2018高考复习数学第一轮 第21讲反函数(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

2018高考复习数学第一轮
第21讲 反函数
一、
知识要点
1、反函数的定义：一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使()y f x =，这样得到的x =()1
f
y -．在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为
()1y f x -=()x A ∈
2、求反函数的一般方法：
（1）由()y f x =解出1()x f y -=；
（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=； （3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域
3、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称
4、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；
二、 例题精讲
例1、 求下列函数的反函数
（1）()()12
log 111y x x =-+<；（2）)110y x =-≤≤
答案：（1）()1
112x y x R -⎛⎫=-∈ ⎪
⎝⎭
；（2）)01y x =≤≤
例2、已知函数()21x f x x a +=
+()x a ≠-且12
a ≠，求反函数()1
f x -，并当()f x 与()1f x -的图像重合时求a ．
答案：2a =-
例3、已知函数()2x
f x a =+的反函数是()1
y f
x -=，设()1,P x a y +、()2,Q x y 、
()32,R a y +是()1y f x -=图像上不同的三点．
（1） 如果存在正实数x ，使得123,,y y y 依次成等差数列，试用x 表示实数a ； （2） 在（1）的条件下，如果实数x 是唯一的，试求实数a 的范围．
答案：（1）)02a x x x =>≠且；（2）0a >或12
a =-．
例4、已知函数())0f x a =<，其反函数为()1f x -．
（1）若点)
1P
-在反函数()1f x -的图像上，求a 的值；
（2）求证：函数()f x 的图像与y x =的图像有且仅有一个公共点．
答案：（1）1a =-；（2）提示：y y x
⎧=⎪⎨=⎪⎩有且只有一解落在20,a ⎛
⎤- ⎥⎝⎦内即可．
例5、已知函数(
()log 1a y x a =+>的反函数()1f x -．
（1） 若()()1
11f
x f --<，求x 的取值范围；
（2） 判断()1
2f
-与()121f -、()13f -与()131f -的大小关系，并加以证明；
（3） 请你根据（2）归纳出一个更一般的结论，并给予证明． 答案：（1）1x <；（2）()1
2f ->()121f -，()13f ->()131f -；
（3）()()()1
11,2f n nf n N n -->∈≥
例6、已知函数()1
y f
x -=是()y f x =的反函数，定义：若对给定的实数()0a a ≠，
函数()y f x a =+与()1
y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与()1
y f
ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”
． （1） 判断函数()()2
10g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数()()0y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”，求()y f x =的表达
式．
答案：（1）不满足；（2）()y x b b R =-+∈；（3）()()0k
f x k x
=≠
三、
课堂练习
1、函数()()2log 14f x x x =+≥的反函数()1
f x -的定义域是 ．
答案：[)3,+∞
2、已知()f x 是定义在[]4,0-上的减函数，其图像端点为()4,1A -，()0,1B -，记
()f x 的反函数是()1f x -，则()11f -的值是 ，()f x 的值域
是 ． 答案：4-，[]1,1-
3、若lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()x
f x a =与()x
g x b =的图像关于
对称． 答案：y 轴
4、设函数()y f x =的反函数为()1
y f
x -=，且()21y f x =-的图像经过点1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
，则()y f x =的反函数的图像必过点（ ） A 、1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
B 、11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
C 、()1,0
D 、()0,1
答案：C
5、已知函数()f x 存在反函数()1
f x -，若1y f x ⎛⎫=
⎪⎝⎭过点()2,3，则函数11f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭
恒过点（ ） A 、()3,2
B 、11,23⎛⎫
⎪⎝⎭
C 、11,
32⎛⎫
⎪⎝⎭
D 、1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
答案：C
四、 课后作业 一、填空题
1、函数()()13
12f x x =-+的反函数()1
f x -= ．
答案：()()3
21x x R -+∈
2、若直线1y ax =+与直线2y x b =-+关于直线y =
x 对称，则a = ，
b = ．
答案：1
2
-，2
3、已知函数()34log 2f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，则方程()14f x -=的解为x = ． 答案：1
4、已知函数()()y f x x D =∈的值域为A ，其反函数()1
y f
x -=，则方程()0
f x =有解x a =，且()()f x x x D >∈的充要条件是 ． 答案;()1
0f
a -=且()()1f x x x A -<∈
5、设()()12,0
1,0
x
a x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x x =有且只有两个实数根，则实数a 的取值
范围是 ． 答案：[
)2,4
6、若函数()x
f x a k =+的图像经过点()1,7，又函数()1
4f
x -+的图像经过点()0,0，
则()f x 的解析式为 ． 答案：()43
x
f x =+
二、选择题
7、函数()2
23f x x ax =--在区间[]
1,2上存在反函数的充要条件是（ ）
A 、(],1a ∈-∞
B 、[)2,a ∈+∞
C 、[]
1,2a ∈
D 、(]
[),12,a ∈-∞+∞
答案：D
8、函数()()1
ln
1,1
x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ） A 、()1
,0,1x x
e y x e -=∈+∞+
B 、()1
,0,1x x
e y x e +=∈+∞- C 、()1
,0,1
x x
e y x e -=∈+∞+
D 、()1
,0,1
x x
e y x e +=∈+∞- 答案：B
9、设函数()()()log 0,1a f x x b a a =+>≠的图像过点()2,1，其反函数的图像过点
()2,8，则a b +等于（ ）
A 、6
B 、5
C 、4
D 、3
答案：C
三、解答题
10、已知函数()
lg 101x
y =-．
（1）求()y f x =的反函数()1
y f x -=；
（2）若方程()()1
2f
x f x λ-=+总有实根，求实数λ的取值范围．
答案：（1）()()
()1lg 101x
f x x R -=+∈；（2）()
lg 2λ≥
11、给定实数a （0a ≠且1a ≠），设函数11x y ax -=
-（x R ∈且1
x a
≠），求证： （1）经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴；
（2）这个函数图像关于直线y x =成轴对称图形；
（3）你能否再给出一些函数，其图像关于直线y x =成轴对称图形？ 答案：（1）提示：证明斜率不为0即可；（2）提示：证明其反函数为其自身；
（3）())2,,0,0,01ax b
y x y x b y bc a c y x cx a
+==-+=+≠≠=≤≤-等．
12、为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：
（1）首先选取如下函数：21y x =+，21
x
y x =
+，y = 求出以上函数图像与其反函数图像的交点坐标：
21y x =+与其反函数1
2
x y -=
的交点坐标为()1,1--， 21x y x =+与其反函数2x y x
=-的交点坐标为()()0,0,1,1,
y =()2
10y x x =-≤的交点坐标为⎝⎭
，()1,0-，
()0,1-；
（2）观察分析上述结果得到研究结论；
（3）对得到的结论进行证明． 现在请你完成（2）和（3） 答案：（2）原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上； （3）提示：反证法．。