2016版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课件：第5章-第4节数列求和

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【名师金典】(教师用书)2016版高考数学大一轮复习第五章数列

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法[考情展望] 1.以数列的前n 项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n 项和S n 求通项a n.一、数列的有关概念判断数列递增(减)的方法 (1)作差比较法：①若a n ＋1－a n ＞0，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1－a n ＝0，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1－a n ＜0，则数列{a n }为递减数列．(2)作商比较法：不妨设a n ＞0. ①若a n ＋1a n＞1，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1a n＝1，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1a n＜1，则数列{a n }为递减数列．三、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法．四、a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1 ，S n －S n －1， n ≥2 .已知S n 求a n 的注意点利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n ≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n ≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的形式表示．1．已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数0，n 为偶数【答案】 B2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 【答案】 B3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【答案】 A4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝12n －1 n ≥25．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝ .【答案】 46．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝ .【答案】 (－2)n －1考向一 [083] 由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 【尝试解答】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .规律方法1 1.求数列的通项时，要抓住以下几个特征．(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．考向二 [084] 由递推关系求通项公式根据下列条件，求数列的通项公式a n .(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a n ＋1＝n ＋2na n ，a 1＝4； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.【尝试解答】 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以a n －a 1＝2 1－2n －11－2，即a n －a 1＝2n－2，所以a n ＝2n－2＋a 1＝2n－1. 当n ＝1时，a 1＝1也符合，所以a n ＝2n－1(n ∈N *)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋1 2. 所以当n ≥2时，a n ＝n n ＋12a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(3)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列．所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N *)．规律方法2 递推式的类型对点训练 (2015·银川模拟)已知f (x )＝1＋x.各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n＋2＝f (a n )．若a 2 014＝a 2 016，则a 20＋a 11的值是．【答案】135＋326考向三 [085] 由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .(b 为常数)【尝试解答】 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.规律方法3 已知S n 求a n 时的三个注意点(1)重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写” . (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.对点训练 (1)(2015·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1【答案】 B(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，求下面数列{a n }的通项公式a n . ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 【解】 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ，2·3n －1，n ＝1，n ≥2.易错易误之十明确数列中项的特征，慎用函数思想解题 —————————— [1个示范例] ——————已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]【解析】 ∵a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，∴a n ＋1－a n ＞0对∀n ∈N *都成立，此处在求解时，常犯“a n 是关于n 的二次函数，若{a n }单调递增，则必有k2≤1，k ≤2”的错误．出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数．又a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，所以由2n ＋1－k ＞0，即k ＜2n ＋1恒成立可知k ＜(2n ＋1)min ＝3.,【防范措施】 1.明确函数单调性与数列单调性的关系 (1)若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调．(2)若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在n ∈N *上的特殊函数． 2．数列单调性的判断一般通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断：若a n ＋1＞a n ，则该数列为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则该数列为递减数列．———————— [1个防错练] ———————已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是．【解析】法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，故对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)(*)．因为n ≥1，故－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其对称轴为n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需满足n ＝－λ2＜32即可，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞)课时限时检测(二十九) 数列的概念与简单表示法(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图5－1－1，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )图5－1－1A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －12 C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝n n ＋22【答案】 C2．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.8658C.8258D ．108 【答案】 D3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，则a 10＝( ) A ．1 024 B ．1 023 C ．2 048 D ．2 047【答案】 B4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n【答案】 D5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1【答案】 A6．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝ .【答案】 128．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ .【答案】61169．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9(k ∈N *)，则a 1的值为，k 的值为．【答案】－1 4三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)∵S n ＝n ＋23a n ，且a 1＝1，∴S 2＝43a 2，即a 1＋a 2＝43a 2，得a 2＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，得a 3＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1，于是a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上n －1个式子的两端分别相乘，得a n a 1＝n n ＋12，∴a n ＝n n ＋12，n ≥2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝n n ＋12，n ∈N *.11．(12分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．【解】 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23， n ＝1 ，1n ， n ≥2 .(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0， ∴{c n }是递减数列．12.(13分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2，点(a n n，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上，{b n }的最小项为b 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求m 的取值范围．