2018届高三数学基础专题练习：导数与零点(答案版)

导数与函数的零点专题

研究方程根或函数的零点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 例题精讲

例1、已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.

(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．

解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .

曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2，由题设得－2

a ＝－2，所以a ＝1.

(2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2，设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.

当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根．

当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．

h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．

综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．

例2、已知函数

.

(I)讨论的单调性；(II)若

有两个零点，求a 的取值范围.

【解析】（Ⅰ）()(1)2(1)(1)(2)x

x

f x x e a x x e a '=-+-=-+．

（ i ）当0a ≥时，则当1x >时，()0f x '>；当1x <时，()0f x '< 故函数()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．

（ ii ）当0a <时，由()0f x '=，解得：1x =或ln(2)x a =- ①若ln(2)1a -=，即2

e a =-，则x R ∀∈，()(1)()0x

f x x e e '=-+≥ 故()f x 在(,)-∞+∞单调递增．

②若ln(2)1a -<，即2

e

a >-

，则当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-+∞U 时，()0f x '>；当(ln(2),1)x a ∈-时，()0f x '<

故函数在(,ln(2))a -∞-，(1,)+∞单调递增；在(ln(2),1)a -单调递减． ③若ln(2)1a ->，即2

e

a <-

，则当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-+∞U 时，()0f x '>；当(1,ln(2))x a ∈-时，()0f x '<；

故函数在(,1)-∞，(ln(2),)a -+∞单调递增；在(1,ln(2))a -单调递减．

（Ⅱ）（i ）当0a >时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增． 又∵(1),(2)f e f a ==，取实数b 满足0b <且ln

2

a

b <，则 223

()(2)(1)()022

a f

b b a b a b b >

-+-=-> ∴()f x 有两个零点．

（ii ）若0a =，则()(2)x

f x x e =-，故()f x 只有一个零点． （iii ）若0a <，由（I ）知，当2

e

a ≥-，则()f x 在(1,)+∞单调递增，又当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点；

当2

e

a <-，则函数在(ln(2),)a -+∞单调递增；在(1,ln(2))a -单调递减．又当1x ≤时，()0f x <，故不存在两个零点．

综上所述，a 的取值范围是()0,+∞．

例3、设函数3

2

()f x x ax bx c =+++.

（I ）求曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程；

（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；

（III ）求证：2

30a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.

解：（I ）由()3

2

f x x ax bx c =+++，得()2

32f x x ax b '=++．

因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3

2

44f x x x x c =+++，所以()2

384f x x x '=++．

令()0f x '=，得2

3840x x ++=，解得2x =-或23

x =-

．

()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：

所以，当0c >且32027c -

<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛

⎫∈-- ⎪⎝

⎭，

32,03x ⎛⎫

∈- ⎪⎝⎭

，使得()()()1230f x f x f x ===．

由()f x 的单调性知，当且仅当320,

27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

时，函数()32

44f x x x x c =+++有三个不同零点． （III ）当24120a b ∆=-<时，()2

320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞， 此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．

当24120a b ∆=-=时，()2

32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．

当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．

当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()2

32442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件．

因此2

30a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．

基础专练

1．若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同的零点，则a 可能的值为( )

A ．4

B ．6

C ．7

D ．8 答案 A