2013年朝阳区中考二模数学试题及答案

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2013年北京市11个区(县)中考二模数学试题(含参考答案及评分标准)-6

顺义区2013届初三第二次统一练习数学试卷学校姓名准考证号考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的算术平方根是A ．9B ．3-C ．3D ． 3± 2．如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是A ．B ． C. D.3．一副扑克牌，去掉大小王，从中任抽一张，恰好抽到的牌是8的概率是 A ．154B ．113C ．152D ．144．把代数式269ab ab a -+分解因式，下列结果中正确的是A ．2(3)a b +B ．(3)(3)a b b +-C ．2(4)a b -D ．2(3)a b - 5．函数y kx k =-与ky x=（0k ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是6．如图，AEBD ∥，1120240∠=∠=°，°，则C ∠的度数是Ａ．10° Ｂ．20° Ｃ．30° Ｄ．40°7．若22a a -=-，则a 的取值范围是A ．2a >B ．0a >C ．2a ≤D ．0a ≤ 8．右图中是左面正方体的展开图的是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数23xy x -=-中，自变量x 的取值范围是 .10．甲、乙两个旅游景点今年5月上旬每天接待游客的人数如图所示，甲、乙两景点日接待游客人数的方差大小关系为：2S 甲 2S 乙．11．若把代数式257x x ++化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -= .12．正方形111A B C O ， 2221A B C C ,，3332A B C C ， …按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C …分别在直线(0)y kx b k =+>和x 轴上，已知点1(1,1)B ，2(3,2)B ，则点6B 的坐标是，点n B 的坐标是．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：201273tan 30()4(32)2-+︒+--．14．解方程：21133x x x-+=--.15．已知220x x +-=，求代数式2(2)(3)(3)(1)x x x x x -++--+的值．A ．B ．C ．D ．A 3A 2A 1B 3B 2B 1C 3C 2C 1Oyx16．已知：如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，MN 是过点C 的一条直线，AM MN ⊥于M ，BN MN ⊥于N . 求证: AM CN =17．列方程或方程组解应用题:某企业向四川雅安地震灾区捐助价值17.6万元的甲、乙两种帐篷共200顶，已知甲种帐篷每顶800元，乙种帐篷每顶1000元，问甲、乙两种帐篷各多少顶？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数22y x =-+的图象与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，与反比例函数图象相交于点A ，且2AB BC =. (1) 求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且APC ∆的面积等于12，直接写出点P 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，90ABC ACD ∠=∠=︒,62AB BC ==,2tan 3CDE ∠=. 求对角线BD 的长和ABD ∆的面积.20．已知：如图，O ⊙是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC =90°，点P 是O ⊙外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA=PB ．（1）求证：PB 是O ⊙的切线；（2）已知PA =23，BC =2，求O ⊙的半径．A NMCB EDCBAOABCP21．甲、乙两学校都选派相同人数的学生参加综合素质测试，测试结束后，发现每名参赛学生的成绩都是70分、80分、90分、100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两学校的学生获得100分的人数也相等．根据甲学校学生成绩的条形统计图和乙学校学生成绩的扇形统计图，解答下列问题：（1）求甲学校学生获得100分的人数，并补全统计图；（2）分别求出甲、乙两学校学生这次综合素质测试所得分数的中位数和平均数，以此比较哪个学校的学生这次测试的成绩更好些．22．问题：如果存在一组平行线a b c ，请你猜想是否可以作等边三角形ABC 使其三个顶点分别在,,a b c 上.小明同学的解答如下：如图1所示，过点A 作AM b ⊥于M ，作60MAN ∠=︒，且AN AM =，过点N 作CN AN ⊥交直线c 于点C ,在直线b 上取点B 使BM CN =，则ABC ∆为所求．(1) 请你参考小明的作法,在图2中作一个等腰直角三角形DEF 使其三个顶点分别在,,a b c 上，点D 为直角顶点；(2) 若直线,a b 之间的距离为1， ,b c 之间的距离为2，则在图2中，DEF S ∆= ，在图1中，AC = ．甲学校学生成绩的条形统计图乙学校学生成绩的扇形统计图207080134人数分数59010060°90°120°90°100分90分80分70分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线232y x mx =+-．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若m 为整数，当关于x 的方程2320x mx +-=的两个有理数根都在1-与43之间（不包括-1、43）时，求m 的值．（3）在(2）的条件下，将抛物线232y x mx =+-在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ，再将图象G 向上平移n 个单位，若图象G 与过点（0，3）且与x 轴平行的直线有4个交点，直接写出n 的取值范围是．24．如图，直线MN 与线段AB 相交于点O , 点C 和点D 在直线MN 上，且45ACN BDN ∠=∠=︒.(1) 如图1所示，当点C 与点O 重合时，且AO OB =，请写出AC 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转到如图2所示的位置，AO OB =，（1）中的AC与BD 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到如图3，求ACBD的值．1xyOABCDEFxyO25．已知抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，连结AC BC ，，D 是线段OB 上一动点，以CD 为一边向右侧作正方形CDEF ，连结BF ．若8O B C S ∆=，AC BC =．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：BF AB ⊥；（3）求FBE ∠的度数；（4）当D 点沿x 轴正方向移动到点B 时，点E 也随着运动，则点E 所走过的路线长是．顺义区2013届初三第二次统一练习数学试题参考答案及评分参考一、选择题号案二、填空题9. 3x ≠ ； 10．22S S >乙甲； 11．134； 12．6(63B ，32) ， 1(21,2)n n n B -- ．三、解答题13．解：原式=3333443+⨯+- …………………………………………4分 =43 ……………………………………………… 5分 14．解：方程两边同乘以(3)x -，得， ………………………………………… 1分213x x --=-． ………………………………………… 2分解方程得 2x =． ………………………………………… 3分当2x =时，30x -≠ ……………………………… 4分所以，原方程的根为2x = …………………………………………5分15．解：原式= 222443(23)x x x x x x -+++---…………………………………… 3分 =22244323x x x x x x -+++-++=27x x ++ ………………………………………… 4分 ∵220x x +-= ， ∴22x x +=∴原式=2+7=9 ………………………………………………5分 16．证明：∵,,AM MN BN MN ⊥⊥∴ 90AMC CNB ∠=∠=︒ ……………………………………………1分90MAC ACM ∠+∠=︒ ∵ 90ACB ∠=︒∴ 90BCN ACM ∠+∠=︒ ∴ MAC BCN ∠=∠在AMC ∆和CNB ∆中∵AMC CNB MAC BCN AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………3分 ∴AMC ∆≌CNB ∆ …………………………………………… 4分 ∴AM CN = ……………………………………………5分17．解：设甲种帐篷x 顶，乙种帐篷y 顶 ……………………………………1分依题意，得2008001000176000x y x y +=⎧⎨+=⎩ …………………………………3分解以上方程组，得x =120，y =80答：甲、乙两种帐篷分别是120顶和80顶. ………………………………5分18．（1）由已知可得点(1,0)B ，点(0,2)C …………1分 ∴1,2OB CO ==过点A 作AD x ⊥轴于点D∴ BOC ∆∽BDA ∆ …………………2分 ∴12CO OB BC AD DB AB === ∴ 24,22AD CO DB OB ====∴ 点(3,4)A - …………………………3分设反比例函数解析式为(0)ky k x=≠，点(3,4)A -在图象上， ∴ 12k =-∴ 反比例函数的解析式为12y x=-…………………………………4分（2）点(5,0)P 或(3,0)P - ………………………………………………5分 19．解：过点B 作BF AC ⊥于F∵90ABC ACD ∠=∠=︒, 62AB BC ==， ∴ 6BF AF CF === …………………1分 90BFC ACD ∠=∠=︒∴BF ∥CD∴ FBE CDE ∠=∠ …………………… 2分∴ 2tan tan 3FBE CDE ∠=∠= 即23EF BF = ∴ 4EF =∴2,3EC CD == ……………………………3分 ∴222264213BE BF EF =+=+=22222313D E E C C D =+=+=∴313BD BE DE =+= ……………………………………4分(2) 114522ABD ABE ADE S S S AE BF AE CD ∆∆∆=+=⋅+⋅= ……………5分20．解：（1）证明：连接OBOA OB =，PA PB = ∴ OAB OBA ∠=∠，PAB PBA ∠=∠．∴OAB PAB OBA PBA ∠+∠=∠+∠．即PAO PBO ∠=∠． ………………1分又∵PA 是O ⊙的切线，∴90PAO ∠=°∴90PBO ∠=°∴OB PB ⊥．又∵OB 是O ⊙的半径，∴PB 是O ⊙的切线． …………………2分（2）解：连接OP ，交AB 于点D ．∵PA PB =，OA OB =，∴点P 和点O 都在线段AB 的垂直平分线上． ∴OP 垂直平分线段AB ． ∴ AD BD = ∵OA OC =∴112OD BC ==……………………………………3分∵90PAO PDA ∠=∠=°，APO DPA ∠=∠ ∴APO DPA △∽△ ∴AP PO DP PA= ∴2AP PO DP =·．……………………………………4分∴()2PO PO OD AP -=即()2223PO PO -=，解得4PO =．在Rt APO △中，222OA PO PA =-=，即O ⊙的半径为2． …………………………………………5分21．解：（1）设甲学校学生获得100分的人数为x ．由题意和甲、乙学校学生成绩的统计图得O AB C PD12356x x =+++ 得2x =所以甲学校学生获得100分的人数有2人．图(略) …………………………………2分(2）由（1）可知：甲学校的学生得分与相应人数为：乙学校的学生得分与相应人数为：所以，甲学校学生分数的中位数为90（分）．甲学校学生分数的平均数为 270380590210051585.823526x ⨯+⨯+⨯+⨯==≈+++甲（分）…………3分乙学校学生分数的中位数为80（分）乙学校学生分数的平均数为 370480390210050025083.3343263x ⨯+⨯+⨯+⨯===≈+++乙（分） …4分由于甲学校学生分数的中位数和平均数都大于乙学校学生分数的中位数和平均数，所以甲学校学生的数学竞赛成绩较好． ……………………5分22. 解:(1)作图 …………………………………………………………2分 (2 ) 5DEF S ∆= …………………………………………………………3分AC =2213…………………………………………………………5分 23．解：（1）∵△=2243(2)24m m -⨯⨯-=+，分数 70 80 90 100 人数 2 3 5 2分数 70 80 90 100 人数 3 4 32∴无论m 为任何实数，都有2240m ∆=+>………………………… 1分 ∴抛物线与x 轴总有两个交点． …………………………………… 2分（2）由题意可知：抛物线232y x mx =+-的开口向上，与y 轴交于（0，-2）点，∵方程2320x mx +-=的两根在-1与43之间， ∴当x =-1和43x =时，0y >．即320,16420.33m m -->⎧⎪⎨+->⎪⎩ ………………………………………… 4分解得 512m -<<． ………………………………………… 5分因为 m 为整数，所以 m =-2，-1，0 ．当 m=-2时，方程的判别式△=28，根为无理数，不合题意.当 m=-1时，方程的判别式△=25，根为1221,3x x ==-，符合题意. 当 m=0时，方程的判别式△=24，根为无理数，不合题意.综上所述 m =-1 . ………………………………………… 6分（3）n 的取值范围是11312n <<．………………………………… 7分 24.(1) ,AC BD AC BD =⊥ ； ………………………………………… 2分（2）仍然成立.证明: 过点A 作AE MN ⊥于E ,过点B 作BF MN ⊥于F∴90AEO BFO ∠=∠=︒∵AOE BOF ∠=∠,AO OB =∴AOE ∆≌BOF ∆∴AE BF = ………………………………………… 3分∵45ACN BDN ∠=∠=︒ ∴2,2AC AE BD BF ==∴ AC BD = ………………………………………… 4分延长AC 与DB 的延长线相交点H∴45DCH ACN ∠=∠=︒又∵45BDN ∠=︒∴90CHD ∠=︒∴AC BD ⊥ ………………………………………… 5分(3) 过点A 作AE MN ⊥于E ,过点B 作BF MN ⊥于F易证 AOE ∆∽BOF ∆∴ AE AO BF OB=． ………………………………………… 6分 ∵ OB kAO =，∴ 1AO OB k=．由（2）知 2,2AC AE BD BF ==．212AC AE AE BD BF k BF=== ．………………………………………7分 25. 解：（1）由AC BC =，可知此抛物线的对称轴是y 轴，即0b =所以(0,),(4,0)C c B c由182OBC S OB OC ∆=⨯⨯=，得4c = 抛物线解析式为 2144y x =-+ …………………………………………2分（2）由（1）得(0,4),(4,0)C B所以224590ACB OCB ∠=∠=⨯︒=︒ ………………………………3分在ADC ∆和BFC ∆中90ACD DCB BCF ∠=︒-∠=∠，,AC BC DC FC ==所以ADC ∆≌BFC ∆ ………………………………………… 4分所以45FBC CAD ∠=∠=︒所以90ABF ABC CBF ∠=∠+∠=︒所以BF AB ⊥ …………………………………………5分（3）作EM x ⊥轴，交x 于点M易证ODC ∆≌DME ∆所以4DM OC ==，OD EM =又因为4OD OB BD BD DM BD BM =-=-=-=所以BM EM =因为90EMB ∠=︒所以45MBE MEB ∠=∠=︒ …………………………………………7分（4）由（3）知，点E 在定直线上当D 点沿x 轴正方向移动到点B 时，点E 所走过的路线长等于42BC = ………………………………8分。

