2020年春沪科版数学八年级下册第17章教学课件：17.5.3可化为一元二次方程的分式方程的应用(共19张PPT)
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心动 不如行动 公式法是这样生产的
w 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解 : x2 b x c 0.
w1.化1:把二次项系数化为1;
x2
x2
b a
ba
x
a
x
b
2a
ac
.
a2
b 2a
2
c a
w2.移项:把常数项移到方程的右边;
.
w3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
1.直接开平方法
• 对于形如ax2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥o)的方程可 以用直接开平方法解
解方程：
（1）3(x2)2 60
（2） 9x26x10
2.配方法
w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程 的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); w2.移项:把常数项移到方程的右边; w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; w4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; w6.求解:解一元一次方程; w7.定解:写出原方程的解.
x1,2
2a
.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 :
b x1,2 2a .
当b2 4ac 0时, 方程ax2 bx c 0a 0没有实数根
我们把代数式b2 4ac叫做方程ax2 bx c 0a 0的
根的判别式.用""来表示.即 b2 4ac.
解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2. 答 : 这两个数为32或23.
春八年数学下册第17章一元二次方程17.1一元二次方程课件新版沪科版
17.1 一元二次方程
解：不正确．改正如下： ∵0 是关于 x 的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0 的一个根， ∴将 x＝0 代入该一元二次方程，得 a2－1＝0，解得 a＝±1.∵a＋1≠0，∴a≠－1， 故 a＝1.
17.1 一元二次方程
【归纳总结】根据实际问题情境建立一元二次方程模型的方法： (1)审题，找等量关系(可用文字语言表示)；(2)设未知数，并依据 数量关系列出相关的代数式；(3)根据等量关系列出对应的方程．
17.1 一元二次方程
总结反思
知识点一 一元二次方程的定义
只含有__一_个___未知数，并且未知数的最高次数是__2__的__整_式___ 方程，叫做一元二次方程．
17.1 一元二次方程
目标二 会将一元二次方程化为一般形式，并正确地写出它的各项系数
例 2 教材补充例题 将下列方程化为一般形式，并指出它们的 二次项系数、一次项系数和常数项： (1)6y2＝y； (2)(x－2)(x＋3)＝8.
17.1 一元二次方程
解：(1)一般形式为 6y2－y＝0，二次项系数为 6，一次项系数为－1，常数项为 0. (2)一般形式为 x2＋x－14＝0，二次项系数为 1，一次项系数为 1，常数项为－14.
【归纳总结】已知一个含有未知字母的一元二次方程的根，求未知 字母的值，一般是先把方程的根代入方程中，再解关于这个未知字 母的方程，即可得出答案．
17.1 一元二次方程
目标四 能根据实际问题情境列简单的一元二次方程
例 4 教材补充例题 有一面积为 54 cm2 的长方形纸片，将它的 一边剪短 5 cm，另一边剪短 2 cm，恰好变成一个正方形，求这个 正方形的边长．设这个正方形的边长为 x cm，根据题意，列出的 方程是__x_2_＋_7_x_－__44_＝__0____．(将方程整理成一般形式)
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2、一元二次方程的一般形式？
ax2+bx+c=0,(a≠0)
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:17:21 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
小路（两条纵向，一条横向，
20m
横向与纵向垂直）把这块空地
分成大小一样的6块，建成小 花坛，如图，要使花坛的总面
32m
积为570m2，问小路的宽应为
