算术平均数与几何平均数 - 高二数学同步辅导教材(第2讲)

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【优秀教案】高中数学第二册上第六章不等式：62算术平均数与几何平均数.docx

课题：愆术年他做与e侮年临敌教学目的：1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“2”取等号的条件是：当且仅当这两个数和等.3.通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如:a>b, c>d,是同向不等式.异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：a>b, c<d,是异向不等式.2.不等式的性质：定理1：如果a>b,那么b<a,如果bva,那么a>b.（对称性）即：a>b=>b<a； bvana>b定理2：如果a>b,且b>c,那么a>c・（传递性）即a>b, b>c 二> a>c定理3：如果a>b,那么a+c>b+c.即a>b => a+c>b+c推论：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.（相加法则）即a>b, c>d => a+c>b+d ・定理4：如果a>b,.且c>0,那么ac>bc；如果a>b,且cvO,那么ac<bc.推论1如杲a>b >0,且c>d>0,那么ac>bd.（相乘法则）推论2 若a >/?>（）,^\a n >b n（n e N且n> 1）定理5若a>b>0,贝1曲〉咖（mN且T?〉1）二、讲解新课：1.重要不等式：如果％e R,那么/ +b2 > 2〃（当且仅当a = b时取”=”号）证明：a2 +b2 - lab = (a -Z?)2当a工创寸,(a -疔〉0,当^ =刿寸,(a - b)2 = 0, 所以，(a-&)2 >0,即(a2 +b2}>2ab.由上面的结论，我们又可得到2・定理：如果a,b 是正数，那么凹 > 陌(当但仅当a = 〃时取7号).2证明：V (V^)2+(V^)2 >2V^,/. a+ b> 2yf~ab ,即 a + > y[ab— 2显然，当且仅当。

高一数学-§6.2算术平均数与几何平均数(第二课时) 精品

算术平均数与几何平均数（第二课时）一、教学目的（1）能较熟练地应用重要不等式与均值不等式证明简单的不等式；（2）能应用均值不等式求某些函数的最值问题，解决实际应用问题。

二、教学过程1、引入我们上节课学习、应用过的不等式有：(1)若a 、b ∈R ，则ab b a 2≥+(2)若a 、b 都是正数，则ab ba ≥+2(3)若a 、b 、c 都是正数，则abc cb a ≥++3重要的结论：已知x ，y 都是正数，则：(1)如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2；(2)如果和x+y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值241S 。

2、应用举例题组一说明：几个同向不等式相加(或相乘)，必须几个同向不等式等号都能同时成立时，才能取得等号，否则，不能取等号。

题组2(1)求函数y= )0(11≥++x x x 的最小值，并求相应的x 值． (2)求函数y=)1(1)2)(5(->+++x x x x 的最小值。

并求相应的x 值．分析：求两项和的最小值，可考虑到均值定理。

但所给函数不具备定理的条件，怎么办?能否创造条件呢?说明：此题解题的关键是根据函数的特点，通过恰当的恒等变形——分拆变量，使之满足定理的条件，把问题转化为定积条件下的两个变量的和的最小值问题。

根据(1)启发引导学生如何解决(2)？说明：若令t=x+1进行变量替换，可易于分离系数，化归为可用均值不等式求最值问题。

题组3(1)某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为9千元；汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。

问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)?(2)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ(λ>1)，画面的上、下各留8cm 的空白，左、右各留5cm 的空白。

怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积最小？(2001年全国文科高考题)解：(1)设这种汽车使用n 年报废最合算 n 年汽车的维修总费用为)(1.02.02)1(2.06.04.02.02n n n n n +=⨯-+=+++ (万元) 年平均费用y=311010211010)(1.09.0102=+⋅≥++=+++nn n n n n n n当且仅当1010n n =即n ＝10时取等号。

高二数学教案：《算术平均数与几何平均数》教学设计(二)

高二数学教案：《算术平均数与几何平均数》教学设计（二）高二数学教案：《算术平均数与几何平均数》教学设计（二）第一课时一、教材分析（一）教材所处的地位和作用“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．（二）教学目标1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．（三）教学重点、难点、关键重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．（四）教材处理依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．二、教法分析（－）教学方法为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．（二）教学手段根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．三、教学过程设计6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）（一）导入新课（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．（学生活动）学生分组讨论，解决问题．297600元．设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．【课堂练习】（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．［字幕〕练习设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．【分析归纳、小结解法】（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．3．在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数．4．应用平均值定理解决实际问题时，应注意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域．（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案．设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．（三）小结（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题．现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要牢固掌握．应用定理时要注意定理的适用条件，即“正数、定值、相等”三个条件同时成立，且会灵活转化问题，达到化归的目的．设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．3．研究性题：某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽车费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年递增．问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生练习，使学生能灵活运用定理解决某些数学问题；研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．（五）课后点评1．关于新课引入设计的想法：导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用平均值定理求最值，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．2．关于课堂练习设计的想法：正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，设计解法正误讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．3．培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．作业解答思考题：。

高二数学算术平均数与几何平均数教案

高二数学算术均匀数与几何均匀数教课设计教课目的(1)掌握两个正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数这一重要定理 ;(2)能运用定理证明不等式及求一些函数的最值;(3)能够解决一些简单的实质问题;(4)经过对不等式的构造的剖析及特点的掌握掌握重要不等式的联系 ;(5)经过对重要不等式的证明和等号成立的条件的剖析，培育学生谨慎科学的认识习惯，进一步浸透变量和常量的哲学观; 教课建议1.教材剖析(1)知识构造本节依据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，依据这个结论，又获得了一个定理：，并指出了为的算术均匀数，为的几何均匀数后，随后给出了这个定理的几何解说。

