考前仿真测试1

考前仿真测试一(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·湖北高三模拟)复数i 32i －1(i 为虚数单位)的虚部是( )A.15i B.15 C ．－15iD ．－15解析：i 32i －1＝－i 2i －1＝i 1－2i ＝i (1＋2i )5＝－2＋i 5，∴其虚部为15.答案：B2．(2014·潍坊二模)设集合A ＝{x ||2x －1|≤3}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．(1,2]D ．[1,2)解析：由|2x －1|≤3得－3≤2x －1≤3，－1≤x ≤2，由x －1>0，得x >1，∴A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x >1}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：C3．(2014·湖南长沙市高三模拟)某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：设该班的学生人数为n ，由题意得15n ＝20(0.005＋0.010)，得n ＝50.答案：B4．(2014·陕西西工大附中高三模拟)设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析：∵f ′(x )＝2－1x 2，当x <－22时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－22上为增函数，当－22<x <0时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－22，0上为减函数，∴当x ＝－22时，f (x )取得最大值．答案：A5．(2014·重庆高三压轴卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫45，－35 B.⎝⎛⎭⎫35，－45 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：∵AB →＝(3，－4)，|AB →|＝32＋(－4)2＝5，与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：B6．(2014·江西二模)执行如下图所示的程序框图．若n ＝4，则输出S 的值是( )A ．－23B ．－5C ．9D ．11解析：第一次循环：S ＝1＋(－2)1＝－1，i ＝2； 第二次循环：S ＝－1＋(－2)2＝3，i ＝3； 第三次循环：S ＝3＋(－2)3＝－5，i ＝4；第四次循环：S ＝－5＋(－2)4＝11，i ＝5，此时跳出循环 故输出的S 的值为11.答案：D7．(2014·重庆高三压轴卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x (x ≤1)，1－log 2x (x >1)，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由f (x )≤2得⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ≤2，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧1－log 2x ≤2，x >1，得0≤x ≤1或x >1，综上得不等式的解集为[0，＋∞)． 答案：C8．(2014·山东潍坊高三模拟)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析：设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝a 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋b 2＝a 2，(3－a )2＋b 2＝a 2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝±3.∴所求的圆的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4. 答案：D9．(2014·北京西城高三二模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( )A.2 B ．0 C ．1D. 3解析：由图可知，A ＝2，34T ＝1112π－π6＝34π，∴T ＝π，T ＝2πω，∴ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.答案：D10．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．2＋1＋52πB ．2＋1＋252πC ．2＋(1＋5)πD ．2＋2＋52π解析：由三视图可知该几何体是底面朝上的圆锥的一半，其中圆锥的底面半径为1，高为2，∴其母线长l ＝22＋12＝5，∴其表面积S 表＝12×2×2＋12π×12＋12π×1×5＝2＋π2＋5π2. 答案：A11．(2014·山东菏泽高三二模)已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且与双曲线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为32，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．4 C ．3D ．2解析：∵y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，由题意得c ＝1，将x ＝－1代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝1－a 2a 2·b 2，∴|AB |＝2|y |＝2ba1－a 2＝2b 2a ，∴S △AOB ＝12×2b 2a ×1＝32，∴2b 2＝3a ，即2(1－a 2)＝3a ，得a ＝12或a ＝－2(舍)，∴e ＝c a ＝112＝2.答案：D12．(2014·陕西西工大附中高三模拟)下列三个命题：①在区间[0,1]内任取两个实数x ，y ，则事件“x 2＋y 2>1成立”的概率是1－π4；②函数f (x )关于(3,0)点对称，满足f (6＋x )＝f (6－x )，且当x ∈[0,3]时函数为增函数，则f (x )在[6,9]上为减函数；③满足A ＝30°，BC ＝1，AB ＝3的△ABC 有两解． 其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0解：对于①，∵(x ，y )满足的平面区域如图中的矩形，其中满足x 2＋y 2>1的(x ，y )如图中的阴影部分，∴其概率为P ＝S 阴S 矩＝1－π41＝1－π4，故①正确；对于②∵f (x )关于(3,0)对称，且f (x )在[0,3]上为增函数，∴f (x )在[3,6]上为增函数，又f (x )满足f (6＋x )＝f (6－x )，∴f (x )关于x ＝6对称，∴f (x )在[6,9]上为减函数，故②正确；对于③由正弦定理得AB sin C ＝BCsin A，∴sin C ＝32，又AB >BC ，∴C ＝60°或C ＝120°，∴△ABC 有两解，故③正确．