江苏省盐城市2013-2014学年高二下学期期终考试 数学(四星)

四星高中使用江苏省盐城市2013-2014学年高二下学期期终考试数学（四星）注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．命题“x R ∃∈，022≤--x x ”的否定是 ▲ ．2．设复数z 满足3iz i =-+（i 为虚数单位），则z 的实部为 ▲ ．3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ ． 4．“2>x ”是“042>-x ”的 ▲ 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ▲ ．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知中心在坐标原点的双曲线C 经过点(1,0)，且它的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点相同，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．8．已知点(),P x y 在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩所表示的平面区域内，则y x z +=2的最大值为 ▲ ． 9．已知322322=+，833833=+，15441544=+，….，类比这些等式，=（,a b 均为正实数），则a b += ▲ ．第6题10．（理科学生做）已知nxx )2(3-展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为 ▲ ．（文科学生做）已知平面向量,a b 满足||2=a ，||2=b ，|2|5+=a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为 ▲ ． 11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答）（文科学生做）设函数2()x xe aef x x-+=是奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 12．设正实数,,x y z 满足22390x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，x y 的值为 ▲ ．13．若函数()(1)x f x mx e =-在(0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14．设点P 为函数ax x x f 221)(2+=与2()3ln 2g x a x b =+)0(>a 图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） （理科学生做）设某地区O 型血的人数占总人口数的比为12，现从中随机抽取3人. （1）求3人中恰有2人为O 型血的概率；（2）记O 型血的人数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望.（文科学生做）设函数22()28(0)f x x ax a a =-->，记不等式()0f x ≤的解集为A .（1）当1a =时，求集合A ；（2）若(1,1)A -⊆，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分14分）（理科学生做）设数列{}n a 满足13a =，2122n nn a a na +=-+. （1）求234,,a a a ；（2）先猜想出{}n a 的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.（文科学生做）在Rt ABC ∆中，2BAC π∠=，6AB AC ==，设(0)BD BC λλ=>uu u r uu u r.（1）当2λ=时，求AB AD ⋅uu u r uuu r的值；（2）若18AC AD ⋅=uuu r uuu r，求λ的值.17．（本小题满分14分）（理科学生做）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ACB π∠=，,D E 分别是1,AB BB 的中点，且AC BC ==12AA =.（1）求直线1BC 与1A D 所成角的大小； （2）求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值.（文科学生做）设函数2()(2)1x af x a x +=≠+. （1）用反证法证明：函数()f x 不可能为偶函数；（2）求证：函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减的充要条件是2a >. 18．（本小题满分16分）ABC A 1B 1C 1 ED 第17题19．（本小题满分16分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，其中2b a =，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D ，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，其中λ为正常数. 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的57λ=.（1）求椭圆E 的离心率； （2）求a 与b 的值；（3）当λ变化时，AB k 若不是，请说明理由.20．（本小题满分16分）设函数32()3f x x x ax =-+()a R ∈.（1）当9-=a 时，求函数()f x 的极大值；（2）若函数()f x 的图象与函数x x x ln )(-=ϕ的图象有三个不同的交点，求a 的取值范围； （3）设()|()|g x f x =，当0a >时，求函数()g x 的单调减区间．第18题第19题四星高中使用高二数学试题参考答案一、填空题：每小题5分，计70分.1.2,20x R x x ∀∈-->； 2.1； 3.40； 4.充分不必要； 5.21； 6.21； 7. 2213y x -=； 8.6； 9.41； 10.（理）80-，（文）165； 11.（理）55，（文）1-； 12.3； 13. [)1,+∞； 14.3243e二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15．（本小题满分14分）（理）解：（1）由题意，随机抽取一人，是O 型血的概率为12， …………2分 ∴3人中有2人为O 型血的概率为23313()28P C ==. …………6分（2）ξ的可能取值为0，1，2，3， …………8分∴03311(0)()28P C ξ===， 13313(1)()28P C ξ===， 23313(2)()28P C ξ===，33311(3)()28P C ξ===， …………12分∴3()2E ξ=. …………14分（文）（1）当1=a 时，82)(2--=x x x f ，解不等式0822≤--x x ，得42≤≤-x ， ……5分{}42|≤≤-=∴x x A 集合. …………6 分（2） 08222≤--a ax x ，∴0)2)(4(≤+-a x a x ，又0>a ，a x a 42≤≤-∴，∴[]2,4A a a =-. …………9分又()1,1A -⊆，⎩⎨⎧≤-≥-∴aa 4121，解得21≥a ，∴实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ……14分16．（本小题满分14分）（理）解：（1）由条件2122n nn a a na +=-+，依次得2211225a a a =-+=， 2322427a a a =-+=，2433629a a a =-+=， …………6分 （2）由（1），猜想21n a n =+. …………7分 下用数学归纳法证明之：①当1n =时，13211a ==⨯+，猜想成立； …………8分 ②假设当n k =时，猜想成立，即有21k a k =+， …………9分 则当1n k =+时，有2122(2)2(21)122(1)1k kk k k a a ka a a k k k +=-+=-+=+⋅+=++， 即当1n k =+时猜想也成立， …………13分 综合①②知，数列{}n a 通项公式为21n a n =+. …………14分（文）解：（1）当2=λ时，BC BD 2=，所以AB AC AB AC AB BC AB BD AB AD -=-+=+=+=2)(22， …………3分∴363602)2(2-=-=-⋅=-⋅=⋅. …………7分（2）因为()()()[]AC AD AC AB BD AC AB BC AC AB AC AB λλ⋅=⋅+=⋅+=⋅+- ()λλλλλ36)1()1(2=⋅-+=-+⋅=， …………12分∴1836=λ，解得21=λ. …………14分 （说明：利用其它方法解决的，类似给分） 17．