复函数积分中值公式
罗尔中值定理公式
罗尔中值定理公式摘要：1.罗尔中值定理的定义及意义2.罗尔中值定理的条件3.罗尔中值定理的应用实例4.罗尔中值定理的扩展与相关定理5.结论与总结正文：一、罗尔中值定理的定义及意义罗尔中值定理是微积分学中的一个重要定理，它揭示了函数在某一点处的导数与该点附近的其他点的函数值之间的关系。
该定理的表述为：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = 0。
二、罗尔中值定理的条件1.函数在闭区间[a, b]上连续：这意味着函数在区间[a, b]上没有断点，即在区间内任意一点都可以取到函数值。
2.函数在开区间(a, b)上可导：这意味着函数在区间内任意一点的导数存在且可测。
3.端点处的函数值相等：即f(a) = f(b)，这是罗尔中值定理发生的必要条件。
三、罗尔中值定理的应用实例罗尔中值定理在实际应用中具有重要意义，如在证明一些不等式、求极限、研究函数的性质等方面都有广泛应用。
以下为一个实例：设函数f(x)在区间[0, 1]上连续，在开区间(0, 1)上可导，且f(0) = f(1)，求证：在(0, 1)内存在一点c，使得f"(c) = 0。
证明：由罗尔中值定理，可知在(0, 1)内存在一点c，使得f"(c) = 0。
四、罗尔中值定理的扩展与相关定理1.柯西中值定理：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a) = f(b)，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = 0。
柯西中值定理是罗尔中值定理的推广。
2.拉格朗日中值定理：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
积分中值定理公式
积分中值定理公式积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它提供了两个函数之间平均值与积分之间的关系。
在本文中，我们将探讨积分中值定理的公式及其应用。
首先，让我们来讨论一下积分中值定理的基本概念。
根据定理的表述，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，而且F(x)是它的一个原函数，则存在一个数c ∈ (a, b)，使得∫[a, b] f(x)dx = (b - a) · F(c)其中，∫[a, b] f(x)dx表示函数f(x)在闭区间[a, b]上的积分。
这个定理的直观意义是，积分等于函数在区间内的平均值乘以区间长度。
根据积分中值定理的公式，我们可以推导出其他一些有用的结果。
例如，如果f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，且∫[a, b] f(x)dx=0，那么在该区间内f(x)必须恒为0。
另一个重要的应用是通过积分中值定理证明不等式。
例如，我们知道当x ∈ [0, 1]时，sin(x)函数是有界的，即存在常数M > 0，使得|sin(x)| ≤ M对于所有x成立。
我们可以通过积分中值定理来证明这一点。
考虑函数f(x) = sin(x)在闭区间[0, 1]上的积分：∫[0, 1] sin(x)dx由于sin(x)在该区间上连续，则存在一个数c ∈ (0, 1)，使得∫[0, 1] sin(x)dx = (1 - 0) · cos(c)由于cos(c)是有界的，我们可以得出结论∫[0, 1] sin(x)dx是有界的。
另一个相关的应用是平均值定理。
根据积分中值定理，我们可以得出函数在某个区间上的平均值与积分之间的关系。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，其平均值为M = (1 / (b - a)) ∫[a, b] f(x)dx则存在一个数c ∈ (a, b)，使得f(c) = M，即函数在某个点上的值等于其平均值。
除了基本的积分中值定理公式之外，还存在一些相关的推广定理。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
第二积分中值公式
第二积分中值公式
第二积分中值公式是指，如果f(x)在[a,b]上非负递减，g(x)在[a,b]上可积，那么存在c属于开区间(a,b)，使得f(x)g(x)在[a,b]的积分值等于f(a+0)乘以g(x)在[a,c]上的积分值。
这个公式可以用微积分学基本定理和分步积分法来证明。
证明过程比较复杂，需要用到微积分学基本定理和分步积分法，同时还需要满足一定的条件，例如f(x)单调递减、g(x)可积等。
在实际应用中，积分中值定理可以帮助我们理解函数的积分性质，进一步可以用于求解定积分、计算面积和体积等问题。
同时，它也是微积分学中的一个重要概念，在研究函数的积分性质、优化问题等方面有着广泛的应用。
积分中值定理开区间和闭区间
积分中值定理开区间和闭区间1. 介绍对于初学者而言，积分中值定理可能是比较具有挑战性的数学概念之一。
积分中值定理是微积分的一个重要定理，它提供了一个关于函数在某个区间内的平均值和在该区间上某一点的函数值之间的关系。
在本文中，我们将讨论积分中值定理在开区间和闭区间上的应用和性质。
2. 积分中值定理的概念让我们回顾一下积分中值定理的定义。
对于一个连续函数f(x)在闭区间[a,b]上，我们可以将其积分表示为：b(x)dx∫fa根据积分中值定理，存在一个c∈(a,b)，使得：b(x)dx=f(c)(b−a)∫fa其中，f(c)是函数f(x)在闭区间[a,b]上的平均值。
当我们应用积分中值定理于开区间(a,b)时，我们需要对定理进行一些调整。
在这种情况下，我们将积分中值定理表示为：b(x)dx=f(c)(b−a)∫fa其中，c∈(a,b)是函数f(x)在开区间(a,b)上的某一点。
3. 开区间上的积分中值定理应用现在，让我们来探讨积分中值定理在开区间上的一些应用和性质。
A. 区间平均值积分中值定理告诉我们，一个连续函数在某个区间内的平均值可以表示为该函数在该区间上的某一点的函数值。
这个特性在实际问题中有很好的应用。
假设我们有一个速度函数v(t)，描述了某一段时间内物体的速度变化。
我们想要计算物体在该时间段内的平均速度。
根据积分中值定理，在时间段(t1,t2)内的平均速度可以表示为：1 t2−t1∫vt2t1(t)dt=v(c)其中，c∈(t1,t2)是某一点的时间。
这样，我们不需要知道速度函数在整个时间段内的变化情况，只需要找到一个时间点c，就可以得到平均速度。
B. 函数值和区间平均值的关系在开区间上的积分中值定理中，我们注意到函数值f(c)和区间平均值的乘积等于积分的结果。
这个关系是非常有意思的，因为它展示了函数在某点的取值与整个区间上的平均值之间的关系。
假设我们有一个连续函数f(x)在开区间(a,b)上的非负函数值。
复变函数的积分中值定理
复变函数的积分中值定理
中值定理是函数积分领域的重要结论，它指出：如果两个函数在闭
区间[a,b]上有界，且f(x)在[a,b]上是连续的,则这两个函数的积分存在着
以下的中值定理公式：
$$\int_a^b f(x) dx =f\left(\frac{a+b}{2}\right)\times(b-a)$$
中值定理是广为人知的重要定理，对于定积分有重要的意义。
中值定
理主要涉及以下几点：
1. 均值定理：中值定理主要针对一次函数，它指出，定积分 $$\int_a^b
f(x) dx$$ 中，函数$$f(x)$$的积分值等于函数$$f(x)$$在该区间上的函
数值的乘积。
2. 中值定理的性质：中值定理的另一个重要特性是，如果函数f(x)在区间[a,b]上是偶函数或者奇函数，那么它的积分值便是零。
3. 中值定理的应用：中值定理在定积分中有重要的应用，当定积分的
曲线相对较简单时，便可用中值定理计算。
由于减小了计算的工作量，使我们更加方便地进行定积分的计算。
4. 中值定理的推广：对于多元函数，中值定理可以类比推广，它也可
以把多元函数积分值表示为函数值在某一点上的乘积。
(数学三)微积分性质公式整理
微积分第一章 函数、连续、极限一、函数：1.函数的性态：有界性——区间内连续函数必有界，反之不然。
同区间内导数有界则原函数有界。
区间内有最大值（或最小值），则函数在区间内有上界（下届）。
方法：定义、结合极限、连续与导数来确定。
单调性——单调函数一定有反函数且单调性相同。
单调函数的复合函数仍然是单调函数。
单调函数的原函数和导数不一定仍为单调函数。
方法：利用导数符号分析。
周期性——f(x+T)=f(x)以T 为周期的可导函数，其导数以T 为周期，但原函数不一定为周期函数。
以T 为周期的连续函数：方法：定义，利用常见函数判断（三角函数）。
奇偶性——前提：定义域关于原点对称。
奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶奇数个奇函数之积为奇函数，偶数个奇函数之积是偶函数 奇奇复合为奇，偶偶复合为偶，奇偶复合为偶。
求导后变换奇偶性。
f(x)为偶 f`(x)为奇，f(x)为奇 f`(x)为偶。
若f(x)定义域关于原点对称，则：f(x)=12 [f(x)-f(-x)]+ 12 [f(x)+f(-x)] 式中前者为奇，后者为偶。
方法：定义2.相关：反函数——单调函数一定有反函数，反函数与直接函数单调性相同，图像关于y=x 对称 求定义域——分式中分母不为0，根式中负数不能开偶次方根，对数中底数大于0不等于1，真数大于0， arcsinx 与arccosx 中-1≤x ≤1tanx ，secx 中x ≠k π+ π2，cosx 与cscx 中x ≠k π求表达式——换元法，分段函数分段求。
