立体几何精品讲义

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(完整word版)高中数学立体几何讲义(一)

平面与空间直线(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论1、空间图形是由点、线、面组成的。

点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法） AaA a ∈ 点A 在直线a 上。

AaA a ∉ 点A 不在直线a 上。

AαA α∈点A 在平面α内。

AαA α∉ 点A 不在平面α内。

b a Aa b A = 直线a 、b 交于A 点。

aαaα直线a 在平面α内。

aαa α=∅ 直线a 与平面α无公共点。

aAαa A α= 直线a 与平面α交于点A 。

l αβ= 平面α、β相交于直线l 。

α⊄a αa ）表示a α=∅或a A α=。

2、平面的基本性质公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A ABB ααα∈⎫⇒⎬∈⎭。

如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。

BA α公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。

例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线．解：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．如图，已知平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）．证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点，设AB CD ＝M ．又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈α β．又∵α β＝l ，∴M ∈l ，即AB ，CD ，l 共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

立体几何专题讲义

立体几何专题讲义立体几何专题讲义一、考点分析基本图形1.棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

斜棱柱底面是正多边形的棱柱正棱柱★直棱柱其他棱柱2.棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥3.球——球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；r=R2-d2（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切。

平行垂直基础知识网络★★★平行与垂直关系可互相转化1.平行关系a⊥α,b⊥α⇒a//ba⊥α,a//b⇒b⊥αa⊥α,a⊥β⇒α//βα//β,a⊥α⇒a⊥βα//β,γ⊥α⇒γ⊥β2.垂直关系线线平行判定线线垂直性质线线垂直判定面面垂直定义面面垂直线面平行面面平行线面垂直异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★1.求异面直线所成的角θ∈(0,90°):解题步骤：找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。

常用中位线平移法证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。

常需要证明线线平行；计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2.求直线与平面所成的角θ∈[0,90°]:关键找“两足”：垂足与斜足二、典型例题考点一：三视图1.一个空间几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为______。

2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是______。

3.一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为______。

4.若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是______。

5.如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a=______。

立体几何讲义

立体几何总复习一、几何平面的基本性质1α=∅ A α=b A =l αβ= a α=∅（α）或a A α=公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．如图示：公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l公理3 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l α⊂ 推论2 推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂推论3 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂动手练习：1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 2．下列推断中，错误的是（）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,C ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A,B,C 不共线βα,⇒B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,, D ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,3．两个平面把空间最多分成___ 部分，三个平面把空间最多分成__部分． 4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面（）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）（3）两条直线可以确定一个平面（）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）（5）两条相交直线可以确定一个平面（）（6）三条平行直线可以确定三个平面（）（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（） 5．看图填空（1）AC ∩BD = （4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD = （2）平面AB 1∩平面A 1C 1= （5）平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C = （3）平面A 1C 1CA ∩平面AC = （6）A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是（）A 三角形B 菱形C 梯形D 四边相等的四边形（2）空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（）A 1个B 4个C 6个D 8个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要1二、立体几何线面关系（一）、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明（二）、判定线面平行的方法6、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点7、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行8、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面9、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面10、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面（三）、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行（四）、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面（五）、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面（六）、判定两线垂直的方法1、定义：成︒90角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直（七）、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面（八）、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为︒902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面（九）、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是：︒≤≤︒900θ []︒︒90,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,04、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒≤<︒1800θ (]︒︒180,0动手练习1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）（2）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB ⊥CD （）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º （）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（） 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60º角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D 3 ,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，EA FB CMN D（1）求证四边形EFGH（2）若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形；（3）若BD =2，AC =6，求22HF EG +；（4）若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形EFGH 的面积；（5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离.4 ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，EF = 求异面直线,AD BC5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角; (2)AC 与BD 1所成角.6．在长方体D C B A ABCD '''-中，已知AB=a ，BC=b ，A A '=c(a ＞b)，求异面直线B D '与AC7．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC （1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若4MN BC ==，PA = 求异面直线PA 与MN8．如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN =求证：//MN 平面CBE三、空间图形一、面积：1、ch s =直棱柱侧 ()为直截面周长斜棱柱侧``c l c s = rh cl s π2==圆柱侧 2、中截面面积：2`0ss s += 3、`21ch s =正棱锥侧 rl cl s π==21圆锥侧 4、()``21h c c s +=正棱台侧()()l r r l c c s ``21+=+=π圆台 5、预备定理ph s π2=锥球内接圆台，圆柱，圆①24r s π=球 ②rh s π2=球带 ③)(222h r rh s +==ππ球冠 6、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方7、圆锥轴截面的顶角α和侧面展开图的圆心角θ的关系为：2sin 22αππθ⋅=⋅=l r 8、圆台上、下底面半径为r`、r ，母线为l,圆台侧面展开后所得的扇环圆心角为θ，则：lc c l r r l r r `2`360`-=⋅-=︒⋅-=πθ 9、圆锥中，过两母线的截面面积为s当轴截面顶角(]︒︒∈90,0α时，αsin 212l s s ==轴截面截面最大当轴截面顶角[)︒︒∈180,90α时，轴截面截面最大s l l s ≠=︒=222190sin 21 10、球面距离θ⋅=R l （θ用弧度表示,Rl =θ）二、体积 1、l s sh V `==棱柱(s`为直截面面积) sh h r V =⋅=2π圆柱2、sh V 31=棱锥sh h r V 31312=⋅=π圆锥3、`)`(31s s s s h V +⋅+=棱台 =++=)``(3122r rr r h V π圆台`)`(31s s s s h +⋅+ 4、334R V π=球5、)3(31)3(61222h R h h r h V -=+=ππ球缺6、)(31体适用于有内切球的多面内切球半径表体r S V ⋅=1 n 面体共有8条棱，5个顶点，求n 2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是75．①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为．③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍； 13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是，内切球的体积是．球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是1417．正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．D'C'B'A'D CBAH OA'D'C'B'DCBA判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；（2）正四面体是四棱锥；（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥；（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．2 ABCD A B C D ''''-中，,3A AB A AD BAD π''∠=∠∠=，,AB AD a AA b '===，求对角面BB D D ''3．已知：正四棱柱ABCD A B C D ''''-的底面边长为2 （1）求二面角B AC B '--的大小；（2）求点B 到平面AB C '4．棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别为棱,AB BC 上的动点，且(0)AE BF x x a ==≤≤，（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当BEF ∆的面积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．5．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -的棱'BB 、''C B 的中点．求异面直线MN 与CBOCBA A GEP D CBA'CD 所成的角．6．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC -的体积．7．斜三棱柱的底面的边长是4cm 的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱1AA 与底面相邻两边都成060角. (1)求证:侧面11CC B B 是矩形; (2)求这个棱柱的侧面积; (3)求棱柱的体积.。

立体几何讲义

立体几何1、平面的表示方法：2、平面的基本性质。

（三个公理和三个推论）公理1：判断直线落在平面的依据；公理2：两个平面相交，有且只有一条交线；文字语言、图形语言和集合语言，公理3确定平面的方法。

（不在一条直线上的三点，两条相交直线，两条平行直线，一直线和直线外一点）平面几何结论在空间仍然成立：（1）平行的传递性；（2）等角定理；（3）所研究对象在同一个平面上。

练习：（1）长方体1111ABCD A BC D -中，15,12,13AA AB AD ===，求： ①、求点C 和直线11A B 的距离；②、求直线CD 和平面11AA B B 的距离； ③、求直线1D D 和11B C 的距离。

（2）正方体1111ABCD A BC D -中，E 是11A D 的中点 ①、求直线1AC 和平面ABCD 大小； ②、直线EB 和平面ABCD 的大小（3）已知平面,,αβγ两两相交，它们的交线分别为,,,a b c 试问,,a b c 的位置关系（4）已知边长为a 的正方形ABCD 外一点,,,P PA ABCD PA a ⊥=求二面角B PA C --和P BC A --的大小。

3、几何体的直观图：（斜二侧画法的两条重要性质---平行直线的斜二侧图仍是平行直线，线段及其线段上的定比分点的斜二侧图保持原比例不变。

长度规定在,z y 轴方向上的线段的长度保持不变，而x 轴上的线段长度是真实长度的一半。

4、长方体上过已知三点的截面（如调研卷文科题：正方体1111ABCD A BC D -，,,P Q R 分别是111,,BC BB A D 的中点，则过,,P Q R 的截面形状（正六边形）用一个平面去截正方体，截面的形状。

5、直线与平面的位置关系：（1）等角定理（如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么它们所成的锐角（或直角）相等；（2）文科用平移来求异面直线所成的角，理科用空间向量求异面直线所成的角，注意角的范围0,2π⎛⎤⎥⎝⎦（2）用反证法证明两条直线是异面直线。

立体几何部分讲义教学

立体几何考点：1、直观图，三视图。

2、几何体面积，体积计算。

3、空间内平行，垂直关系的证明。

4、空间向量法在几何体中求距离，求夹角以及证明中的应用。

一、直观图（斜二测画法），三视图技巧：对于柱体，锥体，台体，球体的三视图以及切割图要熟练掌握。

例1：已知某个集合体的三视图如图所示，求几何体的体积例2：已知正三角形ABC 的边长为a ，那么三角形平面直观图的面积为（）应用：一个三角形在其直观图中对应一个边长为1 的正三角形，求原三角形的面积为（）二、几何体表面积和体积棱柱的表面积：侧面积的展开面是矩形。

圆柱的表面积：22()S S S r r l π=+=+侧底圆锥的表面积：()S S S r r l π=+=+侧底球 24S R π= 343V R π=例3：已知球的半径为R ，在球内做一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？并求出最大值例4：已知一格三棱锥的三视图如下所示，其中俯视图是顶角为120。