答案：C第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2014·湖南长沙市高三模拟)已知{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 达到最大值的n 等于________．解析：∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 7＝2a 4＝10，∴a 4＝5， ∴d ＝a 4－a 3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝13－2n .∴S n ＝(11＋13－2n )n 2＝12n －n 2＝－(n －6)2＋36，∴当n ＝6时S n 取得最大值．答案：614．(理)(2014·淮南市高三二模)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ·⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．解析：由题意得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1. 又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项T r ＋1＝ (－1)r C r 5(2x )5－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝(－1)r ·25－r C r 5x 5－2r ， ∴该展开式中的常数项为(－1)325－3C 35＋(－1)225－2C 25＝－40＋80＝40.答案：40(文)(2014·陕西压轴卷)将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第8行从左向右的第1个数为________．解析：该三角形数阵前7行共有(1＋7)×72＝28个数，即第7行最后一个数为28，∴第8行从左向右的第1个数为29.答案：2915．(2014·北京西城区高三二模题改编)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －8≤0所表示的平面区域是α，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤10所表示的平面区域是β，从区域α中随机取一点P (x ，y )，则P 为区域β内的点的概率是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －8≤0表示的平面区域α是如图所示的三角形，其面积为S ＝12×8×8＝32.其中满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤10，表示的平面区域如图中的矩形，从区域α中随机取一点P ，则点P 在区域P 内的概率P ＝S 阴S ＝(4＋8)×4232＝2432＝34.答案：3416．(2014·福建四地六校高三模拟)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”， 其结果为________．解析：∵1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)，…n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)]，∴1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．答案：14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(12分)(2014·东北三省高三模拟)在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，且sin B ＋sin(A －C )＝2sin2C .(1)求内角B 的余弦值； (2)若b ＝3，求△ABC 的面积． 解：(1)sin B ＋sin(A －C )＝2sin2C ， ∴sin(A ＋C )＋sin(A －C )＝4sin C cos C ， sin A ＝2sin C ，a ＝2c . 又因为b 2＝ac ＝2c 2， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34.(2)∵b ＝3，∴a ＝6，c ＝32＝62. 又因为sin B ＝1－cos 2B ＝74， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝387.18．(12分)(文)(2014·江西二模)某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗？”的幸福指数问卷调查，根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值(百分制)．现从收到的调查表中随机抽取20份进行统计，得到下图所示的频率分布表：(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；(2)该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加“幸福愿望”的座谈会，在题中抽样统计的这20个人中，已知幸福指数评分值在区间(80,100]的5人中有2个人被邀请参加座谈，求其中幸福指数评分值在区间(80,90]的仅有1人被邀请的概率．解：(1)频率分布表：频率分布直方图：(2)记幸福指数评分值在(80,90]的3人分别是A 1，A 2，A 3，(90,100]的2人分别是B 1，B 2，则全部基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B 1，B 2)共10个，其中幸福指数评分值在(80,90]区间有1人被邀请的基本事件有6个．故幸福指数评分值在(80,90]区间仅有1人被邀请的概率P ＝610＝35.(12分)(理)(2014·天津市红桥区高三二模)某工厂生产A ，B 两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种玩具各100件进行检测，检测结果统计如下：(2)生产一件玩具A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件玩具B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，①记X 为生产1件玩具A 和1件玩具B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件玩具B 所获得的利润不少于140元的概率．解：(1)玩具A 为正品的概率约为40＋32＋8100＝45.玩具B 为正品的概率约为40＋29＋6100＝34.(2)①随机变量X 的所有取值为90,45,30，－15. P (X ＝90)＝45×34＝35；P (X ＝45)＝15×34＝320；P (X ＝30)＝45×14＝15；P (X ＝－15)＝15×14＝120.所以，随机变量X 的分布列为：E (X )＝90×35＋45×320＋30×15＋(－15)×120＝66.②设生产的5件玩具B 中正品有n 件，则次品有5－n 件． 依题意，得50n －10(5－n )≥140，解得n ≥196.所以n ＝4，或n ＝5.设“生产5件玩具B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则P (A )＝C 45⎝⎛⎭⎫344×14＋⎝⎛⎭⎫345＝81128.19．