s )|} C 0.用θ(|x |2k 2)v 与方程(1.6)在L 2(R n )中作内积,可得d d t ∫R n θ(|x |2k 2)(ε(t )|v |2+λ|u |2+|∇u |2)d x +(2(α−δε(t ))−ε′(t ))∫R nθ(|x |2k 2)|v |2d x −2δ(α−δε(t ))∫R n θ(|x |2k 2)u ·v d x +2δ∫R n θ(|x |2k 2)|∇u |2d x +2δλ∫R nε(t )θ(|x |2k 2)|u |2d x =−2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )∇ηt(s )·∇u t (s )d s d x −2δ∫R n θ(|x |2k 2)∫∞µ(s )∇ηt (s )·∇u (s )d s d x−2∫R n θ(|x |2k 2)f ·v d x +2∫R n θ(|x |2k 2)h (x )v d x.(4.1)先给(1.6)2乘以θ(|x |2k 2)并在R n 上做积分,然后用ηt 与(1.6)2在L 2µ(R +,H )上做内积,最后用ηt 与(1.6)2在L 2µ(R +,H 1)上做内积,记算后相加得d d t ∫R n θ(|x |2k 2)(∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s +∫∞0µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s )d x =−2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )⟨ηt s (s ),ηt (s )⟩d s d x −2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )⟨∇ηts (s ),∇ηt (s )⟩d s d x +2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )⟨u t ,ηt (s )⟩d s d x +2∫R nθ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )⟨∇u t (s ),∇ηt (s )⟩d s d x.(4.2)第1期吴晓霞等：带有线性记忆的波方程在R n 上的时间依赖吸引子79根据(1.10)有−∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )⟨ηts (s ),ηt (s )⟩d s d x ≤−ρ2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞µ(s )∥ηt (s )∥2d s d x,−∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )⟨∇ηts (s ),∇ηt (s )⟩d s d x ≤−ρ2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s d x.(4.3)将(4.1)和(4.2)加起来,并利用(4.3)有d d t ∫R n θ(|x |2k 2)(ε(t )|v |2+λ|u |2+|∇u |2+∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s +∫∞0µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s )d x +(2(α−δε(t ))−ε′(t ))∫R n θ(|x |2k 2)|v |2d x −2δ(α−δε(t ))∫R n θ(|x |2k 2)u ·v d x +2δ∫R n θ(|x |2k 2)|∇u |2d x +2δλ∫R nε(t )θ(|x |2k 2)|u |2d x ≤−ρ∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s d x −ρ∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s d x +2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )u t ηt (s )d s d x −2δ∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )∇ηt (s )∇u d s d x −2∫R n θ(|x |2k 2)f ·v d x +2∫R nθ(|x |2k 2)h (x )v d x.(4.4)根据Young 不等式,(1.9)和(3.2)则有2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞0µ(s )⟨u t ,ηt (s )⟩d s d x ≤2m 0ρ∫R n θ(|x |2k 2)∥u t ∥2d x +ρ2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞µ(s )∥ηt (s )∥2d s d x ≤2m 0ρ∫R n θ(|x |2k 2)∥v ∥2d x +ρ2∫R n θ(|x |2k 2)∫∞µ(s )∥ηt (s )∥2d s d x,(4.5)−2δ∫R n θ(|x |2k 2)∫∞µ(s )⟨∇u,∇ηt (s )⟩d s d x ≤δ2∫R n θ(|x |2k 2)∥∇u ∥2d x +2δm 0∫R n θ(|x |2k 2)∫∞µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s d x.(4.6)接下来,我们处理上述方程中的每一项,首先我们有|2δ(α−δε(t ))∫Rn θ(|x |2k 2)u ·v d x |≤2δα∫R n θ(|x |2k 2)|u |·|v |d x≤α2∫R n θ(|x |2k 2)|v |2d x +2δ2α∫R nθ(|x |2k 2)|u |2d x,(4.7)此外有2|∫Rn θ(|x |2k 2)f (u )v d x |≤2l ∫R n θ(|x |2k 2)|u |·|v |d x≤α4∫R n θ(|x |2k 2)|v |2d x +4l 2α∫R n θ(|x |2k2)|u |2d x,(4.8)2|∫R nθ(|x |2k 2)h (x )v d x |≤α4∫R n θ(|x |2k 2)|v |2d x +4α∫R n θ(|x |2k 2)|h |2d x.