考点测试14

y＝2x－1， 由 2 y＝ax ＋a＋2x＋1，
得 ax2＋ax＋2＝0.∴Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8(a＝0 舍去)．
12
第一步
第二步
第一部分 / 第二章 函数、导数及其应用
1 11． [2015· 陕西高考]设曲线 y＝e 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝x (x>0)上点 P 处的 (1,1) ． 切线垂直，则 P 的坐标为________
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第一步
第二步
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17．[2015·吉林长春检测]已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y
＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程是( A．y＝2x－1 C．y＝3x－2 解析 ) B．y＝x D．y＝－2x＋3
令x ＝1得f(1)＝1，令2－x ＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得
与g(x)满足( ) B．f(x)＝g(x)＝0 D．f(x)＋g(x)为常数函数 A．f(x)＝g(x) C．f(x)－g(x)为常数函数 解析 由f′(x)＝g′(x)， 得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0. 所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
7
第一步
第二步
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f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化简整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，
∴f(1)＝1，f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
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第一步
第二步
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18．[2015· 宁夏育才中学月考]点 P 是曲线 x2－y－ln x＝0 上的任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离为( A．1
2
①
b 又 y′＝2ax－x2，且曲线在点 P(2，－5)处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，所 7 b 以 4a－4＝－2.
a＝－1， 由①②解得 b＝－2.
14
第一步
② 所以 a＋b＝－3.
第二步
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13．[2013· 江西高考]设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝ 2 ________. 解析 ∵f(ex)＝x＋ex，∴f(x)＝x＋ln x(x>0)．
高考总复习首选用卷· 文科数学
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第一部分
考点通关练
第二章 函数、导数及其应用
考点测试14 变化率与导数、导数的计算
1
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考 点 名 片 高考 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，分值5分、12分，中 概览 档难度
1 ∴f′(x)＝1＋ x，∴f′(1)＝1＋1＝2.
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三、模拟小题 14．[2015· 辽宁五校联考]已知 f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则 f(x)在点 P(－1,2)处的切 线与坐标轴围成的三角形的面积等于( A．4 25 C． 4
解析
15．[2016· 河南模拟]如果 f′(x)是二次函数，且 f′(x)的图象开口向上，顶点坐 标为(1， 3)，那么曲线 y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角 α 的取值范围是(
π A．0，3 π 2π C．2， 3 π π B．3，2 π D．3，π
B．
4
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第二步
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13 3．一质点做直线运动，由始点经过 t s 后的距离为 s＝3t －6t2＋32t，则速度为 0 的时刻是( A．4 s 末 C．0 s 末与 8 s 末 ) B．8 s 末 D．4 s 末与 8 s 末
解析
s′＝t2－12t＋32，由导数的物理意义可知，速度为零的时刻就是s′＝0的时
8
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7．已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直 线 l 的方程为( ) B．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
y0＝x0ln x0， x，∴ y0＋1＝1＋ln x0x0，
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二、高考小题
8． [2013·大纲全国卷 ]已知曲线 y ＝x4 ＋ax2 ＋1 在点(－1 ， a＋ 2)处切线的斜率为 8，则a＝( A．9 C．－9 ) B．6 D．－6
解析 由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6.故选D．
x
解析 ∵函数 y＝ex 的导函数为 y′＝ex， ∴曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1＝e0＝1. 1 1 设 P(x0，y0)(x0>0)，∵函数 y＝x 的导函数为 y′＝－x2， 1 1 ∴曲线 y＝x (x>0)在点 P 处的切线的斜率 k2＝－x2， 0 1 － 2＝－1，解得 x2 则有 k1k2＝－1，即 1· 0＝1，又 x0>0，∴x0＝1. x 0 1 又∵点 P 在曲线 y＝x (x>0)上， ∴y0＝1，故点 P 的坐标为(1,1)．
3
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2．已知函数 f(x)＝xsinx＋cosx，则 π A．2 C．－1
π f′2的值为(
)
B．0 D．1
解析 f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，
π π π ∴f′ 2 ＝2cos2＝0，故选
一、基础小题 1．辨析思悟： 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( × ) (2)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) 1 2 (5)若 f(x)＝f′(a)x ＋ln x(a>0)，则 f′(x)＝2xf′(a)＋x .( √ ) (6)函数 y＝ x3的导数是 y′＝ 3x2.( × )
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b 12．[2014· 江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax ＋x (a，b 为常数)
2
过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值 －3 ． 是________
解析 b b 因为曲线 y＝ax ＋x 过点 P(2，－5)，所以 4a＋2＝－5.