多少？ 解: 设小路宽为x，则：
32×20-（32x+2x20x）+2x2=570
整理得：
X2-36x+35=0
观察
上面问题中这两个方程：z x xk
③方程两边都是整式;
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
二次项 系数
一次项 系数
ax2+bx+c=0（a≠0）
二次项
一次项
常数项
自我检测：
1、下列方程中哪些是一元二次方程？
ax2+bx+c=0,(a≠0)
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:17:21 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
小路（两条纵向，一条横向，
20m
横向与纵向垂直）把这块空地
分成大小一样的6块，建成小 花坛，如图，要使花坛的总面
32m
积为570m2，问小路的宽应为
多少？ 解: 设小路宽为x，则：
32×20-（32x+2x20x）+2x2=570
整理得：
X2-36x+35=0
观察
上面问题中这两个方程：z x xk
③方程两边都是整式;
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
二次项 系数
一次项 系数
ax2+bx+c=0（a≠0）
二次项
一次项
常数项
自我检测：
1、下列方程中哪些是一元二次方程？
沪科版数学八年级下册第17章1一元二次方程(通用)课件
的判别式：△=b2-4ac≥0 △＞0 方程有两个不相等的实数根 △=0 方程有两个相等的实数根 △＜0 方程没有实数根
想一想：
1.下列方程中，有两不等实根的是 （ A）
A. x2-2x-1=0
B.x2-2x+3=0
C. x2=2 3x-3
D.x2-4x+4=0
2.方程x2-4mx=2-m(m为常数)根的情况是（ A）
练一练：
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ C）
1 A. x2+ x2 =0
B. ax2+bx+c
C. (x-1)(x+2)=1 D. 3x2-2xy=0
2.已知关于x的一元二次方程
(a-1)x2+x+a2-1=0的常数项为0，则a的值为
（ ）B
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0.5
返回
（五）、应用
1.可化为一元一次方程的分式方程 注意：验根
2.列方程解应用题： 步骤：审、设、列、求、验、答
注意：①关键是找出等量关系列出方程； ② 验根时既要检验是否是原方程 的根，又要检验是否符合题意.
1.若两个连续整数的积是20，则这两个数是（
）C
A.4和5
B.-5和-4
C.4和5或-5和-4
归纳小结
1.你能把本章的内容作一个书面整理吗？
2.利用方程（组）解决实际 问题的关键是什么？
3.本章有哪些地方用到了“化归方法”这 一重要数学思想方法是最简二次根式、同 类二次根式？
谢谢
（2）(x-3)2+2x(x-3)=0.
典例讲授2
若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有 实数根，求m的取值范围.
想一想：
1.下列方程中，有两不等实根的是 （ A）
A. x2-2x-1=0
B.x2-2x+3=0
C. x2=2 3x-3
D.x2-4x+4=0
2.方程x2-4mx=2-m(m为常数)根的情况是（ A）
练一练：
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ C）
1 A. x2+ x2 =0
B. ax2+bx+c
C. (x-1)(x+2)=1 D. 3x2-2xy=0
2.已知关于x的一元二次方程
(a-1)x2+x+a2-1=0的常数项为0，则a的值为
（ ）B
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0.5
返回
（五）、应用
1.可化为一元一次方程的分式方程 注意：验根
2.列方程解应用题： 步骤：审、设、列、求、验、答
注意：①关键是找出等量关系列出方程； ② 验根时既要检验是否是原方程 的根，又要检验是否符合题意.
1.若两个连续整数的积是20，则这两个数是（
）C
A.4和5
B.-5和-4
C.4和5或-5和-4
归纳小结
1.你能把本章的内容作一个书面整理吗？
2.利用方程（组）解决实际 问题的关键是什么？
3.本章有哪些地方用到了“化归方法”这 一重要数学思想方法是最简二次根式、同 类二次根式？
谢谢
（2）(x-3)2+2x(x-3)=0.
典例讲授2
若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有 实数根，求m的取值范围.
