浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习 空间几何体的表面积与体积2教案

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空间几何体的表面积与体积教案

空间几何体的表面积与体积教案

空间几何体的表面积与体积教案一、教学目标:1. 让学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算公式。

2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容:1. 空间几何体的表面积和体积的定义。

2. 常见空间几何体的表面积和体积计算公式。

3. 空间几何体表面积和体积的求解方法。

4. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点:1. 教学重点:空间几何体的表面积和体积的计算公式,求解方法及实际应用。

2. 教学难点:空间几何体表面积和体积的求解方法,实际问题的解决。

四、教学方法:1. 采用讲解法,引导学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算公式。

2. 采用案例分析法,让学生通过实际问题,运用空间几何知识解决问题。

3. 采用讨论法,激发学生思考,提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

五、教学过程:1. 导入:通过展示生活中常见空间几何体,引导学生思考空间几何体的表面积和体积的计算方法。

2. 新课导入:讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算公式。

3. 案例分析:分析实际问题,运用空间几何体的表面积和体积计算公式解决问4. 课堂练习:让学生独立完成练习题,巩固所学知识。

6. 课后作业:布置作业,让学生进一步巩固空间几何体的表面积和体积的计算方法。

7. 课后反思:教师反思教学过程,针对学生的掌握情况,调整教学策略。

六、教学评价:1. 评价学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握程度。

2. 评价学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

3. 评价学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

七、教学拓展:1. 引导学生研究空间几何体的表面积和体积在实际工程中的应用。

2. 引导学生探索空间几何体表面积和体积的求解方法的创新。

八、教学资源:1. 教学课件:制作课件,展示空间几何体的表面积和体积的计算公式及实际问题。

2. 练习题库:整理空间几何体表面积和体积的练习题,供学生课堂练习及课后巩固。

关于空间几何体的表面积和体积数学教案

关于空间几何体的表面积和体积数学教案

关于空间几何体的表面积和体积一、教学目标:1. 让学生掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。

2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣,培养学生的空间想象力。

二、教学内容:1. 立方体、立方体的表面积和体积计算。

2. 圆柱体、圆柱体的表面积和体积计算。

3. 球体、球体的表面积和体积计算。

4. 锥体、锥体的表面积和体积计算。

5. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点:重点:掌握常见空间几何体的表面积和体积计算公式。

难点:空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。

四、教学方法:1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。

2. 利用多媒体课件,展示空间几何体的形状,增强学生的空间想象力。

3. 通过实例分析,让学生学会将空间几何知识应用于实际问题。

五、教学过程:1. 导入新课:回顾平面几何知识,引出空间几何体的概念。

2. 讲解立方体的表面积和体积计算公式,让学生动手计算实例。

3. 讲解圆柱体的表面积和体积计算公式,让学生动手计算实例。

4. 讲解球体的表面积和体积计算公式,让学生动手计算实例。

5. 讲解锥体的表面积和体积计算公式,让学生动手计算实例。

6. 分析空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用,让学生尝试解决实际问题。

7. 课堂练习:布置练习题,让学生巩固所学知识。

9. 布置课后作业,要求学生运用所学知识解决实际问题。

六、教学评价:1. 通过课堂问答、练习题和课后作业,评估学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握情况。

2. 观察学生在解决实际问题时是否能灵活运用所学知识,评价其运用能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况,对学生的学习态度、合作精神和创新能力进行评价。

七、教学资源:1. 多媒体课件:用于展示空间几何体的形状,增强学生的空间想象力。

2. 练习题:用于巩固学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握。

高三数学一轮复习精品教案4:8.1 空间几何体的表面积与体积教学设计

高三数学一轮复习精品教案4:8.1 空间几何体的表面积与体积教学设计

8.1 空间几何体的表面积与体积课前 考点引领考情分析考点新知了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式,会求一些简单几何体的表面积和体积,体会积分思想在计算表面积、体积中的运用.① 了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式).② 会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆 锥、圆台和球的表面积和体积.知识清单1. 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,直棱柱的侧面积公式是S 直棱柱侧=ch ,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.柱体的体积公式是V 柱体=Sh .2. 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面的中心,该棱锥为正棱锥.正棱锥的侧面积公式是S 正棱锥侧=12ch ′;锥体的体积为V 锥体=13Sh .3. 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底之间的部分叫做正棱台,其侧面积公式是S 正棱台侧=12(c +c ′)·h ′;台体的体积公式是V 台体=13h (S +SS′+S ′).4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环;圆柱的侧面积公式是S 圆柱侧=cl =2πr ,圆锥的侧面积公式为S圆锥侧=12cl =πrl ,圆台的侧面积公式为S 圆台侧=12(c +c ′)l =π(r +r ′)l .5. 球体的体积公式是V 球=43πR 3,其中R 为球的半径.课中 技巧点拨题型精选题型1 与几何体的表面积有关的问题例1如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为6,则以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为顶点,以平面AB 1D 1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________.备选变式(教师专享)如图,在球面上有四个点P、A、B、C,如果P A、PB、PC两两互相垂直,且P A=PB =PC=a,求这个球的表面积.题型2与几何体体积有关的问题例2如图①所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,点E在线段AC上,CE=4.如图②所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连结AB,设点F是AB的中点.(1) 求证:DE⊥平面BCD;(2) 若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B-DEG的体积.图①图②变式训练在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为线段BC的中点,E、F为线段AC 的三等分点(如图①).将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置,连结B′C(如图②).(1) 若平面AB′D⊥平面ADC,求三棱锥B′-ADC的体积;(2) 记线段B′C的中点为H,平面B′ED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l;(3) 求证:AD⊥B′E.图①图②题型3简单几何体的综合应用例3在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?备选变式(教师专享)四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.(1) 求该四面体的体积的最大值;(2) 当四面体的体积最大时,求其表面积.答题模板『示例』(本题模拟高考评分标准,满分14分)如图,底面边长为a,高为h的正三棱柱ABC-A1B1C1,其中D是AB的中点,E是BC 的三等分点.求几何体BDE-A1B1C1的体积.学生错解:解∵BD=a2,BE=a3,∠DBE=60°,∴S△DBE=12BD·BE sin∠DBE=324a2,S△A1B1C1=12·A1B1·B1C1sin60°=34a2.由棱台体积公式得V BDE-A1B1C1=13h(S△BDE+S△A1B1C1+S△BDE·S△A1B1C1)=13h⎝⎛⎭⎪⎫324a2+34a2+324a2·34a2=73+3272a2h.审题引导:(1) 弄清组合体的结构,这里几何体DBE-A1B1C1不是棱台,也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台;(2) 运用体积公式进行计算.规范解答:解:如图,取BC中点F,连结DF、C1D、C1E、C1F,得正三棱台DBF-A1B1C1及三棱锥C1-DEF.∵S△A1B1C1=34a2,S△DBF=14S△ABC=316a2,(4分)∴V DBF-A1B1C1=13h(S△DBF+S△A1B1C1+S△DBF·S△A1B1C1)=13h(34a2+316a2+34a2·316a2)=7348a2h.(8分)∴V C1-DEF=13h·112·34a2=3144a2h,(10分)∴V BDE-A1B1C1=V DBF-A1B1C1—V C1-DEF=7348a2h-3144a2h=5338a2h.(14分)错因分析:没有弄清所给几何体的结构,几何体DBE-A1B1C1不是棱台.疑难指津1. 几何体体积的求法:(1) 若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体,可直接套用公式计算求解;(2) 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.熟练掌握柱、锥、台、球等各种简单几何体的结构特征,弄清组合体的结构十分必要.2. 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法:选择恰当的棱或母线将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.答案例1『答案』(182+24)π『解析』设O 为正方体外接球的球心,则O 也是正方体的中心,O 到平面AB 1D 1的距离是体对角线长的16,即为 3.又球的半径是正方体对角线长的一半,即为33,由勾股定理可知,截面圆的半径为(33)2-(3)2=26,圆锥底面面积为S 1=π·(26)2=24π,圆锥的母线即为球的半径33,圆锥的侧面积为S 2=π×26×33=182π.因此圆锥的全面积为S =S 2+S 1=182π+24π=(182+24)π.备选变式(教师专享)解:如题图,设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ,圆心为O ′, 球心到该圆面的距离为d ,在三棱锥P ABC 中, ∵P A 、PB 、PC 两两垂直,P A =PB =PC =a , ∴AB =AC =BC =2a ,且点P 在△ABC 内的射影是△ABC 的中心O ′, 由正弦定理,得2a sin60° =2r ,∴r =63a .又根据球的截面圆性质,有OO ′⊥平面ABC , 而PO ′⊥平面ABC ,∴P 、O 、O ′三点共线,球的半径R =r 2+d 2. 又PO ′=PA 2-r 2=a 2-23a 2=33a ,∴OO ′=R -33a =d =R 2-r 2, ∴⎝⎛⎭⎫R -33a 2=R 2-⎝⎛⎭⎫63a 2,解得R =32a . ∴S 球=4πR 2=3πa 2. 例2(1) 证明:在题图①中,∵ AC =6,BC =3,∠ABC =90°,∴ ∠ACB =60°. ∵ CD 为∠ACB 的平分线,∴ ∠BCD =∠ACD =30°.∴ CD =2 3. ∵ CE =4,∠DCE =30°,∴ DE =2. 则CD 2+DE 2=EC 2.∴ ∠CDE =90°.DE ⊥DC .在题图②中,∵ 平面BCD ⊥平面ACD ,平面BCD ∩平面ACD =CD ,DE ∥平面ACD ,∴ DE ⊥平面BCD .(2) 解:在题图②中,∵ EF ∥平面BDG ,EF 平面ABC ,平面ABC ∩平面BDG =BG ,∴ EF ∥BG .∵ 点E 在线段AC 上,CE =4,点F 是AB 的中点, ∴ AE =EG =CG =2.作BH ⊥CD 交于H .∵平面BCD ⊥平面ACD , ∴BH ⊥平面ACD .由条件得BH =32.S △DEG =13S △ACD =13×12AC ·CD ·sin30°= 3.三棱锥B -DEG 的体积V =13S △DEG ·BH =13×3×32=32.变式训练(1) 解:在直角△ABC 中,D 为BC 的中点,所以AD =BD =CD .又∠B =60°,所以△ABD 是等边三角形.取AD 中点O ,连结B ′O ,所以B ′O ⊥AD .因为平面AB ′D ⊥平面ADC ,平面AB ′D ∩平面ADC =AD , B ′O ⊥平面AB ′D ,所以B ′O ⊥平面ADC . 在△ABC 中,∠BAC =90°,∠B =60°,AB =1, D 为BC 的中点,所以AC =3,B ′O =32. 所以S △ADC =12×12×1×3=34.所以三棱锥B ′ADC 的体积为V =13×S △ADC ×B ′O =18.(2) 证明:因为H 为B ′C 的中点,F 为CE 的中点, 所以HF ∥B ′E .又HF 平面B ′ED ,B ′E 平面B ′ED , 所以HF ∥平面B ′ED .因为HF 平面HFD ,平面B ′ED ∩平面HFD =l ,所以HF ∥l .(3) 证明:连结EO ,由(1)知,B ′O ⊥AD . 因为AE =33,AO =12,∠DAC =30°, 所以EO =AE 2+AO 2-2AE·AOcos30°=36. 所以AO 2+EO 2=AE 2.所以AD ⊥EO .又B ′O平面B ′EO ,EO平面B ′EO ,B ′O ∩EO =O ,所以AD ⊥平面B ′EO . 又B ′E 平面B ′EO ,所以AD ⊥B ′E .例3解:设箱底边长为x ,则箱高为h =33×a -x 2(0<x <a ), 箱子的容积为V (x )=12x 2×sin60°×h =18ax 2-18x 3(0<x <a ).由V ′(x )=14ax -38x 2=0,解得x 1=0(舍),x 2=23a ,且当x ∈⎝⎛⎭⎫0,23a 时,V ′(x )>0;当x ∈⎝⎛⎭⎫23a ,a 时,V ′(x )<0, 所以函数V (x )在x =23a 处取得极大值,这个极大值就是函数V (x )的最大值: V ⎝⎛⎭⎫23a =18a ×⎝⎛⎭⎫23a 2-18×⎝⎛⎭⎫23a 3=154a 3. 答:当箱子底边长为23a 时,箱子容积最大,最大值为154a 3.备选变式(教师专享)解: (1) 如图,在四面体ABCD 中,设AB =BC =CD =AC =BD =a ,AD =x ,取AD 的中点为P ,BC 的中点为E , 连结BP 、EP 、CP .得到AD ⊥平面BPC ,∴ V A -BCD =V A -BPC +V D -BPC =13·S △BPC ·AP +13S △BPC ·PD=13·S △BPC ·AD =13·12·a a 2-x 24-a 24·x=a 12(3a 2-x 2)x 2≤a 12·3a 22=18a 3(当且仅当x =62a 时取等号). ∴ 该四面体的体积的最大值为18a 3.(2) 由(1)知,△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形, △ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形,其腰长为a ,底边长为62a ,∴S表=2×34a2+2×12×62a×a2-⎝⎛⎭⎫64a2=32a2+62a×10a4=32a2+15a24=23+154a2.。