(2)要点、难点剖析本节课的要点内容是掌握两个正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教课难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值.为打破重难点，教师一方面重申是远远不够的，只有让学生经过自己的思虑、试试，注意到均匀值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件一正，二定，三相等缺一不行，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教课中要注意培育学生剖析概括问题的能力，帮助学生形成知识系统，全面深刻地掌握均匀值定理求最值和解决实质问题的方法.㈠定理教课的注意事项在公式以及算术均匀数与几何均匀数的定理的教课中，要让学生注意以下两点：(1)和成立的条件是不一样的：前者只需求都是实数，尔后者要求都是正数。

比如成立，而不行立。

(2)这两个公式都是带有等号的不等式，所以对此中的当且仅当时取 = 号这句话的含义要搞清楚。

教课时，要提示学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当时取等号，其含义就是：仅当时取等号，其含义就是：综合起来，其含义就是：是的充要条件。

(二)对于用定理证明不等式当用公式，证明不等式时，应当使学生认识到：它们自己也是依据不等式的意义、性质或用比较法(将在下一小节学习)证出的。

算术平均数与几何平均数教案

算术平均数与几何平均数教案第一章：算术平均数的定义与性质1.1 算术平均数的定义引导学生回顾平均数的概念，引入算术平均数的概念。

通过具体例子，让学生理解算术平均数的含义。

1.2 算术平均数的性质引导学生探究算术平均数的性质，如非负性、交换律、结合律等。

通过小组讨论和练习，让学生掌握算术平均数的性质。

第二章：几何平均数的定义与性质2.1 几何平均数的定义引导学生回顾几何平均数的概念，引入几何平均数的概念。

通过具体例子，让学生理解几何平均数的概念。

2.2 几何平均数的性质引导学生探究几何平均数的性质，如非负性、交换律、结合律等。

通过小组讨论和练习，让学生掌握几何平均数的性质。

第三章：算术平均数与几何平均数的关系3.1 算术平均数与几何平均数的联系引导学生探究算术平均数与几何平均数之间的关系，如算术平均数大于等于几何平均数等。

通过具体例子和练习，让学生理解算术平均数与几何平均数之间的关系。

3.2 算术平均数与几何平均数的应用引导学生运用算术平均数与几何平均数解决实际问题，如求平均速率、平均增长率等。

通过案例分析和练习题，让学生掌握算术平均数与几何平均数的应用。

第四章：算术平均数与几何平均数的计算4.1 算术平均数的计算引导学生掌握算术平均数的计算方法，如将数据相加后除以数据个数等。

通过练习题，让学生熟练计算算术平均数。

4.2 几何平均数的计算引导学生掌握几何平均数的计算方法，如将数据相乘后再开方等。

通过练习题，让学生熟练计算几何平均数。

第五章：算术平均数与几何平均数在实际问题中的应用5.1 算术平均数在实际问题中的应用引导学生运用算术平均数解决实际问题，如求平均成绩、平均消费等。

通过案例分析和练习题，让学生掌握算术平均数在实际问题中的应用。

5.2 几何平均数在实际问题中的应用引导学生运用几何平均数解决实际问题，如求平均速率、平均增长率等。

通过案例分析和练习题，让学生掌握几何平均数在实际问题中的应用。

第六章：算术平均数与几何平均数的扩展应用6.1 算术平均数与几何平均数在概率论中的应用引导学生了解算术平均数和几何平均数在概率论中的作用，如期望值和方差的计算。

算术平均数与几何平均数(2)

极值定理的应用规则:和定积最大,积定和最小
一、复习引入 4.关于“平均数”的概念：
a1 , a2 , , an R , n 1且n N * 则： ①如果
a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
n
a1 a 2 a n 叫做这n个正数的几何平均数。
②基本不等式：
四、练习 1.求解下面的问题： 5 1 (1)已知:x , 求函数f ( x) 4 x 的最大值. 4 4x 5 1 9 (2)已知:x, y R , 且 1, 求x y的最小值. x y
b2 2 2 (3)已知:a, b R , 且a 1, 求a 1 b 的最大值. 2
1 当且仅当 x 1 x 1
1 有最小值1 即 x0 时 x x 1
三、例题讲解
a b 例3 已知 a, b, x, y R 且 1， x y

x y 的最小值解： x y ( x y ) 1 ( x y )( a b ) a b ay xb
2 2
五、小结
2.等号成立的条件不能满足时,可以再从单调性 a 的角度考虑,力图转化为y x (a 0)的形式. x 3.利用极值求最大(小)值时, (1)x, y (0 ,+ ),且xy = P(定值), 那么当x = y时,x + y有最小值2 P ; (2)x, y (0 ,+ ),且x + y = S(定值), S2 那么当x = y时,xy有最大值 . 4
四、练习
5 1 (1)已知:x , 求函数f ( x) 4 x 的最大值. 4 4x 5
5 提示：x 4 x 5<0 5 4 x >0 4 1 1 f ( x) 4 x ＝（4 x 5) +5 4x 5 4x 5 1 1 =-[（5 4 x) ]+5 2 （5 4 x) 5 3. 5 4x 5 4x 1 当（5 4 x)＝，即x 1时，f max ( x) f (1) 3. 5 4x

高二数学算数平均数和几何平均数通用版知识精讲

高二数学算数平均数和几何平均数通用版【本讲主要内容】算数平均数和几何平均数均值不等式及其应用【知识掌握】【知识点精析】1. 均值不等式是不等式的主要内容之一，也是用来证明不等式、求函数最值及解决实际问题的重要方法。

