圆复习—圆的有关概念和性质(公开课)
初中数学《圆的有关概念和性质》复习课优质课件
圆
性质：三角形的外心到三角形的三个
顶点的距离相等．
核心点拨
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
圆内接四边形：如果一个四边形的
6．圆内
接四边形
的性质定
理
顶点都在同一个圆上
____________________，这个四边形
四边
叫做圆内接四边形，这个圆叫做_____
形的外接圆
)
思路分析
首先作出相关的辅助线，利用垂径定理和勾股定理求出各线段之间
的关系，得到一些特殊的三角形，再利用圆周角定理推出相关角的
度数即可．
变式训练
2－1
如 图 ， 在 ⊙O 中 ， 弦 AB ， CD 相 交 于 点 P. 若 ∠A ＝ 48° ，
∠APD＝80°，则∠B的度数为(
A
)
A．32°
B．42°
质．有时还需要添加
论
或等弧进行证明．
辅助线，构成直径所
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是
对的圆周角，以便转
弦
______，90°的圆周角所对的____是直
直角
化为直角三角形的问
径．
题去研究．
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
定义：经过三角形各顶点的圆叫做三
5．三角 角形的外接圆．三角形外接圆的圆心
对的____相等，所对的____相等．
(1)在同圆或等圆中，
弧
弦
定理2：在同圆或等圆中，________、____、
如果弧不相等，那
圆心角
弧
弦
么弧所对的弦、圆
____中如果有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
圆的有关概念及性质 课件
4. 圆周角、圆周角定理及其推论
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角
叫做圆周角. （2）①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. ③推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周 角所对的弦是直径. ④推论3：圆内接四边形的对角互补.
feixuejiaoyu
中考考点精讲精练
考点1 垂径定理和弧、弦、圆心角的关系
考点精讲
【例1】（2014佛山）如图1-5-1-1，⊙O的 直径为10 cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一 个动点，求OP的长度范围. 思路点拨：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
由垂径定理可知AE=BE=
AB，再根据勾股
考点演练 3. 如图1-5-1-5，AB是⊙O的直径， 34°，则∠AEO的度数是
A. 51° B. 56° C. 68°
∠COD= （ A ） D. 78°
4. 一条排水管的截面如图1-5-1-6所示，已知该排水管的半 径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为 （ D ） A. 8 B. 6 C. 5
（ C ） D. 120°
feixuejiaoyu
考点演练 4. 如图1-5-1-11，已知点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB= 80°，则∠ACB等于 （ D ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 40°
5. 如图1-5-1-12，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD= 53°，则∠BCD为 A. 37° B. 47° C. 45° （ A ） D. 53° feixuejiaoyu
2. （2015深圳）如图1-5-1-9，AB为⊙O直径，已知∠DCB= 20°，则∠DBA为 A. 50° B. 20° C. 60° （ D ） D. 70°
中考数学总复习 第六单元 圆 第24课时 圆的有关概念及性质课件
方程组,只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量.
图24-6
2021/12/9
第十五页，共三十页。
r,a,d,h 的一个
高频考向探究
明考向
1.[2012·河北 5 题] 如图 24-7,CD 是☉O 的直径,AB 是弦(不是直径),AB⊥CD 于点 E,则下列结论正确的是
( D )
A.AE>BE
寸,AB=10 寸,求圆的直径(1 尺=10 寸).”根据题意直径长为 (
A.10 寸
B.20 寸
C.13 寸
D.26 寸
)
图24-8
2021/12/9
第十七页，共三十页。
高频考向探究
[答案]D
[解析] 连接 OD,OA,
∵CD 垂直平分弦 AB,CD=1 寸,AB=10 寸,
∴AD=5 寸,在 Rt△ OAD 中,OA2=OD2+AD2,
直角三角形解题.
2021/12/9
第二十页，共三十页。
高频考向探究
明考向
1.[2011·河北 16 题] 如图 24-11,点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心,∠AOC=108°,点 D 在 AB 延长线上,BD=BC,
则∠D=
27°
.
图 24-11
2021/12/9
第二十一页，共三十页。
高频考向探究
即 OA2=(OA-1)2+52,解得:OA=13,
故圆的直径为 26 寸,故选 D.