的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的体积为______________例5：已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱。

1.求圆柱的侧面积2.当x 为何值时，圆柱的侧面积最大。

三、空间几何体平行和垂直关系线面平行判定：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则线面平行。

性质：交线与平面外的直线平行（线线平行）面面平行判定：平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行。

性质：交线平行（线线平行）线面垂直判定：直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直。

性质：线线平行，线面平行（线线平行，线面平行）面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线。

性质：一平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（线面垂直）四、空间内所成的角和距离，空间向量法。

例6：正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AD AA 的中点。

【精】高中数学：立体几何优质讲义.docx

高中数学：立体几何优质讲义姓名:指导：日期：立体几何证平行（一）甄蟻平有＜■图丄E）--------------- K如果两条蛾切平行于第三条最，那么这两条蛾相互平行.2.如果一条蛛平行于另一个平面，那么这条蟻就平行于这这条地的平面与已知平而的交蟻. 图丄】3 .血果商个平面平行，那玄另一个平血虹诳两个平血的交妹互制平行.4如果两喪直蟻都制另一•个平而垂直.那么这两条直蟻平有.5一在同T面内，如果两条直或垂直于同一条直墟，那么这两条直慟'成.，程茜师中学亞建化L.如果平而外一条直絞平行于平面内的一条直銭，那衣宜城与平而干径 :!.如果两个平部平行，一个平薊内的任何一条直域平行于另一个平面. 3 .州果平血*了平而如一条如果干时垂直于另--条直邑, 4 一如果平面与平面外一条直理同时垂直于另一个平面,I. 如果一个平而内有两果闵全平f li 平有于另一个平而,丄如果两个平面揺平行于第三个平潮，那互这两个平面平有. 3.如果两个平面问畦垂直于同一条面雄，那么这两个平ffii 平行.证塔直大部分毎是通过隼直证垂直:下能ii 史旳时榛.平移到另i 一个位置证垂直. （一）或蟻垂西如果一案直蛾垂直于一个平St 那佥谊条宜戒垂直于这个平ifi 内的任何一条直銭一（二）蜷海垂苴【一如果一条直蜷垂直于平而内两条招交的部，那么这条直坡就垂直于两条相交直域所在的平面. 丄如果睥个平而常有，在其中一个平血內，垂森于公芯検的il 注垂立于yi-t-Tni!. t 三）而而垂直（■囲At ）【.辻一个平而垂洼旳平而垂辻于巳辻平而. 土二部南为直请的两个平面垂直.〈理科）（四〉不能祝匿征垂直的情况L 把已知蟻成ffii 平秽到容駐证照垂直的位置 2.询和已知蟻或面平行的蟻凍海证垂直一那么场面平有. 图卩二.求相疔，求距离，成求体根〈一）求術》〈理我丄技线爾.絞血曲•和二而跆歩L建系，崖可能il.薮将计算的点落在抽我和軸而L坐株系可以任意拆向*凡是角度渉成的面都要至少已如（SU出）3个点，肅度演及的絞都要至少巳知《成求出）£个点.歩，标期段坐标，不能表廚的可以持定字毋系数，当盧坐岳中只舍有一个未知字毋时可以直接代入下一歩求解：当点坐标中含有£个以上未知字毋盹需要握据以下三点列式求字母取住.①前量垂成a ijj =>^15 +y L k'i + -^i = u囲向量其蟻，"Jj2n W =虹2.乂 =加.=切崖向0模，何|=巧了「了歩丄表航向量，终点跋起点歩4:朮法曲丽1也（歩I上（如丄"I'""（歩3丄不姉妨X."中一一个字辱为。

高中数学讲义第七章立体几何初步(超级详细)

(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇
分析：证明两条直线异面通常采用反证法。
证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，
所以A、B、C、D四点共面
这与空间四边形ABCD的定义矛盾
所以对角线AC与BD是异面直线
(2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF= AC.
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由题意得： ,
即 ,
所以母线和底面所成的角为
(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，
其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且
在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，
则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，
同理HG//AC,且HG= AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。
3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。
4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。

空间立体几何讲义

第1讲空间几何体高考《考试大纲》的要求：① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲：例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（）A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )A ．π2B ．π23C ．π332D ．π21例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。

（二）基础训练：1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（）（A(B) 6R π(C)56R π(D) 23R π①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥C3．若一个底面边长为2的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为．4. 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两点的球面距离为___________，球心到平面ABC 的距离为________ 5．如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积；（Ⅱ）证明PA ⊥BD.（三）巩固练习：1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）（A ）π3 （B ）π33 （C ）π6 （D ）π92、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π3.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) A.34 B.45 C.35 D.－35 4．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）（A ）31 （B ）33 （C ）32 （D）36 5.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为（）A ．3 B ．13π C．23π D ．36.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于________7．请您设计一个帐篷。

立体几何讲义

一、知识结构1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M 、N 、P 来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A ，B ，C ，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l—点A 在直线l 上；A ∉α—点A 不在平面α内；l ⊂α—直线l 在平面α内；a ⊄α—直线a 不在平面α内；l∩m=A—直线l 与直线m 相交于A 点；α∩l=A—平面α与直线l 交于A 点；α∩β=l —平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.证题方法4.空间线面的位置关系平行—没有公共点共面(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点相交—有一条公共直线(无数个公共点)(3)平面与平面证题方法间接证法直接证法反证法同一法平行—没有公共点5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.6.线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a β，α∩β=b,则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l⊄α，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,b⊄α，b⊥a，则b∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b⊂α)(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.7.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB⊂α.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a⊂α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∉α，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则a⊂β.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则b⊂α.8.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.9.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.10.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.11.直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.12.二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD 是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点C 在棱AB 上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cos α其中S 为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.13.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S·h，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.14.直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.15.平行平面的距离(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.16.异面直线的距离(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。