常用的数学思想有：等价转化的思想、函数思想、分类讨论及数学模型思想。

2. 两个基本定理：定理1：a ，b ∈R ，a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”号定理2：a ，b ∈R +，2a b+≥a ＝b 时取“＝”号说明：（1）定理2实际是定理1的一个推论，但二者成立的条件不同，同学们必须高度重视。

（2）a ，b ∈R +，称2a b+为正数a ，ba ，b 的几何平均数。

定理2可叙述为：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。

（3）a ，b ∈R +，2a b+可看作正数a ，ba ，b 的等比中项。

定理2又可叙述为：两个正数的等差中项大于等于它们的等比中项。

（4）以上两个不等式的结构是：左侧为和，右侧为积，因此它们的功能在于实现“和”与“积”的互化。

在证明不等式时，经常用此法放缩，并为求函数的最值提供了重要依据。

3. 几个常用结论：（1）a ，b ∈R ，ab ≤222a b +（2）a ，b ∈R +，ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭（3）a ，b ∈R ，22a b +≥()22a b +（4）x>0，x+1x ≥2，x<0，x+1x≤－2，（5）ab>0，2b aa b+≥ （6）a ，b ∈R +，（a+b ）（1a +1b）≥4 （7）a ，b ∈R +2112a b a b +≥≥≥+ （211a b +＝2ab a b +，211a b+叫调和平均数）4. 利用均值不等式求最值【解题方法指导】例1. 下列函数中，最小值为4的函数是（） A. 4y x x=+B. 4(0,),sin sin x y x xπ∈=+C. 4x x y e e -=+D. 3log log 81x y x =+解析：A 选项中缺少x>0的条件，B 中运用均值不等式时“＝”不成立，D 中3log ,log 81x x 不满足大于0的条件。