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x1
3
2
7,x2
=3
7 2
你能用开平方法解下列方程吗?
x2+2x-1= 0
显然我们不能直接通过开平方来解 这个方程，那怎办呢？
下面对方程x2+2x-1= 0进行变形
把常数项移到等号的右边，得 x2+2x= 1
对等号左边配方，得
x2+2x+1=1+1
即
（x+1）2=2
这是直接开平方得 x1 2
所以原方程的根是 x121,x221 考虑到上节中问题一的实际情况，这里只能取 x1 210.41
（x-2）2=5
（2）先把x2的系数变为1
x2 3x 1 = 0 22
移项得 x 2 3x 1 22
x2 =5 , 或 x2-5
x 1 5+2 , x 2
下面过程试着自己独立 5+2 解决，与同学进行交流
（补充）例 用配方法解方程x2＋12x+9=0
解:移项，得 x2+12x=-9 方程的两边都加上36,得
17.2 一元二次方程的解法
---配方法
尝试着解下列方程：
1、x2-4=0;
2、(x+1)2-25=0.
解： x2=4,
解: (x+1)2=25,
∴x1=-2, x2=2.
∴x+1=5,或x+1=-5. ∴x1=-6, x2=4.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得x1 = a,x2 = - a
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 6:04:28 PM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
沪科版数学八年级下册八年级数学课件：第十七章一元二次方程17.2.3因式分解法
公式法
b
x
b2 4ac . b2 4ac 0 .
2.什么叫分解因式? 2a
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
灿若寒星
灿若寒星
在分组分解法中，我们学习了形 如x＋(p＋2 q)x＋pq的式子的因式 分解问题。Zxxk 即：x＋2 (p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
7 7
或
x 1 1
x7x 6x
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：竖分常数 交叉验，横写因式 不能乱。
灿若寒星
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x2 px q
灿若寒星
即：x＋2 (p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
p
x
q
x 2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用一 个十字叉帮助我们分解因式，这种方 法叫做十字相乘法。
灿若寒星
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
灿若寒星
(4)x2 6x 7 0 (5)t(t 3) 28 (6)(x 1)(x 3) 15
灿若寒星
灿若寒星
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法》(第4课时)公开课课件
例1、解方程 ：x2－9=0
解：原方程可变形为
(x+3)(x－3)=0 x+3=0 或 x－3=0 ∴ x1=-3 ,x2=3
例2、解方程：9x2－25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
. 3
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的 方法求解.
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化 为两个一元一次方程来求解的方法称为因式分解法.
温馨提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.” 4.基本思想是“降次”
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程右边化为 零 。 2、将方程左边分解成两个 一次因式 的乘积。 3、至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4、两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
下面的解法正确吗？
如果不正确，错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
17.2 一元二次方程的解法
回顾与复习
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 配方法
x²=p(p≥0) (x+h)2=k (k≥0)
公式法
b x
b2 4ac . a 0,b2 4ac 0 .
2.什么叫分解因式?2a
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法(3)》公开课课件.ppt
1.解方程 x2－2√3x=-3
2.若一个数的平方等于这个数本身, 你能求出这个数吗(要求列出一 元二次方程求解)?
辨一辨:下列解一元二次方 程的方法对吗?
解： 方程两边都除以 x，得 3x=1
解得
x
1 3
体会.分享
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
因式分解法解一元二次方程的基本步骤
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
练一练：解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0, ∴x=0 ,或3x－17=0 解得 x1=0, x2=17／3
(2)移项，得 （3x－4)2－(4x－3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 〔 (3x－4)+(4x－3)〕〔 (3x－4) －(4x－3)〕=0, 即 (7x－7) (-x－1)=0. ∴7x－7=0,或 -x－1=0. ∴x1=1, x2=-1
例5 解方程：（x+4）（x-1）=6
解 把原方程化为标准形式，得 x2+3x-10=0
把方程左边分解因式，得 （x-2）（x+5）=0 因此x-2 =0或x+5=0.
∴x1=2，x2=-5
能用因式分解法解一元二次方程遇到
类似例5这样的，移项后能直接因式分解 就直接因式分解，否则移项后先化成一般 式再因式分解.
填空：
八年级数学下册 第17章 一元二次方程 17.1 一元二次方程教学课件 沪科沪科级下册数学课件
方程的解(或根).
12/12/2021
第十四页，共十九页。
1.判断下列(xiàliè)各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3)
2.构造(gòuzào)一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为2.
