高三数学-抛物线专题复习
高三数学试卷抛物线解法
一、背景介绍抛物线是高中数学中常见的几何图形，它具有丰富的性质和广泛的应用。
在高三数学试卷中，抛物线问题往往以选择题、填空题或解答题的形式出现。
掌握抛物线的解法对于提高解题能力具有重要意义。
本文将针对高三数学试卷中抛物线问题的解法进行解析。
二、抛物线的基本性质1. 抛物线的标准方程：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 抛物线的对称轴：x=-b/2a。
3. 抛物线的顶点坐标：（-b/2a，4ac-b^2/4a）。
4. 抛物线的开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
5. 抛物线的焦距：p=1/4a。
6. 抛物线的准线方程：y=-p。
三、抛物线问题的解法1. 求抛物线的对称轴和顶点坐标解题思路：直接利用抛物线的性质，根据标准方程求得对称轴和顶点坐标。
例题：已知抛物线y=2x^2+4x+1，求其对称轴和顶点坐标。
解：对称轴方程为x=-b/2a=-4/(2×2)=-1，顶点坐标为（-1，4ac-b^2/4a）=（-1，-1）。
2. 求抛物线与x轴、y轴的交点解题思路：令y=0或x=0，解一元二次方程求得交点坐标。
例题：已知抛物线y=3x^2-12x+9，求其与x轴、y轴的交点。
解：令y=0，解方程3x^2-12x+9=0，得x=1或x=3，故与x轴的交点为（1，0）和（3，0）。
令x=0，得y=9，故与y轴的交点为（0，9）。
3. 求抛物线的弦长解题思路：根据抛物线的对称性，求得弦的中点坐标，进而求得弦长。
例题：已知抛物线y=2x^2，弦AB的两个端点坐标分别为A（1，2）和B（-2，8），求弦AB的长度。
解：由对称性知，弦AB的中点坐标为（-1/2，5）。
根据两点间距离公式，得弦AB的长度为√[（1-(-2))^2+（2-8）^2]=√45=3√5。
4. 求抛物线的切线方程解题思路：根据导数的几何意义，求得切线斜率，进而求得切线方程。
例题：已知抛物线y=x^2，求过点（2，4）的切线方程。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结一、抛物线的定义抛物线是平面上一个点沿着一条直线运动，同时受到一个恒定的垂直于直线的力的作用，这种轨迹叫做抛物线。
抛物线是由二次函数关系定义的曲线。
它是平面上一点到直线上一点的距离与这一点到定点的距离成比例的轨迹。
二、抛物线的标准方程1. 抛物线的标准方程为：y=ax^2+bx+c，其中a≠0。
2. 抛物线的顶点为(-b/2a, c-b^2/4a)。
三、抛物线的性质1. 抛物线的开口方向由二次项系数a的正负号决定。
若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。
2. 抛物线的轴对称线为x=-b/2a，即抛物线的顶点为轴对称点。
3. 抛物线在顶点处的切线平行于x轴。
4. 抛物线的焦点可表示为(F, p)，其中F是焦点坐标，p=1/4a是抛物线焦点到顶点的距离。
5. 抛物线的定点到焦点的距离等于焦距。
6. 过抛物线的顶点和焦点的直线称为抛物线的焦线，焦点为该直线的对称中心。
7. 对于平行于抛物线轴的直线，其交点到焦点距离都相等。
四、抛物线的方程求解1. 已知顶点和焦点求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，则抛物线的标准方程为：(y-p)^2=2px。
2. 已知焦点和直线求抛物线方程：设焦点为(F,p)，直线为l:x=ay+b，则抛物线的标准方程为：y^2=2px3. 已知抛物线的焦点和焦距求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，焦距为2a，则抛物线的标准方程为：(y-p)^2=4ax。
4. 已知抛物线的焦点和顶点求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，顶点为(V, q)，则抛物线的标准方程为：(y-q)^2=4a(x-v)。
5. 已知抛物线上3点求抛物线方程：设抛物线上3点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则通过抛物线的标准方程组成三元二次函数方程，再通过该方程求解。
五、抛物线的应用1. 计算机图形学中，抛物线可以用于生成曲线和图案。
高三抛物线知识点归类
高三抛物线知识点归类抛物线是数学中的一个重要概念，也是高中数学课程中的重点内容之一。
在高三阶段，学生需要全面掌握抛物线的相关知识，因此本文将对高三抛物线知识点进行归类，以帮助学生更好地理解和应用。
一、基本概念1. 定义：抛物线是平面上到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹。
2. 轴线：抛物线的对称轴，垂直于准线并通过焦点。
3. 焦点：与抛物线上的任意一点距离相等的定点。
4. 准线：与抛物线上的任意一点距离相等的定直线，其中准线和抛物线的焦点不重合。
二、方程与图像1. 一般形式方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标：抛物线的最高（或最低）点，坐标为（h, k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
3. 对称轴方程：x = h，是抛物线的对称轴，与抛物线相交于顶点。
4. 开口方向：由二次系数a决定，若a > 0，则抛物线开口朝上；若a < 0，则抛物线开口朝下。
5. 图像特征：抛物线关于对称轴对称，图像左右对称。
三、性质与特点1. 焦点与准线距离的关系：抛物线上任意一点P与焦点F的距离等于P到准线的距离。