【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋2 ＝n －1 [8＋ 6n －4 ]2＋2＝3n 2－3n ＋2n －2＋2 ＝3n 2－n ，显然a 1也满足a n ＝3n 2－n ，∴a n ＝3n 2－n . (2)∵点(a nn，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上， ∴b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)．∴b 1＝8＋2m ，b 2＝125＋5m ，b 3＝512＋8m ，b 4＝1 331＋11m . ∵{b n }的最小项是b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m ≥512＋8m ，125＋5m ≥512＋8m ，1 331＋11m ≥512＋8m ，∴－273≤m ≤－129.∵b n ＋1＝(3n ＋2)3＋m (3n ＋2)，b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)， ∴b n ＋1－b n ＝3[(3n ＋2)2＋(3n －1)2＋(3n ＋2)(3n －1)]＋3m ＝3(27n 2＋9n ＋3＋m )，当n ≥4时，27n 2＋9n ＋3＞273，∴27n 2＋9n ＋3＋m ＞0， ∴b n ＋1－b n ＞0，∴n ≥4时，b n ＋1＞b n . 综上可知－273≤m ≤－129， ∴m 的取值范围为[－273，－129]．第二节等差数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数的性质解决相应问题．一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . 3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －1 d 2＝n a 1＋a n2.4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2.证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)． ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 【答案】 D2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】 B3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 【答案】 B4．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 【答案】 2n －15．(2013·重庆高考)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝ . 【答案】 726．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝ . 【答案】 20考向一 [086] 等差数列的判定与证明在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．【尝试解答】 (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2)． ∴a 2＝2a 1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1.a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．规律方法1 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．对点训练 (2014·大纲全国卷)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．【证明】 ①由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.考向二 [087] 等差数列的基本运算(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】 C(2)(2013·四川高考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【尝试解答】设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得． 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.规律方法2 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．对点训练 (2014·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.①求d 及S n ；②求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 【解】 ①由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)．②由①得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.考向三 [088] 等差数列的性质及应用(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176 【答案】 B(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.【尝试解答】由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 由a 1＋a n ＝36，n ＝18.∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.规律方法3 1.在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质．2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．对点训练 (1)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 【答案】 (1)A (2)60考向四 [089] 等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．【尝试解答】法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 令a n ≥0得n ≤13，即当n ≤12时，a n ＞0；n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 法二同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.规律方法4 求等差数列前n 项和的最值常用的方法(1)先求a n ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．对点训练已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2，所以n ＝2时，S n 取到最大值4.规范解答之八等差数列的通项与求和问题 ————————— [1个示范例] ———————(12分)(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【规范解答】 (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，2分解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *). 5分(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，6分所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.12分【名师寄语】 1.涉及求数列{|a n |}前n 项和的题目，其解题的关键是找到数列{a n }的正负界点，因此借助绝对值的性质，去掉绝对值符号是解题的着眼点．2．要正确区分“|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |”与“a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ”的差异，明确两者间的转换关系，切忌逻辑混乱．————————— [1个规范练] ———————已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，易求a 2＝－1，则a 3＝a 2＋d ，a 1＝a 2－d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1－d ，－1＋d －1－d · －1 ＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不合题设条件．当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5. 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋ n －2 [2＋ 3n －7 ]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.课时限时检测(三十) 等差数列 (时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }中的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】 D3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27 【答案】 B5．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 【答案】 D6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝ . 【答案】 108．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝ . 【答案】 139．已知等差数列{a n }中，a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则12a 50＋a 20＋a 80＝ .【答案】252三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．(12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的根，且a 4＞a 3， ∴a 3＝9且a 4＝13，从而a 1＝1，公差d ＝4，故通项a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. (2)由(1)知S n ＝n 1＋4n －32＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c .法一所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)．令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二当n ≥2时，b n －b n －1＝2n 2－n n ＋c －2 n －1 2－ n －1n －1＋c＝2n 2＋ 4c －2 n －3cn 2＋ 2c －1 n ＋c c －1 ，欲使{b n }为等差数列，只需4c －2＝2(2c －1)且－3c ＝2c (c －1)(c ≠0)，解得c ＝－12.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．12．