(4.9)结合上面的估计得到d d t [∫R n θ(|x |2k 2)(ε(t )|v |2+|∇u |2+λ|u |2+∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s +∫∞µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s )d x ]80应用数学2021+δ[∫R n θ(|x |2k 2)(ε(t )|v |2+|∇u |2+λ|u |2+∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s +∫∞0µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s )d x ]≤(4l 2α+2δ2α)∫R nθ(|x |2k 2)|u |2d x +4α∫R n θ(|x |2k 2)|h |2d x +2m 0ρ∫R n θ(|x |2k 2)|v |2d x.(4.10)设k 1(ϵ)>0,且∀0<ϵ<1,使得k ≥k 1(ϵ),则(4l 2α+2δ2α)∫R nθ(|x |2k 2)|u |2d x <ϵ,同理,设k 2(ϵ)>0,且∀0<ϵ<1,使得k ≥k 2(ϵ),则2m 0ρ∫R n θ(|x |2k2)|u |2d x <ϵ,此外,存在k 3(ϵ)>0,当k ≥k 3(ϵ),使得4α∫R n θ(|x |2k2)|h |2d x <ϵ,选取k 0=max {k 1(ϵ),k 2(ϵ),k 3(ϵ)},当k ≥k 0时,有d d t [∫R n θ(|x |2k 2)(ε(t )|v |2+|∇u |2+λ|u |2+∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s +∫∞0µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s )d x ]+δ[∫R n θ(|x |2k 2)(ε(t )|v |2+|∇u |2+λ|u |2+∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s +∫∞0µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s )d x ]≤3ϵ.在[τ,t ]上应用Growall 引理,并结合引理3.3,得到∫R nθ(|x |2k 2)(ε(t )|v |2+|∇u |2+λ|u |2+∫∞0µ(s )∥ηt (s )∥2d s +∫∞0µ(s )∥∇ηt (s )∥2d s )d x ≤e −δ(t −τ)∫Rn θ(|x |2k 2)(ε(t )|v τ|2+|∇u τ|2+λ|u τ|2+∫∞0µ(s )∥ητ(s )∥2d s+∫∞0µ(s )∥∇ητ(s )∥2d s )d x +3ϵδ,(4.11)对给定ϵ>0,设K =K (ϵ),存在T 1=T 1(ϵ),当t ≥T,且k ≥K (ϵ),有∫Rn θ(|x |2k 2)(ε(t )|v |2+|∇u |2+λ|u |2+|ηt |2µ,0+|∇ηt |2µ,0)d x ≤3ϵδ,则得到∫Ωc k θ(|x |2k 2)(ε(t )|v |2+|∇u |2+λ|u |2+|ηt |2µ,0+|∇ηt |2µ,0)d x ≤3ϵ σδ=Cϵ,其中 σ=min {1,λ}.证明完成.5.时间依赖全局吸引子的存在性定理5.1设条件(1.2)-(1.5)成立,问题(1.6)生成的过程U (t,τ):H τ→H t 在H 1(R n )×L 2(R n )×L 2µ(R +;H 1(R n))中存在一个不变的时间依赖全局吸引子U ={A t }t ∈R .接下来,我们利用渐近压缩函数方法得到系统(1.6)时间依赖吸引子的存在性.引理5.2设条件(1.2)-(1.5)成立,h ∈L 2(R n ),问题(1.6)的解(u n ,u n t ,ηtn (s ))对应的初值(u n 0,v n 0,ηn 0)∈B T .则对任意k >0及T (ϵ)>0,令Ωk ={x ∈R n:|x |<k },成立:在L ∞(T,t ;L 2(Ωk ))中,u n t →u t 弱∗收敛.在L ∞(T,t ;H 10(Ωk ))中,u n →u 弱∗收敛.在L 2(T,t ;H 10(Ωk ))中,u n (t )→u (t )强收敛.在L 2中,u n (T )→u (T )和u n (t )→u (t )强收敛.第1期吴晓霞等：带有线性记忆的波方程在R n 上的时间依赖吸引子81先验估计设(u i (t ),u i t (t ),ηt i (s ))为(1.6)的解,对应的初值为(u i 0,v i 0,ηi0)∈{B τ}τ∈R ,且w =u 1(t )−u 2(t ),ζt =ηt 1−ηt2,则ω(t )满足{ε(t )ωtt +αωt +λω−∫∞0µ(s )∆ζt (s )d s −∆ω+f (u 1)−f (u 2)=0,t >T,ω(x,T )=u 10(T )−u 20(T ),ωt (x,T )=v 10(T )−v 20(T ).(5.1)定义E ω(t )=12[ε(t )∥ωt ∥2+∥∇ω∥2+λ∥ω∥2+∥ζt ∥2µ,0+∥∇ζt ∥2µ,0].(5.2)用ωt 与(5.1)在L 2(R n)上作内积,有12d d t ε(t )∥ωt ∥2−12ε′(t )∥ωt ∥2+α∥ωt ∥2+12d d t ∥λω∥2+∫∞µ(s )⟨∇ζt (s ),∇ζtt (s )⟩d s +∫∞µ(s )⟨∇ζt (s ),∇ζts (s )⟩d s +12d d t ∥∇ω∥2+⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩=0.(5.3)用ζt 与w t =ζt t +ζt s 在L 2µ(R +,H )上做内积得到12d d t ∫∞0µ(s )∥ζt (s )∥2d s =∫∞0µ(s )⟨w t ,ζt (s )⟩d s −∫∞0µ(s )⟨ζt s (s ),ζt (s )⟩d s.(5.4)将(5.3)与(5.4)相加得d d t E ω(t )+(α−ε′(t )2)∥ωt ∥2+∫∞0µ(s )⟨∇ζt (s ),∇ζts (s )⟩d s −∫∞µ(s )⟨w t ,ζt (s )⟩d s +∫∞µ(s )⟨ζt (s ),ζts (s )⟩d s +⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩=0.