二、极限1.数列的极限：定义——给定数列｛X n｝及常数a，若对于任意给定的正数ε＞0，总存在正整数N，使得当n>N时，有|X n－a|＜ε恒成立，则称常数a为数列｛X n｝的极限，或者称数列｛X n｝收敛于a，极为。
性质——唯一性：数列收敛则极限唯一。
有界性：收敛数列一定有界。
关于复变函数的“中值定理”
关于复变函数的“中值定理”袁媛 01211114（徐州师范大学 数学系 徐州 221116）摘要 微分中值定理、积分中值定理在数学分析中占有重要地位，但并不能直接推广到复变函数中来.本文则利用构造函数法和复积分计算法，给出和证明了与实变函数中相对应的复柯西中值定理和积分中值定理.同时，给出了关于解析函数性质的新证法，并通过举例说明定理的应用.关键词 复变函数；罗尔定理；积分中值定理；微分中值定理；柯西中值定理1 引言众所周知，实变函数的微分中值定理（拉格朗日中值定理）、柯西中值定理与积分中值定理是微积分中三个很重要的定理，在数学分析中有着广泛的应用.数学分析中的许多命题及不等式的证明都是藉借这三个定理.但有反例表明这三个定理在复变函数中并不成立.比如罗尔定理，它的内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且()()f a f b =，则必存在ξ(),a b ∈，使得()0f ξ'=.这个定理在复变函数中并不成立，例如，取()iz f z e =，()f z 在整个复平面上解析，且()()02f f π=，但()iz f z ie '=，无论z 取什么值都不会为零，也就是说罗尔定理的结论对函数()iz f z e =不成立.故微分中值定理不能直接推广到复变函数中来.又如实函数的积分中值定理为：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，()g x 在[],a b 上不变号，且可积，则()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ⋅=⋅⎰⎰ ， a b ξ<<.特别地若()1g x ≡，则有()()()baf x dx f b a ξ=-⎰ ， a b ξ<<.由此定理很容易推得：若连续函数()f x 在[],a b 内任意一点都不为零，则()0baf x dx ≠⎰.此结论在复变函数中也不成立，取()izf z e =，则()f z 在[]0,2π上任意一点都不为零，且连续，但有22010iz ize dz e iππ==⎰因此积分中值定理的推论在复变函数的积分中不成立.复变函数对中值定理的研究具有重要的意义，很多人都在做这方面的研究，并得到不少重要的结论，文[1]、文[2]就给出了罗尔定理、微分中值定理的结论可推广到解析函数()f z 的导数()f z '的实部()Re f z '⎡⎤⎣⎦和虚部()Im f z '⎡⎤⎣⎦.那么柯西中值定理、积分中值定理是否仍可象前面一样呢？2 定义与引理定义 设E 是复平面上的一个点集，a ，b 是E 上的任意两个不同的点，如果连接a ，b 的线段包含在E 中，则E 称为凸集.引理[]21设()f z 是定义在凸开集D 上的解析函数，1z ，2z D ∈，12z z ≠，()()12f z f z =，则存在ξ，()12,z z η∈使得()Re 0f ξ'=⎡⎤⎣⎦和()Im 0f η'=⎡⎤⎣⎦.引理[]32 设()f z 是定义在凸开集D 上的解析函数，1z ，2z D ∈，12z z ≠，则存在ξ，()12,z z η∈使得()()()2121Re Re f z f z f z z ξ-⎡⎤'=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， ()()()2121Im Im f z f z f z z η-⎡⎤'=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦. 或者()()()(){}()2121Re Im f z f z f i f z z ξη''-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ .3 主要定理定理1 设()f z ，()g z 是定义在凸开集D 上的解析函数，1z ，2z D ∈，12z z ≠，()()12g z g z ≠，则存在ξ，()12,z z η∈使得()()()()()()2121Re Re f z f z f g g z g z ξξ⎡⎤-''=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， ()()()()()()2121Im Im f z f z f g g z g z ηη⎡⎤-''=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦.证明 令()()()()()()()2121f z f z F z f z g z g z g z -=--，显然()()12F z F z =，因此由引理1，存在ξ，()12,z z η∈，使得()Re 0F ξ'=⎡⎤⎣⎦和()Im 0F η'=⎡⎤⎣⎦，但有()()()()()()()2121f z f z F z f z g z g z g z -'''=--，因此()0Re F ξ'=⎡⎤⎣⎦()()()()()()2121Re f z f z f g g z g z ξξ⎡⎤-''=-⎢⎥-⎣⎦()()()()()()2121Re Re f z f z f g g z g z ξξ⎡⎤-''=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， 即()()()()()()2121Re Re f z f z f g g z g z ξξ⎡⎤-''=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦，和()0Im F η'=⎡⎤⎣⎦()()()()()()2121Im f z f z f g g z g z ηη⎡⎤-''=-⎢⎥-⎣⎦()()()()()()2121Im Im f z f z f g g z g z ηη⎡⎤-''=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦，即()()()()()()2121Im Im f z f z f g g z g z ηη⎡⎤-''=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦.定理2 设()f z 是定义在区域D 上的解析函数，()0f z '=，对z D ∈，则()f z 是一个常数.证明 设复常数z D ∈，因为D 是开集，所以存在以z 为中心的某个开圆()N z，()N z D ⊂，()N z 是一个凸开集.设()z N z ∈，z z ≠，由引理2，存在1z ，()2,z z z ∈，使得()()()[]1Re Re Re 00f z f z f z z z -⎡⎤'===⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， 和()()()[]2Im Im Im 00f z f z f z z z -⎡⎤'===⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦. 故()()0f z f z z z-=-，即()()f z f z =.因此，在()N z上，()()f z f z =，由解析函数的唯一性定理，在区域D 上，()()f z f z =，即()f z 是一常数.推论 设()f z ，()g z 是定义在区域D 上的解析函数，且()()f z g z ''=，对z D ∈，则()()f z g z z =+ （z 为某一常数）.证明 作辅助函数()()()F z f z g z =-，因()(),f z g z 是定义在区域D 上的解析函数，故()F z 也为区域D 上的解析函数，且()()()0F z f z g z '''=-=，故由定理2可知()F z z = （z 为常数）， 因此()()f z g z z -=，即()()f z g z z =+.定理3 设函数()f z 是凸区域D 内的解析函数，1z ，2z 是D 内的任意两点，则在1z 与2z 的连线段12z z 上至少存在两点ξ，η使得()()(){}()2121Re Im z z f z dz f i f z z ξη=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰.证明 因为()f z 是区域D 内的解析函数，D 为凸区域，所以1z 与2z 的连线段12z z D ⊂，12z z 的方程()121z z z z t =+- ， 01t ≤≤.由复变函数积分计算法知()()()211121210z z f z dz f z z z t z z dt =+--⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ()(){}(){}{}1211211210Re Im z z f z z z t i f z z z t dt =-+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰()(){}()(){}11211212112100Re Im z z f z z z t dt z z i f z z z t dt =-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰. 