配方法解一元二次方程导学案[1]
配方法解一元二次方程学案docx
知识点梳理:【配方五步法】
步骤
示例
解释
1、移
移项得：
将常数项பைடு நூலகம்到等号的右侧
2、化
二次项系数化为1：
利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数
3、配
配方得：
利用等式的性质，在等式两边同时加上
4、开
开方得：
根据开平方的定义，进行开方
5、解
两个平方根一个取正，一个取负，解出方程.
解方程：
A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝0
2．将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．用配方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0（2）x2+8x＝20
4．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x ）2 B．（x ）2
C．（x ）2 D．（x ）2
5．用配方法解方程 ，将方程变为（x-m）2= 的形式，则m=_____．
6.一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c和m的值分别是（ ）
A．c＝5，m＝4B．c＝10，m＝6C．c＝﹣5，m＝﹣4D．c＝3，m＝8
7.用配方法下列解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0．（2）4x2+12x+9＝81．
解：两边同时加_________，得 ________ ________
则方程可化为（_______）2=________.
两边直接开平方得_____________.
即或_____________.
配方法1导学案(1)
中学九年级数学学科导学案授课时间：授课班级：授课人：主备人: 备课组长审核：教研组长审核：课题配方法1 课型：新授课学习目标1．学生学会用开平方法解形如x2=n(n≥0)的方程．2.学生学会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程．3．初步理解一元二次方程的解法——配方法．重难点：把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式并求解．课堂流程及设计：：1.课前自学(10’)：在前一天自学的基础上，自学加深理解。
并完成练习1--3 2.课堂互动(20’)：（1）学生在自学的基础上，在小组内讨论交流配方法解方程的基本思路。
并在合作探究中掌握配方的基本过程。
3.课后检测(10’)：用10分钟时间，完成检测。
课前自学1.你能求出适合等式x2=4的x的值吗?2.你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?(1)x2＝5； (3)x2-4＝0； (4)2x2-50＝0；(5)(x+2)2＝5；3.填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2+12x+ ＝(x+6)2；(2)x2-4x+ =(x- )2；(3)x2+8x+ ＝(x+ )2．教师复备栏课堂互动1.同学们分组讨论讨论．判断下列方程能否用开平方法来求解?如何解?(2)x2+12x+36＝5．学生展示自己的成果：叙述解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x+m)2＝n，然后两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程，从而求出方程的解。
2.下面你能否求出方程x2+12x-15=0的精确值，同学们先来想一想：解方程x2+12x-15=0的困难在哪里?你能将方程x2+12x-15＝0转化成(x+m)2=n的形式吗?然后学生分组讨论解决，完成后小组交流展示基本思路：配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n ≥0时，两边开平方便可求出它的根．基本过程：（1）把方程中的常数项移到方程的右边（2）方程两边同时加上一次项系数一半的平方(3)把方程转化为(x+m)2＝n的形式（4）用直接开平方法求解课后检测解下列方程(1)x2-10x+25＝7；(2)x2+4x＝-3． (3)x2+6x＝1，(4)x2+8x+3＝0；课后作业1．习题2.3 1、2题2．预习课后反思。
配方法解一元二次方程导学案
5．已知（x+y）（x+y+2）—8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．（这种方法叫换元法）
6、用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0 （2）3x2－5x－6＝0.
原方程的解是x1＝_____，x2＝_1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____，
即_____________________
所以__________________
原方程的解是x1＝____________;x2＝___________.
总结规律
1、请说出完全平方公式
我们知道，形如 的方程，可变形为 ，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如 的一类方程（注意其中二次项的系数为1），化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．
2、配方、填空：
（1） +6x+( )=(x+ ) ；
（2） —8x+( )=(x—) ；
（3）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（4）x2＋ x＋（ ）＝（x＋ ）2；
填完后，想一想你所填写的常数项与一次项系数有什么关系吗？说出你的想法。
的是（）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3．方程x2+4x-5=0的解是________．
（3） ＋8x－2＝0（4） －5x－6＝0.
2、用配方法解下列方程：
(北师大版)九年级上册数学第二章《一元二次方程》导学案 配方法
2.2.1配方法解一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解一元二次方程；理解配方的概念并掌握配方的技巧；2．通过自主探索和小组合作，学会运用配方法解一元二次方程；3．激情投入，全力以赴学习，在不断的探索中享受学习的快乐。
【学法指导】1．用10分钟左右的时间认真阅读、探究课本基础知识，并借助《教材解读》自主学习，理解配方的概念并掌握配方的技巧。
2．认真完成导学案的问题；3．初步评价自己完成学习目标情况，并把自己的疑问写出来，以求课堂上解决。
【课前导学】一、探究新知：知识点1：直接开平方法解一元二次方程：【知识链接1】求一个非负数的平方根：如果92=x ，则x =_______；如果52=x ，则x =_______；如果02=x ，则x =_______。
试求下列方程的根：(1)092=-x (2)052=-x【提示】当满足方程的解不止一个时，为了区分，应把方程的解写为1x 、2x 的形式。
一般情况下，方程解的个数与其次数一样。
【探究1】1、对于方程4)3(2=+x ，你能用上面的方法来求解吗？你是如何解的？2、你能把方程0562=++x x 转化成4)3(2=+x 吗？你是如何转化的？知识点2 ： 配方法解一元二次方程【知识链接2】1、完全平方公式——运算形式形如222b ab a +±的二次三项式。
试着写出两个完全平方式：___________________，_____________________。
【探究2】对于方程02=++q px x ，可先将方程变形为______2=+px x ，然后将方程左边进行配方(根据等式基本性质，两边同时加上2)2(p(一次项系数的一半的平方)即可)，如0562=++x x ，移项得：______62=+x x ，两边同时加上_____，可得____________，从而得__________________，这样就可以用“开平方”的方法求解方程了。