(5.5)根据(1.10),则有−∫∞0µ(s )⟨ζts (s ),ζt (s )⟩d s ≤−ρ2∫∞µ(s )∥ζt (s )∥2d s,−∫∞0µ(s )⟨∇ζts (s ),∇ζt (s )⟩d s ≤−ρ2∫∞µ(s )∥∇ζt (s )∥2d s,(5.6)∫∞0µ(s )⟨w t ,ζt (s )⟩d s ≤m 02ρ∥w t ∥2+ρ2∫∞0µ(s )∥ζt (s )∥2d s.(5.7)结合(5,5)-(5.7)有d d t E ω(t )+(α−ε′(t )2)∥ωt ∥2+ρ2∫∞0µ(s )∥ζt (s )∥2d s +ρ2∫∞µ(s )∥∇ζt (s )∥2d s −m 02ρ∥w t ∥2+⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩≤0.(5.8)对(5.8)在[s,t ]上作内积,有E ω(t )−E ω(s )+∫t s(α−ε′(t )2)∥ωt ∥2d ξ+ρ2∫t s ∫∞0µ(s )∥∇ζt (s )∥2d s d ξ+ρ2∫t s ∫∞0µ(s )∥ζt (s )∥2d s d ξ−m 02ρ∫t s ∥w t (ξ)∥2d ξ+∫t s⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩d ξ≤0,(5.9)其中T ≤s ≤t,L <α,根据(1.3)式,得到12∫tT (ε(ξ)∥w t (ξ)∥2+∫∞0µ(s )∥ζt (s )∥2d s +∫∞0µ(s )∥∇ζt (s )∥2d s )d ξ≤E ω(T )+m 02ρ∫t T ∥w t (ξ)∥2d ξ−∫t T⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩d ξ.(5.10)82应用数学2021用ω与(5.1)式在R n ×[T,t ]上作积分,得到∫t T (∥∇ω(ξ)+λ∥ω(ξ)∥2)d ξ+ε(t )⟨ωt (t ),ω(t )⟩+∫t T ∫∞⟨∇ζt (s ),∇ω(ξ)⟩d s d ξ=ε(T )⟨ωt (T ),ω(T )⟩−∫t T (α−ε′(ξ))⟨ωt (ξ),ω(ξ)⟩d ξ+∫tTε(ξ)∥ωt (ξ)∥2d ξ−∫t T⟨f 1−f 2,ω(ξ)⟩d ξ.(5.11)根据(1.10)式有−∫t T ∫∞0⟨∇ζt (s ),∇ω(ξ)⟩d s d ξ≤12∫t T ∥∇w (ξ)∥2d ξ+m 02∫t T ∫∞0∥∇ζt (s )∥2d s d ξ.结合上式得12∫tT(∥∇ω(ξ)+λ∥ω(ξ)∥2)d ξ+ε(t )⟨ωt (t ),ω(t )⟩≤ε(T )⟨ωt (T ),ω(T )⟩−∫tT(α−ε′(ξ))⟨ωt (ξ),ω(ξ)⟩d ξ+∫t T ε(ξ)∥ωt (ξ)∥2d ξ+m 02∫t T ∫∞0∥∇ζt (s )∥2d s d ξ−∫t T⟨f 1−f 2,ω(ξ)⟩d ξ.(5.12)结合(5.11)(5.12)式,可得∫tTE w (ξ)d ξ≤E w (T )+(m 02ρ+L )∫t T ∥ωt (ξ)∥2d ξ−∫t T ⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩d ξ−ε(t )⟨ωt (t ),ω(t )⟩+ε(T )⟨ωt (T ),ω(T )⟩−∫t T(α−ε′(ξ))⟨ωt (ξ),ω(ξ)⟩d ξ−∫tT⟨f 1−f 2,ω(ξ)⟩d ξ.(5.13)给(5.9)式在[T,t ]上作积分,有(t −T )E ω(t )+∫t T ∫t s(α−ε′(t )2)∥ωt ∥2d ξd z +ρ2∫t T ∫t s ∫∞0µ(s )∥∇ζt (s )∥2d s d ξd z +ρ2∫t T ∫t s ∫∞0µ(s )∥ζt (s )∥2d s d ξd z −m 02ρ∫t T ∫t s∥w t (ξ)∥2d ξd z ≤−∫t T∫ts⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩d ξd z +∫t TE ω(z )d z.(5.14)根据(5.13)和(5.14)有(t −T )E ω(t )≤E w (T )+(m 02ρ+L )∫tT∥ωt (ξ)∥2d ξ−∫tT⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩d ξ−ε(t )⟨ωt (t ),ω(t )⟩+ε(T )⟨ωt (T ),ω(T )⟩−∫t T (α−ε′(ξ))⟨ωt (ξ),ω(ξ)⟩d ξ−∫tT⟨f 1−f 2,ω(ξ)⟩d ξ+m 02ρ∫t T ∫ts ∥w t (ξ)∥2d ξd z −∫t T ∫t s⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩d ξd z.(5.15)设Φt T ((u 10(T ),v 10(T ))(u 20(T ),v 20(T )))=−1(t −T )ε(t )⟨ωt (t ),ω(t )⟩−1(t −T )∫t T(α−ε′(ξ))⟨ωt (ξ),ω(ξ)⟩d ξ−1(t −T )∫t T ⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩d ξ−1(t −T )∫tT⟨f 1−f 2,ω(ξ)⟩d ξ第1期吴晓霞等：带有线性记忆的波方程在R n 上的时间依赖吸引子83−1(t −T )∫t T∫ts⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩d ξd z,(5.16)且C M =E ω(t )+(m 02ρ+L )∫t T∥ωt (ξ)∥2d ξ+ε(T )⟨ωt (T ),ω(T )⟩+m 02ρ∫t T∫ts∥w t (ξ)∥2d ξd z,则有E ω(t )≤C M t −T+Φt T ((u 10(T ),v 10(T ))(u 20(T ),v 20(T ))).(5.17)定理5.3设条件(1.2)-(1.5)成立,则过程{U (t,τ)}是渐近压缩的,即,对任意固定t ∈R ,有界序列{x n }∞n =1⊂X τn 且任意{τn }∞n =1⊂R −t ,当n →∞时,τn →−∞,序列{U (t,τn )x n }∞n =1在H 1(R n )×L 2(R n )×L 2µ(R +;H 1(R n))中是准紧的.