4弯曲内力
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
4弯曲内力
a A x
m m F
b B
解： 1、根据平衡条件求支座反力
Fb FAy , L
Fa FBy L
L
m
FAy
A o x
FBy
2、截取m-m截面左段。 剪力 FS——与截面相切的内力 弯矩M —— 截面内的约束力偶
M
m
FAy
FS
m
求解
M
A
o
FAy
x
m
FS
Fb 由 Fy 0, 得到： FS FAy L Fb 由 MO 0, 得到： M FAy x x L
x
DB段
取x截面，右段受力如图。
Q ( x ) q ( 2 .4 x ) RB 19 10 x (1.2 x 2.4 m) 1 2 M ( x ) R A ( 2 . 4 x ) q ( 2 .4 x ) 2 2 (1.2 x 2.4 m) 12 5 x 5( 2 .4 x )
M ( x) dM
F
y
0
FS ( x) q( x)dx [ FS ( x) dFS ] 0
dFS ( x) q( x) dx
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相
应点处的载荷集度q。
M ( x)
FS ( x)
FS ( x) dFS
C
M ( x) dM
M
1 2 qa 8
注意：必须标明控制
截面上的内力值
(+)
qa 2
M 图
例4-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 在截面位置。 解： 取参考坐标系Axy。
m m F
b B
解： 1、根据平衡条件求支座反力
Fb FAy , L
Fa FBy L
L
m
FAy
A o x
FBy
2、截取m-m截面左段。 剪力 FS——与截面相切的内力 弯矩M —— 截面内的约束力偶
M
m
FAy
FS
m
求解
M
A
o
FAy
x
m
FS
Fb 由 Fy 0, 得到： FS FAy L Fb 由 MO 0, 得到： M FAy x x L
x
DB段
取x截面，右段受力如图。
Q ( x ) q ( 2 .4 x ) RB 19 10 x (1.2 x 2.4 m) 1 2 M ( x ) R A ( 2 . 4 x ) q ( 2 .4 x ) 2 2 (1.2 x 2.4 m) 12 5 x 5( 2 .4 x )
M ( x) dM
F
y
0
FS ( x) q( x)dx [ FS ( x) dFS ] 0
dFS ( x) q( x) dx
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相
应点处的载荷集度q。
M ( x)
FS ( x)
FS ( x) dFS
C
M ( x) dM
M
1 2 qa 8
注意：必须标明控制
截面上的内力值
(+)
qa 2
M 图
例4-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 在截面位置。 解： 取参考坐标系Axy。
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
材料力学第4章弯曲内力
对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例3 补充实例：作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程： FS ( x ) F M ( x ) Fx
F A
x B l
FS F Fl
| FS |max F | M |max Fl
M
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例4 补充实例：简支梁受均布载荷的作用，试写出剪力和 弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
y
q
M ＝0， M ＝0
A B
A
FAY
x
B C
l
x
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FBY
FS ql / 2
M 3ql 2 / 32
CB 段：
M Fs x RA a x l l M M x RA x M l x a x l l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
3）绘剪力图和弯矩图
由剪力方程和弯矩方程可绘出Fs、M 图：
Fs Fs x M M x
上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 剪力图和弯矩图 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形 分别称为剪力图和弯矩图。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
例4.2：绘图示梁的剪力图和弯矩图
解：1）求支座反力
Pa M A 0, Pa RB l 0, RB l Pb Fy 0, RA RB P 0, RA l
§4.3 剪力和弯矩—实例2
4-弯曲内力解析
B
B
P
a a
P
a
B
a
A
P 2
A l
B
R
A
R
B
P 2
b R P l
A
a R P l
B
A l
B
m2
A
l
a B
P
R
A
m l
R
B
m l
a R P l
A
R PR
B
A
第二节 梁的剪力和弯矩
一、截面法过程：截取、替代、平衡 F a
A B
弯曲内力
x
C
M
FS
F
F M
FB
y
B
计算简图
约束反力
FA A MA
q0
MR FRx
FRy
固定铰支座和可动铰支座
固定铰 支座 可动铰 支座
计算简图 约束反力
FRy FR
FRx
3.作用在梁上的荷载可分为:
F1 M
弯曲内力
(a)集中荷载
集中力
q(x)
集中力偶
q
(b)分布荷载
任意分布荷载 均布荷载
4.静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。(判断方法略) (a)悬臂梁 (b)简支梁
C
1m
D
K
3m
Me=5kN· m B
1m
MA 50kN A E FAx FAy
0.5m
FCy' C FCx' D
3
M
q =20kN/m
C
0
Me=5kN· m
C FCx
M
C
0 20 10 3 2.5 5 10 FBy 5 0 FBy 29kN
第四章 弯曲内力