北京市各区2013年中考数学二模试题分类汇编证明题

证明题西城1．如图，点C 是线段AB 的中点，点D ，E 在直线AB 的同侧，∠ECA =∠DCB ，∠D =∠E ．求证：AD =BE ．2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC= 63． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长．海淀3.已知：如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒.DC ⊥AC 于点C ,且CD CA =，DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E . 求证：CE AB =.4．如图，ABCD 中，E 为BC 中点，过点E 作AB 的垂线交AB 于点G ，交DC 的延长线于点H ,连接DG .若10BC =,45GDH ∠=︒，DG 82=，求CH 的长及ABCD 的周长.东城5. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边BC ，AD 上的点，且12∠=∠.求证：AE=CF .6．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E .(1）求证：AM =2CM ；（2）若12∠=∠，23CD =，求ME 的值.某某7．已知：如图，E 、F 为BC 上的点，BF=CE ，点A 、D 分别在BC 的两侧，且AE ∥DF ，AE =DF ．求证：AB ∥CD ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AD = 4，∠B =105º，E 是BC 边的中点，∠BAE =30º，将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，连接FC ，求四边形ABCF 的周长．房山9已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB同侧，DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， AE =BF ，A B ∠=∠.求证：DE =CF .FDBEDFCE BA ACD BEFO第9题图10.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =13，CD =4，点E 在边AB 上，DE ∥BC ．若CB CE =，且3tan =∠B ，求四边形ABCD 的面积.门头沟11．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90º，BD ⊥AC 于点D ，点E 在BC 的延长线上，且BE =AB ，过点E 作EF ⊥BE ，与BD 的延长线交于点F .求证：BC =EF .门头沟12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =60º，AC 平分∠DAB ，BC ⊥AC ，AC 与BD 交于点E ，AD =6，CE 437，7tan 33BEC ∠=BC 、DE 的长及四边形ABCD 的面积．怀柔13．已知如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，BC ＝EF ，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：AC=DF ．证明：13题图第10题图EABCD FE ABC DE14. 已知如图：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一点．连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠. （1）求AS 的长度；（2）求OR 的长度．解：大兴15.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，以AD 为斜边在△ABC 外作等腰直角三角形AED ，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．16．如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．若∠AFC=2∠D ，连结AC 、BE.求证：四边形ABEC 是矩形. 丰台17．已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，B D ∠=∠．求证：ABC CDE △≌△．18．如图，四边形ABCD 中， CD=2， 90=∠BCD ，14题图A BCDEFEDC BA ADBC EA60=∠B , 30,45=∠=∠CAD ACB ，求AB 的长．石景山19．如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．请在图中找出一对全等三角形，并加以证明．证明：20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 、分别在BC 、AB 上，将矩形ABCD 沿MN 折叠，设点B 的对应点是点E ．（1）若点E 在AD 边上，BM =27，求AE 的长；（2）若点E 在对角线AC 上，请直接写出AE 的取值X 围：．解：昌平21.如图，AC //FE ,点F 、C 在BD 上，AC=DF , BC=EF .求证：AB=DE .22. 如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，∠DAB =∠ABC =90°，BE ⊥BD 且BE =BD ，连接EA 并延长交CD 的延长线于点F . 如果∠AFC =90°，求∠DAC 的度数.DCBGEN MDCBA ABC DEFABDF E密云23．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，求证：∠DBC =∠DCB 。

2013年朝阳毕业考试数学试卷与答案-完美编辑word版本-直接打印

北京市朝阳区2013年初中毕业考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1. -7 的相反数是A ． 7B ．－7C ．71 D ．71- 2.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨。

将数67500用科学记数法表示为A ．0.675×105B ． 6. 75×104C ． 67.5×103D ． 675×1023.把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为奇数的概率是A ．41 B ．31C ．21 D ． 14.北京2013年3月的一周中每天最高气温如下：7， 13，15，16，15，17，19，则在这一周中，最高气温的众数和中位数分别是A ．15和15B ．15和16C ． 16和15D ．19和16 5. 如图，已知直线l 1//l 2，∠1=40°，则∠2的度数为A ．30°B ． 40°C ． 50°D ． 60°6．如图，⊙O 的半径为5，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ，若OC=3，则AB 的长为A ． 3B ． 4C ． 6D ．87．二次函数21(1)32y x =-+的顶点在A．第一象限． B ．第二象限．C ．第象限D ．第象限．8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，AB=3，一动点P以1cm/s 的速度延折线OB—BA运动，那么点P的运动时间x（s）与点C、O、P围成的三角形的面积y之间的函数图象为A B C D第Ⅱ卷（共68分）二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9. 若-2是方程062=+-mxx的一个根，则m= .10. 分解因式：2218m-=．11．侧面展开图是扇形的几何体是 .12．如图，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O，到菱形一边AB的距离为2，那么点O到另外一边BC 的距离为_________.13．若关于x的一元二次方程kx2-2x+1 = 0有两个实数根，则k的取值范围是.三．解答题（共9道小题，14题—20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48 分）14．（本小题5分）计算：()1-)32(-45in2-82-1︒+s．解：6求不等式组 ()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+>-12131325x x x 的整数解. 解：16．（本小题5分）如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，且BF=AC. 求证：DF=DC. 证明：17．列方程或方程组解应用题（本小题5分）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元. 某日动物园售出门票700张，共得29000元. 请问当日儿童票售出多少张？解：18．（本小题5分）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm ，测量时精确到1cm ）：（1（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围; ;（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm 及160cm 以上的学生共有人；（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155 cm ，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解./cm165~170cm已知：一次函数2+=x y 与反比例函数xky =相交于A 、B 两点且A 点的纵坐标为4. （1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积. 解：20．（本小题5分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 是弦，OE ⊥BC ，垂足为F ，且与⊙O 相交于点E ，连接CE 、AE ，延长OE 到点D ，使∠ODB=∠AEC. (1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若cosD=54，BC=8,求AB 的长. (1)证明：(2)解：21.（本小题6分）如图，抛物线c x y +-=243与x 轴分别交于点A 、B ，直线2343+-=x y 过点B ，与y 轴交于点E ，并与抛物线c x y +-=243相交于点C ．（1）求抛物线c x y +-=243的解析式；（2）直接写出点C 的坐标；（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 运动（不与点A 、B 重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从点B 向点C 运动．设点M 的运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？解：22.（本小题7分）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，求AB的长.北京市朝阳区2013年初中毕业考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9. －5 10. ）（3)3(2-+a a 11. 圆锥 12. 2 13. k ≤1且k ≠0 三、解答题（共9道小题，14题—20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48 分） 14．解：原式23222221-⨯-+=.……………………………………………4分 .212-= …………………………………………………………………5分15．解： 523(1)132x x x ->+⎧⎪⎨-≥⎪⎩　①1 ② 解① 得 x ＞25. ……………………………………………………………2分解② 得 x ≤4. ………………………………………………………………4分原不等式组的整数解为3和4. ……………………………………………5分16. 证明：∵AD ⊥BC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝90°. …………………………………………………………1分 ∴∠A ＋∠C ＝90°.又∵BE ⊥AC ， ∴∠B ＋∠C ＝90°.∴∠B =∠A . …………………………………………………………………………2分又∵BF=AC ，…………………………………………………………………………3分∴△BDF ≌△ADC . …………………………………………………………4分 ∴DF =DC . ………………………………………………………………5分17．解：设当日儿童票售出x 张，成人票售出y 张. …………………………1分根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.290005030,700y x y x ……………………3分解得⎩⎨⎧==.400,300y x ………………………………………4分答：当日儿童票售出300张，成人票售出400张. ………………………5分 18. 解：（1）补图（图略）； ……………………………………………2分（2）155—160；………………………………………………3分（3）160 ；……………………………………………4分（4）如：该校七年级多数学生的身高达到或者超过区平均身高. ………5分19．（1）根据题意，得4= x+2，解得x =2.∴A （2，4）.把A （2，4）代入xky =，解得8=k . ∴xy 8=. …………………………………………2分（2）当0=y 时，02=+x ，2-=x .∴B （－2，0）. ………………………………………3分 ∴OB ＝2.如图，作AC ⊥x 轴于点C ，∵A （2，4），∴AC ＝4.∴S △AOB ＝.421=⋅⋅AC OB …………………………5分 20．（1）证明：∵∠D ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，∴∠D ＝∠ABC . ……………………1分 ∵OF ⊥BC ，∴∠D +∠DBC ＝90°.∴∠ ABC +∠DBC ＝90°.∴BD 是⊙O 的切线. …………2分（2）解：如图，连接AC .∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．…………………3分 ∵∠ABC =∠D ．∴cos ∠ABC= cos D =54．即BC AB =54，…………………4分 ∵BC ＝8，∴AB =10． ……………………5分21．解：（1）由2343+-=x y ，当0=y 时，解得2=x . ∴B （2，0）. ∵抛物线c x y +-=243经过点B （2，0），∴3=c .∴此抛物线的解析式为3432+-=x y .………………………………………………2分（2）C （1-，49）. …………………………………………3分（3）如图，作ND ⊥x 轴于点D ，由2343+-=x y 得E （0，23）. ∴BE=25. 由3432+-=x y 得A （－2，0）. ∴AB=4.由题意，得AM =t ，BM =4－t ，BN =2t .由△BND ∽△BEO ，得BE BN OE DN =.∴56tDN =. ……………………………4分 ∴△MNB 的面积S 56)4(2121tt ND BM ⋅-⋅=⋅⋅=.∴t t S 512532+-=.…………………………………5分即512)2(532+--=t S ，自变量t 的取值范围是0＜t ＜4.t= 2时，512=最大S .…………………………………6分22. （1）证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠FDM ＝90°.又∵AM ＝DM ，∠AME ＝∠DMF ， ∴△AME ≌△DMF .∴ME =MF . ………………………………………2分（2）解：如图，过点G 作GH ⊥AD 于点H .∴四边形ABGH 是矩形.∵△EGF 是等腰直角三角形，由（1）得，ME =MF ， ∴ME =MG ， ∠EMG ＝90°.∴∠AME +∠DMG ＝∠HGM +∠DMG= 90°.∴∠AME ＝∠HGM . 又∵∠A ＝∠MHG ，∴△AME ≌△HGM . ……………………………3分 ∴AM=HG . ∴AB=HG=AM=21AD=2. ………………………4分（3）解：如图，过点G 作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H .∴四边形ABGH 是矩形.∵△EGF 是等边三角形，∠MEG ＝60°，由（1）得，ME =MF ， ∴∠EMG ＝90°.∴∠AME +∠HMG ＝∠AME +∠AEM = 90°. ∴∠AEM ＝∠HMG . 又∵∠A ＝∠AHG ，∴△AEM ∽△HGM . ………………5分∴EMMGAM GH =. ∴tan ∠MEG=EM MGAM GH == tan 60°=3. 又∵AM=21AD=2，∴AB=GH=23.……………………7分。

