江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2018届高三下学期教学情况调研(一)数学

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江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(一)(解析版)

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研单项选择题：1.下列各式属于定义式的是A. 加速度a ＝F mB. 电动势E n t ∆Φ=∆C. 电容4S C kd επ=D. 磁感应强度F B IL= 【答案】D【解析】 F a m=是牛顿第二定律的表达式，不是加速度的定义式，故A 错误．电动势E n t ∆Φ=∆是法拉第电磁感应定律的表达式，不是定义式，选项B 错误；电容4S C kdεπ= 是电容的量度公式，是定义式，选项C 错误；磁感应强度F B IL =是磁感应强度的定义式，采用比值法定义，故D 正确．故选D.2.如图所示为从静止开始做直线运动的物体的加速度—时间图象，关于物体的运动下列说法正确的是( )A. 物体在t ＝6 s 时，速度为0B. 物体在t ＝6 s 时，速度为18 m/sC. 物体运动前6 s 的平均速度为9 m/sD. 物体运动前6 s 的位移为18 m【答案】B【解析】物体在t =6s 时，速度为1v 66/18/2at m s m s ==⨯⨯=，选项B 正确，A 错误；因物体做变加速运动，无法求解前6s 的位移和平均速度，故选B.3.高空滑索是勇敢者的运动．如图所示一个人用轻绳通过轻质滑环悬吊在足够长的倾斜钢索上运动（设钢索是直的），下滑过程中到达图中A 位置时轻绳与竖直线有夹角，到达图中B 位置时轻绳竖直向下．不计空气阻力，下列说法正确的是A. 在A位置时，人的加速度可能为零B. 在A位置时，钢索对轻绳的作用力可能小于人的重力C. 在B位置时，钢索对轻环的摩擦力为零D. 若轻环在B位置突然被卡住，则此时轻绳对人的拉力等于人的重力【答案】B【解析】在A位置时，人受到重力和线的拉力，合力沿斜面向下，不为零，则加速度不可能为零；拉力T=mgtanθ，当θ<450时，T<mg，故A错误，B正确；在B位置时，细绳的拉力竖直，则人匀速下滑，此时钢索对轻环的摩擦力等于重力的分力mgsinθ，选项C错误；若轻环在B位置突然被卡住，则此时人将做圆周运动，根据T-mg=m2vL可知，轻绳对人的拉力大于人的重力，选项D错误；故选B.4.一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动，取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能E p与位移x的关系如图所示，下列图象中合理的是【答案】D【解析】粒子仅受电场力作用，做初速度为零的加速直线运动，电场力做功等于电势能的减小量，故：F P E x=，即pE x ﹣图象上某点的切线的斜率表示电场力； A 、pE x ﹣ 图象上某点的切线的斜率表示电场力，故电场力逐渐减小，根据EF q=，故电场强度也逐渐减小，A 错误； B 、根据动能定理，有：k F?x E =，故kE x ﹣图线上某点切线的斜率表示电场力；由于电场力逐渐减小，与B 图矛盾，B 错误；C 、按照C 图，速度随着位移均匀增加，根据公式2202v v ax -=，匀变速直线运动的2x v ﹣图象是直线，题图v x ﹣图象是直线；相同位移速度增加量相等，又是加速运动，故增加相等的速度需要的时间逐渐减小，故加速度逐渐增加；而电场力减小导致加速度减小；故矛盾，C 错误；D 、粒子做加速度减小的加速运动，D 正确；故选D 。

2018年苏锡常镇四市一模试题和答案

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）化学可能用到的相对原子质量：H-1 C一12 N-14 0—16 S-32Na-23 Mg-24 A1-27 Fe-56 Cu-64 2n-65选择题单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．每年3月22日为“世界水日”。

下列有关“废水”的处理正确的是A．工业废水无需处理，直接用于农业灌溉B．废水经氯气消毒后，即可安全再利用C．寻找方式来减少和再利用废水可节约水资源D．收集和处理废水，弊大于利2．下列有关化学用语的表示，正确的是A．氨基(-NH2)的电子式：B．钾离子的结构示意图:C．二氧化碳分子的比例模型：D．碳酸电离的方程式：3．下列有关物质性质与用途具有对应关系的是A．晶体硅熔点高硬度大，可用于制造半导体材料B碳酸钠溶液显碱性，可用于除去金属器件表面的油脂C．碳酸氢钠能与碱反应，可用作焙制糕点的膨松剂D．明矾溶于水能形成胶体，可用于自来水的杀菌消毒4．实验室制各氨气、收集、验证其还原性并进行尾气处理的装置和原理能达到实验目的的是A．用装置甲制取氨气B．用装置乙收集氨气时气体应该从a口进b口出C．装置丙中黑色固体变成红色时还原产物一定为铜D．可以用装置丁吸收氨气，进行尾气处理5．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，其中X、Y处于同一周期且相邻，Z元素的原子在短周期中原子半径最大，W是地壳中含量最多的金属元素。

下列说法正确的是A．原子半径：r(X）<r(Y）<r(W）<r(Z)B．Z和X组成的化合物中一定不含共价键C．W的单质还原性比Z的强D．Y、Z、W三种元素组成的化合物可能是Z3WY66．下列指定反应的离子方程式正确的是A．石灰水中加入过量小苏打溶液：B．将铜丝插入足量浓硝酸中：C．将SO2通入少量氨水中：D．用双氧水从酸化的海带灰浸出液中提取碘：7．在给定的条件下，下列选项所示的物质间转化均能实现的是8．电石(主要成分为CaC2)是重要的基本化工原料。