（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力： 解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。 约定： 分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力： 解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l
第四章 弯曲内力(土建)
qdx dFS
dFS q dx
28
q
A
x dx
C
B M FS C dx M + dM FS + dFS
1 FSdx q(dx) 2 M [M dM ] 0 2 dM FS 略去高阶微量得： dx
dFS d 2 M q 2 dx dx
29
M
0,
(1) 当q = 0 ，FS =常数， FS 图为水平直线； M 为一次函数，M 图为斜直线；
即可画出剪力图和弯矩图。
30
不同载荷q作用下剪力图和弯矩图的特征
31
突 变 规 律(从左向右画)
1、集中力作用处，FS图突变，方
向、大小与力同；M图斜率突 变，突变成的尖角与集中力F的 箭头是同向。
2、集中力偶作用处，M图发生
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
32
根据M、FS与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤 1. 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 2. 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布载荷 两端，支座处都应取作分段点； 3. 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由FS = 0 确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯 矩值；
的弯矩为正，反之为负。
12
FS ⊕
FS FS
－ ○
FS M
⊕
MM
－ ○
M
剪力正负的规定 内力通过平衡方程计算。 x A D FSD MD C
弯矩正负的规定
F M
y
0; FAy FSD 0,
FSD FAy
FAy
C
0; M D FAy x 0,
材料力学4弯曲内力
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
弯曲内力 课件
q
a2
及集中载荷点的规律确定。
分区点A ： Q qa; M qa2
M 的驻点： Q 0 ; M 3 qa2
2
x
右端点： Q 0; M 3 qa2
2
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
q AB
qa2
解：求支反力
RA
qa 2
;
RD
qa 2
RA qa Q qa/2
+
CD RD
x
C x
M
斜直线
曲线
Q2=P折角 自左向右突变
图
x
x
x
x
x 与 M2 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M1
增函数 降函数 凸状 凹状 折向与P反向 M1 M2 m
§4–4 剪力、弯矩与分布载荷集度的关系
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
qa
q
A
a
a
[例4] 用简易作图法画下列 各图示梁的内力图。
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座， 滚珠轴承等。
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
③固定端 3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳板支座，木 桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式
2
+
1
+
x
–
3
1m
2m
1m
5kN
1kN
M(kN·m)
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图 2.梁的计算简图
(3) 载荷简化 ②分布力 q — 均布力 均布力 q(x) — 分布力
③集中力偶、分布力偶 集中力偶、 M — 集中力偶 m — 分布力偶
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图 2.梁的计算简图
(4) 支座简化
A
① 固定铰支座 2个约束，1个自由度. 个约束， 个自由度. 如：桥梁下的固定支座，止 桥梁下的固定支座， 推滚珠轴承等. 推滚珠轴承等.
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际中的弯曲问题 §4–2 剪力和弯矩 §4–3 剪力图和弯矩图 剪力、 §4–4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系
第四章 弯曲内力
【本章学习目的】
1. 了解平面弯曲的概念 2. 能够列出剪力方程和弯矩方程 掌握剪力、 3. 掌握剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系 4. 熟练绘制剪力图和弯矩图
F FA = FB = 2
（2）列内力方程 ）
F FS1 = FA = 2 F M1 = FA x1 = x1 2
内力图对称中垂线. 内力图对称中垂线
( 0 < x1 < a ) ( 0 ≤ x1 ≤ a )
M max Fl = 4
FS max
F = 2
§4–3 剪力图和弯矩图 简支梁，受集中力偶M 作用，作内力图. 例4-5 简支梁，受集中力偶 e作用，作内力图 解： （1）求支座反力 ）
( 0 < x1 < a ) ( 0 ≤ x1 ≤ a ) ( 0 < x2 < b ) ( 0 ≤ x2 ≤ b )
Fa Fab = M max = l l
（3）根据方程作内力图 FS max ）
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
工程力学 材料力学 M4弯曲内力
二、梁的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为 了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算 简图。 1. 构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三 种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化
