高中数学空间立体几何讲义

第1讲 空间几何体

高考《考试大纲》的要求：

① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.

③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲：

例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ）

A ．

6π B ．3

π

C ．32π

D ．65π

例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )

A ．π2

B ．π2

3

C ．π332

D ．π2

1

例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角

是 .

例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.

（1）求V (x )的表达式；

（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？

（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。

（二）基础训练：

1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．②④

2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0

75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ）

（A ）3R (B) 6

R π

(C)

56

R π

(D) 23R π

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

C

3

．若一个底面边长为

2

的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．

4. 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两点的球面距离为___________，球心到平面ABC 的距离为________ 5．如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，

侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.

（三）巩固练习：

1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（ ）

（A ）π3 （B ）π33 （C ）π6 （D ）π9

2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

A ．16π

B ．20π

C ．24π

D ．32π

3.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) A.34 B.45 C.35 D.－35 4．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2

π

，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）

（A ）

31 （B ）3

3 （C ）32 （D

）36 5.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为（

）

A ．

3 B ．13π C

．2

3

π D ．3

6.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于________

7．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

O

8． 如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且 CB C 1∠=BCD CD C ∠=∠=1。 （I ）证明：C C 1⊥BD ； （II ）当

1

CC CD

的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明。

第2讲 空间直线和平面

高考《考试大纲》的要求：

①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理：

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明：

◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. （一）例题选讲：

例1．如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11AB C 、B 的中点，则以下结论中不成立的是( )

A ．1EF B

B 与垂直 B. EF BD 与垂直

C. EF 与CD 异面

D. EF 11与A C 异面

例2.如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角

分别为π4和π

6，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，

则AB ∶A ′B ′＝（ ）

（A ）2∶1 （B ）3∶1 （C ）3∶2 （D ）4∶3

例3.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2

，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则

α β

A

B A ′

B ′