人教版九年级数学上册第21章+解一元二次方程_课时1+直接开平方法教学课件

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一元二次方程的解法(一)直接开平方法(课件)数学九年级上册(人教版)

即 x-5=1或x-5=-1
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版

∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1

22 3
，x2

22 3
.
注意：二次根式必须化为最简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1

x1

, 3
x2

1.
整理，得_x_2_=_2_5 ，根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长是_5_d_m__.

新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程课件

为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项：
一般形式二次项系数一次项系数常数项
方
2
程
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－8＝0
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x 1) 28 场. 2
即
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
x2 x 56
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为（8－2x）（5－2x）m,根据题意,可得方程：
判断下列方程是否为一元二次方程？例1 ：
(1)x +x =36
(3)x+3y=36 (5) x+1=0
2
2

(2) x + x =36
3 2

1 2 (4) 2 0 x x
2

(7)4 x 1 (2x 3)
x (6) 6 3 2

一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 ax 2 bx c 的形式 ,我们把 0 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。想一想
3 1

人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法课件(共19张PPT)

新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解：因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.

人教版九年级上册数学《配方法》一元二次方程PPT教学课件

将常数项移到右边，含未 2 2 －3=－1
知数的项移到左边
一移
移项
二化
二次项系数左、右两边同时除以二次 2 － =
化为1
项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方
利用平方根的意义直接开
平方
四开
开平方
五解
解两个一元移项，合并
一次方程
2
3 1
即 x
4 16
★ 用配方法解方程
探究交流
怎样解方程x2+6x+4=0？
1.把方程变成（x+n)2=
x2+6x+4=0
移项
二次项系数为1的完全平方式：
x2+6x=-4
常数项等于一次项系数一半的平方.
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
配方
(x+3)2=5
2.用直接开平方法解方程(x+3)2=5
(x+3)2=5
开方
x x
1
2
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=25；
（1） x2=25，
解：
直接开平方，得 x 5,
x1 5 ，x2 5.
(2) x2－900=0.
（2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得 x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
★ 用直接开平方法解方程
对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
5.如图，在R

人教版九年级数学上册：21.2.1直接开平方法解一元二次方程(共11张PPT)

(a≥0)形式的一元二次方程的
２、对比x2=4 的求解过程，一元二次方程
求解。 x 这里的 2 、 x2+6x+9=25
直接开平方适合的一元二次方程的形式；
既可以是字母，单项式，也可以是含有未
24 （）；
知数的多项式。换言之：只要经过变 1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫__________.
形可以转化为x2=a(a≥0)形式的一元二次方程都
2、你能求出一元二次方程 - x2+3=0 和 x2+1=0的解
3、x2=4，则x=______ .
形可以转化为x =a(a≥0) 一元二次方程都 2 形式的直接开平方法的概念及依据；
市区内有一块边长为１５米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到3００平方米，请问这块绿
（二）复习与诊断
1、如果有
则x叫a的平方根，也可以表示为x=
。
2、将下列各数的平方根写在旁边的括号里
A： 9 （）； 5 （）；
（）；
B： 8 （
）； 24 （）；
（
）；
C： ( ) ； 1.2 （）
3、x2=4，则x=______ .
想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？
4.转化、化归、分类、类比的数学思想和方法
(七)分层检测与评价
A层
1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫__________.
2. 如果x2=121,那么x1=__________,x2=___________. 3. 如果3x2=18那么x1=__________,x2=___________. 4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________. 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B层

九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程1用直接开平方法解一元二次方程授课名师公开课

谢谢大家
每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路** 成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦每天只看目标，别老想障碍* 宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子* 积极向上的心态，是成功者的最基本要素* 生活总会给你另一个机会，** 人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:48 我们必须在失败中寻找胜利* 10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。*** 11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。****
知1－练
下列方程中，没有实数根的是( ) A．2x＋3＝0 B．x2－1＝0 C. ＝1 D．x2＋x＋1＝0
D
知识点
形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
知2－讲
感悟新知
2
探究
对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5? 在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，② 得 x＋3＝± ，即 x＋3＝，或x＋3＝－，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋，x2＝－3－ .
知2－讲
归纳
感悟新知
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了．
感悟新知
知2－练
用直接开平方法解下列方程． (1)(x－3)2＝25；(2)(2y－3)2＝16. 解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2. (2)2y－3＝±4，于是y1＝，y2＝－ .
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
形如x2=p ( p≥0 ) 型方程的解法形如(mx+n)2=p ( p≥0 ) 型方程的解法