《材料力学》 第4章 弯曲内力 14
M(+) M(+) M(–)
《材料力学》 第4章 弯曲内力
M(–)
39
弯曲内力—剪力和弯矩
4.分别取截面左右为研究对象进行计算（验证）
l
a
A
F B A
a
YA
F
B
x
C
x
l
FB
M
YA
x
M
F
Q
F C
y
0 : YA Q 0 Q YA
M
FB
C
0 : M YA x 0 M YA x
第4章 弯曲内力
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
《材料力学》
第4章 弯曲内力
1
第4章 弯曲内力
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
《材料力学》 第4章 弯曲内力
例题：计算约束力 q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
0.5m
F F
x
0, 0,
A
FAx 0
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
第4章 材料力学—弯曲内力
第四章 弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩§4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例1．实例()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轧板机的轧辊镗刀刀杆火车轮轴桥式起重机大梁4321 2．弯曲变形作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。
3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4．对称弯曲：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧曲线向对称面内的一条平面弯曲变形后轴线成为纵对称面内所有外力都作用于纵向称轴的纵向对称面整个杆件有一个包含对横截面有一根对称轴4321§4.2 受弯杆件的简化根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。
计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧悬臂梁外伸梁简支梁梁的基本形式321:l 称为梁的跨度§4.3 剪力和弯矩（1）求反力：BA AB F F 00=∑M =∑M（2）求内力（截面法）一般来说截面上有剪力F S 和弯矩M （为平衡）001=--=∑s A y F F F F1F F F A S -=（a ）()0010=⋅--+=∑x F a x F M M A()a x F x F M--=（b ）（3）讨论一般说，在梁的截面上都有剪力F S 和弯矩M ，从式（a ）式（b ）可以看出，在数值上，剪力F S 等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y 轴）上投影的代数和；弯矩M 等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==左左ni i ni iS M M F F 11 同理，取截面右侧部分为研究对象：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==右右ni i ni iS M M F F 11 （4）剪力F S 和弯矩M 符号规定无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力F S 和弯矩M ，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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M(–)
“左顺右逆为正” 禁止按负方向画剪力和弯矩！！！ 左(右)指某段梁的左（右）截面！
M(–)
剪力和弯矩的正负规定： 剪力FS: 对保留部分有顺时针的矩为正；
弯矩M：使梁向下凸为正
>0 M M
<0
M
M
Rest
例：一外伸梁，求1-1、2-2截面的剪力和弯矩。
F1=3kN
A
F2=20kN M 1 2 1
中间铰
超静定梁——约束力不能由静力平衡方程完全
确定的梁。
阳台的挑梁：
F B
跳台跳板
MR
FRx
FRy
火车轮轴简化
吊车大梁简化简化成简支梁
1）吊车及重物的重量简化成集中载荷 2）梁的自重简化成均布载荷
§4.3
梁的内力：剪力与弯矩
已知：F，a，l。 求：距A端x处截面上内力。 m F 解：①求约束力 a Fx 0 , FAX 0 A B m x m 0 , F l Fa 0 A By l
例4.3 画均布载荷作用下悬臂梁的内力图 q FS Fi M Fi l i mi A 解：F q( l x ) l S x (0 x l )
B
M q( l x )( l x ) / 2 2 M q( l x ) / 2 (0 x l )
F (l a ) M x l
FAy
x
m
m
C
F (l a ) M FAy x x l
0,
M FAy x 0
F (l a ) Fa FAy FBy l l
1. 剪力： Fs
构件受弯时，横截面
上存在平行于截面的内力
（剪力）。
FAXA FAY x A Fs C M
Me FRB x D 2m B
FRA 6 6q 5 M e 0 FRA 5q M e / 6 15 0.5 14.5kN Fy 0 : FRA FRB 6q 0 FRB 6q FRA 18 14.5 3.5kN
Rest
ql FS qx (0 x l ) 2 2 ql qx M x 2 2 qx (l x ) 2 (0 x l )
例 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩 方程，并画出剪力图和弯矩图。 FS Fi q M Fi li mi
A FAy FS
FAx A
FAy FAx =0
F
B FBy
m
Fa FBy l
B
0 , FAy l F (l a) 0
F (l a ) FAy l
以后可省略不求
②求x截面的内力研究对象：m - m 截面的左段： Fy 0, F F 0 Ay s a m F Fs FAy F (l a)/l B FAXA FBy Fs：剪力 M：弯矩 Fs A 若取m - m 截面的右段研究： M C Fy 0, Fs F FBy 0 F FAy Fs F FBy F (l a )/l Fs M mC 0, C FBy FBy (l x) F (a x) M 0.