2. 焦准焦定性质：过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于对称点P'，且P'也在这条直线上的垂线上，则P'为抛物线上该点P的对称点。
3. 切线与法线关系：抛物线上任意一点P处的切线与过该点的法线垂直。
4. 焦点坐标与相关系数的关系：焦点坐标为（-b/2a, 1-Δ/4a），其中Δ为方程的判别式。
5. 最值点：抛物线的最高（或最低）点即为顶点，最值点的纵坐标等于抛物线函数的值域的下（或上）界。
四、应用1. 抛物线的平移与旋转：通过对抛物线的平移和旋转操作，可以得到不同位置和形状的抛物线函数。
2. 抛物线的最优问题：在一定约束条件下，求解抛物线上的最值点，可以用于解决最小二乘法、优化问题等。
3. 物理应用：抛物线在物理学中有广泛的应用，如炮弹的抛物线轨迹、摆锤的运动、光的反射等。
高三数学抛物线的知识
一、抛物线的知识点：通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2=抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧==222pt y pt x （t 为参数）二．基本题型1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a44．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ）(A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C) x 2＝2y (D) y x 212=5．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22） 6．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______7．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为8．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是9．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积． （答案：25512）10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求这个正三角形的边长（答案：边长为p 34） （12答案：0822=-+px y x ）11．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形外接圆的方程12．已知ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆（答案：x y 42=）13．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O 点在线段AB 上的射影M 答案：（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB 过定点()0,2p ;（3）点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x p y p x 14．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，原点在直线AB 上的射影为()1,2D ，求抛物线的方程 （答案：x y 252=） 15．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 （答案：x y =2）16．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程 （答案：x y 22=）17．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程（ 答案：x y 122=或x y 42-=）参考答案： 1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．()122-=x y 7．x 2＝±8y 8．9)23(22=++y x 9．2551210．边长为p 3411．分析：依题意可知圆心在x 轴上，且过原点，故可设圆的方程为：022=++Dx y x ，又∵ 圆过点()32,6p A ， ∴ 所求圆的方程为0822=-+px y x12．x y 42=13．（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB 过定点()0,2p （3）点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x p y p x14．x y 252= 15．x y =2 16．x y 22=17．x y 122=或x y 42-=。
高三数学知识点总结抛物线
高三数学知识点总结抛物线（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高三抛物线定理知识点
高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。
在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。
本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。
一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。
该定点称为焦点，到直线称为准线。
