概率论与数理统计JA(48,23-24)1

(
)
( x - 1 ) 2 2 r ( x - 1 )( y - 2 ) ( y - 2 ) 2 2 2 1 2 2 1
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
又随机变量Y 的边缘密度函数为 2
fY ( y)
1 2 2
P{ X x i ,Y y j } P {Y y j }
P{ X x i | Y y j }

p ij p j
, i 1,2,
为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
同样对于固定的 i, 若P{X= xi}>0, 则称
1
§3条件分布
fY ( y)
y
-
f ( x,
y x
1
0
x
1- | y |, 0,
| y |< 1 其它.
1 f ( x, y) , | y |< x < 1 ( 2 ) 当 | y |< 1, f X |Y ( x | y ) 1- | y | fY ( y) 0, 其它。 1, | y |< x , 0 < x < 1, f ( x, y)
-1 P{ X m } pq m , m 1,2, nБайду номын сангаас 2 2 P{X m ， Y n } q p , n 2,3, ; m 1,2, n - 1
第三章
随机变量及其分布
§3条件分布
例2 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p( 0 < p < 1),
例 3 设随机变量 ( X , Y )的概率密度为
1, | y |< x , 0 < x < 1, f ( x, y) 0, 其它 . 试求： （1）f X ( x ), f Y ( y ) ; ( 2) f X |Y ( x | y ), f Y | X ( y | x ) ;
1 1 ( 4 ) P { X | Y 0}. ( 3 ) P {Y 0 | X } 2 2 解： (1) f ( x ) f ( x , y )dy y X
P {Y y j | X x i } P{ X x i ,Y y j } P{ X x i } p ij pi , j 1,2,
为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。 条件分布律具有分布律的以下特性： 10 P{ X= xi |Y= yj }0；
2
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P{ X x, y - < Y y } F X |Y ( x | y ) lim 0 P{ y - < Y y }
F ( x , y ) lim [ F ( x , y ) - F ( x , y - )] / 2 y 0 d lim [ F ( y ) F ( y )] / 2 Y Y FY ( y ) 0 dy y x x f ( u , v )dudv f ( u , y )du y - - - . fY ( y) fY ( y)
-
( y-2 )
2 2 2
e
(- <
1
y < )
因此，对任意的 y， f Y ( y ) 0，
f ( x， y ) f X Y (x y ) fY ( y)
2
12 (1 - r 2 )
2 1 1 ( y - 2 ) exp x - 1 r 2 2 2 2 1 1 - r
条件密度函数的性质
性质1 对任意的 x, 有 f X |Y ( x | y ) 0
性质2
-


f X |Y ( x | y )dx 1
简言之， f X |Y ( x | y ) 是密度函数． 对于条件密度函数 fY | X ( y | x ) 也有类似的性质．
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P{ X x i } pi
p
j 1

i j
,
i 1, 2,
P {Y y j } p j
p
i 1

i j
,
j 1, 2,
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
由条件概率公式
自然地引出如下定义：
P ( AB) P( A | B) P( B)
定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称


n-1
p 2 q n - 2 ( n - 1) p 2 q n - 2 ,
m 1
n- 2 2 { } P X m， Y n q p , n 2,3, ; m 1,2, n - 1
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为
当 n=2,3,… 时，
0
lim P{ X x | y - < Y y }
P{ X x , y - < Y y } lim 0 P{ y - < Y y }
存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，
写成 P{ X x |Y= y }，或记为 FX|Y(x|y).
dy 2 x , 0 < x < 1, -x 其它. 0,
x
-
y x
1
0
x
y -x
第三章 例 3（续）

随机变量及其分布
dx 1 - y , 0 y < 1, y 1 y )dx dx 1 y , - 1 < y < 0, -y 0, 其它.
且中途下车与否相互独立。以 Y 表示在中途下车的人 数，求： （1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下 车的概率； （2）二维随机变量（X,Y ) 的概率分布。 解： (1) P {Y m | X n} C m p m (1 - p ) n - m ,
n
m 0,1, , n,
F ( x, y ) - F ( x, y - ) lim 0 FY ( y ) - FY ( y - )

第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
F X |Y ( x | y )

x
-
f ( u, y ) du , fY ( y)
称为在条件Y= y下X的条件分布函数.
0

P{ X x
i 1
i
|Y yj}

i 1
p ij p j

p j p j
1.
即条件分布律是分布律。
第三章
随机变量及其分布
§3条件分布
例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击
到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标 所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次 数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。 解： Y 的取值是 2， 3， 4， ；
X 的取值是 1， 2， ， 并且 X < Y． X , Y 的联合分布律为
P {X m ， Y
n } qm-1 p qn-m-1 p qn-2 p2
n 2,3, ; m 1,2, , n - 1.
( 其中 q 1 - p )
第三章
随机变量及其分布
§3条件分布
例1（续）
0
1
x
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例 4
设二维随机变量
(X， Y )~ N ( 1， 2， 12， 22， r )
1
(X ， Y )服从二元正态分布：
则 (X ， Y )的联合密度函数为
f ( x， y ) 2 1 2 1 - r 2
1 exp 2 2 1 r
f ( x, y) f X |Y ( x | y ) fY ( y)
称为随机变量 X 在 Y y 的条件下的 条件密度函数.
称为随机变量 Y 在 X x 的条件下的条件密度函数.
f ( x, y) fY | X ( y | x ) f X ( x)
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
二、条件分布函数 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于 P{Y y} 0, 所以 P{ X x | Y y} 无意义. 因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概 念。
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ， P{ y- < Y y + }>0, 若对于任意实数 x，极限
1 ( 3 ) P {Y 0 | X } 2

0

1 f Y | X ( y | )dy 2
1 1 1 1, - < y < , fY | X ( y | ) 2 2 2 0, 其它。
1 1 dy 2 0
1 2
第三章 随机变量及其分布 例 3（续）
§3条件分布
X 的边缘分布律为
n
2 n-2 { } P X m P{X m，Y n} p q
n m 1

q p pq m -1 , 1-q Y 的边缘分布律为
2
m -1
m 1,2,