12/12/2021
第十五页，共十九页。
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.
（3）二次项系数a≠0.
12/12/2021
第十三页，共十九页。
活动2：探究一元二次方程的根
判断(pànduàn)未知数的值x= -1, x=0, x=2是不是方程 x2-2=x的 根.
能使一元二次方程两边(liǎngbiān)相等的未知数的值叫一元二次
12/12/2021
第十八页，共十九页。
内容(nèiróng)总结
教学课件。32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.。（4）通过与一元一次方程的对比，你能给 这类方程取个合理的名字吗。(x-1)2-9=0。x2-2x-8=0。（2）下列方程，哪些是一元二次方程，并
No 说明理由。2x2-4=(x+2)2，。（1）在确定一元二次方程的二次项系数(xìshù)、一次项系数(xìshù)
（1）它们是一元一次方程吗？
两边相等的未知数 的值叫一元二次方
程的解(或根).
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
特点：
12/12/2021
1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2
第九页，共十九页。
（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的 名字吗？
12/12/2021
第十四页，共十九页。
1.判断下列(xiàliè)各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3)
2.构造(gòuzào)一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为2.
12/12/2021
第十五页，共十九页。
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.
（3）二次项系数a≠0.
12/12/2021
第十三页，共十九页。
活动2：探究一元二次方程的根
判断(pànduàn)未知数的值x= -1, x=0, x=2是不是方程 x2-2=x的 根.
能使一元二次方程两边(liǎngbiān)相等的未知数的值叫一元二次
12/12/2021
第十八页，共十九页。
内容(nèiróng)总结
教学课件。32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.。（4）通过与一元一次方程的对比，你能给 这类方程取个合理的名字吗。(x-1)2-9=0。x2-2x-8=0。（2）下列方程，哪些是一元二次方程，并
No 说明理由。2x2-4=(x+2)2，。（1）在确定一元二次方程的二次项系数(xìshù)、一次项系数(xìshù)
（1）它们是一元一次方程吗？
两边相等的未知数 的值叫一元二次方
程的解(或根).
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
特点：
12/12/2021
1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2
第九页，共十九页。
（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的 名字吗？
2020春沪科版八年级数学下册课件-第17章-17.1 一元二次方程
x
B．x2＋1－x2＝0 D．x2－x－2＝0
（来自《典中点》）
知1－练
3 若关于x的方程(a－2) x2－2ax＋a＋2＝0是一
元二次方程，则( D )
A．a＝2
B．a＝－2
C．a＝0
D．a≠2
（来自《典中点》）
知1－练
4 若方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是关于x的一元二
次方程，则有( B )
（来自《点拨》）
知2－练
1 将下列一元二次方程化成一般形式，并指出
它们的二次项系数、一次项系数及常数项：
(1)5x2＝6x－8;
(2) 1 －2x2＝0；
2
(3) x(x－1)＝0；
（1） 5x2－6x＋8＝0 （2） 1－2x2＝0
2 （3） x2－x＝0
（来自教材）
知2－练
2 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，
即当a＝－1时，该方程为一元一次方程．
此时方程为2x－3＝0， 解得x＝ 3 .
2
（来自教材）
总结
知2－讲
在一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0
中，a≠0是确定该方程为一元二次方程的唯一标
准，在应用一元二次方程的定义求待定字母的值
时，既要考虑未知数的最高次数是2，又要考虑
二次项系数不为零．
（来自《点拨》）
知3－练
3 (中考·攀枝花)若x＝－2是关于x的一元二次方
程x2＋3 ax －a2＝0的一个根，则a的值为( C )
2
A．－1或4
B．－1或－4
C．1或－4
D．1或4
（来自《典中点》）
1. 一元二次方程的概念. 一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用 定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来 确定一些字母的值及取值范围
B．x2＋1－x2＝0 D．x2－x－2＝0
（来自《典中点》）
知1－练
3 若关于x的方程(a－2) x2－2ax＋a＋2＝0是一
元二次方程，则( D )
A．a＝2
B．a＝－2
C．a＝0
D．a≠2
（来自《典中点》）
知1－练
4 若方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是关于x的一元二
次方程，则有( B )
（来自《点拨》）
知2－练
1 将下列一元二次方程化成一般形式，并指出
它们的二次项系数、一次项系数及常数项：
(1)5x2＝6x－8;
(2) 1 －2x2＝0；
2
(3) x(x－1)＝0；
（1） 5x2－6x＋8＝0 （2） 1－2x2＝0
2 （3） x2－x＝0
（来自教材）
知2－练
2 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，
即当a＝－1时，该方程为一元一次方程．
此时方程为2x－3＝0， 解得x＝ 3 .