立体几何初步讲义

第3讲空间点、直线、平面之间的地点关系知识梳理1．平面的基天性质公义1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公义2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公义3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公义2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条订交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间中两直线的地点关系空间两直线的地点关系异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．π②范围：0，2.平行公义和等角定理①平行公义：平行于同一条直线的两条直线相互平行．②等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面、平面与平面的地点关系直线与平面的地点关系有订交、平行、在平面内三种状况．平面与平面的地点关系有平行、订交两种状况．辨析感悟1．对平面基天性质的认识两个不重合的平面只好把空间分红四个部分．(×)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β订交于A点，记作α∩β＝A.(×)(3)(教材练习改编)两两订交的三条直线最多能够确立三个平面．(√)(4)(教材练习改编)假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)2．对空间直线关系的认识(5)已知a，b是异面直线、直线c平行于直线a，那么c与b不行能是平行直线．(√)(6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)[感悟·提高]1．一点提示做有关平面基天性质的判断题时，要抓住重点词，如“有且只有”、“只好”、“最多”等．如(1)中两个不重合的平面还可把空间分红三部分．2．两个防备一是两个不重合的平面只需有一个公共点，那么两个平面必定订交获得的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线仍是不共线，如(4)．3．一个理解异面直线是指不一样在任何一个平面内，没有公共点．不可以错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6).考点一平面的基天性质及其应用【例1】(1)以下四个命题中，正确命题的个数是( )．①不共面的四点中，此中随意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④挨次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是形是()．A．三角形B．四边形C．五边形AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过D．六边形P，Q，R的截面图规律方法(1)公义1是判断一条直线能否在某个平面的依照；公义2及其推论是判断或证明点、线共面的依照；公义3是证明三线共点或三点共线的依照．要能够娴熟用文字语言、符号语言、图形语言来表示公义．(2)画几何体的截面，重点是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确立，作图时充足利用几何体自己供给的面面平行等条件，能够更快地确立交线的地点．【训练1】以下图是正方体和正四周体，________．P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是考点二空间两条直线的地点关系【例2】如图是正四周体的平面睁开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四周体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．规律方法空间中两直线地点关系的判断，主假如异面、平行和垂直的判断，对于异面直线，可采纳直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公义及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，常常利用线面垂直的性质来解决．【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上全部正确答案的序号)．考点三异面直线所成的角【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．规律方法(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是经过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，详细步骤以下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；π④弃取：由异面直线所成角的取值范围是0，2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【训练3】(2014·成都模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为________．1．证明线共点问题，常用的方法是：先证此中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题，一般有以下两种门路：第一由所给条件中的部分线(或点)确立一个平面，而后再证其余线(或点)均在这个平面内；将全部条件分为两部分，而后分别确立平面，再证平面重合．3．异面直线的判断方法判断定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；(2)反证法：证明两线不行能平行、订交或证明两线不行能共面，进而可得两线异面．思想方法7——结构模型判断空间线面的地点关系【典例】(2012·上海卷)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()．A．m与n异面B．m与n订交C．m与n平行D．m与n异面、订交、平行均有可能【自主体验】()．1．(2013·浙江卷)设m，n是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β2．对于不一样的直线m，n和不一样的平面α，β，γ，有以下四个命题：①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β.此中真命题的个数是()．A．1 B．2 C．3D．4基础稳固题组一、选择题1．(2013·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的地点关系是()．A．订交或平行B．订交或异面C．平行或异面D．订交、平行或异面2．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的地点关系是()．A．订交B．异面C．平行D．垂直3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出以下四个命题，此中正确的命题是()．①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过极点A1与正方体其余极点的连线与直线BC1成60°角的条数为()．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题5．假如两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是订交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．此中正确的结论为________(注：把你以为正确的结论的序号都填上)．7．(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四周体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面订交的平面个数为三、解答题________．8.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠11BAD＝∠FAB＝90°，BC=2AD，BE=2FA，G，H分别为FA，FD的中点．证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点能否共面？为何？9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．能力提高题组一、选择题1．(2014·长春一模)一个正方体的睁开图以下图，A、B、C、D为原正方体的极点，则在本来的正方体中()．A．AB∥CD B．AB与CD订交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°2．在正方体ABCD－ABCD中，E，F分别为棱AA，CC1的中点，则在空间中与三条直线A D，EF，CD都1111111订交的直线()．A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条二、填空题3.(2013安·徽卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则以下命题正确的选项是________(写出全部正确命题的编号)．①当0＜CQ＜1时，S为四边形；2②当CQ＝1时，S为等腰梯形；2③当CQ＝3时，S与C11的交点R知足11；4D CR＝3④当34＜CQ＜1时，S为六边形；6⑤当CQ＝1时，S的面积为2.三、解答题4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1C1与B1C所成角的大小；若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．第4讲直线、平面平行的判断与性质知识梳理1．直线与平面平行的判断与性质判断性质定义定理图形条件a∩α＝?a?α，b?α，a∥b a∥αa∥α，a?β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝?a∥b2.面面平行的判断与性质判断性质定义定理图形a?β，b?β，a∩b＝P，aα∥β，α∩γ＝a，β∩γα∥β，a?β条件α∩β＝?∥α，b∥α＝b结论α∥βα∥βa∥b a∥α辨析感悟1．对直线与平面平行的判断与性质的理解(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(4)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．(×)2．对平面与平面平行的判断与性质的理解(5)假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(6)假如两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(7)(教材练习改编)设l为直线，α，β是两个不一样的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.(×)[感悟·提高]三个防备一是推证线面平行时，必定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如(1)、(3)．二是推证面面平行时，必定要说明一个平面内的两条订交直线平行于另一平面，如(5)．三是利用线面平行的性质定理把线面平行转变为线线平行时，一定说明经过已知直线的平面与已知平面订交，则该直线与交线平行，如(2)、(4)．考点一有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】(1)(2013·广东卷)设m，n是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面，以下命题中正确的选项是()．A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，，则m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)设m，n表示不一样直线，α，β表示不一样平面，则以下结论中正确的选项是()．A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，办理方法是数形联合，绘图或联合正方体等有关模型来解题．【训练1】(1)(2014·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的地点关系是()．A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b与α订交或b?α或b∥α给出以下对于互不同样的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.此中真命题的个数为()．A．3 B．2 C．1 D．0考点二线面平行的判断与性质【例2】如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．规律方法判断或证明线面平行的常用方法：利用线面平行的定义，一般用反证法；(1)利用线面平行的判断定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其重点是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的表达；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．【训练2】如图，在四周体A－BCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.考点三面面平行的判断与性质【例3】(2013·陕西卷)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.证明：平面A1BD∥平面CD1B1；求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．规律方法(1)证明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来达成证明；②用判断定理或推论(即“线线平行?面面平行”)，经过线面平行来达成证明；③依据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助“传达性”来达成．面面平行问题常转变为线面平行，而线面平行又可转变为线线平行，需要注意转变思想的应用．【训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD. 1．平行关系的转变方向以下图：2．在解决线面、面面平行的判准时，一般按照从“低维”到“高维”的转变，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其次序恰巧相反，但也要注意，转变的方向老是由题目的详细条件而定，决不行过于“模式化”．答题模板8——怎样作答平行关系证明题【典例】(12分)(2012·山东卷，文)如图1，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.求证：BE＝DE；若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.图1[反省感悟]立体几何解答题解题过程要表达正确、格式要切合要求，每步推理要有理有据，不行跨度太大，免得遗漏得分点．此题易忽略DM?平面EBC，造成步骤不完好而失分．【自主体验】(2013·福建卷改编 )如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，PBC.AB＝6，DC＝3，若M为PA的中点，求证：DM∥平面基础稳固题组一、选择题1．已知直线a，b，c及平面α，β，以下条件中，能使a∥b建立的是()．A．a∥α，b?αB．a∥α，b∥αC．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的地点关系只好是()．A．平行B．平行和异面C．平行和订交D．异面和订交3．(2014·陕西五校一模)已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充足条件是()．A．存在一条直线b，a∥b且b?αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a?β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β4．(2014·汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则以下命题中正确的选项是()．A．若m，n都平行于平面α，则m，n必定不是订交直线B．若m，n都垂直于平面α，则m，n必定是平行直线C．已知α，β相互平行，m，n相互平行，若m∥α，则n∥βD．若m，n在平面α内的射影相互平行，则m，n相互平行5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()．A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形二、填空题6．(2014·南京一模)以下四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③假如两个平行平面和第三个平面订交，那么所得的两条交线平行；④假如两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．此中全部真命题的序号是________．7．(2014·衡阳质检)在正方体AC1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的地点关系为______．8．(2014·金丽衢十二校联考)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不一样直线，有以下三个条件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.假如命题“α∩β＝a，b?γ，且________，则a∥b”为真命题，则能够在横线处填入的条件是________(把全部正确的题号填上)．三、解答题9．(2014·青岛一模)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形， N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M.求证：PD∥平面ANC；(2)求证：M是PC中点．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．求证：E，B，F，D1四点共面；求证：平面A1GH∥平面BED1F.能力提高题组一、选择题1．(2014·蚌埠模拟)设m，n是平面α内的两条不一样直线；l1，l2是平面β内的两条订交直线，则α∥β的一个充足而不用要条件是()．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l22．以下四个正方体图形中，A，B为正方体的两个极点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题3．(2014·陕西师大附中模拟)如图，在长方体ABCD－A B CD中，E，F，G，H分别是棱CC，CD，D D，11111111DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形E FGH及其内部运动，则M知足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.三、解答题4．(2014·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图以下图(此中M，N分别是AF，BC的中点)．求证：MN∥平面CDEF；求多面体A－CDEF的体积．第5讲直线、平面垂直的判断与性质知识梳理1．直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面α内的随意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．判断定理：一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直?线面垂直)．即：a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P?l⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α?a∥b.2．平面与平面垂直定义：两个平面订交，假如它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直．(2)判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a?α，a⊥β?α⊥β.(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a?α，α∩β＝b，ab?a⊥β.3．直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．π线面角θ的范围：θ∈0，2.4．二面角的有关观点二面角：从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角．二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．辨析感悟1．对线面垂直的理解(1)直线a，b，c；若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(×)(2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(3)(教材练习改编m∥n，m⊥α，则n⊥α.(√))设m，n是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面，若(4)(教材习题改编)设l为直线，α，β是两个不一样的平面，若α⊥β，l∥α，则l⊥β.(×)2．对面面垂直的理解(5)若两平面垂直，则此中一个平面内的随意一条直线垂直于另一个平面．(×)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)[感悟·提高]三个防备一是注意在空间中垂直于同向来线的两条直线不必定平行，还有可能异面、订交等，如(1)；二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判断定理，不要误会为“假如一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”，如(2)；三是判断线面关系时最简单遗漏线在面内的状况，如(6)．考点一直线与平面垂直的判断和性质【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判断定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；此外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角均分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线相互垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算知足勾股定理)、直角梯形等等．【训练1】如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判断与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，第一要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的表现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明特别近似，这种转变方法是本讲内容的显着特点，掌握化归与转变思想方法是解决这种问题的重点．【训练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：CE∥平面PAD；求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判断定理和性质定理，而形成结论的“凭证链”依旧是经过发掘题目已知条件来实现的，如图形固有的地点关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证供给了丰富的素材．【训练3】如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．求证：BC⊥平面PAC；设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.考点四线面角、二面角的求法【例4】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求PB和平面PAD所成的角的大小；证明AE⊥平面PCD；求二面角A－PD－C的正弦值．规律方法(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即经过找直线在平面上的射影来达成；②计算，要把直线与平面所成的角转变到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角能够经过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确立的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．【训练4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为A.2B.3C.2D.6 33331．转变思想：垂直关系的转变2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中找寻平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可经过作协助线来解决．若有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转变为线面垂直，而后进一步转变为线线垂直．故娴熟掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转变条件是解决这种问题的重点．创新打破7——求解立体几何中的探究性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的地点，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上能否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明原因.[反省感悟](1)解决探究性问题一般先假定其存在，把这个假定作已知条件，和题目的其余已知条件一同进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，假如获得了一个合理的结论，则说明存在，假如获得了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在办理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互地点关系与长度关系等，重点是点、线、面地点关系的转变与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中有关知识点的异同，盲目套用简单致使错误．【自主体验】1(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝2AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面A BC，获得几何体D－ABC，如图 2.求证：DA⊥BC；在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础稳固题组一、选择题1．设平面α与平面β订交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()．A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则以下命题正确的选项是A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m?α，n?β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l知足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β订交，且交线垂直于l D．α与β订交，且交线平行于l4.(2014深·圳调研)如图，在四周体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则以下正确的选项是()．A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出以下四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.此中正确的选项是()．A．①④B．②④C．②③D．③④二、填空题6.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M知足________时，平面MBD⊥平面PCD(只需填写一个你以为正确的条件即可)．ππ7．已知平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为4和6，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′＝________.8．设α，β是空间两个不一样的平面，m，n是平面α及β外的两条不一样直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选用三个作为条件，余下一个作为结论，写出你以为正确的一个命题：________(用代号表示)．三、解答题(1)9.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(2)PA⊥底面ABCD；(3)BE∥平面PAD；(4)平面BEF⊥平面PCD.(5)10．(2013·州模拟泉)以下图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(6)求证：B1D1∥平面A1BD；(7)求证：MD⊥AC；(3)试确立点M的地点，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提高题组一、选择题1.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部2．(2014·北京东城区期末)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.ABCD沿将四边形对角线BD折成四周体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则以下结论正确的选项是A．A′C⊥BD B．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°1(1)D．四周体A′－BCD的体积为3(2)二、填空题(3)3．(2013·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则(4)以下结论中：(5)PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；(6)③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.(7)此中正确的有________(把全部正确的序号都填上)．(8)三、解答题(9)4．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，二面角S－CD－A的平面角为45°，M为AB的中点，N为SC的中点．(10)证明：MN∥平面SAD；(11)证明：平面SMC⊥平面SCD；。