2018年高三最新高考苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查数学精品

苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查数学第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) cl S 21=锥侧如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.请将正确答案前的字母填在题后的括号内. 1．不等式032≥--xx 的解集是（）A ．]2,(-∞B ．（3，+∞）C ．（2，3）D ．)3,2[ 2．设),2(,53sin ππαα∈=，则αtan 的值为（）A ．43B ．－43C ．34D ．－343．设条件A ：几何体的各个面都是三角形，条件B ：几何体是三棱锥，则条件A 是条件B的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设),1(32)1(2≤+-=-x x x x f ，则函数)(1x f -的图象为（）5．设集合M={a ，b ，c}，N={0，1}，映射f ：M →N 满足)()()(c f b f a f =+，则映射f ：M →N 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．设二项式n xx )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S.若有P+S=272，则n 等于（）A ．4B ．5C ．6D ．87．圆心在抛物线)0(212<=x x y 上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程为（） A ．041222=+--+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．041222=+-++y x y x D ．01222=++-+y x y x8．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E.若,0,,≠==xy AC y AE AB x AD 则yx 11+的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 9．给出下列四个命题：（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V 、面数F 满足的关系式为2F－V=4.（3）若直线l ⊥平面α，l ∥平面β，则α⊥β.（4）命题“异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任一平面与b 都不垂直”的否定. 其中，正确的命题是（） A ．（2）（3） B ．（1）（4） C ．（1）（2）（3） D ．（2）（3）（4）10．一个正方体，它的表面涂满了红色.在它的每个面上切两刀，可得27个小立方块，从中任取2个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为（）A ．11716B ．11732C ．398 D ．3916 11．设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为32，则其外接球的表面积为（）A ．48πB ．36πC ．32πD ．12π12．设]2,[,),()()(ππ--∈-+=R x x f x f x F 是函数F(x )的单调递增区间，将F(x )的图象按a )0,(π=平移得到一个新的函数G(x )的图象，则G(x )的单调递减区间必定是（）A ．]0,2[π-B ．],2[ππC ．]23,[ππ D ．]2,23[ππ第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.13．某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为 .14．若双曲线14222=-y ax 过点)2,23(-，则该双曲线的焦距为 . 15．某地区预计2018年的前x 个月内对某种商品的需求总量)(x f （万件）与月份x 的近似关系式是121*,),19)(1(751)(≤≤∈-+=x N x x x x x f ，则2018年的第x 月的需求量g(x )（万件）与月份x 的函数关系式是 . 16．若直线y=x 是曲线ax x x y +-=233的切线，则a = .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是51（假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）.（1）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率.（2）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2个交叉路口的概率.18．（本小题满分12分）已知函数)0(cos cos sin 3)(2>-⋅=ωωωωx x x x f 的周期为.2π（1）求ω的值.（2）设△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=a c ，且边b 所对的角为x ，求此时函数f(x)的值域.19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.（1）PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论.（2）求二面角P—BD—C的大小.（3）求证：平面PAD⊥平面PAB.20．（本小题满分12）设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f （1）求函数)(x f 的单调区间、极值.（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.21．（本小题满分12分）设二次函数)(,*)](1,[,)(2x f N n n n x x x x f 时当∈+∈+=的所有整数值的个数为g(n).（1）求g(n)的表达式.（2）设.,)1(*),()(321432123n n n n n S a a a a a S N n n g n n a 求--++-+-=∈+=（3）设l Z l l T b b b T n g b n n n n n 求若),(.,2)(21∈<+++== 的最小值.22．（本小题满分14分）以O 为原点，所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设,1=⋅点F 的坐标为（t ，0），),3[+∞∈t ，点G 的坐标为).,(00y x（1）求0x 关于t 的函数)(0t f x =的表达式，判断函数)(t f 的单调性，并证明你的判断.（2）设△OFG 的面积t S 631=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当||OG 取得最小值时椭圆的方程.（3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为)29,0(，C 、D 是椭圆上的两点，且)1(≠=λλPD PC ，求实数λ的取值范围.数学参考答案一、选择题1.D2.B3.B4.C5.C6.A7.C8.B9.A 10.C 11.B 12.D 二、填空题13．15、2、3 14．132 15．*,121),13(251)(N x x x x x g ∈≤≤-=（注：未写x 的取值范围可视作正确） 16．1或413 三、解答题 17．（1）经过各交叉路口遇到红灯，相当于独立重复试验，所以恰好遇到3次红灯的概率为 .62516)511()51()3(3344=-=C P …………6分（2）记“经过交叉路口遇到红灯”事件A.张华在第1、2个交叉路口末遇到红灯，在第3个交叉路口遇到红灯的概率为 )()()()(A P A P A P A A A P P ⋅⋅=⋅⋅=…………10分 =.1251651)511()511(=⨯-⨯-…………12分 18．（1）.21)62sin()12(cos 212sin 23)(--=+-=πωωωx x x x f …………3分由函数)(x f 的周期.2,222===ωπωπ得T …………5分函数)(x f 的表达式为.21)64sin()(--=πx x f …………6分（2）由题意，得.21222cos 222=-≥-+=ac ac ac ac b c a x …………8分又,0π<<x ∴.30π≤<x …………9分∴.67646πππ≤-<-x ………………10分 ∴.2121)64sin(1,1)64sin(21≤--≤-≤-≤-ππx x即函数)(x f 的值域为[－1，21].…………12分19．解答一：（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：取BC 的中点O ，连结AO ，交BD 于点E ；连结PO.…………1分 ∵PB=PC ，∴PO ⊥BC. 又∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，∴PO ⊥平面ABCD.…………2分在梯形ABCD 中，可得Rt △ABO ≌Rt △BCD ， ∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，即AO ⊥BD. ∴PA ⊥BD. …………4分（2）连结PE ，由PO ⊥平面ABCD ，AO ⊥BD ，可得PE ⊥BD ，…………5分 ∴∠PEO 为二面角P —BD —C 的平面角.………………6分设AB=BC=PB=PC=2CD=2a ，则在Rt △PEO 中，PO=,55,3a OE a =.15tan ==∠EOPOPEO ∴二面角P —BD —C 为.15arctan …………8分（3）取PB 的中点N ，连结CN ，由题意知：平面PBC ⊥平面PAB ，则同“（1）”可得CN ⊥平面PAB. ………………9分取PA 的中点M ，连结DM 、MN ，则由MN//AB//CD ，MN=21AB=CD ，得四边形MNCD 为平行四边形. ∴CN//DM. …………10分 ∴DM ⊥平面PAB.…………11分 ∴平面PAD ⊥平面PAB.………………12分解答二：取BC 的中点O ，由侧面PBC ⊥底面ABCD ， △PBC 是等边三角形，得PO ⊥底面ABCD.…………1分以BC 中点O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O —x yz.……2分设CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2，在等边三角形PBC 中，PO=3.…………3分∴A （1，－2，0），B （1，0，0）、D （－1，－1，0）、 P （0，0，3）.).3,2,1(),0,1,2(--=--=…………4分（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：∵,0)3(0)2()1(1)2(=-⨯+-⨯-+⨯-=⋅ ∴.,BD PA BD PA ⊥⊥…………6分（2）连结AO ，设AO 与BD 相交于点E ；连结PE.由,000)1()2()2(1=⨯+-⨯-+-⨯=⋅BD OA 得.,BD AO BD OA ⊥⊥即又∵AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，∴PE ⊥BD ，∠PEO 为二面角P —BD —C 的平面角.…………8分在Rt △BEO 中，OE=OB ·.55sin =∠OBE 在Rt △PEO 中，.15tan ==∠OEPOPEO ∴二面角P —BD —C 为.15arctan ……9分（3）取PA 的中点M ，连结DM ，则M 的坐标为（23,1,21-）.……10分又)23,0,23(=，)3,0,1(-=， ∴,0)3(23)2(0123=-⨯+-⨯+⨯=⋅ .0)3(2300123=-⨯+⨯+⨯=⋅ ∴.,,,PB DM PA DM ⊥⊥⊥⊥即………………11分 ∴DM ⊥平面PAB. ∴平面PAD ⊥平面PAB.…………12分20．（1）.34)(22a ax x x f -+-='…………1分令a x a x a ax x x f 3,034)(22===-+-='或得…………2分可知：当),(a x -∞∈时，函数)(x f 为减函数，当),3(+∞∈a x 时。