证设ΨtT ((u 10(T ),v 10(T ))(u 20(T ),v 20(T )))=−1(t −T )∫Ωk ε(t )⟨ωt ,ω⟩d x −1(t −T )∫tT (α−ε′(ξ))∫Ωkωt (s ),ω(s )d x d s−1(t −T )∫t T ∫Ωk f 1−f 2,ωt (s )d x d s −1(t −T )∫t T ∫Ωkf 1−f 2,ω(s )d x d s −1(t −T )∫t T ∫t s ∫Ωk⟨f 1−f 2,ωt (ξ)⟩d x d ξd s,(5.18)根据引理4.1,当m,n 足够大,且利用H¨o lder 不等式和Young 不等式,我们有∫Ωc kε(t )(u n t (t )−u m t (t ))(u n (t )−u m (t ))d x≤L ∥u n t (t )−u m t (t )∥L 2(Ωc k)∥u n (t )−u m (t )∥L 2(Ωc k)≤ϵ4,(5.19)且∫t T∫Ωc k(u n t (s )−u m t (s ))(u n (s )−u m (s ))d x d s≤sup T ≤s ≤t∥u n t (s )−u m t (s )∥L 2(Ωc k)∥u n (s )−u m (s )∥L 2(Ωc k)≤ϵ4,(5.20)∫t T∫Ωc k(f (u n )−f (u m ))(u n t (s )−u m t (s ))d x d s≤l sup T ≤s ≤t∥u n t (s )−u m t (s )∥L 2(Ωc k)∥u n (s )−u m (s )∥L 2(Ωc k)≤ϵ4,(5.21)同样地当m,n 足够大,我们可以得到∫t T ∫t s ∫Ωc k (u n t (ξ)−u m t (ξ))(f (u n )(ξ)−f (u m )(ξ))d x d ξd s ≤ϵ4.(5.22)因此我们可以得到Φt T ((u 10(T ),v 10(T )),(u 20(T ),v 20(T )))≤ϵ+Ψt T ((u 10(T ),v 10(T )),(u 20(T ),v 20(T ))).(5.23)接下来,对任意固定ϵ>0,令T <t 使得t −T 足够大,则C Mt −T≤ϵ.因此,根据定义2.6,2.7,对任意固定T ,我们只需要证明(5.23)中ΨtT 是压缩函数.现在,我们将处理(5.18)中的每一项.84应用数学2021首先,从引理3.2和引理5.2中,得到lim n→∞limm→∞∫Ωckε(t)(u nt(t)−u mt(t))(u n(t)−u m(t))d x=0,(5.24)lim n→∞limm→∞∫tT∫ΩckL(u nt(s)−u mt(s))(u n(s)−u m(s))d x d s=0,(5.25)lim n→∞limm→∞∫tT∫Ωck(f(u n)−f(u m))(u n(s)−u m(s))d x d s=0,(5.26)同时,对任意固定t,|∫ts∫Ωk(u nt(ξ)−u mt(ξ))(f(u n)(ξ)−f(u m)(ξ))d x dξ|是有界的,则根据Lebesgue控制收敛定理有lim n→∞limm→∞∫tT∫ts∫Ωk(u nt(ξ)−u mt(ξ))(f(u n)(ξ)−f(u m)(ξ))d x dξd s=∫tT (limn→∞limm→∞∫ts∫Ωk(u nt(ξ)−u mt(ξ))(f(u n)(ξ)−f(u m)(ξ))d x dξ)d s=0.(5.27)因此,根据(5.24)-(5.27),我们得到ΨtT 是压缩函数,因此ΦtT是渐近压缩函数.从(5.17)我们知道过程是渐近压缩过程,证明完成.定理5.1的证明由引理3.2可知,U(t,τ)存在一致有界的时间依赖吸收集{B t}t∈R.由引理4.1和引理5.3,可知U(t,τ)是渐近紧的,从而得到了H1(R n)×L2(R n)×L2µ(R+;H1(R n))中时间依赖吸引子U={A t}t∈R的存在性.参考文献：[1]DAFERMOS C M.Asymptotic stability in viscoelasticity[J].Arch.Ration.Mech.Anal.,1970,37:297-308.[2]BORINI S,PATA V.Uniform attractors for a strongly damped wave equations with linear memory[J].Asymptot.Anal.,1999,21:263-277.[3]PATA V.Attractors for a damped wave equation on R n with linear memory[J].Math.Methods Appl.Sci.,2000,23:633-653.[4]FABRIZIO M,LAZZARI B.On the existence and asymptotic stability of solutions for linear vis-coelastic solids[J].Arch.Ration.Mech.Anal.,1991,116:139-152.[5]GRASSELLI M,PATA V.Long-time behavier of a homogenized model in viscoelasto dynamics[J].Discrete Contin.Dyn.Syst.,1998,4:339-358.[6]MARCHENKO V A,KHTUSLOV E Y.Homogenization of Partial Diﬀerential Equations[M].Boston:Birkhauser,2006.[7]MA Q F,WANG S H,ZHONG C K.Necessary and suﬃcient conditions for the existence of globalattractors for semilgroups and applications[J].Indiana University Math.,2002,51:1541-1559.[8]FEIREISL E.Global attractors for damped wave equations with supercritical exponen[J].J.Diﬀer.Equ.,1995,116:431-447.[9]SELL G R,YOU Y.Dynamicas of Evolutionary Equations[M].New York:Springer,2002.[10]CARVALHO A N,CHOLEWA J W.Attractors for strongly damped wave equations with criticalnonlinearities[J].Paciﬁc J.Math.,2002,207:287-310.