立体几何讲义

立体几何基本问题与方法立体几何的要点：主要包含点、线、面之间的关系，这些关系包括：距离、平行、垂直、夹角向量法最为简单，不用动脑筋想方法，比较节省时间；非向量法有可能容易、但是需要动脑筋去想方法，耗时较多。

立体几何属于较为简单的题目，高考题中需要节省时间，所以要采用向量法。

向量法主要掌握如下几点：（1）建坐标系，写坐标。

（2）写两点之间的向量，以及求得平面的法向量的方法。

点与点距离：1122x y x y d =点（,）和（,）的距离点与线：属于平面问题，在立体几何中不研究。

点与面距离：n l d n∙= l 是指改点与面中任意一点所组成的向量，n 是指该面的法向量。

线与线距离：异面直线的距离非常难求，一般不考。

平行：a b λ= 具体证明：a 线向量111(,,)a x y z = b 线向量222(,,)b x y z = 如果111222x y z x y z ==，则可证明,b a 线平行垂直：0a b ∙= a 线向量111(,,)a x y z = b 线向量222(,,)b x y z =a b ∙= 1212120x x y y z z ++= 夹角：cos a b a bθ∙=∙ b a θ线和线的夹角为线与面距离：线与面的距离，在线上任意取一点，计算点与面的距离。

平行：0l n ∙= l 是该线的向量，n 是该面的法向量。

垂直：0l a ∙= 0l b ∙= l a b 是该线的向量，和是该面中的两个向量。

夹角：sin cos n l n lθα∙==∙ θ是线与面的夹角，α是线与面法向量的夹角。

n l 为面的法向量，为线的向量面与面距离：面与面的距离，在面上任意取一点，计算点与面的距离。

平行：10n a ∙= 10n b ∙= 1n 为其中任意一个面的法向量，a 和b 是另外一个面中的两个向量垂直：120n n ∙= 1n 和2n 分别是两个面的法向量。

夹角：1212cos n n n n θ∙=∙ 1n 和2n 分别是两个面的法向量。

立体几何复习讲义全解

圆梦教育1对1个性化辅导讲义学员姓名学校年级和科目教师课题空间点、直线、平面之间的位置关系授课时间教学目标掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系和等角定理．教学内容【基础知识回顾】 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，则这条直线在此平面内．公理2：过的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们过该点的公共直线． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数( )A．1 B．2C．3 D．47．若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分8．如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )9．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．5．如下图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．【考点探究】考点一平面的基本性质例1正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，则，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．考点二异面直线例2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．考点三异面直线所成的角例3(2014·宁波调研)正方体ABCD-A1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【训练4】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB ＝CGCD＝23，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．【作业】[知能演练]一、选择题1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b( )C.35 D.45二、填空题5．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB ＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)．①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面都是等边三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体三、解答题7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．[高考·模拟·预测]1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为( ) A．2 B．3C．4 D．52．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )A.34B.54C.74 D.34。

立体几何讲义

立体几何讲义一、三种平行关系的相互转化：判定定理判定定理线线平行线面平行面面平行定义性质定理例1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，(1)若P 为11B D 的中点，证明：1||AP BC D 面 (2) 若P 为11B D 的动点，证明：1||AP BC D 面（3）若面11111BC D A B C D l =面证明：11||l B D2．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC1的中点，P 是侧面BCC1B1内一点，若A1P ∥平面AEF ，则线段A1P 长度的取值范围是（） A ．[1，] B ．[，] C ．[，] D ．[，]3、如图,若Ω是长方体1111ABCD-A B C D 被平面EFGH 截去几何体11EFGH B C 后得到的几何体,其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1B B 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不正确的是（） A. EH ∥FG B.四边形EFGH 是矩形 C. Ω是棱柱 D. Ω是棱台4、如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面（Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ．试证：//EF AB ；思考：平面α过正方体ABCD —A1B1C1D1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（）（A ）32 （B ）22（C ）33 （D ）13二、垂直关系：(1)垂直要集中，然后由旧垂推出新垂判定定理判定定理线线垂直线面垂直面面垂直定义性质定理注：（1）线面垂直的性质又揭示了平行与垂直之间的转化（2）转化的思想：⊥⊥⇒⊥⇒⇒线线或利用面面的性质（后者较多）证明（或做出）线面体积高体积例1、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，1BC AC ⊥，则1C 在底面ABC 上的射影必在（）A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线AC 上D.△ABC 内部回顾：如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论正确的有__________ ①P D DC 11⊥ ②平面⊥P A D 11平面AP A 1C 1B 1A 1CBA D 1C 1B 1A 1③三棱锥11_C PDD 的体积与P 点位置无关④若动点Q 在正方体的表面上运动，且总保持1AQ BD ⊥。

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空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别？提示：观察直角：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形.
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1.三视图如图的几何体是
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台
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()
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解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，且其中一条棱与底面垂直. 答案：B
第七章立体几何
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知识点
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1.认识柱、锥、台、球及其简单组
合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的 1.柱、锥、台、球及简单几
结构.
何体的直观图、三视图是
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易
空间几何组合)的三视图，能识别上述的
1.了解空间向量的概念，了解
空间向量的基本定理及其意
义，掌握空间向量的正交分
空间向量解及其坐标表示.
及其运算 2.掌握空间向量的线性运算及
[理]
其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其
坐标表示，能运用向量的数
量积判断向量的共线与垂直.
1.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行垂直、夹角的问题的基础.
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答案：D
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4.如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体
共由
块木块堆成.
解析：由三视图知，由4块木块组成. 答案：4
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5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直