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项； (3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．【解】 (1)证明由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)得， 1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得，1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.∴a n ＝13n －2. (3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2(n ∈N *)恒成立．整理得λ≤ 3n ＋1 3n －2 3 n －1 (n ≥2，n ∈N *)，令C n ＝ 3n ＋1 3n －2 3 n －1，C n ＋1－C n ＝3n ＋4 3n ＋1 3n － 3n ＋1 3n －23 n －1＝3n ＋1 3n －43n n －1因为n ≥2，所以C n ＋1－C n ＞0，∴{C n }为单调递增数列，C 2最小，且C 2＝283，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，283.第三节等比数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用．一、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．二、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m qn －m(m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍是等比数列．等比数列的单调性1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12【答案】 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11【答案】 A3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7 【答案】 B4．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是．【答案】 45．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【答案】 C6．(2013·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24【答案】 A考向一 [090] 等比数列的基本运算(1)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝；前n 项和S n ＝ .(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n . 【尝试解答】 (1)2,2n ＋1－2(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .规律方法1 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．对点训练 (1)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ .【答案】 2n(2)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列． ①求数列{a n }的通项公式； ②求数列{3a n }的前n 项和．【解】 ①设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )．又a 1＝2，所以d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝2n .②由①可知3a n ＝32n＝9n.故数列{3a n }的前n 项和为9 1－9n1－9＝98(9n－1)．考向二 [091] 等比数列的判定与证明成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【尝试解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100，解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54.故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54 1－2n 1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．规律方法2 1.本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d )的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算．2．要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可．对点训练 (2015·武汉模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【解】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2，由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54 1－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．考向三 [092] 等比数列的性质及应用(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3(2)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝ .【答案】 (1)C (2)－53规律方法3 在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．对点训练 (1)(2015·兰州模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16(2)(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ .【答案】 (1)B (2)50思想方法之十三分类讨论思想在等比数列求和中的应用分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行．在数列的学习中，也有多处知识涉及分类讨论思想，具体如下所示： (1)前n 项和S n 与其通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2；(2)等比数列的公比q 是否为1；(3)在利用公式S n 求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等．求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解．————————— [1个示范例] ———————(理)(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.————————— [1个对点练] ———————已知数列{d n }满足d n ＝n ，等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n ；(2)令c n ＝1－(－1)na n ，不等式c k ≥2014(1≤k ≤100，k ∈N *)的解集为M ，求所有d k ＋a k (k ∈M )的和．【解】 (1)设{a n }的首项为a 1，公比为q ，所以(a 1q 4)2＝a 1q 9，解得a 1＝q ，又因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2(a n ＋a n q 2)＝5a n q ，则2(1＋q 2)＝5q,2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12(舍)或q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n.(2)则c n ＝1－(－1)n a n ＝1－(－2)n，d n ＝n ，当n 为偶数，c n ＝1－2n ≥2014，即2n≤－2013，不成立；当n 为奇数，c n ＝1＋2n ≥2014，即2n≥2013，因为210＝1024,211＝2048，所以n ＝2m ＋1,5≤m ≤49 则{d k }组成首项为11，公差为2的等差数列 {a k }(k ∈M )组成首项为211，公比为4的等比数列则所有d k ＋a k (k ∈M )的和为45 11＋99 2＋2111－4451－4＝2475＋2101－20483＝2101＋53773.课时限时检测(三十一) 等比数列(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( ) A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 【答案】 B2．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】 B3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n【答案】 D4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且54为a 4与2a 7的等差中项，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 【答案】 C6．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝ .【答案】 148．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ .【答案】1529．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝ .【答案】 32三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 【解】 (1)由题意知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.11．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.故1b n＝－2n n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.12．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)． (1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．【解】 (1)证明由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2. 由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋qn －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q(1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．第四节数列求和[考情展望] 1.考查等差、等比数列的求和.2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧．一、公式法与分组求和法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －1 2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常用的拆项方法 (1)1n n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k。