苏、锡、常、镇四市2018-2019学年度高三教学情况调查(一)数学试题

2018—2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{}11x x -<<，则A B ＝．2．i 为虚数单位，复数2(12i)-的虚部为． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为．4．箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为．5．如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为．6．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是7．已知函数2log (3)0()210x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，，，若1(1)2f a -=，则实数a ＝．8．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马在最后一天行走的里程数为．9．已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为．10．设定义在区间(0，2π)上的函数y x =的图象与3cos 22y x =+的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin(A﹣4π)＝． 12．若直线l ：40ax y a +-=上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆O ：221x y +=上存在点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为． 13．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为．14．己知函数2()f x x x a =+-，()(21)ln g x a x a x =-+，若函数()y f x =与函数y =()g x 的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，三棱锥D —ABC 中，己知AC ⊥BC ，AC ⊥DC ，BC ＝DC ，E ，F 分別为BD ，CD 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）BD ⊥平面ACE ．16．（本小题满分14分）已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos sin αα-，cos sin αα+)．（1）求向量a 与b 的夹角；（2）若()b a λ-⊥a ，求实数λ的值．某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB ，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD 区域种植草坪，其中A ，B ，C ，D 均在该抛物线上．经测量，直路AB 长为40米，抛物线的顶点P 到直路AB 的距离为40米．设点C 到抛物线的对称轴的距离为m 米，到直路AB 的距离为n 米．（1）求出n 关于m 的函数关系式；（2）当m 为多大时，等腰梯形草坪ABCD 的面积最大？并求出其最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为3．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D,，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA PBPC PD⋅⋅为定值．已知函数()(1)ln (R)f x x x ax a =++∈．（1）若()y f x =在(1，(1)f )处的切线方程为0x y b ++=，求实数a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，x ∈[1，e]（其中e 为自然对数的底数）．①当a ＝﹣1时，求()g x 的最大值；②若()()exg x h x =是单调递减函数，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）定义：若有穷数列1a ，2a ，…，n a 同时满足下列三个条件，则称该数列为P 数列．①首项11a =；②12n a a a <<<…；③对于该数列中的任意两项i a 和j a (1≤i ＜j ≤n )，其积i j a a 或商j ia a 仍是该数列中的项．（1）问等差数列1，3，5是否为P 数列？（2）若数列a ，b ，c ，6是P 数列，求b 的取值范围；（3）若n ＞4，且数列1b ，2b ，…，n b 是P 数列，求证：数列1b ，2b ，…，n b 是等比数列．2018—2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学II （加试）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵A ＝ 10 x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值﹣1的一个特征向量，求矩阵A 的另一个特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：sin()03πρθ-=，在直角坐标系（原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C 的参数方程为1414y t tx t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．设l 与C 交于A ，B 两点，求AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲若不等式15x x a ++-≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）蚊：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X ＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X ＝3)”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X 的数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）已知34268243451681022()n nn n C C C C f n C C C C ++=++++，562468243451681022()n nn n C C C C g n C C C C +++=++++，其中n N *∈，2n ≥．（1）求(2)f ，(3)f ，(2)g ，(3)g 的值；（2）记()()()h n f n g n =-，求证：对任意的m N *∈，m ≥2，总有1(2)2m m h ->．2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{}0 2．4- 3．(1,0) 4．125．408. 7001279．2π 10．313．94- 14．1a >二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）三棱锥D ABC -中，∵E 为DC 的中点，F 为DB 的中点，∴EF BC ∥， …………………………3分 ∵BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ． ……………………………………………………………6分（2）∵AC BC ⊥，AC DC ⊥，BC DC C =，∴AC ⊥平面BCD ， …………………………………………………………………8分 ∵BD ⊂平面BCD ，∴AC BD ⊥， ………………………………………………10分 ∵,DC BC E =为BD 的中点，∴CE BD ⊥， ……………………………………12分 ∵AC CE C =，∴BD ⊥平面ACE ． …………………………………………14分 16．（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，=b 4分所以cos θ⋅=⋅a b a b =22==． …………………………………………………………7分考虑到0πθ剟，得向量a 与b 的夹角4π． ………………………………………9分（2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ， ………………………12分因为2⋅=b a ，24=a ，所以240λ-=，解得2λ=． ……………………………………………………14分 17.（1）以路AB 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系， …………………………………………………1分则(20,0)A -，(20,0)B ，(0,40)P ， …………………………………………………2分∵曲线段APB 为抛物线的一段弧，∴可以设抛物线的解析式为(20)(20)y a x x =-+，将点(0,40)P 代入得：40400a =-，解得110a =-， ………………………………4分 ∴抛物线的解析式为21(400)10y x =-， …………………………………………5分∵点C 在抛物线上，∴21(400)10n m =-，00m <<2． ………………………6分（2）设等腰梯形ABCD 的面积为S ，则211(240)(400)210S m m =⨯+⨯-， ………………………………………………8分321(204008000)10S m m m =--++， ………………………………………………9分 ∵211(340400)(320)(20)1010S m m m m '=--+=--+， ………………………10分令0S '=，得20m =， …………………………………………………………11分分 ∴当203m =时，等腰梯形ABCD 的面积最大，最大值为2560027平方米． …………14分 18． (1)设椭圆的半焦距为c ，由已知得，c a=2a c c -=，222c a b =-， ………………………………………3分解得2a =，1b =，c =， …………………………………………………………5分∴椭圆E 的标准方程是2214x y +=． ………………………………………………6分(2)由题意，设直线1l 的方程为1()y k x t =-，代入椭圆E 的方程中，并化简得，22222111(14)8440k x k t xk t +-+-=， …………………………………………………8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．