(12分)(文)(2014·重庆高考压轴卷)已知在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为直角梯形，且满足AD ⊥AB ，BC ∥AD ，AD ＝16，AB ＝8，BB 1＝8，E ，F 分别是线段A 1A ，BC 上的点．(1)若A 1E ＝5，BF ＝10，求证：BE ∥平面A 1FD ； (2)若BD ⊥A 1F ，求三棱锥A 1－AB 1F 的体积． 解：(1)证明：过E 作EG ∥AD 交A 1D 于G ，连接GF .A 1E A 1A ＝58，则EG AD ＝58，∴EG ＝10＝BF . ∴BF ∥AD ，EG ∥AD ，∴BF ∥EG . 四边形BFGE 是平行四边形，∴BE ∥FG ，又FG ⊂平面A 1FD ，BE ⊄平面A 1FD ， ∴BE ∥平面A 1FD .(2)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD .由已知，BD ⊥A 1F ，A 1F ∩A 1A ＝A 1， ∴BD ⊥平面A 1AF ，∴ BD ⊥AF .∵梯形ABCD 为直角梯形，且满足AD ⊥AB ，BC ∥AD ， ∴在Rt △BAD 中，tan ∠ABD ＝ADAB ＝2，在Rt △ABF 中，tan ∠BAF ＝FB AB ＝BF 8. ∵BD ⊥AF ，∴∠ABD ＋∠BAF ＝π2，∴BF 8＝12，BF ＝4.∵在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，∴平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，又平面ABCD ∩平面A 1ABB 1＝AB ，∠ABF ＝90°，∴FB ⊥平面A 1ABB 1，即BF 为三棱锥F －A 1B 1A 的高，∠AA 1B 1＝90°，AA 1＝BB 1＝8，A 1B 1＝AB ＝8.∴S △AA 1B 1＝32，∴VA 1－AB 1F ＝VF －A 1B 1A ＝13S △AA 1B 1·BF ＝1283.(12分)(理)(2014·上海市高三模拟)如图，在直三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC .M ，N 分别是AC 和BB 1的中点．(1)求二面角B 1－A 1C －C 1的大小；(2)证明：在AB 上存在一个点Q ，使得平面QMN ⊥平面A 1B 1C ，并求出BQ 的长度．解：解法一(向量法)： 如图建立空间直角坐标系，(1)A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，∴A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→＝(－2,0,0)，CC 1→＝(0,0,2)，设平面A 1CB 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CC 1的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C →·n ＝0A 1B 1→·n ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋2y 1－2z 1＝0－2x 1＝0⇒n ＝(0,1,1)． ⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C →·m ＝0CC 1→·m ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2－2z 2＝0－2z 2＝0⇒m ＝(1,1,0)， 设二面角B 1－A 1C －C 1为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪n·m |n ||m |＝12，∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为60°.(2)证明：设Q (t,0,0)，∵M (1,1,0)，N (0,0,1)，∴NQ →＝(t,0，－1)，NM →＝(1,1，－1)，设平面QMN 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ NQ →·u ＝0NM →·u ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧tx －z ＝0x ＋y －z ＝0⇒u ＝(1，t －1，t )． 由(1)可知平面A 1CB 1的法向量为n ＝(0,1,1)，∵平面QMN ⊥平面A 1B 1C ，∴u ·n ＝0，即2t －1＝0，t ＝12. 此时BQ ＝12. 解法二：(1)取A 1C 1中点G ，连接B 1G ，∵A 1B 1＝B 1C 1，∴B 1G ⊥A 1C 1.又∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，B 1G ⊂平面A 1B 1C 1，，∴CC 1⊥B 1G .A 1C 1∩CC 1＝C 1，且A 1C 1和CC 1均在平面A 1C 1C 内，∴B 1G ⊥平面A 1C 1C ，∴B 1G ⊥A 1C .过G 作GH ⊥A 1C 于H ，连接B 1H ，∴A 1C ⊥平面B 1GH ∴A 1C ⊥B 1H ，∴∠B 1HG 为二面角B 1－A 1C －C 1的平面角，∵A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，∴B 1G ＝ 2.∵△A 1GH ∽△A 1CC 1，A 1G ＝2，CC 1＝2，A 1C ＝23，∴GH CC 1＝A 1G A 1C ⇒GH 2＝223⇒GH ＝23. ∴tan ∠B 1HG ＝B 1G GH＝ 3. ∴∠B 1HG ＝60°(2)同解法一．20．(12分)(2014·兰州高三模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(－1,0)、F2(1,0)，直线l ：x ＝a 2交x 轴于点A ，且AF 1→＝2AF 2→.(1)试求椭圆的方程；(2)过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点(如图所示)试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．解：(1)由题意，|F 1F 2→|＝2c ＝2，∴c ＝1，又A (a 2,0)，∵AF 1→＝2AF 2→，∴F 2为AF 1的中点，∴a 2＝3，b 2＝2，即椭圆方程为x 23＋y 22＝1. (2)当直线DE 与x 轴垂直时，|DE |＝2b 2a ＝43，此时|MN |＝2a ＝23，四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN |2＝4，同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN |2＝4，当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶y ＝k (x ＋1)，代入消去y 得：(2＋3k 2)x 2＋6k 2x＋(3k 2－6)＝0.