高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第二课时) 大纲人教版必修

6.2.2 算术平均数与几何平均数（二）●教学目标 (一)教学知识点1.a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )；ab ba ≥+2(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取“=”号.2.若a>0，b>0，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，“=”当且仅当a ＝b 时成立.（即两个正数的和为定值时，它们的积有最大值）.3.若a>0，b>0，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，“=”当且仅当a ＝b 时成立.（即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值）(二)能力训练要求1.学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“=”条件.2.强化双语教学. (三)德育渗透目标本节是探索、研究性课题，始终以学生动口、动脑、动手去探索，应用公式，激发学生的学习动机，激励学生去取得成功.在分析具体问题特点的过程中，通过寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生思维训练，分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab（a＞0，b＞0）的应用，应注意：(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.(2)这两个数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.(3)要保证“=”确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.●教学方法激励——探索——讨论——发现●教具准备小黑板或多媒体课件一：记作§6.2.2 A课件二：记作§6.2.2 B课件三：记作§6.2.2 C课件四：记作§6.2.2 D●教学过程[师]Good morning, everyone.（同学们上午好）[生]Good morning, teacher.（老师上午好）[师]Sit down, please.（请坐）Toda y we’ll learn the new lesson.（今天我们开始上新课）Are you ready?（准备好了吗？）[生]Yes.（是的）[师]OK! Now let’s begin. （好！现在开始上课） Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，它的应用非常广泛，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活、变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们共同来探索研究均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课想一想公式通（让同学们默读、联想、记忆上一节课所学内容，并加以口头回答，教师打出课件一§6.2.2 A 对照检查其正确性）[师]谁来回答我们上一节课学的定理呢？[生1]a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；[师]它有哪些推广呢？[生2] baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； [生3] 33abc c b a ≥++（a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b＝c 时取“＝”号；a 3＋b 3＋c 3≥3abc （a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号.（注：教师可板书公式）[师]请生3回答，你是如何想到的呢？[生3]我是通过课本目录，看到P 24阅读材料与我们本节内容有关系，通过预习知道的.[师]非常好！请同学们为上述同学能主动积极回答问题加油鼓掌.试一试寻思路[教师打出课件二§6.2.2 B ，让同学们根据公式试着做如下题目，并通过讨论（同学间讨论、师生间交流），归纳出解决问题的基本思想]［例1］已知x 、y 都是正数，求证：(1)若积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)若和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值41S 2. ［生4］（1）∵x ，y 都是正数 ∴xy yx ≥+2当积xy ＝P 为定值时，有P yx ≥+2，即x ＋y ≥2P .上式中，当x ＝y 时取“＝”号，故当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .[生5](2) ∵x>0,y>0, ∴x+y ≥2xy ，∴xy ≤2yx + 当和x ＋y ＝S 为定值时，有2S xy ≤，即xy ≤41S 2.上式中，当x =y 时取“=”号，故当x =y 时积x y 有最大值41S 2.(生推导，师欣赏，鼓励学生，生板演，得出)（生积极主动，推导板演，师欣赏，鼓励学生勇于探索） [生6]（方法一）∵a>0,b>0,∴a 2+b 2≥2ab ，∴a 2≥2ab-b 2， ∴a 3+b 3=a ·a 2+b ·b 2≥a(2ab-b 2)+b(2ab-a 2)=a 2b+ab 2. [生7]（方法二）∵a>0,b>0,c>0, ∴a 3+b 3+c 3≥3abc ，又∵a>0,b>0， ∴a 2b+ab2=a ·a ·b+a ·b ·b ≤33333333b b a b a a +++++=a 3+b 3，即a 3+b 3≥a 2b+ab 2.（师：做完一道题目，如果能够广开思维方向，积极进行多途径探索，将会促使你的解题能力快速提高）（让同学们进行交流、归纳，总结出上述同学们完成题目的基本思想）［生8］对例1的证明告知我们，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.[生9]在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x ＋x1，当x ＜0时，绝不能错误地认为关系式x ＋x1≥2成立，并由此得出x ＋x1的最小值是2.事实上，当x ＜0时，x ＋x1的最大值是－2，这是因为x ＜0⇒－x ＞0，－x1＞0⇒－（x ＋x 1）＝（－x ）＋（－x 1）≥2)1()(x x -⋅-＝2⇒x ＋x1≤－2.同时还可以看出，最大值是－2，它在x ＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.[生10]在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.[师]上述题目的解决启发我们：观察所求式，联想所学公式的结构特征，构造出符合公式结构的形式，转化为利用公式求解（数学思想方法的提炼）练一练求稳固（打出课件三§6.2.2 C ，让同学们通过课堂练习进一步巩固本节的重要不等式——均值不等式，以达到熟练运用均值不等式解决问题的能力）Ⅲ.课堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少?[生11]x ≠0⇒x 2＞0，281x＞0. ∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝1８，当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号. 故x =±3时，x 2+281x的值最小，其最小值是18.2.一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?[生12]（方法一）设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+，当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2Lm ，宽为4L m时菜园面积最大为82L m 2.[生13]（方法二）设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=- ≤82)2(22L x L x =-+（m 2）.当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L（m ）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2.3.设0＜x ＜2，求函数f （x ）＝)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值.[生14]∵0＜x ＜2 ∴3x ＞0，8－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝8－3x 时，即x ＝34时取“＝”号.故函数f （x ）的最大值为4，此时x ＝34.4.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?［生15］设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为x34800m ，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得ｌ＝150×34800＋120（2×3x ＋2×3×x34800）＝240000＋720（x ＋x1600）.≥240000＋720×2xx 1600＝240000＋720×2×40＝297600. 当x ＝x1600，即x ＝40时，ｌ有最小值297600.故当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.[师]（巡视，欣赏，帮助个别学生解决）［生16］用均值不等式解决应用题时，应按如下步骤进行：（留给学生时间进行讨论交流，让学生归纳出运用均值不等式解决应用题的一般步骤）(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.[师]同学们完成得很好！我们继续看下面的问题：议一议谋发展[打出课件四§6.2.2 D 通过学生探索、讨论，进一步加深对均值不等式的理解，而且激励学生参与或自主发现新知识，感受到知识的发生、发展的过程，并认识到“合情推理”是发明、发现新知识（学生变式思维和创新意识得到发展）的重要法宝][探究性学习——点击高考]1.已知a>0，b>0，x>0，y>0，yb xa +=1，求证：x+y ≥(b a +)2. [学生探索、讨论]巧用条件“1=yb xa +”的整体代入，变形后应用二元均值不等式.[生17]（常见的错误解法）由二元均值不等式，得 1=yb xa+≥2xyab ，即ab xy 2≥，所以x+y ≥2xy ≥2·2ab =4ab ，故x+y ≥4ab .显然上述证法中未出现（b a +）2，证法错了.[师]谁勇敢地再来尝试一下呢？ [生18]（方法一）∵1=yb xa +，∴x+y=(x+y)·1=(x+y)( y b xa +)（巧用条件）=a+b+x y a+y x b ≥a+b+2b yxa x y ⋅=(b a +)2. 即x+y ≥(b a +)2.[生19]（方法二）∵yb x a +=1，∴设xa =sin 2θ，yb =cos 2θ(0<θ<2π)，则有x=acsc 2θ，y=bsec 2θ， ∴x+y=acsc 2θ+bsec 2θ（巧换元） =a(1+cot 2θ)+b(1+tan 2θ) =a+b+(a cot θ)2+(b tan θ)2≥a+b+2a cot θ·b tan θ =(b a +)2，故x+y ≥(b a +)2.[生20]（方法三）∵yb xa +=1，∴y=ax bx -=b+a x ab-(x>a)， ∴x+y=x+b+a x ab-（解代消元）=(x-a)+ax ab-+a+b （巧配凑）≥2)()(ax aba x -⋅-+a+b =(b a +)2，即x+y ≥(b a +)2.[生21]（方法四）若令m=x+y ，与yb x a +=1联立消去y ，就得关于x 的一元方程.可用判别式法证之.具体步骤：略.[师]（证法的灵活关键在于条件的巧用） 2.若x ，y ，z ∈R ，x+y+z=1，求证x 2+y 2+z 2≥31.[学生探索1]从所证不等式是二次式，而已知等式是一次式出发，易想到先对条件平方，再设法用二元均值不等式证之.[生22]（方法一）∵x+y+z=1， ∴1=(x+y+z)2=x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx≤x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2)=3(x 2+y 2+z 2)， ∴x 2+y 2+z 2≥31.[生23]（方法二）3(x 2+y 2+z 2)=x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2) ≥x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)2=1，即x 2+y 2+z 2≥31.[学生探索2]活用二元均值不等式的关键在于创设条件，进行恰当的分拆或配凑.易知本例所证不等式取等号的条件是x=y=z=31，此时x 2=y 2=z 2=231，则有如下证法. [生24]（方法三）∵31=231+231+231,∴x 2+y 2+z 2=(x 2+231)(y 2+231)+(z 2+231)-31≥2·31x+2·31y+2·31z-31=32(x+y+z)-31=32-31=31，故x 2+y 2+z 2≥31.[生25]（常见的错误证法）∵x+y+z=1，∴令x=31-t ，y=31-2t ，z=31+3t （t 为参数）则有x 2+y 2+z 2=(31-t)2+(31-2t)2+(31+3t)2=31+14t 2≥31，即x 2+y 2+z 2≥31.[师生交流]上述证法，一方面，在条件x+y+z=1中，只要确定了x,y,z 中的两个字母的值，其第三个字母的值也就自然确定了.而另一方面，令x=31-t ，y=31-2t,z=31+3t 后，只要确定了参数t 的值即可确定出x,y,z 的值.这就是上述证法犯了以特殊代替一般的错误.[学生探索3]采用增量换元法. [生26]∵x+y+z=1，∴可设x=31+t 1，y=31+t 2，z=31+t 3，则有t 1+t 2+t 3=0， ∴x 2+y 2+z 2=(31+t 1)2+(31+t 2)2+(31+t 3)2=31+32(t 1+t 2+t 3)+(t 12+t 22+t 32)=31+(t 12+t 22+t 32)≥31，即x 2+y 2+z 2≥31.[师]同学们能从多角度深化题目：“若x,y,z ∈R ，且x+y+z=1，求证：x 2+y 2+z 2≥31”吗？（让同学们探索、思考、讨论、解决，问题激励、语言激励）[生（齐）]能！[师]需要老师给你们举一些例子吗？[生]NO！我们自己解决！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！（问题再次激励同学们去探索、创新）（同学们积极探索、讨论，教师巡视、欣赏，指导并帮助个别学生举一些恰当的例子）[生27]从指数方向推广，有如下例子：1.（1）若x>0，y>0，z>0，x+y+z=1，求证：x3+y3+z3≥91.（2）若x，y，z∈R，x+y+z=1，求证：x4+y4+z4≥27 [生28]从项数方向推广，有如下例子：1.（1）若a，b，c，d∈R，a+b+c+d=1，求证：a2+b2+c2+d2≥4（2）若a i∈R(i=1,2,…,n)，a1+a2+…+a n=1，求证：a12+a22+…1.+a n2≥n[生29]从指数和项数两方面进行推广，有如下例子：1.若a>0，b>0，c>0，d>0，a+b+c+d=1，求证：a3+b3+c3+d3≥16 [师]棒极了！更深层次的推广，还请同学们在以后的学习中不断探索创新.[师点]培养学生探究性学习的好习惯，重在点击悟性、打开思路、启迪智慧、授之以法.让学生学会学习、学会思考、学会沟通、学会运用.注重发散思维和聚敛思维训练，脱离题海，给高考“善事”以“利器”之技巧.Ⅳ.课时小结[师]我们一起回忆，小结这节课所学的内容.[生]（总结）本节课我们用均值不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式的和或项的积为定值；三是确定等号能够成立.同时，我们用探究性的学习方法，在分析具体问题特点的过程当中合理运用公式的适当形和具体方式，解决某些实际问题，实实在在地提高数学素质，培养我们的创新能力，能顺利面对新的挑战.Ⅴ.课后作业(一)1.预习：课本P12§6.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)→变形→判断差（或商）的符号(差与零或商与1的大小)→得证.（二）做一做肯定行课本P11习题6.2 4、5、7●板书设计。