则211221814k t x x k +=+，22112214414k t x x k -=+，因为PA 1t -，PB 2t -，……………………………………10分所以PA PB ⋅=2112(1)k x t x t +--2211212(1)()k t x x t x x =+-++2222221112211844(1)1414k t k t k t k k -=+-+++221211|4|14k t k +-=+（）， ……………………………12分同理，PC ⋅ PD =222221|4|14k t k +-+（）， …………………………………………………14分所以PA PB PC PD ⋅⋅=22122221(114114k k k k ++++)()()()为定值． ………………………………………16分19．（1）1()ln x f x x a x+'=++，(1)21f a '=+=-，3a =-， ………………………1分 (1)3f a ==-，(1,3)-代入0x y b ++=解得2b =． ……………………………2分（2）①∵1()(1)ln 1g x x x =+-，则222ln 1ln 1()x x x x g x x x x+-+'=-+=． …………3分令()ln 1x x x ϕ=-+，则1()10x xϕ'=-≥，()x ϕ在[]1,e 单调递增， …………………………………5分()(1)0x ϕϕ>≥， ………………………………………………………………6分∴()0g x '>，()g x 在[]1,e 单调递增，∴()g x 的最大值为1(e)eg =． …………8分 ②同理，单调递增函数()()f x g x x =1,1e a a ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦， ……………………………9分则11()(1)ln ex h x x a x =++⋅．1若0a ≥，()0g x ≥，1(1)ln ()ex x ax h x ++=，22111ln (1)ln ()e x x x x a x x x h x +-+-+-'=222(1)ln 10e xx x x ax x x -++-++=…，令22()(1)ln 1u x x x x ax x =-++-++，则1()(12)ln (21)0u x x x a x x'=-+--+<．即()u x 在[]1,e 单调递减，∴max ()(1)20u x u a ==-+…，∴2a ≥．……………11分2若a …1知，h 即221(1)ln ax x x x x +-++≤对[1,e]x ∈恒成立，3若e e +-[)2,⎤+∞⎥⎦．20．（1）∵3515⨯=，53均不在此等差数列中， ∴等差数列1,3,5不是P 数列； …………………………………………………2分（2）∵数列a ，b ，c ，6是P 数列，所以1＝a ＜b ＜c ＜6， ………………………3分由于6b 或6b是数列中的项，而6b 大于数列中的最大项6， ∴6b 是数列中的项，同理6c也是数列中的项， ……………………………………5分考虑到1＜6c ＜6b ＜6，于是6c ＝b ，6b＝c ，∴bc ＝6，又1＜b ＜c ，所以1＜b …………………………………………7分综上，b 的取值范围是(1． ………………………………………………8分（3）∵数列{b n }是P 数列，所以1＝b 1＜b 2＜b 3＜…＜b n ，由于b 2b n 或2n b b 是数列中的项，而b 2b n 大于数列中的最大项b n ， ∴2n b b 是数列{b n }中的项， …………………………………………………………10分同理3n b b ，4n b b ，…，1n n b b -也都是数列{b n }中的项，考虑到1＜1n n b b -＜…＜2n b b ＜b n ，且1，1n n b b -，…，2n b b ，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，b n 中的项， ∴21n n b b b -=，…，12n n b b b -=，从而b n ＝b i b n ＋1－i (i ＝1，2，...，n －1)，① ....................................12分又∵b n －1b 3＞b n －1b 2＝b n ，所以b n －1b 3不是数列{b n }中的项， ∴13n b b -是数列{b n }中的项，同理14n b b -， (12)n n b b --也都是数列{b n }中的项，考虑到1＜12n n b b --＜…＜14n b b -＜13n b b -＜3n b b ＝b n －2＜b n －1＜b n ，且1，12n n b b --，…，14n b b -，13n b b -，3n b b ，b n －1，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，b n 中的项，于是，同理有，b n －1＝b i b n －i (i ＝1，2，…，n －2)，② …………………………14分在①中将i 换成i ＋1后与②相除，得1n n b b -＝1i ib b +，i ＝1，2，…，n －2， ∴b 1，b 2，…，b n 是等比数列． …………………………………………………16分2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，三小题，每小题10分．A ．（选修4—2：矩阵与变换）解：∵12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵10x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值1-的一个特征向量， ∴111022x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴21,22,x y +=-⎧⎨=-⎩解得3,1x y =-=-， ……………………4分 ∴3101A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， …………………………………………………………………6分特征多项式为31()001f λλλ+-==+，即(3)(1)0λλ++=， ……………………8分 ∴另一个特征值为3λ=-． …………………………………………………………10分B ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴建立坐标系，直线sin()03πρθ-=的直角坐标方程为y =， ……………………………………2分曲线1,41,4y t t x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的普通方程为221y x -=， ……………………………………………4分则直线与曲线的交点为A和(B ， ………………………………7分∴AB = ………………………………………………………………10分C ．（选修4—5：不等式选讲）解：∵111x x a x x a a ++-+-+=+≥， …………………………………………4分 ∴要使不等式15x x a ++-≥对任意的R x ∈恒成立，当且仅当15a +≥， ………7分 ∴4a ≥或6a -…． ………………………………………………………………………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分．22．解：由于批量较大，可以认为随机变量(10,0.05)X B , ………………………2分（1）恰好有2件不合格的概率22810(2)0.050.95P X C ==⨯⨯，恰好有3件不合格的概率33710(3)0.050.95P X C ==⨯⨯， ……………………………4分∵22810337100.050.95(2)571(3)0.050.958C P X P X C ⨯⨯===>=⨯⨯， ∴(2)(3)P X P X =>=，即恰好有2件不合格的概率大； …………………………6分（2）∵1010()(1)k k k k P X k p C p p -===-，0,1,2,,10k =.随机变量X 的概率分布为：故0()0.5k k E X kp ===∑． ………………………………………………………………9分答：随机变量X 的数学期望()E X 为0.5． …………………………………………10分23．解：（1）24363(2)10C f C ==，3264346841(3)70C C f C C =+=， 44361(2)20C g C ==，5464346819(3)140C C g C C =+=；……………………………………………3分（2）∵222122(2)!(2)!(!)(!)((2)!)((2)!)(22)!((1)!)((1)!)k k k k k k k k C Ck k k k k C k k +++--⋅-⋅+=++⋅+ 2(1)(2)(1)(1)(22)(21)(2)k k k k k k k k ++-+-=+++ (1)(42)1(22)(21)(2)2k k k k k k ++==++++， ………………………………………4分 ∴222122221()()()2k k n n k k k k k k C Ch n f n g n C k ++==+-=-==+∑∑．……………………………………5分下面用数学归纳法证：对任意的*,2N m m ∈≥，总有1(2)2m m h ->．当2m =时，111371(4)456602h =++=>，命题成立；则当1m t =+时，11111(2)(2)232422t t t t t h h ++=+++⋅⋅⋅++++ 111111122324252622t t t t t t +->++++⋅⋅⋅++++++（）， …………………………7分 ∵3t ≥，1113232422t t t ++-+++1(23)2(23)(24)(22)t t t t t +--22=+++0>， ∴1113232422t t t ++>+++． ……………………………………………………………8分又1111252622t t t ++⋅⋅⋅++++111111222222t t t +++>++⋅⋅⋅++++ 12222t t +-=+， ………………………………………………………………………9分 ∴1111322(2)222222t t t t t t h +++-->++=++， ∴命题成立． ……………………………………………………………………………10分。