因为()f z 为解析函数，故()121f z z z t +-⎡⎤⎣⎦必为t 的连续函数，从而(){}121Re f z z z t +-⎡⎤⎣⎦及(){}121Im f z z z t +-⎡⎤⎣⎦均为t 的连续函数，由实函数中的积分中值定理，必存在α，β[]0,1∈使(){}(){}11211210Re Re f z z z t dt f z z z α+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， (){}(){}11211210Im Im f z z z t dt f z z z β+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰.令()12112z z z z z ξα=+-∈， ()12112z z z z z ηβ=+-∈ ，则()()(){}()2121Re Im z z f z dz f i f z z ξη=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰.4 应用举例例 函数()()2,iz f z e g z z ==都在复平面C 上解析，12120,2,,,z z z z C π==∈且12z z ≠，当(),0,2ξηπ∈ 为何值时成立()()()()()()2121Re Re f z f z f g g z g z ξξ⎡⎤-''=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， ()()()()()()2121Im Im f z f z f g g z g z ηη⎡⎤-''=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦.解 取()()0,2,0,22πξππηπ=∈=∈，下面验证上式成立.()()()[]Re Re Re Re cos sin Re 0i f f ie i i i πξπππ''⎡⎤===+=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()212120Re Re 20f z f z f f g g g z g z g g πξππ⎡⎤⎡⎤--''=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]202Re 24Re 00i i e e πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦== 故有()()()()()()2121Re Re f z f z f g g z g z ξξ⎡⎤-''=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦. 同理()[]2Im Im Im Im cos sin Im 10222i f f ie i i ππππη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫''===+=-=⎡⎤⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()212120Im Im 202f z f z f f g g g z g z g g ππηπ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫''=⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎣⎦⎣⎦[]202Im 4Im 00i i e e πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦== 故有()()()()()()2121Im Im f z f z f g g z g z ηη⎡⎤-''=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦.参考文献[1] 周翠莲、闫保英.变形的微积分中值定理[J].山东轻工业学院学报,1998,12（3）:74-76.[2] 蒋本荣.罗尔中值定理在解析函数中的推广[J].上海工程技术大学学报,1994,8（3）:64-66. [3] 曾韧英.关于复变函数的中值定理[J].重庆师范学院学报（自然科学版）,1998,6:46-47. [4] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.154-295.The Mean-value Theorems for the Functions of the Complex VariableYuan Yuan 01211114(Department of Mathematics, Xuzhou Normal University, Xuzhou 221116)Abstract The mean-value theorem for derivative and mean-value theorem for integral take up an important position in mathematical analysis, but they can’t be used in function of complex directly. By the definition of auxiliary function and integration calculation method, the paper presents and proves the mean-value theorem for integral and Cauchy’s mean-value theorem in function of complex. Meanwhile, a new method about the nature of analytic function of a complex variable is obtained . And an example is given to illustrate the applications of the theory .Keywords function of complex variable; Rolle theorem; mean-value theorem for integral; mean-value theorem for derivative; Cauchy ’s mean value theorem。
关于积分中值定理在积分学中的作用
关于积分中值定理在积分学中的作用
积分中值定理是一个积分学中的重要定理，它用来计算连续函数f函数在固定区域上的定积分。
它是一种有效的积分表达式，可以帮助解决非常复杂的积分问题，从而极大地提高计算效率和精度。
积分中值定理告诉我们，如果将被积函数随机划分为n段，并且将每段内结点值平均分布，则可以将积分运算转化为乘积运算。
它省去了传统计算方法中积分的重复计算的时间和空间，复杂的函数也可以求得精确的结果，提高了积分的效率。
积分中值定理的应用非常广泛，它可以用来解决一些经典的积分定理，例如求极限、计算各种通用函数、验证数学公式等，进而使科学技术得以发展。
由于它能够更有效地积分各种复杂函数，所以它可以将实际工程中的许多繁琐计算简化，为实现工程实践提供便利。
总而言之，积分中值定理在积分学中十分重要，它可以更有效地解决复杂的积分问题。
它的应用主要是在各类工程项目中，可以帮助实现实际的工程实践，使我们能够更加简明有效地求解积分问题。
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点，并且函数在此闭区间内是连续的，的最大值为A，最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。
这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数f(x)在开区间在由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。
当一个函数在某个确定的区间内，存在着；内时，那么这一点就是这个函数的极值点。
在例1中，当1<x<3，，这就是拉格朗日中值定理最简单的形式。
)积分中值定理的推广和应用情形
积分中值定理的推广和应用———积分中值定理的推广定理和应用情形The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading andApplication——Extension theorem of integral mean value theorem and itsapplication论文作者：专业：指导老师：完成时间：摘要积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。
它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。
积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明，但这两个定理的推广与应用尚未提及。
在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程，并且给出了集中推广形式。
在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结，并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。