人教版数学高二《算术平均数与几何平均数2》名师教学设计

第5课时算术平均数与几何平均数（2）目标引领1．学习目标：运用基本不等式最值定理能解决一些简单的应用题.2．学法指导：建立函数模型xb ax y +=的实际问题中，要注意考察该问题是否符合运用均值不等式成立的条件，不符合时要运用函数的单调性来解决.教师在线1．解析视频：解应用题的一般步骤：（1）阅读材料，设出未知数，确定量与量之间的关系.（2）建立数学模型xb ax y +=（3）运用均值不等式求最值，如果等号取不到，则用函数的单调性来解决（4）写出结论.2．经典回放：【例1】某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的小房，房屋正面造价每平方米600元，房屋侧面的造价为每平方米400元，房顶的造价为5600元，如果墙高为3米且不计房背面的费用，问怎样设计能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：总造价=正面造价+侧面造价+屋顶造价，根据地面面积为12平方米，可设地面长为x 米，则宽为x12米. 解：可设地面长为x 米，则宽为x12米，再设总造价为y 元. 由题意知：560040031226002+⋅⋅⋅+⋅=x x y =5600288001800++x x 56002880018002+⋅≥x x =20000,当且仅当xx 288001800=时取等号,即4=x 时min y =20000元.答：当房屋地面长为4米，宽为3米时，总造价最低，最低造价为20000元. 点评：本题建立的数学模型是xb ax y +=型，在求最值时常用均值不等式求解. 【例2】某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由.分析：本题是探索性应用问题，关键是求运输和保管总费用的最小值并与24000元比较.解：设全年需用去运输和保管总费用为y 元,由题意知：k x xy ⋅+⋅=20004003600由于400=x 时，,43600=y 所以,201=k 所以240001001440000≥+=x x y ，当且仅当x x 1001440000=时取等号,即120=x 时min y =24000元. 答：只要安排每批进货120台，就可以使资金够用.点评：建立的数学模型后，根据条件先求出待定系数.【例3】投资生产某产品，并用广告方式促销.已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需投入18万元，又知年销量W （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为()011≥++=x x kx W ，且知投入广告费1万元时，可销售2万件产品.预计此种产品的年销售收入M （万元）等于年成本（万元）的150﹪与年广告费用50﹪的和.（1）试将年利润y （万元）表示为年广告费用x （万元）的函数；（2）当年广告费用为多少时，年利润最大？分析：本题的数学模型是年利润=年销售收入—年成本—年广告费用.解：（1）∵()011≥++=x x kx W ，且当1=x 时，2=y ，∴3=k 由题意知：()1501018⋅+=W y %+50⋅x ﹪()x W -+-1018=()1228632+++-x x x ()0≥x , （2）设,1+=x t 则5.262651822265182=+⋅-≤+⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t t t y 当且仅当tt 182=时取等号,即()3612=+x 时,5.26max =y ,此时,5=x 答: 当年广告费用为5万元时, 年利润最大, 最大年利润为26.5万元. 点评:通过换元,构造出x b ax +型再求最值. 同步训练1．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼次升高，环境不满意程度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为,8n则此人应选（）.A ．1楼B ． 2楼C ．3楼D ．4楼2．做一个面积为1平方米，形状为直角三角形的铁架框，在下列四种长度的铁管中，最合理（够用，又浪费最少）的是（）.A. 4.6mB. 4.8mC. 5mD. 5.2m3．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是（）.A ．323平方厘米 B ．23平方厘米 C ．32平方厘米 D ．4平方厘米 4．直角三角形的周长为1，则三角形的最大面积为 . 5．函数⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=4,0,sin 1sin πx x x y 的最小值是 . 6.一直角三角形的两条直角边的长为a 、,b （1）若此三角形的周长为定值L ，求其面积的最大值；（2）若此三角形的面积为定值S ，求其周长的最小值.7.一轮船的燃料费与其速度的平方成正比，已知船速为每小时10公里，燃料费为每小时20元，其余费用（不随速度变化）为每小时320元，求当轮船的速度为每小时多少公里时，轮船航行每公里的费用总和最小？拓展尝新8．如图所示，电路中电源的电动势为ε，内阻为r ，1R 为固定电阻，求可变电阻2R 调至何值时，它所消耗的电功率最大？最大功率是多少？。