高考数学一轮复习第8章立体几何2第2讲空间几何体的表面积与体积教案理

高考数学一轮复习第8章立体几何2第2讲空间几何体的表面积与体积教案理

第2讲空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式(1)正方体的棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r;①若球为正方体的外接球,则2R=3a;②若球为正方体的内切球,则2r=a;③若球与正方体的各棱相切,则2R′=2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.(3)正四面体的棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r;①外接球:球心是正四面体的中心;半径R=64a;②内切球:球心是正四面体的中心;半径r=612a.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( )(6)圆柱的一个底面积为S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C.323cm 3 D.403cm 3解析:选C.由三视图可知,该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体.下面是棱长为2 cm 的正方体,体积V 1=2×2×2=8(cm 3);上面是底面边长为2 cm ,高为2 cm 的正四棱锥,体积V 2=13×2×2×2=83(cm 3),所以该几何体的体积V =V 1+V 2=323(cm 3).(2018·云南省11校跨区调研)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .1B .2C .3D .6解析:选C.依题意,题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对),其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形,侧棱长为3,因此其体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×3=3. 一直角三角形的三边长分别为 6 cm ,8 cm ,10 cm ,绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________.解析:旋转一周所得几何体为以245cm 为半径的两个同底面的圆锥,其表面积为S =π×245×6+π×245×8=3365π(cm 2). 答案:3365π cm 2(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为________.解析:依题意得,长方体的体对角线长为32+22+12=14,记长方体的外接球的半径为R ,则有2R =14,R =142,因此球O 的表面积等于4πR 2=14π. 答案:14π空间几何体的表面积[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A .17πB .18πC .20πD .28π(2)(2018·合肥市第一次教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为( )A .72+6πB .72+4πC .48+6πD .48+4π【解析】 (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体,设球的半径为r ,故78×43πr 3=283π,所以r =2,表面积S =78×4πr 2+34πr 2=17π,选A.(2)由三视图知,该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示),其表面积为16×2+(16-4+π)×2+4×(2+2+π)=72+6π,故选A. 【答案】 (1)A (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用.[通关练习]1.(2018·兰州市诊断考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .(9+5)πB .(9+25)πC .(10+5)πD .(10+25)π解析:选 A.由三视图可知,该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥,且圆锥的高是圆柱高的一半.故该几何体的表面积S =π×12+4×2π+12×2π×5=(9+5)π.2.(2018·河南许昌月考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .9+4(2+5)B .10+2(2+3)C .11+2(2+5)D .11+2(2+3)解析:选C.如图所示,该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱.其表面积为2×2+2×1+2×2+2×5+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4-12-1=11+2(2+5).空间几何体的体积(高频考点)空间几何体的体积是每年高考的热点,多与三视图结合考查,题型多为选择题、填空题,难度较小.高考对空间几何体的体积的考查常有以下两个命题角度: (1)求简单几何体的体积; (2)求组合体的体积.[典例引领]角度一 求简单几何体的体积(1)(补形法)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A .90πB .63πC .42πD .36π(2)(等积法)如图,正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1­EDF 的体积为________.【解析】 (1)法一:(补形法)如图所示,由几何体的三视图,可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.将圆柱补全,并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12,所以该几何体的体积V =π×32×4+π×32×6×12=63π.法二:(估值法)由题意,知12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱.又V 圆柱=π×32×10=90π,所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合.(2)(等积法)三棱锥D 1­EDF 的体积即为三棱锥F ­DD 1E 的体积.因为E ,F 分别为AA 1,B 1C 上的点,所以在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,△EDD 1的面积为定值12,F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1,所以VD 1­EDF =VF ­DD 1E =13×12×1=16.【答案】 (1)B (2)16角度二 求组合体的体积(1)(分割法)(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3 (2)(分割法)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为________.【解析】 (1)由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积V =13×12π×3+13×12×2×1×3=π2+1,故选A.(2)由题意知该几何体是由一个长方体和两个14圆柱体构成,其中长方体的体积V 1=2×1×1=2,两个14圆柱体的体积之和V 2=14×π×12×1×2=π2,所以该几何体的体积V =V 1+V 2=2+π2. 【答案】 (1)A (2)2+π2[通关练习]1.(2018·昆明市教学质量检测)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A .24πB .30πC .42πD .60π解析:选A.由三视图知,该几何体是半径为3的半球与底面半径为3、高为4的半圆锥的组合体,所以该几何体的体积V =12×43π×33+12×13π×32×4=24π,故选A.2.如图所示,已知多面体ABCDEFG 中,AB ,AC ,AD 两两互相垂直,平面ABC ∥平面DEFG ,平面BEF ∥平面ADGC ,AB =AD =DG =2,AC =EF =1,则该多面体的体积为________. 解析:法一:(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,过点C 作CH ⊥DG 于H ,连接EH ,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH ­ABC 和一个斜三棱柱BEF ­CHG .由题意,知V 三棱柱DEH ­ABC =S △DEH ×AD =(12×2×1)×2=2,V 三棱柱BEF ­CHG =S △BEF ×DE =⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2=2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG =2+2=4.法二:(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,将多面体补成棱长为2的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半. 又正方体的体积V 正方体ABHI ­DEKG =23=8, 故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG =12×8=4.答案:4球与空间几何体的接、切问题[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A .π B. 3π4C. π2D. π4(2)(2018·河南省六市第一次联考)三棱锥P ­ABC 中,AB =BC =15,AC =6,PC ⊥平面ABC ,PC =2,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.253πB.252πC.833π D.832π 【解析】 (1)设圆柱的底面半径为r ,则r 2=12-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=34,所以,圆柱的体积V =34π×1=3π4,故选B. (2)由题可知,△ABC 中AC 边上的高为15-32=6, 球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D , 设DA =DB =DC =x ,所以x 2=32+(6-x )2, 解得x =546,所以R 2=x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫PC 22=758+1=838(其中R 为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S =4πR 2=832π,故选D.【答案】 (1)B (2)D若本例(2)中的△ABC 变为边长为3的等边三角形.求三棱锥外接球的表面积. 解:由题意得,此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PC 为高的正三棱柱的外接球,因为△ABC 的外接圆半径r =32×3×23=1,外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d =1,所以外接球的半径R =r 2+d 2=2,所以三棱锥外接球的表面积S =4πR 2=8π.处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作. (2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.[通关练习]1.(2018·贵阳市检测)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500 π3的球的表面上,底面ABC所在的小圆面积为16π,则该三棱锥的高的最大值为( ) A .4 B .6 C .8D .10解析:选C.依题意,设题中球的球心为O 、半径为R ,△ABC 的外接圆半径为r ,则4πR 33=500π3,解得R =5,由πr 2=16π,解得r =4,又球心O 到平面ABC 的距离为R 2-r 2=3,因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5+3=8.2.设球O 内切于正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1,则球O 的体积与正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积的比值为________.解析:设球O 半径为R ,正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为a ,则R =33×a 2=36a ,即a =23R ,又正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高为2R ,所以球O 的体积与正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R =43πR 334×12R 2×2R =23π27.答案:23π27数学文化与立体几何[典例引领](2018·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈,问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为( )A .5 000立方尺B .5 500立方尺C .6 000立方尺D .6 500立方尺【解析】 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .取AB 的中点G ,CD 的中点H ,连接FG ,GH ,HF ,则该几何体的体积为四棱锥F ­GBCH 与三棱柱ADE ­GHF 的体积之和.又可以将三棱柱ADE ­GHF 割补成高为EF ,底面积为S =12×3×1=32平方丈的一个直棱柱,故该楔体的体积V =32×2+13×2×3×1=5立方丈=5 000立方尺. 【答案】 A求解与数学文化有关的立体几何问题应过的三关(2018·郑州市第二次质量预测)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何 体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为( )A .4-π2B .8-4π3C .8-πD .8-2π解析:选C.由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等.根据题设所给的三视图,可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱,正方体的体积为23=8,半圆柱的体积为12×(π×12)×2=π,因此该不规则几何体的体积为8-π,故选C.处理空间几何体体积问题的思路(1)“转”:指的是转换底面与高,将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面,或将原来不容易看出的高转换为容易看出,并容易求解长度的高;(2)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算;(3)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,还台为锥,这些都是拼补的方法.易错防范(1)求组合体的表面积时,要注意各几何体重叠部分的处理.(2)底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错.1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )解析:选B.根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知,当正视图和侧视图完全相同时,俯视图为B,故选B.2.(2018·湖北省七市(州)联考)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形,底边长为4,腰长为3,则该几何体的表面积为( )A.6πB.8πC.10πD.12π解析:选C.根据三视图,可以看出该几何体是一个圆锥,其底面圆的半径r为2,母线长l 为3,故该圆锥的表面积S=πr(r+l)=π×2×(2+3)=10π,故选C.3.(2018·武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若π取3,其体积为12.6(单位:立方寸),则图中的x为( )A .1.2B .1.6C .1.8D .2.4解析:选B.该几何体是一个组合体,左边是一个底面半径为12的圆柱,右边是一个长、宽、高分别为5.4-x 、3、1的长方体,所以组合体的体积V =V 圆柱+V 长方体=π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x +(5.4-x )×3×1=12.6(其中π=3),解得x =1.6.故选B.4.(2018·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )A .48+πB .48-πC .48+2πD .48-2π解析:选A.该几何体是正四棱柱挖去了一个半球,正四棱柱的底面是正方形(边长为2),高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积为S =2×2×2+2×4×5-π×12+2π×12=48+π,故选A.5.(2018·河南郑州一中押题卷二)一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M 是AB 上的动点,记四面体EFMC 的体积为V 1,多面体ADF ­BCE 的体积为V 2,则V 1V 2=( )A.14 B.13 C.12D .随点M 位置的变化而变化解析:选B.由三视图可知多面体ADF ­BCE 是直三棱柱,其底面是等腰直角三角形(直角边长为a ),且四边形DFEC 与四边形ABCD 都是正方形,它们的边长均为a .因为M 是AB 上的动点,且易知AB ∥平面DFEC ,所以点M 到平面DFEC 的距离等于点B 到平面DFEC 的距离,为a ,所以V 1=V E ­FMC =V M ­EFC =13×12a ·a ·a =a 36,又V 2=12a ·a ·a =a 32,故V 1V 2=a 36a 32=13,故选B. 6.(2017·高考江苏卷)如图,在圆柱O 1O 2 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O 1O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ,则V 1V 2的值是________.解析:设球O 的半径为r ,则圆柱的底面半径为r 、高为2r ,所以V 1V 2=πr 2·2r 43πr3=32.答案:327.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.解析:由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为4×3×2+3×1×2+4×1×2=38, 圆柱的底面圆直径为2,母线长为1, 侧面积为2π×1=2π,圆柱的两个底面面积和为2×π×12=2π. 故该几何体的表面积为38+2π-2π=38. 答案:388.(2018·山东日照模拟)现有一半球形原料,若通过切削将该原料加工成一正方体工件,则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________.解析:设球的半径为R ,正方体的棱长为a .由题意得当正方体体积最大时,a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2=R 2,所以R =62a ,所以所得工件体积与原料体积之比的最大值为a 312×43πR 3=a 323π×⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 3=63π.答案:63π9.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =90°,∠ADC =135°,AB =5,CD =22,AD =2,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. 解:由已知得:CE =2,DE =2,CB =5,S 表面=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×22=(60+42)π,V =V 圆台-V圆锥=13(π·22+π·52+22·52π2)×4-13π×22×2=1483π.10.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点P ,Q 在正视图中所示位置,P 为所在线段中点,Q 为顶点,求在几何体表面上,从P 到Q 点的最短路径的长.解:(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S 圆锥侧=12(2πa )·(2a )=2πa 2, S 圆柱侧=(2πa )·(2a )=4πa 2, S 圆柱底=πa 2,所以S 表=2πa 2+4πa 2+πa 2=(2+5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ =AP 2+AQ 2=a 2+(πa )2=a 1+π2, 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1+π2.1.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D .1解析:选A.由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A BCD ,将其放在长方体中如图所示,其中BD =CD =1,CD ⊥BD ,三棱锥的高为1,所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1=16.故选A.2.(2018·福建泉州质检)如图,在正方形网格纸上,实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上,则该球的表面积等于( )A .8πB .18πC .24πD .86π解析:选C.设球的半径为R .多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合).两顶点之间的距离为2R ,底面是边长为2R 的正方形,由R 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫2R 22=32⇒R 2=6,故该球的表面积S =4πR 2=24π.选C.3.在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =2,过A 1,C 1,B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD ­A 1C 1D 1,这个几何体的体积为403,则经过A 1,C 1,B ,D 四点的球的表面积为________. 解析:设AA 1=x ,则VABCD ­A 1C 1D 1=VABCD ­A 1B 1C 1D 1-VB ­A 1B 1C 1=2×2×x -13×12×2×2×x =403,则x =4.因为A 1,C 1,B ,D 是长方体的四个顶点,所以经过A 1,C 1,B ,D 四点的球的球心为长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体对角线的中点,且长方体的体对角线为球的直径,所以球的半径R =22+22+422=6,所以球的表面积为24π. 答案:24π4.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S ­ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.解析:设球O 的半径为R ,因为SC 为球O 的直径,所以点O 为SC 的中点,连接AO ,OB ,因为SA =AC ,SB =BC ,所以AO ⊥SC ,BO ⊥SC ,因为平面SCA ⊥平面SCB ,平面SCA ∩平面SCB =SC ,所以AO ⊥平面SCB ,所以V S ­ABC =V A ­SBC =13×S △SBC ×AO =13×(12×SC ×OB )×AO ,即9=13×(12×2R ×R )×R ,解得R =3,所以球O 的表面积为S =4πR 2=4π×32=36π.答案:36π5.如图,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径r 取何值时,S 取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于制作灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).解:(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6-8×2r 8=1.2-2r ,所以塑料片面积S =πr 2+2πr (1.2-2r ) =πr 2+2.4πr -4πr 2=-3πr 2+2.4πr =-3π(r 2-0.8r ). 所以当r =0.4米时,S 有最大值,约为1.51平方米.(2)若灯笼底面半径为0.3米, 则高为1.2-2×0.3=0.6(米). 制作灯笼的三视图如图.6.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC ,已知A 1B 1=B 1C 1=2,∠A 1B 1C 1=90°,AA 1=4,BB 1=3,CC 1=2,求: (1)该几何体的体积; (2)截面ABC 的面积.解:(1)过C 作平行于平面A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ,交AA 1,BB 1分别于点A 2,B 2. 由直三棱柱性质及∠A1B 1C 1=90°得V =VA 1B 1C 1­A 2B 2C +VC ­ABB 2A 2=12×2×2×2+13×12×(1+2)×2×2=6. (2)在△ABC 中,AB =22+(4-3)2=5,BC =22+(3-2)2=5, AC =(22)2+(4-2)2=2 3.则S △ABC =12×23×(5)2-(3)2= 6.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高三 一轮复习 空间几何体的表面积及体积 教案