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(一)

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研单项选择题：1.下列各式属于定义式的是A. 加速度a ＝F mB. 电动势E n t ∆Φ=∆C. 电容4S C kd επ=D. 磁感应强度F B IL= 2.如图所示为从静止开始做直线运动的物体的加速度—时间图象，关于物体的运动下列说法正确的是( )A. 物体在t ＝6 s 时，速度为0B. 物体在t ＝6 s 时，速度为18 m/sC. 物体运动前6 s 的平均速度为9 m/sD. 物体运动前6 s 的位移为18 m3.高空滑索是勇敢者运动．如图所示一个人用轻绳通过轻质滑环悬吊在足够长的倾斜钢索上运动（设钢索是直的），下滑过程中到达图中A 位置时轻绳与竖直线有夹角，到达图中B 位置时轻绳竖直向下．不计空气阻力，下列说法正确的是A. 在A 位置时，人的加速度可能为零B. 在A 位置时，钢索对轻绳的作用力可能小于人的重力C. 在B 位置时，钢索对轻环的摩擦力为零D. 若轻环在B 位置突然被卡住，则此时轻绳对人的拉力等于人的重力4.一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动，取该直线为x 轴，起始点O 为坐标原点，其电势能E p 与位移x 的关系如图所示，下列图象中合理的是的5.一长轻质薄硬纸片置于光滑水平地面上，其上放质量均为1kg的A、B两物块，A、B与薄硬纸片之间的动摩擦因数分别为μ1=0.3，μ2=0.2，水平恒力F作用在A物块上，如图所示．已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2．下列说法正确的是A. 若F=1.5N，则A物块所受摩擦力大小为1.5NB. 若F=8N，则B物块的加速度为4.0m/s2C. 无论力F多大，A与薄硬纸片都不会发生相对滑动D. 无论力F多大，B与薄硬纸片都不会发生相对滑动二、多项选择题：6.如图所示，a、b、c为三只完全相同的灯泡，L为电阻不计的纯电感，电源内阻不计．下列判断正确的是A. S闭合的瞬间，b、c两灯亮度相同B. S闭合足够长时间后，b、c两灯亮度相同C. S断开的瞬间，a、c两灯立即熄灭D. S断开后，b灯先突然闪亮后再逐渐变暗熄灭7.如图所示，我国自主研发的北斗卫星导航系统由35颗卫星组成，包括分布于a类型轨道的5 颗同步轨道卫星、分布于b类型轨道的3颗倾斜轨道卫星(与同步卫星轨道半径相同，轨道倾角55︒)和分布于c类型轨道的27颗中轨道卫星，中轨道卫星在3个互成120︒的轨道面上做圆周运动,预计2020年全部建成．下列说法正确的是（）A. a类型轨道上的卫星相对于地面静止且处于平衡状态B. a类型轨道上的卫星运行速率等于b类型卫星的速率C. b类型轨道上的卫星也与地球保持相对静止D. 三类卫星相比，c类卫星的向心加速度最小8.如图所示，MN为半圆环MQN的水平直径．现将甲、乙两个相同的小球分别在M、N两点同时以v1、v2的速度水平抛出，两小球刚好落在圆环上的同一点Q，不计空气阻力．则下列说法正确的是A. 落到Q点时，甲、乙两小球重力的瞬时功率相等B. 乙球落到圆环时的速度有可能沿OQ方向C. 若仅增大v1，则两小球一定能在落到圆环前相遇D. 从抛出到落到Q点的过程中，甲球动能的增加量比乙球的小9. 电动自行车是一种应用广泛的交通工具，其速度控制是通过转动右把手实现的，这种转动把手称“霍尔转把”，属于传感器非接触控制．转把内部有永久磁铁和霍尔器件等，截面如图甲．开启电源时，在霍尔器件的上下面之间加一定的电压，形成电流，如图乙．转把转动永久磁铁也跟着转动，霍尔器件能输出控制车速的电势差，已知电势差与车速关系如图丙，以下关于“霍尔转把”叙述正确的是（）A. 为提高控制的灵敏度，永久磁铁的上下端分别为N、S 极B. 按图甲顺时针转动把手，车速变快C. 图乙中从霍尔器件的左、右侧面输出控制车速的电势差D. 若霍尔器件的上下面之间所加电压正负极性对调，不影响车速控制三、简答题：10.如图甲所示是小明同学探究加速度与力的关系的实验装置．他在气垫导轨上安装了一个光电门B，滑块上固定一遮光条，滑块用细线绕过气垫导轨左端的定滑轮与力传感器相连，传感器下方悬挂钩码，每次滑块都从A处由静止释放．（1）小明用游标卡尺测量遮光条的宽度d，示数如图乙所示，则d＝____mm．（2）实验时，将滑块从A位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门B的时间t，若要得到滑块的加速度，还需要测量的物理量c是____（用文字表述）．（3）小亮同学认为：无需测出上述c和d，只要画出以F（力传感器示数）为横坐标、以____为纵坐标的图象就能直接反映加速度与力的关系．（4）下列实验操作和要求必要的是____（请填写选项前对应的字母）．A．应将气垫导轨调节水平B．应测出钩码和力传感器的总质量C．应使A位置与光电门间的距离适当大些D．应使滑块质量远大于钩码和力传感器总质量11.在“测电源电动势和内阻”的实验中，某实验小组同学根据图甲电路进行测量实验．的（1）根据图甲电路，请在乙图中用笔画线代替导线，完成实物电路的连接_________．（2）实验小组同学操作正确，记录下几组电压表和电流表的示数，并在坐标系内作出电压表示数U和对应的电流表示数I的图象，如图丙所示．由图象可测得E测和r测，则E测____E真；r测____r真（选填“>”、“=”、“<”）．（3）为了克服系统误差，同学们又根据图丁电路进行测量．同样作出U-I图象，如图戊所示．经过讨论发现，利用图丙和图戊可以消除系统误差得出电源的电动势和内阻的真实值，则E真=____，r真=____．12.下列说法中正确的是.A. 悬浮在液体中足够小的微粒，受到来自各个方向的液体分子撞击的不平衡使微粒的运动无规则B. 单晶体的某些物理性质呈现各向异性，是因为组成它们的原子（分子、离子）在空间上的排列是杂乱无章的C. 液体表面张力产生的原因是液体表面层分子间距离比较大，分子力表现为引力D. 若把氢气和氧气看做理想气体，则质量和温度均相同的氢气和氧气内能相等13.在温度不变的情况下，增大液面上饱和汽的体积并再次达到饱和时，饱和汽的质量_______，饱和汽的压强________（两空都选填“增大”、“减小”或“不变”）．14.如图所示，轻质活塞将体积为V0、温度为3T0的理想气体，密封在内壁光滑的圆柱形导热气缸内．已知大气压强为p0，大气的温度为T0，气体内能U与温度的关系为U=aT (a为常量)。