2013年数学二模答案-朝阳

北京市朝阳区九年级综合练习（二）数学试卷参考答案 2013.6一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. x ≥2310. 22(1)x x - 11. 32° 12.24，2n 2+2n三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解：)2142-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭431=-+ ……………………………………………………4分 1=. ………………………………………………………………………5分 14. 解：2312111x x x 骣÷ç- ÷ç÷ç桫-+- ()()3(1)11(1)1(1)x x x x x x ⎡⎤++=-⎢⎥+-+-⎣⎦221x ¸-………………………………2分 ()()2242111x x x x +=÷+--…………………………………………………………………3分 ()()()()1124112x x x x x +-+=⋅+-…………………………………………………………4分 2x =+.……………………………………………………………………………………5分15. 解：由题意可知∠ACB =30°，∠ADB =60°，CD =20，在Rt △ABC 中，()tan 30=20AB BC BD =⋅︒+.………………………………1分在Rt △ABD 中，tan 60=AB BD BD =⋅︒………………………………………2分 ∴()20BD BD +…………………………………………………………3分 ∴10BD =.…………………………………………………………………………4分∴AB =.……………… ……………………………………………………5分16. 证明：∵AE ∥DF ，∴∠AEB ＝∠DFC . ………………………………………………………………1分 ∵BF =CE ， ∴BF +EF ＝CE +EF .即BE ＝CF . ………………………………………………………………………2分在△ABE 和△DCF 中，AE DF AEB DFC BE CFì=ïïï? íïï=ïïî∴△ABE ≌△DCF . … ……………………………………………………………3分 ∴∠B =∠C . ………………………………………………………………………4分 ∴AB ∥CD . … ……………………………………………………………………5分17. 解：（1）∵点3()2M n -，在反比例函数32y x=-（x ＜0）的图象上， ∴1n =.…………………………………………………………………………1分∴3()2M -，1.∵一次函数y kx =－2的图象经过点3()2M -，1，∴3122k =--.∴2k =-. ∴一次函数的解析式为22y x =--.∴A (-1，0)，B (0，-2) . ………………………………………………………3分（2）P 1(-3，4)，P 2(1，-4) . ………………………………………………………5分18. 解：设原计划每天铺设x 米管道．…………………………………………………1分由题意，得220022005(110%)x x =++ ……………………………………………3分解得 40x =． ……………………………………………………………4分经检验40x =是原方程的根． …………………………………………………5分答：原计划每天铺设40米管道．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：作BG ⊥AE ，垂足为点G ， ∴∠BGA ＝∠BGE ＝90º.在平行四边形ABCD 中，AD = 4， ∵E 是BC 边的中点，∴112.22BE EC BC AD ====……………………………………………………1分∵∠BAE =30º，∠ABC =105º， ∴∠BEG =45º.由已知得△ABE ≌△AFE .∴AB =AF ，BE ＝FE ，∠BEF =90º.在Rt △BGE 中，BG ＝GE……… ………………………………………………………………2分在Rt △ABG 中，∴AB =AF=………………………………………………………………………3分在Rt △ECF 中，FC = ………………………………………………… ……4分 ∴四边形ABCF的周长4+……………………………………………………5分20. （1）证明：在△ABC 中，∵AC=BC ，∴∠ CAB = ∠B .∵∠ CAB +∠B +∠C ＝180º， ∴2∠B +∠C ＝180º.∴12B C ? ＝90º. ……………………………………………………1分 ∵∠BAD ＝12∠C ，∴B BAD ? ＝90º.∴∠ADB ＝90º. ∴AD ⊥BC.∵AD 为⊙O 直径的，∴直线BC 是⊙O 的切线. …………………………………………………2分（2）解：如图，连接DF ，∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3分 ∵∠ADC ＝90º， ∴∠ADF +∠FDC ＝∠CD +∠FDC ＝90º. ∴∠ADF ＝∠C . …………………………………………………………………4分∵∠ADF ＝∠AEF ，tan ∠AEF ＝43， ∴tan ∠C ＝tan ∠ADF ＝43. 在Rt △ACD 中，设AD ＝4x ，则CD ＝3x .∴5.AC x =∴BC ＝5x ，BD ＝2x .∵AD ＝4，∴x ＝1.∴BD ＝2. …………………………………………………………………………5分B21．解：（1）a=3，b=0.075；……………………………………………………………2分（2）…………………………3分（3）500(0.050.15)100⨯+=.所以该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有100户.…………5分21．解：（11分（2）①如图，…………………………………………2分BD；……………………………………………………………………………3分(3. …………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. （1）证明：∵△=()()2441m m---.………………………………………………1分=2412m m-+=()228m-+…………………………………………………………2分∴△＞0.…………………………………………………………………3分∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）把x=-3代入原方程，解得m=1.…………………………………………………4分∴23y x x=+.即23924y x⎛⎫=+-⎪⎝⎭.依题意，可知新的抛物线的解析式为239'24y x⎛⎫=--⎪⎝⎭. ………………………5分即2'3y x x=+∵抛物线'y与直线y x b=+只有一个公共点，∴23x x x b-=+..…………………………………………………………………6分即240x x b--=.∵△=0.B∴()()2440b --⨯-=.解得b = -4. ……………………………………………………………………7分24. 解：（1）根据题意得424036640a b a b -+=⎧⎨++=⎩，．…………………………………………………………1分解得1343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．所以抛物线的解析式为214433y x x =-++.………………………………2分（2）如图1，过点Q 的对应点'Q 作EF ⊥CD 于点E ，交x 轴于点F .设P (x ，y )，则CQ = x ，PQ =4- y .由题意可知'CQ = CQ = x ，''P Q =PQ =4- y ，∠CQP =∠C ''Q P =90°. ∴'''''QCQ CQ E P Q F CQ E ∠+∠=∠+∠=90°.∴'''P Q F QCQ α∠=∠=.……………………………………………………3分又∵cos α=35， ∴4'5EQ x =　，3'(4)5FQ y =-. ∴43(4)455x y +-=. ∵214433y x x =-++，整理可得2145x =.∴1x =2x =-.∴P .………………………………………………………………5分如图2，过点Q 的对应点'Q 作EF ⊥CD 于点E ，交x 轴于点F . 设P (x ，y )，则CQ =- x ，PQ =4- y .可得'''P Q F QCQ α∠=∠=.……………………………………………………6分又∵cos α=35，∴4'5EQ x =-　，3'(4)5FQ y =-.∴434(4)55x y -+=-.∵214433y x x =-++，整理可得2145x =.∴1x =，2x =-∴(P -.……………………………………………………………7分∴P或(P -.25. 解：（1）证明：如图，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H .∴∠GAB =∠HAE . ………………………………………………………………1分 ∵∠EAB =∠EGB ，∠APE =∠BPG ，∴∠ABG =∠AEH .∵又AB =AE ，∴△ABG ≌△AEH . ………………2分 ∴BG =EH ，AG =AH .∵∠GAH =∠EAB =60°， ∴△AGH 是等边三角形. ∴AG =HG .∴EG =AG +BG . …………………………………………………………………3分(2) 2sin.2EG AG BG α=+…………………………………………………………5分（3）.EG BG =-……………………………………………………………6分如图，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H .∴∠GAB =∠HAE . ∵∠EGB =∠EAB =90°，∴∠ABG +∠AEG =∠AEG +∠AEH =180°.∴∠ABG =∠AEH .∵又AB =AE ，∴△ABG ≌△AEH . ………………7分∴BG =EH ，AG =AH .∵∠GAH =∠EAB =90°， ∴△AGH 是等腰直角三角形.=HG .∴.EG BG =-…………………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分.F。

【VIP专享】2013年北京市朝阳区数学二模答案-

一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
题号
答案
1
D
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）
3
9. x≥
2
10. 2x(x - 1)2
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）
13.
14.
分
1 2 解： 2
9
2
B
北京市朝阳区九年级综合练习（二）
11. 32°
数学试卷参考答案
3
C
1x
x
1 +
1
1ö÷÷÷ø¸
x
x
2 x2 1
2 x2 - 1
x 1
1(x
1x
2
1)
¸
x2 -2Fra bibliotek5B
………………………………2 分
1
…………………………………………………………………3
1
…………………………………………………………4
分
x 2 .……………………………………………………………………………………5 分
6
B
2013.6
7
C
8
A
16. 证明：∵AE∥DF， ∴∠AEB＝∠DFC. ………………………………………………………………1 分 ∵BF=CE， ∴BF+EF＝CE+EF. 即 BE＝CF. ………………………………………………………………………2 分在△ABE 和△DCF 中，
ìïïïíïïïïî
3 分
∴ BD 10 .…………………………………………………………………………4
分
∴ AB 10 3 .……………… ……………………………………………………5 分