配方法解一元二次方程教案
配方法解一元二次方程教案IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】配方法解一元二次方程（一）一、教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。
配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。
配方法又是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。
二、教学目标1．知识与技能：理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；2．过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法；3．情感态度价值观：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的应用价值，增强学生学习数学的兴趣。
三、教学重点运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
四、教学难点发现并理解配方的方法。
五、学情分析学生的知识基础：学生会解一元一次方程，了解平方根的概念、平方根的性质以及完全平方公式，并刚刚学习了一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程；学生的技能基础：学生在之前的学习中已经学习过“转化” “整体”等数学思想方法，具备了学习本课时内容的较好基础；学生活动经验基础：以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验和能力。
本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点，需要合理添加条件进行转化，即“配方”，而学生在以前的学习中没有类似经验，理解起来会有一定的困难，同时完全平方公式的理解对学生来说也是一个难点，所以在教学过程中要注意难点的突破。
六、教具准备教学课件七、教学过程设计环节一：创设情境，引出新知如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？在知识引入阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。
用公式法+配方法求解一元二次方程 导学案
3 用公式法求解一元二次方程第1课时1.会用配方法解一般的字母系数的一元二次方程,掌握ax2+bx+c=0(a≠0)形式的方程的解法.2.知道一元二次方程的求根公式,会用公式法解一元二次方程.3.重点:一元二次方程的求根公式.知识点一阅读教材本课时“例题”前面的内容,完成下列问题.用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0).两边都除以一次项系数a,得x2+x+=0.1.为什么可以两边都除以一次项系数a?a≠0.配方:加上再减去一次项系数一半的平方,x2+x+()2-+=0,即 (x+)2-=0,(x+)2=.2.现在可以两边开平方吗?不可以,因为不能保证≥0.3.什么情况下≥0?并完成后面的解答过程.∵a≠0,∴ 4a2>0,要使≥0,只要使b2-4ac≥0即可.4.用配方法解ax2+bx+c=0(a≠0),两边直接开平方可得x= ,这个式子称为一元二次方程的求根公式.【归纳总结】一般地,对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是知识点二阅读教材本课时“例题”及其后面的内容,完成下列问题.1.在例题第(2)小题中,方程变形为一般形式是为确定a、b、c的值.2.公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)化简:把方程化为一般形式,从而确定a、b、c的值;(2)定根:求出b2-4ac的值,并与0比较大小,判断方程是否有根;(3)代值:在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入求根公式x=,计算后得到方程的根.3.若b2-4ac <0,则求根公式无意义,即一元二次方程无实数根.【归纳总结】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.互动探究一:若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是(A )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断互动探究二:方程x(x+3)=14的解是(B)A.x=B.x=C.x=D.x=互动探究三:已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是(D)A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切不是1的实数互动探究四:关于x的一元二次方程ax2-3x-2=0有实数根,求a的取值范围.解:当a≠0时,Δ=9+8a≥0,有实数根,解得a≥-,又∵ax2-3x-2=0是一元二次方程,∴a≠0.即a≥-且a≠0.第2课时1.通过一元二次方程的建模过程,体会方程的解必须符合实际意义,增强用数学的意识,巩固用配方法解一元二次方程.2.判断一元二次方程的根符合代数意义的同时是否符合实际意义.3.重点:一元二次方程的根是否符合实际意义.知识点阅读教材本课时“习题2.6”之前的内容,完成下列问题.1.如图所示的是小明设计的方案,其中花园四周小路的宽度都相等.(1)设花园四周小路的宽度均为x m,可列怎样的一元二次方程?(16-2x)(12-2x)=×16×12.(2)一元二次方程的解是什么?x1=2,x2=12.(3)(16-2x)和(12-2x)分别表示矩形花园的长和宽,则x的取值范围是什么?解得x<6,又x>0,所以x的取值范围是0<x<6.(4)这两个解虽然都符合代数意义,但x= 12不符合实际意义.2.小亮的设计方案如图所示,其中花园每个角上的扇形都相同.(1)设花园四周小路的宽度均为x m,可列怎样的一元二次方程?πx2=×16×12.(2)一元二次方程的解是什么?x1=,x2=-.(3)符合x>0的实际意义的解是多少?x1=.3.小颖设计的方案如下:在矩形的四个角上建造花园,中间用互相垂直且宽度相同的两条通路隔开.请你帮她求出通路的宽.解:设通路的宽为x m.根据题意列方程:(16-x)(12-x)=×16×12,解得x1=4,x2=24.当x= 24时,24-x<0,所以不符合题意,舍去.【归纳总结】对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),若Δ>0,则方程的两根x1、x2都符合代数意义,但在实际的一元二次方程应用中,符合代数意义的根不一定符合实际意义.互动探究一:如图①,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为 1 米.图①图②互动探究二:在一幅长80 cm,宽50 cm的长方形风景画的四周镶一条宽度均匀的金色纸边,制成一幅长方形挂图(如图②),若整幅挂图的面积为5400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是(80+2x)(50+2x)=5400.互动探究三:如图,利用一面长25 m的墙,用50 m长的篱笆,围成一个长方形的养鸡场.怎样才能围成一个面积为300 m2的长方形养鸡场?解:(1)设养鸡场的宽为x m,则长为(50-2x)m.由题意列方程,得x(50-2x)=300,解得x1=10,x2=15.当x1=10时,50-2x=30>25不合题意,舍去;当x2=15时,50-2x=20<25符合题意.