9.4矩形正方形(2)

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第九章中心对称图形(简略)

第九章中心对称图形——平行四边形9.1 图形的旋转班级姓名组别评价一、学习目标阅读教材P56～P58内容问题1．旋转的概念如图，在平面内，将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC的位置，这样的图形运动称为图形的_______，旋转中心为_______，旋转的角度可用∠ACE或_______表示．图形的旋转不改变图形的_______、_______。

问题2．旋转的性质如图，(1)旋转前的△ABC与旋转后的△EFC_______；(2)对应点A和_______到旋转中心点C的距离相等，即AC_______，对应点_______和F到_______的距离相等，即_______FC；(3)线段AC旋转至线段_______形成旋转角∠ACE，线段_______旋转至线段FC形成旋转角∠_______，则有∠ACE＝_______．归纳：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离_______，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角_______．三、要点部分▲1、如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE＝BF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么?9.1图形的旋转学习目标了解理解掌握应用1．通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。

√2．经历对生活中旋转现象的观察、分析的过程，探索旋转的基本性质。

√3．能画出简单图形关于给定旋转中心经过旋转后的图形。

√▲2、如图，在△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°．AB、EF相交于点P，BC交EF、AF于点N、M．(1)试说明∠EAB＝∠FAC；(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换过程；(3)求∠AMB的度数．▲3、（1）画出将线段AB绕点O按顺时针方向旋转1000后的图形。

矩形的判定 (4)

9．4 矩形、菱形、正方形（2）溧阳市上黄中学胡慧仙【教学目标】1．知道矩形的判定定理，并会证明一个四边形（平行四边形）是矩形．2．了解两条平行线之间的距离的意义，并会求两条平行线之间的距离．3．经历探索矩形的判定条件的过程，进一步理解对猜想进行证明的必要性，发展学生的合情推理能力，会有条理的思考与表达，并逐步学会分析与综合的思考方法．体会转化思想。

4.通过对矩形判定条件的探索学习，体会它的内在美和应用美【重、难点】重点：会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．难点：综合运用矩形的性质定理与判定定理进行计算与证明．【教学过程】一、创设情境，引入课题一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?【设计意图】从生活、生产的实际需要提出矩形的判定问题，引入课题，直观自然，能够充分调动学生学习与探究的主动性.值得注意的是，检验的方法不止一种，应让学生充分讨论、交流，发表他们的见解.二、探求新知活动1：可以用直角三角板度量角（1）猜想：四个角（或三个角）都是直角的四边形是矩形吗？如果是，请给出证明．已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形。

（2）追问：2个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？（直角梯形）（3）归纳总结：判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形几何语言：在四边形ABCD中∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形【设计意图】从实际生活中遇到的问题出发，建模成数学问题，通过学生自主探索、思考、归纳，形成结论，再用结论解决实际问题。

活动2：除度量角度之外,还可以度量什么也能知道做好的相框是矩形呢? （1）猜想：对角线相等的四边形是矩形吗？如果是，请给出证明．（等腰梯形）（2）继续猜想：对角线相等的平行四边形是矩形吗？如果是，请给出证明．已知：平行四边形ABCD ，AC=BD 。

苏科版数学八年级下册 9.4矩形菱形正方形大题综合练习(含答案解析)

