2018届湖北省麻城一中高考冲刺模拟考试文数试卷(三)

麻城一中2018届高考冲刺模拟考试（三）数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 的共轭复数，则z =（ ） A ．D ．42 ） A ．4-B ．4C ．3-D ．133．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3于（ ）．A . B. 3 C. 2 D. 14．如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（ ）A ．5.3B ．4.3C ．4.7D ．5.75．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则角B 的取值范A C D 6．若函数)2x f x =a 的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a a n ++=+ ） A ．1009 B ．1008C ．2D ．18．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ）A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-9．已知函数()20172017log xf x =+)20173x x -+-+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,410()1,0-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A D11()g x 的图像关于直线12x π=）A ．725-B ．4-C ．25D ．3412．如图，已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 作以1F 为圆心，1OF 为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知平面向量a 与b 的夹角为． 14．在区间[]11-，上随机取一个数k，使直线y kx =+与圆221x y +=相交的概率为__________．15.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤-+≥≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，若目标函数()0z ax y a =+>的最大值为18，则a 的值为_______． 16．如图，三棱锥A BCD -的顶点A ，B ，C ，D 都在同一球面上，BD 过球心O 且2BD =，ABC △等边三角形，点P 、Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题共12分）已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且431()n n S R λλλ=⋅-+∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设21log 12n n b S ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求数列34n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. （本小题共12分）如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是 边长为2的正方形，平面PAC ⊥平面PBD . (1)求证：PB ＝PD ；(2)若M 为PD 的中点，AM ⊥平面PCD ，求三棱锥D ­ACM 的体积．19. （本小题共12分）随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数甲（精确到）；（Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人，求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率.20.(本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F ，上顶点为A ，且AOF ∆的面积为12（O 是坐标原点）.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，过P 的直线l 与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为M ，证明：PF PM +为定值.21. （本小题共12分）已知函数2()()ln ,()f x a x x x a R =--∈． （1）若()f x 在1x =处取到极值，求a 的值；（2）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：当2n ≥时，1111ln 2ln 3ln n n n-+++>…．选做题（本题10分）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（Ⅰ）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a a =++，a R ∈.（Ⅰ）若对于任意x R ∈，()f x 都满足()(3)f x f x =-，求a 的值；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()21f x x a ≤--+成立，求实数a 的取值范围.文科数学（三）参考答案一． 选择题13. 2 14.15. 3 16.三，解答题 17.【解析】（1）由43+1n n S λλ=⋅-，得11431(2)n n S x λλ--=⋅-+≥. ∴1134n n n n a S S λ+-=-=⋅，当1n =时，111a S λ==+.∵14n n a a +=.∴{}n a 是以+1λ为首项，4为公比的等比数列. ∵211241a a λλ==+，∴12λ=.∴1342n n a -=⋅.当1n =时，132a =，符合上式.∴.1342n n a -=⋅（2）由（1）知221111log 1log 4122222n n n b S n ⎛⎫⎛⎫=++=⨯-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴133234442n n n n b n n a -⨯==⋅.① 23111231444444n n n n n T +-=+++++.②①-②得：1113114141114444434414nn n n n n nn n n T --⎛⎫=+++-=-=-- ⎪⎝⎭-， ∴121614443441216194349494n n n n n n nn n n T ++----⎛⎫=--⋅=⋅= ⎪⋅⎝⎭（没有化简不扣分）()PDPB DO BO POBD PAC PO PAC BD BDAC ABCD BD AF PBD BD PBD AF PO PBD PAC F AF PO A PO O BD AC ==⊥⊂⊥⊥⊥⊂⊥⊥所以又故平面又平面所以是正方形，所以又底面，所以平面又平面所以，且交线为平面又平面，垂足为的垂线作，过，连接交于连接证明：,,,,,.,1.18(2)如图，因为AM ⊥平面PCD ，AM ⊥PD ，PD 的中点为M ，所以AP ＝AD ＝2 --------------8分 由AM ⊥平面PCD ，可得AM ⊥CD ，又AD ⊥CD ，AM ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥PA ，又由（1）可知BD ⊥PA ，BD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面ABCD .故V D ­ACM ＝V M ­ACD ＝13×12PA ×S △ACD ＝13×12×2×12×2×2＝23--------------12分19. 解：（Ⅰ）由样本估计总体的思想，甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙； 50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=；221[(527.5)(400.1)40S =⨯-⨯⨯甲2(1527.5)(400.2)+-⨯⨯2(2527.5)(400.3)+-⨯⨯2(3527.5)(400.2)+-⨯⨯2(4527.5)(400.15)+-⨯⨯2(5527.5)(400.05)]+-⨯⨯ 178.75=.（Ⅲ）甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.00510)2⨯⨯=人，记为1A ，2A ；乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.01510)6⨯⨯=人，记为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B .随机选出2人有以下28种可能：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ， 21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B ，12(,)B B ， 13(,)B B ，14(,)B B ，15(,)B B ，16(,)B B ，23(,)B B ，24(,)B B ，25(,)B B ， 26(,)B B ，34(,)B B ，35(,)B B ，36(,)B B ，45(,)B B ，46(,)B B ，56(,)B B ， 甲、乙两所高中各有1人，有以下12种可能：11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ， 21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B .所以，从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人，选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为123287=. 20解：（1）设椭圆的半焦距为c ，由已知得22222121122c abc b c a ⎧⎪⎪⎪=⎨=+=⎪⎪⎪⎩221a b ⎧=⇒⎨=⎩∴椭圆的方程为2212x y +=...............4分（2）以短轴为直径的圆的方程为()221,1,0x y F +=.................5分设()00,P x y，则220001(02x y x +=<<.∴PF ===)02x ==-........................8分 又l 与圆221x y +=相切于M ，∴PM ==02020202222x x x x ==-.....11分∴)002PF PM x x +=-=.............12分 21. 【解析】（1）1'()2f xax a x=--，()f x 在1x =处取到极值，∴'(1)0f =即10a -=1a ∴=，经检验，1a =时，()f x 在1x =处取到极小值.（2）221'()ax ax f x x --=，令2()21g x ax ax =--，(1)x ≥1当0a =时，1'()0f x x-=<，()f x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，1x ∴≥时，()f x 0≤，不满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立2当0a >时，二次函数()g x 开口向上，对称轴为14x =，过(0,1)-①当(1)0g ≥即1a ≥时，()g x 0≥在[1,)+∞上恒成立，'()0f x ∴≥，从而()f x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0f =1x ∴≥时，()f x 0≥成立，满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立②当(1)0g <即0<1a <时，存在0x >1,使0(1,)x x ∈时，()g x <0，()f x 单调递减，0(,)x x ∈+∞时, ()g x >0，()f x 单调递增， 0()(1)f x f ∴<，又(1)0f =，0()0f x ∴<故不满足题意3当0a <时，二次函数()g x 开口向下，对称轴为14x =，()g x 在[1,)+∞单调递减，(1)10g a =-<，()0g x ∴<，()f x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，1x ∴≥时，()f x 0≤，故不满足题意。