答:当宽为15 m,长为20 m时可围成面积为300 m2的长方形养鸡场.互动探究四:小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2,他的说法对吗?请说明理由.解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm ,则另一个正方形的边长为(10-x ) cm.由题意得x2+( 10-x )2=58 .解得x1=3,x2=7.4×3=12,4×7=28.所以小林应把绳子剪成 12 cm和28 cm的两段.( 2 )假设能围成.由(1)得,x2+( 10-x )2=48 .化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0 ,所以此方程没有实数根,所以小峰的说法是对的.2 用配方法求解一元二次方程1.会用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.会用配方法解一元二次方程,知道配方法的解题步骤.3.重点:会用配方法解一元二次方程.【旧知回顾】若一个数的平方等于4,则这个数是±2 ,若一个数的平方等于7,则这个数阅读教材本课时“议一议”,完成下列问题.1.根据平方根的定义填空:如果方程能够化成x2=n(n≥0)或(x+m)2=n(n≥0)的形式,那么x=±或x+m= ±.2.你会解下列一元二次方程吗?试一试.(1)x2=5;(2)2x2+3=5;(3)x2+2x+1=5;(4)(x+6)2+72=102.(1)x1=,x2=-;(2)x1=1,x2=-1;(3)x1=-1,x2=--1;(4)x1=-6,x2=--6.【归纳总结】在解上面方程的过程中,都可以将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是阅读教材本课时第一个“做一做”与“例1”,完成下列问题.1.填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2+12x+ 36=(x+6)2;(2)x2-2x+ 1=(x- 1)2;(3)x2+8x+ 16=(x+ 4)2.2.上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?常数项等于一次项系数的一半的平方.3.用配方法解一元二次方程的步骤:(1)将方程化为一般形式;(2)将常数项移到等号的右阅读教材本课时“例2”,完成下列问题.1.在“例2”中,第一步的作用是什么?把二次项的系数化为1.2.如果第二步移项,第三步配方,能得到方程(x+)2=吗?试一试.可以.第一步:两边都除以3,得x2+x-1=0,第二步:移项,得x2+x=1,第三步:配方,得x2+x+()2=1+()2,(x+)2=.3.完成教材本课时第二个“做一做”.当h=10时,10=15t-5t2,解这个方程,得t1=1,t2=2.因此在1秒或2秒时,小球才能达到10 m高.【归纳总结】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤:(1)将方程化为一般形式,化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;(2)配方;(3)移项,使方程变形为(x+m)2=n的形式;(4)利用直接开平方解方程即可.互动探究一:关于x的方程x2=m的解为(D)A.B.-C.±D.当m≥0时,x=±,当m<0时,方程没有实数根互动探究二:运用直接开平方法解方程:(2x-3)2=(x+2)2.解:2x-3=x+2或2x-3=-(x+2)∴x1=5,x2=.【方法归纳交流】原方程可看作(x+m)2=n的形式,运用直接开平方就可将原方程转化为两个一元一次方程,即可求解.互动探究三:用配方法证明x2-4x+5的值不小于1.证明:x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1,∵无论x取何值,(x-2)2≥0,∴(x-2)2+1≥1,即x2-4x+5的值不小于1.互动探究四:如图,在一块长92 m,宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等),水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽?解:设水渠的宽度为x m.(92-2x)(60-x)=885×6.解得x1=105(不合题意,舍去),x2=1,∴x=1.答:水渠的宽度为1 m.*互动探究五:如果多项式P=2a2-8ab+17b2-16a+4b+1999,那么P可以等于800吗?解:P=2a2-8ab+17b2-16a+4b+1999=(a2-16a+64)+(b2+4b+4)+(a2-8ab+16b2)+1931=(a-8)2+(b+2)2+(a-4b)2+1931.∵(a-8)2和(b+2)2和(a-4b)2均为非负数,∴P不能等于800.【方法归纳交流】最值问题在下册将会细讲,此处带星号稍作了解.求代数式的最值问题,需要先配方,然后再利用平方数的非负性去判断最值的情况.见《导学测评》P12。
2 用配方法求解一元二次方程 第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 导学案
2用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 导学案学习目标1、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，探究配方法的意义。
2、通过以前所学的开平方方法，初步了解配方法；3、牢记配方法的一般步骤.学习过程一.复习回顾：1.利用直接开平方法解下列方程（1）9x 2=1 (2)(x+3)2=52.能利用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征?3.下列方程能用直接开平方法来解吗？（1）x 2+12x+36=9（2）x 2+6x-15=0二.新课学习：1.例题练习交流探讨并回答问题：（1）你会如何解此方程：x 2-6x-40=0 呢？移项，得 x 2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x 2-6x+32=40+32即 （x-3）2=49开平方，得 x-3 =±7即 x-3=7或x-3=-7所以 x 1=10,x 2=-4（2）做一做，填一填（1）x 2+2x+ =(x+ )2（2）x 2-8x+ =(x- )2（3）y 2+5y+ =(y+ )2（4）y 2-21y+ =(y- )2问题：你能从中总结出什么规律吗？2、例题学习并思考下列问题：例1: 用配方法解方程：x 2+12x-15=0解：移项得x 2+12x=15，两边同时加上62得，x 2+12x+62=15+36，即(x+6)2=51两边开平方，得x 1=651-；x 2=-651-（1）配方法的特点？（2）配方法的步骤？三.尝试应用：1、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -= 2、用配方法把方程210x x +-=化为21()2x m +=，则m= .3、用配方法解方程：x 2-23x+118=0;四.自主总结：1、配方法:通过配成 的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 .2、用配方法解一元二次方程的步骤::把常数项移到方程的右边;:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式:根据平方根意义,方程两边开平方;:解一元一次方程;:写出原方程的解.五.达标测试一、选择题1．用配方法解方程x 2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）A ．（x+2）2=3B ．（x-2）2=3C ．（x-2）2=5D ．（x+2）2=52．用配方法解一元二次方程x 2－4x+3=0时可配方得（ ）A ．(x －2)2=7B ．(x －2)2=1C ．(x+2)2=1D ．(x+2)2=23．