1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。
3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。
二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。
对称轴是过焦点和顶点的直线。
1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。
2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。
三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。
在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。
四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。
准线的方程为 x = -f。
五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。
1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。
2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。
六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。
2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。
七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。
2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。
3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。
八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，也是物理学和工程学中经常使用的一种曲线。
它具有许多重要的性质和应用，尤其在力学、物理学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
一、抛物线的定义与性质1. 抛物线的定义：若一点P到一个定点F 的距离与P到一条定直线L 的距离之比为常数 e (e＞0)，则这个点P 遵循的轨迹是抛物线。
点F 称为焦点，直线L 称为准线，比例常数e 称为离心率。
2. 抛物线的标准方程：假设抛物线的焦点为F (p, 0)，准线为x = -p，离心率为e，抛物线上任意一点M(x, y)，则有AM / MP = e，其中AM 是点M 到焦点F 的距离，MP 是点M 到准线的距离。
根据坐标系定义，可以推导出抛物线的标准方程为y² = 4px。
3. 抛物线的顶点和对称轴：抛物线的顶点是焦点F 与准线的交点，对称轴是通过焦点F 且垂直于准线的直线。
4. 抛物线的焦距和准线长度：焦距是焦点F 到对称轴的距离，准线长度是焦点F 到两个端点的距离之和，两者满足 f = p 和 l = 4p。
二、抛物线的图形特征和性质1. 抛物线的图形特征：抛物线呈现出开口朝上或朝下的弯曲形状，具有对称性。
2. 抛物线的焦点性质：焦点F 定义了抛物线上所有点到直线L 的距离比例为离心率e。
3. 抛物线的切线性质：抛物线上任意一点M (x, y) 处的切线的斜率等于2p。
4. 抛物线的拐点性质：抛物线上发生转折的点称为拐点，拐点满足 y' = 0 和y'' ≠ 0，其中y' 是y 关于x 的一阶导数，y'' 是y 关于x 的二阶导数。
三、抛物线的应用领域1. 物理学中的抛物线：抛物线是物体在重力场中自由运动时所描述的轨迹，球体在水平面上的运动、射弹、抛体运动等物理现象都可以用抛物线来描述。
2. 工程学中的抛物线：抛物线常被应用于光学系统设计、天线设计、曲线桥梁设计等领域，通过研究抛物线的性质和特点，可以有效地解决一些工程问题。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结1. 抛物线的定义抛物线是平面上到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹，这个定直线叫做抛物线的准线，定点叫做抛物线的焦点。
2. 抛物线的标准方程一般来说，抛物线的标准方程为：y=ax^2+bx+c。
其中a、b、c为常数，a≠0。
如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。
3. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点是平行于抛物线开口的轴与焦点的距离的一半，准线则是焦点平行的那条线。
4. 抛物线的顶点对于标准抛物线y=ax^2+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
5. 抛物线的焦半径和准半径对于抛物线的焦点F和定线的距离叫做抛物线的焦半径，而焦半径的x轴坐标叫焦半径。
同理，抛物线的顶点到准线距离称为准半径。
6. 抛物线的判别式对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，它的判别式Δ=b^2-4ac。
用判别式可以判断抛物线的开口方向以及与x轴交点的情况。
7. 抛物线的性质（1）焦半径相等的抛物线是轴对称的。
（2）抛物线的镜面对称轴就是准线。
（3）与y轴平行的抛物线开口方向与x轴平行的抛物线相同。
（4）若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。