高考数学一轮总复习第5章数列第4节数列求和课件理新人教版

2．若等比数列{an}满足 a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前 n 项和 Sn＝________.
解析：由题意 a2＋a5＝q(a1＋a4)，得 20＝q×10，故 q＝2，代入 a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得 9a1＝10，即 a1＝190. 故 Sn＝19011－－22n＝190(2n－1)．答案：190(2n－1)
(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的公比为 q.已知 b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)当 d＞1 时，记 cn＝abnn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
解析
[由题悟法]
bn＝3
an＋1 2
，求数列an＋2 1·bn的前
n
项和
Sn.
an＋1
解：由(1)可得 bn＝3 2 ＝3n，
所以an＋2 1·bn＝n·3n，
[即时应用]
已知等比数列{an}中，首项 a1＝3，公比 q＞1，且 3(an＋2 ＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＋13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 {bn}的通项公式和前 n 项和 Sn.
解析
考点三错位相减法求和重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前 n 项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解．

高考2016届高考数学总复习第五章第4节数列求和课件

A．15 B．12 C．－12 D．－15
[解析] ∵an＝(－1)n(3n－2)， ∴a1＋a2＋…＋a10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝
3×5＝15.
[答案] A
A
9
4．数列{an}中，an＝n（n1＋1），若{an}的前 n 项和为22 001145，则项数 n 为( ) A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016 [解析] 因为 an＝n（n1＋1）＝1n－n＋1 1，所以 Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝n＋n 1，由已知得 Sn＝n＋n 1＝22 001145，解得 n＝2 014.
(2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为奇偶数数，的数列，其中数列{bn}，{cn}
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
A
15
【变式训练 1】(2014·北京高考)已知{an}是等差数列，满足 a1＝3， a4＝12，数列{bn}满足 b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前 n 项和．
A
4
4．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)裂项时常用的三种变形：
①nபைடு நூலகம்n1＋1）＝1n－n＋1 1；
②（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1；
1 ③ n＋ n＋1＝ n＋1－ n.
5．分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
A
12
[解析]

2016版高考数学大一轮复习课件：第5章-第4节数列求和

名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基础知识点
核心考向
菜单
方法技巧
第四节数列求和
课时限时检测
第一页，编辑于星期五：二十三点五十五分。
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基础知识点
方法技巧
[考情展望] 1.考查等差、等比数列的求和.2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧．
用分组求和法求{an}的前 n 项和．
(2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数，的数列，其中数列课
核
时
心考
{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
限时
向
检
测
菜单
第十七页，编辑于星期五：二十三点五十五分。
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对点训练 (2014·湖南高考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn
限时
向
＝311－－33n－211－－22n＝3n2＋1－2n＋1＋12.
检测
菜单
第十六页，编辑于星期五：二十三点五十五分。
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基础知识点
规律方法 1 分组转化法求和的常见类型
方法
技
(1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采巧
基础
(2)由(1)知a2n－11a2n＋1＝3－2n11－2n
知
识点
＝122n1－3－2n1－1，
方法技巧
从而数列a2n－11a2n＋1的前 n 项和为
核
12－11－11＋11－13＋…＋2n1－3－2n1－1