苏科版数学八年级下册9.4矩形菱形正方形大题综合练习1.如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.（1）证明△BCM≌△CAN；（2）∠AEM=________°；（3）求证DE平分∠AEC；（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.【答案】（1）证明：如图1中，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠ADC=60°，∴△ACD，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，在△BCM和△CAN中，{BC=AC∠B=∠ACNBM=CN，∴△BCM≌△CAN（2）60（3）证明：如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．∵∠AEM=60°，∴∠AEC=120°，∵∠DGE=∠H=90°，∴∠GEH+∠GDH=180°，∴∠GDH=∠ADC=60°，∴∠ADG=∠CDH ，在△DGA 和△DHC 中，{∠DGA =∠H =90∘∠ADG =∠CDH DA =DC，∴△DGA ≌△DHC ，∴DG=DH ，∵DG ⊥AN ，DH ⊥MC ，∴∠DEG=∠DEH ．∴DE 平分∠AEC ．（4）证明：结论：EA+EC=ED ．理由如下：如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，在Rt △DEG 中，∵∠EDG=30°，∴DE=2EG ，易知△DEG ≌△DEH ，∴EG=EH ，∴EA+EC=EG+AG+EH-CH ，∵△DGA ≌△DHC ，∴GA=CH ，∴EA+EC=2EG=DE ，∴EA+EC=ED.【解析】【解答】解：（2）如图1中，∵△BCM ≌△CAN ，∴∠BCM=∠CAN ，∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．故答案为60．【分析】(1)连接AC，因为∠ADC=60°，利用菱形四边相等的性质，可知△ADC为等边三角形，所以AC=BC ,又因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠ACN=60°=∠B，因为BM=CN，所以△BCM≌△CAN；（2）因为∠AEM=∠CEN，对顶角相等，由全等可知∠AEM=∠CEN=∠B=60°；（3）过点D做AE、CM两边的垂线，利用角角边可得到△DHC≌△DGA，可得DH=DG，再用角平分线的性质，到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；（4）由全等可知EA+EC=2EG，又因为在Rt△中30°的角所对的边等于斜边的一半，所以EA +EC=DE.2.综合：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②求四边形AFF'D的两条对角线的长．【答案】（1）C（2）解：如图2中，①证明：∵AD=5，S□ABCD=15，∴AE=3．又∵在图2中，EF=4，∴在Rt△AEF中，AF═5．∴AF=AD=5，又∵AF∥DF'，AF=DF，∴四边形AFF'D是平行四边形．∴四边形AFF'D是菱形．②解：连接AF'，DF，在Rt△DE'F中，∵E'F=E'E﹣EF=5﹣4=1，DE'=3，∴DF═√E′D2+E′F2= √10．在Rt△AEF'中，∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9，AE=3，∴AF'═√AE2+EF′2= √32+92=3 √10【解析】【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵BE=CE′，∴AD∥EE′，AD=EE′，∴四边形AEE′D是平行四边形，∵∠AEE′=90°，∴四边形AEE′D是矩形，故选C．【分析】（1）根据矩形的判定方法即可判定；（2）①通过计算证明AF=AD=5，证明四边形AFF′D是平行四边形即可；②连接AF'，DF，分别利用勾股定理计算即可；3.如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF 的面积为S1，△PDE的面积为S2．（1）求证：BP⊥DE．（2）求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（3）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S1﹣S2的值．【答案】（1）解：如图1中，延长BP交DE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，∵CP=CE，∴△BCP≌△DCE，∴∠BCP=∠CDE，∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，∴∠CDE+∠DPM=90°，∴∠DMP=90°，∴BP⊥DE．（2）解：由题意S1﹣S2= 12（4+x）•x﹣12•（4﹣x）•x=x2（0＜x＜4）．（3）解：①如图2中，当∠PBF=30°时，∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，∴∠PFD=∠DPF=45°，∴DF=DP，∵AD=CD，∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，∴△BAF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP=30°，∴x=PC=BC•tan30°= 4√3，3∴S1﹣S2=x2= 16．3②如图3中，当∠PBF=45°时，在CB上截取CN=CP，理解PN．由①可知△ABF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP，∵∠PBF=45°，∴∠CBP=22.5°，∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，∴∠NBP=∠NPB=22.5°，∴BN=PN= √2x，∴√2x+x=4，∴x=4 √2﹣4，∴S1﹣S2=（4 √2﹣4）2=48﹣32 √2．【解析】【分析】（1）首先延长BP交DE于M．然后依据SAS可证明△BCP≌△DCE，依据全等三角形的性质可得到∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°；（2）根据题意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE，然后依据三角形的面积公式列出函数关系式即可；（3）分当∠PBF=30°和∠PBF=45°两种情形分别求出PC 的长，最后再利用（2）中结论进行计算即可.4.如图，在矩形ABCD 中，BC ＞AB ，∠BAD 的平分线AF 与BD ，BC 分别交于点E ，F ，点O 是BD 的中点，直线OK ∥AF ，交AD 于点K ，交BC 于点G ．（1）求证：△DOK ≌△BOG ；（2）探究线段AB 、AK 、BG 三者之间的关系，并证明你的结论；（3）若KD=KG ，BC=2 √2 ﹣1，求KD 的长度．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠KDO=∠GBO ，∠DKO=BGO ．∵点O 是BD 的中点；∴DO=BO ．在△DOK 和△BOG 中， {∠KDO =∠GBO∠DKO =∠BGO DO =BO∴△DOK ≌△BOG （AAS ）．（2）解：AB+AK=BG ；证明如下：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=90°，AD ∥BC ．又∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠BFA=45°．∴AB=BF ．∵OK ∥AF ，AK ∥FG ，∴四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ．∵BG=BF+FG ；∴BG=AB+AK ．（3）解：∵四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ，AF=KG又∵△DOK ≌△BOG ，且KD=KG ，∴AF=KG=KD=BG ．设AB=a ，则AF=KG=KD=BG= √2 a ．∴AK=2 √2 ﹣1﹣ √2 a ，FG=BG ﹣BF= √2 a ﹣a ．∴2 √2﹣1﹣√2a= √2a﹣a．解得a=1．∴KD= √2a= √2．【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，得到∠KDO=∠GBO，∠DKO=BGO，DO=BO，得到△DOK≌△BOG（AAS）；（2）四边形ABCD是矩形，得到∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，又AF平分∠BAD，得到∠BAF=∠BFA=45°，AB=BF，由OK∥AF，AK∥FG，得到四边形AFGK 是平行四边形，得到AK=FG，BG=BF+FG，即BG=AB+AK；（3）四边形AFGK是平行四边形，得到AK=FG，AF=KG，又△DOK≌△BOG，且KD=KG，得到AF=KG=KD=BG，设AB=a，则AF=KG=KD=BG=√2a，得到AK=2√2﹣1-√2a，FG=BG﹣BF=√2a﹣a，解得a=1，得到KD=√2a=√2．5.综合题（1）感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．易知BE=DG．（2）探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（3）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为________ ．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，{CB=CD∠BCE=∠DCGCE=CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG．（2）∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，∵∠A=∠F，∴∠BCD=∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，∴△BCE≌△DCG．，∴BE=DG．（3）20【解析】【解答】解：应用：∵四边形ABCD是菱形，S△EBC=8，∴S△AEB+S△EDC=8，∵AE=3DE，∴S△AEB=3S△EDC，∴S△EDC=6，S△EDC=2，∵△BCE≌△DCG，∴S△DGC=S△EBC=8，∴S△ECG=8+2=10，∴菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20，故答案为20．【分析】感知：根据正方形的性质，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，得到∠BCE=∠DCG，得到△BCE≌△DCG，BE=DG；探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，由∠A=∠F，得到∠BCE=∠DCG，△BCE≌△DCG，BE=DG；应用：由四边形ABCD是菱形，△EBC的面积为8，AE=3DE，得到S△AEB=3S△EDC，得到S△EDC=6，S△EDC=2，由△BCE≌△DCG，得到S△DGC=S△EBC=8，S△ECG=8+2=10，所以菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20.6.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE．点M是线段DE 数y=23上的一个动点．（1）求b的值；（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．【答案】（1）解：y=23x+b中，令x=0，解得y=b，则D的坐标是（0，b），OD=b，∵OD=BE，∴BE=b，则E的坐标是（3，4﹣b），把E的坐标代入y=23x+b得4﹣b=﹣2+b，解得：b=3（2）解：S四边形OAED= 12（OD+AE）•OA= 12×（3+1）×3=6，∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，∴S△ODM=1.5．设M的横坐标是a，则12×3a=1.5，解得：a=1，把x=a=1代入y=﹣23x+3得y=﹣23× 43+3= 73．则M的坐标是（1，73）（3）解：当四边形OMDN是菱形时，如图（1），M的纵坐标是32，把y= 32代入y=﹣23x+3，得﹣23x+3= 32，解得：x= 94，则M的坐标是（94，32），则N的坐标是（﹣94，32）；当四边形OMND是菱形时，如图（2）OM=OD=3，设M的横坐标是m，则纵坐标是﹣23m+3，则m2+（﹣23m+3）2=9，解得：m= 3613或0（舍去）．则M的坐标是（3613，1513）．则DM的中点是（1813，2713）．则N的坐标是（3613，5413）．故N的坐标是（﹣94，32）或（3613，5413）．【解析】【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN 是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．7.如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）若DG=6，求AE的长；（2）若DG=2，求证：四边形EFGH是正方形．【答案】（1）解：∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE= =4（2）证明：∵AH=2，DG=2，∴AH=DG，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△DHG和Rt△AEH中，，∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因为∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一个角为90°，进而判定该菱形为正方形．8.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD 于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM=________，AP=________．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC等于．【答案】（1）8﹣2t；2+t（2）解：∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2（3）解：①存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形．理由如下：∵NP⊥AD，QP=PK，∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，②要使四边形AQMK为正方形．∵∠ADC=90°，∴∠CAD=45°．∴四边形AQMK为正方形，则CD=AD，∵AD=8，∴CD=8，∴AC=8 √2．【解析】【解答】解：（1）如图1．∵DM=2t，∴AM=AD﹣DM=8﹣2t．∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于点P，∴四边形CNPD为矩形，∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；故答案为：8﹣2t，2+t．【分析】（1）由DM=2t，根据AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=6﹣t，则AP=AD﹣DP=2+t；（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得6﹣t=8﹣（6﹣t），解方程即可；（3）①由NP⊥AD，QP=PK，可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），求解即可，②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．9.已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，①直线AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．②▱OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．③四边形AECG是否可以形成菱形？如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．（2）在点A 、C 移动的过程中，若点B 不在x 轴上，且当▱OABC 为正方形时，直接写出点C 的坐标．【答案】（1）解：①是，经过定点（3，0）．理由如下：如图1中，连接AC 交OB 于K ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴OK=KB ，BC ∥OA ，BC=OA ，∴∠CBF=∠AOD ，在△DOA 和△FBC 中，{∠ODA =∠CFB =90°∠AOD =∠CBF OA =BC，∴△DOA ≌△FBC ，∴OD=FB=2，∴OB=6，∵OK=KB ，∴OK=3，∴K （3，0），∴直线AC 经过定点K （3，0）．②可以．利用如下：当∠OCB=90°时，四边形OABC 是矩形，由（1）可知△DOA ≌△FBC ，∴OD=BF=2，∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，∴∠OCF=∠CBF，∵∠CFO=∠CFB，∴△CFO∽△BFC，∴CFBF = OFCF，∴CF2= 4CF，∴CF=2 √2，∴S矩形OABC=2•S△OBC=2× 12× 6×2√2=12 √2．③可以．理由如下：如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，∴AD=CF，∵DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，∵OE2=OD2+DE2，∴9x2=x2+4，∴x= √22，∴AE= 3√22，∴S菱形AECG=AE•DF= 3√22×2=3 √2（2）解：如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，∴OD=CF=2，∴点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．