（5）抛物线的焦半径等于准半径。
8. 抛物线的平移对于标准的抛物线y=ax^2+bx+c，若把该抛物线上每个点都向左平移h个单位，则新抛物线的方程为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
10. 抛物线的应用抛物线广泛应用于科学、工程等领域。
比如在物理学上，抛物线可以用来描述物体的运动轨迹；在工程上，抛物线可以用来设计拱形结构等。
学好抛物线知识对于理解和应用相关领域具有重要意义。
以上就是抛物线的知识点总结，希望能对大家有所帮助。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是一种二次函数，其标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在抛物线上，取值较小的一侧为开口向上的抛物线，取值较大的一侧为开口向下的抛物线。
抛物线的性质：1. 平移性质：对于标准形式y=ax^2+bx+c的抛物线，若h、k为实数，则抛物线y=a(x-h)^2+k表示平移了h个单位向右，k个单位向上（k>0）或向下（k<0）后的抛物线。
2. 判别式：若抛物线y=ax^2+bx+c的判别式Δ=b^2-4ac>0，则抛物线与x轴有两个交点，即开口向上的抛物线在x轴上方，开口向下的抛物线在x轴下方。
若Δ=0，则抛物线与x轴只有一个交点，抛物线与x轴相切。
若Δ<0，则抛物线与x轴没有交点，即开口向上的抛物线在x轴下方，开口向下的抛物线在x轴上方。
3. 对称性质：在抛物线y=ax^2+bx+c上，对于任意实数x，都有关于抛物线的对称点(x,-ax^2-bx-c)。
4. 最值性质：对于开口向上的抛物线，其最低点为顶点，对应的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
最低点处的纵坐标为抛物线的最小值。
对于开口向下的抛物线，其最高点为顶点，对应的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
最高点处的纵坐标为抛物线的最大值。
5. 零点性质：抛物线与x轴的交点称为零点，若抛物线y=ax^2+bx+c有零点，则有两个零点，记为x1和x2（x1≠x2），且x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。
6. 奇偶性质：对于抛物线y=ax^2+bx+c，若a为奇数，则抛物线是奇函数，即f(-x)=-f(x)；若a为偶数，则抛物线是偶函数，即f(-x)=f(x)。
7. 渐进线性质：对于开口向上的抛物线y=ax^2+bx+c，当x趋于无穷大时，抛物线趋近于y=x的直线；当x趋于负无穷大时，抛物线趋近于y=x的直线。
高三抛物线函数知识点总结
高三抛物线函数知识点总结高三抛物线函数知识点总结抛物线函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用和深厚的理论基础。
在高三阶段，学生需要掌握并熟练运用抛物线函数的各种知识点，因为它在高考中占据了较大的比重。
本文将对高三抛物线函数的关键知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和应用。
一、抛物线函数的定义和形式抛物线函数是一个二次函数，其定义域为一切实数，其一般形式为：y=ax^2+bx+c。
其中，a、b和c是实数且a≠0，它们分别决定了抛物线的开口方向、对称轴位置和顶点坐标。
二、抛物线的图像特征1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：对称轴是与抛物线垂直且能将抛物线分为两个对称的部分的一条直线。
它的方程可以通过求解抛物线函数的一阶导数来求得：x=-b/2a。
3. 顶点坐标：顶点是抛物线的最高点（开口向下时为最低点），它的坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
其中f(x)为抛物线函数。
4. 焦点和准线：当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方且在对称轴上，准线在抛物线的下方且与对称轴平行。
当抛物线开口向下时，则焦点在抛物线的下方且在对称轴上，准线在抛物线的上方且与对称轴平行。
三、抛物线函数的性质1. 定义域和值域：抛物线函数的定义域是一切实数，值域则取决于开口方向和顶点坐标。
2. 单调性：对于开口向上的抛物线，当a>0时，抛物线是上升的；对于开口向下的抛物线，当a<0时，抛物线是下降的。
3. 最大值与最小值：对于开口向上的抛物线，最小值为顶点的纵坐标，不存在最大值；对于开口向下的抛物线，最大值为顶点的纵坐标，不存在最小值。
4. 对称性：抛物线函数关于其对称轴是对称的。
5. 零点：零点是指抛物线函数与x轴相交的点，可以通过求解方程ax^2+bx+c=0来求得。
零点的个数和位置取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。
四、抛物线函数的应用1. 物理问题中的应用：抛物线函数在物理学中具有广泛的应用，比如抛体运动、弹道轨迹等。
高三抛物线的基本知识点
高三抛物线的基本知识点在高三数学学习中，抛物线是一个重要的知识点。
它不仅是高考重点，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本知识点，包括定义、特点、方程和性质等方面。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中一种重要的曲线，它是一个二次曲线。
抛物线由一个定点（焦点）F和一条定直线（准线）l组成。
准线l 与焦点F之间的距离等于点P到焦点F的距离，即PF = PM。