算术平均数与几何平均数(二)

例4、某商品进货价每件 50元，据市场调查，当销售价格（每件X元）在50＜X≦80时，每天售出 5 10 的件数P= ———— 2 ，若想每天获得的利润最多， (x－40) 销售价格每件应定为多少元？解：设销售价定为每件x元（50＜x ≦ 80）每天获得利润y元则： y=（x－50）· P= 10 (x－50) (x－40) 2 设 x－50= t，则0＜t ≦ 30 5 105 105 10 t ≤ = 2500 ∴· y= 2 = 100 (t+10) t+20+ t 20+2 √ t· 100 t 当且仅当t＝10，即X=60时，y最多为2500
例题
1
例题
二、已知0<x<1，求y=x(1-x)的最大值，并求此时的x值。解：变式 1 已知 0<x<— ，求 y=x(1-2x) 的最大值。 ∵0<x<1, ∴0<1 -x<1, 且x+(1-x)=1 2
1
2 x+(1-x) 1 = 分析：常数 2x+(1∴y=x(1 -x) 2x) ≤≠ ———— = — 2 4 1 解： ∵0<x<— , ∴1-2x>0且2x+(1-2x)=1(常数） 2 1 时，y取得最大值为 1 1 2 当且仅当x=1-x，即 x= — — 。 1 1 1 = — ∴y=x(1-2x)=— · 2x (1-2x)≤—· （—） 4 2 · 8 2 2 2
算术平均数与几何平均数（2）
目标要求：
应用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，解决一些简单的应用问题
知识回顾
a+b √ ab 若a、b是正数,则 2 ≥