综上所述，点C坐标为（4，2）或（4，﹣2）【解析】【分析】（1）①是，经过定点（3，0）．如图1中，连接AC交OB于K，只要证明OD=FB=2，推出OB=6，即可解决问题．②当∠OCB=90°时，四边形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得CFBF = OFCF，由此即可解决问题．③可以．如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，根据OE2=OD2+DE2，列出方程即可解决问题．（2）如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．10.如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6）、E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH为正方形（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标（3）如图2，点Q为对角线BO上一动点，D为边OA上一点，DQ⊥CQ，点Q从点B出发，沿BO方向移动．若移动的路径长为3，直接写出CD的中点M移动的路径长为________．【答案】（1）证明：如图1中，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴OE=AH=2，∵四边形ABCO是正方形，∴∠HAE=∠EOF=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴EH=EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，{AH=EOHE=EF，∴Rt△AHE≌△Rt△OEF，∴∠AEH=∠EFO，∵∠EFO+∠FEO=90°，∴∠AEH+∠FEO=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形（2）解：如图1中，连接GE、FH交于点K．∵F（﹣5，0），E（0，2），∴OF=5，OE=2，EA=4，∵HE=EF，∴52+22=42+AH2，∴AH= √13，∴H（﹣√13，6），∵四边形EFGH是菱形，∴HK=KF，KE=KG，设G（m，n），则有m+02= −5−√132，n+22= 6+02，∴m=﹣5﹣√13，n=4，∴G（﹣5﹣√13，4）（3）3√22【解析】【解答】（3）解：如图2中，如图2中，作MN⊥CO于M．∵MN∥OD，CM=MD，∴CN=ON，∴MN垂直平分线段CO，∴点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），∵QC=QD，∠CEQ=∠QFD，易证∠ECQ=∠FQD，∴△EQC≌△FDQ，∴EQ=DF=BE= 3√22，CE=OF=6﹣3√22，∴DO=6﹣3 √2，∵CM=DM，∠CMH=∠OMD，∠CHM=∠DOM，∴△HMC≌△OMD，∴OM=HM，CH=OD=6﹣3 √2，BH=3 √2，∵ON=NB，∴MN= 12BH= 3√22，∴点M的运动的路径的长为3√22．故答案为3√2．2【分析】（1）只要证明Rt△AHE≌△Rt△OEF，推出∠AEH=∠EFO，由∠EFO+∠FEO=90°，推出∠AEH+∠FEO=90°，推出∠HEF=90°，即可解决问题．（2）如图1中，连接GE、FH交于点K．首先求出点H的坐标，设G（m，n），根据中点坐标公式，列出方程组即可解决问题．（3）如图2中，作MN⊥CO于M．由MN∥OD，CM=MD，推出CN=ON，推出MN 垂直平分线段CO，推出点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B 重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），想办法求出BH 的长，即可利用三角形的中位线定理解决问题．11.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D 是BC的中点.（1）求证:△PDQ是等腰直角三角形.（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.【答案】（1）证明：连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,∵∠BDP+∠ADP=90°,∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,∴△PDQ为等腰直角三角形（2）解：当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:由(1)知△ABD为等腰直角三角形,当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,∴四边形APDQ为矩形,AB,∴四边形APDQ为正方形又∵DP=AP= 12【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．12.如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．【答案】（1）解：在等边三角形ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.在等边三角形ABC中，CF＝AD.在等边三角形ADE中，AD＝EA.∴CF＝EA.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.13.如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【答案】（1）解：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE=AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF．同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形（2）解：∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形（3）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在【解析】【分析】可先证明△DBE≌△ABC ，又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；若四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，A，D，E，F为顶点的四边形就不存在.14.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）证明：如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．【答案】（1）证明：如图2中，∵AM=ME．AD=DB，∴DM∥BE，∴∠GDN+∠DNE=180°，∵∠GDN=∠AEB，∴∠AEB+∠DNE=180°，∴AE∥DN，∴四边形DMEN是平行四边形，∵DM== BE，EM== AE，AE=BE，∴DM=EM，∴四边形DMEN是菱形（2）证明：如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．由（1）可知四边形EMDF是菱形，∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，∴∠GDN=∠AEB，∴∠MDF=∠GDN，∴∠MDG=∠FDN，∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME，∠GMD=∠EMD+∠CME，、在Rt△ACE中，∵AM=ME，∴CM=ME，∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，∴∠DMG=∠DFN，∴△DMG≌△DFN，∴DG=DN【解析】【分析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME=MD 即可证明．（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可．15.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，分别延长OB，OD到点E，F，使BE=DF，顺次连接A、E、C、F各点．（1）求证：∠FAD=∠EAB．（2）若∠ADC=130°，要使四边形AECF是正方形，求∠FAD的度数．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AD=AB，∠ADB=∠ABD，∴∠ADF=∠ABE，在△FAD与△EAB中，∴△FAD≌△EAB（SAS），∴∠FAD=∠EAB；（2）解：∵四边形AECF对角线互相垂直平分，∴只要∠EAF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵∠ADC=130°，∴∠DAB=180°﹣130°=50°∴∠FAD+∠EAB=40°，∵∠FAD=∠EAB，∴∠FAD= ×40°=20°【解析】【分析】（1）由题意易证∠ADF=∠ABE，又因为DF=EB，AD=AB，于是可△FAD≌△EAB，；（2）由已知可得四边形AECF对角线互相垂直平分，只要∠EAF=90°即得四边形AECF是正方形，由∠FAD=∠EAB，再证得∠DAB=50°，可得∠FAD+∠EAB=40°，于是∠FAD= 1×40°=20°．216.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________，②BC，DC，CF之间的数量关系为：________；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请直接写出GE的长．【答案】（1）垂直；BC=CF+CD（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，{AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC ．（3）解：过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，如图3所示：∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，∴CD= 14 BC= √22 ，CH= 12 BC= √2 ，∴DH= 3√22 ，由（2）证得BC ⊥CF ，CF=BD= 5√22 ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=DE ，∠ADE=90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE=CM ，EM=CN ，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM ，在△ADH 与△DEM 中， {∠ADH =∠DEM∠AHD =∠DMEAD =DE， ∴△ADH ≌△DEM （AAS ），∴EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，∴CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22 ，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG=BC=2 √2 ，∴GN=CG ﹣CN= √22 ， ∴EG= √GN 2+EN 2 = (√22)(3√22)= √5 ．【解析】【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF ，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF ，在△DAB 与△FAC 中， {AD =AF∠BAD =∠CAFAB =AC，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠B=∠ACF ，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC ⊥CF ；故答案为：垂直；②△DAB ≌△FAC ，∴CF=BD ，∵BC=BD+CD ，∴BC=CF+CD ；故答案为：BC=CF+CD ；【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质得到CF=BD ，∠ACF=∠ABD ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，求得DH= 3√22 ，根据正方形的性质得到AD=DE ，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM ，EM=CN ，由角的性质得到∠ADH=∠DEM ，根据全等三角形的性质得到EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，等量代换得到CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=2 √2 ，根据勾股定理即可得到结论．17.如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO=CO ，BO=DO ，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）DF ⊥AC ，若∠ADF ：∠FDC=3：2，则∠BDF 的度数是多少？【答案】（1）证明：∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，【解析】根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．18.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE=PA，PE交CD于F．（1）求证：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC=65°，则∠CPE=________度．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠EPC=90°（3）115°【解析】【解答】（3）∠EPC=115°，理由：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠DCP，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°．∴∠CPE=180°-∠ABC=180°-65°=115°【分析】（1）根据正方形的性质得到△ABP≌△CBP，得到对应边相等，得到PC=PE；（2）由（1）知△ABP≌△CBP，得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数；（3）根据菱形的性质，得到△ABP≌△CBP，得到得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数.19.实践探究，解决问题如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD．（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，则S阴影=________；（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S平行四边形ABCD 之间满足的关系式为________；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S四边形ABCD之间还满足（2）中的关系式吗？若满足，请予以证明，若不满足，说明理由．解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和（即S1+S2+S3+S4的值）．【答案】（1）16（2）S阴影=12S平行四边形ABCD（3）解：满足（2）中的关系式，理由如下：连接BD，由图1得S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC∴S四边形EBFD=S△EBD+S△BDF= 12S四边形ABCD（4）解：设四边形的空白区域分别为a，b，c，d 由上述性质可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，①+②+③+④得，a+S2+S3+c+S1+S4+b+S2+S1+d+S4+S3=S四边形ABCD⑤而S四边形ABCD=a+b+c+d+S1+S2+S3+S4+S阴影⑥所以联立⑤⑥得S1+S2+S3+S4=S阴影=20平方米．【解析】【解答】解：（1）∵E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，∴S阴影= 12×8×4=16，故答案为：16；（2）∵E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，∴S阴影= 12S平行四边形ABCD；故答案为：S阴影= 12S平行四边形ABCD；【分析】（1）由矩形的性质容易得出结果；（2）由平行四边形的性质容易得出结果；（3）连接BD，由题意得出S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC，即可得出结论；（4）设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，由（3）可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，进一步得出结论即可．20.如图，E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，如图所示：∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE= 12BC=5．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出对边平行且相等，结合已知，可证出AECF是平行四边形；（2）利用菱形的邻边相等的性质，可证出BE=AE=CE= 12BC=5.。