[11]BALL J M.Global attractors for damped semilinear wave equations[J].Discrete Contin.Dyn.Dyst.,2004,10:31-35.[12]YANG Z J,LIU M Z.Longtime behaiver of the semilinear wave equations with gentle dissipation[J].Discrete Contin.Dyn.Syst.,2016,36:6557-6580.第1期吴晓霞等：带有线性记忆的波方程在R n上的时间依赖吸引子85[13]CONTI M,PATA V,TEMAM R.Attractors for processes on time-dependent spaces.Applicationsto wave equation[J].J.Diﬀer.Equ.,2013,255:1254-1277.[14]MENG F J,LIU C C.Necessary and suﬃcient conditions for the existence of time-dependent globalattractor and application[J].J.Math.Phys.,2007,58:1-9.[15]PLINIO DI F,DUANE G S,TEMAM R.Time-dependent attractor for the oscillon equation[J].Discrete Contin.Dyn.Syst.,2011,29:141-167.[16]CONTI M,PATA V.Asymptotic structure of the attractor for processes on time-dependent spaces[J].Nonlinear Anal.,2014,19:1-10.[17]CONTI M,PATA V.On the time-dependent Cattaneo law in space dimension one[J].Appl.Math.Comput.,2015,259:32-44.[18]MENG F J,YANG M H,ZHONG C K.Attractors for wave equations with nonlinear damping ontime-dependent space[J].Discrete Contin.Dyn.Syst.,2016,1:205-225.[19]MA Q Z,WANG J,LIU T T.Time-dependent asymptotic behavior of the solution for wave equationswith linear memory[J].Com.Math.Appl.,2018,76:1372-1382.[20]MA Q Z,WANG J,LIU T T.Time-dependent attractors of wave equations with nonlinear dampingand linear memory[J].Open.Math.,2019,17:89-103.[21]KARACHALIOS N I,STAVRAKAKIS N M.Existence of a global attractor for semilinear dissipativewave equation on R n[J].J Diﬀer.Equa.,1999,157:183-205.[22]WANG B X.Attarctors for reaction-diﬀusion equations in unbounded domain[J].Phys.D,1999,128:41-52.[23]YIN J Y,LI Y R,GU A H.Backwards compact attractors and periodic attractors for non-autonomousdamped wave equations on an unbounded domain[J].Com.Math.Appl.,2017,74:744-758.[24]LIU T T,MA Q Z.Time-dependent attractors for plate equations on R n[J].J.Math.Anal.Appl.,2019,479:315-332.[25]BABIN A V,VISHHIK M I.Attractors of Evolution Equations[M].NorthHolland:Amsterdam,1992.[26]ROBINSON J C.Inﬁnite-Dimensional Dynamical Systems:An Introduction to Dissipative ParabolicPDEs and the Theory of Global Attractors[M].Cambridge:Cambridge Univ.Press,2001.Time-Dependent Attractors of Wave Equations with LinearMemory on R nWU Xiaoxia,MA Qiaozhen(School of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou730070,China)Abstract:In this paper,based on the concept of time-dependent global attractors proposed by Conti M,Di Plinio F et al,we study the long-time behavier of wave equations with linear memory on unbounded domain.We prove that the propress is asymptotically compact by using the tail estimate and contractive functions method,and then we obtain the existence of the time-dependent global attractors in H1(R n)×L2(R n)×L2µ(R+;H1(R n)).Key words:Wave equation;Linear memory;Contractive function;Unbounded domain;Time-dependent attractor。