其中P是抛物线上任意一点，M是准线上的垂足。
二、抛物线的特点抛物线具有以下特点：1. 对称性：抛物线是关于准线对称的，即抛物线上任意一点P关于准线l有相应的对称点P'。
对称轴是准线l，焦点F在对称轴上。
2. 焦点和准线的关系：焦点F到抛物线上任意一点的距离等于焦距，焦距等于焦点到准线的垂直距离。
在抛物线上，焦点F距离准线的距离相等，且等于焦距的一半。
3. 宽度和高度：抛物线的宽度取决于焦点到准线的距离，高度取决于焦点到顶点的距离。
三、抛物线的方程抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
根据a的正负可以确定抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
通过已知条件可以确定抛物线方程的具体形式。
例如，已知抛物线过定点P(x1, y1)，则可以将这个点带入标准方程，得到一个方程组。
通过解方程组可以求得a、b、c的值，从而确定抛物线方程。
四、抛物线的性质抛物线具有以下性质：1. 切线和法线：抛物线上任意一点处的切线方向与过此点的准线方向垂直。
法线方向与切线方向相互垂直。
2. 定点关系：抛物线上任意一点P到焦点F的距离等于焦点到准线的距离，即PF = PM。
3. 对称性：抛物线是关于准线对称的。
对称轴是准线，焦点F 在对称轴上。
4. 最值问题：抛物线的顶点是抛物线的最值点。
当抛物线开口向上时，顶点是最小值点；当抛物线开口向下时，顶点是最大值点。
除了以上介绍的基本知识点外，抛物线还与其他数学概念和定理密切相关，例如二次函数、平移变换、焦半径定理等。
数学高三抛物线知识点
数学高三抛物线知识点高中数学的抛物线是一种非常重要的曲线，它在生活中的应用广泛。
在数学高考中，抛物线相关的知识点也是必考内容之一。
本文将详细介绍高三数学中与抛物线相关的重要知识点，帮助高三学生系统地掌握这一部分内容。
一、抛物线的定义及性质抛物线是平面上一点到定直线（称为准线）和定点的距离之比（称为离心率）为常数的轨迹。
它的定义可以用数学方程表示为：y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，a决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
1. 对称性：抛物线关于准线和对称轴对称。
2. 焦点与准线之间的关系：离心率e=焦距f/准线与焦点之间的距离。
3. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线与过该点的准线垂直，且过该点的法线经过焦点。
二、抛物线的方程和图像1. 标准方程：当抛物线的顶点为原点时，抛物线的标准方程为y^2=4ax。
2. 顶点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的顶点为(0,0)。
3. 对称轴和焦点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的对称轴为x轴，焦点坐标为(F,0)，其中焦距F=a/2。
三、抛物线的平移和旋转1. 平移：抛物线的平移是指将抛物线上所有点的坐标同时增加或减少一个固定的数值。
设抛物线的标准方程为y^2=4ax，平移后的抛物线的方程为(y-k)^2=4a(x-h)，其中(h,k)为平移的距离。
2. 旋转：抛物线的旋转是指将抛物线绕原点或其他点旋转一定角度。
抛物线的旋转方程相对复杂，这里不再展开。
四、抛物线的焦点与准线问题1. 已知抛物线方程求焦点和准线：根据抛物线的标准方程或一般方程，可以求得焦点和准线的坐标。
2. 已知焦点和准线求抛物线方程：通过已知的焦点和准线的坐标，可以推导出抛物线的方程。
五、抛物线的应用抛物线在生活中有着广泛的应用，以下举几个例子：1. 投射问题：抛物线可以用来描述抛体的运动轨迹，比如抛物线的顶点表示抛体的最高点，焦点表示抛体的着地点。
高三数学抛物线
焦准距＝ p ；
顶准距＝焦顶距＝ p ；
2
p 的点到焦点的最近距＝ 2
离心率
e 1
5.焦点弦
2 过 y 2 px p 0 的焦点弦ＡＢ，Ａ y 2 ) AB x x p 2 p , y1 )，Ｂ( x2， ( x1， 1 2 2 2 sin p 2 y1 y2 p ，x1 x2
2 y 例4. 设抛物线 2 px( p 0) 的焦点为F，
经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在 抛物线的准线上，且 BC // x轴 ，证明直线 AC经过原点O。 [思维点拔]本题的“几何味”特别浓，这就 为本题注入了活力，在涉及解析思想较多的 2 y y p 证法中，关键是得到A B 这个重要结 论，还有些证法充分利用了平面几何知识， 这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重 视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析 几何的题目。
对称轴 顶点坐标
Ｘ轴
Ｙ轴 原点Ｏ（０，０）
焦点坐标
准线方程 焦半径
p ,0 2 p x 2
p ,0 2 p x 2
p 0, 2 p y 2
p 0, 2 p y 2
曲线上
p p r y p r y p r x0 r x0 0 0 2 2 2 2
6.标点
2
2
4
抛物线 y 2 px 上的点可标为 x0 , y0 或
y0 2 , y 或 2 p 0 2 pt ,2 pt t R
二、例题：
例1、(1)抛物线 y 4ax 的焦点坐标是 _____________.
2
(2)焦点在直线 x 2 y 4 0上的抛物线的 标准方程是_______________.其对应的准线 方程是_________________.