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空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧=2πrlS 圆锥侧=πrlS 圆台侧=π(r +r ′)l2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积=S 侧+2S 底 V =Sh 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积=S 侧+S 底V =13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积=S 侧+S 上+S 下V =13(S 上+S 下+S 上S 下)h球S =4πR 2V =43πR 31.求组合体的表面积时:组合体的衔接部分的面积问题易出错. 2.易混侧面积与表面积的概念. [试一试]1.(2012·江苏高考)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =3 cm ,AA 1=2 cm ,则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.2.(2013·苏州暑假调查)设P ,A ,B ,C 是球O 表面上的四个点,P A ,PB ,PC 两两垂直,且P A =PB =1,PC =2,则球O 的表面积是________.1.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法:直接根据相关的体积公式计算.(2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则2R=3a;②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2R=2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3.旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.[练一练]1.(2014·南通一调)已知正四棱锥的底面边长是6,高为7,则这个正四棱锥的侧面积是________.2.在三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′⊥平面ABC,AA′=2,BC=23,∠BAC=π2,且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上,则球的体积为________.考点一几何体的表面积1.(2013·南通三模)底面边长为2 m,高为1 m的正三棱锥的全面积为________ m2.2.(2013·苏州暑期调查)若正四面体的棱长为a,则其外接球的表面积为________.[类题通法]几何体的表面积问题的求法(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理.考点二几何体的体积[典例](1)如图所示,已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1 -ABC1的体积为________.(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则三棱锥A-B1D1D的体积为________ cm3.[类题通法]求解几何体体积的策略及注意问题(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高.(2)注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征.[针对训练](2013·苏北四市二模)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O为底面正方形ABCD的中心,则三棱锥B1-BCO的体积为________.与球有关的切、接问题考点三与球相关的切、接问题是高考命题的热点,也是考生的难点、易失分点.命题角度多变,归纳起来常见的命题角度有: (1)直三棱柱的外接球; (2)正(长)方体的外接球; (3)正四面体的内切球; (4)四面体的外接球; (5)正三棱柱的内切球.角度一 直三棱柱的外接球1.(2013·辽宁高考改编)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为________.角度二 正(长)方体的外接球2.一个正方体的棱长为2,则该几何体外接球的体积为________.角度三 正四面体的内切球3.若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则S 1S 2=________.角度四 四面体的外接球4.(2014·南通期末)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为23,则四面体A -B 1CD 1的外接球的体积为________.角度五 正三棱柱的内切球5.点P 是底边长为23,高为2的正三棱柱表面上的动点,MN 是该棱柱内切球的一条直径,则PM ·PN 的取值范围是________.[类题通法]解决与球有关的切、接问题的方法(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系.(2)若球面上四点P,A,B,C中P A,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.[课堂练通考点]1.(2013·南京三模)已知圆锥的母线长为2,高为3,则该圆锥的侧面积是________.2.(2014·苏北三市统考)若一个长方体的长、宽、高分别为3,2,1,则它的外接球的表面积是________.3.(2014·苏北四市质检)已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M分别为线段BD1,B1C1上的点,若BPPD1=12,则三棱锥M-PBC的体积为________.4.已知三棱锥O-ABC中,∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,其中AB=AC=7,BC=11,O,A,B,C四点均在球S的表面上,则球S的表面积为________.5.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=23,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为________.[课下提升考能]第Ⅰ组:全员必做题1.正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的全面积为________.2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为________.3.(2013·南京、淮安二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ,圆心角为2π3的扇形,则此圆锥的高为________ cm.4.设长方体的长、宽、高分别为2a ,a ,a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为________.5.设M 、N 是球O 半径OP 上的两点,且NP =MN =OM ,分别过N ,M ,O 作垂直于OP 的平面,截球面得三个圆,则这三个圆的面积之比为________.6.(2013·苏北四市三调)在矩形ABCD 中,已知AB =2,BC =3,以边BC 所在的直线为轴旋转一周,则形成的几何体的侧面积为________.7.(2014·苏北四市摸底)已知正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为433,则它的体积为________.8.(创新题)如图,在三棱锥D -ABC 中,已知BC ⊥AD ,BC =2,AD =6,AB +BD =AC +CD =10,则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________.9.如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形, 其中BD 是圆的直径,∠ABD =60°,∠BDC =45°,△ADP ∽△BAD .(1)求线段PD的长;(2)若PC=11R,求三棱锥P-ABC的体积.10.(2014·徐州质检)如图,在直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求三棱锥E -BCD的体积.第Ⅱ组:重点选做题1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2 cm的半圆,则该圆锥的高为________ cm.2.已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,则这个正四面体的体积为。

高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》教案

高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》教案

⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图,弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积,并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征,空间⼏何体的三视图和直观图,了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系,从中反映出⼀个思想⽅法,即平⾯图形和空间⼏何体的互化,尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。

该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的,在解决这些问题的过程中,⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识,提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想,总结出⼀般的求解⽅法,在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路,通过化归解决问题,深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。

3重点难点 重点:知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图,弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。

难点:会求柱体、锥体和台体的表⾯积,并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测: 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体,其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图:棱柱的侧⾯展开图是____________,⼀边是棱柱的侧棱,另⼀边等于棱柱的__________,如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______,其中⼀边是圆柱的⺟线,另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓,如图②所⽰. (2)⾯积:柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地,圆柱的底⾯半径为r,⺟线⻓为l,则圆柱的侧⾯积S侧=__________,表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图:棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的,则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____,如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______,扇形的半径是圆锥的______,扇形的弧⻓等于圆锥的__________,如图②所⽰. (2)⾯积:锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地,圆锥的底⾯半径为r,⺟线⻓为l,则圆锥的侧⾯积S侧=__________,表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图:棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的,则侧⾯积为各个梯形⾯积的______,如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环,其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到,如图②所⽰. (2)⾯积:台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地,圆台的上、下底⾯半径分别为r′,r,⺟线⻓为l,则侧⾯积S侧=____________,表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1:在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°,∠BB1C1=90°,侧棱⻓为b,则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形,其⾯积为,则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5,底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD,如图,求它的侧⾯积、表⾯积. 例3:⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形,且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2,侧⾯积等于两个底⾯积之和,则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习: 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形,矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥),底⾯正⽅形的边⻓为4 cm,⾼与斜⾼的夹⾓为30°,如图所⽰,求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位:cm2). 3.如图所⽰,圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1:4:4,⺟线⻓为10,则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结: 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法:⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求,公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法:定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法:公式法:S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法:定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法:公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰,该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰,则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰,则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业:(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思:本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测: 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体,其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图:棱柱的侧⾯展开图是____________,⼀边是棱柱的侧棱,另⼀边等于棱柱的__________,如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______,其中⼀边是圆柱的⺟线,另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓,如图②所⽰. (2)⾯积:柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地,圆柱的底⾯半径为r,⺟线⻓为l,则圆柱的侧⾯积S侧=__________,表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图:棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的,则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____,如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______,扇形的半径是圆锥的______,扇形的弧⻓等于圆锥的__________,如图②所⽰. (2)⾯积:锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地,圆锥的底⾯半径为r,⺟线⻓为l,则圆锥的侧⾯积S侧=__________,表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图:棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的,则侧⾯积为各个梯形⾯积的______,如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环,其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到,如图②所⽰. (2)⾯积:台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地,圆台的上、下底⾯半径分别为r′,r,⺟线⻓为l,则侧⾯积S侧=____________,表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1:在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°,∠BB1C1=90°,侧棱⻓为b,则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形,其⾯积为,则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5,底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD,如图,求它的侧⾯积、表⾯积. 例3:⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形,且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2,侧⾯积等于两个底⾯积之和,则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习: 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形,矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥),底⾯正⽅形的边⻓为4 cm,⾼与斜⾼的夹⾓为30°,如图所⽰,求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位:cm2). 3.如图所⽰,圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1:4:4,⺟线⻓为10,则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结: 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法:⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求,公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法:定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法:公式法:S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法:定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法:公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰,该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰,则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰,则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业:(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思:本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计: 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计: 、、、、、、、、、、、、。

空间几何体的表面积与体积教案

空间几何体的表面积与体积教案

空间几何体的表面积与体积教案一、教学目标:1. 让学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法。

2. 培养学生空间想象能力和思维能力。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容:1. 空间几何体的表面积和体积的定义。

2. 常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。

3. 空间几何体表面积和体积的计算方法。

三、教学重点与难点:1. 教学重点:空间几何体的表面积和体积的计算方法。

2. 教学难点:空间几何体的表面积和体积的计算公式的推导和应用。

四、教学方法:1. 采用讲解法,讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算方法。

2. 采用案例分析法,分析常见空间几何体的表面积和体积的计算。

3. 采用练习法,巩固所学知识。

五、教学过程:1. 导入新课:通过生活中的实例,引入空间几何体的表面积和体积的概念。

2. 讲解新课:讲解空间几何体的表面积和体积的定义,介绍常见空间几何体的表面积和体积的计算公式,讲解计算方法。

3. 案例分析:分析常见空间几何体的表面积和体积的计算,如正方体、长方体、圆柱体等。

4. 课堂练习:布置练习题,让学生巩固所学知识。

5. 总结与拓展:总结本节课的主要内容,布置课后作业,引导学生进行拓展学习。

六、课后作业:1. 复习本节课所学内容,整理笔记。

2. 完成课后练习题,巩固所学知识。

3. 探索空间几何体表面积和体积的计算规律,进行拓展学习。

七、教学评价:1. 课堂表现:观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况,了解学生的学习状态。

2. 课后作业:检查学生作业完成情况,评估学生对知识的掌握程度。

3. 单元测试:进行单元测试,了解学生对本节课知识的掌握情况。

八、教学资源:1. 教案、课件、教学素材。

2. 练习题、测试题。

3. 空间几何体模型、图片等。

九、教学时间安排:1. 课时:本节课计划用2课时完成。

2. 教学时间安排:第一课时讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算方法,分析常见空间几何体的表面积和体积的计算;第二课时进行案例分析、课堂练习、总结与拓展。