《2024年一维双曲守恒律方程基于指数多项式逼近的间断Petrov-Galerkin方法》范文

《一维双曲守恒律方程基于指数多项式逼近的间断Petrov-Galerkin方法》篇一一、引言一维双曲守恒律方程是描述流体动力学、电磁学和量子力学等众多物理现象的重要数学模型。

由于这些方程通常具有复杂的非线性特性，因此其数值解法显得尤为重要。

间断Petrov-Galerkin（IPG）方法作为一种有效的数值求解方法，在处理这类问题时具有独特的优势。

本文将介绍一种基于指数多项式逼近的间断Petrov-Galerkin方法，用于求解一维双曲守恒律方程。

二、一维双曲守恒律方程一维双曲守恒律方程是一类描述流体动力学过程的偏微分方程，其一般形式为：u_t + f(u)_x = 0其中，u是守恒变量，t是时间，x是空间坐标，f(u)是通量函数。

该方程具有双曲性质，即解在空间上呈现间断性。

三、间断Petrov-Galerkin方法间断Petrov-Galerkin（IPG）方法是一种用于求解偏微分方程的数值方法。

该方法通过构造一组逼近函数来逼近解的空间分布，并利用Galerkin加权残差法进行求解。

在处理具有间断性的问题时，IPG方法能够有效地捕捉到解的跳跃和震荡特性。

四、指数多项式逼近为了更好地逼近一维双曲守恒律方程的解，本文采用指数多项式逼近方法。

指数多项式具有良好的逼近性能和稳定性，能够有效地处理具有复杂非线性特性的问题。

通过构造适当的指数多项式基函数，我们可以将解表示为一组系数的函数。

五、基于指数多项式的间断Petrov-Galerkin方法结合上述两种方法，我们提出了一种基于指数多项式逼近的间断Petrov-Galerkin方法来求解一维双曲守恒律方程。

该方法首先构造一组指数多项式基函数，然后利用这些基函数逼近解的空间分布。

接着，通过Galerkin加权残差法求解得到的离散化方程组，从而得到数值解。

六、数值实验与结果分析为了验证所提出方法的有效性和准确性，我们进行了一系列的数值实验。

通过与真实解进行对比，我们发现所提出的方法能够有效地捕捉到解的跳跃和震荡特性，具有较高的精度和稳定性。

克劳修斯莫索蒂方程算nacl的介电常数

克劳修斯莫索蒂方程是描述介电常数随频率变化的经典方程之一。

介电常数是描述物质对电场的响应能力的物理量，对于理解物质的电学性质具有重要意义。

在研究和应用领域中，对介电常数的准确理解和计算具有重要意义。

本文将通过克劳修斯莫索蒂方程，探讨在给定条件下NaCl的介电常数的相关性质。

1. 克劳修斯莫索蒂方程简介克劳修斯莫索蒂方程是描述介电常数随频率变化的经典方程之一。

该方程的形式如下所示：\[ \varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + \frac{\varepsilon_0 - \varepsilon_\infty}{1 + (\frac{\omega}{\omega_0})^2} \]其中，ε(ω)表示频率为ω时的介电常数，ε∞表示高频极限介电常数，ε₀表示静态介电常数，ω₀为特征频率。