9.4矩形、菱形、正方形(4)教案

A D
B C
E
F
G
怀文中学2013—2014学年度第二学期教学设计
初二数学 9.3 矩形、菱形、正方形（4）
主备：王大勇审校：叶兴农日期：2014年3月20日
教学目标：1．探索并证明四边形是菱形的条件，培养学生的探究能力；
2．能运用菱形的判定定理解决有关问题．
教学重点：帮助学生探索并证明菱形的判定定理．
教学难点：菱形的判定定理的探索．
一、自主探究
（1）回忆你还记得我们上节课学习的菱形有哪些性质？
（2）（1）菱形的四条边相等．
（2）矩形的对角线互相垂直．
①你能说出上述命题的逆命题吗？请判断它们的真假．
②你能把（2）改为真命题并证明吗？
定理：
四边相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
二、自主合作
例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．
三、自主展示已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，AE 是角平分线，交CD 于F ，EG ⊥AB ，G 是垂足，四边形CEGF 是菱形吗？为什么？
A
D B
C E F O
1 2
四、自主拓展
将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD．求证：四边形ABCD是菱形；
五、自主评价
布置作业：
教学反思：。

9.4矩形、菱形、正方形(3)

尊重主体
面向全体
先学后教
当堂训练
科研兴教
力求高效
年教学模式月日讨论交流
教材第 9 课（章）第 4 课题
节（单元）第 3
课时，总课时
9.4 矩形、菱形、正方形（3） 1．通过对生活中熟悉的图形认识，理解菱形的概念；
教学目标（认知技能情感）
2．探索并证明菱形的性质定理，在活动过程中发展学生的探究意识和有条理的表达能力； 3．能运用菱形的性质定理解决有关简单的问题．帮助学生探索并证明菱形的性质定理．菱形的性质定理的探索．
课堂作业： P84 习题 9.4 第 7、8 题
布置作业
课堂作业下节课预习内容
课后作业
教后感
-3-
学生自学共研的内容方法
再次优化
合
作
探
A
E
F
究
B
D
M
C
G
H
-2-
教学环节随堂练习
教师施教提要再次（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）（启发、精讲、活动等）优化
学生自学共研的内容方法
练习： P79 第 1、2 题
总结：课堂小结达标检测理解菱形的概念，探索菱形的性质定理，并能运用定理解决简单的实际问题．
-1-
教学环节
教师施教提要（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）（启发、精讲、活动等）活动一： 1．（说一说）菱形是特殊的平行四边形，那么它具有平行四边形的一切性质，你能说说吗？ 2． (议一议)菱形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？活动二：拿出准备好的平行四边形的活动框架（每小组至少 1 个），对角线是两根橡皮筋．如果把 DC 沿 CB 方向平行移动，你会发现□ABCD 的边、内角、对角线都随着变化．当平移 DC 使 BC＝AB 时：（1）□ABCD 四条边的大小有什么关系？（2）对角线 AC、BD 的位置有什么关系？请同学们小组合作完成证明过程，并尝试用文字语言叙述．定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直例 1 如图，木制活动衣帽架由 3 个全等的菱形构成，在 A、E、F、C、G、H 处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在 B、M 处固定．已知菱形 ABCD 的边长为 13cm，要使两排挂钩间的距离为 24cm，求 B、M 之间的距离．

9.4 矩形、菱形、正方形(5)

通过本节课的学习，你有哪些收获？
初中数学八年级(下册)
9.4
矩ห้องสมุดไป่ตู้、菱形、正方形(5）
作者：王正东（盐城市长荡初级中学）
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
矩形
平行四边形
菱
形
？
怎样的平行四边形是正方形呢？
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
A
D
B
C
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
常用判别正方形的方法矩形正方形
菱形
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
正方形具有哪些性质？平行四边形正矩形
方
形
菱形
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
正方形的性质对称性---边---角---对角线---既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A O B D
C
对边平行，4条边都相等． 4个角都是直角．对角线相等、垂直且互相平分．
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
例1 已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′ 、
C′、D′分别在AB、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝ DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
练一练
P82-83第1、2、3题．
9.4 矩形、菱形、正方形（5)

9.4矩形、菱形、正方形(4)