2013年北京市朝阳区高三二模数学文科含答案

2013年北京市朝阳区高三二模数学文科含答案北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文） 2013.5第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{}0,1,3M =，{}3,N x x a a M ==∈，则MN=A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9（2）已知p ：(1)(2)0x x --≤，q ：2log (1)1x +≥，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（3）函数()sin()4f x x π=-（x ∈R ）的图象的一条对称轴方程是A ．0x = B. π4x =-C.π4x =D ．π2x = （4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是否开S = n =S=S 输结是 n=nA. 6n>? B. 7n≥?C. 8n>? D. 9n>？（第4题图）（5）若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与抛物线22y x=+相切，则此双曲线的离心率等于A．2B．3C6D．9（6）将一个质点随机投放在关于,x y的不等式组（８）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 A ． ② B ．①③C ．②③D ．①②第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）i 为虚数单位，计算3i1i+=+ ．（10）已知向量(2,1),(3,)x ==a b ，若(2)-⊥a b b ，则x 的值为 .（11）已知等差数列{}na 的公差为2-，3a 是1a 与4a 的等比中项，则首项=1a _,前n 项和=nS __.（12）若直线l 与圆22(1)4xy ++=相交于A ,B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的方程为 .（13）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨(x 为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．（14）数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n -组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ，从集合nA 中任取k (1,2,3,,)k n =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为kT （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12nnST T T =+++．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S=；当2n =时，2{1,3}A=，113T =+，213T=⨯，213137S =++⨯=.则当3n =时，3S = ；试写出nS = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()f A =2cos sin()22A A π-22sin cos22A A+-. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,612f A C a 5π===b 的值．（16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]组距频率米频率分布0.0250.07246810 0.150.2012 a五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．（17）（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD，PDEA，22AD PD EA ===，F ,G ,H 分别为BP ,BE ,PC的中点. （Ⅰ）求证：FG 平面PDE ；（Ⅱ）求证：平面FGH ⊥平面AEB ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使PB ⊥平面EFM？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.BDCFG HAE P（18）（本小题满分13分）已知函数()axf x a x =++21，()ln g x a x x =-（0a ≠）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当0a >时，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <成立.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过焦点F 斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D . 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,nx x x （n *∈N 且2n ≥）满足||1ix ≤()1,2,,i n =⋅⋅⋅，记121(,,,)n i ji j nS x x x x x ≤<≤=∑.（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值；（Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值；（Ⅲ）当n 为奇数时，求12(,,,)n S x x x 的最小值．注：1i ji j nx x ≤<≤∑表示12,,,nx x x 中任意两个数ix ,jx （1i j n ≤<≤）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2013.5一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案D A B C B C A C 二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案 2i - 1-或3 8；n n 92+-n *∈N30x y --= 30 63；(1)221n n +-（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）22()2cos sin sincos 2222A A A A f A =+-sin cos 2)4A A A π=-=-.因为0A <<π，所以444A ππ3π-<-<. 则所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A 取得最大值，2.……7分（Ⅱ）由题意知()2)04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又知444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，则4A π=. 因为12C 5π=，所以712A B π+=，则3B π=. 由sin sin a bA B=得，6sin sin 33sin sin 4a Bb Aπ===π． ……………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++⨯=，解得0.05a =.所以此次测试总人数为4400.052=⨯．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． ……………………4分（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为(0.150.05)20.4+⨯=，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4． ……………………7分（Ⅲ）设事件A ：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[)2,4有2人，记为,a b ；在[)4,6有6人，记为,,,,,A B C D E F ．从这8人中随机抽取2人有,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF，,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF共28种情况．事件A 包括,,,,,,,,,,,aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF 共12种情况．所以123()287P A ==．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为37． ……………………………13分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G分别为PB ，BE 的中点，所以FGPE.又因为FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，所以FG 平面PED . ……………4分（Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA CB ⊥.又因为CB AB ⊥，AB AE A=，所以CB ⊥平面ABE . 由已知F ,H 分别为线段PB ,PC 的中点，所以FHBC.EBD C P F GHM则FH ⊥平面ABE . 而FH ⊂平面FGH ，所以平面FGH ⊥平面ABE. …………………………………………………9分（Ⅲ）在线段PC 上存在一点M ，使PB ⊥平面EFM .证明如下：在直角三角形AEB 中，因为1AE =,2AB =,所以5BE =在直角梯形EADP 中，因为1AE =，2AD PD ==,所以5PE =所以PE BE =.又因为F 为PB 的中点，所以EF PB⊥.要使PB ⊥平面EFM ，只需使PB FM ⊥. 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD CB ⊥，又因为CB CD⊥，PD CD D=,所以CB ⊥平面PCD ，而PC ⊂平面PCD ，所以CB PC⊥.若PB FM ⊥，则PFM ∆∽PCB ∆,可得PM PF PB PC=. 由已知可求得3PB =3PF =22PC =322PM =.……14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111.当a >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： x (,)-∞-1 1-(,)-11 1 (,)+∞1 ()f x ' - 0 + 0- ()f x↘ ↗ ↘当a <0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x (,)-∞-1 1- (,)-11 1 (,)+∞1()f x ' + 0- 0 + ()f x↗ ↘ ↗综上所述，当a >0时，()f x 的单调递增区间为(,)-11，单调递减区间为(,)-∞-1，(,)+∞1；当a <0时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞-1，(,)+∞1，单调递减区间为(,)-11.……………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a >时，()f x 在(,)01上单调递增，()(0)f x f >；()f x 在(,e]1上单调递减，且2e(e)e 1a f a a =+>+.所以(0,e]x ∈时，()f x >a .因为()ln g x a x x=-，所以()1a g x x'=-，令()0g x '=，得x a =.①当0e a <<时，由()0g x >'，得0x a <<；由()0g x <'，得x a>，所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在(,e]a 上单调递减.所以max()()ln g x g a a a a==-.因为(ln )(2ln )(2ln e)0a a a a a a a a --=->-=>，所以对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <.②当e a ≥时，()0g x '≥在(0,e]上恒成立，所以函数()g x 在(0,e]上单调递增，max ()(e)e <g x g a a==-.所以对于任意(]12,0,e x x ∈，仍有12()()g x f x <. 综上所述，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <. …………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-.由121FA FA ⋅=-，解得22a=，所以21b=.所以椭圆C的方程为2212x y +=. …………………………………………4分（Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为0(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221k yk -=+，所以2222(,)2121k k M k k -++.直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02ED x x x +=，02ED yy y +=.所以22232(,)2121k k E k k -++.若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k=，解得22k=.所以椭圆C 上存在点E使得四边形ADBE 为菱形.此时点E 到y 的距离为1232-………………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-． (1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ………………………3分（Ⅱ）3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．固定23,x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数，因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-．同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1kx=±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++ 212313()22x x x =++-．因为123||1x xx ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121xx ==，31x=-，时1S =-，因此min 1S =-． ……………………………………………7分（Ⅲ）121(,,,)n i ji j nS S x x x x x ≤<≤==∑121312321n n n nx x x x x x x x x x x x -=++++++++.固定23,,,nx x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数，因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-．2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的12,,,nx x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k nS S x x x =±=≥．当1kx=±（1,2,,k n=）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++2121()22n nx x x =+++-．当n 为奇数时，因为12||1n x xx +++≥，所以1(1)2S n ≥--，另一方面，若取12121n xx x -====，1112221n n n x x x --++====-，那么1(1)2S n =--，因此min 1(1)2S n =--．…………………………………………………………13分。

朝阳区2013-2015数学期末考试+一模+二模试题及答案

朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题朝阳区2013届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题（18）（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C过点(1,2,离心率为2，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.（20）（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ=L 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值；（Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.朝阳区2014届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题a CC朝阳区2015届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题18．（本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．过焦点的直线与椭圆交于两点，线段中点为，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．20.（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =．（Ⅰ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，，求；（Ⅱ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，求； (Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==L ，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++（其中常数,,p q r ∈Z ）？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？若存在，求出；若不存在，说明理由. 朝阳区2013届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）试题2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)F 3F l C ,A B AB D ,M N C AMBN m b 11=b 1a ,11b a =1a )(ng朝阳区2014届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）试题朝阳区2015届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）试题朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)答案朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)答案朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)答案朝阳区2013届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）答案（18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为，且…………2分 ①当0a ≤，即02a ≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞. ②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02a x <<或1x >，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a ，(1,)+∞. 令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a . ③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分 (Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在上的最小值为(1)1f a =+，由于22422221121()2(1)10e e e e e ea a f =--+=--+>，要使()f x 在上有且只有一个零点，需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得或. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. （ⅱ）当时，函数()f x 在(,1)2a 上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2a x ∈时，总有()0f x >. 因为，所以.所以在区间内必有零点.又因为()f x 在内单调递增，从而当时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点.综上所述，或或时，()f x 在上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）{}0x x >(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x --'=-++=(]0,2(]0,21a =-2ln 2a <-2a =02a <<22e 12a aa +-<<+22222222(e )e [e (2)](ln e 22)0a a a a a a a a f a a a ++++----=-++++<(0,)2a (0,)2a02a <≤02a <≤2ln 2a <-1a =-(]0,2解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,1314a b c c aa b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分（Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,(1,22E F -，(3,(3,22M N -，所以1EM FN ⋅=u u u u r u u u r . …………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意. 由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--u u u u r ，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--u u u r . ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--u u u u r u u u r 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅-- 2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++ C222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k k k k+-=⋅++ 22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈u u u u r u u u r .综上所述，EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分朝阳区2014届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）答案朝阳区2015届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->()0x >解得1x >；由(1)(1)0x x x+-<()0x >解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增. 所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分（Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >. （1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有两个零点. (2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ，故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN = 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=．当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+．由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，所以||AB==．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+．所以121||()2AMBN S AB d d =+12=+==== 当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若，因为数列单调递增，所以，又是自然数，所以或1. ………2分（Ⅱ）因为数列的每项都是自然数，若，则，与矛盾；若，则因单调递增，故不存在，即，也与矛盾. 当11=a 时，因单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以，符合条件，所以，. ………6分（Ⅲ）若，则数列{}n a 单调递增，显然数列{}m b 也单调递增，由，即，得，所以，为不超过的最大整数，当21m k =-()k *ÎN时，因为，所以；当2m k =()k *ÎN时，，所以，.综上，2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k **ìï-=-?ï=íï=?ïîN )N )，即当0m >且m 为奇数时，212m m b -=；当0m >且m 为偶数时，22m mb =. 若数列是数列的生成数列，且生成的控制函数为，则中不超过的项数恰为，即中不超过的项数恰为，11b ={}n a 211a ≤1a 10a ={}n a 2101a =≤11b ≥11a b =12a ≥{}n a 21n a ≤10b =11a b ={}n a 11b =11a =2(1,2,)n a n n ==L 2n a m ≤22n m ≤212n m ≤m b 212m 222211222222122kk m k k k k -<=-+<-+222m b k k =-22122m k =22m b k ={}n a {}m b {}m b {}n a ()g n m b ()g n n a m b ()g n 2n所以，即对一切正整数都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =；当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-；当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以，或，或，或，或，或(n *ÎN ). ………13分朝阳区2013届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）答案221()n n b g n b +≤<222222n pn qn r n n ≤++<+n 2()2g n n =221n +221n n +-22n n +2222n n +-2221n n +-朝阳区2014届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）答案朝阳区2015届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）答案。