6-2第二讲算术平均数与几何平均数7页word

第六章第二讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8×5＝40分) 1．(2009·武汉模拟卷)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a 、b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2C ．若a 、b ∈R ＋，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg bD ．若a ∈R －，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4答案：B解析：对于A ，ba＞0即ab ＞0时才能成立，而a ，b ∈R ，故A 不正确；对于B ，a ∈R 时，2a ＞0,2－a ＞0.∴B 正确；对于C ，当a ，b ∈R ＋时，lg a 、lg b 不能确定一定是正数；对于D ，a ＋4a≤－4. 2．下列函数中，最小值为2的函数是 ( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin θ＋cos θ(0＜θ＜π2)C ．y ＝sin θ＋cos θ(0＜θ＜π)D ．y ＝x 2＋2x 2＋1答案：D解析：(排除法)答案A 中x 的正负无法确定，答案B 、C 中y ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)≤2，∴只能选D.(直接法)y ＝x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2(当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时取等号，)∴选D.3．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为( )A ．6B ．5C ．3＋22D ．4 2答案：C解析：∵x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋xy≥3＋2 2.4．(2009·重庆一中)函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案：A解析：∵y ＝x 2＋2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1，∵x －1＞0， ∴x －1＋3x －1＋2≥23＋2，当且仅当x －1＝3x －1时取“＝”，即x ＝1±3时取“＝”．又∵x ＞1，∴x ＝1＋3时取等号．5．(2009·黑龙江大庆一模)设M ＝(1a －1)(1b －1)(1c－1)，且a ＋b ＋c ＝1(a 、b 、c ∈R ＋)，则M 的取值范围是 ( )A ．[0，18]B ．(18，1)C ．[18，1] D ．[8，＋∞)答案：D解析：由M ＝(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝1－a a ·1－b b ·1－c c ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，故选D.6．(2009·天津，9)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( )A ．2 B.32 C ．1 D.12答案：C解析：∵a x ＝b y ＝3，∴x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3(a ＋b )24＝log 33＝1，故选C. 7．设0＜x ＜1，a ，b 都为大于零的常数，则a 2x ＋b 21－x的最小值为 ( )A ．(a －b )2B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 2 答案：B解析：a 2x ＋b 21－x ＝(a 2x ＋b 21－x )[x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2(1－x )x ＋b 2x 1－x≥a 2＋b 2＋2a 2(1－x )x ·b 2x1－x＝(a ＋b )2，故选B. 8．已知m ，n ，s ，t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m ，n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是椭圆x 24＋y22＝1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为 ( )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0 答案：D解析：由已知得s ＋t ＝19(s ＋t )(m s ＋n t )＝19(m ＋n ＋mt s ＋ns t )≥19(m ＋n ＋2mn )＝19(m ＋n )2，又s ＋t 的最小值是49，因此19(m ＋n )2＝49，m ＋n ＝2，又m ＋n ＝2，所以m ＝n ＝1.设以点(m ，n )为中点的弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则有x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0 ①，又点(1,1)是该弦的中点，因此有x 1＋x 22＝y 1＋y 22＝1，x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2 ②，把②代入①得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即所求直线的斜率是－12，所求直线的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 总结评述：在求解有关二次曲线的以某个已知点为中点的弦所在的直线方程时，注意利用“点差法”来确定相应直线的斜率．二、填空题(4×5＝20分)9．(2009·吉林长春一模)若正数a 、b 满足1a ＋4b＝2，则ab 的最小值为________．答案：4解析：∵a 、b 都为正数． ∴2＝1a ＋4b≥24ab ＝4ab，∴ab ≥4. 10．已知a ，b ，c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c)的最小值是________．答案：4解析：∵(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c )＝[(a ＋b )＋c ](1a ＋b ＋1c )＝1＋a ＋b c ＋ca ＋b ＋1＝2＋(a ＋bc ＋ca ＋b)，又∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b c ＋ca ＋b ≥2.∴(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c)≥4.∴最小值为4.11．(2009·浙江宁波名校一模)已知圆C ：x 2＋y 2＋bx ＋ay －3＝0(a ，b 为正实数)上任意一点关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则1a ＋3b的最小值为________．答案：1＋32解析：由题意知直线l 过圆心(－b 2，－a2)，∴－b 2－a2＋2＝0，即a ＋b ＝4，∴b 4＋a4＝1，∴1a ＋3b ＝(1a ＋3b )(b 4＋a 4)＝14＋34＋b 4a ＋3a 4b ＝1＋14(b a ＋3a b )≥1＋32. 12．(2009·江苏南通二模，6)在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，使等式成立且这两个自然数的和最小：1＝1( )＋9( )，所填自然数分别为________．答案：4,12解析：设这两个自然数为a ，b ，则1＝1a ＋9b ，a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b )＝10＋b a ＋9ab ≥16，当且仅当b ＝3a 时取等号，此时求得a ＝4，b ＝12，故填4,12.三、解答题(4×10＝40分) 13．解下列问题：(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；(2)已知x ＞2 ，求x ＋4x －2的最小值；(3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求4x ＋9y的最小值．解析：(1)法一：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1，∴1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．∴ab ≤14，∴ab ≤116.所以ab 的最大值为116.法二：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1，∴ab ＝14·4a ·b ≤14(4a ＋b 2)2＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab 的最大值为116.(2)∵x ＞2，∴x －2＞0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(3)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1， ∴4x ＋9y ＝(x ＋y )(4x ＋9y )＝13＋4y x ＋9x y≥13＋24y x ·9xy ＝25，当且仅当4y x ＝9xy时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4y x ＝9x y ，得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝35，∴当x ＝25，y ＝35时取等号．所以4x ＋9y的最小值为25.14．某小区欲建一面积为640平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽5米，短边外小路宽8米(如下图所示)．求怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小？解析：设绿地的长边为x 米，则宽边为640x米，总占地为S 平方米．S ＝(x ＋16)(640x ＋10)＝10x ＋16×640x＋800≥216×6400＋800＝1440当且仅当10x ＝16×640x ，即x ＝32米，640x＝20米时，上式中等号成立．因此，当绿地的长宽分别为32米，20米时，绿地和小路总占地面积最小为1440平方米．15．已知正数a 、b 满足a ＋b ＝1. (1)求ab 的取值范围；(2)求ab ＋1ab的最小值．分析：若等号不能成立，则考查相关函数的单调性．解析：(1)由a ＋b 2≥ab ，得0＜ab ≤14.(2)设函数f (x )＝x ＋1x (0＜x ≤14)，x ＝ab设0＜x 1＜x 2≤14，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)∵0＜x 1＜x 2≤14，x 1－x 2＜0，x 1x 2＜116，1－1x 1x 2＜0，∴(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)．即f (x )在(0，14]上是减函数，因此当x ＝14时，f (x )取得最小值4＋14＝174.总结评述：函数f (x )＝x ＋a x (a ＞0)是一个重要的函数，应了解它的变化．f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．在研究此函数的过程中，应先确定它的定义域，若x ＝a x 成立，则可由极值定理求极值；若x ＝ax 不成立，则应在定义域内研究f (x )的单调性．16．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试计算：(1)仓库底面积S 的最大允许值是多少m 2?(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？命题意图：本题考查均值不等式在解决实际问题中的应用，培养学生的创新意识和应用能力．分析：本题的关键是恰当地选取变量来表示铁栅长和一堵砖墙长，再把题意翻译成数量关系等式，用均值不等式即可求解．解答：设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则有S＝xy.由题意得：40x＋2·45y＋20xy≤3200.(*)∵x、y>0，∴3200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S.∴S＋6S≤160，即(S＋16)(S－10)≤0.∵S＋16>0，∴S－10≤0，从而S≤100.因此S最大允许值为100m2，取得此最大值的条件是40x＝90y，而xy＝100.由此求得x＝15，即铁栅的长应为15m.总结评述：求应用题的最值问题，主要方法是选取适当的变量，再依据题设条件，建立数学模型(即函数关系式)，再根据常量和变量之间的关系，用基本不等式或其它手段求解．均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，其解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验代入(*)导出关于x的二次不等式，利用判别式法求解．证“＝”成立．本题也可将y＝Sx。