学生自学共研的内容方法
练习： P81 第 1、2 题．
总结：课堂小结达标检测Fra bibliotek探索菱形的判定定理，并能运用定理解决问题
课堂作业： P84 习题 9.4 第 9、10 题．
布置作业
课堂作业下节课预习内容
课后作业
教后感
-3-
A 1 O B F
E
D
2
C
合
例 2 已知：如图，△ABC 中，∠ACB＝90°， CD 是高， AE 是角平分线，交 CD 于 F， EG⊥AB， G 是垂足，四边形 CEGF 是菱形吗？为什么？
作
C E
探
A
F
究
D
G
B
-2-
教学环节随堂练习
教师施教提要再次（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）（启发、精讲、活动等）优化
学生自学共研的内容方法
再次优化
合作探究
-1-
教学环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要（启发、精讲、活动等）
再次优化
例1
已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC，
对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F．求证：四边形 AFCE 是菱形．
教学重难点教具与课件
帮助学生探索并证明菱形的判定定理．菱形的判定定理的探索．
9.4 矩形、菱形、正方形（4）板书设计
教学环节导入
教师施教提要（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）（启发、精讲、活动等）导语：同学们，你还记得我们上节课学习的菱形有哪些性质吗？板书：（1）菱形的四条边相等．（2）矩形的对角线互相垂直．追问①你能说出上述命题的逆命题吗？请判断它们的真假． ②你能把（2）改为真命题并证明吗？定理：板书：四边相等的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

四年级下册数学教案-9.4 图形王国整理与复习丨苏教版

四年级下册数学教案-9.4 图形王国整理与复习一、教学目标1. 让学生通过复习，进一步理解和掌握本册教材中学到的图形知识。

2. 培养学生运用图形知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和抽象思维能力。

3. 培养学生合作学习、自主探究的学习习惯，激发学生对数学学习的兴趣。

二、教学内容1. 图形的分类：三角形、四边形、圆等。

2. 图形的性质：周长、面积、对称等。

3. 图形的运动：平移、旋转等。

三、教学重点1. 让学生掌握图形的分类和性质。

2. 培养学生运用图形知识解决实际问题的能力。

四、教学难点1. 图形的性质和运动的理解。

2. 解决实际问题时，如何运用图形知识。

五、教学过程1. 导入新课：通过引导学生回顾本册教材中学到的图形知识，激发学生对本节课的兴趣。

2. 新课学习：(1) 图形的分类：让学生通过观察和讨论，总结出三角形、四边形、圆等图形的特点，并进行分类。

(2) 图形的性质：引导学生回顾图形的周长、面积、对称等性质，并让学生通过实例来加深理解。

(3) 图形的运动：让学生通过实际操作，理解图形的平移、旋转等运动，并引导学生观察运动后的图形与原图形之间的关系。

3. 巩固练习：设计一些与图形相关的实际问题，让学生运用所学知识进行解答，巩固所学内容。

4. 小结：引导学生对本节课所学内容进行总结，强化学生对图形知识的理解和记忆。

六、课后作业1. 让学生完成教材中的练习题。

2. 让学生观察生活中的图形，运用所学知识进行分类和性质分析。

七、教学反思1. 教师应关注学生在学习过程中的表现，及时发现和解决问题。

2. 在教学过程中，教师应注重培养学生的合作学习和自主探究能力。

3. 教师应根据学生的实际情况，适时调整教学难度和教学进度，确保每位学生都能掌握所学知识。

通过本节课的学习，使学生进一步理解和掌握图形知识，提高学生的空间想象力和抽象思维能力，培养学生的合作学习和自主探究能力，激发学生对数学学习的兴趣。

在以上提供的教案中，需要重点关注的细节是“教学过程”部分，尤其是新课学习中的图形分类、图形性质和图形运动的教学内容。

9.4 矩形、菱形、正方形(2)

初中数学八年级(下册)
9.4
矩形、菱形、正方形(2)
作者：王正东（盐城市长荡初级中学）
9.4 矩形、菱形、正方形(2)
说一说
还记得，我们上节课学习的矩形具有哪些性质吗？（1）矩形的四个角都是直角. （2）矩形的对角线相等. 说出上述命题的逆命题，并判断其真假.
9.4 矩形、菱形、正方形（2)
三个角是直角的四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形．
A D A D
B
C
B
C
议一议判断矩形有哪几种方法? 矩形的判定方法
1.有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形
矩形. 矩形.
矩形.
平行四边形，满足哪些条件就可以得到矩形呢？对于任意
9.4 矩形、菱形、正方形（2)
例1 90°, D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.求证：四边形DECF是矩形. C F A D E B 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝
9.4 矩形、菱形、正方形（2)
如图，直线 l1∥l2 、A、C是直线l1上任意两点，AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分别为B、D，线段AB、CD相等吗？为什么？
通过本节课的学习，你有哪些收获？
A C l1 l2
B
D
两条平行线之间的距离处处相等.
9.4 矩形、菱形、正方形（2)
练一练 1．课本P77-78第1、2 题． 2．如图：已知MN∥PQ，同旁内角的平分线 AB、CB和AD、CD分别交于点B、D，试判断四边形ABCD的形状.
M B P A D N
C
Q

9.4 矩形、菱形、正方形（2)

9.4(14)正方形的判定-教案

9.4正方形(2) (教案)【教学目标】1. 经历探索正方形判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯，进一步了解和体会说理的基本方法.2 . 经历探索四边形是正方形的条件，会利用正方形的判定方法来说明一个四边形是正方形3．通过对正方形的判定的探究，培养学生独立思考的品质及合作精神。

【教学重点】正方形判定的探究.【教学难点】正方形判定的灵活选用.【教学过程】预学：学生已掌握了矩形、菱形的相关判定方法、研究路径、研究方法主问题：具有什么条件的平行四边形是正方形？一、情景创设，引入课题。

活动一(学生活动)：正方形的形成过程1、怎样用一张矩形纸片折出一个最大的正方形？（以矩形的短边长为正方形的边长）2、怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？二、新知探究，互动生成。

活动二：探究正方形的判定通过以上实践，你发现：1、（1）当矩形满足什么条件时是正方形？（2）当菱形满足什么条件时是正方形？（3）如何改变平行四边形活动框架的形状，使其为正方形？2、讨论：如何判定一个四边形是正方形？（1）___________________________________________的平行四边形是正方形；（2）__________________________________________的菱形是正方形；（3）__________________________________________的矩形是正方形.活动三、进一步理解四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系判断：满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？（1）四条边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形；（）（2）有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形；（）（3）有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形；（）（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（）三、新知巩固、检测评价。

活动四：正方形判定的应用例1、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ,试判断四边形EFGH 是正方形吗？为什么？思考：还有其他方法证明例1的结论吗？例2、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）试说明：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并说明你的理由．AB C D E F GHN例3、如图，已知在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且EA =EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若∠DAC =∠EAD +∠AED ，求证：四边形ABCD 是正方形．四、课堂小结AA。

八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形9.4矩形、菱形、正方形学案(无答案)苏科版(new)