【解析】【2013朝阳二模】北京市朝阳区2013届高三第二次综合练习理科数学 Word版含解析

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则MN =A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9 【答案】D【KS5U 解析】{}3,{0,3,9}N x x a a M ==∈=，所以{0,1,3,9}MN =，选D.（2）若120()d 0x mx x +=⎰，则实数m 的值为A ．13-B ．23- C ．1- D ．2- 【答案】B【KS5U 解析】123211111()d ()03232x mx x x mx m +=+=+=⎰，解得23m =-，选B. （3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >？B. 7n ≥？C. 8n >？D. 9n >？【答案】C 【KS5U 解析】第一次循环，1,3S n ==，不满足条件，循环。

第二次循环，134,5S n =+==，不满足条件，循环。

第三次循环，459,7S n =+==，不满足条件，循环。

第四次循环，9716,9S n =+==，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是8n >，选C.（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3) 【答案】A【KS5U 解析】双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取b y x a =，代入抛物线得22bx x a=+，即220b x x a -+=，要使渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则2()80b a∆=-≥，即228b a ≥，又22228b c a a =-≥，所以229c a ≥，所以29,3e e ≥≥。

2013.05北京市朝阳区文科数学二模试卷及答案详解

北京市朝阳区2012--2013高三年级第二次综合练习第一部分（选择题共40分） 3013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合，，则=A. B. C. D. （2）已知：，：，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（3）函数（）的图象的一条对称轴方程是A ． B. C. D ．（4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内的条件是A. ?B. ?C. ?D. ？（5）若双曲线的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率等于A ． 2B ．3C ．D ．（6）将一个质点随机投放在关于的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 A ． B ． C ． D ．（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．B ．C ．D ．1（第7题图）（８）已知函数，定义函数给出下列命题：①； ②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是 A ． ② B ．①③ C ．②③ D ．①②第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）为虚数单位，计算．1 11 正视图侧视图俯视图（10）已知向量，若，则x的值为.（11）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则首项_,前项和__.（12）若直线l与圆相交于,两点，且线段的中点坐标是，则直线l的方程为.（13）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买x吨(x为的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．（14）数列的前项组成集合，从集合中任取k个数，其所有可能的k个数的乘积的和为kT（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如当时，，，；当时，，，，.则当时，；试写出．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，且.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．（17）（本小题满分14分）如图，已知四边形是正方形，平面，，，,G,分别为,,的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？DFG HE P频率分布直方图若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数，（）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，对于任意，总有成立.（19）（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过焦点斜率为k的直线l交椭圆C于两点，弦的垂直平分线与x轴相交于点. 试问椭圆C上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，试求点到轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知实数（且）满足，记.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）当时，求的最小值；（Ⅲ）当为奇数时，求的最小值．注：表示中任意两个数,（）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习2013数学学科测试答案（文史类）一、DABCB CAC二、（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、（15）（Ⅰ）.因为，所以.则所以当，即时，取得最大值，且最大值为.……7分（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则.因为，所以，则.由得，．……………………13分（16）解：（Ⅰ）由题意可知，解得.所以此次测试总人数为．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． (4)分（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为． (7)分（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在有2人，记为；在有6人，记为．从这8人中随机抽取2人有，共28种情况．事件A包括共12种情况．所以．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为．……13分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为,G分别为，的中点，所以.又因为⊄平面，平面，所以平面. ……………4分（Ⅱ）因为平面，所以.又因为，，所以平面.由已知,分别为线段,的中点，所以.则平面.而平面，所以平面⊥平面. …………………………………………………9分AEBDPFGHM（Ⅲ）在线段上存在一点，使平面.证明如下：在直角三角形中，因为,,所以.在直角梯形中，因为，,所以，所以.又因为为的中点，所以. 要使平面，只需使. 因为平面，所以，又因为，, 所以平面，而平面，所以. 若，则∽,可得.由已知可求得，，，所以.……14分（18）解：（Ⅰ）函数的定义域为，.当时，当x 变化时，，的变化情况如下表：当时，当x 变化时，，的变化情况如下表：综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且. 所以时，.因为，所以，令，得.①当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为，所以对于任意，总有.②当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，. 所以对于任意，仍有.综上所述，对于任意，总有. （19）解：（Ⅰ）依题设，，则，.由，解得，所以.所以椭圆C 的方程为.…4分（Ⅱ）依题直线l 的方程为.由得()2222214220k x k x k +-+-=.设,,弦的中点为，则，，，，所以.直线的方程为，令，得，则.若四边形为菱形，则，.所以. 若点在椭圆C 上，则.整理得，解得.所以椭圆C 上存在点使得四边形为菱形.此时点到的距离为127.…14分（20）解：（Ⅰ）由已知得．．……3分（Ⅱ）时，．固定，仅让变动，那么S 是的一次函数或常函数，因此．同理．．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是．当（）时，．因为，所以，且当，，时，因此．…7分（Ⅲ） .固定，仅让变动，那么S 是的一次函数或常函数，因此．同理．．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是．当（）时，．当为奇数时，因为，所以，另一方面，若取，，那么，因此．…………………………………………………………13分温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。

北京中考13年二模数学部分区23题及答案

13年二模23题部分区考题23．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4-m )x +1-m = 0．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y =x 2+(4-m )x +1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y =x +b 与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b 的值．23. 已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线21122y x x =-上.（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.23．已知关于x 的方程2(2)30x m x m --+-=. （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）设抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y =-x 的对称点恰好是点M ，求m 的值.（备图）23. 已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）求证：抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根时，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．23．在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点在函数11:(0)k C y x x=>的图象上，其中10k >．AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且 AC =1．(1) 若1k =2，则AO 的长为，△BOD 的面积为；(2) 如图1，若点B 的横坐标为1k ，且11k >，当AO =AB 时，求1k 的值；(3) 如图2，OC =4，BE ⊥y 轴于点E ，函数22:(0)kC y x x=>的图象分别与线段BE ，BD 交于点M ，N ，其中210k k <<．将△OMN 的面积记为1S ，△BMN 的面积记为2S ，若12S S S =-，求S 与2k 的函数关系式以及Sy x O 23．已知：抛物线2(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线2(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．①求m 的取值范围；②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为．23．如图，抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0），其对称轴与x 轴的交点为C , 反比例函数ky x=（x >0，k 是常数）的图象经过抛物线的顶点D ．（1）求抛物线和反比例函数的解析式．（2）在线段DC 上任取一点E ，过点E 作x 轴平行线，交y 轴于点F 、交双曲线于点G ，联结DF 、DG 、FC 、GC ． ①若△DFG 的面积为4，求点G 的坐标； ②判断直线FC 和DG 的位置关系，请说明理由； ③当DF =GC 时，求直线DG 的函数解析式．解：23. （1）证明：∵△=()()2441m m ---.……………………………………………… 1分 =2412m m -+=()228m -+…………………………………………………………2分 ∴△＞0. …………………………………………………………………3分∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）把x =-3代入原方程，解得m =1. …………………………………………………4分 ∴23y x x =+.即23924y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.依题意，可知新的抛物线的解析式为239'24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ………………………5分即2'3y x x =+∵抛物线'y 与直线y x b =+只有一个公共点，∴23x x x b -=+..…………………………………………………………………6分即240x x b --=. ∵△=0.∴()()2440b --⨯-=.解得b = -4. ……………………………………………………………………7分23．解：（1）由21122y x x =-=0，得01=x ，21x =． ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（1，0）． ········································· 2分（2）当a =1时，得A （1，0）、B （2，1）、C （3，3）， ······································· 3分分别过点B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则有ABC S ∆=AFC S △ - AEB S △ - BEFC S 梯形=12（个单位面积）…………………………………4分（3）如：)(3123y y y -=．∵22111112222y a a a a =⨯-⨯=-，()()2221122222y a a a a =⨯-⨯=-， ()()2231193332222y a a a a =⨯-⨯=-，又∵3（12y y -）=()()2211113222222a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=29322a a -． ·································································· 5分∴)(3123y y y -=． ···················································································· 6分23、（1）证明：22224(2)4(3)816(4)0b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥，-----------1分∴此方程总有两个实数根.------------------------- 2分（2）解：抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，3m -）．---------------------3分抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（3m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 3m -）.-----------------5分由题意，可得：1333m m m -=--=-或，即m =2或m =3. -------------------------7分23．解：（1）22(2)4(1)m m m ∆=-+-=. ∵方程有两个不相等的实数根，∴0≠m .……………………………………………………………………………1分 ∵01≠-m ，∴m 的取值范围是01m m ≠≠且.………………………………………………………2分（2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m .∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m mm m m m x . ∴1)1(221-=--+-=m m m x ，11)1(222-=-++-=m m m m x . …………………………………4分∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）.∴无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（1,0-）.……5分（3）∵1-=x 是整数 ∴只需11-m 是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠且,∴2=m .…………………………………………………………………………6分当2=m 时，抛物线为12-=x y ．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为图1l861)3(22+-=--=x x x y .…………………………………………………7分23．解：(1) AO△BOD 的面积为 1； ………………………… 2分(2) ∵A ，B 两点在函数11:(0)k C y x x=>的图象上，∴点A ，B 的坐标分别为1(1,)k ，1(,1)k . ………………… 3分 ∵AO =AB ，由勾股定理得2211+=AO k ，22211(1)(1)=--+AB k k ， ∴2221111(1)(1)+=--+k k k .解得12k =12k = …………………………………………… 4分 ∵11k >，∴12k = ………………… 5分 (3) ∵OC =4，∴点A 的坐标为(1,4).∴14k =. 设点B 的坐标为4(,)m m ，∵BE ⊥y 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D ， ∴四边形ODBE 为矩形，且=4ODBE S 四边形，点M 的纵坐标为4m，点N 的横坐标为m .∵点M ，N 在函数22:(0)k C y x x=>的图象上，∴点M 的坐标为24(,)4mk m，点N 的坐标为2(,)km m .∴2=2=OME OND k S S ∆∆. ∴222114=()(224)mk k S BM BN m mm⋅=--22(4)8k -=.∴12=S S S -222=(4)k S S ---22=42k S --.∴222222(4)14284k S k k k -=--⨯=-+， ………………………… 6分其中204k <<.∵2222211(2)144S k k k =-+=--+，而104-<，∴当22k =时，S 的最大值为1. …………………………………… 7分23解：（1）∵抛物线2(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ，∴93(2)24a a +--=．解得 1a =．∴抛物线的解析式为22y x x =--． --------------2分（2）①当0y =时，220x x --=． ∴1x =-或2.∴抛物线与x 轴交于点(1,0)A -，(2,0)B .-----3分当2y =-时，222x x --=-． ∴0x =或1．∴抛物线与直线2y =-交于点(0,2)C -, (1,2)D -.∴C ,D 关于直线1y =-的对称点'(0,0)C ，'(1,0)D .----4分 ∴根据图象可得1-≤m ≤0或1≤m ≤2．----------------5分 ②k 的取值范围为k ≥4或k ≤4-．----------------7分 23．解：（1）抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0）10930a b a a b --+=⎧∴⎨-++=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++顶点(14)D ，函数(0ky x x=>，m 是常数）图象经过(14)D ，， 4k ∴=．…………………………………………………………………… 2分（2）①设G 点的坐标为4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，，据题意，可得E 点的坐标为41m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，F 点的坐标为40m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1m >，FG m ∴=，44DE m=-．由△DFG 的面积为4，即14442m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3m =，∴点G 的坐标为433⎛⎫⎪⎝⎭，．………………………………………………… 3分②直线FC 和DG 平行.理由如下：方法1：利用相似三角形的性质.据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =，1m >，易得4EC m =，1EG m =-，44DE m=- 111G E m m EF -∴==-，4414DE m m CEm-==-． G E D EE F C E∴=． D E G F E C∠=∠ ∴△D E G ∽△FEC E D G E C F ∴∠=∠ //FC DG ∴ ………………………………………………… 5分方法2：利用正切值.据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =，1m >，易得4EC m=，1EG m =-， 1444G E m m DE m -∴==-，144FE mCE m==． tan tan EDG ECF ∴∠=∠E D G E CF ∴∠=∠ //FC DG ∴．③解：方法1： F C D G ∥，∴当FD CG =时，有两种情况：当FD CG ∥时，四边形DFCG 是平行四边形，由上题得，GE DEEF CE=1m =-，11m ∴-=，得2m =． ∴点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．…………………………………… 6分当FD 与CG 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形，则DC FG =，4m ∴=，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．…………………………………… 7分综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．方法2.在Rt ⊿DFE 中，1FE =，44DE m=-2222241(4)FD FE DE m∴=+=+-在Rt ⊿GEC 中，4EC m =，1EG m =-， 222224()(1)CG EC EG m m∴=+=+-FD CG = 22FD CG ∴=2241(4)m ∴+-224()(1)m m=+-解方程得：2m =或4m =当2m =时，点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．当4m =时，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．注：不同解法酌情给分。