The integral mean value theorem and the differential mean value theorem play an important role in the calculus.Differential mean value theorem is a powerful tool to study the function.It reflects the relation between the local property of the derivative and the integral of the function. And the integral mean value theorem plays a very important role in the proof of the mean value problem.It is one of the basic theorems of the definite integral part in the course of mathematical analysis.The integral mean value theorem includes the first mean value theorem of integrals and the second mean value theorem of integrals,we have learned the proof of the two theorems In the course of mathematical analysis.But the extension and application of these two theorems have not been mentioned yet.Here, I discuss the first mean value theorem of integrals and the second mean value of the integrals and give a detailed proof of these theorems and I give the form of centralized generalizations here.In the application of the integral mean value theorem, I give some simple situations such as the estimation of the integral value, and the limit of the definite integral, the integral number and so on.And by citing examples,I summarized and fully reflect the integral mean value theorem in the application of learning problem solving exercises.关键词：积分中值定理；推广；应用Keyword:mean value theorem of integrals; extension; Application1 引言中值定理在数学分析中占有非常重要的地位，学好积分中值定理和微分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。
考研数学高数中值定理的详解
考研数学高数中值定理的详解考研数学高数中值定理的详解我们在准备考研数学高数的复习手，面对中值定理，我们应该掌握好它的方法。
店铺为大家精心准备了考研数学高数中值定理的解析，欢迎大家前来阅读。
考研数学高数7大中值定理详解七大定理的归属。
零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。
三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。
积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。
对使用每个定理的体会学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。
关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。
从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。
应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。
3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。
应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。
在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。
复变函数_柯西积分公式
复变函数_柯西积分公式
首先，我们来给出柯西积分公式的数学表达式。
设函数f(z)在区域D 上解析，z0是D的任意一点，C是区域D中的一条简单闭曲线，它将点
z0围成。
那么有以下柯西积分公式：
∮C f(z)dz = 2πiRes(f(z), z0)
其中，Res(f(z), z0)表示函数f(z)在点z0的留数（residue）。
柯西积分公式可以理解为解析函数的全纯性和局部性的结合。
通过柯西积分公式，我们可以在解析函数的全纯区域内，通过曲线上的积分计算导数的全纯积分值。
柯西积分公式具有一些重要的推论和应用。
其中之一是柯西积分公式的重要推论，柯西定理。
柯西定理是柯西积分公式对于区域内解析函数的整体性的推广。
具体地说，柯西定理是指在区域D上的任意闭曲线上的积分为0，即∮C f(z)dz = 0，其中C是D中的一条闭曲线，f(z)是D上的解析函数。
柯西积分公式也有一些重要的应用。
例如，通过柯西积分公式可以证明解析函数具有无穷阶导数的性质。
f^(n)(z0) = (n-1)! * ∮C [f(z)/(z-z0)^(n)]dz
柯西积分公式还有一些其他的推论和应用，在现代复变函数理论中扮演着重要的角色。
例如，柯西积分公式为计算复变函数的积分提供了一种有效的方法，同时也为解析函数的全纯性质的研究提供了基础。
此外，柯西积分公式还与调和函数、傅里叶变换和复变函数的辐角原理等有关。
推广的积分中值定理及其应用
推广的积分中值定理及其应用摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性.关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理Promotion of Integral Mean ValueTheorem and Its ApplicationAbstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system topromote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after.Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem1预备知识在本部分中具体叙述了这篇论文中所需要的相关知识,包括导函数介值性定理、拉格朗日中值定理以及变上限积分函数的定义和性质等,这些理论知识为第二部分的定理推导以及证明做了铺垫,所以起了重要的作用.1.1设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0abg x dx >⎰则存在[,](,)c d a b ⊂使得()0dcg x d x >⎰1.2 设()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=1.3若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=1.4若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰1.5（拉格朗日中值定理）若函数()f x 满足如下条件: （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续; （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ使得'()()()f b f a f b aξ-=-1.6变上限积分函数:设()f x 在[,]a b 上可积,x 为[,]a b 内任意一点,则称函数()()xax f t dt φ=⎰为变上限积分函数1.7变上限积分函数有以下若干性质 （1）有界性命题1 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上有界（2）连续性命题2 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上连续 （3）可积性命题3 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上可积 （4）可微性（原函数存在定理）()f x 在[,]a b 上连续,则()x φ在[,]a b 上处处可导.且'()()()xad x f t dt f x dx φ==⎰ [,]x a b ∈2 推广的积分中值定理积分第一中值定理在数学分析教材中为:若()f x 在[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰推广的积分第一中值定理在数学分析教材中为:()f x ,()g x 都在[,]a b 上连续,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰我们知道积分中值定理可用于确定数列及函数列的极限,确定零点分布,判别函数的敛散性,证明积分不等式等.