矩形【学习目标】1．掌握矩形的性质和判定,会证明一个四边形是矩形，并能够运用矩形的性质进行有关线段或角的计算或证明．2．能够结合三角形的知识，解决有关矩形与等腰三角形相、直角三角形相关的问题．3．探索与平行四边形有关的面积问题、最值问题、动点类问题等．【知识点】1．有一个角是的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质：矩形的四个角；矩形的对角线．3．矩形的判定：有个角是直角的四边形是矩形;对角线的平行四边形是矩形．【例题精讲】一、矩形与特殊等腰三角形问题例1．如图,在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°,则∠BOE的度数为A．85° B．80°C．75° D．70°例2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，AE＝3,ED＝3BE，则AB的值为A．6 B．5C．23 D．33例3．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M,CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H,且DM＝a，GH＝b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）A．2a＋b B．a＋2bC．a＋b D．2a＋2b例4．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点,点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F，G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM,若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF＝90°,则AB＝．二、矩形与面积问题例5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为A．12 B．10C．8 D．6例6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF的值为．例7．如图，在长方形ABCD中,E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD的面积是平方厘米．三、矩形与勾股定理例8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，P、Q分别是AB和CD上的任意一点，且AP＝CQ，线段EF是PQ的垂直平分线,交BC于F，交PQ于E，设AP＝x，BF＝y,则y与x的函数关系式为．例9．如图，P是矩形ABCD内一点,若PA＝3,PB＝4，PC＝5，则PD＝．例10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1 恰好在∠BCD的平分线上时,则C A1的长为．例11．如图，在矩形ABCD中,AB＝6，BC＝8，AC与BD相交于O,E为DC的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F，记22d=+，则关于d的正DE BF确的结论是A．d＝5 B．d＜5C．d≤5 D．d≥5例12．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝8，BC＝3，运动过程中，点D到点O的最大距离为．例13．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C 重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF终点，设AM的长为x,则x的取值范围是A．4≥x＞2.4B．4≥x≥2。

苏科版八年级数学下册课件：9.4矩形、菱形、正方形(5)正方形2(共35张PPT)

直角三角形.
7.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的有
一点，且CE=AC.求∠E的度数.
A
D
B
C
E
8.已知:如图,四边形ABCD是正方形,以对角线
AC为一边作菱形AEFC.求∠FAB的度数.
DC
F
A
BE
9.已知:如图, E、F是正方形ABCD的对角线AC 上的两点,且AE=CF.
求证:四边形BEDF是菱形.
（2）若正方形A’B’C’D’绕点O任意旋转某个角度后，OE=OF吗？
A O (A')
D
F
D'
B
E
C
A O (A')
B
E
B'
D
F D'
C
B'
C'
C'
练习：如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图
所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）
A．
（1）A、B、C的对应点分别是什么？
（2）△ABC可通过怎样的变换得到△ADC？
A
（3）从对称性看，四边形
ABCD是什么图形？ B
O
D
正方形实际是等腰直角三角形
绕其底边上的中点旋转180°
而形成的中心对称图形.
C
四边形ABCD有哪些特点？
四边形ABCD是中心对称图形,又是轴对称图形；
是平行四边形
A
A
D
F
OE
B
C
平行四边形
矩正菱形方形
形
挑战第二关具备什么条件的平行四边形是正方形？
正方形的判别方法：

9.4矩形、菱形、正方形(5)

怀文中学2013—2014学年度第二学期教学设计初二数学9.4 矩形、菱形、正方形（5）
主备：王大勇审校：叶兴农日期：2014年3月21日
教学目标：1．探索正方形的性质和判别四边形是正方形的条件，利用相关知识解决问题；
2．经历平行四边形、矩形、菱形、正方形概念间的区别与联系的分析过程，
理解特殊与一般的关系．
教学重点：帮助学生探索正方形的性质和判别四边形是正方形的条件．
教学难点：判别四边形是正方形的条件的探索．
一、自主探究
活动一：
说一说
1．怎样的矩形是正方形？
2．怎样的菱形是正方形？
活动二：议一议平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有怎样的关系？
二、自主合作
活动三：议一议正方形的边、角和对角线各具有什么性质？
画图表示正方形与平行四边形，矩形与菱形的关系如图。

三、自主展示
例1 已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别
在AB、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
四、自主拓展
1.求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角
三角形。

2.已知正方形ABCD，延长AB到E，作AG⊥EC于G，AG交BC于F，
求证：AF＝CE。

五、自主评价
布置作业：
教学反思：。

苏教版四年级下册数学课件9.4 三角形、平行四边形和梯形

四边形
平行四边形长方形正方形
梯形等腰梯形
三
角
形
等腰三角形
等边三角形
1、明辨是非。
(1) 三角形中至少有2个锐角。( √ ) (2) 有一个角是60°的等腰三角形一定是
等边三角形。
(√ )
(3) 有一组对边平行的四边形是梯形。
（ ×）
(4) 三角形只有一条高。（ × ）
(5) 两组对边分别平行的图形是平行四边
形。
（ ×）
2、填空
(1)、一个三角形每条边的长都是整厘米数，其中两条边的长度分别是12厘米和9厘米，第三条边最长是( 20 )厘米，最短是( 4 )厘米。
12+9-1=20(厘米） 12-9+1=4（厘米）
(2)、等腰三角形的两条边分别是7厘米和5厘米。这个等腰三角形的周长是( 17或19 )厘米。
180°- 40°×2 =180°- 80° =100°
(5)、如果三角形的一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形是( 直角 )三角形。
(5)、梯形的下底是上底的3倍，如果把梯形的上底延长6厘米就变成了一个平行四边形，原来梯形的上底是（）厘米，下底是（）厘米。
想想做做：
1、下面两条直线互相平行。画出每个图形的高，你发现了什么？
④3、6、6
b、如果围成等边三角形，边长是多少厘米？ c、如果围成等腰三角形，它的底是多少厘米？
再见！
这一样个的人人所才受有的学教问育。超
过了自己的智力，
You made my day!
我们，还在路上……
A
6cm
10cm
想想做做：
5、用一根长15厘米的吸管剪成3段(每段都是整厘米数)，围成一个三角形。

苏科版数学八年级下册第九章 9.4 矩形、菱形、正方形(选择、填空题)专练(详细答案)