2013年北京市朝阳区中考数学二模试卷-含详细解析

2013年北京市朝阳区中考数学二模试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.-2的绝对值是（）A. B. C. D. 22.我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD=3，BD=5，那么的值是（）A.B.C.D.4.从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为（）A. B. C. D.5.如图，圆锥的底面半径OA为2，母线AB为3，则这个圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.6.如图，下列水平放置的几何体中，左视图不是长方形的是（）A. B. C. D.7.则该篮球课外活动小组名同学身高的众数和中位数分别是（）A. 176，176B. 176，177C. 176，178D. 184，1788.图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是（）A. 我B. 的C. 梦D. 中二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）9.在函数中，自变量x的取值范围是______．10.分解因式：2x3-4x2+2x=______．11.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，点F在弧AC上，若∠BCD=32°，则∠AFD的度数为______．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x、y轴分别交于点A、B，且A（-2，0），B（0，1），在直线AB上截取BB1=AB，过点B1分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A1、C1，得到矩形OA1B1C1；在直线AB上截取B1B2=BB1，过点B2分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A2、C2，得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取B2B3=B1B2，过点B3分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A3、C3，得到矩形OA3B3C3；…则第3个矩形OA3B3C3的面积是______；第n个矩形OA n B n C n的面积是______（用含n的式子表示，n是正整数）．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）13.如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD=∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）连接EF，若tan∠AEF=，AD=4，求BD的长．14.今年“五一”假期，小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动，了解他所在小区家庭的教育支出情况．调查中，小翔从他所在小区的500户家庭中，随机调查了40个家庭，并将调查结果制成了部分统计图表．教育支出频数分布表根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）频数分布表中的a=______，b=______；（2）补全频数分布直方图；（3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）15.计算：．16.计算：．17.如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30°，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60°，求楼AB的高．18.已知：如图，E、F为BC上的点，BF=CE，点A、D分别在BC的两侧，且AE∥DF，AE=DF．求证：AB∥CD．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数（x＜0）的图象交于点，．（1）求A、B两点的坐标；（2）设点P是一次函数y=kx-2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．20.某新建小区要铺设一条全长为2200米的污水排放管道，为了尽量减少施工对周边居民所造成的影响，实际施工时，每天铺设的管道比原计划增加10%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？21.如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，∠B=105°，E是BC边的中点，∠BAE=30°，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，求四边形ABCF的周长．22.阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为______；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．23.已知关于x的一元二次方程x2+（4-m）x+1-m=0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+（4-m）x+1-m 向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），当cosα=，且旋转后点P的对应点P'恰好落在x轴上时，求点P的坐标．25.在▱ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】D【解析】解：|-2|=2，故选：D．根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．则-2的绝对值就是表示-2的点与原点的距离．此题主要考查了绝对值，关键是掌握：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】B【解析】解：将0.000075用科学记数法表示为：7.5×10-5．故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴=，=，∵AD=3，BD=5，∴=，即=．故选C．先根据题意判断出△ADE∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．4.【答案】D【解析】解：由题意知：共有卡片9张，数字是3的倍数的卡片有3，6，9共3张，∴抽到数字是3的倍数的卡片的概率是=；故选：D．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5.【答案】B【解析】解：圆锥的底面周长是：2×2π=4π，则×4π×3=6π．故选：B．首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．6.【答案】B【解析】解：A、C、D选项的左视图都是长方形；B选项的左视图是三角形．故选B．找到从左面看所得到的图形即可．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．7.【答案】C【解析】解：身高为176的人数最多，故身高的众数为176；共21名学生，中位数落在第11名学生处，第11名学生的身高为178，故中位数为178．故选C．根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，在求中位数的时候注意数据的奇偶性．8.【答案】A【解析】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对；由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面，则这时小正方体朝上面的字是“我”．故选A．本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．在本题的解决过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，也可以．本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．9.【答案】x≥【解析】解：根据题意得，2x-3≥0，解得x≥．故答案为：x≥．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．10.【答案】2x（x-1）2【解析】解：2x3-4x2+2x，=2x（x2-2x+1），=2x（x-1）2．故答案为：2x（x-1）2．先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11.【答案】32°【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理与垂径定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，∴=，∵∠BCD=32°，∴∠AFD=∠BCD=32°．故答案为32°．12.【答案】24；2n2+2n【解析】解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），∵点A（-2，0），B（0，1）在直线AB上，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=x+b，∴AB==，设B1（x1，x1+b），B2（x2，x2+b），B3（x3，x3+b）的坐标，∵BB1=AB，B1B2=BB1，B2B3=B1B2，∴（x 1-0）2+（x1+1-1）2=（）2，解得x=2或x=-2（舍去），∴B1（2，2），同理可得B2（4，3），B3（6，4），∴S=2×2=2×（1+1）=4；矩形OA1B1C1S=4×3=2×2×（2+1）=12；矩形OA2B2C2=6×4=2×3×（3+1）=14，S矩形OA3B3C3∴第n各矩形的面积=2n（n+1）=2n2+2n．故答案为：24；2n2+2n．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），再把点A（-2，0），B（0，1）代入即可求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，根据两点间的距离公式求出AB的长，设出B1，B2，B3的坐标，根据BB1=AB，B1B2=BB1，B2B3=B1B2即可得出B1，B2，B3的坐标，进而得出矩形的面积，找出规律即可得出结论．本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、矩形的面积、一次函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．13.【答案】（1）证明：在△ABC中，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，∵∠CAB+∠B+∠C=180°，∴2∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AD为⊙O直径，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DF，EF．∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD=90°，∵∠ADC=90°，∴∠ADF+∠FDC=∠C+∠FDC=90°，∴∠ADF=∠C，∵∠ADF=∠AEF，tan∠AEF=，∴tan∠C=tan∠ADF=，在Rt△ACD中，设AD=4x，则CD=3x，∴AC==5x，∴BC=5x，BD=2x，∵AD=4，∴x=1，∴BD=2．【解析】（1）由AC=BC，利用等边对等角得到一对角相等，三角形ABC，利用内角和定理列出关系式，等量代换得到∠B+∠C=90°，再将已知等式代入得到∠B与∠BAD互余，进而确定出AD垂直于BC，即可确定出BC为圆的切线；（2）连接DF，EF，由AD为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到DF垂直于AC，再由AD垂直于DC，利用同角的余角相等得到∠ADF=∠C，根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADF=∠AEF，由tan∠AEF的值得到tan∠ADF 的值，即为tan∠C的值，在直角三角形ADC中，由tan∠C的值设出AD=4x与DC=3x，再由AC=BC，根据BC-CD表示出BD，再由AD的长，利用勾股定理此题考查了切线的判定，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．14.【答案】3；0.075【解析】解：（1）根据题意得：a=40-（2+6+18+9+2）=3（人）；b=1-（0.05+0.15+0.45+0.225+0.05）=0.075．（2）补全统计图，如图所示：（3）根据题意得：500×（0.05+0.15）=100（户）．则该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有100户．故答案为：3；0.075．（1）由40减去已知各自的频数即可求出a的值，由1减去其它各组的频率即可求出b的值；（2）由1500-1700的人数为18，补全条形统计图，如图所示；（3）求出教育支出不足1500元的家庭的频率，乘以500即可得到结果．此题考查了频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，以及用样本估计总体，认清统计图中的数据是解本题的关键．15.【答案】解：原式=4-3+1-×=2-1=1．先分别根据负整数指数幂及0指数幂的计算法则、数的开方法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂及0指数幂的计算法则、数的开方法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．16.【答案】解：===x+2．【解析】首先将括号里面进行通分，进而将能因式分解的分子与分母进行分解因式，再化简即可．此题主要考查了分式的混合运算，正确根据分式的基本性质分解因式是解题关键．17.【答案】解：由题意可知∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=20，在Rt△ABC中，．在Rt△ABD中，．∴，∴BD=10．∴．∴楼AB的高为10米；【解析】根据题意得∠C=30°，∠ADB=60°，从而得到∠DAC=30°，进而判定AD=CD，得到CD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可．此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．18.【答案】证明：∵AE∥DF，∴∠AEB=∠DFC．∴BF+EF=CE+EF．即BE=CF．∵在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴∠B=∠C．∴AB∥CD．【解析】首先由AE∥DF得到∠AEB=∠DFC，再由线段之间的等量关系得到BE=CF，结合AE=DF，证明△ABE≌△DCF（SAS），由两三角形全等得到∠B=∠C，继而证明出AB∥CD．本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是性质和定理是解答此题的关键，此题难度一般．19.【答案】解：（1）∵点，在反比例函数（x＜0）的图象上，∴n=1，∴，．∵一次函数y=kx-2的图象经过点，，∴．∴k=-2，∴一次函数的解析式为y=-2x-2，∴A（-1，0），B（0，-2）．（2）S△AOB=OA×OB=1，设点P的坐标为（a，-2a-2），由题意得，×1×|-2a-2|=2，解得：a1=1，a2=-3，故P1（-3，4），P2（1，-4）．【解析】（1）将点M的坐标代入反比例函数，可得出n的值，再将点M的具体坐标代入一次函数，从而得出k的值，然后求A、B的坐标即可．（2）根据△APO的面积，求出点P的纵坐标，代入直线解析式可得出点P的坐标．本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是求出点M的坐标，第二问中要设出点P的纵坐标，根据△AOP的面积求出纵坐标．20.【答案】解：设原计划每天铺设x米管道，实际每天铺设的是x（1+10%）米，由题意，得解得：x=40．经检验，x=40是原方程的根．答：原计划每天铺设40米管道．【解析】设原计划每天铺设x米管道．实际每天铺设的是x（1+10%）米，由工程问题的时间关系建立方程求出其解即可．本题考查了列分式方程解关于工程问题的实际问题的运用，工程问题的数量关系的运用及分式方程的解法的运用，解答时由时间的之间的数量关系建立方程是关键，检验是容易忘记的步骤，提请解答者注意．21.【答案】解：如图，作BG⊥AE，垂足为点G，∴∠BGA=∠BGE=90°．在平行四边形ABCD中，AD=BC=4，∵E是BC边的中点，∴．在△ABE中，∵∠BAE=30°，∠ABC=105°，∴∠BEG=45°．由折叠的性质得△ABE≌△AFE．∴AB=AF，BE=FE，∠BEF=90°．在Rt△BGE中，BG=GE=．则在Rt△ABG中，AB=AF=2BG=．在Rt△ECF中，．∴四边形ABCF的周长是AB+BC+FC+AF=2AB+BC+FC=．【解析】如图，作BG⊥AE，垂足为点G，利用勾股定理，在Rt△BGE中求得BG=GE=，则在Rt△ABG中，AB=AF=2BG=，在Rt△ECF中，．所以利用四边形的周长定义来求四边形ABCF的周本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题时，利用了直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半．22.【答案】【解析】解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，∴△APC≌△EDC，∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=5，∠PCD=60°，∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB，∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°，∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，BC=6，CE=5，∴BE===，即PA+PB+PC的最小值为；（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段；②如图，当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，∴△APC≌△DEC，∴CP=CE，∠PCE=60°，∴△PCE是等边三角形，∴PE=CE=CP，∠EPC=∠CEP=60°．∵菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，∴∠PCB=∠EPC-∠CBP=60°-∠30°=30°，∴∠PCB=∠CBP=30°，∴BP=CP，同理，DE=CE，∴BP=PE=ED．连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，BC=4，∴BO=BC•cos∠OBC=4×=2，∴BP=BD=．即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．故答案为：．（1）先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP=∠ECD，AC=EC=5，∠PCD=60°，再证明∠BCE=90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为PA+PB+PC的最小值；（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD 即为PA+PB+PC最小值的线段；②当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC，则CP=CE，再证明△PCE是等边三角形，得到PE=CE=CP，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出BP=CP，同理，得出DE=CE，则BP=PE=ED=BD．本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，同时考查了学生的阅读理解能力和知识的迁移能力，综合性较强，有一定难度．读懂阅读材料，画出最小值的线段是解题的关键．23.【答案】（1）证明：∵△=（4-m）2-4（1-m）=m2-4m+12=（m-2）2+8，∴△＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）把x=-3代入x2+（4-m）x+1-m=0，得：9-3（4-m）+1-m=0，解得m=1，∴y=x2+3x．即y=（x+）2-．依题意，可知新的抛物线的解析式为y′=（x-）2-．即y'=x2-3x，∴x2-3x=x+b，即x2-4x-b=0．∵△=0．∴（-4）2-4×（-b）=0．解得：b=-4．【解析】（1）由△=（4-m）2-4（1-m）=（m-2）2+8，可得△＞0，即可证得：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）首先将x=-3代入原抛物线解析式，即可求得m的值，继而求得新的抛物线，又由直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点，可求得b的值．此题考查了抛物线与x轴以及与直线的交点问题．此题难度适中，注意掌握判别式的应用．24.【答案】解：（1）根据题意得，解得：．所以抛物线的解析式为．（2）如图1，过点Q的对应点Q'作EF⊥CD于点E，交x轴于点F．设P（x，y），则CQ=x，PQ=4-y．由题意可知：CQ'=CQ=x，P'Q'=PQ=4-y，∠CQP=∠CQ'P'=90°．∴∠QCQ'+∠CQ'E=∠P'Q'F+∠CQ'E=90°．∴∠P'Q'F=∠QCQ'=α．又∵cosα=，∴，．∴．∵，整理可得．∴，（舍去）．∴，．如图2，过点Q的对应点Q'作EF⊥CD于点E，交x轴于点F．设P（x，y），则CQ=-x，PQ=4-y．可得∠P'Q'F=∠QCQ'=α．又∵cosα=，∴，．∴．∵，整理可得．∴（舍去），．∴，．∴，或，．【解析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；（2）分别利用P点在y轴右侧和左侧，设P（x，y），利用cosα=，表示出各边长度，进而分别求出P点坐标即可．此题主要考查了二次函数的综合应用以及锐角三角函数的关系和旋转的性质等知识，利用分类讨论的思想得出是解题关键．25.【答案】（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH．在△ABG和△AEH中，，∴△ABG≌△AEH（ASA）．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH是等边三角形．∴AG=HG．∴EG=AG+BG．（2）如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．作AM⊥EG于点M，∴∠GAB=∠HAE．∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH．在△ABG和△AEH中，，∴△ABG≌△AEH（ASA）．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=α，∴GM=MH=GH，∠GAM=∠HAM=α，∵GM=MH=AG•sin，∴EG=GH+BG．∴．（3）．如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EGB=∠EAB=90°，∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．∴∠ABG=∠AEH．∵又AB=AE，∴△ABG≌△AEH．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG=HG．∴．【解析】（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H．作AM⊥EG于点M，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=α，易得GM=MH=AG•sin，继而证得结论；（3）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案．此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．。