立体几何知识讲义

高三数学总复习高考復習科目：數學高中數學總復習（九）復習內容：高中數學第九章-立體幾何復習範圍：第九章編寫時間：2004-7修訂時間：總計第三次 2005-4I. 基礎知識要點一、平面.1. 經過不在同一條直線上的三點確定一個面.注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內.2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在一個平面內平行，②三條直線不在一個平面內平行）[注]：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個. 4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三個方向）二、空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線—共面有反且有一個公共點；平行直線—共面沒有公共點；異面直線—不同在任一平面內[注]：①兩條異面直線在同一平面內射影一定是相交的兩條直線.（×）（可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）②直線在平面外，指的位置關係：平行或相交③若直線a 、b 異面，a 平行於平面α，b 與α的關係是相交、平行、在平面α內. ④兩條平行線在同一平面內的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.⑤在平面內射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）⑥在同一平面內的射影長相等，則斜線長相等.（×）（並非是從平面外一點‧‧向這個平面所引的垂線段和斜線段）⑦b a ,是夾在兩平行平面間的線段，若b a =，則b a ,的位置關係為相交或平行或異面.2. 異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內的兩條直線）3. 平行公理：平行於同一條直線的兩條直線互相平行.4. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等（如下圖）.（二面角的取值範圍[) 180,0∈θ）（直線與直線所成角(]90,0∈θ）（斜線與平面成角()90,0∈θ）（直線與平面所成角[]90,0∈θ）（向量與向量所成角])180,0[ ∈θ推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成銳角（或直角）相等. 5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.21,l l 是異面直線，則過21,l l 外一點P ，過點P 且與21,l l 都平行平面有一個或沒有，但與21,l l 距離相等的點在同一平面內. （1L 或2L 在這個做出的平面內不能叫1L 與2L 平行的平面）12方向相同12方向不相同三、直線與平面平行、直線與平面垂直.1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）[注]：①直線a 與平面α內一條直線平行，則a ∥α. （×）（平面外一條直線） ②直線a 與平面α內一條直線相交，則a 與平面α相交. （×）（平面外一條直線）③若直線a 與平面α平行，則α內必存在無數條直線與a 平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）④兩條平行線中一條平行於一個平面，那麼另一條也平行於這個平面. （×）（可能在此平面內） ⑤平行於同一直線的兩個平面平行.（×）（兩個平面可能相交） ⑥平行於同一個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面） ⑦直線l 與平面α、β所成角相等，則α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直. ● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂線定理），得不出α⊥PO . 因為a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .●三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這兩條直線垂直於這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直於一個平面，那麼另一條也垂直於這個平面. 推論：如果兩條直線同垂直於一個平面，那麼這兩條直線平行.[注]：①垂直於同一平面‧‧‧‧的兩個平面平行.（×）（可能相交，垂直於同一條直線‧‧‧‧‧的兩個平面平行） ②垂直於同一直線的兩個平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直於另一個平面） ③垂直於同一平面的兩條直線平行.（√）5. ⑴垂線段和斜線段長定理：從平面外一點‧‧向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.[注]：垂線在平面的射影為一個點. [一條直線在平面內的射影是一條直線.（×）]⑵射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那麼這點在平面內的射影在這個角的平分線上四、平面平行與平面垂直.1. 空間兩個平面的位置關係：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，哪麼這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直於同一條直線的兩個平面互相平行；平行於同一平面的兩個平面平行. [注]：一平面間的任一直線平行於另一平面.3. 兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那麼它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）4. 兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那麼經過這條直線的平面垂直於這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什麼關係.POAa5. 兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那麼在一個平面內垂直於它們交線的直線也垂直於另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直於第三平面，則它們交線垂直於第三平面. 證明：如圖，找O 作OA 、OB 分別垂直於21,l l ，因為ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,則OB PM OA PM ⊥⊥,. 6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ為銳角取加，θ為鈍取減，綜上，都取加則必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ為最小角，如圖）⑵最小角定理的應用（∠PBN 為最小角）簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條. 成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條. 成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條. 成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有. 五、棱錐、棱柱. 1. 棱柱.⑴①直棱柱側面積：Ch S =（C 為底面周長，h 是高）該公式是利用直棱柱的側面展開圖為矩形得出的. ②斜棱住側面積：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周長，l 是斜棱柱的側棱長）該公式是利用斜棱柱的側面展開圖為平行四邊形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面體}⊃{直平行六面體}⊃{長方體}⊃{正四棱柱}⊃{正方體}. {直四棱柱}⋂{平行六面體}={直平行六面體}.侧面与底面边长相等⑶棱柱具有的性質：①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等；直棱柱的各個側面都是矩形‧‧‧‧‧‧‧‧；正棱柱的各個側面都是全等的矩形‧‧‧‧‧.②棱柱的兩個底面與平行於底面的截面是對應邊互相平行的全‧等‧多邊形. ③過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形.注：①棱柱有一個側面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （×）（直棱柱不能保證底面是钜形可如圖） ②（直棱柱定義）棱柱有一條側棱和底面垂直.⑷平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交於一點‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧，並且在交點處互相平分. [注]：四棱柱的對角線不一定相交於一點.定理二：長方體的一條對角線長的平方等於一個頂點上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為γβα,,，則1cos cos cos 222=++γβα. 推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側面所成的角為γβα,,，則2cos cos cos 222=++γβα. [注]：①有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）②各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應是各側面都是正方形的直‧棱柱才行）③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形） ④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可图1θθ1θ2图2PαβθM AB O能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件）2. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其餘各面是有一個公共頂點的三角形. [注]：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形.②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以棱柱棱柱3V Sh V ==. ⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心. [注]：i. 正四棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形） ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形（即側棱相等）；底面為正多邊形. ②正棱錐的側面積：'Ch 21S =（底面周長為C ，斜高為'h ） ③棱錐的側面積與底面積的射影公式：αcos 底侧S S =（側面與底面成的二面角為α）附：以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α為二面角b l a --.則l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）. ⑵棱錐具有的性質：①正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形.⑶特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：①棱錐的側棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心. ③棱錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心. ④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心. ⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.⑥三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等於球半徑； ⑧每個四面體都有內切球，球心I 是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等於半徑. [注]：i. 各個側面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直. 簡證：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,,得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,，已知()(,0⋅=-⋅a b b c a 0=-⇒則0=⋅AD BC .iii. 空間四邊形OABC iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結各邊的中點的四邊是一定是正方形. 簡證：取AC 中點'O ，則⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH為平行四邊形⇒EFGH 為長方形.若對角線等，則EFGH FG EF ⇒=為正方形.lab c C3. 球：⑴球的截面是一個圓面.①球的表面積公式：24R S π=.②球的體積公式：334R V π=. ⑵緯度、經度：①緯度：地球上一點P 的緯度是指經過P 點的球半徑與赤道面所成的角的度數.②經度：地球上B A ,兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點A 的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是B 點的經度.附：①圓柱體積：h r V 2π=（r 為半徑，h 為高）②圓錐體積：h r V 231π=（r 為半徑，h 為高） ③錐形體積：Sh V 31=（S 為底面積，h 為高） 4. ①內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球內切於四面體：h S R S 313R S 31V 底底侧AC D B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接於正四面體，可如圖建立關係式. 六. 空間向量.1. （1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合. 注：①若a 與b 共線，b 與c 共線，則a 與c 共線.（×） [當0=b 時，不成立] ②向量,,共面即它們所在直線共面.（×） [可能異面]③若a ∥b ，則存在小任一實數λ，使b a λ=.（×）[與0=b 不成立] ④若a 為非零向量，則00=⋅a .（√）[這裏用到)0(≠λ之積仍為向量]（2）共線向量定理：對空間任意兩個向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要條件是存在實數λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行於平面α或a 在α內，則a 與α的關係是平行，記作a ∥α. （4）①共面向量定理：如果兩個向量b a ,不共線，則向量P 與向量b a ,共面的充要條件是存在實數對x 、y 使y x +=.②空間任一點‧‧‧O ‧和不共線三點‧‧‧‧‧‧A ‧、‧B ‧、‧C ‧，則)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC 四點共面的充要條件.（簡證：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四點共面）OrOR注：①②是證明四點共面的常用方法.2. 空間向量基本定理：如果三個向量‧‧‧‧,,不共面‧‧‧，那麼對空間任一向量P ，存在一個唯一的有序實數組x 、y 、z ，使z y x ++=.推論：設O 、A 、B 、C 是不共面的四點，則對空間任一點P , 都存在唯一的有序實數組x 、y 、z 使z y x ++=(這裏隱含x+y+z ≠1).注：設四面體ABCD 的三條棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，則向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即證.3. （1）空間向量的座標：空間直角坐標系的x 軸是橫軸（對應為橫坐標），y 軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎座標）. ①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，則),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a ++=⋅ ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空間兩點的距離公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直線垂直於平面α，則稱這個向量垂直於平面α，記作α⊥a ，如果α⊥a 那麼向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一條射線，其中α∈A ，則點B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：設21,n 分別是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，則21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（21,n 方向相同，則為補角，21,n 反方，則為其夾角）. ③證直線和平面平行定理：已知直線≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三點不共線，則a ∥α的充要條件是存在有序實數對μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常設CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即證畢，若μλ,不存在，則直線AB 與平面相交）.DBA BII. 競賽知識要點一、四面體.1. 對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質：①四面體的六條棱的垂直平分面交於一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心；②四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交於一點，這一點叫做此四面體的內接球的球心；③四面體的四個面的重心與相對頂點的連接交於一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3︰1；④12個面角之和為720°，每個三面角中任兩個之和大於另一個面角，且三個面角之和為180°.2. 直角四面體：有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當於平面幾何的直角三角形. （在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、外接球半徑、內切球半徑及側面上的高），則有空間畢氏定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.3. 等腰四面體：對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體.（在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內接球半徑為r，高為h），則有①等腰四面體的體積可表示為22231222222222cbabacacbV-+⋅-+⋅-+=；②等腰四面體的外接球半徑可表示為22242cbaR++=；③等腰四面體的四條頂點和對面重心的連線段的長相等，且可表示為22232cbam++=；④h = 4r.二、空間正余弦定理.空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-DOABCD。

立体几何复习讲义

期末复习讲义（一）立体几何．基础知识．点、直线、平面之间的位置关系及语言表达;3.8,请同学们自己梳理一下问题(还会吗?)(结合以前做过的题目)(1)和几何体的展开图及展开图还原的相关问题;(2)什么叫截面?如何找几何体的截面及和截面相关的问题;(3)如何利用等积法求三棱锥的体积及点到平面的距离?(4)探索性问题及折叠问题.综合例题讲解(一)类型一：平行垂直的证明例：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=1,D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.工(1)求证：PA1±BC；(2)求证：PB1〃平面AC1D；(3)求证：B1D，平面ADC1.(二)类型二：求空间中的角/PAB=60。

AB=BC=CA平面例：如图在三棱锥P—ABC中/APB=90。

PAB1平面ABC(I)求直线PC与平面ABC所成角的正切值(II)求二面角B—AP—C的正切值(求异面直线与的夹角的余弦值。

(三)类型三：有关求体积或求距离的综合问题例3:如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD，底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点.(2)求异面直线PB与CD所成角的正切值的大小;(3)线段AD上是否存在点。

，使得它到'平面PCD的总若不存在,请说明理由．PA(1)求证：PO，平面ABCD；C 0,,,3离为2? 存在，求出QD的值;(四)类型四:有关折叠的综合性问题(探索性问题等)例：如图Z ACB=45。

BC=3过动点作AD1BC垂足在线段上且异于点连接沿AD将^ABD折起使Z BDC=90。

(如图所示)(I)当BD的长为多少时三棱锥A-BCD的体积最大(II)当三棱锥A-BCD的体积最大时设点EM分别为棱BCAC的中点试在棱CD上确定一点N使得EN1BM。

AAMD・.CBE图1图2作业：如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BB1C1C，底中面ABC.⑴若D是BC的中点，求证：AD±CC/⑵过侧面BB1C1C的对角线BC1的平山上侧面BB1c1C.C.2.如图，正方体的棱长为1,B'C n BC=0,求:(1)A0与A，C'所成角的度数；(2)A0与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面A0B与平面A0C所成角的度数.3..如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为DD,,DB的中点.(1)求证：EF〃平面ABC1D1；(2)求证：EF±B1C；(3)求三棱锥B1-EFC的体积.AB1如图直三棱柱ABC—ABC中AC=BC=—AAD是棱AA1的中点DC11BD11121证明DC1BC1求二面角A—BD—C的大小11。

立体几何讲义(前7讲)