2021/12/9
第十八页，共三十页。
高频考向探究
探究(tànjiū)二
圆心角、弧、弦之间的关系
例 2 [2017·宜昌] 如图 24-9,四边形 ABCD 内接于☉O,AC 平分∠BAD,则下列结论正确的是 (
第22讲 圆的有关概念和性质第二课时 九年级中考数学一轮复习课件(共13张PPT)
九年级数学组 主备人：凌云
复习目标（1分钟）
1.复习多边形与圆。 2.理解并掌握垂径定理及其逆定理；
3.能用垂径定理及其逆定理进行证明及计算 相关问题.
自学指导1: （1分钟）
1.四边形ABCD的的四__个__顶__点__都在⊙O上，这样的四边形
叫做_圆__内__接__四__边__形____；
解得r=12 cm. ∴这个圆形截面的半径为12 cm.
板书设计：
1.垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧. 2.垂径定理的逆定理：
C
A M└
B
●O
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧.
3.垂径定理的应用：
方法：过圆心作弦的垂线段，
A
连结半径，构造直角三角形
径垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧
∵CD 是⊙O 的直径， CD⊥AB 于 M，
︵ ∴AM＝MB，AD ＝ ︵︵︵ BD ，AC ＝BC . ∵CD 是⊙O 的直径， AM＝MB，
︵ ∴CD⊥AB 于 M，AD ＝ ︵︵︵ BD ，AC ＝BC
学生自学，教师巡视(4分钟)
自学检测2：（7分钟） 例4 如图11，AB为⊙O的直径，弦
40°，则∠A的度数为
(B )
A．90° B．100° C．110° D．80°
训练 6. 四边形ABCD内接于⊙O，已 知∠ADC＝135°，则∠AOC的大小是
(A )
A．90° B．100°C．60° D．40°
7．如图10，四边形ABCD内接于⊙O，
点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，
D
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
圆的基本性质复习课教案(市公开课)
圆的基本性质复习课教案（市公开课）第一章：圆的定义与性质1.1 圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆。
1.2 圆心：圆的中心点称为圆心。
1.3 半径：从圆心到圆上任意一点的线段称为半径。
1.4 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段称为直径。
1.5 圆的性质：（1）圆是对称图形，圆心是对称中心。
（2）圆上任意一点到圆心的距离相等，即半径相等。
（3）直径是半径的两倍。
第二章：圆的周长与面积2.1 圆的周长：圆的周长称为圆周率，用符号π表示。
2.2 圆的面积：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。
2.3 圆周率π的值：π约等于3.14159。
第三章：圆的方程3.1 圆的标准方程：圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
3.2 圆的一般方程：圆的方程也可以表示为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
第四章：圆的弧与弦4.1 弧：圆上两点间的部分称为弧。
4.2 弦：圆上任意两点间的线段称为弦。
4.3 直径所对的圆周角是直角。
4.4 圆心角与所对弧的关系：圆心角等于所对弧的两倍。
第五章：圆的相交与切线5.1 圆与圆的相交：两个圆的边界相交称为圆与圆的相交。
5.2 圆与圆的切线：与圆相切的直线称为圆的切线。
5.3 切线的性质：切线与半径垂直，切点处的切线斜率等于半径的斜率的负倒数。
第六章：圆的相切与内切6.1 圆的相切：两个圆仅有一个公共点时，称为相切。
6.2 内切：一个圆内含于另一个圆时，称为内切。
6.3 相切关系的应用：相切圆的半径之和等于两圆心距离。
第七章：圆的方程应用7.1 圆的方程求解：通过给定的条件，求解圆的方程中的未知数。
7.2 圆的方程应用实例：求解圆与直线、圆与圆的交点坐标。
第八章：圆的弧长与角度8.1 弧长：圆周上的一段弧的长度称为弧长。
8.2 圆心角与弧长的关系：圆心角的大小等于所对弧的长度与半径的比值。
圆的有关概念及性质复习课件
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
4、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理:一条弧所对的圆周角等于这弧所对的
圆心角的一半.
推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等.
90°的圆周角所对的弦是 直径 .
直径所对的圆周角是 直角 .