用配方法将代数式a 2+4a-5变形，结果正确的是（ ）Ａ． (a+2)2-1Ｂ．(a+2)2-5 Ｃ．(a+2)2+4 Ｄ．(a+2)2-9 二、填空题4．填上适当的数，使下面各等式成立：（1）x 2+3x+_______=(x+________)2；（2）_______-3x+14=(3x_______)2； （3）4x 2+_____+9=(2x________)2； （4）x 2-px+_______=(x-_______)2；（5）x 2+b a x+_______=(x+_______)2.5．x 2x+_____=（x-______）2．6．在横线上填上适当的数或式，使下列等式成立：（1）x 2+px+________=（x+_______）2；（2）x 2+b ax+_________=（x+_______）2 三、解答题7．用配方法解方程：（1）x 2+4x-3=0（2）x 2﹣4x+1=0．达标测试答案：一、选择题1．A ．【解析】试题分析：移项得，x 2+4x=-1，配方得，x 2+4x+22=-1+4，（x+2）2=3，故选A ．2．B 【解析】原方程化为22441,(2)1,x x x -+=-=故选B3．D 【解析】a 2+4a-5=a 2+4a+4-4-5=（a+2）2-9，故选D ．二、填空题 4．（1）93,42；（2）9x 2，12-；（3）12x ，+3；（4）2,42p p ；（5）22,42b b a a5．12；2 【解析】试题分析：根据常数项等于一次项系数一半的平方，即可得到结果。
22.2.1配方法解一元二次方程(一)
注意：二次 根式必须化 成最简二次 根式。
2 2 x2 . 3
例题讲解
(2)3x 1 6 0
2
解： 原方程可化为Fra bibliotek x 1
2
2,
x 1 2,
∴ x 1 2, x 1 2, ∴ 原方程的两根为:
x1 1 2
x2 1 2.
2 2
如果方程能化成 x 2 p或( mx n) 2 p( p 0)的形式， 那么可得 x p或mx n p .
《新观察》
对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定
义,可解得 x1 a ,x2 a ，这种解一元二次方 程的方法叫做直接开平方法.
例题讲解
解下列方程
(1)9x 5 3
2
(2)3x 1 6 0
2
(3) x 4 x 4 5
2
(1)9x 5 3
2
解： 原方程可化为 9 x2 8, 移项 8 2 得 x , ∴ 9 28 2 ∴x , 33 2 2 ∴ 原方程的两根为: x1 3
解： 方程两边开平方得
2x 1 5
：
即 2x 1 5, 2 x 1 5 分别解这两个一元一次方程得
1 5 1 5 x1 , x2 2 2
思考
怎样解方程 2 x 1 5及
2
方程x 6 x 9 2?
2
(2) x 6 x 9 2
根据平方根的意义，得： x1=5，x2=－5 可以验证，5和－5是方程 的两根，但是棱长不能 是负值，所以正方体的棱长为5dm．
思考
怎样解方程 2 x 1 5及 对照上面解方程的过程，
2.2.1用配方法解一元二次方程(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.培养学生的数学运算素养，让学生熟练掌握配方法的运算步骤，提高运算速度和准确性。
4.培养学生的数据分析素养，通过分析一元二次方程的解的特点，使学生能够对数据进行整理、分析和判断，为解决更复杂的数学问题奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-配方法解一元二次方程的基本步骤：将一元二次方程x²+bx+c=0转化为(x+m)²=n的形式，进而求解出x的值。其中，关键是确定m和n的值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法的步骤和适用条件这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的方程实例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示配方法的基本原理。
b.结合具体方程，详细讲解核心公式的推导过程，并让学生跟随推导过程进行练习。
c.通过多个实例，让学生练习将实际问题抽象为一元二次方程，并运用配方法求解。
2.教学难点
-配方法中m和n的确定：如何将一元二次方程x²+bx+c=0转化为(x+m)²=n的形式，使学生能够准确地确定m和n的值。
-运算过程中的符号处理：在配方法过程中，符号的正确处理对最终求解结果至关重要，学生容易在此类细节上出错。
《配方法(第3课时)用配方法解二次项的一元二次方程》教案 (1)
一元二次方程的解法配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程教学目标1、理解用配方法解一元二次方程的根本步骤。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3、进一步体会化归的思想方法。
重点难点重点：会用配方法解一元二次方程．难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学过程〔一〕复习引入1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P．13的“做一做〞．2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的根本步骤是什么?〔二〕创设情境现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?怎样解这类方程：2x2-4x-6=0〔三〕探究新知让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。
让学生进一步体会化归的思想。
〔四〕讲解例题1、展示课本P．14例8，按课本方式讲解。
2、引导学生完成课本P．14例9的填空。
3、归纳用配方法解一元二次方程的根本步骤：首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。
〔五〕应用新知课本P．15，练习。
〔六〕课堂小结1、用配方法解一元二次方程的根本步骤是什么?2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。
4、按图1—l的框图小结前面所学解一元二次方程的算法。
〔七〕思考与拓展不解方程，只通过配方判定以下方程解的情况。
(1) 4x2+4x+1=0； (2) x2-2x-5=0；(3) –x2+2x-5=0；[解] 把各方程分别配方得(1) (x+ )2=0；(2) (x-1)2=6；(3) (x-1)2=-4由此可得方程(1)有两个相等的实数根，方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没有实数根。
人教版数学八年级上册21.1.2配方法导学案
八级上册数学科导学案主备人：审核组长：一、学习目标：知识与技能1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤。
过程与方法1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法。
2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤。
情感与价值观要求通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力。
二、学习重难点：1、用配方法求解一元二次方程。
2、理解配方法。