2
（来自教材）
总结
知2－讲
在一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0
中，a≠0是确定该方程为一元二次方程的唯一标
准，在应用一元二次方程的定义求待定字母的值
时，既要考虑未知数的最高次数是2，又要考虑
二次项系数不为零．
（来自《点拨》）
知3－练
3 (中考·攀枝花)若x＝－2是关于x的一元二次方
程x2＋3 ax －a2＝0的一个根，则a的值为( C )
2
A．－1或4
B．－1或－4
C．1或－4
D．1或4
（来自《典中点》）
1. 一元二次方程的概念. 一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用 定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来 确定一些字母的值及取值范围
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的应用3》公开课课件.ppt
解：设原来这组学生的人数为x人
120
x
120
x+
＝3
整理，得：x2+2x -80 = 0
化
解这个方程，得：x1=－10 ，x2=8 解 经检验，x1=－10 ，x2=8
都是原方程的根，但x1=－10
验
不合题意，应舍去，所以x
答：原来这组学生为8人
=8
两次！
一化二解三检验
归纳概括
解可化为一元二次方程的分式方程应用题的 一般步骤：
❖
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
例5： 一组学生组织春游，预计共需费 用120元，后来又有2人参加进来，费用不 变，这样每人可少分摊 3元，问原来这组 学生的人数是多少？
解：设原来这组学生的人数为x人
本题的等量关系是： 原来这组学生每人分摊的费用-加入后该组学生 每人分摊的费用=3元
120
x
120
x+2
＝3
分式方程应用：解分式方程
17.5.5 一元二次方程的应用
3
(分式方程问题)
学习目标
1.会解可化为一元二次方程的分式方程 2.能运用分式方程解决相关实际问题
自学指导
阅读课本P43-44例5，回答下列问题： 1.本题运用到什么数学思想？ 2.等量关系式什么？ 3.解分式方程的一般步骤是什么？ 4.可化为一元二次方程的分式方程应用需要检
走x㎞，则可列方程为（B ）
A.30 302 x x3 3
C. 30302 x3 x 3
B.30 302 x x3 3
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法(第1课时)》公开课课件
17.2一元二次方程的解法
（第1课时）
例 x2 9
解： x 9 3. 所以方程x2 9有两个根， x1 3，x2 3.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平
方根的定义,可解得 x1 a,x2a这种解
一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
用直接开平方法解下列方程： （1） x 2 2 5； （ 2） x 2 0 .81 0； （3）（3 x 1）2 4 8； （ 4）（2 x 2）2 4 0.
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 2:32:49 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
（2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条 件下才有实数根？
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根
的定义,可解得 x1 a,x2，a这种解一元二
次方程的方法叫做直接开平方法.
（第1课时）
例 x2 9
解： x 9 3. 所以方程x2 9有两个根， x1 3，x2 3.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平
方根的定义,可解得 x1 a,x2a这种解
一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
用直接开平方法解下列方程： （1） x 2 2 5； （ 2） x 2 0 .81 0； （3）（3 x 1）2 4 8； （ 4）（2 x 2）2 4 0.
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 2:32:49 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
（2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条 件下才有实数根？
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根
的定义,可解得 x1 a,x2，a这种解一元二
次方程的方法叫做直接开平方法.