（本小题满分14分）（理）解：分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得：(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C ,又 ,D E 分别是1,AB BB 的中点，∴(1,1,0)D ,(0,2,1)E . …………3分 （1）因为1(0,2,2)BC =-， 1(1,1,2)A D =--，所以111111cos ,2BC A D BC A D BC A D⋅===⋅， …………7分∴直线1BC 与D A 1所成角的大小为6π. …………8分 （2）设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z =,由100CA e CD e ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得2200x z x y +=⎧⎨+=⎩,∴可取(1,1,1)e =--，…………10分又 1(2,2,1)A E =--，所以111cos ,||.||3A E e AE e A E e ⋅===， …………13分∴直线E A 1与平面CD A 1所成角的正弦值为33. …………14分 （文）解：(1)假设函数()f x 是偶函数， …………2分 则(2)(2)f f -=，即4413a a-++=-，解得2a =， …………4分 这与2a ≠矛盾，所以函数()f x 不可能是偶函数. …………6分(2)因为2()1x af x x +=+，所以22()(1)a f x x -'=+. …………8分①充分性：当2a >时，22()0(1)af x x -'=<+， 所以函数()f x 在(,1)-∞-单调递减； …………10分 ②必要性：当函数()f x 在(,1)-∞-单调递减时，有22()0(1)af x x -'=≤+，即2a ≥，又2a ≠，所以2a >. …………13分综合①②知，原命题成立. …………14分 （说明：用函数单调性的定义证明的，类似给分；用反比例函数图象说理的，适当扣分） 18．（本小题满分16分） 解：（1）因PO 与地面垂直，且AO BO CO ==，则,,AOH BOH COH ∆∆∆是 全等的直角三角形，又圆O 的半径为3， 所以3tan OH θ=，3cos AH BH CH θ===， …………3分又3tan PH θ=，所以93tan cos L θθ=+， …………6分若点,P H重合，则tan θ=3πθ=，所以(0,)3πθ∈，从而93tan cos L θθ=+，(0,)3πθ∈. …………7分 （2）由（1）知93sin 3tan 3cos cos L θθθθ-=+=⋅， 所以23sin 13cos L θθ-'=⋅，当0L '=时，1sin 3θ=， …………11分 令01sin 3θ=，0(0,)3πθ∈，当0(,)3πθθ∈时，0L '>；当0(0,)θθ∈时，0L '<；所以函数L 在0(0,)θ上单调递减，在0(,)3πθ上单调递增， …………15分所以当0θθ=，即1sin 3θ=时，L 有最小值，此时用料最省. …………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）因为2b a =，所以2234b a =，得22234a c a -=，即2214a c =， 所以离心率12c e a ==. ………4分（2）因为(,0)C a ，57λ=，所以由AP PC λ=，得12512(,)77a A -， ………7分 将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a-+=⨯，解得2a =，所以2,a b ==. ………10分 （3）法一：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AP PC λ=，得13131111x x y y λλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩， ………12分又椭圆的方程为22143x y +=，所以由222233111,14343x y x y +=+=，得22113412x y += ①， 且2211113(1)4(1)12x y λλ--+++= ②，由②得，221111212[3(1)4(1)][3(1)4(1)]5x y x y λλ-+-+-+-=， 即22111111212[(34)72(34)][7(34)]5x y x y x y λλ++-++-+=， 结合①，得211191453422x y λλλ+-+=+， ………14分同理，有222191453422x y λλλ+-+=+，所以11223434x y x y +=+，从而121234y y x x -=--，即34AB k =-为定值. ………16分 法二：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AP PC λ=，得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，……12分将,A B 坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得 121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12123()4()0AB x x y y k +++=， ……14分 同理，34343()4()0CD x x y y k +++=，而AB CD k k =，所以34343()4()0AB x x y y k +++=， 所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=，所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=， 即6(1)8(1)0k λλ+++=，所以34AB k =-为定值. ………16分 （说明：只给对结论但未正确证明的，给2分） 20．（本小题满分16分）解：（1）当9a =-时，由2()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+=0，得3x =或1x =-， ………2分列表如下：所以当1x =-时，函数()f x 取得极大值为5. ………4分 （2）由()ln f x x x =-，得323ln x x ax x x -+=-，即23ln a x x x =-+-， ………6分令2()3ln h x x x x =-+-，则12(1)(21)()23x x h x x x x---'=-+-=，x (,1)-∞- －1 (1,3)- 3 (3,)+∞ ()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x 递增 极大 递减 极小 递增列表，得x1(0,)2 12 1(,1)2 1 (1,)+∞()f x ' －0 ＋0 － ()f x递减极小值5ln 24+ 递增极大值2递减………8分 由题意知，方程()a h x =有三个不同的根，故a 的取值范围是5(ln 2,2)4+. ………10分 （3）因为()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-，所以当3a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当03a <<时，()0f x '=的两根为1±0111<<<+所以此时()f x 在(,1-∞上递增，在(1-+上递减，在(1)++∞上递增； ………12分令()0f x =，得0x =，或230x x a -+= （*），当94a ≥时，方程（*）无实根或有相等实根；当904a <<时，方程（*）有两根32±………13分 从而①当3a ≥时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞； ………14分②当934a <≤时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,(1-+； ………15分③当904a <<时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,3(12,3(12++． ………16分。