三、【基本能力练习】
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
二. 圆的基本性质
圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
1、垂径定理
垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分弦,并且
平分这条弦所对的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∠BOD=100°， 则∠DAB的度数为（ ） A．50°B．80° C．100°D．130°
五、【强化训练 】
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在 CD的延长线上，
如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ）
人教版初中数学总复习第六章圆第20课时圆的有关概念及性质课件
角形,外接圆的圆心叫做三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交
点.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边的中点;
钝角三角形的外心在三角形的外部.
3.圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多
边形,这个圆叫做多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.
第20课时 圆的有关概念及性质
基础自主导学
考点一 圆的有关概念及其对称性
1.圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫
做圆心,定长叫做半径;
(2)平面内一条线段绕着它一个固定端点旋转一周,另一个端点所形成的图
形叫做圆,固定的端点叫做圆心,这条线段叫做半径.
2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;弧用符号“ ”表示.圆的任意
答案:A
)
命题点2
圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】 如图,已知A,B,C,D是☉O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接
CD,AD.
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.
(1)证明:∵AB=BC,∴ = .
∴∠ADB=∠BDC,∴DB平分∠ADC.
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦
相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对
的优弧和劣弧分别相等.
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
周角.
2.圆周角定理及推论
《圆的认识》公开课课件
通过大量实例和观察，归纳出一般 性的结论。在圆的证明中，有时可 以通过归纳法来证明一些性质。
圆的定理和推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的弧。这个定理是圆 的基本性质之一，在圆的证明和
作图中非常有用。
切线长定理
经过圆外一点的切线与切点之间 的线段长等于过切点的直径与该 点的距离。这个定理在解决与切
圆与三角形的相切
当一个三角形与圆相切时，切线 与半径垂直。利用这个性质，我 们可以解决一些几何问题。
圆与其他图形的结合
圆与直线的位置关系
根据圆心到直线的距离，我们可以判 断圆与直线是相交、相切还是相离。 这些位置关系在解决几何问题中非常 有用。
圆与多边形的结合
在一个多边形中，如果所有顶点都在 同一个圆上，则这个多边形称为圆内 接多边形。通过圆内接多边形的性质 ，我们可以研究圆的性质。
圆的面积是指圆所占平面的大小，通常用字母A表示。
圆的面积的计算公式
A = πr^2，其中r表示圆的半径。
圆的面积的应用
通过圆的面积公式，我们可以计算出圆的面积，进而求出圆内接多 边形的面积等。
圆的相关计算
圆的相关计算包括：求圆心角、圆弧长、圆内接多边形的面 积等。这些计算都需要用到圆的半径和直径，以及相关的数 学公式和定理。
圆与圆的关系
内含、相交、外离、同心
内含：一个圆完全位于另 一个圆的内部。
外离：两个圆没有公共的 交点。
相交：两个圆有公共的交
同心：两个圆有共同的圆
•·
点。
心。
圆在生活中的应用
轮胎、餐具、建筑、天文
轮胎：车辆的轮胎设计为 圆形，可以保证平稳滚动 。
建筑：圆形窗户和门框在 建筑中常用于装饰和结构 。
圆的基本性质复习课教案(市公开课)
圆的基本性质复习课教案（市公开课）一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解圆的定义及基本性质；（2）掌握圆的周长、直径、半径之间的关系；（3）学会运用圆的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对圆的基本性质的理解；（2）培养学生运用圆的性质解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
二、教学内容：1. 圆的定义及基本性质；2. 圆的周长、直径、半径之间的关系；3. 运用圆的性质解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆的基本性质，圆的周长、直径、半径之间的关系。