最新高三数学专题复习资料抛物线
第七节 抛 物 线考纲下载1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围x ≥0， x ≤0， y ≥0， y ≤0，y∈R y∈R x∈R x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y＋p2|PF|＝－y0＋p21．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF|＝x0＋p2；若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则|MF|＝y0＋p 2 .1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：选C 由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.2．(A.安徽高考)抛物线y＝14x2的准线方程是( )A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2解析：选A 抛物线y＝14x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，14解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18，而抛物线x 2＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，18.4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．解析：由c 2＝9－4＝5，得F (－5，0)， 则抛物线方程为y 2＝－45x . 答案：y 2＝－45x5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1， ∴2p ×p4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324.答案：324[例1] 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于点P，则所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.互动探究若将本例(2)中的点B坐标改为(3,4)，求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离．∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.方法规律抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．1．(A.绍兴模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且与直线x ＝－p 2相切，其中p >0，则动圆圆心的轨迹E 的方程为____________．解析：依题意得，圆心到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离与到直线x ＝－p 2的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px .答案：y 2＝2px2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)． 显然，当AB 垂直于x 轴时，|AF |≠3， 所以AB 的斜率k 存在，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立， 消去y 得k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0， 即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2＝2＋4k2.又|AF |＝3＝x 1＋p2＝x 1＋1，所以x 1＝2，代入k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0，得k 2＝8， 所以x 1＋x 2＝52，x 2＝12，故|BF |＝x 2＋1＝12＋1＝32.答案：32[例2] (1)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C．1 D. 3(2)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.[自主解答] (1)由抛物线y2＝4x，有2p＝4，p＝2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为y＝±3x.不妨取其中一条3x－y＝0.由点到直线的距离公式有d＝|3×1－0|3＋1＝32.(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，AB2＝33p，所以B⎝⎛⎭⎪⎫33p，－p2.又因为点B在双曲线上，故p233－p243＝1，解得p＝6.[答案] (1)B (2)61．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选B 依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.2．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8y D ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，则p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .1．直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题．2．直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度： (1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程； (2)证明直线过定点；(3)求线段长度或线段之积(和)的最值； (4)求定值． [例3](A.浙江高考)已知 △ABP 的三个顶点在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，.(1)若|PF | ＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．[自主解答] (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)． 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )． 由，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎨⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415. 由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为|AB |＝41＋k 2k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2. 所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 2－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43.令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求直线方程．先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可．(2)证明直线过定点．可依题设条件寻找该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个定点．(3)求线段长度和线段之积(和)的最值．可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离．(4)求定值．可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到．(A.宁波模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4， 联立⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，消去x ，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p2，y 1y 2＝4， 由已知，∴y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0， 设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)， 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4，得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ>0得k <－4或k >0， ∴x 0＝x B ＋x C2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴b ＝2(k ＋1)2，∴b >2. 故b 的取值范围为(2，＋∞)．——————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————4个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2＝p2 4；(3)y1y2＝－p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点．前沿热点(十二)与抛物线有关的交汇问题1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．[典例] (B.湖南高考)过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0，k2>0，证明：<2p2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程． [解题指导] (1)直线l 1的方程与抛物线方程联立，得出根与系数的关系，再由向量的坐标形式得出的表达式，再证明不等式；(2)先求出点M到直线l 的距离的表达式，再求最值，结合已知条件即可求p ，从而得出抛物线方程．[解] (1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y＝k 1x ＋p2.由⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，＝(pk 2，pk 22)．于是＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1. 故<p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2， 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0.