新高中讲义01.平面性质及两直线的位置关系1.平面性质(1.1)平面概念,平面的表示法将水平的平面画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,如图(1),平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮住,为了增强它的立体感,常把被遮挡部分用虚线画出来,如图(2).注.立体几何中的虚线总表示被遮住的线条而不是辅助线.若添加的辅助线是未被遮住的,则要画成实线.把希腊字母,,αβγ等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如平面α,平面β;也可以用代表平四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,图(1)的平面α,也可以记为:平面ABCD ,平面AC 或者平面BD .面内有无数个点,平面可以看成点的集合.如图(3),点A 在平面α内,记作A α∈;点B 在平面α外,记作B α∉.(1.2)平面公理及推论公理1.若一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线在此平面内.点P 在直线l 上,记作P l ∈;点P 在直线l 外,记作P l ∉.若直线l 上的所有点都在平面α内,就说直线l 在平面α内,或者说平面α经过直线l ,记作l α⊂;否则就说直线l 在平面α外,记作l α⊄.公理1也可以用符号表示:,A l ∈B l ∈且,A α∈B α∈l α⇒⊂.公理2.若两个平面有一个公共点,则它们有且只有一条过该点的公共直线.公理2表明,如果两个平面有一个公共点,则它们有无限多个公共点,所有公共点构成一条直线,称为两个平面相交,这条由公共点组成的直线称为这两个平面的交线.若已知两个平面有两个公共点,A B ,则它们的其他公共点都在直线AB 上.这一结论可用于证明三点共线.平面,αβ的交线是l ,记为l αβ⋂=.注.本讲义中的“两点”,“两条直线”,“两个平面”等,如无特别申明,均指不同两点,不同两直线及不同两平面.例1.用α表示平面,l 表示直线,,A B 表示点,以下关系式中正确的是A.A αβ⋂=B.l α∈C.AB α⊂D.A α⊂公理3. 过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.公理3简述:不在同一直线上的三点确定一个平面.不在同一直线上的三点,,A B C 所确定的平面,可以记成“平面ABC ”.推论1.过一条直线及直线外一点的平面有且只有一个.推论2.过两条相交直线的平面有且只有一个.推论3.过两条平行直线的平面有且只有一个.例2.(1)证明两两相交而不共点的4条直线在同一平面内.(2)空间4条线段首尾相连,这4条线段在同一平面内吗?例3.正方体1111ABCD A B C D -中,1,O O 分别是上下底面的中心,判断下列命题是否正确,说明理由.(1)直线1AC ⊂平面11CC B B .(2)直线1OO 是平面11AAC C 与平面11BB D D 的交线.(3)由,,A O C 可确定一个平面.(4)由11,,A C B 确定的平面是11ADC B .(5)直线l ⊂平面AC ,直线m ⊂平面1D C 且,l m 交于P ,则P ∈直线CD .(6)由11,,A C B 确定的平面与由1,,A C D 确定的平面是同一平面.例4.三个平面两两相交,若其中两条交线有公共点,证明第三条交线也过此点.例5.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,O 为面ABCD 的中心,直线1AC 与面1C BD 交于M ,求证:(1)1,,C M O 共线.(2)M 为1C BD ∆的重心.2.空间两直线的位置关系(2.1)空间两直线的位置关系分类既不相交也不平行的两条直线称为异面直线.(2.2)空间两直线平行公理4.平行于同一直线的两直线互相平行.定理.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等或互补.空间图形F 作一次平移是指F 的所有点都沿同一方向平移相同距离.顺次连接不共面4点得到的四边形称为空间四边形.例6.空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别在边,,,AB BC CD DA 上,AE AH EB HD =且CF CG FB GD=,证明:(1)//EH FG .(2)三直线,,AC EF GH 平行或共点.注.顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形.(2.3)异面直线定义.设,a b 是两直线,若不存在平面π满足,a b ππ⊂⊂,则称,a b 为一对异面直线. 直观描述:永远不在同一平面内的两直线称为一对异面直线.定理.过平面内一点和平面外一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.异面直线的另一种画图法.例7.正方体的12条棱所在的直线中有多少异面直线对?例8.设,,,m a b a m A αβαβ⋂=⊂⊂⋂=.(1)若//b m ,证明,a b 异面.(2)若b m ⋂ B =,则,a b 能否异面?两条异面直线所成的角.设直线,a b 异面,任取空间一点O ,过O 作两直线//,//a a b b '',称,a b ''所夹的(不超过直角的)角为异面直线,a b 所成的角.异面直线,a b 所成角θ的范围是(0,]2π.若2πθ=,则称,a b 互相垂直,记为a b ⊥.空间两直线垂直有两种可能:共面垂直(有垂足)和异面垂直(无公共点).求异面直线所成角,一般可平移直线构造三角形,再用余弦定理解出.注意该三角形的内角可能恰为两异面直线所成角,也可能是其补角.例9.空间四边形ABCD 中,AB BC CD DA AC BD =====,,M N 分别是BC 和DA 的中点,直线,AM CN 所成的角是θ,求cos θ的值.例10.正方体1111ABCD A B C D -中,,M N 分别是11A B 和1BB 的中点,求直线AM 与1C N 所成角的余弦值.例11.正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,求异面直线1,AC DE 所成角的正切值.例12.设异面直线,a b 成080,过点P 且与,a b 都成050角的直线有条?将050改成060呢?两条异面直线的距离.设,a b 是一对异面直线,与,a b 都垂直的直线有无限多条,但与,a b 都垂直且都相交的直线有且仅有一条,两垂足间的线段称为,a b 的公垂线段,公垂线段的长称为两异面直线,a b 的距离.例13.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则异面直线11,AC A B 的距离为1,异面直线1,AB CC 的距离为1,异面直线1,AC BD 的距离是多少?练习题1.有如下命题:①三个平面两两相交,则这三条交线共面.②一条直线与两平行线都相交,则这三直线共面;③四边形内角和为0360;④空间四点中有三点共线,则这四点共面;⑤若,a b ππ⊂⊄,则,a b 异面.其中正确命题的序号是__________.2.直线,a b 交于平面π内一点P 用符号表示,不正确的是A.,,a b P a b ππ⋂=⊂⊂B.a b P ππ⋂=⋂=C.,a b P P π⋂=∈D.,a P P B π⋂=∈3.下列各图都是正方体或正四面体,,,,P Q R S 分别是所在棱的中点,则,,,P Q R S 不共面的是4.若直线,a b 与直线c 所成的角相等,则,a b 的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.不能确定5.已知,,c a b αβαβ=⋂⊂⊂且,a b 异面,则直线c A.与直线,a b 都相交 B.可与直线,a b 都不相交C.至少与,a b 之一相交D.至多与,a b 之一相交6.三个平面可将空间划分成m 个互和重叠的部分,则m 的值的集合为___________.7.正方体1111ABCD A B C D -中,与1AB 成060角的面对角线的条数是_______.8.空间四边形ABCD 中,,M N 分别是,BD AC 的中点,2,AB CD MN ===求,AB CD 所成角的大小.9.空间四边形ABCD 中,32,22AB BD AD BC CD AC ======,延长BC 到E ,使得CE BC =,F 是BD 的中点,求,AF DE 所成角的大小.新高中讲义02.线面平行与面面平行1.直线与平面平行(1.1)直线和平面的位置关系分类直线在平面内(无限多个公共点);直线与平面相交(唯一公共点);直线与平面平行(无公共点).(1.2)直线与平面平行定理1.若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线,则这条直线与该平面平行.符号表示(注意是三个条件,缺一不可): ,,////j l j l j ααα⊄⊂⇒.定理2.若直线l 与平面α平行,过l 的平面β与平面α相交,则l 与两平面的交线平行.例 1.(1)证明:过平面内一点且平行于平面的一条平行线的直线在该平面内.(2)若直线a 平行于平面π的一条平行线,判断a 与π的位置关系.例2.如图,两个全等的正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,,M AC N FB ∈∈且AM FN =,求证://MN 平面BCE .a kj例3.已知,AB CD 都是平面α的平行线且分居α两侧,,AC E BD F αα⋂=⋂=.(1)求证AE BF EC FD=.*(2)若,AB CD AB CD EF ⊥===,求(1)中的比值.例4.证明:过两异面直线中的一条,有且仅有一个平面平行于另一条.例5.证明:若两相交平面平行于同一直线,则它们的交线平行于该直线.2.平行平面(2.1)两平面的位置关系:平行(无公共点);相交(有公共点).(2.2)两平面平行的性质和判定定理1.若两平面平行,则其中一平面内的任何直线平行于另一平面.定理2.若两个平行平面都与第三个平面相交,则两条交线平行.例6.求证:夹在两平行平面间的平行线段的长相等.定理3.若一平面内有两条相交直线平行于另一平面,则这两个平面平行.推论1.若一平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线,则这两平面平行.推论2.平行于同一平面的两平面互相平行.例7.如图,,AB CD 是异面直线,//,AB CD αα⊂,,M N 分别是,AC BD 的中点,求证://MN α.例8.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,1,M A B N AC ∈∈且1A M AN =,求证: //MN 平面11BB C C .例9.正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别是11,AA CC 的中点,(1)求证:平面//BDF 平面11B D E .