2013年北京市朝阳区数学中考二模试题分析

（2）补全频数分布直方图；
（3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？
E
A
A D
A
D
P B
图1
C
P B
图2
B
C
图3
C
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、 BE，则BE的长即为所求．
A
E
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E G
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图1Biblioteka F B C图3CF B
图2
C
A H G F B P
E
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C
H
A
E G
D
F B C
y
P1
M
D
O B x
C A
P2
A F
D
B
E
C
A
O E B D
F C
A
O E B D
F C
（注：每组数据含最小值，不含最大值）
根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）频数分布表中的a =
3
，b =
； 0.075
（2）补全频数分布直方图；（3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？
北京市朝阳区2013年中考二模
制作：北京市剑桥中学
田放
D
B
C
A D E
D

北京市各区2013年中考二模数学试题分类汇编(统计)及答案

初三数学分类试题—统计西城1．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图请根据以上信息回答下列问题：(1) 参加问卷调查的学生共有人；(2) 在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；(3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为．海淀2．北京市近年来大力发展绿地建设，2010年人均公共绿地面积比2005年增加了4平方米，以下是根据北京市常住人口调查数据和绿地面积的有关数据制作的统计图表的一部分．北京市人均公共绿地面积调查规划统计图北京市常住人口统计表（1）补全条形统计图，并在图中标明相应数据；（2）按照2013年的预测，预计2020年北京市常住人口将达到多少万人？（3）按照2013年的北京市常住人口预测，要完成2020年的北京市人均公共绿地面积规划，从2005年到2020年，北京市的公共绿地总面积需增加多少万平方米？东城3．某中学九（1）班同学为了解2013年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理.请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）求该小区用水量不超过15吨的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭大约有多少户？朝阳4．今年“五一”假期，小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动，了解他所在小区家庭的教育支出情况．调查中，小翔从他所在小区的500户家庭中，随机调查了40个家庭，并将调查结果制成了部分统计图表．（注：每组数据含最小值，不含最大值）根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）频数分布表中的a = ，b = ；（2）补全频数分布直方图；（3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？房山5. 某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 (元)教育支出频数分布表教育支出频数分布直方图请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽查了名学生；（2）请将上面两幅统计图补充完整；（3）在图1中，“踢毽”部分所对应的圆心角为度；（4）如果全校有1860名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？门头沟6．某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．其它类别表1 阅读课外书籍人数分组统计表阅读课外书籍人数分组统计图图1人数阅读课外书籍人数分组所占百分比统计图图26%26%30%20%AB C D E F请你根据以上信息解答下列问题：（1）这次共调查了学生多少人？E 组人数在这次调查中所占的百分比是多少？（2）求出表1中a 的值，并补全图1；（3）若该年级共有学生300人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人．怀柔7．第九届中国（北京）国际园林博览会2013年5月18日正式开幕，，前往参观的人非常多．为了解游客进园前等候检票的时间，赵普同学利用5月19日周末的时间，在当天9：00－10：00，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“10~20”表示等候检票的时间大于或等于10min 而小于20min ，其它类同．（1）这里采用的调查方式是；（2）求表中a 的值，并请补全频数分布直方图；（3）在调查人数里，等候时间少于40min 的有人；（4）此次调查中，中位数所在的时间段是 min ．解：（1）这里采用的调查方式是；（2）a = ，补全频数分布直方图在图上；（3）人；（4） min ．大兴8．为了解某区九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进阅读课外书籍人数分组统计图等候时间（min ）行分段（A ：50分；B ：49~45分；C ：44~40分；D ：39~30分；E ：29~0分）统计如下：根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a 的值为，b 的值为，并将统计图补充完整；（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？（填相应分数段的字母）（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么该区今年10440名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？丰台9．6月5日是世界环境日，某城市在宣传“绿色环境城市”活动中，发布了一份2013年1至5月份空气质量抽样调查报告，随机抽查的30天中，空气质量的相关信息如下：分数段人数（人）频率 A48 0.2 Ba 0.25 C84 0.35 D 36 bE 120.05学业考试体育成绩（分数段）统计表分数段学业考试体育成绩（分数段）统计表%请你根据统计图表提供的信息，解答以下问题（结果均取整数）： (1)请将图表补充完整；(2)请你根据抽样数据，通过计算，预测该城市一年(365天)中空气质量级别为优和良的天数大约共有多少天？石景山10．为了解某区九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A ：40分； B ：39－35分； C ：34－30分； D ：29－20分；E ：19－0分）统计如下：分数段人数（人）频率 A 48 0.2 B a 0.25 C 84 b D 36 0.15 E120.05根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a 的值为_____，b 的值为______，并将统计图补充完整；（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？______（填相应分数段的字母）（3）如果把成绩在30分以上（含30分）定为优秀，那么该区今年2400名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数有多少名？解：分数段A C昌平11. 某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品. 美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.4个班征集到的作品数量分布统计图4个班征集到的作品数量统计图班级图1 图2（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共件，并把图1补充完整；（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为；（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生. 现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率.密云12．在暑期社会实践活动中，小明所在小组的同学与一家玩具生产厂家联系，给该厂组装玩具，该厂同意他们组装240套玩具．这些玩具分为A、B、C三种型号，它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图所示．若每人组装同一种型号玩具的速度都相同，根据以上信息，完成下列填空：（1）从上述统计图可知，A型玩具有____________套，B型玩具有____________套，C型玩具有____________套．（2）若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，那么a的值为____________，每人每小时能组装C型玩具____________套．顺义13．甲、乙两学校都选派相同人数的学生参加综合素质测试，测试结束后，发现每名参赛学生的成绩都是70分、80分、90分、100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两学校的学生获得100分的人数也相等．根据甲学校学生成绩的条形统计图和乙学校学生成绩的扇形统计图，解答下列问题：（1）求甲学校学生获得100分的人数，并补全统计图；（2）分别求出甲、乙两学校学生这次综合素质测试所得分数的中位数和平均数，以此比较哪个学校的学生这次测试的成绩更好些．甲学校学生成绩的条形统计图乙学校学生成绩的扇形统计图213分数510090分分参考答案1．解：(1) 80；……………………………………………………………………1分(2) 54；……………………………………………………………………3分(3) 3 20．2. 解：（1）如下图:－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分（2）205575%=2740÷（万人）.答：预计2020年北京市常住人口将达到2740万人.－－－－－－－－－－3分（3）274018154011=32380⨯-⨯（万平方米）.答：从2005年到2020年，北京市的公共绿地总面积需增加32380万平方米.3．解：（1）表格：从上往下依次是：12，0.08；图略；……3分（2）68％；……4分（3）120户. ……5分4．解：（1）a=3，b=0.075；……………………………………………………………2分（2）…………………………3分（3）500(0.050.15)100⨯+=.所以该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有100户.…………5分5. 解：(1)200 ………1分(2)图略 ………3分 (3)54 ………4分 (4)744人 ………5分6．解：（1）这次共调查了学生50人，E 组人数在这次调查中所占的百分比是8％．（2）表1中a 的值是15，补全图1．（3）54人．7．解：（1）抽样调查或抽查（填“抽样”也可以）…………………………1分（2）a =0.350频数分布直方图如下………………………3分（3）32 …………………………………………………………………4分（4）20~30…………………………………………………………………5分 8．解：（1） 60 ， 0.15 (图略) ………………………………3分（2） C ………………………………………………………4分（3）0.8×10440=8352（名） ……………………………………5分答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有8352名.9. 解：（1）度微度级别20 %－－－－－－－－－－－－－3分如图，画图基本准确,每个统计图全部正确得1分.（2）365×(20％＋50％)≈256．答：该城市一年为优和良的天数大约共有256天．10．解：（1）60 ，0.35 ，补充后如右图：………………………… 3分（3）0.8×2400=1920（名）答：该区九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数有1920名.…………………………5分1119．解：(1) 12. …………………………………………………………… 1分如图所示. ………………………………………………… 2分4个班征集到的作品数量统计图Array班级(2)42. ………………………………………………………………3分（3）列表如下: ……………………………………………………4分共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，∴ P （一男生一女生）＝123=. ……………………5分12．（每空1分）(1)132，48，60；(2)4，6．13．解：（1）设甲学校学生获得100分的人数为x ．由题意和甲、乙学校学生成绩的统计图得12356x x =+++ 得2x =所以甲学校学生获得100分的人数有2人．图(略) …………………………………2分 (2）由（1）可知：甲学校的学生得分与相应人数为：乙学校的学生得分与相应人数为：所以，甲学校学生分数的中位数为90（分）．甲学校学生分数的平均数为 270380590210051585.823526x ⨯+⨯+⨯+⨯==≈+++甲（分）…………3分乙学校学生分数的中位数为80（分）乙学校学生分数的平均数为 370480390210050025083.3343263x ⨯+⨯+⨯+⨯===≈+++乙（分） …4分由于甲学校学生分数的中位数和平均数都大于乙学校学生分数的中位数和平均数，所以甲学校学生的数学竞赛成绩较好． ………。