9.4 矩形、菱形、正方形（选择、填空题）一．选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．43．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.27．如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ，且EG ∥BC ，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G 若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN 的长为（） A ．B ．C ．﹣D ．2﹣8．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，在矩形ABCD 中，AD=6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE ，点P 、Q 分别在BD ，AD 上，则AP +PQ 的最小值为（） A ．2B ．C ．2D ．310．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S 1，S 2，则S 1：S 2等于（）A ．1：B ．1：2C ．2：3D ．4：911．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（） A ．3B ．4C ．5D ．612．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或613．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD 上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对14．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．7515．如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G 分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（）A．B．C．D．16．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：=13S ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH，其中结论正确的有（）△DHCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为．19．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．20．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF 与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为．21．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．23．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=．24．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为．25．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2021B2021C2021的顶点B2021的坐标是．27．如图，在平面内，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG：DF：CE=．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．29．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为．30．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．答案与解析一．选择题1．（2021•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．2．（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，=，∵S菱形ABCD∴，∴DH=，故选A．【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱=是解此题的关键．形ABCD3．（2021•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．4．（2021•威海）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5．（2021•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．（2021•宜宾）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2【分析】首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，△AOD 的面积，然后由S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF 求得答案．【解答】解：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形ABCD =AB•BC=48，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=10， ∴OA=OD=5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =24， ∴S △AOD =S △ACD =12，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF=×5×PE +×5×PF=（PE +PF ）=12，解得：PE +PF=4.8．故选：A ．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．7．（2021•资阳）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（）A．B．C．﹣ D．2﹣【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP，即可得出答案．【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP=DP=CD=，△GCP为直角三角形，∵四边形EFGH是菱形，∠EHG=120°，∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH，∴OG=GH•sin60°=2×=，由折叠的性质得：CG=OG=，OM=CM，∠MOG=∠MCG，∴PG==，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC=180°，∴∠MCG+∠OMC=180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM=CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM=OG=，根据题意得：PG 是梯形MCDN 的中位线，∴DN +CM=2PG=，∴DN=﹣；故选：C ．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．8．（2021•眉山）如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②在△EOB 和△CMB 中，对应直角边不相等；③可证明∠CDE=∠DFE ；④可通过面积转化进行解答．【解答】解：①∵矩形ABCD 中，O 为AC 中点，∴OB=OC ，∵∠COB=60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，但BO≠BM，故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，∴∠CDE=∠DFE，∴DE=EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE =S△COF，∵S△COF =2S△CMF，∴S△AOE ：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，∵∠FCO=30°，∴FM=，BM=CM，∴=，∴S△AOE ：S△BCM=2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．9．（2021•雅安）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A．2 B．C．2 D．3【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD 的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..【解答】解：设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，∴AE=3，DE=3，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3，故选D．【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．10．（2021•南宁）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．11．（2021•毕节市）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．12．（2021•徐州）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6【分析】根据题意列方程，即可得到结论．【解答】解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．【点评】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确分识别图形是解题的关键．13．（2021•陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON ≌△M′ON′．由此即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．14．（2021•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．15．（2021•呼和浩特）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得=求出EF即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，∴BC=CD=2，∠B=∠C=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∴=，∵BF=，CF=，DF==，∴=，∴EF=，∴正方形EFGH的周长为．故选C．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．16．（2021•昆明）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：=13S ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH，其中结论正确的有（）△DHCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；③同②证明△EHF≌△DHC即可；④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，则S△DHC=13S△DHC，故④正确；∴3S△EDH故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．二．填空题（共14小题）17．（2021•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．18．（2021•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为24．【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．19．（2021•盐城）如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【分析】延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH=AF=0.7，FH=，证明△DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，由勾股定理得出（）2+y2=（2﹣y）2，解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．20．（2021•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为3．【分析】首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根=BC•FG即可解决问题．据2•S△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠AGE=30°，∵∠B=∠EGF=60°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥BC，=BC•FG，∴2•S△ABC∴2××（6）2=6•FG，∴FG=3．故答案为3．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，记住菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半，属于中考常考题型．21．（2021•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=15度．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．22．（2021•包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=22.5度．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．23．（2021•黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= 2a．【分析】作FM⊥AD于M，则MF=DC=3a，由矩形的性质得出∠C=∠D=90°．由折叠的性质得出PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，求出∠DPE=30°，得出∠MPF=60°，在Rt△MPF中，由三角函数求出FP即可．【解答】解：作FM⊥AD于M，如图所示：则MF=DC=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∵DC=3DE=3a，∴CE=2a，由折叠的性质得：PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，∴∠DPE=30°，∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°，在Rt△MPF中，∵sin∠MPF=，∴FP===2a；故答案为：2a．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质，求出∠DPE=30°是解决问题的关键．24．（2021•湖北襄阳）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为．【分析】先根据ASA判定△AFO≌△BEO，并根据勾股定理求得BE的长，再判定△BFM∽△BEO，最后根据对应边成比例，列出比例式求解即可．【解答】解：∵正方形ABCD∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM∴∠FAO=∠EBO在△AFO和△BEO中∴△AFO≌△BEO（ASA）∴FO=EO∵正方形ABCD的边长为2，E是OC的中点∴FO=EO=1=BF，BO=2∴直角三角形BOE中，BE==由∠FBM=∠EBO，∠FMB=∠EOB，可得△BFM∽△BEO∴，即∴FM=故答案为：【点评】本题主要考查了正方形，解决问题的关键的掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质．解题时注意：正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．25．（2021•南京）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为13cm．【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=cm，所以菱形的边长=cm．故答案为：13．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．26．（2021•聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2021B2021C2021的顶点B2021的坐标是（21008，0）．【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2021的坐标．【解答】解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2021÷8=252∴B2021的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2021的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．27．（2021•安徽自主招生）如图，在平面内，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG：DF：CE=1：：1．【分析】连接BD、BF，可证明△ABG∽△DBF，可求得AG：DF，连接CE，可证明△ABG≌△CBE，可求得AG=CE，可求得答案．【解答】解：连接BD、BF和CE，∵四边形ABCD和BEFG均为正方形，∴==，且∠ABD=∠GBF=45°，∴∠ABG+∠GBD=∠GBD+∠DBF，∴∠ABG=∠GBD，∴△ABG∽△DBF，∴，又∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠AGB+∠GBC=∠GBC+∠CBE，∴∠AGB=∠CBE，在△ABG和△CBE中∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE，∴AG：CE=1：1，∴AG：DF：CE=1：：1，故答案为：1：：1．【点评】本题主要考查相似三角形和全等三角形的判定和性质，构造全等或相似三角形是解题的关键．28．（2021•湖北校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE 的最小值为．【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．【解答】解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB===5，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=AB•CM=BC•AC，∴CM的最小值==，∴线段DE的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．29．（2021•丹东）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质等，利用等角对等边是解答此题的关键．30．（2021•天津）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM。

2020-2021学年苏科版八年级下册数学9.4矩形、菱形、正方形同步练习 (含解析)