2. 教学难点：运用圆的性质解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的基本性质；2. 利用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题；3. 运用实例讲解法，结合生活实际，让学生学会运用圆的性质解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中的圆形物体，如圆桌、圆形操场等，引导学生回顾圆的定义及基本性质。
2. 自主学习：让学生自主探究圆的周长、直径、半径之间的关系，总结规律。
3. 合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习成果，互相解答疑问。
4. 教师讲解：针对学生自主学习与合作交流中的共性问题，进行讲解与解答。
5. 巩固练习：设计一些有关圆的基本性质的练习题，让学生巩固所学知识。
6. 实际应用：给出一些实际问题，让学生运用圆的性质进行解决，体会数学与生活的联系。
7. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调圆的基本性质及运用。
8. 课后作业：布置一些有关圆的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况、小组合作表现等，了解学生的学习状态。
2. 练习题评价：对学生的练习题进行批改，了解学生对圆的基本性质的理解和运用程度。
3. 课后作业评价：检查学生的课后作业完成情况，评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
圆的复习与整理说课
圆环的面积可以通过大圆的面积减去小圆的面积 得到。
3
公式应用
在解决实际问题时，可以根据给定的条件，利用 圆环的面积公式计算出圆环的面积。
05 圆的解析性质
直角坐标系中，圆上的点可以用极坐标或直角坐标表示。极坐标表示法为 $(r,theta)$，其中$r$是点到圆心的距离，$theta$是点与x轴正方向的夹角。直角坐 标表示法为$(x,y)$，其中$x$和$y$是点的坐标。
06 圆的综合应用
圆的对称性应用
总结词
利用圆的对称性解决实际问题
详细描述
圆具有中心对称和轴对称的特性，这些特性在解决实际问题中有着广泛的应用。例如， 在建筑设计、机械制造和艺术创作等领域中，经常需要利用圆的对称性来达到美观和实
用的效果。
圆的几何变换应用
总结词
通过几何变换研究圆的性质
VS
详细描述
公式推导
圆的面积可以通过将圆分割成若 干个小的扇形，然后求和这些扇 形的面积得到。当分割足够细时， 这个和趋近于一个定值，这个定
值就是圆的面积。
公式应用
在解决实际问题时，可以根据给 定的条件，利用圆的面积公式计
算出圆的面积。
圆的周长计算公式
圆的周长计算公式
$C = 2pi r$，其中$C$表示圆的周长，$r$表示圆的半径。
极坐标与直角坐标的转换
极坐标与直角坐标之间可以通过转换公式进行转换。极坐标转换为直角坐标的公式 为$x = rcostheta, y = rsintheta$；直角坐标转换为极坐标的公式为$r = sqrt{x^2 + y^2}, tantheta = frac{y}{x}$。
圆上点的切线方程
切线的定义
圆的基本性质复习课教案(市公开课)
圆的基本性质复习课教案（市公开课）第一章：圆的定义与性质1.1 圆的定义：一个平面上所有点与给定点（圆心）的距离相等的点的集合。
1.2 圆的性质：1.2.1 圆是轴对称图形，对称轴为直径所在的直线。
1.2.2 圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
1.2.3 圆的半径相等，直径是半径的两倍。
1.2.4 圆周率π表示圆的周长与直径的比值，π=周长/直径。
第二章：圆的周长与面积2.1 圆的周长公式：C=2πr，其中r为圆的半径。
2.2 圆的面积公式：A=πr²，其中r为圆的半径。
2.3 圆的周长和面积的公式的推导过程。
第三章：圆的直径与半径3.1 直径的定义：通过圆心，并且两端点在圆上的线段。
3.2 半径的定义：从圆心到圆上任意一点的线段。
3.3 直径与半径的关系：直径是半径的两倍。
第四章：圆的弦与弧4.1 弦的定义：圆上任意两点之间的线段。
4.2 弧的定义：圆上任意两点之间的部分。
4.3 弦与弧的分类：4.3.1 直径：通过圆心的弦。
4.3.2 半径：从圆心到圆上一点的弦。
4.3.3 劣弧：小于半圆的弧。
4.3.4 优弧：大于半圆的弧。
第五章：圆的相交与切线5.1 圆的相交：两个圆在平面上相交的部分。
5.2 圆的切线：与圆相切的直线。
5.3 切线的性质：5.3.1 切线与半径垂直。
5.3.2 切线与圆只有一个交点。
5.3.3 切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1。
第六章：圆的标准方程6.1 圆的标准方程：以圆心坐标(h, k)和半径r为参数的方程(x-h)²+ (y-k)²= r ²。
6.2 圆的标准方程的推导过程。
6.3 如何通过给定的圆心坐标和半径，或圆上一点的坐标来求解圆的标准方程。
第七章：圆的位置关系7.1 圆与圆的位置关系：外切、内切、相离、相交、内含。
7.2 圆与直线的位置关系：相切、相交、相离。
7.3 圆与点的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
中考数学一轮复习 第六单元 圆 第24讲 圆的有关概念及性质课件
识,还有助于提高学生的阅读能力.