但观察上述式子我们发现ξ的取值有时会在两个端点处取得,有的习题用原有的积分中值定理不能够解答出来.例如在证明积分不等式时,运用原有的积分中值定理我们只可以证明≤或≥的情况,所以带有一定的局限性.下面我们对原有的积分中值定理做一下加强,使“ξ”的范围由闭区间缩小到开区间,即得到了下面所叙述的推广的积分中值定理.2.1积分第一中值定理的推广定理 2.1(1)若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ使得:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立证明: 作辅助函数()()x aF x f t dt =⎰ [,]x a b ∈则()F x 是[,]a b 的可微函数,且'()()F x f x =.由微积分学中值定理,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得:'()()()()F b F a F b a ξ-=-注意到()()ba Fb f x dx =⎰,()0F a =,即有()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈2.2推广的第一积分中值定理的加强引理1 设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0ba g x dx >⎰,则存在[,](,)c d ab ⊂使得()0dcg x dx >⎰证明:用反证法作辅助函数()()b x a xG x g t dt -+=⎰[0,]2b a x -∈,则()G x 是[0,]2b a-上的非负连续函数.若命题不成立,则对任意的(0,)2b ax -∈有()G x ≡0,令x o →+,得(0)()0b a G g t dt ==⎰,产生矛盾.引理2 ()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈,若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=证明:作辅助函数0()()()H x f x f x =-,我们不妨设12x x <,因为()f x 在[,]a b 上连续,故()H x 也连续,从而在12[,]x x 上连续.1()0H x >,2()0H x <由连续函数的零点定理知存在12(,)x x ξ∈使得()0H ξ=即当然0()()f f x ξ=其中(,)a b ξ∈.引理3 若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰证明:倘若有某0[,]x a b ∈,使0()0g x >,由连续函数的局部保号性知存在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+,使在其中0()()02g x g x ≥>,则 00000000()()()()()00()02bx x b x aax x x g x g x dx g x dx g x dx g x dx dx g x δδδδδδδ-++-+-=++≥++=>⎰⎰⎰⎰⎰证毕.定理 2.2 设()f x 在[,]a b 上连续,()g x 在[,]a b 上可积不变号,则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证法1(2)证明:1︒()0bag x dx =⎰时,此时,由推广的积分中值定理知,存在[,]a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰=0于是对任意的0(,)x a b ∈有0()()()()bbaaf xg x dx f x g x dx =⎰⎰命题成立2︒当()0g x ≥，且()0bag x dx >⎰时，若命题不成立，即不存在(,)a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰则由推广的积分中值定理知，只能有()()()()b baaf xg x dx f a g x dx =⎰⎰ （1）或者 ()()()()b baaf xg x dx f b g x dx =⎰⎰ 成立 （2）若是命题不成立而（1）成立,则在(,)a b 内()()f x f a ≠ 由引理2在(,)a b 内恒有()()f x f a >或者()()f x f a <,不妨设()()f x f a >,而对()g x 运用引理2存在[,](,)c d a b ⊂,使得()0dc g x dx >⎰于是()()()()()()()()()()bbcdbaaacdf ag x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx ==++⎰⎰⎰⎰⎰=123()()()()()()c d bacdf g x dx f g x dx f g x dx ξξξ++⎰⎰⎰其中1[,]a c ξ∈,2[,]c d ξ∈,3[,]d b ξ∈,这是根据推广的积分中值定理得出的,由于1()()f f a ξ≥,()0cag x dx ≥⎰,2()()f f a ξ>,()0dcg x dx >⎰,3()f ξ中的3b ξ≠时3()()f f a ξ>.当3b ξ=时,对()()f x f a >,0x b →-,由()f x 在[,]a b 上的连续性可知,()()f b f a ≥而()0dd g x dx ≥⎰,综上可得到()()()()()()()()()()b c d b baacdaf ag x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx >++>⎰⎰⎰⎰⎰这是一个矛盾,因此命题成立.若是命题不成立而（2）成立,同样可得出矛盾,因此定理得以证明3︒ 当()0g x ≤,且()0ba g x dx <⎰时此时()0g x -≥,且[()]0bag x dx ->⎰,由情形2的讨论知,存在(,)a b ξ∈,使得()[()]()[()]bb aaf xg x dx f g x dxξ-=-⎰⎰ 即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ (,)a b ξ∈总之,定理2.2完全得以证明证法2(3)证明:令()()xaF x f t dt =⎰,由拉格朗日中值定理知,(,)a b ξ∃∈,使得'()()()F b F a F b aξ-=-,即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰不妨设()0g x ≥,[,]x a b ∈,若()g x 在[,]a b 上恒为零,则结论显然成立.若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰令()()()x aF x f t g t dt =⎰,()()xaG x g t dt =⎰,在[,]a b 上应用柯西中值定理，(,)a b ξ∃∈,使''()()()()()()()()()()()()()babaf tg t dtF b F a F f g fG b G a G g g t dtξξξξξξ-=⇒==-⎰⎰即()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰2.3积分第二中值定理的推广在数学分析教材中积分第二中值定理是这样叙述的,设函数()f x 在[,]a b 上可积 （1）若函数()g x 在[,]a b 上减,且()0g x ≥,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰（2）若函数()g x 在[,]a b 上增,且()0g x ≥,则存在[,]a b η∈,使得()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰其推论为:设函数()f x 在[,]a b 上可积,若()g x 为单调函数,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰现在研究一下推论的情形:在第一积分中值定理中,我们把ξ的取值区间由闭区间缩小到开区间,但对于积分第二中值定理是否可以做这样的加强呢,看一下下面的例子:在闭区间[,]a b 上()1f x =,1[,)()2x a b g x x b ∈⎧=⎨=⎩若在(,)a b 上存在ξ使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰即 ()()()()2()2b a g a a g b b a b b a ξξξξξ-=-+-=-+-=--所以b ξ=,即ξ在[,]a b 的端点.这个例子告诉我们积分第一中值定理的加强结果对于积分第二中值定理不一定成立,但是这里的有限区间[,]a b 却可以换成[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞.此处只讨论第一种情况定理 2.3(4)设()g x 在[,)a +∞上单调有界,()f x 在[,)a +∞上可积,且()f x 没有+∞以外的瑕点,则存在[,)a ξ∈+∞使得()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰这里()lim ()x g g x →+∞+∞=证明:不妨设()g x 在[,)a +∞上单调下降,由于()g x 有界,所以()g x 在+∞处有有限的极限,记为()g +∞,于是可记()()()G x g x g =-+∞,则()0G x ≥,而对于任意的有穷区间[,]a A ,由第二积分中值定理可知,总有[,]a A η∈使得:()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰而()()A aF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,又()f x 在[,)a +∞上可积,则()F A 在[,)a +∞上有有穷的下确界和上确界,不妨记[,)inf ()A a m F A ∈+∞=,[,)sup ()A a M F A ∈+∞=,则有()m F A M ≤≤又因为()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰所以有()()()()AamG a G x f x dx MG a ≤≤⎰再令A →+∞,则有()()()()amG a G x f x dx MG a +∞≤≤⎰令 ()()()aG a G x f x dx μ+∞=⎰, （3）则有()()()mG a G a MG a μ≤≤如果()0G a ≠则m M μ≤≤,因为()()AaF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,所以()F A 可以达到其上确界M 和下确界m 及上确界和下确界之间的任意值,即存在[,)a ξ∈+∞使得()af x dx ξμ=⎰将其带入（3）式就有()()()()aaG a f x dx G x f x dx ξ+∞=⎰⎰即(()())()(()())()aag a g f x dx g x g f x dx ξ+∞-+∞=-+∞⎰⎰所以()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰如果()0G a =,因为()g x 在[,)a +∞上单调下降,所以()G x 在[,)a +∞上单调下降,又因为()0G x ≥即()0G x =所以()()g x g =+∞,即()g x =常数,那么对任意的[,)a ξ∈+∞,都有()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰证毕.这个定理告诉我们:第二积分中值定理虽然在有限开区间上不一定成立,但在无穷区间上却是成立的.通过以上的推导过程我们会发现在积分中值定理的前提下,ξ必可以在开区间中取得.在微积分学中积分中值定理和微分中值定理两者在一定意义上是互逆的、对立的,这种辩证的对立统一使微积分的内容更加丰富多彩,但两者中间点ξ的存在区间是不统一的,给其相关理论和应用带来了不便,但改动之后,推广的积分中值定理与微分中值定理的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性,以及两个定理之间的联系.一方面可由微分中值定理推出积分中值定理根据牛顿—莱布尼茨公式:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的原函数即'()()F x f x =,[,]x a b ∈,显然()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是至少存在一点(,)a b ξ∈使得'()()()()F b F a F b a ξ-=-()()f b a ξ=- (,)a b ξ∈即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈另一方面,推广的积分中值定理推出微分中值定理:若()f x 在[,]a b 上有连续的导函数,直接计算得:'()()()baf x dx f b f a =-⎰ （4）而由推广的积分中值定理至少存在一点(,)a b ξ∈,使得''()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（5）由（4）和（5）有'()()()()f b f a f b a ξ-=-,这正是微分中值定理.2.4 导函数的积分中值定理及其应用在微积分学中,积分中值定理与微分中值定理都有着很重要的地位,下面我们将积分中值定理条件下的连续函数推广到导函数,并用Darboux 定理给出了详尽的证明,由此我们得出了导函数积分中值定理.引理1(5)（Darboux ） 若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=引理2 若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰定理 2.4(6)若'()f x 为[,]a b 上的导函数,()g x 为[,]a b 上的连续函数,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点ξ[,]a b ∈,使得''()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证明:不妨设()0g x ≥,'()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为别为M 与m ,其中M 可以取+∞,m 可以取-∞,在a 点取'()f a +,在b 点取'()f b -,令()0ba I g x dx =≥⎰,又'()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤,([,])x a b ∈,则有'()()()()bbbaaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰当0I =或m M =时,任意取(,)a b ξ∈均可当0I >或m M <时,令'1()()b a u f x g x dx I=⎰ ()m u M ≤≤ 当m u M ≤≤时,由Darboux 定理知,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ= 当m u M =<时,利用反证法证明存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=若对一切的(,)x a b ∈,有'()0f x u ->且()0baI g x dx =>⎰,则()g x 在[,]a b 上不恒为零,即存在0[,]x a b ∈,使得0()0g x >,由连续函数的保号性知存在0x 的邻域00(,)x x σσ-+（当0x a =或0x b =时,则为右邻域或左邻域）使得对于任意的00(,)x x x σσ∈-+,有0()()02g x g x ≥>,则 0000'''0()(())()(())()(())2bx x ax x g x f x u g x dx f x u g x dx f x u dx σσσσ++--->-≥-⎰⎰⎰ 由引理2可得00'(())0x x f x u dx σσ+-->⎰,从而有'(())()0b af x ug x dx ->⎰另一方面:''0(())()()()()0bbbaaaf x ug x dx f x g x dx u g x dx uI uI <-=-=-=⎰⎰⎰出现矛盾,故原命题成立,即当m u M =<时,存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=当m u M <=时,同理可证必存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=成立同理可证二阶导函数,n 阶导函数对上述的导函数的积分中值定理成立,只要我们把它们看成一阶连续导函数和n-1阶连续导函数的导函数,便可用同样的方法得证.定理2.4的应用说明例1 设函数()f x 在[,]a b 上二次可微,证明存在一点(,)a b ξ∈,使得''324().[()()]()2b aa bf f x f dx b a ξ+=--⎰ 证明:记02a bx +=,将被积函数在0x x =处按泰勒公式展开,得 2'''0000()()()()()()2x x f x f x x x f x f η--=-+其中η在x 与0x 之间,因为'00()()0bax x f x dx -=⎰,即2''00()(()())()2bbaax x f x f x dx f dx η--=⎰⎰由定理知存在(,)a b ξ∈使32''''2''00()()()()()()12bba ab a x x f dx f x x dx f ηξξ--=-=⎰⎰从而''324().