三、预习感知1．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对2．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（）A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-13．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）10141010A．2± B．-2± C．-2+ D．2-4．用适当的数填空：（1）x2-3x+________=（x-_______）2（2）a（x2+x+_______）=a（x+_______）25．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，•所以方程的根为_________．四、合作探究1、利用配方法解下列方程（1）x2－8x + 1 = 0；（2）2213x x +=；（3）23640x x -+=2、利用配方法解方程时应该遵循的步骤（五步）3、配方法解一元二次方程的关键是什么？五、检查反馈：1.把方程x ²+4x = 2, 左边配成完全平方式的结果是（ ）A ．（x +4）²= 4 B. (x +2) ²= 0C. (x +2) ²= 6D. (x - 2)² = 62. 若代数式x ²+kx +9是一个完全平方式，则k 的值是（ ）A ． 6B ． ±6C ．12D ． ±123. 填上适合的式子，让等式成立：（1）x ²- 4x +______= ( x _____)²；(2) x ²+ 5x +___ = ( x +____ )² ．4. 配方：(1) x ² + mx = （x _____）²+______ ,(2) 2x ²- 8x +3 = 2(x ______)²+ ______ .5．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．6．如果x 2-4x+y 2+6y++13=0，求（xy ）z 的值．7.用配方法解一元二次方程：（1）x ² + 4x +2 = 0；(2) 2x ² + 6x -1 = 0 .六、感悟成功 颗粒归仓2z +。
用配方法解一元二次方程学案
用配方法解一元二次方程导学案（第一课时）主备人：刘凌云审核人：学习目标：1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型,增强学生运用数学的意识和能力．3．体会转化的数学思想方法．4．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．学习重点、难点重点：利用配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程通过配方转化为（x＋m）2＝n(n≥0)的形式．一、课前预习（提出实际问题，让学生用数学知识解决问题）用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多2米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？设计意图：利用现实生活问题，不仅能够生动自然引出我们要解决的数学问题，更重要的是学生们感兴趣，可以激发他们的热情，为下一步探究营造了轻松愉悦的氛围。
若想求出舞台的长和宽，需解方程x2 + 2x-24=0 （学生解方程有困难，教师需引导。
）前面我们可求出了x2 + 2x-24=0方程中x的近似值，你能求出它的精确值吗？今天就学习用配方法解一元二次方程．二、课内探究1．自主学习师：你都会解哪些简单的一元二次方程？（请同学自由回答）生：例如x2=4 (x+3)2=9x=±2 x+3=±3x1=0 x2= - 6师：形如x2=4、(x+3)2=9 的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？（独立思考后，与同桌互相交流）生：方程都可以写成(x+m)2=n(n≥0) 的形式。
两边开平方便可求出方程的解。
2．合作探究师：方程x2+8x-9=0 该如何解呢？（停顿，留给学生时间思考。
若仍没有学生想到办法，教师进一步引导。
）师：方程x2+10x＋25=16(x+5) 2 =16x+5=±4x1= -1 x2= - 9师：看来将一个一般形式的一元二次方程,转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式利用开平方法就可以求解。
配方法 导学案
配方法(1)学习目标：知识与技能：会用开方法解形如n m x =+2)()0(≥n 的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程；数学思考：经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；问题解决：通过交流，利于学生开阔思路情感态度价值观：通过师生共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力 学习重点：利用配方法解一元二次方程学习难点：把一元二次方程通过配方转化为n m x =+2)()0(≥n 的形式学习方法：学练结合法学习过程：一、预习交流1、如果一个数的平方等于4，则这个数是 ，若一个数的平方等于7，则这个数是 。
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？2、用字母表示完全平方公式。
3、用估算法求方程0242=+-x x 的解？你喜欢这种方法吗？为什么？你能设法求出其精确解吗？二、合作探究1、自主探究·解决问题（1）工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM 2正方形，请你帮他想一想，这个正方形的边长应为 ；若它的面积为75CM 2，则其边长应为 。
（2）如果一个正方形的边长增加cm 3后，它的面积变为264cm ，则原来的正方形的边长为 。
若变化后的面积为248cm 呢？（小组合作交流）（3）你会解下列一元二次方程吗？（独立练习） 52=x ； 5)2(2=+x ； 036122=++x x 。
（4）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离)(m x 满足方程015122=-+x x ,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出x 的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?（合作交流）2、展示拔高做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）填上适当的数，使下列等式成立。
22)6(_____12+=++x x x 22)3(____6-=+-x x x22___)(____8+=++x x x 22___)(____4-=+-x x x问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如ax x +2的式子如何配成完全平方式？（小组合作交流）解决例题（1）解方程：x 2+8x-9=0.（师生共同解决）（2）解决梯子底部滑动问题：015122=-+x x （仿照例1，学生独立解决）及时小结、整理思路用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键是什么？（小组合作交流）巩固拓展例3：如图，在一块长和宽分别是16米和12米的长方形耕地上挖两条宽度相等的水渠，使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半，试求水渠的宽度。
配方法(1)导学案
班级＿＿＿＿学习小组＿＿＿＿学生姓名＿＿＿
课题
21.2配方法（一）
课型
新授课
年级
九年级
单元
第21单元
课时
第1课时
学习目标
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如 =p(p≥0)或（mx+n） =p(p≥ 0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
（1）（2x-1）2=5 （2）x2+6x+9=2
小结
引导学生归纳：如果方程能化为x2＝p或（mx＋n）2＝p的形式，那么可得x=＿＿＿＿＿＿＿＿或
X=＿＿＿＿＿＿＿＿.
反馈练习
1、解方程
（1）2x2-8； （4）3（x-1）2－6＝0.