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课堂小测
3. 某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元, 第二次再去买该小商品时, 发 现每一打(12件)降价0.8元, 他比第一次多买了10件, 这样, 第二次共花去2元, 且 第二次买的小商品恰好成打, 问他第一次买的小商品是多少件？
解: 设他第一次买的小商品为x件. 根据题意, 可列方程：
5 2 0.8
（1）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品. （2）公司制定产品加工方案如下: 可以由每个厂家单独完成; 也可 以由两个厂家同时合作完成. 在加工过程中, 公司需派一名工程师每 天到厂进行技术指导, 并负担每天5元的误餐补助费. 请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案, 并说明理由.
课堂小测
(x 1) 0.75a a 31 (x 2) 0.8a 32
解得 x=8,
经检验x=8是原方程的解且符合题意.
答: 参加旅游的学生人数为8人.
课堂小结
归纳概括
列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意; （2）设未知数(要有单位); （3）根据题目中的数量关系列出式子, 找出相等关系, 列出 方程; （4）解方程, 并验根, 还要看方程的解是否符合题意; （5）写出答案(要有单位).
课堂小测
解: 设甲种每辆客车有 x 个座位, 则乙种客车每辆
有(x+20)个座位, 根据题意, 可列方程：
360 360 + 40
-
=1
x x + 20
解得 x1=60, x2=-120.
经检验x1=60 ,x2=-120都是原方程的根. 但x2=-120不合题意舍去, 只取x=60, 这时x+20=80. 答: 甲乙两种客车的作为分别有个个座位.
解得 x=9,
经检验x=9是原方程的解.
当x=9时, 2x=18, 5x=45, 符合题意.
答: 大车的速度为18km/h, 小车的速度为45km/h.
新知探究
例2 某工人原计划若干天内生产840个零件, 开始4天按原
计划进行生产, 以后每天生产的零件比原计划增加了25%, 结
果提前2天完成了任务. 求原计划多少天完成任务?
课堂小测
设他们合作完成这批新产品所用的时间为y天.
由题意,
得
1 y(
60
+
1 )
40
1
解得 y=24（天）
所需费用为
(80+120) ×24 +5 × 24=4920（元）
因为甲乙两家工厂合作所用时间和钱数都最少, 所以选 择甲乙两家工厂合作加工完这批新残品比较合适.
课堂小测
2. 某校组织学生360名师生去参观某公园, 如果租用甲种客车客车 刚好坐满; 如果租用乙种客车可少用一辆, 且余40个空座位. (1) 已知甲种客车比乙种客车少20个座位, 求甲、乙两种客车各有 多少个座位. (2) 已知甲种客车的租金每辆400元, 乙种客车的租金每辆480元. 这次参观同时租用这两种客车, 其中甲种客车比乙种客车少祖一 辆, 所用租金比单独租用任何一种客车要节省, 按这种方案需用租 金多少元？
答: 甲、乙两个工厂每天各能加工16件和24件新产品.
课堂小测
(2)甲工厂单独加工完这批新产品所需的时间为 960÷16=60（天）
所需要费用为 80×60＋5×60＝5100（元）
乙工厂单独加工完这批新产品所需的时间为 960÷24＝40（天）
所需要费用为 120×40＋5×40＝5000（元）
第十七章 一元二次方程
17.5.3可化为一元二次方程的分式方程的应用
教学目标
1、认识可化为一元二次方程的分式方程应用题。 2、通过分式方程的应用教学, 培养学生数学应用意识。
新知探究
列方程解应用题的一般步骤是什么？ 1）审清题意; 2）设未知数; 3）列式子, 找出等量关系, 建立方程; 4）解方程; 5）检查方程的解是否符合题意; 6）作答. 这些解题方法与步骤, 对于学习分式方程应用题也适用. 这节课, 我们将学习列分式方程解应用题.