2013年朝阳区高三二模数学(理科)试题及参考答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{|3,}N x x a a M ==∈，则MN =A.{}0B.{}0,3C.{}1,3,9D.{}0,1,3,9 （2）若120()d 0x mx x +=⎰，则实数m 的值为A.13- B.23-C.1-D.2- （3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16A.6n>?B.7n ≥?C.8n >? D.9n >（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A.[3,)+∞B.(3,)+∞C.(1,3]D.(1,3) （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.16B.13C.12D.1（第5题图）（第3题图）（6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A.10种B.12种C.18种D.36种俯视图侧视图正视图（7）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 给出下列命题：①()|()|F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立．其中所有准确命题的序号是A.②B.①②C.③D.②③（8）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是A.1[1,]4--B.11[,]24--C.[1,0]-D.1[,0]2-第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）i 为虚数单位，计算3i1i+=+ ．（10）若直线l 与圆2cos ,:12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为．（11）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则tan COP ∠= ，△OBC 的面积是．（12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．（13）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是．（14）数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n -组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ，从集合n A中任取k (1,2,3,,)k n =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.则当3n =时，3S = ；试写出n S = ．A DBCPEFGH三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2()2cos sin()sin 222A A A f A =π-+-2cos 2A.（Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===b 的值．（16）（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EAPD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：FG ∥平面PED ；（Ⅱ）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC 上是否存有一点M ,使直线FM 与直线PA 所成的角为60？若存有，求出线段PM 的长；若不存有，请说明理由.（17）（本小题满分13分）为提升学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30 名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级实行了统计，得到如下数据表：（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ；（Ⅲ）从这30名学生中，随机选择2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数()mx f x x =++211（m ≠0），2()e ()axg x x a =∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当m >0时，若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ，且12FB FB a ⋅=-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围．（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,n x x x （2n ≥）满足||1(1,2,3,,)i x i n ≤=，记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑．（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值；（Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值；（Ⅲ）求12(,,,)n S x x x 的最小值．（注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.）北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.５（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为22()2cossin sin cos 2222A A A Af A =+- sin cos )4A A A π=-=-.因为A 为三角形的内角，所以0A <<π，所以444A ππ3π-<-<. 所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A . ………6分（Ⅱ）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又因为444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，所以4A π=．又因为12C 5π=，所以3B π=．由正弦定理sin sin a b A B =得，sinsin 33sin sin 4a Bb A π===π． …………13分（16）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点，所以FGPE .又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，所以FG平面PED . …………4分（Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥. 又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥.如图，建立空间直角坐标系，因为22AD PD EA ===,所以D ()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E ．…………5分因为F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，所以F ()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1). 所以1(1,0,)2GF =-，1(2,0,)2GH =-.设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则1100GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，再令11y =，得1(0,1,0)=n .(2,2,2)PB =-,(0,2,2)PC =-.设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则220PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n .所以12cos ,n n =1212⋅⋅n n n n=2. 所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为4π. …………9分（Ⅲ）假设在线段PC 上存有一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60. 依题意可设PM PC λ=,其中01λ≤≤. 由(0,2,2)PC =-,则(0,2,2)PM λλ=-.又因为FM FP PM =+,(1,1,1)FP =--，所以(1,21,12)FM λλ=---. 因为直线FM 与直线PA 所成角为60，(2,0,2)PA =-，所以cos ,FM PA =12，即12=58λ=. 所以55(0,,)44PM =-，524PM =. 所以在线段PC 上存有一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60，此时4PM =. ………………………………………14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“A 或B ”的频率为461013030303+==．从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“A 或B ”的概率约为13．……………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）由已知得，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．所以0033128(0)()()3327P X C ==⋅=；112312124(1)()()33279P X C ==⋅==；22131262(2)()()33279P X C ==⋅==；3303121(3)()()3327P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为所以8120123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………9分（Ⅲ）设事件M ：从这30名学生中，随机选择2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选择2人，记其比赛成绩分别为,m n ．显然基本事件的总数为230C ．不妨设m n >，当90m =时，60n =或40或30，其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++；当70m =时，n =40或30，其基本事件数为111673()C C C ⋅+；当60m =时，30n =，其基本事件数为11103C C ⋅；所以11111111141073673103230()()34()87C C C C C C C C C P M C ⋅+++⋅++⋅==．所以从这30名学生中，随机选择2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为3487． ……………13分（18）（本小题满分1 3分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()m x m x x f x x x --+'==++2222211111.…………1分 ①当m >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1. …………3分②当m <0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞-1，(,)+∞1，单调递减区间是(,)-11.……………5分（Ⅱ）依题意，“当m >0时，对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “当m >0 时，对于任意[0,2]x ∈， min max ()()f x g x ≥成立”.当m >0时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =. 所以应满足max ()1g x ≤. ……………………………………………………………6分因为2()e axg x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=. ……………7分 ①当0a =时，函数2()g x x =，[0,2]x ∀∈，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤，故0a =不成立. ……………8分 ②当0a ≠时，令()0g x '=得，10x =，22x a=-. （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e ag x g ==.由24e1a≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-. ……………10分（ⅱ）当202a <-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224()()eg x g a a =-=.由2241e a ≤得，2e a ≤-，所以1a <-. ……………11分（ⅲ）当20a-<，即0a >时,显然在[0,2]上()0g x '≥，函数()g x 在[0,2]上单调递增，且2max ()(2)4e ag x g ==.显然2max ()4e 1ag x =≤不成立，故0a >不成立. ……………12分综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-. ……………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-.又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………4分（Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. …………6分所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k-++. ……………7分所以MN ===2212(1)43k k +=+. ……………9分直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++，由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP = …………11分所以224312(1)43DP k k MN k +==++= ……………12分又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4. ………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-． (1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ……………3分（Ⅱ）设123(,,)S S x x x =．当3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．若固定23,x x ，仅让1x 变动，此时12132323123()S x x x x x x x x x x x =++=++，所以2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-．同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们能够看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++ 212313()22x x x =++-．因为123||1x x x ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-时，1S =-．所以min 1S =-． ……………8分（Ⅲ）设121(,,,)n i j i j n S S x x x x x ≤<≤==∑ 121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++. 固定23,,,n x x x ，仅让1x 变动，此时2312321()()n n n n S x x x x x x x x x x -=+++⋅+++++，所以2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-．2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---．以此类推，我们能够看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的12,,,n x x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k n S S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,,k n =）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++ 2121()22n n x x x =+++-． ①当n 为偶数时，2n S ≥-，若取1221n x x x ====，12221n nn x x x ++====-，则2n S =-，所以min 2n S =-． ②当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥，所以1(1)2S n ≥--，若取12121n x x x -====，1112221n n n x x x --++====-，则1(1)2S n =--，所以min 1(1)2S n =--． …………………………13分。