（5）x2-4x+4=5（10）9x2+6x+1=4
列方程完成，并写出它的根。
解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为＿＿＿＿dm2，
列方程; ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
根据平方根的意义，得：＿＿＿＿＿＿＿＿
即：x1=＿＿＿＿＿，x2=＿＿＿＿＿
所以，正方体的棱长为＿＿＿＿＿dm
2、思考：求根时用到什么知识？
3对照上面解法，你能解下列方程吗？
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
学习重点
掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
学习难点
理解并应用直接开平方法 解特殊的一元二次方程。
学法指导
自主探究，合作交流
知识链接
完全平方公式、平方根的相关知识
课前
导案自学
3.2用配方法解一元二次方程(3个课时)
九年级数学导学稿第3章一元二次方程课题：用配方法解一元二次方程导学案（第一课时）枳沟初中编写学习目标：1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型,增强学生运用数学的意识和能力．学习重点、难点重点：形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程的解法。
难点：同重点。
教学过程：【温故知新】1.平方根的定义，请复述出来。
【探索新知】1．自主学习师：不用估算的方法，怎样解以上这两个方程？与同学们交流生：例如 x2=4 (x+3)2=9x=±2 x+3=±3x1=0 x2= - 6师：形如x2=4、(x+3)2=9 的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？（独立思考后，与同桌互相交流）总结：方程都可以写成 (x+m)2=n(n≥0) 的形式，两边开平方便可求出方程的解，这种方法叫做直接开平方法。
例一解方程：（1）4x2_7=0 （2）9（x-1）2=25（教师板书，）【巩固检测】练习：（1）3x2_2=0．（2）49x2=25 （3）3（x+2）2=21【课堂小结】知识回顾：用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程的一般步骤。
总结提升：（结合实例同学生一起总结）【达标检测】1.一个立方体的表面积是384cm2 ,求这个立方体的棱长。
2.解方程（3x+2）2=16 0.5 x2=25第3章一元二次方程课题：用配方法解一元二次方程导学案（第二课时）枳沟初中编写学习目标：1．利用配方法解一元二次方程的方法步骤。
2．进一步理解配方法的解题思路。
学习重点、难点：用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的思路；给方程进行配方。
教学过程：【温故知新】做一做：填上适当的数，使下列等式成立（1）x2+12x+ =(x+6)2（2）x2―4x+ =(x― )2（3）x2+8x+ =(x+ )2在上面等时的左边，常数项和一次项有什么关系？【创设情境】（提出实际问题，让学生用数学知识解决问题）用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多4米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？若想求出舞台的长和宽，需解方程 x2 + 4x-24=0 （学生列方程有困难，教师需引导。
1.2配方法解一元二次方程的解法第一课时教学设计.2配方法解一元二次方程的解法第一课时
（1）几何角度：把长方形变正方形的过程。
（2）代数角度：转化为直接开方法的形式。
【问题9】从代数的角度哪一步是难点？
学生回答
学生先独立探索，再小组内进行讨论
一问一答
一问一答
教师巡视并点拨
二
理解
配方法
三
配
方
法
解
一
元
二
次
方
程
【问题1】你能从下面的三个情况中，找到规律吗？
结论：方程两边加上一次项系数的半的平方=小正方形的面积
【反馈1】配方
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【例题讲评】
解一元二次方程
【追问1】 你会解吗？
【追问2】 你会解吗？
【追问3】 你会解吗？
【追问4】 你会解吗？
归纳：配方法解一元二次方程的步骤
1化；2移；3配；4开；5结。
【反馈2】配方法解一元二次方程
（1）
（2）
（3）
（4）
先独立探索，
再小组内进行讨论
【问题2】延长小正方形的边长，把大正方形分成四个图形，判断新增三个图形的形状及求出它们的面积？
【问题3】结合上面的图形请你自己编一个应用题？
生1、 生2、
【问题4】上面二个方程能用直接开方法解吗？为什么？
【问题5】你会把上面一个长方形用割、补、拼的方法把它拼成一个正方形吗？
生：
【问题6】把上图的边长4换成3，如何拼图？
生：
【问题7】把上图的边长4换成a，如何拼图？
生：
学生口答
学生口答
学生口答
先独立思考，再小组内进行讨论
学生口答
学生操作、再小组内讨论。学生上台展示。
解一元二次方程——配方法导学案(新版新人教版)
解一元二次方程——配方法导学案（新版新人教版）第3课时解一元二次方程-配方法一、学习目标1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；．学会利用配方法解一元二次方程.二、知识回顾1．形如的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+=±从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.．如果方程能化成x2＝p或2＝p的形式,那么利用直接开平方法可得x＝±或x＋n=±．三、新知讲解1．配方法的依据配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式及直接开平方法．．配方法的步骤化——化二次项系数为1如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1.移——移项通过移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配——配方在方程两边都加上一次项系数一半的平方根据完全平方公式把原方程变为的形式．解——用直接开平方法解方程.四、典例探究．配方法解一元二次方程【例1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是A．x2﹣2x﹣99=0化为2=100B．x2+8x+9=0化为2=25 c．2t2﹣7t﹣4=0化为2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为2=总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：把二次项的系数化为1；把常数项移到等号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．用直接开平方法解这个方程.练1用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0；3x2+8x-3=0；x=120.．用配方法求多项式的最值【例2】当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.练2用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．练3已知a、b、c为△ABc三边的长．求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．当a2+2b2+c2=2b时，试判断△ABc的形状．五、课后小测一、选择题．若把代数式x2﹣2x+3化为2+形式，其中，为常数，结果为A．2+4B．2+2c．2+4D．2+2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为A．2=17B．2=15c．2=17D．2=17或2=17二、填空题．一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为2=1，则a=．．当x=时，代数式3x2﹣6x的值等于12．三、解答题．用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．．试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？．阅读下面的材料并解答后面的问题：小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下：因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=﹣=2﹣7而2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．问题：小华的求解过程正确吗？你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣2+4∵2≥0∴2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求2++4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．．已知代数式x2﹣2x﹣2+5﹣5的最小值是﹣23，求的值．0．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣32≤0，所以﹣32+6≤6，即﹣32+6有最大值6，此时a=﹣1．①当x=时，代数式﹣22+3有最值为．②当x=时，代数式﹣x2+4x+3有最值为．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？典例探究答案：【例1】【解析】配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴2=100，故A选项正确．B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴2=7，故B选项错误．c、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴2=，故c选项正确．D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴2=．故D选项正确．故选：B．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．练1．