于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离 d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋142＋785.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p85.由题设，7p 85＝755，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y . [名师点评] 解答本题的关键有以下两点：(1)充分利用k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2时，k 1·k 2<⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222； (2)注意2k 21＋k 1＋1>0，即d ＝|2k 21＋k 1＋1|5＝2k 21＋k 1＋15.(A.湖州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)由题意知交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8， ∴2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x . (2)∵l 1：y ＝－x ，又直线l 2与l 1垂直，所以可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴交点为M . 由⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0， ∴m ＞－2.由韦达定理，y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.[全盘巩固]1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.2．(A.辽宁高考) 已知点A(－2,3) 在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C 的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－43B．－1C．－34D．－12解析：选C 因为点A在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F(2,0)，所以k AF＝3－0－2－2＝－34，选C.3．(B.江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( ) A．2∶ 5 B．1∶2C．1∶ 5 D．1∶3解析：选C FA：y＝－12x＋1，与x2＝4y联立，得xM＝5－1，FA：y＝－12x＋1，与y＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相似知|FM||MN|＝xM4－x M＝15.4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若则 ( )A．9 B．6 C．4 D．3解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，＝x1＋x2＋x3＋32p＝6.5．已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是( ) A．抛物线 B．椭圆C．双曲线的一支 D．直线解析：选A 由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．6．(A.台州模拟)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( )A．2 B．2 2C．2 3 D．4解析：选C 设P(x0，y0)，根据抛物线定义得|PF|＝x0＋2，所以x0＝32，代入抛物线方程求得y2＝24，解得|y|＝26，所以△POF的面积等于12·|OF|·|y|＝12×2×26＝2 3.7．(B.北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．解析：∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，∴p2＝1，解得p＝2，∴准线方程为x＝－1.答案：2 x＝－18．(A.丽水模拟)设Q为圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0上任意一点，抛物线y2＝8x的准线为l.若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PQ|的最小值为________．解析：如图由抛物线定义可得，点P 到准线的距离等于其到焦点F 的距离，故问题转化为点P 到焦点的距离与到圆上点的距离之和的最小值，由圆的知识可知当且仅当点P 为圆心C 和焦点F 的连线与抛物线的交点，Q 取CF 的连线与圆的交点时，距离之和取得最小值，即m ＋|PQ |≥|CF |－r ＝－3－22＋－4－02－2＝41－2.答案：41－2.9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.答案：4310．已知以向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为方向向量的直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若＋p 2＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．解：(1)由题意可得直线l的方程为y＝12x＋54，①过原点垂直于l的直线方程为y＝－2x.②解①②得x＝－1 2 .∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，∴－p2＝－12×2，p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由题意知y0＝y1. 由＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0，又y21＝4x1，y22＝4x2，解得y1y2＝－8，③直线ON：y＝y2x2x，即y＝4y2x.④由③④及y0＝y1得点N的轨迹方程为x＝－2(y≠0)．11．已知定点A(1,0)和直线x＝－1上的两个动点E，F，且(其中O为坐标原点)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)设P(x，y)，E(－1，y E)，F(－1，y F)，∵＝(－2，y E)·(－2，y F)＝y E·y F＋4＝0，∴y E·y F＝－4，①∴y－y E＝0且x(－y F)－y＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－y x， 代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)． (2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在，且k ≠0)， 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，Δ＝42－32k >0，即k <12.令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－y 1＋y 224＋32y 1y 2＋1 ＝12k＋1<0，∴－12<k <0，故实数k 的取值范围为(－12,0)．12．(A.杭州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l . (1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝x0－12＋y20，则|TS|＝2r2－d2＝2y20－2x0＋1，因为点M在曲线C上，所以x0＝y2 02，所以|TS|＝2y20－y20＋1＝2，是定值．[冲击名校]已知直线y＝－2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0,2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(x，－2)．∵OP⊥OQ，∴当x＝0时，P，O，Q三点共线，不符合题意，故x≠0.当x ≠0时，得k OP ·k OQ ＝－1，即y x ·－2x ＝－1，化简得x 2＝2y ，∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)．(2)∵直线l 2与曲线C 相切，∴直线l 2的斜率存在．设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋b ，x 2＝2y ，得x 2－2kx －2b ＝0.∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 22.点(0,2)到直线l 2的距离d ＝|－2＋b |k 2＋1＝12·k 2＋4k 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1＋3k 2＋1≥12×2k 2＋1·3k 2＋1 ＝ 3.当且仅当k 2＋1＝3k 2＋1，即k ＝±2时，等号成立．此时b ＝－1.∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.[高频滚动]1．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( ) A.62 B.32C. 3 D ．2 解析：选A 由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52. ∴点P 到原点的距离为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝62. 2．已知双曲线x 26－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为________．解析：由题意知F 1(－3,0)，设M (－3，y 0)，代入双曲线方程求得|y 0|＝62，即|MF 1|＝62.又|F 1F 2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F 1到直线F 2M 的距离为d ＝|MF 1|·|F 1F 2||MF 1|2＋|F 1F 2|2＝62×664＋36＝65.。
高三抛物线定理知识点归纳总结
高三抛物线定理知识点归纳总结高三学生在学习数学的过程中，会接触到抛物线这一重要的数学概念。
抛物线是数学中的一个曲线，具有许多特殊的性质和定理。
本文将对高三抛物线定理的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用抛物线定理。
一、基本概念1. 抛物线的定义：抛物线是平面上一点到定点和定直线的距离之差等于常数的轨迹。
2. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二、顶点与对称轴1. 顶点的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。
