第二讲 应用统计 统计推断的过程

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区间估计


区间估计是在点估计的基础上给出总体 参数估计的一个估计范围。这个范围通 常是样本的点估计值加减估计误差而得 到的。 在区间估计中，由样本统计量所构造的 总体参数的估计区间称为置信区间，
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1)估计参数（续）

区间估计的例子 用样本均值 X 估计正态总体的期望 μ，
Байду номын сангаас
误差范围 ( X k , X k ) 有多大，有多大的概率
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一、统计推断 1.统计推断基本概念


总体：有限总体、无限总体； 样本 X1, X 2 ,, X n ； 1 n X xi 统计量：样本的函数。例如样本均值 n i 1 参数: 总体的数字特征。如均值、标准差 统计推断的任务：通过样本（的统计量）来了解总体 的特性（参数）。 为什么需要利用抽样来了解总体： 1） 总体无法得到； 2） 时间或成本不允许； 3） 实验具有破坏性。
30 15 10 15 10 5 15 15 5 10
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总体分布 0.6
概率
0.4 0.2 0 5 10 价值 样本分布 0.6 15 30
概率
0.4 0.2 0 5 10 价值 15 30
10 2 55 7 .4 2
x 1 0.3 3 s 5 6.7 8 s 7 .5 4
抽样方式
总体分布===== 抽样分布
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2. 样本均值的抽样分布（简单随机样本）

如果总体服从 N ( , 2 ) , 那么简单随机样
2
本的均值 x 服从正态分布 N ( , ) n x
Z

n
。或者
~ N (0,1)

x
n
是样本均值 x 的标准差，又专门
称它为标准误差。
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如果总体不见得服从正态, 期望是，
方差是 2<+，在样本容量n非常大的条件下
（n30），那么简单随机样本的均值 x 近似
服从正态分布 N ( , ) （中心极限定理）， n x 或 Z 近似服从标准正态分布 。
n
2
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一个例子

一种电器元件设计的服务寿命为3000小时， 标准差为800小时。一名顾客买了49个元件。 这49个元件的平均寿命至少为2750小时的概 率为多大？至少为3000小时呢？
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3.样本比率的抽样分布（简单随机样本） x 小样本情况， p 总体中某特征的比率 p n x ：n个样本中特征发生的频数，它服从二 项式分布B(n,p)。取值范围 0,1, n;期望 np,方
。
差np(1-p) 。 :取值范围0,1/n, ,1;期望p,方差/p(1-p)/n 。 p 仍然服从同样的二项分布。 大样本情况 [ np 5且] n，按照中心 (1 p) 5 极限定理，近似地 p(1 - p) p ~ N ( p, ) n 19
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总体分布和样本的例子： 一个箱子中有10000个筹码，其中50%标 价5元， 30%标价10元， 10%标价15元， 10%标价30元。 y P(y) 5 .5 10 .3 15 .1 30 .1
10

从中抽一个容量为30的样本：
1
10 5 5 10 5 5 10 10 10 30
30 5 5 5 5 5 10 5 5 5
4.大样本的渐进分布和大样本分布

如果样本容量n非常大，则有简单随机样本的
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x N ( , ) 均值 近似服从正态分布 n
x p n
；同样有样
p(1 - p) ) n
本比率 近似服从正态分布 一个统计量当样本很大时近似服从某一常见分 布，称统计量以该分布为渐进分布，或称该分布 是这个统计量的大样本分布。

一个水库有多少条鱼，一片森林的木材储 蓄量有多少，一批灯管的平均使用寿命是多少， 一批产品的合格率是多少，怎样才能知道这些 问题的答案？ 问题很简单，你只要从中抽出部分样品， 根据样品提供的信息去推断就可以了。这就是 用样本推断总体的问题。

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统计推断的过程
总体
样 本
样本统计量 如：样本均值 、比例、方差
2
2.无限总体的简单随机抽样： 1）特性：抽取一个样本对以后样本无影 响，每个样本都和总体同分布，且相互 独立； 2）简单随机样本定义：样本与总体同分 布且相互独立。（和有限总体定义相同） 3）例子：掷硬币 它是无限总体吗？写出它的分布。
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三、抽样分布 1.抽样分布的概念
1)样本是随机变量，样本取值不同，均值 x 也 不同。 x 也是随机变量 ， x 的概率分布称作它的抽 样分布。 2)统计量的分布称做该统计量的抽样分布. 3)抽样分布在统计推断中的中心地位。 4)抽样分布取决于总体的分布（模型）以及抽 样的方式。
p ~ N ( p,
。
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5.方差未知时样本均值的抽样分布
1)正态总体，2未知，使用样本方差s2来 替代2，则样本均值满足： (x ) t ~ t ( n 1) s
保证μ在得到的区间内。
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2)假设检验



假设检验： 样本是否适合所选用的模型？ 例子： 是否可以使用模型N(570,306)来刻画所 有居民的家庭年收入？ 思想： 如果该模型是适合的，那么 X 和570相 差很多的可能性（概率）不能太大。
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二、随机抽样与简单随机样本
1.有限总体的随机抽样 1) 等概率抽样。 2) 样本x1, x2 ,, xn 是数值又是随机变量。 3) 有放回抽样：每一个样本抽取的环境相同， 与总体同分布，相互独立。 4) 简单随机样本定义：样本与总体同分布且相 互独立。 5) 无放回抽样：样本抽取的环境各不相同，相 互不独立，不是简单随机样本。 6) 随机样本的抽样方法：
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2.统计推断的基本思想


1）选用一个概率模型来刻画样本所取自 的总体，使用样本对模型的一些特性做 出推断（由部分来认识总体） ； 2）由于样本的随机性，需要分析作出的 推断犯错误（风险）的可能性的大小。
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3.统计推断的内容 1)估计参数
点估计和区间估计 点估计的例子 2 N ( , ) 居民家庭年收入遵从 1 n 样本均值X xi n i 1 n 1 2 2 样本方差s 2 ( x x ) i n 1 i 1 样本均值和样本方差都是统计量，利用统 计量做估计又称估计量。