(2)求证:1DFB E 是平行四边形.例10.设,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的线段,,M N 分别是,AB CD 的中点,求证://MN α.(2.3)斜二测画法平面图形的斜二测画法:在原图F 上建立平面直角坐标系xOy ,任取点O ',作仿射坐标系x O y ''',使得045x O y '''∠=;作F 上点(,)A x y 在新图形F '上的对应点1(,)2A x y ';连接相应线段并擦去坐标系x O y ''',就得到F 的按斜二测画法作出的直观图F '. 例11.用斜二测画法画出正6边形的直观图. 注.由画法直接得到:若F '是平面图形F 由斜二测画法画出的直观图,则F '的面积与F 的面积的比为4. 空间图形的斜二测画法:在原图F 上取水平平面及互相垂直的轴,Ox Oy ,再取轴Oz 使之与,Ox Oy 都互相垂直;作平面仿射坐标系x O y '''如前,作出F 的水平平面上图形的直观图;再取O z ''使之垂直于面x O y ''',将F 中与Oz 平行的线段画成与O z ''平行的线段并保持长度不变例12.用斜二测画法画出正方体的直观图.练习题1.设,a b 为直线,π为平面,下列说法正确的是A.若a 平行于π内的无数条直线,则//a πB.若a π⊄,则//a πC.若//,a b b π⊂,则a 平行于π内的无数条直线D.若//,a b b π⊂,则//a π2.过两异面直线外一点且与这两直线都平行的平面A.可能不存在B.有且仅有一个C.有无限个D.至少一个3.设,a b 为异面直线,a π⊂,则过b 且与平面π平行的平面A.不存在B.至多一个C.恰有一个D.有无数个4.正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F G 分别是,,AD DC1CC 的中点,则平面EFG 截正方体表面所得图形为A.等腰三角形B.等腰梯形C.正五边形D.正六边形5.平面//αβ,直线,,//,//a b a b αββα⊂⊂,则直线,a b 的位置关系是____________.6.设,m n 是平面α外的两条直线,给出:①//m n ;②//m α;③//n α,以其中两个为条件另一个为结论的正确命题是______________.7.设平面//αβ,,,,A C B D αβ∈∈,AB CD S ⋂=,若5,8,21AS BS CD ===,且060ASB ∠=,则CS 的长为_________.8.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,1111,,M AB N AC A N AM ∈∈=.(1)求证//MN 平面11BB C C .(2)求MN 长的最小值.9.设平面l αβ⋂=,直线,,//a b a b αβ⊂⊂,求证//a l .新高中讲义03.线面垂直与线面角1.线面垂直与线面角(1.1)直线与平面垂直定义:若一条直线垂直于一个平面内的所有直线,则称这条直线与这个平面垂直. 直线l 与平面α垂直,记为l α⊥.例 1.(1)证明过一点且垂直于已知平面的直线有且只有一条.(2)证明过一点且垂直于已知直线的平面有且只有一个.定理1.若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于这个平面.推论1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面.若一直线垂直于两个平行平面中的一个,则必垂直于另一个.推论2.垂直于同一平面的两条直线互相平行.垂直于同一直线的两个平面互相平行. 例2.四面体ABCD 中,,AB CD AC BD ⊥⊥,求证:AD BC ⊥.例 3.(1)设直线l ⊥平面α,垂足A ,证明过A 且垂直于l 的直线必在平面α内.(2)若已知,l l m α⊥⊥,则,l α有何关系?例4.如图,PA ⊥平面ABC ,090ABC ∠=,AE PB ⊥于,E AF PC ⊥于F .(1)证明PB BC ⊥.(2)三棱锥P ABC -的4个面中有几个直角三角形?(3)证明PC ⊥面AEF .(1.2)正射影与三垂线定理自点P 向平面α作垂线,垂足P '叫做点P 在平面α内的正射影(简称射影).线段PP '的长叫做点P 到平面α的距离,是集合{}PQ Q α∈中长度最小者.若图形F 的点在平面α内的正射影构成图形F ',则称F '为F 在平面α内的射影. 与平面相交但不垂直的直线称为平面的斜线,交点叫斜足.任何直线在平面上的射影是一个点或一条直线.设点P 在平面α内的射影P ',又,A B α∈,则PA PB P A P B ''>⇔>.例5.设,,,P A B C αα∉∈.(1)PA PB PC ==⇔P 在α内的射影是ABC ∆的外心.(2),PA BC PB AC ⊥⊥⇔P 在α内的射影是ABC ∆的垂心.(3)P 到直线,,BC CA AB 的距离(垂线段的长)相等P ⇔在α内的射影是ABC ∆的内心或旁心.三垂线定理.设平面α的斜线l 在α内的射影是l ',m α⊂,则l m l m '⊥⇔⊥.例6.如图,梯形ABCD 中,090,,2DAB ABC AB BC a AD a ∠=∠====,PA ⊥平面,ABCD PA a =.(1)求证:PC CD ⊥.(2)求点B 到直线PC 的距离.例7.正方体1111ABCD A B C D -中,,,M N P 分别是1,,AB BC DD 的中点,证明PB ⊥ 平面1B MN .2.直线与平面所成的角定义.平面的斜线与它在平面内的射影所夹的角,称为斜线与平面所成的角.规定平面的垂线与平面所成角为直角;规定平面内的直线或平面的平行线与平面所成的角为零.直线与平面所成角的范围是[0,]2π;斜线与平面所成角的范围是(0,)2π. 直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角中的最小者.例8.(三余弦公式)直线l 在平面α内的射影是l ',直线m α⊂.若,l l '所成角为0θ,,l m 所成角为2θ,,l m '所成角为1θ,则201cos cos cos θθθ=.例9.COB ∠在平面α内,OA 是α的一条斜线,060AOB AOC ∠=∠=,OA OB =OC a ==,BC =,求OA 与α所成的角.例10.如图,平面α内线段AB 的长为3,CA α⊥,BD 与α所成角为030,,BD AB ⊥,C D 在α同侧,4CA BD ==.(1)求CD 长.(2)求直线CD 与α所成角的正切值.例11.四面体PABC 中,,,PA PB PC 两两互相垂直.(1)证明ABC ∆是锐角三角形.(2)设H 是P 在平面ABC 内的射影,证明22221111PH PA PB PC =++.(3)证明ABC ∆的面积的平方等于,,PBC PCA PAB ∆∆∆的面积的平方和.(4)证明,,PA PB PC 与平面ABC 所成的角的正弦的平方和为定值.例12.如图,已知AB ⊥平面BCD ,AB BC =且090BCD ∠=,又AD 与平面BCD 所成角为030.(1)求AD 与平面ABC 所成角的大小.(2)求AC 与平面ABD 所成角的正弦.练习题1.设直线l 交平面α于点P ,则平面α内A.存在平行于l 的直线B.存在两条相交直线都垂直于lC.有无数条直线垂直于lD.存在与l 成030角的直线2.若不共线三点到平面α的距离相等且大于0,则这三点确定的平面与α的关系是A.平行B.相交C.平行或相交D.前面答案都不对3.正方体1111ABCD A B C D -中,1O 是11AC 的中点,则与直线1CO 垂直的是A.ACB.BDC.1A DD.1A A4.,a b 是两条相交直线,直线,c d 与,a b都垂直,则直线,c d 的关系是________.5.设P 是正方体1111ABCD A B C D -的中心,则APC ∆在其表面的射影的可能图形的序号是___________.6.P 是边长为3的正ABC ∆所在平面α外一点,2PA PB PC ===,则PC 与平面α 所成角的度数是_________.7.Rt ABC ∆的斜边AB 在平面α内,,AC BC 与α所成角分别为0030,45,则AB 边上的高与α所成角的度数是__________.8.如图,已知ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交,SB ,SC SD 于,,E F G ,求证:,AE SB AG SD ⊥⊥.9.ABC ∆中,090,3,4,A AB AC PA ∠===是平面ABC 的斜线,PAB PAC ∠=∠ 060=.(1)求PA 与平面ABC 所成角的大小.(2)若P 在平面ABC 上的射影恰在BC 上,求PA 的长.新高中讲义04.二面角及两平面互相垂直1.二面角平面内一条直线将平面分成两部分,每部分都叫做一个半平面,这条直线称为半平面的端线.定义.有公共端线的两个半平面构成的空间图形叫做二面角,这两个半平面叫做二面角的面,公共端线叫做二面角的棱.棱为l ,两个半平面分别为,αβ的二面角记为l αβ--.注.二面角也可看成是一个半平面(始面)绕其端线旋转到一定位置(终面)所形成的空间图形.二面角的度量.垂直于二面角l αβ--的棱的平面γ分别与面,αβ交于射线OA 和OB ,则AOB ∠称为二面角l αβ--的平面角,显然平面角的大小只与二面角l αβ--有关而与平面γ的选择(即点O l ∈的选择)无关.规定二面角的度数等于其平面角的度数.二面角的范围是00[0,180]:当终面与始面重合时,认为该二面角为00;当终面与始面互为反向延伸面(合成一平面)时,认为该二面角为0180.例1.如图,三棱锥S ABC -中,SA ⊥面ABC ,AB BC ⊥,,SA AB SB BC ==,又E 为SC 中点,D AC ∈且DE SC ⊥,求二面角C BD E --的大小.例2.如图,已知ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,且S BC D --和S CD B --都是045的二面角,求二面角B SC D --的大小.求二面角大小的一般方法第一步:先从其一个面内任一点P (一般选择现成的特殊点)向另一面所在平面作垂线,由垂足Q 的位置可判断该二面角是锐角还是钝角:若Q 在另一面上,则该二面角是锐二面角;若Q 在另一面的反向延伸面上,则该二面角为钝二面角.第二步:作QH l ⊥于H ,连PH ,由三垂线定理知PH l ⊥,故PHQ ∠为所论二面角的平面角(解题时这步要书写到位).第三步:在Rt PHQ ∆中由已知条件算出PHQ ∠的某三角函数值进而求出PHQ ∠. 例3.正方体1111ABCD A B C D -中,P 为AB 中点,求二面角1P AC B --的大小.例4.自二面角l αβ--的棱l 上一点A ,在平面β引射线AC ,与棱l 成045角,与面α成030角,求二面角l αβ--的大小.例5.空间一点P 到二面角l αβ--的两个面的距离分别为1到棱的距离为2,求此二面角的大小.例 6.如图,锐二面角l αβ--的大小为θ,,(,)AC BD A B l αβ∈∈∈都垂直于l .(1)求证,AC BD 所成的角等于θ.