[()()]()2b a a bf f x f dx b a ξ+=--⎰例2 已知导函数'()f x 在[1,2]上有界,求证2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰证明:导函数'()f x 在[1,2]上有界,所以存在正数M ,对[1,2]ξ∈,有'()f M ξ<,由定理1知,存在1(1,2)ξ∈,2(1,2)ξ∈, 使得222'''1111()()()n nnx x f x edx f edx f eξξξ---==⎰⎰从而有2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰3 推广的积分中值定理的应用3.1用于确定零点分布例3 (7)证明:若()f x 在[,]a b 上连续,且()()0b ba af x dx xf x dx ==⎰⎰,则在(,)a b 内至少存在两点1x ,2x 使得12()()f x f x =证明:设()()xa F x f t dt =⎰那么我们有()()()0baf x dx F b F a =-=⎰,所以()()F b F a ==0又因为()()()()bbbba aaaxf x dx xdF x xF x F x dx ==-=⎰⎰⎰ ()()()()bF b aF a F b a ξ---所以可得; ()()()()b a F b F b a ξ-=-,所以()()()F b F F a ξ===0 证毕例4(8) 证明:若()f x 在[0,]π上连续,且0()()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,证明:存在两点1ξ,2ξ (0,)π∈,使得 12()()0f f ξξ==证明:令0()()xF x f t dt =⎰ 即'()()F x f x =,()(0)0F F π==00()cos cos ()cos ()()cos f x xdx xdF x xF x F x d xππππ==-⎰⎰⎰()sin ()sin .0F x xdx F πξξπ===⎰所以()0F ξ= (0,)ξπ∈,对()F x 在(0,)ξ,(,)ξπ上使用罗尔定理,即存在1(0,)x ξ∈,2(,)x ξπ∈满足'1()0F x =,'2()0F x =,即12()()0f x f x ==证毕 例5(3)假如()f x 在[0,]π上连续,且0()sin ()cos 0f x xdx f x xdx ππ==⎰⎰,则()f x 在(0,)π内至少有两个零点.证明:由已知条件,并运用推广的积分中值定理得0()sin ()sin 2()()0f x xdx f xdx f f ππξξξ===⇒=⎰⎰,(0,)ξπ∈即()f x 在(0,)π有一个零点，假如仅有一个零点x ξ=,则()f x 在[,]a ξ与[,]b ξ上均不变号,且异号,那么()sin()f x x dx ξ-在[0,]π上保持同号,连续且不恒为零,必有()sin()0f x x dx πξ->⎰（或0<）与已知0()sin()cos ()sin sin ()cos 0f x x dx f x xdx f x xdx πππξξξ-=-=⎰⎰⎰矛盾.3.2 证明积分不等式在证明积分不等式时,常常考虑积分中值定理以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可考虑用积分第一或第二中值定理,对于某些不等式的证明运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不等式根被就不能得以证明,而运用了推广的积分中值定理后,则可以得到“>”的结论,或者成功的解决.例6(9) 假设()f x 在[0,1]上连续并且单调递减,证明对任何的(0,1)a ∈有1()()af x dx a f x dx >⎰⎰证明:将要证的不等式移项11()()()()()aa a af x dx a f x dx f x dx a f x dx a f x dx -=--⎰⎰⎰⎰⎰1(1)()()aaa f x dx a f x dx =--⎰⎰因为()f x 单调递减,所以在区间[0,]a 上()()f x f a ≥,即0()()af x dx af a ≥⎰,再对上式右边第二项运用推广的积分中值定理,即存在ξ其中1a ξ<<,使上式变成1(1)()()(1)()()(1)(1)[()()]a aa f x dx a f x dx a af a af a a a f a f ξξ--≥---=--⎰⎰因为()f x 单调递减,且1a ξ<<,,所以(1)[()()]0a a f a f ξ-->,即得证.例7(9) 设()f x 在[,]a b 上连续且单调递增,证明()()2bbaaa b xf x dx f x dx +>⎰⎰证明:将要证的不等式移项,并分部积分得()()2bbaa ab xf x dx f x dx +-⎰⎰ 22()()()()()()222a bbb a b a a a b a b a bx f x dx x f x dx x f x dx +++++=-=-+-⎰⎰⎰ 令()()2a b g x x +=-,显然()f x ,()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上可积,且()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上不变号,由推广的积分中值定理知:即存在11()2a b a ξξ+<<,22()2a bb ξξ+<<,使得221222()()()()()()()()2222a ba bb b a b a b aa ab a b a b a b x f x dx x f x dx f x dx f x dxξξ++++++++-+-=-+-⎰⎰⎰⎰整理得221()[()()]8a b f f ξξ+-,因为()f x 是单调递增函数,122a b a b ξξ+<<<<,所以221()[()()]08a b f f ξξ+->,证毕. 在上述例子中我们可以看到有的题原积分中值定理不适用,而推广的积分中值定理可以将问题解决.在例6中如果运用原积分中值定理,由1a ξ≤≤只能得到“0≥”的结论;而在例7中也只能得到12()()f f ξξ≤的结论.3.3求极限例8(10)证明10lim 01nn x dx x→∞=+⎰ 证明:0ε∀>,如果取1[0,1]2ξε∈-,则有10lim 01nn dx ξξ→∞=+⎰,即N ∃,当n N >时,有12n ξεξ<+,又因为:11120012111n n n x x x dx dx dx x x x εε--=++++⎰⎰⎰对等式右边第一个积分运用中值定理,对第二个积分的被积函数用不等式011n x x <≤+,则有当n N >时有100[2]122n x dx x εε<<-+⎰,所以有10lim 01n n x dx x→∞=+⎰ 证毕.参考文献[1] 杨延龄,邹励农,章栋恩.高等数学微积分700例题[M].中国建材工业出版社.2004年10月.123页.[2] 陈卫星,马全中.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进[J]. 中国煤碳经济学院学报,1994年,第1期.54,55页.[3] 郝涌,李学志,陶有德.数学分析选讲[M].国防工业出版社.2010年4月.83页,94页.[4] 朱碧,王磊.第二积分中值定理的一些推广及其应用[J]. 考试周刊, 2008年,第30期.49页.[5] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京.高等教育出版社.2003年.[6] 谢焕田.积分中值定理的推广及其应用[J].高师理科学刊,2009年,第5期.8,9页[7] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社.1991年.[8] 许洪范.考研微积分500例[M]. 国防工业出版社.2009年3月.121页.[9] 李海军.积分中值定理的应用[J].赤峰学院学报.2010年,第6期,4页.[10]荆江雁.积分中值定理得推广[J].常州工学院学报.2007年,第1期 ,53页.致谢从选择论文题目到搜集材料再到一遍又一遍的修改仿佛经历了太长的时间,论文比我想象中要难写的多,我明白想写好一篇优秀的论文就必须付出百倍的努力,在论文即将交稿之时,心里多了一些轻松,同时多了一丝伤感.自己的大学生活随着论文的结束而画上了一个句号.回想自己写论文的全过程,自己最要感谢的是论文导师许宏文老师,她为人很随和,治学严谨,对待工作认真,对待学生负责,许老师给人一种很容易接近的感觉,忘不了第一次接许老师电话的情景:她耐心的给我指点着,细心的帮我分析写这篇论文的注意事项……之所以论文会顺利的完成许老师付出了太多,太多.一遍一遍的检查,一遍又一遍的帮我指出错误,在这里我想说声:许老师:您辛苦了！真的谢谢您！最后要感谢我的学校,感谢教予我知识的老师,感谢我四年的大学生活,在这四年里自己学到了很多,也成长了很多.谢谢！。
拉格朗日中值公式
拉格朗日中值公式
拉格朗日中值公式是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
这个公式在求解函数的极值、证明函数的连续性等方面都有着重要的应用。
拉格朗日中值公式的表述为：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则存在一个c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这个公式的意义是，对于一个连续可导的函数f(x)，在区间[a,b]上，它在两个端点a和b的函数值之差，等于在这个区间内某个点c处的导数f'(c)与区间长度(b-a)的乘积。
这个公式的证明可以通过构造一个辅助函数g(x)=f(x)-kx，其中k 是一个常数，使得g(a)=g(b)，然后应用罗尔定理，证明在(a,b)内存在一个点c，使得g'(c)=0，即f'(c)=k。
因此，拉格朗日中值公式也被称为拉格朗日中值定理。
这个公式的应用非常广泛，例如在求解函数的最大值和最小值时，可以通过求解函数的导数，找到函数的极值点，然后应用拉格朗日中值公式，求出函数在这些点处的函数值，从而得到函数的最大值和最小值。
此外，这个公式还可以用来证明函数的连续性，例如证明有理函数在其定义域内是连续的。
拉格朗日中值公式是微积分中的一个重要定理，它在求解函数的极值、证明函数的连续性等方面都有着重要的应用。
掌握这个公式的
应用方法，可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识。