)
解析
2
由题意可设 f′(x)＝a(x－1)2＋ 3(a>0)，即函数切线的斜率为 k＝f′(x)＝
π π a(x－1) ＋ 3≥ 3，即 tanα≥ 3，∴3≤α<2，故选 B．
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16．[2015· 郑州二检]如图，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx ＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，令 g(x)＝xf(x)，g′(x)是 g(x) 的导函数，则 g′(3)＝( A．－1 C．2
解析 设P0(x0，y0)，由y′＝3x2＋1，得
y′|x＝x0＝3x＋1，由题意得3x＋1＝4，
∴x＝1，即x0＝±1. 当x0＝1时，y0＝0，当x0＝－1时，y0＝－4. 故P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选B．
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5．f(x) 与g(x) 是定义在R上的两个可导函数，若f(x) ，g(x) 满足 f′(x)＝g′(x) ，则f(x)
解析
) B．0 D．4
1 1 由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－3，即 f′(3)＝－3.又
g(x)＝xf(x)， g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 由题图可知 f(3)＝1， 所以 g′(3)
1 ＝1＋3×－3＝0.
1.了解导数概念的实际背景 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义
考纲 研读
1 3．能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝x ，y＝x2，y＝x3，y ＝ x的导数 4． 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
2
第一步
第二步
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解析
2
) 5 C． 2
2
3 B． 2
D． 2
1 将 x －y－ln x＝0 变形为 y＝x －ln x(x>0)，则 y′＝2x－x ，令 y′＝1，则
1 x＝1 或 x＝－2(舍)，可知函数 y＝x2－ln x 的斜率为 1 的切线的切点横坐标为 x＝1， 纵坐标为 y＝1， 故切线方程为 x－y＝0.则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离即切线方程 |0＋2| x－y＝0 与 y＝x－2 的两平行线间的距离，d＝ ＝ 2. 2
A．x＋y－1＝0 C．x＋y＋1＝0
解析
∵点(0，－1)不在 f(x)＝xln x 上，∴设切点为(x0，y0)． 解得 x0＝1，y0＝0.
又 f′(x)＝1＋ln
∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线 l 的方程为 y＝x－1， 即 x－y－1＝0.故选 B．
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第一步 第二步
刻，解方程t2－12t＋32＝0，得t＝4或t＝8.故选D．
5
第一步
第二步
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4．过曲线y＝x3＋x－2上的点P0的切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为
( ) A．(0，－1)或(1,0) C．(－1，－4)或(0，－2) B．(1,0)或(－1，－4) D．(1,0)或(2,8)
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第一步
第二步
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9．[2015· 课标全国卷Ⅰ]已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线
1 过点(2,7)，则 a＝________.
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1, 即切线斜率 k＝3a＋1.又 f(1)＝a＋2， a＋2－7 ∴已知点为(1，a＋2)．而由过(1，a＋2)，(2,7)两点的直线的斜率为 ＝5－a， 1－2 ∴5－a＝3a＋1，解得 a＝1.
6．若函数 f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( A．0 C．直角 B．锐角 D．钝角
)
解析 由已知得：f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)． ∴f′(1)＝e(cos1－sin1)． π π ∵2>1>4. 而由正余弦函数性质可得 cos1<sin1. ∴f′(1)<0，即 f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率 k<0. ∴切线倾斜角是钝角．
) B．5 13 D． 2
∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，切线方程
5 为 y－2＝8(x＋1)，即 8x－y＋10＝0，令 x＝0，得 y＝10，令 y＝0，得 x＝－4，∴所 1 5 25 求面积 S＝2×4×10＝ 4 .
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10．[2015· 课标全国卷Ⅱ]已知曲线 y＝x＋lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y＝ax2＋
8 (a＋2)x＋1 相切，则 a＝_______________.
解析 1 ∵f′(x)＝1＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，∴f′(1)＝2，
∴切线方程为 y－1＝2(x－1)， 即 y＝2x－1.