2. 对称轴的方程：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为x = -b/(2a)。
三、焦点与准线1. 焦点的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，焦点的坐标为(-b/(2a), f(-b/(4a)))。
2. 准线的方程：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，准线的方程为y = (1 - 1/(4a))。
四、判别式与图像开口方向1. 判别式的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，判别式的值Δ = b^2 - 4ac。
a) 当Δ > 0时，抛物线开口向上。
b) 当Δ < 0时，抛物线开口向下。
c) 当Δ = 0时，抛物线开口朝上或朝下，具有最小值或最大值。
五、焦距与准线的关系1. 焦距的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，焦距的值为f = |1/(4a)|。
2. 焦距与准线的关系：焦距的值为准线到焦点的距离，即f = d(P,D)/2，其中P为焦点，D为准线。
六、渐近线1. 抛物线的渐近线：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，纵坐标趋势无限增大时，横坐标趋势无穷大或无穷小，即y趋于∞时，如果a ≠ 0，则直线y = 0为横渐近线；如果a = 0，则不存在横渐近线。
高三抛物线的知识点
高三抛物线的知识点一、概念介绍抛物线是解析几何中的一种曲线，它具有特殊的对称性和独特的性质。
具体而言，抛物线是一种由平面上一动点P和定点F （焦点）以及定直线d（准线）所确定的曲线。
在抛物线上，任意点P到焦点F的距离等于该点到准线d的距离。
二、一般方程抛物线的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
这是抛物线的标准形式，它描述了不同抛物线的形状和位置。
三、顶点坐标对于抛物线的一般方程y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，抛物线的顶点坐标可以通过以下公式计算得到：顶点的横坐标 x = -b / (2a)顶点的纵坐标 y = (4ac - b^2) / (4a)四、对称性质抛物线具有对称性，即抛物线的焦点F关于抛物线的准线d对称，抛物线上的任意一点P与准线d之间的距离等于点P的对称点P'与准线d之间的距离。
五、焦点与准线的关系在抛物线上，焦点F的横坐标等于准线d与抛物线的顶点的横坐标的平均值。
即焦点的横坐标 x_F = (2a^2 - b) / (4a)六、抛物线的方向抛物线的开口方向由a的值所决定。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
七、焦距和准线长度的关系在抛物线上，焦距等于准线长度的绝对值。
即焦距的长度等于|4a|。
八、抛物线的性质总结1. 抛物线是关于y轴对称的；2. 焦点F在抛物线的对称轴上，对称轴与准线d垂直；3. 抛物线的拱度由参数a的绝对值决定，|a|越小则拱度越大，反之越小；4. 抛物线与x轴的交点称为抛物线的零点。
九、高三学习抛物线的重要性抛物线是高三数学课程的重要内容之一，它在解析几何、函数与方程等领域发挥着重要作用。
学习抛物线的知识点有以下几个重要的作用：1. 拓展思维：抛物线的独特形状和性质需要学生用几何的思维去理解和分析，培养了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
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抛物线
平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y 2＝2px (p>0)
y 2＝－2px(p>0)
x 2＝2py(p>0)
x 2＝－2py(p>0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 &
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y ＝0
x ＝0
$
焦点
F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭
⎫－p 2，0
F ⎝
⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭
⎫0，－p 2
离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p
2 x ＝p 2 。
y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向
向右
向左
-
向上
向下
第二部分 考点解析
题型一 抛物线的定义及应用
例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标.
》
变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()
题型二抛物线的标准方程和几何性质
例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.
*
变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()
＝±4x ＝±8x
＝4x ＝8x
变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于()
∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3
题型三抛物线焦点弦的性质
…
例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O.
：
变式练习 4.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4；
(2)1|AF|＋1
|BF|为定值；
(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
-
题型四 直线与抛物线的位置关系
例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m>0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q.
;
(1)求抛物线C 的焦点坐标.
(2)若抛物线C 上有一点R(x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值.
(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
【
变式练习 5.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →
＜0若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
￥
例5 设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两 点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点). ~
(1)求抛物线C 的方程；
(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
~
方法与技巧小结
1.认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my(m ≠0). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝
p 2
4；
(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝2p
sin 2θ；
(3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF|＋1|BF|＝2
p . 第三部分 巩固练习
）
A 组 专项基础训练
一、选择题
1.抛物线y ＝－1
2x 2的焦点坐标是
( )
A.(0，18)
B.(－18，0)
C.(0，－12)
D.(－1
2，0) 2.抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－
y 2
3＝1的渐近线的距离是
( )
3.已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
( )
＝1
＝－1 ＝2
＝－2
4.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2
x 1x 2
的值一定等于( ) A.－4
D.－p 2
—
5.如图，抛物线
C 1：y 2＝2px
和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 2
4，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于
A ，
B ，
C ，
D 四点，则AB →·CD →
的值为( )
二、填空题
6.若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是__________.
7.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
8.已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的准线为l ，过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →
，则p ＝________.
、
三、解答题
9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程.
￥
10.如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N. (1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|； (2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径.
B 组 专项能力提升
1.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|等于
( )
2.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF(其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( ) A.(2,22) B.(2，－22) !
C.(2，±2)
D.(2，±22)
3.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB 的面积为
( )
4.已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P
到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________.
5.如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.。