第8章常微分方程

做积分，则：
xn1 dy
f
(x, y)
xn dx
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y(x))dx
xn
局部截断误差
y( xn1 )Βιβλιοθήκη y(xn ) h[ 2
f
(xn ,
y(xn ))
f
( xn1 ,
y(
xn1
))]
h3 12
f
''( )
所以，有格式为：
yn1
yn
h[ 2
f
(xn ,
这种方法 ，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这 些点上的值的近似。
基本步骤如下：
① 对区间作分割：
I : a x0 x1 xm b
求y(x)在xi上的近似值yi。
{ yi} 称为分割
上的格点函数
I
我们的目的，就是求这个格点函数
② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程满足：
xi a i h , h (b a) / m
设解函数在节点的近似为
{ yi}，则：
dy
f (x, y)
dx xxi
x xi
由数值微分公式，我们有
向前差商公式
yi1 yi h
f (xi , yi )
yi1 yi h f (xi , yi )
可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的
{ yi }
(1 hL)i1 e0 (1 hL)i (1 hL) 1 hT
(1 hL)i1 e0
1 (1 hL)i1 1 (1 hL)
hT
(1 hL)i1 e0
(1 hL)i1 hL
hT
(1 hL)i1
e0
T L
e0 0 (1 x)n enx
e(i1)hL T e(ba)L T T O(h)
yn )
f
( xn1 ,
yn 1 ) ]
类似，可以算出其误差估计式：
en1 O(h2 )
)
这种积累
y(xi1) h
y(xi )
f
(xi , y(xi ))
h 2
y''(i )
y(xi1) y(xi ) hf (xi , y(xi ))
所以，可以构造差分方程
h2 2
y''(i )
yi1 yi hf (xi , yi )
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri =
y(xn1) h
y(xn )
y
'( xn1 )
h 2
y
''(n )
y(xn1) h
y(xn )
f
(xn1, y(xn1))
h 2
y''(n )
y(xn1)
y(xn ) hf (xn1, y(xn1))
h2 2
y''(n )
yn1 yn hf (xn1, yn1)
是隐格式，要迭代求解
y (k 1) n1
舍入误差，在以后各步的计算中，是否会无限制扩大；
8.1 Euler公式
做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。
I
:
xi
a
ba m
i
称为局部截断误差。 显然，这个误差在逐
1、向前差商公式
步计算过程中会传播， 积累。因此还要估计
y(xi1) h
y(xi )
y'(xi )
h 2
y' ' (i
L
L
ei O(h)
是1阶方 法
称为整体截断误差
定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。
3、稳定性－误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。 我们考虑简单情况：仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。
设 {zi} 是初值有误差后的计算值，则
yi1 yi hf (xi , yi ) zi1 zi hf (xi , zi )
所以，我们有：
ei1 yi1 zi1 ei h f (xi , yi ) f (xi , zi )
ei hL yi zi ei (1 hL) e0 (1 hL)i1 e0 e(i1)hL
可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小，以后各步的 误差也充分小
4、向后差商公式
ei hL y(xi ) yi hTi1
(1 hL) ei hT
,
T
max j
Tj
(1 hL) (1 hL) ei1 hT hT
(1 hL)2 ei1 (1 hL) 1hT
(1 hL)2 (1 hL) ei2 hT (1 hL) 1hT
(1 hL)3 ei2 (1 hL)2 (1 hL) 1 hT
为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：
f (x, y1) f (x, y2) L y1 y2
常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常 微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。
例：我们对区间做等距分割：
对于一个常微分方程：
y' dy f (x, y) , x [a,b] dx
通常会有无穷个解。如：
dy cos(x) y sin(x) a,a R dx
因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：
dy f (x, y) , x [a,b] dx y(a) y0
yn
hf
( xn1 ,
yn1(k ) )
y (0) n1
可以由向前差商公式求出
5、中心差商公式
y(xn1) y(xn1) 2h
y'(xn )
h2 6
y'''(n )
yn1 yn1 2hf (xn , yn )
是多步，2阶格式，该格式不稳定
6、梯形法－基于数值积分的公式
对微分方程
y' dy f (x, y) , x [a,b] dx
y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。
2、收敛性
考察局部误差的传播和积累
y(xi1)
y(xi ) hf (xi , y(xi ))
h2 2
y''(i )
yi1 yi hf (xi , yi )
记为 hTi1
ei1 y(xi1) yi1 y(xi ) yi h f (xi , y(xi )) f (xi , yi ) hTi1
A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容 ③ 解差分方程，求出格点函数
数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。
为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：
① 收敛性问题 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解；
② 误差估计 ③ 稳定性问题