【解析】移项，得x2﹣2x=24，配方，得：x2﹣2x+1=24+1，即：2=25，开方，得：x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．两边除以3，得：,移项，得：，配方，得：，即：，开方，得：∴整理，得：，配方，得：，即：，开方，得：∴点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．【例2】【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=2+2﹣4，又∵2+2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y，4x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．练2．【解析】将﹣8x2+12x﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8﹣5=﹣8[x2﹣x+2]﹣5+8×2=﹣82﹣，∵2≥0，∴﹣82≤0，∴﹣82﹣＜0，即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．练3．【解析】将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；将等式右边的项移至左边，然后配方即可．解：a2﹣b2+c2﹣2ac=2﹣b2=∵a、b、c为△ABc三边的长，∴＞0，＜0，∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．由a2+2b2+c2=2b得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0配方得：2+2=0∴a=b=c∴△ABc为等边三角形．点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．课后小测答案：一、选择题．【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=2+2．故选：B．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．．【解析】先移项，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．解：移项，得x2﹣8x=1，配方，得x2﹣8x+16=1+16，即2=17．故选A．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握．二、填空题．【解析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．解：∵2=x2﹣6x+9，∴a=9；故答案为：9．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．．【解析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解．解：根据题意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，配方得：x2﹣2x+1=5，即2=5，开方得：x﹣1=±，解得：x=1±．故答案为：1±．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三、解答题．【解析】按照配方法的一般步骤计算：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，配方得2=5，∴x﹣1=±，∴x1=1﹣，x2=1+．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．．【解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3=2+2+3≥3，当x=1，y=﹣时，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．．【解析】对于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方．配成一个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值．解：正确能．过程如下：x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=2+∵2≥0，所以x2﹣3x+4的最小值是．点评：此题考查配方法的运用，配方法是常用的数学思想方法．不仅用于解方程，还可利用它解决某些代数式的最值问题．它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方．同时要理解完全平方式的非负数的性质．．【解析】多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解：2++4=2+，∵2≥0，∴2+≥．则2++4的最小值是；﹣x2+2x=﹣2+5，∵﹣2≤0，∴﹣2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．．【解析】先将原式变形为x2﹣2﹣2+5﹣5=2﹣22+5﹣5，由非负数的性质就可以求出最小值．解：x2﹣2﹣2+5﹣5=2﹣22+5﹣5．∵代数式x2﹣2﹣2+5﹣5的最小值是﹣23，∴﹣22+5﹣5=﹣23解得=﹣2或=点评：本题考查了配方法的运用，非负数的性质，一个数的偶次幂为非负数的运用．解答时配成完全平方式是关键．0．【解析】①由完全平方式的最小值为0，得到x=1时，代数式的最大值为3；②将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；③设垂直于墙的一边长为x，根据总长度为16，表示出平行于墙的一边为，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x 的值．解：①∵2≥0，∴当x=1时，2的最小值为0，则当x=1时，代数式﹣22+3的最大值为3；②代数式﹣x2+4x+3=﹣+7=﹣2+7，则当x=2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；③设垂直于墙的一边为x，则平行于墙的一边为，∴花园的面积为x=﹣2x2+16x=﹣2+32=﹣22+32，则当边长为4米时，花园面积最大为322．故答案为：①1；大；3；②2；大；7点评：此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．。
《解一元二次方程——配方法》(第1课时)示范性教学方案
第二十一章 一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1 配方法(第1课时)一、教学目标1．探索利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．2．能够利用配方法解一元二次方程．二、教学重点及难点重点：用配方法解一元二次方程．难点：正确理解把2x ax +形式的代数式配成完全平方式．三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《油漆刷盒子》动画，《解方程x 2＋6x ＋4=0的过程》动画。
五、教学过程【创设情景，提出问题】问题1 一桶油漆可刷的面积为1 500 dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？师生活动：学生独立分析题意，发现若设其中一个盒子的棱长为x dm ，则这个盒子的表面积为6x 2 dm 2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程21061500x ⨯=．教师引导学生找出等量关系．设计意图：创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲．【合作探究，形成知识】问题2 你会解上面的一元二次方程吗？是用什么方法？师生活动：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．21061500x ⨯=.整理，得225x =.根据平方根的意义，得±5x =，即1255x x =-=，.归纳总结：一般地，对于方程2x p =， （Ⅰ）（1）当p ＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不相等的实数根12x x =（2）当p =0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根120x x ==；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有20x ≥，所以方程（Ⅰ）无实数根.设计意图：用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的方程的特点是：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即2()(0)x m n n +=≥，运用直接开平方法可以解．这是后面配方转化的目标，也是对比研究的基础．问题3 对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？（1）2(+3)5x =；师生活动：独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到+3x =123x x =-=-鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的“降次”思想——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．归纳总结：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成2x p =或2()(0)mx n p p +=≥的形式，那么可得x =mx n +=．设计意图：通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将20x px q ++=的形式转化为2()(0)x m n n +=≥的形式，而怎样转化就成为探索的方向，如何进行合理的转化则是下一步探究活动的核心．【例题分析，综合应用】例 解方程 x 2-8x +1=0．解：移项，得x 2-8x = -1．配方，得2228414x x -+=-+，即(x -4)2=15.由此可得4x -=∴124x x ==教师引导：学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中移项后可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，即(x -4)2=15．