2. NaCl的介电常数NaCl是一种常见的盐类化合物，其晶格结构是由Na+和Cl-离子构成的。

由于NaCl是一种离子晶体，因此其介电常数是其固有电学性质之一。

在不同频率下，NaCl的介电常数会发生变化。

3. 计算NaCl的介电常数通过克劳修斯莫索蒂方程，可以计算NaCl在不同频率下的介电常数。

需要确定NaCl的高频极限介电常数ε∞、静态介电常数ε₀和特征频率ω₀的数值。

这些数值可以通过实验测量或者理论计算得到。

4. 频率对NaCl介电常数的影响根据克劳修斯莫索蒂方程的表达式，可以看出当频率增大时，分子极化的能力会减小，介电常数会趋近于高频极限介电常数ε∞。

而在低频情况下，介电常数会受到静态介电常数ε₀的影响，呈现出较大的数值。

5. 应用领域中的意义对NaCl的介电常数进行准确的计算和理解对于其在电子学、化学和材料科学等领域的应用具有重要意义。

比如在电介质材料的选取与设计过程中，需要考虑到材料的介电常数对电场的响应能力，以及材料在不同频率下的表现。

6. 结论总结来说，克劳修斯莫索蒂方程是一种描述介电常数随频率变化的经典方程，通过该方程可以较为准确地计算物质在不同频率下的介电常数。

具状态相依切换的利率均值回复θ模型解的性质

具状态相依切换的利率均值回复θ模型解的性质近来,随着金融数学的迅速发展,随机微分方程在金融领域得到了较广泛的应用。

而在现如今的金融市场活动中,短期利率是最根本的,同时也是最主要的一个概念。

目前,已经有许多学者通过各种经典的微分方程模型来对短期利率进行研究,并且取得了突出的理论成果。

而综合各种经典微分方程对短期利率的描述,在本文中,我们选取了很有代表性的利率均值回复θ模型。

对于这个模型,最经典的是Cox-Ingersoll-Ross利率模型,并且已经有很多的微分方程对其作系统的研究了。

例如,在张楠[1]的论文中,作者对状态相依马氏切换下的CIR模型解的一些性质进行了研究。

本文我们将在张楠[1]论文的基础上,把状态相依马氏调制下解的一些性质推广到更加一般的利率均值回复θ模型,其中θ∈(1,0]。

由于我们所研究模型的复杂性和解析解不可获得,我们将使用李普希茨连续性和局部分析去克服状态相依这个难点,使用最大值化去克服q这个参数带来的论证上的困难。

文章主要包括如下的四个部分:首先,我们给出了利率均值回复θ模型在依连续状态相依情况下具有的全局非负解性质;其次,依赖于初始值的连续性、光滑性、Feller连续性等性质定理也将被证明;另外,我们还证明了解的某个函数满足Kolmogorov倒向方程系统;最后,我们给出了利率均值回复θ模型的数值解的误差估计。

力学-哈佛大学-Lecture16

Faraday Tensor
⎛ ∂Aν ∂Aµ K = e⎜ − ⎜ ∂x ⎝ µ ∂xν
µ
⎞ µν u e F uν ≡ ⎟ ⎟ ν ⎠
Faraday Tensor

Fµν is derivatives of the EM potential Æ E and B fields
⎛ ∂A0 ∂A1 ⎞ ∂φ ∂Ax Ex = − − = c⎜ − ⎟ ∂x ∂t ⎝ ∂x1 ∂x0 ⎠
Is this a weird restriction, or what?
Local Interaction

Suppose the particles interact only when in contact

Forces exchanged only when they collide They share the rest frame momentarily Æ Same γ Total momentum of a multi-particle system is conserved if the interactions between the particles are local

Total momentum P µ = ∑ psµ
s

dpsµ Equation of motion for each particle = K sµ dτ s
Different time for each particle!
dpsµ dP µ EoM for the total momentum is = ∑γ s = ∑ γ s K sµ dt dτ s s s Not a very clean equation

具无穷时滞的两种群互惠扩散模型的周期性

具无穷时滞的两种群互惠扩散模型的周期性
杨敏
【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(016)002
【摘要】研究系数具有周期条件的两种群互惠扩散模型的周期解的性质.首先给出一般的具有周期条件的抛物边界问题的周期解存在定理,接着利用存在定理和上下解的方法研究模型周期解的存在性,最后在该模型的基础上,用迭代序列方法讨论具有周期条件的初值问题的渐近性质.
【总页数】4页(P11-14)
【作者】杨敏
【作者单位】长治学院师范分院数学系,山西长治046000
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.具无穷时滞的两种群互惠扩散模型的稳定性 [J], 杨敏
2.具无限时滞的Lotka-Volteraa三种群互惠系统的持久性与周期性 [J], 郭微;程荣福
3.一类具扩散两种群互惠模型解的稳定性 [J], 陈晓东
4.具无穷时滞的两种群互惠扩散模型的稳定性 [J], 杨敏;刘春平
5.一类具扩散两种群互惠模型的周期解 [J], 陈晓东;唐秋林
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