解题思路
认真阅读题中所给“阿基米德折弦定理”的内容,分析清楚定理的条件与结
论,然后进行证明.
开放解答
解析 (1)证明:又∵∠A=∠C,∴△MBA≌△MGC.∴MB=MG.
又∵MD⊥BC,∴BD=GD.∴CD=CG+GD=AB+BD.
(2)2+2 .
2
第十页，共二十页。
2.连接圆上任意两点的线段叫做⑥弦;经过圆心的弦叫做⑦直径;圆上任意两 点间的部分叫做⑧弧;圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧
都叫做⑨半圆.
3.⑩能够重合的两个圆叫做等圆;在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫做 等弧.
第二页，共二十页。
考点(kǎo 二 diǎn) 圆的对称性(5年1考) 1.圆是轴对称图形,经过 圆心的每一条直线都是它的对称轴;圆是中心对称
A. 1
B.5 C. 5 3 D.5 3
2
2
第四页，共二十页。
2.(2018·广东广州,7,3分)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,交☉O于点C,连接(liánjiē)OA, OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是 ( D ) A.40° B.50° C.70° D.80°
第五页，共二十页。
错解 A
错误鉴定 在应用“圆周角度数等于(děngyú)它所对弧上的圆心角度数的一半”时,
圆周角和圆心角之间的大小关系不清楚,或者不能正确找出同弧或等弧所对
的圆周角、圆心角,从而导致错误.
第十八页，共二十页。
如图,☉O中,弦AB,CD相交(xiāngjiāo)于点P,若∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是 (B)
第十二页，共二十页。
第9讲圆的基本性质复习课件(共46张PPT)
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
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A F O
B
D
C
4.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分弦所对的两条弧.
C
．
A P D
∵CD是圆O的直 径,CD⊥AB ∴AP=BP, AD = BD B AC = BC
︵ ︵
︵ ︵
1、如图,已知⊙O的半径OA长 为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C, 则OC的长为 _______. 3
A D
● ●
O
┓
┗ F
3 45 r 1. 2
2、已知:如图,△ABC的面积 S=4cm2,周长等于10cm. • 求内切圆⊙O的半径r.
B A
●
E
C
D
O
┓
F
4 r . 5
B
E
C
A 2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A
O
弦心距
半径
C 半弦长 B
E
O
D B
C
3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，
PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需 B 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。
设a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边，面积为 S， s 1 则内切圆半径（ 1 ）r ，其中p （a b c）； p 2 1 （2）C 90，则r （a b c） 2
r
r
记住：在具体计算时往往用到的是面
积法和方程思想
• 1、已知:如图,⊙O是Rt△ABC的 内切圆,∠C是直 角,∠AC=3,BC=4. • 求⊙O的半径r.
第七章《圆》总复习(1)
圆的基本概念与性质
本章知识结构图
圆的基本性质
圆的对称性
弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆 切线
与圆有关的位置关系
直线和圆的位置关系
三角形内切圆
圆
正多边形和圆
圆和圆的位置关系
等分圆
弧长 有关圆的计算 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积
一.圆的基本概念:
1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
． O
(3)弦心距
二. 圆的基本性质
1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
C ∴AB=CD
A
3.圆周角:
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的 角，叫做圆周角. 性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角的一半.
A C O
∠BAC= 1 ∠BOC
2
B
圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB C 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
．
3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它 所对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角 相等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧 相等,所对的圆心角相等.
D ∵ ∠COD =∠AOB O
∴
B
︵ ︵ AB = C角形的外接圆与内切圆:
A．
B． O A
．
． C
． O
B C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2. A
O
B
D
C
熟练掌握以下的结论
B
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900
B
A
O
15
3.6
A
•
B
作圆的直径与找90度的圆周 角也是圆里常用的辅助线
O
C D
1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则 0或1300 50 弦AB所对的圆周角为____________.（05年上海） 2.如图，AB是⊙O的直径,BD是 ⊙O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交⊙O与点F. （1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断 △ABC属于哪一类三角形， 并说明理由.(05宜昌)