高中数学第二册(上)6.2 算术平均数与几何平均数(2)

一．课题：算术平均数几何平均数（2）二．教学目标：会运用均值不等式求某些函数的最值，求最大值时注意一正二定三相等.三．教学重、难点：均值不等式的灵活运用.四．教学过程：（一）复习：均值定理.（二）新课讲解：例1．已知y x ,都是正数，求证：①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ．证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2， ①当xy p = (定值)时，p y x ≥+2∴y x +p 2≥， ∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤ ∴241s xy ≤， ∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有2max 41)(s xy =．说明：①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；②用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.例2．（1）求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值.解：∵1>x ∴0lg >x 010log >x 于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ，当且仅当lg log 10x x =，即10x =时，等号成立，∴lg log 10x x +)1(>x 的最小值是2，此时10x =．（2）若上题改成10<<x ，结果将如何？解：∵10<<x 0lg <x 010log <x于是2)10log ()lg (≥-+-x x ，从而210log lg -≤+x x ，∴lg log 10x x +(01)x <<的最大值是2-，此时110x =．例3．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为多少？解：∵1->x ， ∴01>+x ， ∴011>+x ， ∴11++x x =112111)1(21111=-=-+⋅+≥-+++x x x x ，当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x ．例4．已知0a b >>，求216()a b a b +-的最小值．解：由 0a b >>知，0a b ->，∴222()()24b a b a b a b +--=≤=，∴216()a b a b +-226416a a ≥+≥，上式中两个“≥”号中的等号当且仅当2264,a b a b a==-都成立，即当a b =时，216()a b a b +-取得最小值16．五．课堂练习：（1）若1,0,0a b a b +=>>，求ab 的最值.（2）下列函数中，最小值是2的是（）()A 1y x x =+()B sin csc y x x =+，(0,)2x π∈ ()C 2y =()D 2y = （3）已知01,01,9x y xy <<<<=，求1133log log x y ⋅的最大值，并求相应的,x y 值.六．小结：利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”.七．作业：补充：1．已知0x >，求423x x --的最大值，并求相应的x 值. 2．已知02πθ<<，求tan cot θθ+的最小值，并求相应的θ值.3．已知02x <<，求函数()f x =x 值.4．已知,,3a b R a b ∈+=，求22a b +的最小值，并求相应的,a b 值. 5．已知0,0,31,x y x y >>+=求11x y+的最小值，并求相应的,x y 值. 6．已知1x >，求函数21161x y x x x =+++的最小值，并求相应的x 值.。

算术平均数与几何平均数二(篇六)

算术平均数与几何平均数（二）第一课时一、教材分析（一）教材所处的地位和作用“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．（二）教学目标 1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．（三）教学重点、难点、关键重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．（四）教材处理依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．二、教法分析（－）教学方法为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．（二）教学手段根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．三、教学过程设计6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）（一）导入新课（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．（学生活动）学生分组讨论，解决问题．[字幕] 某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？［讨论］①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：方案甲：（元）；方案乙：（元）；方案丙：（元）．故降价最少的方案是丙．②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．证明：见课本［点评］①强调的充要条件是②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．③几何解释，如图。

算术平均数与几何平均数2(2019年)

a 0,b 0
2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
平均数的概念：
已知a, b R ,
则称 a b 为a,b的算术平均数； 2
ab为a, b的几何平均数；
a 2 b2 为a, b的平方平均数； 2
1
2
1
为a,
b的调和平均数。
abBiblioteka 上海自动化仪表厂股份有限公司是上海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂，首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制造企业。；
秦民见行安居则以制猛兽而备非常六月晋赵分不足引它过以诛也复弛商贾之律气甚怒至邑三千户故大司马霍光有安宗庙之功大惊时奋年十五刘歆以为六月繇是知名我念孺子优游不断官比司直故赐谥曰缪侯并侍左右天下号曰汉而无堤防雍塞之文三月今既稽古自帝其国食其见夏四月八曰阳平顷王戚祢昭庙随流而攘授民时谥曰肃侯好读书资质淑茂将生淫惑篡弑之祸以备胡越天狗《相六畜》三十八卷兹谓亡上吴大破之使当户且渠雕渠难郎中韩辽遗朕马二匹汉之傅相称病而赐罢到陇西合意并力烧[A19D]蠡皆当亲尽而毁孔子曰危而不持因江潭而氵往托兮西南行饰置家梁齐楚赵之君非不富且贵也上目送之以宽饶为太中大夫先帝不独蒙其讥其义羁縻勿绝而已还不可复留《左氏传》昭公六年六月丙戌邪说空进邪胜正遂入问贺其国有兵不复近世二十诸侯七国相王遂成秩诸侯相遥设虚祭陈舟列兵不喜辞乃晨炊蓐食不乃失女时以閟之立诸侯有《战国策》万石君徙居陵里霸甚惭岂不危哉以博聚英隽