2016数学高考一轮总复习理科名师课堂课件：第5章第6讲

第五章
数
列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
1．公式法
na1＋an nn－1 na1＋ 2 d 2 (1)等差数列求和公式：Sn＝________＝_____________.
(2)等比数列求和公式： na1 q＝1， a1－anq Sn＝ a11－qn 1－q ＝ 1－q
高三一轮总复习 ·数学(理科)
第五章数列
第五章
数
列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
第 6讲
数列求和
第五章
数
列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
考纲要求理解并掌握各种数列求和的方法，分析数列的通项，能快速选择适当的方法进行数列的求和.
考情分析高考复习时要掌握求数列求和的几种方法，数列求和是高考热点问题，主要考查学生的逻辑推理能力，通常以解答题的形式出现，中等以上难度.
第五章
数
列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
3．倒序相加求和
这是推{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．特征：an＋a1＝an－
1＋a2.
4．裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．结构特点是通项为分式结构，裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分
第五章
数
列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
4．等差数列{an}中，an＝2n＋1，其前 n 项和为的前 10 项和为____________．
Sn Sn，则 n
【答案】75
n Sn 【解析】an＝2n＋1，则 Sn＝2(3＋2n＋1)＝n(n＋2)．所以 n ＝n＋2.易求得前 10 项和为 75.

高考数学一轮复习第5篇第4节数列求和课件文新人教版

等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
即时突破 1 (2013 包头模拟)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项
xn=2 p+nq(n∈N ,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数列.求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn. 解:(1)由 x1=3,得 2p+q=3, 4 5 又因为 x4=2 p+4q,x5=2 p+5q,且 x1+x5=2x4, 5 5 即 3+2 p+5q=2 p+8q,解得 p=1,q=1. (2)由(1),知 xn=2n+n, 所以 Sn=(2+2 +…+2 )+(1+2+…+n)=2 -2+
2 n-1
反思归纳
分组转化法求和的解题策略:
(1)数列求和应从通项入手,通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求前 n 项和的数列求和. (2)分组转化法求和的常见类型 ①若 an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前 n 项和.
bn , n为奇数， ②通项公式为 an= 的数列,其中数列{bn},{cn}是 cn , n为偶数
100 1 100 2
2
=5050, 故选 C.
4.设数列{an}的通项公式为 an=2 ,令 bn=nan,则数列{bn}的前 n 项和 Sn 为 . 2n-1 解析:由 bn=nan=n·2 知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1, ① 从而 2 ·Sn=1·2 +2·2 +3·2 +…+n·2 ①-②得(1-22)·Sn =2+2 +2 +…+2

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学课件 5.4数列的求和

【解析】(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知 . (2)正确.根据等比数列的求和公式可知. (3)错误.直接验证可知
1 1 1 1 ( ). 2 n 1 2 n 1 n 1
(4)错误.含有字母的数列求和常需要分类讨论 ,此题需要分a=0,a=1, 以及a≠0且a≠1三种情况求和,只有当a≠0且a≠1时才能用错位相减法求和. (5)正确.根据周期性可得. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
④倒序相加法: 首末两端等“距离” 的两项的和等于首末两项如果一个数列{an}与___________________ 之和,可把正着写与倒着写的两个式子相加,就得到一个常数列的和, 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.
⑤分组求和法: 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数
第四节
数列的求和
【知识梳理】
1.必会知识教材回扣填一填
(1)基本求和公式:
等差数列前 n项和公式等比数列前 n项和公式
1 Sn=_____________=_________ 2 2
na
n n 1
d
n a1 a n
S n=
a1 (1 q n ) a1 a n q ,q 1 1 q 1 q
na1 ___,q=1
(2)基本方法,即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法. ②裂项相消法: 把数列的通项拆分为两项之差,使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.
③错位相减法:
(i)适用的数列:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公
列组成,则求和时可用分组转化求和法,分别求和而后相加减.例如已

高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和课件文

已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋ (－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn. [解] Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2 －ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，所以当 n 为偶数时， Sn＝2×11－－33n＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1；当 n 为奇数时，
分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求{an}的前 n 项和．
3．等比数列{an}的首项为 a，公比为 q，Sn 为其前 n 项的和，求 S1＋S2＋…＋Sn. [解] 当 q＝1 时，an＝a，Sn＝na，所以 S1＋S2＋…＋Sn＝(1＋2＋…＋n)a＝n（n2＋1）a. 当 q≠1 时，因为 Sn＝a（11－－qqn），所以 S1＋S2＋…＋Sn
Tn＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝
n n＋1.
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－ Tn ＝ 3×[2×22 ＋ 23 ＋ 24 ＋ … ＋ 2n ＋ 1 － (n ＋
1)×2n＋2]＝3×4＋4（11－－22n）－（n＋1）×2n＋2