江苏省2018-2019学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查(一)数学试题(含附加题)

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ一、填空题，本大题共14 题，每小题5 分，共70 分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合A ={0，1，2}，B ={x | -1 <x < 1}，则A∩B =▲ ．2、i为虚数单位，复数(1- 2i)2 的虚部为▲ ．3、抛物线y 2 = 4x 的焦点坐标为▲ ．4、箱子中有形状、大小相同的3只红球、1只白球，一次摸出2 只球，则摸到的2 只球颜色相同的概率为▲ ．5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2 组的频数为▲ ．6、如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲ ．7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=，则实数a = ▲ ．8、中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 700 里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ▲ ．9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为 ▲ ．10、设定义在区间 (0，2π)上的函数 y =x 的图像与 y = 3cos 2x + 2 的图像交于点P ，则点 P 到 x 轴的距离为 ▲ ．11、在△ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a = 8b ，A = 2B ，则sin （A -4π）＝ ▲ ． 12、若直线 l : ax + y - 4a = 0 上存在相距为 2 的两个动点 A ，B ，圆 O : x 2 + y 2 =1上存在点 C ，使得△ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数 a 的取值范围为 ▲ ． 13、在△ABC 中，已知 AB = 2， AC = 1，∠BAC = 90º， D ，E 分别为 BC ，AD 的中点，过点 E 的直线交 AB 于点 P ，交 AC 于点 Q ，则BQ CP ⋅u u u r u u r的最大值为 ▲ ． 14、已知函数 f (x ) = x 2 +｜x - a ｜， g (x ) = (2a -1)x + a ln x ，若函数 y = f (x ) 与函数 y = g (x ) 的图像恰好有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：共 6 小题，共 90 分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）如图，三棱锥 D - ABC 中，已知 AC ⊥ BC ， AC ⊥ DC ， BC = DC ， E ，F 分别为BD ， CD 的中点，求证：（1） EF // 平面 ABC ; （2） BD ⊥平面 ACE.16．（本小题满分 14 分）已知向量 a = (2cos α，2sin α )，b = (cos α - sin α，cos α + sin α ). （1）求向量a 与b 的夹角；（2）若(λb - a ) ⊥ a ，求实数 λ的值.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化. 已知空地的一边是直路 AB ，余下的外围是抛物线的一段弧，直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图） . 拟在这个空地上划出一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪，其中 A ， B ，C ， D 均在该抛物线上. 经测量，直路 AB 长为 40 米，抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米. 设点C 到抛物线的对称轴的距离为m 米，到直路AB 的距离为 n 米. （1）求出 n 关于 m 的函数关系式；（2）当m 为多大时，等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值.18．（本小题满分 16 分）已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b +=>> （1）求椭圆 E 的标准方程；（2）已知 P (t ，0) 为椭圆 E 外一动点，过点 P 分别作直线 l 1和 l 2 ， l 1和 l 2 分别交椭圆 E 于点 A ， B 和点C ，D ，且 l 1和 l 2 的斜率分别为定值k 1 和k 2，求证：PA PBPC PD为定值.已知函数 f (x ) = (x +1)ln x + ax (a ∈ R ).（1）若 y = f (x ) 在(1，f (1)) 处的切线方程为 x + y + b = 0 ，求实数 a ，b 的值；（2）设函数 g (x ) ＝()f x x， x ∈ [1，e ]（中 e 为自然对数的底数） . ①当 a =- 1时，求 g (x ) 的最大值；②若h (x ) =()g x x是单调递减函数，求实数 a 的取值范围.20．（本小题满分 16 分）定义：若有穷数列 a 1，a 2，⋅⋅⋅，a n 同时满足下列三个条件，则称该数列为 P 数列.①首项 a 1 = 1； ② a 1 < a 2 < ⋅⋅⋅ < a n ； ③对于该数列中的任意两项 a i 和 a j (1 ≤ i ≤ j ≤ n ) ，其积 a i a j 或商j ia a 仍是该数列中的项.（1）问等差数列1，3，5 是否为 P 数列？（2）若数列 a ，b ，c ，6 是 P 数列，求 b 的取值范围；（3）若 n > 4 ，且数列 b 1，b 2，…，b n 是 P 数列，求证：数列 b 1，b 2，⋅⋅⋅，b n 是等比数列.2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵A ＝ 10 x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值﹣1的一个特征向量，求矩阵A 的另一个特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：sin()03πρθ-=，在直角坐标系（原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C 的参数方程为1414y t tx t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．设l 与C 交于A ，B 两点，求AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲若不等式15x x a ++-≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）蚊：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X ＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X ＝3)”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X 的数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分）已知34268243451681022()n nn n C C C C f n C C C C ++=++++，562468243451681022()n nn n C C C C g n C C C C +++=++++，其中n N *∈，2n ≥．（1）求(2)f ，(3)f ，(2)g ，(3)g 的值；（2）记()()()h n f n g n =-，求证：对任意的m N *∈，m ≥2，总有1(2)2mm h ->．2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{}0 2．4- 3．(1,0) 4．125．408. 700127 9．2π 10．313．94- 14．1a >二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）三棱锥D ABC -中，∵E 为DC 的中点，F 为DB 的中点，∴EF BC ∥， …………………………3分 ∵BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ． ……………………………………………………………6分（2）∵AC BC ⊥，AC DC ⊥，BC DC C =，∴AC ⊥平面BCD ， …………………………………………………………………8分 ∵BD ⊂平面BCD ，∴AC BD ⊥， ………………………………………………10分 ∵,DC BC E =为BD 的中点，∴CE BD ⊥， ……………………………………12分 ∵AC CE C =，∴BD ⊥平面ACE ． …………………………………………14分 16．（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，==b ………………………4分所以cos θ⋅=⋅a ba b =22==…………………………………………………………7分考虑到0πθ剟，得向量a 与b 的夹角4π． ………………………………………9分（2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ， ………………………12分因为2⋅=b a ，24=a ，所以240λ-=，解得2λ=． ……………………………………………………14分 17.（1）以路AB 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系， …………………………………………………1分则(20,0)A -，(20,0)B ，(0,40)P ， …………………………………………………2分∵曲线段APB 为抛物线的一段弧，∴可以设抛物线的解析式为(20)(20)y a x x =-+，将点(0,40)P 代入得：40400a =-，解得110a =-， ………………………………4分∴抛物线的解析式为21(400)10y x =-， …………………………………………5分 ∵点C 在抛物线上，∴21(400)10n m =-，00m <<2． ………………………6分（2）设等腰梯形ABCD 的面积为S ，则211(240)(400)210S m m =⨯+⨯-， ………………………………………………8分321(204008000)10S m m m =--++， ………………………………………………9分 ∵211(340400)(320)(20)1010S m m m m '=--+=--+， ………………………10分令0S '=，得20m =， …………………………………………………………11分分 ∴当203m =时，等腰梯形ABCD 的面积最大，最大值为2560027平方米． …………14分18． (1)设椭圆的半焦距为c ，由已知得，c a=2a c c -=，222c a b =-， ………………………………………3分解得2a =，1b =，c = …………………………………………………………5分∴椭圆E 的标准方程是2214x y +=． ………………………………………………6分 (2)由题意，设直线1l 的方程为1()y k x t =-，代入椭圆E 的方程中，并化简得，22222111(14)8440k x k t xk t +-+-=， …………………………………………………8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．