(2)若060θ=,4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.面积射影定理.设二面角l αβ--的大小为θ,平面α内一图形的面积为0S ,它在β内的射影的面积为1S ,则10cos S S θ=.立得:正四面体的所有二面角的余弦都是13. 2.平面与平面垂直定义.平面角是直角的二面角叫做直二面角,若两平面相交成直二面角,则称这两平面互相垂直.平面,αβ互相垂直,记为αβ⊥.注.研究直线与平面的位置关系时,是先定义直线与平面垂直,再利用射影定义直线与平面所成的角;研究平面与平面的位置关系时,是先定义二面角,再用直二面角定义两平面垂直.能先定义两平面垂直再定义二面角吗?定理.若一平面过另一平面的一条垂线,则这两平面互相垂直.推论.若一平面平行于另一平面的一条垂线,则这两平面互相垂直.定理2.若两平面互相垂直,则一平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面.推论.若l αβ--是直二面角,直线m β⊥,则m α⊂,或//m α.例7.求证:若一平面垂直于两相交平面,则此平面垂直于那两平面的交线.例8.如图,将菱形ABCD 平移得一个平行六面体1111ABCD A B C D -,已知1A AB ∠=1A AD ∠,求证平面11ACC A ⊥平面ABCD .例9.如图,A 是0120的二面角EF αβ--内一点,,AB AC αβ⊥⊥,垂足,B C .(1)求证:,αβ都垂直于平面ABC .(2)若4,6AB AC ==,求BC 长及A 到EF 的距离.例10.如图,ABC ∆是正三角形,,EC DB 都垂直于平面ABC ,2EC AB DB ==,M 为AE 中点.求证: (1)DE DA =.(2)平面BDM ⊥平面EAC .(3)平面DEA ⊥平面EAC .例11.平行四边形ABCD 中,02,60AB AD BAD =∠=,O 为对角线交点,沿BD 将其折成直二面角.(1)求证:CB ⊥平面BAD .(2)求证:平面ACD ⊥平面CBD .(3)求二面角C AO B --的大小.练习题1.设,a b 是直线,,αβ是平面,,a b αβ⊂⊂,则A.a b αβ⊥⇒⊥B.////a b αβ⇒C.a βαβ⊥⇒⊥D.a b αβ⊥⇒⊥2.设,a b 是异面直线,所成角为060,若,a b βα⊥⊥,则二面角l αβ--的大小为A.030B.060C.0120D.060或01203.设l αβ--是直二面角,直线,a b αβ⊂⊂,且,a b 都不垂直于l ,则A.,a b 可能垂直,但不可能平行B.,a b 既可能垂直,也可能平行C.,a b 不可能垂直,但可能平行D.,a b 既不可能垂直,也不可能平行4.设,m l 为直线,,,αβγ是平面,,//,,l l m m βγααγ=⋂⊂⊥,则A.αγ⊥且l m ⊥B.//αγ且//m βC.//m β且l m ⊥D.//αβ且αγ⊥5.设,m l 为直线,,αβ是平面,命题:①若l 垂直于α内的两条相交直线,则l α⊥;②若//l α,则l 平行于α内所有直线;③,m l αβ⊂⊂且m l ⊥,则m β⊥;④,m l αβ⊂⊂且m l ⊥,则l α⊥.其中正确命题的序号是________.6.设P 是二面角AB αβ--的棱AB 上一点,分别在,αβ上作射线,PM PN ,使得0045,60BPM BPN MPN ∠=∠=∠=,则二面角AB αβ--的大小是_______.7.四面体ABCD 中,C AB D --是直二面角,090,ACB AC BC ∠==,又ABD ∆是正三角形,则二面角C BD A --的正切值为_______.8.如图,已知ABCD 是矩形,SA ⊥平面ABCD ,1,SA AB AD ===求二面角 A SC B --的正弦值.9.正方体1111ABCD A B C D -中,,,,K L M N 分别是111111,,,A B BC C D B C 的中点.(1)求证平面MNL ⊥平面KNL .(2)求二面角K ML N --的正切值.新高中讲义05.简单多面体和球1.多面体由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体,围成多面体的各个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,两条棱的公共点叫做多面体的顶点,连接不在同一面上两顶点的线段叫多面体的对角线.将一个多面体的任一面延展成平面,若多面体其余面都在这个平面的同一侧,这样的多面体叫凸多面体.一个多面体有几个面就称为几面体,如四面体,五面体,六面体等.多面体的Euler 公式:2v e f -+=,其中,,v e f 分别是多面体的顶点数,棱数和面数. 正多面体:每个面都是有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点都有相同的棱数的凸多面体叫正多面体.由多面体的Euler 公式可推得正多面体只有5种:正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体及正二十面体.2.棱柱有两个面互相平行,其余每相邻两面的交线互相平行的多面体叫棱柱,两个互相平行的面叫棱柱的底面,简称底,其余各面叫棱柱的侧面,两侧面的公共边叫棱柱的侧棱,两个底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.棱柱的底面是几边形就被称为几棱柱,如三棱柱,四棱柱,五棱柱等.棱柱用代表底面各顶点的字母来表示,如三棱柱111ABC A B C -等.棱柱的体积等于底面积乘以高.棱柱性质:(1)棱柱的各侧面都是平行四边形,所有侧棱都相等;直棱柱的各侧面都是矩形,正棱柱的各侧面是全等的矩形.(2)棱柱的两底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形.(3)过棱柱不相邻的两侧棱的截面是平行四边形.例1.下列各几何体中,哪些是棱柱?若是棱柱,指出其底面.例2.如图,正三棱柱111ABC A B C -中,11AB BC ⊥,求证11BC CA ⊥.例3.如图,正三棱柱111ABC A B C -中,D 是AC 中点.(1)求证:1//AB 平面1DBC .(2)若还有11AB BC ⊥,求二面角1D BC C --的大小.平行六面体与长方体:底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体叫长方体,棱长都相等的长方体叫正方体.换个说法:底面是矩形的直四棱柱叫长方体.定理1.平行六面体的四条对角线共点且互相平分.定理2.(1)长方体的对角线长的平方等于同一顶点处三棱长的平方和.(2)长方体的对角线与同一顶点处三棱所成角的余弦的平方和等于1,与同一顶点处三面所成角的余弦的平方和等于2.例 4.长方体1111ABCD A B C D -中,15,4,3AB AC AA ===,沿长方体表面从A 到1C 的最小路径长是多少?例5.如图是三个几何体的侧面展开图,它们的原图各是什么几何体?3.棱锥和棱台一个面是多边形,其余各面是有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥,这些有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面,两个相邻侧面的公共边叫棱锥的侧棱,各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点,顶点对面的多边形叫棱锥的底面,顶点到底面所在平面的垂线段叫棱锥的高.底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.(也可说成:底面是正多边形,各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫正棱锥.)棱锥性质:棱锥被平行于底面的平面所截的截面与底面相似.正棱锥性质:正棱锥的高,斜高(锥顶到底面边的距离),斜高在底面的射影(底面正多边形边心距)构成一个直角三角形;正棱锥的高,侧棱,侧棱在底面的射影(底面正多边形半径)也构成一个直角三角形.棱锥的体积等于等底等高的棱柱体积的三分之一.例6.如图所示的长方体中,以,,,,O A B C D 为顶点的几何体是A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥例7.正三棱锥S ABC -中,O 是底面中心,SO =且SA ,BC 的公垂线段的长是3,求ASB ∠的大小.例7.如图,正四棱锥P ABCD -,过AC 且平行于PB 的截面交PD 于点E ,求截面EAC 与底面所成较小二面角的大小.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分叫棱台.棱台有两个平行的面,称为棱台的底面,是两个相似而不全等的多边形,其余各面都是梯形,称为棱台的侧面,梯形的腰称为棱台的侧棱.棱台的所有侧棱延长相交于同一点.设棱台的两底面积分别为12,S S ,高为h ,则棱台的体积为12()3h V S S =.两底是对应边分别平行的相似多边形,且两底中心连线垂直于底面的棱台叫正棱台.正棱台的各侧棱长相等,各侧面是全等的等腰梯形.例8.下列命题中错误的是________.①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两面互相平行,其余四面都是等腰梯形的六面体是棱台;④仅有两个面互相平行的五面体是棱台.例9.对右图有描述:①是六面体;②是四棱台;③是四棱柱;④可由三棱柱截去一个小三棱柱而得;⑤可由四棱柱截去一个小三棱柱而得.其中描述正确的是___________.4.圆柱,圆锥,圆台以矩形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转所生成的面围成的旋转体叫圆柱,旋转轴叫圆柱的轴,垂直于轴的边旋转生成的面叫圆柱的底面,平行于轴的边旋转生成的面叫圆柱的侧面,平行于轴的边的任何位置都叫圆柱的母线.以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转生成的面所包围的旋转体叫圆锥,相仿地可定义圆锥的轴,侧面及母线.相仿地可定义圆台及相关概念.计算圆柱,圆锥和圆台的侧面积可用曲面展开法:圆柱的侧面可展开为一个矩形,其一边等于圆柱的母线长,另一边等于圆柱的底面周长;圆锥的侧面可展开为一个扇形,其半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥的底面周长;圆台的侧面展开图是一个扇环(如上最后一图).5.球到定点的距离等于定长的点的集合叫球面,到定点的距离不大于定长的点的集合叫球体(简称球),其中定点叫球心,定长叫半径.一个球或球面用表示其球心的字母表示,如球O等.另一表述:半圆绕其直径旋转一周所形成的曲面叫球面,球面所包围的几何体叫球体.用一个平面去截一个球面,截面是一个圆.若此平面过球心,则得到的截面称为大圆;若此平面不过球心,则截面称为小圆.。

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