2016届高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第五章数列第四节数列求和

[类题通法] 用错位相减法求和的注意事项 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
(√) (√)
第二页，编辑于星期五：二十一点五十二分。
2．数列{an}的通项公式为 an＝ncosn2π，其前 n 项和为 Sn，则 S2 015 等于
A．1 002
B．1 004
()
C．1 006
D．1 008
解析：因为数列 an＝ncosn2π呈周期性变化，观察此数列规律如下：
a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.
于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1.
因
此
，
Sn
－
4Sn
＝
4
＋
42
＋
…
＋
4n
－
n·4n
＋
1
＝
4n＋1－4 3
－
n·4n
＋
1
＝
1－3n4n＋1－4
3
.
所以 Sn＝3n－194n＋1＋4.
第二十五页，编辑于星期五：二十一点五十二分。
1．等差、等比数列的前 n 项和公式 (1)等差数列： Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d；
na1，q＝1， (2)等比数列： Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn，q≠1.
第六页，编辑于星期五：二十一点五十二分。

2016届高考数学(人教理)总复习课件：第5章-第4节数列求和

切脉搏核心突破
演实战沙场点兵
课时提升练
菜
单
高三总复习· 数学(理)
提素养满分指导
研动向考纲考向
【解】
(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1；
n2＋n n－12＋n－1 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ 2 －＝n. 2 故数列{an}的通项公式为 an＝n. (2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，则 T2n＝(21＋22＋„＋22n)＋(－1＋2－3＋4－„＋2n)．
研动向考纲考向
(2)由(1)知 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，„)． 3 数列{3n}的前 n 项和为2n(n＋1)，数列{2n－1}的前 n 项和 1－2n 为＝2n－1. 1－2 3 所以，数列{bn}的前 n 项和为2n(n＋1)＋2n－1.
切脉搏核心突破
演实战沙场点兵
切脉搏核心突破
b4－a4 20－12 q＝＝＝8，解得 q＝2. b1－a1 4－3
3
演实战沙场点兵
所以 bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 从而 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，„)．
课时提升练
菜
单
高三总复习· 数学(理)
提素养满分指导
切脉搏核心突破
演实战沙场点兵
故{an}的通项公式为 an＝2－n.
课时提升练
菜
单
高三总复习· 数学(理)
提素养满分指导
研动向考纲考向

2016届高考数学理科一轮复习课件第五章数列5-4

n＋1 12＋n12－n＋1 22 ＝1161＋212－n＋1 12－n＋122<1161＋212＝654.
第十五页，编辑于星期五：二十一点四十一分。
规律方法使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
答案：C
第六页，编辑于星期五：二十一点四十一分。
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，且an＋2an＋1＋an＋2 ＝0(n∈N*)，则S2 014＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则an＋2an＋1＋an＋2＝an(1＋2q＋ q2)＝0，∵an≠0，∴q2＋2q＋1＝0.
第十六页，编辑于星期五：二十一点四十一分。
1．(2015 年滨州一模)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn，且 Sn＋12an＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log (1－Sn＋1)(n∈N*)，令 Tn＝b11b2＋b21b3＋…＋bnb1n＋1，求 Tn. 解析：(1)当 n＝1 时，a1＝S1，由 S1＋21a1＝1，得 a1＝32，当 n≥2 时，Sn＝1－21an，Sn－1＝1－21an－1，则 Sn－Sn－1＝12(an－1－an)，即 an＝21(an－1－an)，所以 an＝13an－1(n≥2)．
所以
Tn
＝
1 b1b2
＋
1 b2b3
＋
…
＋
1 bnbn＋1
＝
12－13
＋
31－41
＋
…
＋
n＋1 1－n＋1 2＝12－n＋1 2＝2nn＋2.