新版高考数学一轮复习精品教学案:第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积

新版高考数学一轮复习精品教学案:第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积[考纲传真]了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.1.正四面体的表面积与体积棱长为a 的正四面体,其表面积为3a 2,体积为212a 3. 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ,球的半径为R , ①若球为正方体的外接球,则2R =3a ; ②若球为正方体的内切球,则2R =a ; ③若球与正方体的各棱相切,则2R =2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ,b ,c ,外接球的半径为R ,则2R =a 2+b 2+c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1,棱长为a 的正四面体,其内切球半径R 内=612a ,外接球半径R 外=64a .[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积. ( ) (2)球的体积之比等于半径比的平方. ( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. ( )(4)已知球O 的半径为R ,其内接正方体的边长为a ,则R =32a . ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )A .1 cmB .2 cmC .3 cm D.32 cm B [S 表=πr 2+πrl =πr 2+πr ·2r =3πr 2=12π,∴r 2=4, ∴r =2(cm).]3.圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱的体积比V 球∶V柱为( )A .1∶2B .2∶3C .3∶4D .1∶3B [设球的半径为R .则V 球V 柱=43πR 3πR 2×2R=23.]4.(教材改编)某几何体的三视图如图所示:则该几何体的体积为( )A .6B .3 3C .2 3D .3B [由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为3的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h =3,所以几何体的体积V =S ·h =⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×3=3 3.]5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.1∶47 [设长方体的相邻三条棱长分别为a ,b ,c ,它截出棱锥的体积为V 1=13×12×12a ×12b ×12c =148abc ,剩下的几何体的体积V 2=abc -148abc =4748abc ,所以V 1∶V 2=1∶47.]【例1】 (1)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )A.48+πB.48-πC.48+2π D.48-2π(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积A.122π B.12πC.82π D.10π(1)A(2)B[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球,正四棱柱的底面是正方形(边长为2),高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积为S=2×2×2+2×4×5-π×12+2π×12=48+π,故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为22,底面圆的直径为22,所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2+2π×2×22=12π.]A .1+ 3B .1+2 2C .2+ 3D .2 2(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A .18+36 5B .54+18 5C .90D .81(1)C (2)B [(1)由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体,其中AB =AD =CB =CD =2,BD =2,且平面ABD ⊥平面CBD .所以△ABD 与△CBD 都是等腰直角三角形,而△ABC 与△CAD 都是边长是2的等边三角形.所以表面积是12×2×2×2+34×(2)2×2=2+3,故选C.(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则表面积为(3×3+3×6+3×35)×2=54+18 5.故选B.]►考法1 公式法求体积【例2】 (1)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1D.3π2+3(2)(2018·江苏高考)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.(1)A (2)43 [(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和三棱锥S -ABC 组成的,如图,三棱锥的高为3,底面△ABC 中,AB =2,OC =1,AB ⊥OC .故其体积V =13×12×π×12×3+13×12×2×1×3=π2+1.故选A.(2)正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体,其中正八面体的所有棱长都是2,则该正八面体的体积为13×(2)2×1×2=43.]►考法2 割补法求体积【例3】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A .90πB .63πC .42πD .36π(2)如图所示,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE ,△BCF 均为正三角形,EF ∥AB ,EF =2,则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32(1)B (2)A [(1)法一:(割补法)如图所示,由几何体的三视图,可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.将圆柱补全,并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12,所以该几何体的体积V =π×32×4+π×32×6×12=63π.故选B.法二:(估值法)由题意,知12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱.又V 圆柱=π×32×10=90π,∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合.故选B.(2)法一:如图所示,分别过A ,B 作EF 的垂线,垂足分别为G ,H ,连接DG ,CH ,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,因为三棱锥高为12,直三棱柱高为1,AG =12-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=32,取AD 的中点M ,则MG =22, 所以S △AGD =12×1×22=24, 所以V =24×1+2×13×24×12=23.法二:如图所示,取EF 的中点P ,则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥P -AED 和三棱锥P -BCF 都是棱长为1的正四面体,四棱锥P -ABCD 为棱长为1的正四棱锥.所以V =13×12×22+2×13×34×63=23.]►考法3 等积法求体积【例4】 如图所示,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1,且AA 1⊥底面ABC ,则三棱锥B 1-ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64A [三棱锥B 1-ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积,三棱锥A -B 1BC 1的高为32,底面积为12,故其体积为13×12×32=312.]的体积为( )A .2B .1C.23D.13(2)(2018·天津高考)如图,已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为________.(1)C (2)13 [(1)几何体如图,由三视图得底面为对角线为2的正方形,高为1,所以体积为13×12×2×1×2×1=23,故选C.(2)法一:连接A 1C 1交B 1D 1于点E (图略),则A 1E ⊥B 1D 1,A 1E ⊥BB 1,则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ,所以A 1E 为四棱锥A 1-BB 1D 1D 的高,且A 1E =22,矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2,1,故VA 1-BB 1D 1D =13×1×2×22=13.法二:连接BD 1(图略),则四棱锥A 1-BB 1D 1D 分成两个三棱锥B -A 1DD 1与B -A 1B 1D 1,VA 1-BB 1D 1D =VB -A 1DD 1+VB -A 1B 1D 1=13×12×1×1×1+13×12×1×1×1=13.]►考法1 外接球【例5】 (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A .π B.3π4 C.π2 D.π4(2)(2018·全国卷Ⅲ)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D -ABC体积的最大值为( ) A .12 3 B .18 3 C .24 3 D .54 3(1)B (2)B [(1)设圆柱的底面半径为r ,球的半径为R ,且R =1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r ,R 及圆柱的高的一半构成直角三角形.∴r =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=32. ∴圆柱的体积为V =πr 2h =34π×1=3π4.故选B.(2)如图,E 是AC 中点,M 是△ABC 的重心,O 为球心,连接BE ,OM ,OD ,BO .因为S △ABC =34AB 2=93,所以AB =6,BM =23BE =23AB 2-AE 2=2 3.易知OM ⊥平面ABC ,所以在Rt △OBM 中,OM =OB 2-BM 2=2,所以当D ,O ,M 三点共线且DM =OD +OM 时,三棱锥D -ABC 的体积取得最大值,且最大值V ma x =13S △ABC ×(4+OM )=13×93×6=18 3.故选B.]►考法2 内切球【例6】 (1)(2017·江苏高考)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则V 1V 2的值是________.(2)已知棱长为a 的正四面体,则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为________.(1)32(2)63π [(1)设球O 的半径为R , ∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切,∴圆柱O 1O 2的高为2R ,底面半径为R .∴V 1V 2=πR 2·2R 43πR3=32. (2)正四面体的表面积为S 1=4×34×a 2=3a 2,其内切球半径r 为正四面体高的14,即r =14×63a =612a ,因此内切球表面积为S 2=4πr 2=πa 26,则S 1S 2=3a 2πa 26=63π.]打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4(2)正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于22,则它的外接球的表面积是()A.16πB.12π C.8π D.4π(1)B(2)A[(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,底面为直角三角形,高为12,如图所示,其中AC=6,BC=8,∠ACB=90°,则AB=10.要使该石材加工成的球的半径最大,只需球与直三棱柱的三个侧面都相切,则半径r等于直角三角形ABC的内切圆半径,即r=6+8-102=2,故能得到的最大球的半径为2,故选B.(2)设正四棱锥的外接球半径为R ,顶点P 在底面上的射影为O (图略),因为OA =12AC =12AB 2+BC 2=12(22)2+(22)2=2,所以PO =P A 2-OA 2=(22)2-22=2.又OA =OB =OC =OD =2,由此可知R =2,于是S 球=4πR 2=16π.]1.(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .20πB .24πC .28πD .32πC [由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体,上面是一个圆锥,圆锥的高是23,底面半径是2,因此其母线长为4,下面圆柱的高是4,底面半径是2,因此该几何体的表面积是S =π×22+2π×2×4+π×2×4=28π,故选C.]2.(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A .14斛B .22斛C .36斛D .66斛B [设米堆的底面半径为r 尺,则π2r =8,所以r =16π,所以米堆的体积为V=14×13π·r 2·5=π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺).故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛).故选B.]3.(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A .8B .6 2C .8 2D .8 3C [连接BC 1,AC 1,AC .因为AB ⊥平面BB 1C 1C ,所以∠AC 1B =30°,AB ⊥BC 1,所以△ABC 1为直角三角形.又AB =2,所以BC 1=2 3.又B 1C 1=2,所以BB 1=(23)2-22=22,故该长方体的体积V =2×2×22=8 2.]4.(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为________.14π [∵长方体的顶点都在球O 的球面上,∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径. 设球的半径为R ,则2R =32+22+12=14.∴球O 的表面积为S =4πR 2=4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1422=14π.]。

浙江专用2021版新高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量2第2讲空间几何体的表面积与体积教学案

浙江专用2021版新高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量2第2讲空间几何体的表面积与体积教学案