则211221814k t x x k +=+，22112214414k t x x k -=+，因为P A 1t -，PB 2t -，……………………………………10分所以PA PB ⋅=2112(1)k x t x t +--2211212(1)()k t x x t x x =+-++2222221112211844(1)1414k t k t k t k k -=+-+++221211|4|14k t k +-=+（）， ……………………………12分同理，PC ⋅ PD =222221|4|14k t k +-+（）， …………………………………………………14分所以PA PB PC PD ⋅⋅=22122221(114114k k k k ++++)()()()为定值． ………………………………………16分 19．（1）1()ln x f x x a x+'=++，(1)21f a '=+=-，3a =-， ………………………1分 (1)3f a ==-，(1,3)-代入0x y b ++=解得2b =． ……………………………2分（2）①∵1()(1)ln 1g x x x =+-，则222ln 1ln 1()x x x x g x x x x +-+'=-+=． …………3分令()ln 1x x x ϕ=-+，则1()10x xϕ'=-≥，()x ϕ在[]1,e 单调递增， …………………………………5分()(1)0x ϕϕ>≥， ………………………………………………………………6分∴()0g x '>，()g x 在[]1,e 单调递增，∴()g x 的最大值为1(e)eg =． …………8分 ②同理，单调递增函数()()f x g x x =1,1e a a ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦， ……………………………9分则11()(1)ln ex h x x a x =++⋅．1若0a ≥，()0g x ≥，1(1)ln ()e xx ax h x ++=，111ln (1)ln ()exx x x ax x x h x +-+-+-'=222(1)ln 10e x x x x ax x x -++-++=…，令22()(1)ln 1u x x x x ax x =-++-++，则1()(12)ln (21)0u x x x a x x'=-+--+<．即()u x 在[]1,e 单调递减，∴max ()(1)20u x u a ==-+…，∴2a ≥．……………11分2若a …1知，h 即221(1)ln ax x x x x +-++≤对[1,e]x ∈恒成立，3若e +-[)2,⎤+∞⎥⎦．20．（1）∵3515⨯=，53均不在此等差数列中， ∴等差数列1,3,5不是P 数列； …………………………………………………2分（2）∵数列a ，b ，c ，6是P 数列，所以1＝a ＜b ＜c ＜6， ………………………3分由于6b 或6b是数列中的项，而6b 大于数列中的最大项6， ∴6b 是数列中的项，同理6c也是数列中的项， ……………………………………5分考虑到1＜6c ＜6b ＜6，于是6c ＝b ，6b＝c ，∴bc ＝6，又1＜b ＜c ，所以1＜b …………………………………………7分综上，b 的取值范围是(1． ………………………………………………8分（3）∵数列{b n }是P 数列，所以1＝b 1＜b 2＜b 3＜…＜b n ，由于b 2b n 或2n b b 是数列中的项，而b 2b n 大于数列中的最大项b n ， ∴2n b b 是数列{b n }中的项， …………………………………………………………10分同理3n b b ，4n b b ，…，1n n b b -也都是数列{b n }中的项，考虑到1＜1n n b b -＜…＜2n b b ＜b n ，且1，1n n b b -，…，2n b b ，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，b n 中的项， ∴21n n b b b -=，…，12n n b b b -=，从而b n ＝b i b n ＋1－i (i ＝1，2，…，n －1)，① ………………………………12分又∵b n －1b 3＞b n －1b 2＝b n ，所以b n －1b 3不是数列{b n }中的项， ∴13n b b -是数列{b n }中的项，同理14n b b -，…12n n b b --也都是数列{b n }中的项，考虑到1＜12n n b b --＜…＜14n b b -＜13n b b -＜3n b b ＝b n －2＜b n －1＜b n ，且1，12n n b b --，…，14n b b -，13n b b -，3n b b ，b n －1，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，b n 中的项，于是，同理有，b n －1＝b i b n －i (i ＝1，2，…，n －2)，② …………………………14分在①中将i 换成i ＋1后与②相除，得1n n b b -＝1i ib b +，i ＝1，2，…，n －2， ∴b 1，b 2，…，b n 是等比数列． …………………………………………………16分2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，三小题，每小题10分．A ．（选修4—2：矩阵与变换）解：∵12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵10x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值1-的一个特征向量， ∴111022x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴21,22,x y +=-⎧⎨=-⎩解得3,1x y =-=-， ……………………4分 ∴3101A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， …………………………………………………………………6分特征多项式为31()001f λλλ+-==+，即(3)(1)0λλ++=， ……………………8分 ∴另一个特征值为3λ=-． …………………………………………………………10分B ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴建立坐标系，直线sin()03πρθ-=的直角坐标方程为y =， ……………………………………2分曲线1,41,4y t t x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的普通方程为221y x -=， ……………………………………………4分则直线与曲线的交点为A和(B ， ………………………………7分∴AB ==． ………………………………………………………………10分C ．（选修4—5：不等式选讲）解：∵111x x a x x a a ++-+-+=+≥， …………………………………………4分 ∴要使不等式15x x a ++-≥对任意的R x ∈恒成立，当且仅当15a +≥， ………7分 ∴4a ≥或6a -…． ………………………………………………………………………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分．22．解：由于批量较大，可以认为随机变量(10,0.05)X B , ………………………2分（1）恰好有2件不合格的概率22810(2)0.050.95P X C ==⨯⨯，恰好有3件不合格的概率33710(3)0.050.95P X C ==⨯⨯， ……………………………4分 ∵22810337100.050.95(2)571(3)0.050.958C P X P X C ⨯⨯===>=⨯⨯， ∴(2)(3)P X P X =>=，即恰好有2件不合格的概率大； …………………………6分（2）∵1010()(1)k k k k P X k p C p p -===-，0,1,2,,10k =.随机变量X 的概率分布为：故0()0.5k k E X kp ===∑． ………………………………………………………………9分答：随机变量X 的数学期望()E X 为0.5． …………………………………………10分23．解：（1）24363(2)10C f C ==，3264346841(3)70C C f C C =+=， 44361(2)20C g C ==，5464346819(3)140C C g C C =+=；……………………………………………3分（2）∵222122(2)!(2)!(!)(!)((2)!)((2)!)(22)!((1)!)((1)!)k k k k k k k k C C k k k k k C k k +++--⋅-⋅+=++⋅+ 2(1)(2)(1)(1)(22)(21)(2)k k k k k k k k ++-+-=+++ (1)(42)1(22)(21)(2)2k k k k k k ++==++++， ………………………………………4分 ∴222122221()()()2k k n n k k k k k k C Ch n f n g n C k ++==+-=-==+∑∑．……………………………………5分下面用数学归纳法证：对任意的*,2N m m ∈≥，总有1(2)2m m h ->．当2m =时，111371(4)456602h =++=>，命题成立；则当1m t =+时，11111(2)(2)232422t t t t t h h ++=+++⋅⋅⋅++++ 111111122324252622t t t t t t +->++++⋅⋅⋅++++++（）， …………………………7分 ∵3t ≥，1113232422t t t ++-+++1(23)2(23)(24)(22)t t t t t +--22=+++0>， ∴1113232422t t t ++>+++． ……………………………………………………………8分又1111252622t t t ++⋅⋅⋅++++111111222222t t t +++>++⋅⋅⋅++++ 12222t t +-=+， ………………………………………………………………………9分 ∴1111322(2)222222t t t t t t h +++-->++=++， ∴命题成立． ……………………………………………………………………………10分。