设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43·k 2＋13k 2＋2， ∴|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝43(k 2＋1)2＋3k 2， 同理|MN |＝43⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1k 2＋12＋3⎝⎛⎭⎫－1k 2＝43⎝⎛⎭⎫1k 2＋12＋3k 2. ∴四边形的面积S ＝|DE |·|MN |2＝12·43(k 2＋1)2＋3k 2·43⎝⎛⎭⎫1k 2＋12＋3k 2＝24⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋26⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋13. 令u ＝k 2＋1k 2，得S ＝24(2＋u )13＋6u ＝4－413＋6u， ∵u ＝k 2＋1k 2≥2，当k ＝±1时，u ＝2，S ＝9625， 且S 是以u 为自变量的增函数，所以9625≤S <4. 综上可知，9625≤S ≤4.故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625. 21．(12分)(文)(2014·湖南省岳阳市高三模拟)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋bx (a >0)，f ′(1)＝0.(1)试用含a 的式子表示b ，并求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上有两个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax ＋b ， ∴f ′(1)＝1－a ＋b ＝0⇒b ＝a －1，∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－(ax ＋1)(x －1)x. 由f ′(x )>0及x >0，a >0得0<x <1，由f ′(x )<0及x >0，a >0得x >1，∴f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由(1)知f (x )在⎝⎛⎦⎤12，1上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，∵f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上有两个零点， ∴f (x )max ＝f (1)＝12a －1>0⇒a >2. 又f (e)＝1－12a e 2＋(a －1)e ＝－12a (e －1)2＋1＋12a －e<－12a ＋1＋12a －e<0， ∴f (x )在(1，＋∞)上有且仅有一个零点．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上有两个零点的充要条件是f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上有一个零点，即f ⎝⎛⎭⎫12<0，解得a <43＋83ln 2. 综上知所求a 的范围为⎝⎛⎭⎫2，43＋83ln 2. (12分)(理)(2014·重庆高考压轴卷)设函数f (x )＝(x －a )e x ＋(a －1)x ＋a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)设g (x )是f (x )的导函数，证明：当a >2时，在(0，＋∞)上恰有一个x 0使得g (x 0)＝0. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x －1)e x ＋1，f ′(x )＝x e x .当f ′(x )<0时，x <0；当f ′(x )>0时，x >0所以函数f (x )的减区间是(－∞，0)；增区间是(0，＋∞)．(2)证明：g (x )＝f ′(x )＝e x (x －a ＋1)＋(a －1)，g ′(x )＝e x (x －a ＋2)．当g ′(x )<0时，x <a －2；当g ′(x )>0时，x >a －2.因为a >2，所以函数g (x )在(0，a －2)上递减；在(a －2，＋∞)上递增，又因为g (0)＝0，g (a )＝e a ＋a －1>0，所以在(0，＋∞)上恰有一个x 0使得g (x 0)＝0.请考生在第22,23,24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(10分)(选修4－1：几何证明选讲)(2014·吉林高三模拟)如图，D 、E 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F 、G 两点，若CF ∥AB .证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GDB .证明：(1)∵CF ∥AB ，DF ∥BC ⇒CF 綊BD 綊AD ⇒CD ＝AF ，CF ∥AB ⇒AF ＝BC ⇔BC ＝CD .(2)∵BC ∥GF ⇒∠GDB ＝∠BGD ＝∠DBC ＝∠BDC ⇒△BCD ∽△GDB .23．(10分)(选修4－4：坐标系与参数方程)(2014·甘肃高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝sin φ，(1<a <6，φ为参数)．在以O 为原点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝6cos θ，射线为l 为θ＝α，l 与C 1的交点为A ，l 与C 2除极点外的一个交点为B .当α＝0时，|AB |＝4.(1)求C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若过点P (1,0)，且斜率为3的直线m 与曲线C 1交于D 、E 两点，求|PD |与|PE |差的绝对值．解：(1)由ρ＝6cos φ得ρ2＝6ρcos φ，所以C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2－6x ＝0，由已知得C 1的直角坐标方程是x 2a 2＋y 2＝1. 当α＝0时射线与曲线C 1，C 2交点的直角坐标为(a,0)，(6,0)．∵|AB |＝4，∴a ＝2.∴C 1的直角坐标方程是x 24＋y 2＝1. ①(2)m 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)， ② 将②带入①得13t 2＋4t －12＝0，设D ，E 点的参数是t 1，t 2，又Δ>0则t 1＋t 2＝－413，t 1t 2＝－1213<0， ∴||PD |－|PE ||＝|t 1＋t 2|＝413. 24．(10分)(选修4－5：不等式选讲)(2014·保定一中高三模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解：(1)由|x －a |≤m 得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3，为所求． (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，所以f (x )＋t ≥f (x ＋t )，即|x |－|x －2|≤t ，① 令h (x )＝|x |－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ≥22x －2，0<x <2－2，x ≤0，所以，当t ≥2时，不等式①恒成立，解集为R ，当0≤t <2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤t 2＋1.。