第2讲空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r+r′)l表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底h 锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=13S底h 台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=13(S上+S下+S上S下)h 球S=4πR2V=43πR3(1)正方体的棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r;①若球为正方体的外接球,则2R=3a;②若球为正方体的内切球,则2r=a;③若球与正方体的各棱相切,则2R′=2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.(3)正四面体的棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r;①外接球:球心是正四面体的中心;半径R=64a;②内切球:球心是正四面体的中心;半径r=612a.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( )(6)圆柱的一个底面积为S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× [教材衍化](必修2P27练习T1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为________.解析:S 表=πr 2+πrl =πr 2+πr ·2r =3πr 2=12π, 所以r 2=4,所以r =2. 答案:2 cm [易错纠偏]常见误区 (1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积; (2)考虑不周忽视分类讨论; (3)几何体的截面性质理解有误; (4)混淆球的表面积公式和体积公式.1.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为________m 3.解析:根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m ,高为1 m 的平行四边形,四棱锥的高为3 m .故该四棱锥的体积V =13×2×1×3=2(m 3).答案:22.将一个相邻边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面积是________.解析:当底面周长为4π时,底面圆的半径为2,两个底面的面积之和是8π;当底面周长为8π时,底面圆的半径为4,两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π2,故所求的表面积是32π2+8π或32π2+32π.答案:32π2+8π或32π2+32π3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为________.解析:因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为22,底面圆的直径为22,所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2+22π×22=12π.答案:12π4.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为________.解析:设球的半径为R ,则由4πR 2=16π,解得R =2,所以这个球的体积为43πR 3=323π.答案:323π空间几何体的表面积(1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A .17πB .18πC .20πD .28π(2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A .8+2 2B .11+2 2C .14+2 2D .15【解析】 (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体,设球的半径为r ,故78×43πr 3=283π,所以r =2,表面积S =78×4πr 2+34πr 2=17π,选A.(2)由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示. 直角梯形斜腰长为12+12=2,所以底面周长为4+2,侧面积为2×(4+2)=8+22,两底面的面积和为2×12×1×(1+2)=3,所以该几何体的表面积为8+22+3=11+2 2.【答案】 (1)A (2)B空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.1.(2020·嘉兴期中)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A .4∶3B .2∶1C .5∶3D .3∶2解析:选A.圆锥的侧面积S 侧=π×12×120360=π3,圆锥的底面半径r =2π×1×120360÷2π=13,圆锥的底面积S 底=π·19=π9,圆锥的表面积=侧面积+底面积=4π9,所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为4∶3.2.(2020·浙江省名校协作体高三联考)一个几何体的三视图如图所示,正视图与侧视图为全等的矩形,俯视图为正方形,则该几何体的表面积为________.解析:由三视图可知,该几何体为一长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中挖去一个四棱锥P ­ABCD ,如图所示,易得PA =PB =32+(2)2=11,所以S △PAB =12×2×10=10,所以表面积S =22+2×3×4+4×10=28+410. 答案:28+410空间几何体的体积(高频考点)空间几何体的体积是每年高考的热点,多与三视图结合考查,题型多为选择题、填空题,难度较小.主要命题角度有:(1)求简单几何体的体积; (2)求组合体的体积. 角度一 求简单几何体的体积(1)(2019·高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A .158B .162C .182D .324(2)如图,正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1­EDF 的体积为________.【解析】 (1)由三视图可知,该几何体是一个直五棱柱,所以其体积V =12×(4×3+2×3+6×6)×6=162.故选B.(2)(等积法)三棱锥D 1­EDF 的体积即为三棱锥F ­DD 1E 的体积.因为点E ,F 分别为AA 1,B 1C 上的点,所以在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,△EDD 1的面积为定值12,点F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1,所以VD 1­EDF =VF ­DD 1E =13×12×1=16.【答案】 (1)B (2)16角度二 求组合体的体积(分割法)(1)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A.π2+1 B.π2+3C.3π2+1 D.3π2+3 (2)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为________.【解析】 (1)由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积V =13×12π×3+13×12×2×1×3=π2+1,故选A.(2)由题意知该几何体是由一个长方体和两个14圆柱体构成,其中长方体的体积V 1=2×1×1=2,两个14圆柱体的体积之和V 2=14×π×12×1×2=π2,所以该几何体的体积V =V 1+V 2=2+π2.【答案】 (1)A (2)2+π21.(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A .2B .4C .6D .8解析:选C.由三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何体的体积V =12×(1+2)×2×2=6.故选C.2.(2020·宁波十校联合模拟)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为________cm 3,表面积为________cm 2.解析:由已知三视图得到几何体是一个底面直角边分别为3,4的直角三角形,高为5的三棱柱,割去一个底面与三棱柱底面相同,高为3的三棱锥,所以该几何体的体积为V =12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(cm 3); 表面积为S =12×(2+5)×4+12×(2+5)×3+12×3×4+5×5+34×52=1112+2543(cm 2).答案:241112+2534球与空间几何体的接、切问题(1)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A .π B.3π4 C.π2D.π4(2)(2020·温州七校联考)三棱锥P ­ABC 中,AB =BC =15,AC =6,PC ⊥平面ABC ,PC =2,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.253π B.252π C.833π D.832π 【解析】 (1)设圆柱的底面半径为r ,则r 2=12-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=34,所以,圆柱的体积V =34π×1=3π4.(2)由题可知,△ABC 中AC 边上的高为15-32=6,球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC的外心D ,设DA =DB =DC =x ,所以x 2=32+(6-x )2,解得x =546,所以R 2=x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫PC 22=758+1=838(其中R 为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S =4πR 2=832π,故选D. 【答案】 (1)B (2)D(变条件)若本例(2)中的△ABC 变为边长为3的等边三角形.求三棱锥外接球的表面积.解:由题意得,此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PC 为高的正三棱柱的外接球,因为△ABC 的外接圆半径r =32×3×23=1,外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d =1,所以外接球的半径R =r 2+d 2=2,所以三棱锥外接球的表面积S =4πR 2=8π.处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.1.如图,已知球O 是棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的内切球,则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6D.33π 解析:选C.平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆. 因为正方体的棱长为1, 所以AC =CD 1=AD 1=2, 所以内切圆的半径r =66, 所以S =πr 2=π×636=16π.2.(2020·丽水模拟)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上,底面ABC 所在的小圆面积为16π,则该三棱锥的高的最大值为( )A .4B .6C .8D .10解析:选C.依题意,设题中球的球心为O 、半径为R ,△ABC 的外接圆半径为r ,则4πR33=500π3,解得R =5,由πr 2=16π,解得r =4,又球心O 到平面ABC 的距离为R 2-r 2=3,因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5+3=8.核心素养系列15 直观想象——数学文化与三视图(2020·金华十校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈,问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为( )A .5 000立方尺B .5 500立方尺C .6 000立方尺D .6 500立方尺【解析】 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .取AB 的中点G ,CD 的中点H ,连接FG ,GH ,HF ,则该几何体的体积为四棱锥F ­GBCH 与三棱柱ADE ­GHF 的体积之和.又可以将三棱柱ADE ­GHF 割补成高为EF ,底面积为S =12×3×1=32平方丈的一个直棱柱,故该楔体的体积V =32×2+13×2×3×1=5立方丈=5 000立方尺.【答案】 A求解与数学文化有关的立体几何问题应过的三关我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为( )A .4-π2B .8-4π3C .8-πD .8-2π解析:选 C.由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等.根据题设所给的三视图,可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱,正方体的体积为23=8,半圆柱的体积为12×(π×12)×2=π,因此该不规则几何体的体积为8-π,故选C.[基础题组练]1.(2020·嘉兴期中)某球的体积与表面积的数值相等,则球的半径是( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C.设球的半径为r ,则球的体积为 43πr 3,球的表面积为4πr 2. 因为球的体积与其表面积的数值相等, 所以43πr 3=4πr 2,解得r =3.2.(2020·义乌模拟)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .12+4 2B .18+8 2C .28D .20+8 2解析:选D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图.则该几何体的表面积为S =2×12×2×2+4×2×2+22×4=20+82,故选D.3.(2020·浙江高校招生选考试题)如图(1),把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后,得到如图(2)所示几何体,则该几何体的体积为( )A.34B.1724C.23D.12解析:选B.把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后,得到几何体的体积:V =VABCD ­A 1B 1C 1D 1-VA ­A 1B 1D 1-VB ­A 1B 1C 1+VN ­A 1B 1M=1×1×1-13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1-13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1+13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22×22×12=1724. 4.(2020·金华十校联考)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为( )A.32π B.32C .3πD .3解析:选A.由题意得,该几何体为四棱锥,且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球,其半径为32,故体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323=32π,故选A.5.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )A .48+πB .48-πC .48+2πD .48-2π解析:选A.该几何体是正四棱柱挖去了一个半球,正四棱柱的底面是正方形(边长为2),高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积为S =2×2×2+2×4×5-π×12+2π×12=48+π,故选A.6.(2020·台州四校高三联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M 是AB 上的动点,记四面体EFMC 的体积为V 1,多面体ADF ­BCE 的体积为V 2,则V 1V 2=( )A.14B.13C.12D .不是定值,随点M 位置的变化而变化解析:选B.由三视图可知多面体ADF ­BCE 是直三棱柱,其底面是等腰直角三角形(直角边长为a ),且四边形DFEC 与四边形ABCD 都是正方形,它们的边长均为a .因为点M 是AB 上的动点,且易知AB ∥平面DFEC ,所以点M 到平面DFEC 的距离等于点B 到平面DFEC 的距离,为a ,所以V 1=V E ­FMC =V M ­EFC =13×12a ·a ·a =a 36,又V 2=12a ·a ·a =a32,故V1V2=a36a32=13,故选B.7.(2020·宁波市余姚中学期中检测)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为________ cm3,表面积为________cm2.解析:由三视图可知,该几何体是由一个半球去掉14后得到的几何体.所以该几何体的体积=34×12×43×π×13=π2cm3.表面积=34×12×4π×12+12×π×12+34×π×12=11π4cm2.答案:π211π48.(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)一个正四棱锥的所有棱长均为2,其俯视图如图所示,则该正四棱锥的正视图的面积为________,正四棱锥的体积为________.解析:由正四棱锥的俯视图,可得到正四棱锥的直观图如图,则该正四棱锥的正视图为三角形PEF(点E,F分别为AD,BC的中点),因为正四棱锥的所有棱长均为2,所以PB=PC=2,EF=AB=2,PF=3,所以PO=PF2-OF2=3-1=2,所以该正四棱锥的正视图的面积为12×2×2=2;正四棱锥的体积为13×2×2×2=423.答案: 24239.(2020·温州市高考模拟)已知某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的体积为________,表面积为________.解析:根据三视图可知几何体是一个四棱锥,如图,底面是一个边长为2的正方形,PE ⊥平面ABCD ,且PE =2,其中点E 、F 分别是BC 、AD 的中点,连接EF 、PA ,所以几何体的体积V =13×2×2×2=83,在△PEB 中,PB =PE 2+BE 2=5,同理可得PC =5,因为PE ⊥平面ABCD ,所以PE ⊥CD ,因为CD ⊥BC ,BC ∩PE =E ,所以CD ⊥平面PBC ,则CD ⊥PC , 在△PCD 中,PD =PC 2+DC 2=5+4=3, 同理可得PA =3,则PF ⊥AD ,在△PDF 中,PF =PD 2-DF 2=9-1=22,所以此几何体的表面积S =2×2+12×2×2+2×12×2×5+12×2×22=6+25+2 2.答案:836+25+2 210.已知球O 的表面积为25π,长方体的八个顶点都在球O 的球面上,则这个长方体的表面积的最大值等于________.解析:设球的半径为R ,则4πR 2=25π,所以R =52,所以球的直径为2R =5,设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ,则长方体的表面积S =2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2=2(a 2+b 2+c 2)=50.答案:5011.如图所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积.解:如图,分别过点A、B作EF的垂线,垂足分别为点G、H,连接DG、CH,容易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,所以S△AGD=S△BHC=12×22×1=24,所以该多面体的体积V=V E­ADG+V F­BHC+V AGD­BHC=13×24×12+13×24×12+24×1=23.12.如图,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).(1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于制作灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).解:(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6-8×2r8=1.2-2r,所以塑料片面积S=πr2+2πr(1.2-2r)=πr2+2.4πr-4πr2=-3πr2+2.4πr=-3π(r2-0.8r).所以当r=0.4米时,S有最大值,约为1.51平方米.(2)若灯笼底面半径为0.3米,则高为1.2-2×0.3=0.6(米).制作灯笼的三视图如图[综合题组练]1.在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是( )A .4π B.9π2 C .6πD.32π3解析:选B.由题意可得若V 最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上下底面相切,此时球的半径R =32,该球的体积最大,V max =43πR 3=4π3×278=9π2.2.(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)如图,已知在四棱锥P ­ABCD 中,底面ABCD 是菱形,PA ⊥底面ABCD ,AB =1,PA ·AC =1,∠ABC =θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ≤π2,则四棱锥P ­ABCD 的体积V 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫26,13 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤212,16 C.⎝⎛⎦⎥⎤26,13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫212,16 解析:选A.由已知,四边形ABCD 的面积S =sin θ, 由余弦定理可求得AC =2-2cos θ, 所以PA =12-2cos θ,所以V =13·sin θ2-2cos θ,所以V =26·sin 2θ1-cos θ=26·1+cos θ.所以当cos θ=0,即θ=π2时,四棱锥P ­ABCD 的体积V 的最小值是26; 当cos θ=1,即θ=0时,四棱锥P ­ABCD 的体积V 的最大值是13.因为0<θ≤π2,所以P ­ABCD 的体积V 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫26,13. 3.(2020·浙江名校协作体高三联考)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 cm 3,则正视图中的x 的值是________cm ,该几何体的表面积是________cm 2.解析:由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,其直观图如图所示,由棱锥的体积公式得,13×12×(1+2)×3x =3⇒x =2(cm),侧面ADS ,CDS ,ABS 为直角三角形,侧面BCS 是以BC 为底的等腰三角形,所以该几何体的表面积为S =12[(1+2)×3+2×2+3×2+1×7+2×7]=53+37+42(cm 2).答案:253+37+424.如图,在△ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ,满足PD =DA ,PB =BA ,则四面体PBCD 的体积的最大值是________.解析:由AB =BC =2,∠ABC =120°,可得AC =23,要求四面体PBCD 的体积,关键是寻找底面三角形BCD 的面积S △BCD 和点P 到平面BCD 的距离h .易知h ≤2.设AD =x ,则DP =x ,DC =23-x ,S △DBC =12×(23-x )×2×sin 30°=23-x2,其中x ∈(0,23),且h ≤x ,所以V P ­BCD=13×S △BCD ×h =23-x 6×h ≤23-x 6·x ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫23-x +x 22=12,当且仅当23-x =x ,即x =3时取等号.故四面体PBCD 的体积的最大值是12. 答案:125.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点P ,Q 在正视图中所示位置,点P 为所在线段中点,点Q 为顶点,求在几何体表面上,从P 点到Q 点的最短路径的长.解:(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S 圆锥侧=12(2πa )·(2a )=2πa 2, S 圆柱侧=(2πa )·(2a )=4πa 2, S 圆柱底=πa 2,所以S 表=2πa 2+4πa 2+πa 2=(2+5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ = AP 2+AQ 2=a 2+(πa )2=a 1+π2, 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1+π2.6.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球,求此三棱柱的体积的最大值. 解:如图,设球心为O ,三棱柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,底面正三角形的边长为a ,则AO 1=23×32a =33a .由已知得O 1O 2⊥底面,在Rt △OAO 1中,由勾股定理得OO 1= 12-⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2=3·3-a23,所以V 三棱柱=34a 2×2×3·3-a 23=3a 4-a62,令f (a )=3a 4-a 6(0<a <2),则f ′(a )=12a 3-6a 5=-6a 3(a 2-2),令f ′(a )=0,解得a = 2.因为当a∈(0,2)时,f′(a)>0;当a∈(2,2)时,f′(a)<0,所以函数f(a)在(0,2)上单调递增,在(2,2)上单调递减.所以f(a)在a= 2 处取得极大值.因为函数f(a)在区间(0,2)上有唯一的极值点,所以a= 2 也是最大值点.所以(V三棱柱)max=3×4-82=1.21。