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理公式泰勒中值定理公式简介泰勒中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明一个光滑函数在某一点附近可以用一个无穷级数展开，并且展开式中的每一项都与函数在该点的导数有关。
泰勒中值定理在数值计算、函数逼近等领域有重要的应用。
泰勒公式泰勒公式可以写作以下形式：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+f‴(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+R n(x)其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。
R n(x)是一个余项，表示剩余部分。
一阶泰勒展开一阶泰勒展开是泰勒公式的特殊情况，当n=1时，泰勒公式可以简化为：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+R1(x)这个公式表示了函数f(x)在点a处的一阶近似。
举个例子，考虑函数f(x)=sin(x)在点a=0处展开。
根据一阶泰勒展开公式，我们有：sin(x)=sin(0)+cos(0)(x−0)+R1(x)化简得：sin(x)=x+R1(x)这表示在原点附近，sin(x)可以近似为x。
二阶泰勒展开二阶泰勒展开是泰勒公式的下一个级别，当n=2时，泰勒公式可以简化为：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+R2(x)这个公式表示了函数f(x)在点a处的二阶近似。
举个例子，考虑函数f(x)=cos(x)在点a=0处展开。
根据二阶泰勒展开公式，我们有：cos(x)=cos(0)+sin(0)(x−0)+−cos(0)2!(x−0)2+R2(x)化简得：cos(x)=1−12x2+R2(x)这表示在原点附近，cos(x)可以近似为1−12x2。
高阶泰勒展开泰勒展开还可以一直延伸到更高阶。
当n很大时，泰勒展开可以越精确地近似函数。
但需要注意的是，高阶泰勒展开的计算相对复杂，因此常常只会取前几阶展开项来近似。
总结： - 一阶泰勒展开：f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a) - 二阶泰勒展开：f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2以上是针对泰勒中值定理公式的简要介绍和示例解释。
关于复变函数的微分中值定理及其证明
关于复变函数的微分中值定理及其证明复变函数的微分中值定理是复变函数理论中的重要定理之一。
它是指在复平面上，如果一个函数在某个区域内解析，那么它在该区域内的任意两点之间的导数值至少有一个等于这两点之间的函数值的差除以这两点之间的距离。
具体来说，设$f(z)$在区域$D$内解析，$z_1$和$z_2$是$D$内的任意两点，且$z_1\neq z_2$。
则存在一点$z_0$，使得$$\frac{f(z_2)-f(z_1)}{z_2-z_1}=f'(z_0)$$其中$z_0$在$z_1$和$z_2$的连线上。
这个定理的意义在于，它告诉我们在解析函数的情况下，函数值的变化与导数的变化是相互联系的。
这个定理在实际应用中有着广泛的应用，比如在物理学、工程学、金融学等领域中都有着重要的应用。
下面我们来证明这个定理。
证明：设$z_1$和$z_2$是$D$内的任意两点，且$z_1\neq z_2$。
令$g(z)=f(z)-\frac{f(z_2)-f(z_1)}{z_2-z_1}(z-z_1)$，则$g(z)$在$D$内解析，并且$g(z_1)=f(z_1)$，$g(z_2)=f(z_2)$。
由柯西积分定理，有$$g(z_2)-g(z_1)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{g(z)}{z-z_2}-\frac{g(z)}{z-z_1}dz$$其中$C$是以$z_1$和$z_2$为端点的任意简单闭合曲线，且不经过$z_1$和$z_2$。
因为$g(z)$在$D$内解析，所以根据柯西积分定理，上式右边的积分为$0$。
因此，$$g(z_2)-g(z_1)=0$$即$$f(z_2)-f(z_1)=\frac{f(z_2)-f(z_1)}{z_2-z_1}(z_2-z_1)$$移项得$$\frac{f(z_2)-f(z_1)}{z_2-z_1}=f'(z_0)$$其中$z_0$在$z_1$和$z_2$的连线上。
高数知识点总结
高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx）,对数函数(y=lnx）,幂函数（y=x）,指数函数（）,三角函数（y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如:4、两个重要极限：经验公式：当,例如：5、可导必定连续，连续未必可导。
例如:连续但不可导.6、导数的定义:7、复合函数求导：例如：8、隐函数求导：(1）直接求导法；（2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：9、由参数方程所确定的函数求导：若，则，其二阶导数:10、微分的近似计算: 例如:计算11、函数间断点的类型：（1）第一类：可去间断点和跳跃间断点;例如:（x=0是函数可去间断点），(x=0是函数的跳跃间断点）（2）第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如:（x=0是函数的振荡间断点）,(x=0是函数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线:铅直渐近线:斜渐近线：例如：求函数的渐近线13、驻点：令函数y=f(x），若f'(x0)=0，称x0是驻点。
14、极值点:令函数y=f（x）,给定x0的一个小邻域u（x0,δ），对于任意x∈u（x0,δ）,都有f（x）≥f(x0),称x0是f（x）的极小值点；否则,称x0是f(x）的极大值点。
极小值点与极大值点统称极值点。
15、拐点:连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点.16、拐点的判定定理:令函数y=f（x)，若f”(x0）=0，且x〈x0，f”（x）〉0；x〉x0时,f”（x）<0或x〈x0，f”(x）〈0；x〉x0时,f”（x）>0，称点（x0，f（x0)）为f（x）的拐点.17、极值点的必要条件：令函数y=f（x），在点x0处可导，且x0是极值点,则f’(x0）=0。
18、改变单调性的点：,不存在,间断点（换句话说，极值点可能是驻点,也可能是不可导点）19、改变凹凸性的点：，不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）20、可导函数f（x）的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点。
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复函数积分中值公式
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 唐文玲， 陈新一 唐文玲(甘肃省商业学校,甘肃,兰州,730060)， 陈新一(甘肃联合大学,数学系,甘 肃,兰州,730000) 甘肃教育学院学报(自然科学版) JOURNAL OF GANSU EDUCATION COLLEGE(NATURAL SCIENCE EDITION) 2002，16(2) 2次
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甘肃教育学院学报 （自然科学版）
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实分析中有一套重要而优美的中值公式， 无论是微分中值公式， 还是积分中值公式， 实际上 都是适合特定等式的某区间内的 “中值点” 的存在定理 & 正是由于这种存在性， 使得中值公式具有 许多方面的应用 & 本文利用行列式和复函数微分中值公式， 给出复函数的一个概括性积分中值公 式， 由它可以导出若干复函数的积分中值公式 &
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（*） . % " . 将此式展开整理即可得到式
由定理 % 我们可以得到 推论 ! 设函数 （ ， （ $） 在单连通区域 ( 内连续， 且对于 ( 内任一围线 ! 有 " $） 0 " $） !$ % !（
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则" （ #） 在区域 0 内解析， 且有 " （ %） （ (） 由引理 # 知， 存在满足条件 # ( # 1 （ ’" ’ %， ! % ) (） * 使得 " （ 由行列式的性质， 式 （&） 可改写为 # 1 ! % ( ( 的点 # ， 2 #） ’ %，
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（ $ ）% 证明 只须作函数 " 得， 存 在 满 足 条 件
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） （%） ， （ %） （ %） ， 式中 （ & %（ %） ’（ & %） 4 ’4 * / # 是一自然数 3 由定理 # 的证明我们可以得到
定理 " 设函数 &（ ， ， …， （ #） 在单连通区域 0 内连续， 且对 0 内任一围线 - 有 &（ &/ # #） ! #）