人教版初中数学九年级上册教学课件第二十一章一元二次方程解一元二次方程配方法(第1课时)

，x2
1.
巩固练习
解方程 x2+6x+9=2.
解：方程的左边是完全平方形式，这个方程
可以化为：（x+3）2=2.
x 3 进2行. 降次得：
方程的两根为 x1= 3 2, x2=
. 3 2
链接中考
一元二次方程x2﹣9=0的解是 x1=3，x2=﹣3 ．
解析:
∵x2﹣9=0，∴x2=9，解得：x1=3，x2=﹣3．故答案为：x1=3，x2=﹣3．
x1
22 3
, x2
22 3
.
巩固练习
对照前面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5①？
解：把x+3看做一个整体，两边开平方得 x 3 5, ②
由方程①得到②，实质是把一个一元二次方程“降次”
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
，转化为两个一元一次方程，这样就
于是，方程（x+3）2=5的两个根为把方程①转化为我
直接开平方，得 x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
巩固练习
解下列方程（分析:把方程化为 x2=p 的形式）
2x2 8 (01;)
(2)
9x2 5 3.
解：移项，得2x2 8. 解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 4. 系数化为1，得 x2 8 .
9
x 4.
即 x1 2, x2 2;
(3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究新知
【归纳】一般地，对于可化为方程 x2 = p, (I)
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(公式法)PPT课件

第二十一章一元二次方程
21.2.2 解一元二次方程
——公式法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- 4,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
−± 2 −4 4±6
=
2
2×5
1
即x1=1,x2=5
课堂练习
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
(4) 程 2 − 2 + = 0 有两个实根，则m的取值范围是
_________ .
解： 2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × = 4 − 4 ≥ 0
则 ≤ 1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等
2 −4
42
将①直接开平方，得
>0
=±
方程有两个不相等的实数根
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1
, x2
;
2a
2a
新知探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（2）若b2﹣4ac=0
将①直接开平方，得

人教版九年级上册数学精品教学课件第21章一元二次方程第1课时直接开平方法

方法点拨：通过移项把方程化为 x2 = p 的形式，然后
直接开平方即可得解．
二直接开平方法解形如 (x + n)2 = p (p≥0) 的方程
探究交流
对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5 ? 在解方程 x2 = 25 时，由直接开平方法得 x = ±5. 由此想到，由 (x + 3)2 = 5， ① 得 x3 5.
（3）12(3 − 2x)2 − 3 = 0.
解析：先将 −3 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 12，再同第 (1) 小题一样地去解.
解：移项，得 12(3 − 2x)2 = 3，两边都除以 12，得 (3 − 2x)2 = 0.25. ∵ 3 − 2x 是 0.25 的平方根，
∴ 3 − 2x = ±0.5，
九年级数学上（RJ）教学课件
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时直接开平方法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程； (难点） 2. 运用直接开平方法解形如 x2 = p 或 (x + n)2 = p ( p≥0) 的方程.(重点）
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0.
当堂练习
1. 下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
A. x2 = −2，解方程，得 x =± 2
B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4
C.
4(x
−
1)2
=
9，解方程，得

第21章解一元二次方程(一)(直接开平方法)+课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第2课时解一元二次方程(一)(直接开平方法)
(2)13x2－5＝0．解：整理，得 x2＝15．根据平方根的意义，得 x＝± 15，即 x1＝ 15，x2＝－ 15．
第2课时解一元二次方程(一)(直接开平方法)
训练 2．用直接开平方法解下列方程： (1)2x2－12＝0；解：整理，得 x2＝14．根据平方根的意义，得 x＝±12，即 x1＝12，x2＝－12．
第2课时解一元二次方程(一)(直接开平方法)
(2)x2－3＝0．解：整理，得x2＝3．根据平方根的意义，得 x＝± 3，即 x1＝ 3，x2＝－ 3．
第2课时解一元二次方程(一)(直接开平方法)
训练 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2＝116；解：根据平方根的意义，得 x＝±14，即 x1＝14，x2＝－14．
第2课时解一元二次方程(一)(直接开平方法)
(2)3(x＋3)2＝27．解：整理，得(x＋3)2＝9．根据平方根的意义，得x＋3＝±3，即x＋3＝3，或x＋3＝－3．于是，方程3(x＋3)2＝27的两个根为x1＝0，x2＝－6．
第2课时解一元二次方程(一)(直接开平方法)
训练 3．用直接开平方法解下列方程： (1)(x＋1)2＝0.81；解：根据平方根的意义，得x＋1＝±0.9，即x＋1＝0.9，或x＋1＝－0.9．于是，方程(x＋1)2＝0.81的两个根为x1＝－0.1，x2＝－1.9．
第2课时解一元二次方程(一)(直接开平方法)
3．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4有实数根，那么m的取值范围是
A．m＞3
B．m≥3
( D)
C．m＞－4
D．m≥－4
4．【代几综合】已知三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是