高考数学一轮复习 第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积教学案 理

高考数学一轮复习 第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积教学案 理

8.2 空间几何体的表面积与体积考纲要求了解柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积的计算公式.1.旋转体的表面积公式(1)圆柱的表面积公式S =________(其中r 为底面半径,l 为母线长). (2)圆锥的表面积S =________(其中r 为底面半径,l 为母线长).(3)圆台的表面积公式S =π(r ′2+r 2+r ′l +rl )(其中r ′,r 为上、下底面半径,l 为母线长).(4)球的表面积公式S =____(其中R 为球的半径). 2.几何体的体积公式(1)柱体的体积公式V =____(其中S 为底面面积,h 为高). (2)锥体的体积公式V =______(其中S 为底面面积,h 为高).(3)台体的体积公式V =13(S +SS ′+S ′)h (其中S ′,S 为上、下底面面积,h 为高).(4)球的体积公式V =______(其中R 为球的半径).1.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是( ).A.8π B.6π C.4π D.π2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.283π B.163π C.43π+8 D.12π3.(2012银川模拟)长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为( ).A.72π B.56π C.14π D.64π4.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,所形成的几何体的体积为__________.5.已知四棱锥P­ABCD的底面是边长为6的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=8,则该四棱锥的体积是__________.一、几何体的表面积【例1】(2012山东烟台模拟)如图所示是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是__________.方法提炼1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲面展为平面图形进行计算,而表面积是侧面积与底面积之和.2.以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是对给定的三视图进行正确分析,把图中获取的信息转化成几何体各元素间的位置关系或数量关系.请做演练巩固提升1二、几何体的体积【例2】在三棱柱ABC­A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,那么V1∶V2=__________.方法提炼1.解答与几何体的体积有关的问题时,根据相应的体积公式,从落实公式中的有关变量入手去解决问题,例如对于正棱锥,主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形;对于正棱台,主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形.2.求几何体的体积时,若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体,可直接利用公式求解;若给定的几何体不能直接利用公式得出,常用转换法、分割法、补形法等求解.请做演练巩固提升2三、几何体的展开图【例3】如图,在三棱柱ABC­A′B′C′中,△ABC为等边三角形,AA′⊥平面ABC,AB=3,AA′=4,M为AA′的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29,设这条最短路线与CC′的交点为N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;(2)PC与NC的长.方法提炼探究几何体表面上的最短距离,需要把几何体的侧面展开,有时候把空间问题转化为平面图形中的问题来解决会容易些.请做演练巩固提升3不能正确地转化组合体的原形而致误【典例】(2012广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( ).A .72πB .48πC .30πD .24π 解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,∴其体积为V =12×43π×33+13π×32×4=30π.答案:C答题指导:1.在解答本题时容易出错的主要原因有:(1)不能合理地画出图形、不能将所给条件转化到圆锥中;(2)不能将组合体的体积转化为一个半球和一个圆锥的体积之和来处理. 2.由于近几年的高考加强了对几何体体积、面积的考查,在备考中要注意:(1)加强对常见几何体的有关计算的训练,熟练掌握常见几何体的面积及体积的求法; (2)对于一些复杂的几何体,要善于将其转化为规则的几何体进行求解; (3)要重视对计算能力的训练与培养,以适应高考的需要.1.(2012北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ).A .28+6 5B .30+6 5C .56+12 5D .60+12 52.(2012江西高考)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( ).A .112B .5C .92D .43.日常生活中,许多饮料是用易拉罐盛装的,易拉罐是近似的圆柱体.现有一个高为12 cm ,底面半径为4 cm 的空易拉罐,被切割成如图所示的形状相同的两个几何体,如果将其中一个几何体的侧面展开,那么展平后的形状是( ).4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ).A.48 B.32+817C.48+817 D.805.一个正三棱柱(底面为等边三角形,侧棱与底面垂直)的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.参考答案基础梳理自测知识梳理1.(1)2πr 2+2πrl (2)πr 2+πrl (4)4πR 22.(1)Sh (2)13Sh (4)43πR 3基础自测1.C 解析:设正方体的棱长为a ,则a 3=8. 而此内切球直径为2,∴S 表=4πr 2=4π.2.A 解析:由三视图可知,该几何体为底面半径是2,高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体,分别计算其体积相加得π×22×2+43π=283π.3.C 解析:设长方体长、宽、高分别为a ,b ,c ,不妨取ab =2,bc =3,ac =6,长方体的体对角线长为a 2+b 2+c 2.而由⎩⎪⎨⎪⎧ ab =2,bc =3,ac =6,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,c =3.∴球的直径d =22+12+32=14.∴r =d 2=142.∴S 球=4πr 2=4π×144=14π.4.3π 解析:形成的几何体为圆锥中挖去一小圆锥后的剩余部分,作AD ⊥BC , ∴AD = 3.∴V =13πAD 2·(BC +BD )-13πAD 2·BD =3π.5.96 解析:底面正方形的面积S =62=36, 又∵PA ⊥底面ABCD ,PA =8,∴V P ­ABCD =13×S ×PA =13×36×8=96.考点探究突破【例1】 12π 解析:此几何体的上部分为球,球的直径为2,下部分为一圆柱,圆柱的高为3,底面圆的直径为2,所以S 表=4π+π+π+2π×3=12π.【例2】 7∶5或5∶7 解析:设三棱柱的高为h ,上、下底的面积均为S ,体积为V ,则V =V 1+V 2=Sh .∵E ,F 分别为AB ,AC 的中点,∴S △AEF =14S .V 1=13h ⎝⎛⎭⎪⎫S +14S +S ·14S =712Sh ,V 2=Sh -V 1=512Sh ,∴V 1∶V 2=7∶5.【例3】 解:(1)该三棱柱的侧面展开图为边长分别为4和9的矩形,故对角线长为42+92=97.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开,如下图,设PC =x ,则MP 2=MA 2+(AC +x )2. ∵MP =29,MA =2,AC =3, ∴x =2,即PC =2. 又NC ∥AM , 故PC PA =NC AM ,即25=NC 2. ∴NC =45.演练巩固提升1.B 解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为:此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S =12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×25×41-5=30+6 5.2.D 解析:由三视图可判断该几何体为直六棱柱,其底面积为4,高为1,所以体积为4,故选D.3.A 解析:圆柱的展开图是矩形,故此几何体展开后的图形应为三角形.4.C 解析:由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面是边长为4的正方形; 上底面是长为4、宽为2的矩形;两个侧面是垂直于底面,上底长为2,下底长为4,高为4的梯形;另两个侧面是矩形,宽为4,长为42+12=17.所以S 表=42+2×4+12×(2+4)×4×2+4×17×2=48+817. 5.解:由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示,且AA ′=BB ′=CC ′=4 cm ,正三角形ABC 和正三角形A ′B ′C ′的高为2 3 cm.∴正三角形ABC 的边长为AB =23sin 60°=4(cm).∴该三棱柱的表面积为S =3×4×4+2×12×42sin 60°=48+83(cm 2).体积为V =S 底·AA ′=12×42sin 60°×4=163(cm 3).故这个三棱柱的表面积为(48+83)cm 2,体积为16 3 cm 3.。

(浙江专用)高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积教案(含解析)

(浙江专用)高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积教案(含解析)

(浙江专用)高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积教案(含解析)第二节 空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧=2πrl S 圆锥侧=πrl S 圆台侧=π(r +r ′)l名称 几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积=S 侧+2S 底 V =Sh锥体(棱锥和圆锥) S 表面积=S 侧+S 底V =13Sh台体(棱台和圆台) S 表面积=S 侧+S 上+S 下V =13(S 上+S 下+S 上S 下)h球S =4πR 2V =43πR 3[1.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .20πB .24πC .28πD .32π解析:选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r ,周长为c ,圆锥母线长为l ,圆柱高为h .由图得r =2,c =2πr =4π,h =4,由勾股定理得:l =22+232=4,S 表=πr 2+ch +12cl =4π+16π+8π=28π.2.(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.解析:由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为3的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h =3,所以该几何体的体积V =S ·h =⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×3=3 3. 答案:3 33.若球O 的表面积为4π,则该球的体积为________.解析:由题可得,设该球的半径为r ,则其表面积为S =4πr 2=4π,解得r =1.所以其体积为V =43πr 3=43π.答案:43π1.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错.2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.3.易混侧面积与表面积的概念. [小题纠偏]1.(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱体积之比为________,球的表面积与圆柱的侧面积之比为________.答案:2∶3 1∶12.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是________.解析:由三视图可知,该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成,其表面积S =3×4×2+2×2×2+4×22×2+4×6+12×(2+6)×2×2=72+16 2.答案:72+16 2考点一 空间几何体的表面积基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( ) A .8+2 2 B .11+2 2 C .14+2 2 D .15解析:选B 由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.直角梯形斜腰长为12+12=2,所以底面周长为4+2,侧面积为2×(4+2)=8+22,两底面的面积和为2×12×1×(1+2)=3,所以该几何体的表面积为8+22+3=11+2 2.2.(2018·浙江新高考联盟高三期初联考)如图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积等于( )A .34+6 5B .44+12 5C .34+6 3D .32+6 5解析:选A 由三视图知几何体底面是一个长为6,宽为2的矩形,高为4的四棱锥,所以该几何体的表面积为12×6×25+12×6×4+2×12×2×5+6×2=34+65,故选A.3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则该棱锥的表面积为( )A .6+42+2 3B .8+4 2C .6+6 2D .6+22+4 3解析:选A 由三视图可知该棱锥为如图所示的四棱锥P ­ABCD ,S △PAB=S △PAD =S △PDC =12×2×2=2,S △PBC =12×22×22×sin 60°=23,S 四边形ABCD =22×2=42,故该棱锥的表面积为6+42+2 3.[谨记通法]几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何的主要出发点.(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得几何体的表面积.注意衔接部分的处理.考点二 空间几何体的体积重点保分型考点——师生共研[典例引领]1.(2018·金华高三期末考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.223 B.233 C.423D.433解析:选D 由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,其直观图如图所示.底面ABCD 的面积为2×2=4,高PO =3,故该几何体的体积V =13×4×3=433.2.(2018·宁波十校联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于________,表面积等于________.解析:如图,由三视图可知该几何体是底面半径为2,高为3的圆柱的一半,故该几何体的体积为12×π×22×3=6π,表面积为2×12×π×22+4×3+π×2×3=10π+12.