(2+1)维非线性发展方程的对称约化和显式解

(2+1)维非线性发展方程的对称约化和显式解
张颖元;刘希强;王岗伟
【期刊名称】《量子电子学报》
【年(卷),期】2012(29)4
【摘要】利用相容方法,得到了(2+1)维非线性发展方程的对称,并根据相应的特征方程组得到了(2+1)维非线性发展方程的相似约化,同时得到了一些新的显式解。

【总页数】6页(P411-416)
【关键词】(2+1)维非线性发展方程;对称约化;显式解
【作者】张颖元;刘希强;王岗伟
【作者单位】聊城大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.（2＋1）维非线性发展方程的对称约化及精确解 [J], 李宁;刘希强;张颖元;
2.（2+1）维非线性发展方程的对称约化及精确解 [J], 李宁;刘希强;张颖元
3.(2+1)维扩展Zakharov-Kuznetsov方程的对称、r约化和精确解 [J], 李会会;刘希强
4.(2+1)维CGKP方程的对称约化和显示解 [J], 唐晓苓; 刘汉泽
5.非线性MDWW方程的对称约化和显式精确解 [J], 闫振亚;张鸿庆
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

克拉拉方程

克拉拉方程摘要：一、克拉拉方程的背景和意义1.克拉拉方程的起源2.对量子力学的影响和重要性二、克拉拉方程的数学表达式和物理含义1.克拉拉方程的数学公式2.物理含义及与其他方程的联系三、克拉拉方程在实际问题中的应用1.原子物理和分子物理中的应用2.凝聚态物理中的应用四、克拉拉方程与其他量子力学方程的比较1.与薛定谔方程的比较2.与海森堡矩阵方程的比较五、克拉拉方程在现代物理学研究中的地位和前景1.克拉拉方程在前沿科学研究中的作用2.未来克拉拉方程在物理学领域的发展前景正文：克拉拉方程，全名为克拉拉-狄拉克方程，是描述量子力学中电子波函数的偏微分方程。

它由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出，并在此基础上发展出了狄拉克方程。

这一方程在量子力学领域具有极高的地位，被认为是量子力学的四大基本方程之一。

克拉拉方程的数学表达式为：(i)(Ψ/t) = HΨ其中，i 是虚数单位，是约化普朗克常数，Ψ 是电子波函数，t 是时间，H 是哈密顿算子，描述了系统的能量特性。

克拉拉方程的物理含义是描述电子在给定势能场中的运动状态。

通过求解克拉拉方程，可以得到电子波函数随时间和空间的变化规律。

与其他量子力学方程相比，克拉拉方程具有更普遍的形式，适用于描述各种物理系统。

克拉拉方程在原子物理和分子物理中有着广泛的应用。

例如，通过求解克拉拉方程，可以得到原子或分子的能级结构、波函数和轨道形状等信息。

在凝聚态物理中，克拉拉方程也有重要应用，可以用于描述电子在晶体中的运动状态，进而研究固体的电学、光学和热学等性质。

克拉拉方程与薛定谔方程都是描述量子力学系统的波动方程，但它们的形式和适用范围有所不同。

薛定谔方程适用于定态问题，即波函数和能量本征值之间的关系；而克拉拉方程则适用于时变问题，即波函数随时间的变化规律。

与海森堡矩阵方程相比，克拉拉方程具有更简洁的形式，但在某些情况下，海森堡矩阵方程具有更普遍的适用性。

总之，克拉拉方程在现代物理学研究中具有重要地位。

冷却原子能造出强相互作用的量子触点

冷却原子能造出强相互作用的量子触点
佚名
【期刊名称】《技术与市场》
【年(卷),期】2016(0)2
【摘要】瑞士日内瓦大学和苏黎世联邦理工学院科学家合作，用量子冷却压缩的方法，将两种物质通过奇特的量子力学性质连接在一起。

这一成果为深人理解量子物理学，制造出未来量子电路设备开辟了新途径。

据每日科学网报道，苏黎世联邦理工学院的实验团队由蒂尔曼·埃斯林格和吉恩·布兰图特带领。

他们先用激光束捕获原子，隔离所有外界干扰。

激光束将原子制冷到极低温度，产生了洁净的、具有量子力学性质的冷原子超导体。

【总页数】1页(P4-4)
【正文语种】中文
【相关文献】
1.强调量子时代的原子能：提倡原子能教育 [J], 徐佳
2.∑^-原子能级与强相互作用 [J], 魏连甲;崔树稳
3.冷却原子能造出强相互作用的量子触点为制造量子电路设备开辟新途径 [J],
4.激光冷却原子能造出强相互作用的量子触点 [J],
5.强相互作用场量子的邻域结构 [J], 赵喜;杨保河;赵树松
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。