人教版数学九年级上册解一元二次方程—直接开平方法课件

(x+2)2=64
2(x－5)2=72
x+2=±8
(x－5)2=36
x1=-2 +8 或 x2=-2-8
x－1=±6
x1= x2=-10 x1=11 或 x2=-1
直接开平方法解一元二次方程
步骤
平方根的意义
通过“降次”将一元二次方程转化为一元一次方程
①将方程转化为x2=p(p≥0)或(x+m)2=p(p≥0)的情势 ②方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程
根据平方根意义求下列方程的解：
（1）x2=25;
解：∵（±5）2 =25 ∴x= ±5
即：x1=5,x2=-5
（2）x2= 4 ;
9
解：
2 2
4
3 9
x 2 3
即：x1
2 3
,
x2
2 3
市区有一块边长为１５米的正方形绿地，经城市计划，需扩大绿化面积，估计计划后的正方形绿地面积将到达400平方米，请问这块绿地的边长增加了多少米？
开方得x 1 2
x1 1 2, x2 1- 2
(4)、x2 4x 4 25
解：原方程整理得 (x 2)2 25
开方得x 2 5
x1 7, x2 3
（5）.(x+2)2－64=0 （6）.2(x－5)2－12=0
解1：(x+2)2－64=0
解2： 2(x－5)2－72=0
(15+x)2=400 转化
一元二次方程
降次
15+x=20 15+x=-20 一元一次方程
化繁为简
例1：利用直接开平方法解下列方程
(1)、x2 100
(2)、x2 25 0

2015秋人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(直接开平方法)ppt课件

21.2
解一元二次方程
1．一元二次方程x2－4＝0的根为 C(
A．x＝2
)
B．x＝－2
C．x1＝2，x2＝－2
( ) A．0个 C．2个 B．1个 D．3个
D．x＝4
2．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是 C
x1 7, x2 7
3．一元二次方程x2＝7的根是
．
21.2
解一元二次方程
x1 0, x2 6
21.2
解一元二次方程
6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D ) A．x－6＝－4 C．x＋6＝4 B． x－ 6＝ 4 D．x＋6＝－4
7．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k 的取值范围是( D ) A．k＜1 B．k＜－1
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.配方法．
21.2
解一元二次方程
1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝___( aa≥0)，
由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为 ________________________. 两个一元一次方程
解：x 1＝－7，x 2＝－1
21.2
解一元二次方程
5．某工程队在实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1 250 m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1 440 m2，求：
(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分比相同，求这个百分数．

人教版九年级上册数学精品课件第21章一元二次方程第1课时用直接开平方法解一元二次方程

• 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．
• 解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如
下： • ∵(x2＋y2－3)2＝16， • ∴x2＋y2－3＝±4， • ∴x2＋y2＝7，x2＋y2＝－1． • ∵不论x，y为何值x2＋y2都为非负数， • ∴x2＋y2＝7．
• 2．若关于x的一元二次方程mx2＋n＝0(m≠0)有实数解，
则必须满足
D( )
• A．n＝0
B．m，n同号
• C．n是m的整数倍
D．m，n异号或n＝0
• 3．方程2x2－9＝0的x根1＝是23 _2_，__x_2＝__－__23__2____________．
• 知识点2 形如(mx＋n)2＝p的方程的解法
2mn＝5＋2×3＝11．
11．若一元二次方程 ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是 m＋1 与 2m－4． (1)求 m 的值；
(2)求ab的值．解：(1)∵x2＝ab(ab＞0)，∴x＝±
ba，∴方程的两个根互为相反数，
∴m＋1＋2m－4＝0，解得 m＝1；
(2)∵m＝1，∴m＋1＝2,2m－4＝－2．即一元二次方程 ax2＝b(ab＞
0)的两个根分别是 2 与－2，∴ ba＝2，∴ab＝4．
核心素养
• 12．李老师在课上布置了一个如下的练习题：
• 若(x2＋y2－3)2＝16，求x2＋y2的值．
• 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：
•
解：∵(x2＋y2－3)2＝16，①
•
∴x2＋y2－3＝±4，②
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∴x2＋y2＝7，x2＋y2＝－1.③
• 4．若关于x的一元二次方程(x＋3)2＝c有实数根，则c的值