答案:6π 12+10π[由题悟法]有关几何体体积的类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解,在实际问题中要根据题意作出图形,构造直角三角形确定球的半径 锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高,直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体,利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想,若几何体的底不规则,也需采用同样的方法,将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形,易于求解1.(2018·杭州高级中学模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .1 B.32 C.12D.34解析:选C 由题可得,该几何体是一个四棱锥,底面是上下底边分别为1和2,高为1的直角梯形,又四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为V =13×12×(1+2)×1×1=12.2.(2019·台州高三适考)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为________,几何体中最长棱的长是________.解析:由三视图可知,该几何体是棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中的三棱锥M ­A 1B 1N ,如图所示,M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点,N 是棱C 1D 1的中点,所以VM ­A 1B 1N =13×12×2×2×2=43.又A 1B 1=2,A 1N =B 1N=22+12=5,A 1M =22+⎝ ⎛⎭⎪⎫232=2103,B 1M =22+⎝ ⎛⎭⎪⎫432=2133,MN =22+22+⎝ ⎛⎭⎪⎫132=733,所以该几何体中最长棱的长是733. 答案:437333.(2018·温州高三一模)如图,一个简单几何体的三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形,其俯视图的轮廓为正方形,则该几何体的体积为________,表面积为________.解析:如图,还原三视图为正四棱锥,易得正四棱锥的高为32,底面积为1,体积V =13×1×32=36;易得正四棱锥侧面的高为⎝ ⎛⎭⎪⎫322+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=1,所以表面积S =4×12×1×1+1=3. 答案:363 考点三 与球有关的切、接问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]与球相关的切、接问题是高考命题的热点,也是考生的难点、易失分点,命题角度多变. 常见的命题角度有: (1)球与柱体的切、接问题; (2)球与锥体的切、接问题.[题点全练]角度一:球与柱体的切、接问题1.如图,已知球O 是棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的内切球,则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6D.33π 解析:选C 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC =CD 1=AD 1=2,所以内切圆的半径r =22×tan 30°=66, 所以S =πr 2=π×16=16π.2.(2018·金华一模)一个圆柱的轴截面是正方形,在圆柱内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O 的体积为V 1,圆柱内除了球之外的几何体体积为V 2,则V 1V 2的值为________. 解析:如图,设圆柱的底面半径为r ,则圆柱的高为2r ,球O 的半径为r ,∴球O 的体积V 1=43πr 3,圆柱内除了球之外的几何体体积 V 2=πr 2×2r -43πr3=23πr3,∴V1V2=43πr323πr3=2.答案:2角度二:球与锥体的切、接问题3.(2018·绍兴质检)四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC =PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是( ) A.6 B.5C.92D.94解析:选D 过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题知,四棱锥P­ABCD是正四棱锥,内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图,其中PE,PF是斜高,M为球面与侧面的一个切点.设PH=h,易知Rt△PMO∽Rt△PHF,所以OMFH=POPF,即13=h-1h2+32,解得h=94.4.(2018·嘉兴一模)如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体外接球的表面积为( )A.20π3B.8πC.9π D.19π3解析:选D 如图,该几何体为三棱锥A­BCD,设三棱锥外接球的球心为O,O1,O2分别为△BCD,△ABD的外心,依题意得,OO1=36AB=33,O1D=12CD=52,∴球的半径R=OO21+O1D2=1912,∴该几何体外接球的表面积S=4πR2=19π3.[通法在握]解决与球有关的切、接问题,其通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程是:[演练冲关]1.一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( )A .20π B.205π3 C .5πD.55π6解析:选D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r =1,其高h =1,∴球半径为R =r 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22=1+14=52,∴该球的体积V =43πR 3=43×⎝ ⎛⎭⎪⎫523π=55π6. 2.(2018·镇海期中)一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体体积的最大值为________.解析:由题可得,要使正方体可以在纸盒内任意转动,则只需该正方体在正四面体的内接球内即可.因为正四面体的棱长为6,所以其底面正三角形的高为33,正四面体的高为26,则该正四面体的内球的半径为62,设该正方体的边长为a ,要满足条件,则3a ≤6,即a ≤ 2.所以正方体的最大体积为V =a 3≤2 2.答案:2 2一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2018·浙江名校联考)“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 由题可得,球的三个视图都是圆,所以三视图完全相同;三视图完全相同的几何体除了球,还有正方体,所以是必要不充分条件.2.(2018·长兴中学适应性测试)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .64B .72C .80D .112解析:选C 由题可得,该几何体是一个棱长为4的正方体与一个底面是边长为4的正方形,高为3的四棱锥的组合体,所以其体积为V =43+13×42×3=80.3.(2019·杭二月考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .π+33B .2π+33C .2π+ 3D .π+ 3解析:选A 由三视图知,该几何体的上半部分是一个三棱锥,下半部分是一个圆柱.由题图中的数据知V 圆柱=π×12×1=π,三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形,故其高即为三棱锥的高,故三棱锥的高为3,由于三棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为2,因此两直角边长都是2,则底面三角形的面积是12×2×2=1,故V三棱锥=13×1×3=33,故该几何体的体积为π+33. 4.(2018·嘉兴模拟)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是33,则a =________,该几何体的表面积为________.解析:由题可得,该几何体是一个水平放置的三棱柱,其底面是一个底边长为2、高为a 的等腰三角形,高为3.因为其体积为33,所以V =12×2a ×3=3a =33,解得a = 3.所以该几何体的表面积为S =2×12×2×3+2×3×3=23+18.答案: 3 23+185.(2018·丽水模拟)若三棱锥P ­ABC 的最长的棱PA =2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接球的体积是________,表面积是________.解析:如图,根据题意,可把该三棱锥补成长方体,则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球,易得外接球的半径R =12PA =1,所以该三棱锥的外接球的体积V =43×π×13=43π,表面积S =4πR 2=4π.答案:43π 4π二保高考,全练题型做到高考达标1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )A .7B .6C .5D .3解析:选A 设圆台较小底面半径为r , 则另一底面半径为3r .由S =π(r +3r )·3=84π,解得r =7.2.(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A .122πB .12πC .82πD .10π解析:选B 设圆柱的轴截面的边长为x , 则x 2=8,得x =22,∴S 圆柱表=2S 底+S 侧=2×π×(2)2+2π×2×2 2=12π.故选B.3.(2018·温州十校联考)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是( )A.4 B.16 3C.8 D.32 3解析:选B 由题可得,该几何体是一个底面为长方形的四棱锥,所以其体积为V=13×4×2×2=163.4.(2018·兰州实战考试)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为( )A.32π B.32C.3πD.3解析:选A 由题意得,该几何体为四棱锥,且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球,其半径为32,故体积为43π⎝⎛⎭⎪⎫323=32π,故选A.5.(2018·宁波十校联考)如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.2 2 B.10C.2 3 D.13解析:选C 由题可得,该几何体是水平放置的四棱锥,其底面是一个直角梯形.所以其最长的棱的长度为22+22+22=2 3.6.(2018·宁波一模)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.73B.8-π3C.83D.7-π3解析:选B 由三视图得,该几何体是从四棱锥P ­ABCD 中挖去半个圆锥后剩余的部分,四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2,圆锥的底面半径是1、高是2,则所求的体积V =13×2×2×2-12×13π×12×2=8-π3.7.(2018·衢州调研)已知某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是________;表面积是________.解析:该几何体是一个三棱锥,其高为2,其底面是一个等腰直角三角形,腰长为2,所以其体积为V =13×12×(2)2×2=23,表面积为S =12×2×2+12×(2)2+12×2×2+12×2×6=3+3+ 2.答案:233+3+ 28.(2018·杭州模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且AB =3,BC =2,则棱锥O ­ABCD 的体积为________.解析:依题意得,球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心,因此棱锥O ­ABCD的高等于42-⎝ ⎛⎭⎪⎫1232+222=512,所以棱锥O ­ABCD 的体积等于13×3×2×512=51.答案:519.(2019·舟山六校联考)某四面体的三视图如图所示,其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,正视图是边长为2的正方形,则此四面体的体积为________.解析:由三视图可知,该四面体是四面体ABCD ,如图,其中,BE ⊥底面ACD ,AD =DC =BE =2,则该四面体的体积为13×12×2×2×2=43.答案:4310.(2018·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,且该棱锥的高为4,底面边长为22,则该球的表面积为________.解析:如图,正四棱锥P ­ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO 1上,设球的半径为R ,为底面边长为22,所以AC =4.在Rt △AOO 1中,R 2=(4-R )2+22,所以R =52,所以球的表面积S =4πR 2=25π.答案:25π三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2018·广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )A.34B.14C.12D.38解析:选C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2+4)=6的四棱锥,其体积为4.易知直三棱柱的体积为8,则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为12,故选C. 2.(2018·温州一模)三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥外接球的体积为( )A .43πB .23πC .42πD .22π解析:选A 三棱锥的直观图如图,设H 为三棱锥P ­ABC 外接球的球心,O 1为△PAC 外接圆的圆心,O 2为△ABC 外接圆的圆心,取AC 的中点O ,连接PO ,HO 1,O 2H ,HB ,结合三视图易知OO 1=13PO =12,O 2B=12AB =12×32+222=112.∵平面PAC ⊥平面ABC ,HO 2⊥平面ABC ,HO 2⊄平面PAC ,∴HO 2∥平面PAC ,∵PO ⊥平面ABC ,∴OO 1∥HO 2,连接OO 2,易知OO 2∥HO 1,∴四边形HO 1OO 2为平行四边形,∴HO 2=OO 1=12.在Rt △HO 2B 中,HB =HO 22+O 2B 2=3,即三棱锥P ­ABC 外接球的半径为3,故所求体积为43×π×(3)3=43π.3.已知A ,B ,C 是球O 的球面上三点,且AB =AC =3,BC =33,D 为该球面上的动点,球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半,求三棱锥D ­ABC 体积的最大值.解:如图,在△ABC 中, ∵AB =AC =3,BC =33, ∴由余弦定理可得 cos A =32+32-3322×3×3=-12,∴sin A =32. 设△ABC 外接圆O ′的半径为r ,则3332=2r,得r=3.设球的半径为R,连接OO′,BO′,OB,则R2=⎝⎛⎭⎪⎫R22+32,解得R=2 3. 由图可知,当点D到平面ABC的距离为32R时,三棱锥D­ABC的体积最大,∵S△ABC=12×3×3×32=934,∴三棱锥D­ABC体积的最大值为13×934×33=274.。