9.4矩形、菱形、正方形同步练习一．选择题1．下列说法中不正确的是（）A．对角线垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．菱形的面积等于对角线乘积的一半D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．三个角都是直角的四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形3．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（）A．B．2﹣2C．2﹣D．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．5．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（）A．2B．C．3D．6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（）A．30°B．70°C．30°或60°D．40°或70°7．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD ＝100°时，则∠CDF＝（）A．15°B．30°C．40°D．50°8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣2B．3﹣4C．1D．9．如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（）A．100°B．70°C．50°D．20°10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD 的面积是．12．如图，正方形ABCD边长为2，点P在BC边上，DP交AC于点E，∠ADE＝∠AED，则BP的长度是．13．如图，点E为正方形ABCD外一点，ED＝CD，AE与BD相交于点F．若∠CDE＝52°，则∠DCF＝°．14．在长方形ABCD中，AB＝，BC＝4，CE＝CF，延长AB至点E，连接CE，CF平分∠ECD，则BE＝．15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2，则AB的长为．三．解答题16．如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD ＝EF．17．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．18．已知：在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．（1）如图1，求证：AB＝AF；（2）如图2，连接AE，当BE＝DF时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于AB的线段．参考答案一．选择题1．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故不符合题意；C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，正确；故不符合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项错误，故符合题意．故选：D．2．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．故选：C．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，∵∠DCE＝45°，∴DE＝DC＝2，∴EC＝2，∵∠DCE＝45°，∴∠DEC＝45°，∵EB平分∠AEC，∴∠BEC＝∠AEB＝∠AEC＝，∴∠EBC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠BEC＝∠EBC，∴BC＝CE＝2，∴AD＝BC＝2，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE，∴AE＝＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，∴的值为，故选：C．5．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∵DF＝BC，∴DA＝DF，∴AH＝FH，∵AF⊥BE，∴DG∥BE，∴AG＝BG＝，∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，∴四边形BEDG为平行四边形，∴DE＝BG＝3，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．故选：C．6．解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，∵△ABE是等腰三角形，∴AE＝BE，或AB＝BE，当AE＝BE时，∴∠ABE＝∠BAE＝40°，∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，故选：C．7．解：如图，连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，在△BCF和△DCF中，∵，∴△BCF≌△DCF（SAS）∴∠CBF＝∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°∴∠ABF＝∠BAF＝50°∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°∴∠CDF＝30°．故选：B．8．解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝4，∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．故选：A．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，∴∠ABO＝35°，AC⊥BD，∴∠BAC＝55°，∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE，∴55°≤∠BEC≤90°，故选：B．10．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∴AF＝CF＝BC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D．二．填空题11．解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴AB＝2，BC＝＝＝2，∴矩形ABCD的面积是：2×2＝4，故答案为：4．12．解：∵正方形ABCD，边长为2，∴AD∥BC，AC＝2，∴∠ADE＝∠DPC，∵∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝2，∠DPC＝∠AED＝∠CEP，∴CP＝CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∴BP＝BC﹣CP＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2．故答案为：4﹣2．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADE＝90°+52°＝142°，∴∠DAE＝19°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF＝19°，故答案为：19．14．解：如图，延长CF，BA交于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于H，过点E作EM⊥CF 于M，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝，BC＝4，∴AB∥CD，AB＝CD＝，∠D＝∠ABC＝∠CBE＝90°，∴∠DCF＝∠G，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE，FH＝DF，∴∠G＝∠ECF，∴EC＝EG，∴∠ECG是等腰三角形，∴CM＝MG，∵CE＝CF，∴△ECF是等腰三角形，∵EM⊥CF，FH⊥CE，∴EM和FH是等腰三角形腰上的高，∴EM＝FH＝DF，∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），∴CM＝CD＝，∴CG＝5，Rt△CBG中，BG＝＝＝3，设BE＝x，则EC＝EG＝3+x，Rt△CBE中，（3+x）2＝x2+42，解得：x＝，∴BE＝．故答案为：．15．解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，∴AD∥BC，∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH，∵点G为HD的中点，∴HG＝DG，∵∠MGD＝∠CGH，∴△MGD≌△CGH（ASA），∴MG＝CG，MD＝CH＝BC＝AD，∴点G为MC的中点，点M为AD的中点，∵F，G分别为CE和CM的中点，∴FG是△CEM的中位线，∴FG＝EM，∴EM＝2FG＝4，∵E，M分别为AB和AD的中点，∴AE＝AM，∵∠A＝120°，∴EM＝AE＝4，∴AE＝4，∴AB＝2AE＝8．故答案为：8．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵EF＝BF+BE，∵BC＝CE+BE，BF＝CE，∴EF＝BC，∴AD＝EF．17．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN．（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，∴四边形PMAN为正方形，∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．∵PE⊥PB，∴∠EPN+∠NPB＝90°，∴∠MPE＝∠NPB．∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PME＝∠PNB＝90°．在△PME和△PNB中，，∴△PME≌△PNB（ASA），∴EM＝BN．18．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠C＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE＝BC，∴AD＝DE，在△ADF和△DEC中，，∴△ADF≌△DEC（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝AB；（2）AD，BC，DE的长度等于AB，理由如下：∵△ADF≌△DEC，∴CE＝DF，∴BE＝EF，∵BE＝DF，∴BE＝EC＝DF＝EF，∴DE＝2EC，∵DE2＝EC2+CD2，∴DE＝AB，∴AD＝BC＝DE＝AB．。

9.4 完美的正方形

2.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且 CE=AC，若AE交CD于点F，则∠E= °；∠AFC=
A D F
B
C
E
3.如图，正方形ABCD，点P是AC上一点， PE⊥AB，PF⊥BC，垂足为E、F，EF＝2，求PD的长.
A E P DBFC9.4 矩形、菱形、正方形（5)
练一练
C′、D′分别在AB、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′. 求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
三、展示交流
1．在空格中填上适当的条件：
（1）__________________________的平行四边形是矩形（2）__________________________的平行四边形是菱形（3）_________________________的平行四边形是正方形
P82-83第1、2、3题．
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
通过本节课的学习，你有哪些收获？
A O B D
C
对边平行，4条边都相等． 4个角都是直角．对角线相等、垂直且互相平分．
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
常用判别正方形的方法矩形正方形
菱形
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
正方形具有哪些性质？平行四边形正矩形
方
形
菱形
9.4 矩形、菱形、正方形（5)
例1 已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′ 、
初中数学八年级(下册)
9.4
矩形、菱形、正方形(5）
作者：王金坤（盐城市毓龙路实验学校）
操作:如图，BO是等腰直角三角形ABC的斜边上的中线，画出 △ABC关于点O的中心对称图形。（点B关于点O的对称点记作D）

矩形、菱形、正方形--矩形的判定

四边形ABCD 是矩形
∠A= ∠B= ∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
D O
C
矩形的判定口诀：
任意一个四边形，三个直角定矩形。对于平行四边形，一个直角即可定；对角线等也可定。
课后作业:
补充习题：9.4（2）
结束语
谢谢大家聆听！形,AC=BD
求证: 四边形ABCD是矩形
A
D
证明：在 ABCD中
AB DC,BD=CA,AD=DA
O
∴△BAD≌△CDA(SSS)
B
∴∠BAD=∠CDA
C
∵AB∥CD
∴∠BAD +∠CDA=180° ∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）
矩形。角：• 有对一角个线角相是等直且角互的相平垂行直四的边四形边是形矩是形矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形
例已知：如图，在△ABC中，∠ACB
＝90°,D是AB的中点，DE、DF分别是
△BDC、△ADC的角平分线.求证：四边
形DECF是矩形.
C
F
E
A
D
B
矩形、菱形、正方形--矩形的判定
温故而知新
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形
一个角是直角
矩形
边
矩形的对边平行且相等
矩
形
的
角
性
质
矩形的四个角都是直角
对角线矩形的两条对角线相等且互相平分
思考与探究
一天,小丽和小红到一个商店准备给要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买个相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片。为了保证相框的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?

矩形的判定

9.4 矩形、菱形、正方形(2)—矩形的条件（判定）班级：组别姓名：一、学习目标1.掌握四边形是矩形的条件2.经历探索四边形是矩形的条件的过程，在活动中分钟探究意识和有条理的表达能力。

二、预习导航1、矩形的定义：画出草图：几何语言：∵∴2、定理（1）画出草图：几何语言：∵∴定理（2）画出草图：几何语言：∵∴三、关键点拨：进行推理论证，常常需要从两个方向思考：“证明结论需要什么条件”，“从已知条件可以推出哪些证明结论所需的事项”。

例题：如图ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,DE、DF分别是∠BDC和∠ADC的平分线,求证：四边形FDEC是矩形变化一、△ABC中，点D在AB上，且AD＝CD＝BD，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC 的平分线，四边形FDEC是矩形吗？为什么？自学课本P77页思考四、课堂训练1、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：；⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：；2、下列说法错误的是（）（A）有一个内角是直角的平行四边形是矩形B）矩形的四个角都是直角，并且对角线相等（C）对角线相等的平行四边形是矩形 D）有两个角是直角的四边形是矩形3、如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD 是矩形．五、巩固练习如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。

那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

六．学习反思FE N M OCBA。