归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成2()x n p +=（Ⅱ）的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根12x n x n =-=-+；（2）当p =0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根12x x n ==-；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有2()0x n +≥，所以方程（Ⅱ）无实数根. 设计意图：通过例题的讲解，让学生掌握用配方法解一元二次方程．【练习巩固，能力提高】1．将二次三项式x 2-4x +1配方后得（ ）．A ．(x -2)2+3B ．(x -2)2-3C ．(x +2)2+3D ．(x +2)2-32．方程x 2+4x -5=0的解是________．3．已知(x +y )(x +y +2)-8=0，求x +y 的值．若设x +y =z ，则原方程可变为__________，•所以求出z 的值即为x ＋y 的值，所以x +y 的值为__________．4．填空：（1）()2210___x x x ++=+＿； （2）()2212___x x x -+=-＿；（3）()225___x x x ++=+＿； （4）()222___3x x x -+=-＿. 5．用配方法解下列方程：（1）21090x x ++=； （2）249211x x x +-=-.参考答案：1．B 2．x 1=1，x 2= -5 3．z 2+2z -8=0，2或-4 4．解：（1）25；5；（2）26；6；（3）252⎛⎫ ⎪⎝⎭；52；（4）213⎛⎫ ⎪⎝⎭；13. 5．解：（1）移项，得x 2+10x = -9．配方，得x 2+10x +52=-9+52，即(x +5)2=16．由此可得x +5=±4．∴x 1=-9,x 2=-1．（2）整理，得x 2+2x = -2.配方，得x 2+2x +12=-2+12，即(x +1)2=-1．∵实数的平方不会是负数，∴原方程无实数根.设计意图：复习巩固，使学生熟练地掌握解一元二次方程的方法——配方法．六、课堂小结1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成2()x n p +=（Ⅱ）的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根12x n x n =-=-+；（2）当p =0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根12x x n ==-；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有2()0x n +≥，所以方程（Ⅱ）无实数根. 设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生清楚重点、难点． 七、板书设计21.2 配方法解一元二次方程1．配方法的定义2．用配方法解一元二次方程的一般步骤。
配方法解一元二次方程
龙文教育学科导学案教师: 学生: 日期: 星期 时段: 课 题开平方与配方法 学习目标(1)经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能； (2)经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想； 学习重点用直接开平方与配方法正确、熟练解一元二次方程 学习方法 讲练结合学习内容与过程教学过程：（一）、知识点讲解：1、一元二次方程的一般形式：________________________________.2、开平方法：一般地,对于形如a x =2 (a ≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 a x a x -==21,，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.注意：当方程形如n m x =±2)( (n ≥0)时，直接用开平方法求解比较简单。
3、配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.注意：用配方法解一元二次方程的步骤：首先把原方程化成02=++q px x 的形式， 然后通过配方整理出n m x =±2)( (n ≥0)的形式，最后求出方程的解。
4、用配方法解一元二次方程的步骤：①化1：把二次项系数化为1;②移项：把常数项移到方程的右边；③配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；④变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；⑤开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；⑥求解：解一元一次方程；⑦定解：写出原方程的解。
二、例题与练习（一）开平方法：例1、解下列方程：52=x ， 092=-x ； 25)2(2=+x ；049)1(252=-+x 036122=++x x练习1：用开平方法解下列方程0182=-x 36)3(2=-x 081)1(42=--x 06)1(2=--x（二）配方法：例2、将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.（1）x 2+2x+________=(x+______)2 （2）x 2-4x+________=(x-______)2（3）x 2+________+36=(x+______)2 （4）x 2+10x+________=(x+______)2（5） x 2-x+________=(x-______)2例3：解方程：（1）0982=-+x x （2）03832=-+x x练习1：1、用配方法解下列方程，正确的是（ ）.A.x 2-4x-12=0, 化为 (x-2)2 = 12B.x 2-4x-12=0, 化为 (x ＋2)2 = 16C.2x 2 -5x –4=0, 化为 (x-45)2 = 1657D.2x 2 -5x –4=0, 化为 (x-45)2 = 16252．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-13．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2±10B ．-2±14C ．-2+10D ．2-104．把方程x 2-6x+5=0转化成(x+m)2＝n 的形式，则m 、n 的值分别为（ ）A 、3，4B 、-3，-4C 、4，3D 、-3，45．将二次三项式x 2－4x －5=0配方后得（ ）．A ．（x-2）2 =1B ．（x-2）2 =7C ．（x-2）2 =9D ．（x+2）2 =96．将一元二次方程0422=--x x 用配方法化成b a x =+2)(的形式为__________________，所以方程的根为_________________．7、方程0542=-+x x 的解是_______________．6、用配方法解下列方程：（1）8142=-x x （2）0132=+-x x（3）0422=--x x （4）48262+=++x x x（5）2532=-x x （6）04412=--x x例3：用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
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配方法解一元二次方程.
学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
重 点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难 点：配方的过程。
知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2
填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2；
（3）x 2＋2
3x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
例1、用配方法解下列方程：
（1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0.
总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？
例2、 用配方法解下列方程：
（1）011242=--x x （2）03232=-+x x
总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？
达标检测 1．用适当的数填空：
①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2；
③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2
⑤、4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2.
2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．
4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
A ．3
B ．-3
C ．±3
D ．以上都不对
5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）
A ．（a-2）2+1
B ．（a+2）2-1
C ．（a+2）2+1
D ．（a-2）2-1
6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）
A ．总不小于2
B ．总不小于7
C ．可为任何实数
D ．可能为负数
7. 用配方法解方程：
（1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6
（4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2．
（6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8）
41 x 2-x-4=0
8. 用配方法求解下列问题
（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
（3） 已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？。