高考数学一轮复习教学案空间几何体的表面积和体积

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第二节空间几何体的表面积和体积[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积面积 体积 圆柱 S 侧=2πrl V =Sh =πr 2h圆锥S 侧=πrlV =13Sh =13πr 2h =13πr 2l 2-r 2圆台 S 侧=π(r 1+r 2)lV =13(S 上+S 下+S 上·S 下)h=13π(r 21+r 22+r 1r 2)h 直棱柱 S 侧=Ch V =Sh 正棱锥 S 侧=12Ch ′V =13Sh正棱台 S 侧=12(C +C ′)h ′V =13(S 上+S 下+S 上·S 下)h球 S 球面=4πR 2V =43πR 3[小题能否全取]1.(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a 时,该三棱锥的全面积是( )A.3+34a 2B.34a 2C.3+32a 2D.6+34a 2解析:选A ∵侧面都是直角三角形,故侧棱长等于22a , ∴S 全=34a 2+3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2=3+34a 2. 2.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32,则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A .12πB .36πC .72πD .108π解析:选B 依题意得,该正四棱锥的底面对角线长为32×2=6,高为 (32)2-⎝⎛⎭⎫12×62=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心,其外接球的半径为3,所以其外接球的表面积等于4π×32=36π.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为5的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为5的等腰三角形,则该几何体的体积为( )A .24B .80C .64D .240解析:选B 结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形,棱锥的高是5,可由锥体的体积公式得V =13×8×6×5=80.4.(教材习题改编)表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________.解析:设圆锥的母线为l ,圆锥底面半径为r , 则πrl +πr 2=3π,πl =2πr . 解得r =1,即直径为2. 答案:25.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是________.解析:由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底面积即俯视图的面积,为23;侧面积为一个完整的圆锥的侧面积,且圆锥的母线长为2,底面半径为1,所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积,为2(π+3).答案:2(π+3)1.几何体的侧面积和全面积:几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆,最好结合几何体的侧面展开图来进行.2.求体积时应注意的几点:(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性.3.求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.几何体的表面积典题导入[例1](·安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.[自主解答]由几何体的三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示).在四边形ABCD中,作DE⊥AB,垂足为E,则DE=4,AE=3,则AD=5.所以其表面积为2×12×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92.[答案]92由题悟法1.以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.2.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.以题试法1.(·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图,已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为32,且一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么该饰物的表面积为( )A.3 B .2 3 C .43 D .4解析:选D 依题意得,该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成,正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长,因此该饰物的表面积为8×⎝⎛⎭⎫12×1×1=4.几何体的体积典题导入[例2] (1)(·广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A .72πB .48πC .30πD .24π(2)(·山东高考)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 为线段B 1C 上的一点,则三棱锥A -DED 1的体积为________.[自主解答] (1)由三视图知,该几何体是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图所示,圆锥的底面半径为3,高为4,半球的半径为3.V =V 半球+V 圆锥=12·43π·33+13·π·32·4=30π.(2)VA -DED 1=VE -ADD 1=13×S △ADD 1×CD =13×12×1=16.[答案] (1)C (2)16本例(1)中几何体的三视图若变为:其体积为________.解析:由三视图还原几何体知,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V =V 圆柱-V 圆锥=π×32×4-13π×32×4=24π.答案:24π由题悟法1.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.3.等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时,可选择容易计算的方式来计算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”.以题试法2.(1)(·长春调研)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形,且PD 垂直于底面ABCD ,N 为PB 中点,则三棱锥P -ANC 与四棱锥P -ABCD 的体积比为( )A .1∶2B .1∶3C .1∶4D .1∶8解析:选C 设正方形ABCD 面积为S ,PD =h ,则体积比为13Sh -13·12S ·12h -13·12Sh 13Sh =14.(·浙江模拟)如图,是某几何体的三视图,则这个几何体的体积是( )A .32B .24C .8D.323解析:选B 此几何体是高为2的棱柱,底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形,其底面积S =9+2×12×3×1=12,所以几何体体积V =12×2=24.与球有关的几何体的表面积与体积问题典题导入[例3] (·新课标全国卷)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC =2,则此棱锥的体积为( )A.26 B.36C.23D.22[自主解答] 由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ,O 是SC 的中点,因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍,所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍. 在三棱锥O -ABC 中,其棱长都是1,如图所示, S △ABC =34×AB 2=34, 高OD =12-⎝⎛⎭⎫332=63,∴V S -ABC =2V O -ABC =2×13×34×63=26.[答案] A由题悟法1.解决与球有关的“切”、“接”问题,一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面,把空间问题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系.2.记住几个常用的结论:(1)正方体的棱长为a ,球的半径为R , ①正方体的外接球,则2R =3a ; ②正方体的内切球,则2R =a ; ③球与正方体的各棱相切,则2R =2a .(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ,b ,c ,外接球的半径为R ,则2R =a 2+b 2+c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.以题试法3.(1)(·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )A .23π B.8π3 C .4 3D.16π3(2)(·潍坊模拟)如图所示,已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ,DA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,DA =AB =BC =2,则球O 的体积等于________.解析:(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示.其中侧面DBC ⊥底面ABC ,取BC 的中点O 1,连接AO 1,DO 1知DO 1⊥底面ABC 且DO 1=3,AO 1=1,BO 1=O 1C =1.在Rt △ABO 1和Rt △ACO 1中,AB =AC =2, 又∵BC =2,∴∠BAC =90°.∴BC 为底面ABC 外接圆的直径,O 1为圆心, 又∵DO 1⊥底面ABC ,∴球心在DO 1上, 即△BCD 的外接圆为球大圆,设球半径为R , 则(3-R )2+12=R 2,∴R =23. ∴S 球=4πR 2=4π×⎝⎛⎭⎫232=16π3.(2)如图,以DA ,AB ,BC 为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O 的半径为R ,则正方体的体对角线长即为球O 的直径,所以|CD |=(2)2+(2)2+(2)2=2R ,所以R =62. 故球O 的体积V =4πR 33=6π.答案:(1)D (2)6π1.(·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )A .8 B.83 C .4D.43解析:选D 将三视图还原,直观图如图所示,可以看出,这是一个底面为正方形(对角线长为2),高为2的四棱锥,其体积V =13S 正方形ABCD ×P A =13×12×2×2×2=43. 2.(·山西模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且AB =3,BC =2,则棱锥O -ABCD 的体积为( )A.51 B .351 C .251D .651解析:选A 依题意得,球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心,因此棱锥O -ABCD 的高等于42-⎝⎛⎭⎫1232+222=512,所以棱锥O -ABCD 的体积等于13×(3×2)×512=51. 3.(·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为( )A .4π B.154π C .5πD.174π 解析:选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体,故表面积为78·4π·12+3·14·π·12=174π. 4.(·济南模拟)用若干个大小相同,棱长为1的正方体摆成一个立体模型,其三视图如图所示,则此立体模型的表面积为( )A .24B .23C .22D .21解析:选C 这个空间几何体是由两部分组成的,下半部分为四个小正方体,上半部分为一个小正方体,结合直观图可知,该立体模型的表面积为22.5. (·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示,则此几何体的体积为( )A.112 B .5 C.92D .4解析:选D 由三视图可知,所求几何体是一个底面为六边形,高为1的直棱柱,因此只需求出底面积即可.由俯视图和主视图可知,底面面积为1×2+2×12×2×1=4,所以该几何体的体积为4×1=4.6.如图,正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为4,动点E ,F 在棱AB 上,且EF =2,动点Q 在棱D ′C ′上,则三棱锥A ′-EFQ 的体积( )A .与点E ,F 位置有关B .与点Q 位置有关C .与点E ,F ,Q 位置都有关D .与点E ,F ,Q 位置均无关,是定值解析:选D 因为V A ′-EFQ =V Q -A ′EF =13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×4=163,故三棱锥A ′-EFQ 的体积与点E ,F ,Q 的位置均无关,是定值.7.(·湖州模拟)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是________.解析:由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱长为1,斜高为32,连接顶点和底面中心即为高,可求得高为22,所以体积V =13×1×1×22=26. 答案:268.(·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.解析:因为半圆的面积为2π,所以半圆的半径为2,圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π,所以底面圆的半径为1,所以圆锥的高为3,体积为33π.答案:33π 9.(·郑州模拟)在三棱锥A -BCD 中,AB =CD =6,AC =BD =AD =BC =5,则该三棱锥的外接球的表面积为________.解析:依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补形成一个长方体,设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ,且其外接球的半径为R ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=62,b 2+c 2=52,c 2+a 2=52,得a 2+b 2+c 2=43,即(2R )2=a 2+b 2+c 2=43,易知R 即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2=43π.答案:43π10.(·江西八校模拟)如图,把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起,使AC = 6.(1)求证:面ABEF ⊥平面BCDE ; (2)求五面体ABCDEF 的体积.解:设原正六边形中,AC ∩BE =O ,DF ∩BE =O ′,由正六边形的几何性质可知OA =OC =3,AC ⊥BE ,DF ⊥BE .(1)证明:在五面体ABCDE 中,OA 2+OC 2=6=AC 2, ∴OA ⊥OC ,又OA ⊥OB ,∴OA ⊥平面BCDE .∵OA ⊂平面ABEF , ∴平面ABEF ⊥平面BCDE .(2)由BE ⊥OA ,BE ⊥OC 知BE ⊥平面AOC ,同理BE ⊥平面FO ′D ,∴平面AOC ∥平面FO ′D ,故AOC -FO ′D 是侧棱长(高)为2的直三棱柱,且三棱锥B -AOC 和E -FO ′D 为大小相同的三棱锥,∴V ABCDEF =2V B -AOC +V AOC -FO ′D =2×13×12×(3)2×1+12×(3)2×2=4.11.(·大同质检)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面是直角梯形ABCD ,其中AD ⊥AB ,CD ∥AB ,AB =4,CD =2,侧面P AD 是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD 垂直,E 为P A 的中点.(1)求证:DE ∥平面PBC ; (2)求三棱锥A -PBC 的体积.解:(1)证明:如图,取AB 的中点F ,连接DF ,EF .在直角梯形ABCD 中,CD ∥AB ,且AB =4,CD =2,所以BF 綊CD . 所以四边形BCDF 为平行四边形. 所以DF ∥BC .在△P AB 中,PE =EA ,AF =FB ,所以EF ∥PB . 又因为DF ∩EF =F ,PB ∩BC =B , 所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ,所以DE ∥平面PBC . (2)取AD 的中点O ,连接PO . 在△P AD 中,P A =PD =AD =2, 所以PO ⊥AD ,PO = 3.又因为平面P AD ⊥平面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD , 所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中,CD ∥AB ,且AB =4,AD =2, AB ⊥AD ,所以S △ABC =12×AB ×AD =12×4×2=4.故三棱锥A -PBC 的体积V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PO =13×4×3=433.12.(·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,其正视图、俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形.(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;(2)证明:A1C⊥平面AB1C1.解:(1)几何体的直观图如图所示,四边形BB1C1C是矩形,BB1=CC1=3,BC=B1C1=1,四边形AA1C1C是边长为3的正方形,且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C,故该几何体是直三棱柱,其体积V=S△ABC·BB1=12×1×3×3=3 2.(2)证明:由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1,所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C.因为四边形ACC1A1为正方形,所以A1C⊥AC1.而B1C1∩AC1=C1,所以A1C⊥平面AB1C1.1.(·潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC 把△ACD折起,则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于()A.8πB.16πC.482πD.不确定的实数解析:选B设矩形长为x,宽为y,周长P=2(x+y)≥4xy=82,当且仅当x=y=22时,周长有最小值.此时正方形ABCD沿AC折起,∵OA=OB=OC=OD,三棱锥D-ABC的四个顶点都在以O为球心,以2为半径的球上,此球表面积为4π×22=16π.2.(·江苏高考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为________cm 3.解析:由题意得VA -BB 1D 1D =23VABD -A 1B 1D 1=23×12×3×3×2=6.答案:63.(·深圳模拟)如图,平行四边形ABCD 中,AB ⊥BD ,AB =2,BD =2,沿BD 将△BCD 折起,使二面角A -BD -C 是大小为锐角α的二面角,设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时,三棱锥C -OAD 的体积最大?最大值为多少? (2)当AD ⊥BC 时,求α的大小.解:(1)由题知CO ⊥平面ABD ,∴CO ⊥BD , 又BD ⊥CD ,CO ∩CD =C ,∴BD ⊥平面COD . ∴BD ⊥OD .∴∠ODC =α.V C -AOD =13S △AOD ·OC =13×12·OD ·BD ·OC=26·OD ·OC =26·CD ·cos α·CD ·sin α =23·sin 2α≤23, 当且仅当sin 2α=1,即α=45°时取等号.∴当α=45°时,三棱锥C -OAD 的体积最大,最大值为23.(2)连接OB ,∵CO ⊥平面ABD ,∴CO ⊥AD , 又AD ⊥BC , ∴AD ⊥平面BOC . ∴AD ⊥OB .∴∠OBD +∠ADB =90°.故∠OBD =∠DAB ,又∠ABD =∠BDO =90°, ∴Rt △ABD ∽Rt △BDO . ∴OD BD =BD AB. ∴OD =BD 2AB =(2)22=1,在Rt △COD 中,cos α=OD CD =12,得α=60°.1.两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A .(6-33)πB .(8-43)πC .(6+33)πD .(8+43)π解析:选A 设球O 1、球O 2的半径分别为r 1、r 2, 则3r 1+r 1+3r 2+r 2=3, r 1+r 2=3-32,从而4π(r 21+r 22)≥4π·(r 1+r 2)22=(6-33)π. 2.已知某球半径为R ,则该球内接长方体的表面积的最大值是( ) A .8R 2 B .6R 2 C .4R 2D .2R 2解析:选A 设球内接长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ,则a 2+b 2+c 2=(2R )2,所以S 表=2(ab +bc +ac )≤2(a 2+b 2+c 2)=8R 2,当且仅当a =b =c =233R 时,等号成立.3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆),则该几何体的表面积是( )A .20+3πB .24+3πC .20+4πD .24+4π解析:选A 根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体,其中,正方体的棱长为2,半圆柱的底面半径为1,母线长为2.故该几何体的表面积为4×5+2×π+2×12π=20+3π.4.(·湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式,根据π=3.141 59…判断,下列近似公式中最精确的一个是( )A .d ≈ 3169VB .d ≈ 32V C .d ≈3300157V D .d ≈32111V 解析:选D ∵V =43πR 3,∴2R =d = 36V π,考虑到2R 与标准值最接近,通过计算得6π-169≈0.132 08,6π-2≈-0.090 1,6π-300157≈-0.001 0,6π-2111≈0.000 8,因此最接近的为D 选项.5.(·上海高考)如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC =2.若AD =2c ,且AB +BD =AC +CD =2a ,其中a ,c 为常数,则四面体ABCD 的体积的最大值是________.解析:如图过点B 在平面BAD 中作BE ⊥AD ,垂足为E ,连接CE ,因为BC ⊥AD ,所以AD ⊥平面BCE .所以四面体ABCD 的体积为13S △BCE ·AD .当△BCE 的面积最大时,体积最大.因为AB +BD =AC +CD =2a ,所以点B ,C 在一个椭圆上运动,由椭圆知识可知当AB =BD =AC =CD =a 时,BE =CE =a 2-c 2为最大值,此时截面△BCE 面积最大,为12×2a 2-c 2-1=a 2-c 2-1,此时四面体ABCD 的体积最大,最大值为13S △BCE ·AD =2c3·a 2-c 2-1.答案:23c a 2-c 2-1。

浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习 空间几何体的表面积与体积2教案

浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习 空间几何体的表面积与体积2教案

浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案:空间几何体的表面积与体积2一、教材分析:本节内容介绍了斜二测画法,它是一种特殊的平行投影的画法。

用它画直观图关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法,这是画空间几何体直观图的基础。

教材上先引导学生画平面的图形,进而延展到空间中。

学生通过自己动手观察,和实际操作体会用斜二测画法,结合实例可使学生学起来更轻松。

二、学情分析:学生基础相对薄弱,初中阶段虽对三视图有所学习,单仍要重抓基本知识点,通过课堂教学、练习、作业来巩固所学内容。

三、教学目标:1、掌握斜二测画法;能用斜二测画法画空间几何体的直观图。

(C级)2、引导学生体会画水平放置的直观图的关键是确定多边形顶点的位置。

(B级)3、培养学生严谨的治学态度。

四、教学重点、难点:用斜二测画法画空间几何体的直观图五、教学过程:(一)复习巩固1. 何为三视图?(正视图:自前而后;侧视图:自左而右;俯视图:自上而下)2. 定义直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.把空间图形画在平面内,画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形(二)、讲授新课:1. 教学水平放置的平面图形的斜二测画法:①讨论:水平放置的平面图形的直观感觉?以六边形为例讨论.②出示例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形.(师生共练,注意取点、变与不变→小结:画法步骤)③给出斜二测画法规则:建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY,建立直角坐标系;画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O ’X ’,O ’Y ’,使'''X OY =450(或1350),它们确定的平面表示水平平面;画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘轴,且长度变为原来的一半; 擦去辅助线,图画好后,要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)。

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浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案:空间几何体的表面积
与体积2
一、教材分析:
本节内容介绍了斜二测画法,它是一种特殊的平行投影的画法。

用它画直观图关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法,这是画空间几何体直观图的基础。

教材上先引导学生画平面的图形,进而延展到空间中。

学生通过自己动手观察,和实际操作体会用斜二测画法,结合实例可使学生学起来更轻松。

二、学情分析:
学生基础相对薄弱,初中阶段虽对三视图有所学习,单仍要重抓基本知识点,通过课堂教学、练习、作业来巩固所学内容。

三、教学目标:
1、掌握斜二测画法;能用斜二测画法画空间几何体的直观图。

(C级)
2、引导学生体会画水平放置的直观图的关键是确定多边形顶点的位置。

(B级)
3、培养学生严谨的治学态度。

四、教学重点、难点:
用斜二测画法画空间几何体的直观图
五、教学过程:
(一)复习巩固
1. 何为三视图?
(正视图:自前而后;侧视图:自左而右;俯视图:自上而下)
2. 定义直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图
形.把空间图形画在平面内,画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形
(二)、讲授新课:
1. 教学水平放置的平面图形的斜二测画法:
①讨论:水平放置的平面图形的直观感觉?以六边形为例讨论.
②出示例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形.
(师生共练,注意取点、变与不变→小结:画法步骤)
③给出斜二测画法规则:
建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY,建立直角坐标系;
画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O ’X ’
,O ’Y ’
,使'''
X OY =450
(或
1350
),它们确定的平面表示水平平面;
画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘
轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘
轴,且长度变为原来的一半; 擦去辅助线,图画好后,要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)。

④ 练习: 用斜二测画法画水平放置的正六边形.
y
⑤讨论:水平放置的圆如何画?(正等测画法;椭圆模板) 2. 教学空间图形的斜二测画法: ① 讨论:如何用斜二测画法画空间图形?
② 出示例2 用斜二测画法画长4cm 、宽3cm 、高2cm 的长方体的直观图. (师生共练,建系→取点→连线,注意变与不变; 小结:画法步骤) ③出示例3 (教材P18)根据三视图,用斜二测画法画它的直观图.
讨论:几何体的结构特征? 基本数据如何反应?
师生共练:用斜二测画法画图,注意正确把握图形尺寸大小的关系 ④ 探究:如何由三视图得到直观图?又如何由直观图得到三视图? 二者有何关系?(探究P19 奖杯的三视图到直观图)
结论:空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,三视图在现实生活中得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸等). 直观图是对空间几何体的整体刻画,根据直观图的结构想象实物的形象.
六、课时小结:
本节课主要学习了用斜二测画法画空间几何体的直观图。

七、课时作业: C 级目标:
1. 练习:P19-20 1~5题
2. 如图是一个几何体的三视图,请作出其直观图.
3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸:上、下底面 边长2cm 、4cm;高3cm
B 级练习:
(2007年山东高考)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( D )
A .①②
B .①③
C .①④
D .②④
A 级练习:
(2008 广东卷理5文7)将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ,,分别是GHI △三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )
【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A. 八、板书设计
E D
I A H
G
B
C E
D
A
B
C 侧视 图1
图2
B
E
A .
B
E
B . B
E C . B
E
D .
①正方形
②圆锥 ③三棱台
④正四棱锥
正视图
俯视图
侧视图。

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