新知探究
问题：某校招生录取时, 为了防止数据输入出错, 2640名 学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一 遍, 然后让计算机比较两人的输入是否一致. 已知甲的输入 速度是乙的2倍, 结果甲比乙少用2小时输完. 问这两个操作 员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
新知探究
问题引入的解决：
学生的成绩.
新知探究
例1 A, B两地相距135km, 两辆汽车从A开往B, 大汽车比小 汽车早出发5h, 小汽车比大汽车晚到30min, 已知小汽车与大 汽车的速度之比为 5：2, 求两车的速度.
分析: 已知两车的速度之比为 5：2, 所以设大车的速度为
2xkm/h, 小车的速度为5xkm/h, 而A, B两地相距135km, 则大
新知探究
例4 两名教师带若干名学生去旅游, 联系了甲, 乙两家旅
游公司, 甲公司给的优惠条件是1名教师按行业统一规定收
全票价, 其余按7.5折收费; 乙公司给的优惠条件是全部按8折
收费, 经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜 1 , 问
32
参加旅游的学生人数是多少?
解:设有学生x人,票价为a元,则由题意得
-
=
x x +10 12
去分母, 整理得 x2-35x-750=0． 解得 xl＝50, x2=-15． 经检验, xl＝50, x2＝-15都是原方程的根．
但 x＝-15不合题意, 舍去, 所以只取 x=50． 答: 他第一次买小商品50件．
解: 设原计划每天做x个零件, 根据题意得
840 x
－4
840 4x (1 25%)x
=2
解得 x 60
经检验x, =60是原方程的解. 当x=60时 840 =14符合题意. 答: 原计划14x天完成任务.
新知探究
例3 甲, 乙两人分别从相距36km的A, B两地出发, 相向而行. 甲从A地出发至1km时, 发现遗忘物品在A地, 便立即返回, 取 了物品又立即从A地向B地行走, 这样甲, 乙两人恰在AB中点 处相遇. 又知甲比乙每小时多走0.5km. 求甲,乙两人的速度?
课堂小测
1. “丽园”开发公司生产的960件新产品, 需要精加工后, 才能投放市场. 现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品, 已知甲工厂单独加工完这批 产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天, 而乙工厂每天比甲工厂 多加工8件产品, 公司需付甲工厂加工费用每天80元, 乙工厂加工费用 每天120元.
强调: 既要检验所求
解:设乙每分钟能输入x名学生的成绩,的则解甲是每否分是钟原能分式方程
输入2x名学生的成绩, 根据题意得 的解, 还要检验是否符
2640 2640 2 60 2x x
合题意; 时间要统一.
解得 x＝11
经检验, x＝11是原方程的解, 并且x＝11, 2x＝
2×11＝22, 符合题意. 答: 甲每分钟能输入22名学生的成绩, 乙每分钟能输入11名
车行驶时间 135 h, 小车行驶时间 135 h, 由题意可知大车早出
5x
2x
发5h, 又比小车早到30min, 实际大车行驶时间比小车行驶时
间多4.5h, 由此可得等量关系.
新知探究
解: 设大车的速度为 2xkm/h, 小车的速度为5xkm/h.
根据题意得
135－135 2x 5x
=5-
1 2
解: (1)设甲工厂每天能加工x件产品, 则乙工厂每天能加工 (x+8)件产品.
根据题意,
得：960
x
960 x8
20
整理得: x2+8x-384=0, x1=16, x2=-24.
经检验: x1=16, x2=-24都是原方程的根.
但是每天能加工的产品数不能为负数,
所以x=-24舍去, 只取x=16. 当x=16时, x+8=24.
新知探究
解: 设乙的速度为xkm/h, 则甲的速度为(x 0.5)km/h, 则由题意得
36 1 36 1 2
2 2
x
x 0.5
解得 x=4.5, 经检验 x=4.5是原方程的解. 当x=4.5时, x+0.5=5, 符合题意.
答: 甲的速度是5km/h, 乙的速度是4.5km/h.