高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程课时作业 新人教版选修2-2

1．5.1 曲边梯形的面积1．5.2 汽车行驶的路程明目标、知重点1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．2．求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.[情境导学]任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一 求曲边梯形的面积 思考1 如何计算下列两图形的面积？答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解． 问题 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S?思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答 已知图形是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤) 答 (如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．S n ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n(i －1n )2·Δx＝∑i ＝1n(i －1n )2·1n(i ＝1,2，…，n ) ＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n＝1n3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13(1－1n )(1－12n)． ∴S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 13(1－1n )(1－12n )＝13.求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成． 思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f (i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，in]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？ 答 以上方法都能求出S ＝13.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，[2n ，3n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n，1]，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作为高，小区间的长度Δx ＝1n 作为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即 ΔS i ≈(i －1n )2·1n. (3)求和曲边梯形的面积近似值为S ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n(i －1n )2·1n＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋(2n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n＝1n3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13(1－1n )(1－12n )． (4)取极限 曲边梯形的面积为S ＝lim n →∞ 13(1－1n )(1－12n )＝13. 反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确． 跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解 ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2(x ≥0)y ＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积． (1)分割将区间[0,2] n 等分， 则Δx ＝2n ， 取ξi ＝2(i －1)n.(2)近似代替求和S n ＝∑i ＝1n[2(i －1)n ]2·2n＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83(1－1n )(1－12n )． (3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 83(1－1n )(1－12n )＝83.∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.探究点二 求变速运动的路程思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？答 物体以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt .如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t 分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．例2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间行驶的路程是多少？ 解 分割将时间区间[0,1]分成n 个小区间，[0，1n ]，[1n ，2n ]，[2n ，3n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n，1]，则第i 个小区间为[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替第i 个小矩形的高为v [－(i －1n)]， ∴△s i ≈v [－(i －1n )]·1n ＝[－(i －1n )2＋2]·1n. (3)求和s n ＝1n ∑i ＝1n [－(i －1n)2＋2]＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋2＝－(n －1)(2n －1)6n 2＋2＝－13(1－1n )(1－12n )＋2. (4)取极限s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞[－13(1－1n )(1－12n )＋2]＝53.∴这段时间行驶的路程为53km.反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v (t )＝－t 2＋2在t ＝0，t ＝1，v (t )＝0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现．跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？ 解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是Δs i ≈Δs ′i ＝v (2in)·Δt＝[3(2i n )2＋2]·2n＝24i2n3＋4n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝∑i ＝1n(24i 2n 3＋4n)＝24n3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4 ＝8(1＋1n )(1＋12n )＋4.从而得到s 的近似值s ≈v n . (4)取极限s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞[8(1＋1n )(1＋12n)＋4] ＝8＋4＝12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案 D解析 当n 很大，即Δx 很小时，在区间[i －1n ，i n]上，可以认为f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数．3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确 答案 C4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02. [呈重点、现规律]求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).一、基础过关1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in]上的值，可以近似代替为( ) A ．f (1n )B ．f (2n) C ．f (in) D ．f (0)答案 C2．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞∑ni ＝1[11＋(i n)2·2n]B.lim n →∞∑ni ＝1[11＋(2i n)2·2n] C.lim n →∞∑ni ＝1 (11＋i 2·1n) D.lim n →∞∑ni ＝1[11＋(i n)2·n ] 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n.∴和式为∑ni ＝1[11＋(2i n)2·2n ]．∴应选B.3．把区间[a ，b ] (a <b )n 等分之后，第i 个小区间是( ) A ．[i －1n ，in] B ．[i －1n (b －a )，in (b －a )] C ．[a ＋i －1n ，a ＋in] D ．[a ＋i －1n (b －a )，a ＋in(b －a )] 答案 D解析 区间[a ，b ](a <b )长度为(b －a )，n 等分之后， 每个小区间长度均为b －an， 第i 个小区间是[a ＋i －1n (b －a )，a ＋in(b －a )](i ＝1,2，…n )． 4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B.12 C ．1 D.32答案 B解析 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．5．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是( ) A.119 B.111256 C.1127 D.2564答案 D解析 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：[0，14]，[14，12]，[12，34]，[34，1]，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S ＝(14)3×14＋(12)3×14＋(34)3×14＋13×14＝2564.6．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为[a (i －1)n ，ai n ](i ＝1,2，…，n )，此区间长为an，用小矩形面积(ai n )2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑ni ＝1 (ai n )2·a n ＝a 3n3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33(1＋1n )(1＋12n)近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞[a 33(1＋1n )(1＋12n )]＝9， ∴a 33＝9， 解得a ＝3.7．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积． 解 令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0,2] n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n，2i n](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n.(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑ni ＝1f (2in)·Δx ＝∑ni ＝1 (2i n )2·2n ＝8n3∑n i ＝1i 2 ＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝43(2＋3n ＋1n )． (3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83，即所求曲边梯形的面积为83. 二、能力提升8.∑ni ＝1i n ＝________. 答案 n ＋12解析 ∑n i ＝1 i n ＝1n(1＋2＋…＋n ) ＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 9．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．答案 [n ＋i －1n ，n ＋i n] 10．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.11．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t ]内物体下落的距离．解 (1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份．把时间[0，t ]分成n 个小区间，则第i 个小区间为[i －1n t ，it n ](i ＝1,2，…，n )， 每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝t n， 在各个小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在[i －1n t ，it n]上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )， 可取ξi 使v (ξi )＝g ·i －1nt 近似代替第i 个小区间上的速度， 因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n 内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g ·i －1n t ·t n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑ni ＝1g ·i －1n t ·t n ＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2(1－1n)． (4)取极限：s ＝lim n →∞ 12gt 2(1－1n )＝12gt 2. 即在时间区间[0，t ]内物体下落的距离为12gt 2. 三、探究与拓展12．某物体做变速运动，设该物体在时间t 的速度为v (t )＝6t 2，求物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n 个小区间[1＋i －1n ，1＋i n](i ＝1,2，…，n )，区间长度为Δt ＝1n，每个时间段内行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )， 则s n ≈∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：ξi ＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n )， Δs i ≈v (1＋i －1n )·Δt ＝6·(n n ＋i －1)2·1n ＝6n(n ＋i －1)2(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑i ＝1n6n (n ＋i －1)2≈∑i ＝1n 6n (n ＋i )(n ＋i －1) ＝6n (1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n) ＝6n (1n －12n)＝3. (4)取极限：s＝lims n＝3.n→∞。