高考数学一轮复习第五章数列4数列求和课件

12/11/2021
第三十三页，共四十五页。
已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11 ＝11b4.
12/11/2021
第三十二页，共四十五页。
方法技巧用错位相减法求和的三个注意事项：1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； 2在写出“Sn”与 “qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；3在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.
12/11/2021
第二十四页，共四十五页。
方法技巧一个数列求和可奇偶项相消，一般把数列奇偶项结合进行求和.
12/11/2021
第二十五页，共四十五页。
已知数列{an}的通项公式是 an＝n2sin2n＋ 2 1π，则 a1＋a2
＋a3＋…＋a2 018 等于( B )
A．2
017×2 2
018
【解】 (1)设数列{an}的公差为 d，则 2d＝a4－a2＝8， ∴d＝4， ∴an＝a2＋(n－2)d＝9＋4(n－2)＝4n＋1.
12/11/2021
第十八页，共四十五页。
(2)Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(3＋32＋…＋3n) ＝n5＋24n＋1＋311－－33n＝2n2＋3n＋3n2＋1－32.
＋…＋1＝9.
(5)S10＝5×9＋12×5×4×(－2)＋5×1＋12×5×4×2＝50.
12/11/2021
第十六页，共四十五页。
02 考点探究明晰规律
课堂升华强技提能

高考数学人教版理科一轮复习课件：第五章数列 4 数列求和

[知识重温] 一、必记 6●个知识点 1．公式法求和使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法。 2．裂项相消法求和把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法。
Байду номын сангаас
3．错位相减法求和 (1)适用的数列： {anbn}，其中数列{an}是公差为 d 的等差数列， {bn} 是公比为 q≠1 的等比数列。 (2)方法：设 Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，则 qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)， (*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和。
解析：(1)正确。根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知。 (2)正确。根据等比数列的求和公式可知。 1 1 1 1 (3)错误。直接验证可知 2 ＝ n－1－n＋1。 n －1 2 (4)错误。含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分 a＝0， a＝1，以及 a≠0 且 a≠1 三种情况求和，只有当 a≠0 且 a≠1 时才能用错位相减法求和。 (5)正确。根据周期性可得。
4．数列{an}的通项公式为 an＝n＋2n(n＝1,2,3，…)，则{an}的前 n 项和 Sn＝________。
解析：由题意得数列{an}的前 n 项和等于(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋ n＋1 nn＋1 2－2 nn＋1 n＋1 2 3 n 2 ＋2 ＋…＋2 )＝＋＝＋2 －2。 2 2 1－2 nn＋1 n＋1 答案：＋2 －2 2
考纲要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题

2016届新课标数学一轮复习课件第五章第4讲数列求和

第五章数列
栏目导引第三十六页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第三十七页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第三十八页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第三十九页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
本部分内容讲解结束
考点一分组法求和
考点二考点三
错位相减法求和裂项相消法求和(高频考点)
栏目导引第十页，编辑于星期五：十九点三十七分。
考点一分组法求和
第五章数列
栏目导引第十一页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第十二页，编辑页，编辑于星期五：十九点三十七分。
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栏目导引第十八页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第十九页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第二十页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第二十一页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第二十二页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第二十七页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第二十八页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第二十九页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列
栏目导引第三十页，编辑于星期五：十九点三十七分。
第五章数列

2016版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课件：第5章-第4节数列求和

【名师金典】(教师用书)2016版高考数学大一轮复习 第五章 数列

高考数学一轮总复习 第5章 数列 第4节 数列求和课件 理 新人教版

高考2016届高考数学总复习 第五章 第4节 数列求和课件

2016版高考数学大一轮复习课件：第5章-第4节数列求和

2016数学高考一轮总复习理科名师课堂课件：第5章 第6讲

高考数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和课件 文 新人教版