2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案

2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B =．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为．4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ．8.设nS 是等差数列{}na 的前n 项和，若242aa +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23aba b+=，则ab 的最小值是．10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ． 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．17.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>经过点1(3,)2，3(1,)2，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值. 19.已知函数32()f x x ax bx c=+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.①求实数a 的值； ②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域. 20.已知nS 是数列{}na 的前n 项和，13a=，且123n n S a +=-*()n N ∈.（1）求数列{}na 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知ja λ，6i a ，kaμ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}nb 前n 项和是nT ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132nn n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n nTa=的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =；（2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点(22,)4P π，圆心为直线sin()33πρθ-=-C 的极坐标方程.D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}nAn =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，na ）满足(1,2,,)ia i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合nA 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A=，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合nA 的所有错位排列的个数为nD .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示nD ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()nDn N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. 32y x =±4. 635. 3166. 2543 8. 8 9. 261311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以2sin()4a b a πα⋅=++2sin cos 4παα=+cos sin4πα+4242552=+⨯3232522+⨯=.（2）因为//a b 2sin()14a πα+=，即2α(sin coscos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AAAC A=，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，16AA =2AC =，1AN =，63CD =，所以132AA ANAC CD ==又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BNA N N=，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN . 17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210kk --=，解得112k=综上可得，直线1l 的斜率为1218.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以3OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即33sin sin()6παπα=--3sin()6παπα=--5sin()6πα=-，53sincos 6παα=5cos sin 6πα-13cos 22αα=+，所以3cos αα=，因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以3tan 3α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即33sin(())2ππαθ=---，所以3sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而3sin )sin θαcos cos αθ=3sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tan 3sin αθ=-，记()3sin f θθ=-，213sin '()(3sin )f θθθ-=-(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，3sin 3θ=，存在唯一0(0,)2πθ∈使得03sin 3θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时3sin 3θ=. 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为33.19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x xx c=-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln xx c x-+≥恒成立，即3ln 2c x x x≥-+.令3()ln 2x x xxϕ=-+，则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增，令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减，∴当1x =时，max[()](1)1x ϕϕ==.∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c=+-+，2'()323f x xax =+-.由题意，2'()3230f x xax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0. ②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞. 当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x xx =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x=-=，得1x =.x(0,1)1(1,)+∞'()f x - 0+ ()f x极小值∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.故函数()y h x =的值域为[0,)+∞. 20.解：（1）由123nn S a +=-*()n N ∈得1223n n Sa ++=-，两式作差得1212n n n aa a +++=-，即213n n aa ++=*()n N ∈. 13a =，21239aS =+=，所以13n n aa +=*()n N ∈，0na≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}na 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n na=*()n N ∈；（2）由题意26jk ia a a λϕ+=⋅，即33263jk iλμ+=⋅⋅，所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j iλλ-≥≥，399k iμμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132nn n a ba b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得， 11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n bn +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21nbn =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113Ta=；当2n =时2249Ta=；当3n =时3313Ta=；下面证明：对任意正整数3n >都有13n nTa<，11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)nn n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nTT aa ++-<，所以当3n ≥时，n nT a递减，所以对任意正整数3n >都有3313n nTT aa <=；综上可得，满足等式13n nTa=的正整数n 的值为1和3.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =.因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠，于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =，所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CDCB CA =⋅=⨯=，所以3CD =B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）由1151BA X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()33πρθ-=-0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0). 因为圆C 的半径PC 22(22)22222cos24π=+-⨯⨯⨯=，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x ，y 都是正数，所以223130x yxy ++≥>，223130y xyx ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得20x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>=53t=⨯15=，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为155.（2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PAλλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)nx y z =，则2200DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，由题意得21221()cos ,3n n -=<>1212n nn n ⋅=2225(1)5(1)(22)()λλλλ-=-+-+-，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=，因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D=，32D =， 49D =，（2）12(1)()nn n Dn D D --=-+，理由如下：对nA 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，na ），若1(1)a k k =≠，分以下两类：若1ka=，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1ka≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，nD 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数，又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有nD 均为偶数.下面用数学归纳法证明2nD （其中*n N ∈）为奇数.当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2kD 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k Dk D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2kD 是奇数，所以212k kDD ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2nD 为奇数.。

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