习题4.1（c）、（d）
Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow.借鉴昨天，活在今天，憧憬 明天。
Rest
C C
M M
C
Fs Fs
C
FS F4 F5 F6 F7 Fi
与 F 方向相反 S FS F1 F2 F3 Fi 的力取正号， 对于右边： FS F4 F5 F6 F7 0 反之取负号。
0 x a
Fa / l
M
Fab / l
+
M x ＝FRB (l x ) Fal x / l
FS x ＝ FRB Fa / l
x CB段
a x l
a x l
x 3.
画剪力图和弯矩图。
例4.4 图示外伸梁中，q = 3 kN/m， Me = 3kNm，画剪力图和弯矩图。 y FRA 解：1)求约束反力 q C MB 0 : 2m A 4m
FS
1
3m
2m
M 5 2 (q 2) 1 18kNm
F S 5 2q 13kN
例：一简支梁，求1-1截面上的剪力和弯矩。
MA= A 3qL/4 = FA L/2 L
FS Fi
M Fi l i mi
M 1 q
1 MB=
FS
1.5m B
1
FA 解：1）求约束力
2m
1m F1S
3m
3m
1.5m FB
2
B
FA=14kN(↑)，FB=9kN(↑)
例：一外伸梁，求1-1、2-2截面的剪力和弯矩。
F1=3kN
A 1 1
MF 2 2=20kN
2 2 B
1m FA 解：1）求约束力
2m
3m
F2S 3m
1.5m FB
FA=14kN(↑)，FB=9kN(↑)
B
M q( l x ) / 2 (0 x l )
x
x
M
ql2/2
Rest
例4.3 画均布载荷作用下悬臂梁的内力图 q FS Fi M Fi l i mi A 解：F q( l x ) l S l/2 (0 x l ) M q( l x )( l x ) / 2 FS ql + 2
例题 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作
用, 试建立梁的剪力方程与弯矩方程，并画剪力图
和弯矩图.
F
FS Fi M Fi li mi FS 解:
A
B
x
l
FS ( x ) F
(0 x l )
+ +
F
x x
M ( x ) Fx (0 x l ) M
Rest
例题 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作
用, 试建立梁的剪力方程与弯矩方程，并画剪力图
和弯矩图.
F
FS Fi M Fi li mi
A
M
x
B
FS
l
1.5m
解:
FS ( x ) F
(0 x l )
M ( x ) Fx (0 x l )
有集中力作用的截面：这个截面左右的剪力有 突变！（即：在这个截面剪力不是连续变化 的！）
F1
m1 m2 F2
F3
M B FS1.5m
M F1l1 F2 l2 m1
F1
m1 m2 M+ B F2
F3
FS+
1.5m
M F1l1 F2 l2 m1 M F1l1 F2 l2 m1 m2 突变的数值=集中力 M M m 2 偶的大小
B
M q( l x ) / 2 (0 x l )
x
x
M
ql2/2
ql2/8
Rest
例 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩 方程，并画出剪力图和弯矩图。 FS Fi q M Fi li mi
M
A FAy
x
FS
l
B FBy
FAy＝ FBy＝ ql/2
Rest
材料力学的研究对象：等截面直杆。
1）轴向拉压杆：称为拉杆或压杆；
2）剪切：连接件； 3）以扭转变形为主的杆件称为轴； 4）以弯曲变形为主的杆件称为梁。
Rest
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：
（梁的）纵向对称面：横截面上的对称轴组成
的平面。
对称弯曲(平面弯曲)
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 纵向对称面 •具有纵向对称面; •外力都作用在纵向对称面内;
x
ql 2
l
+
_
ql 2 / 8
M
+
ql FS qx (0 x l ) 2 2 + x M ql x qx ql 2 2 qx 2 (l x ) 2 x (0 x l )
B FBy
FAy＝ FBy＝ ql/2
例4.2
FS Fi
M Fi li mi
对于左边： F1 F2 F3 FS 0
C C
l1
C Fs
M
M
C Fs
l4
对左边 MC (Fi ) 0：F1l1 F2l2 F3l3 m1 m2 M 0 M F1l1 F2l2 F3l3 m1 m2 Fi li mi 对右边：M F4l4 F5l5 F6l6 F7 l7 m3 m4 与M的转向相反的力矩和力偶取正号，反之取负 号。
FS FA ql / 2 ql / 4 M FA l /22 (ql / 2)( l / 4) M A ql / 4
F1
m1 m2 F2
F3 B
MFS1.5m
F S F 1 F 2
F1
m1 m2 F2
F3 B
M+
FS+
1.5m
F S F 1 F 2 F S F 1 F 2 F 3 突变的数值=集中力 FS FS F 3 的大小
解：1．确定约束力 a F C A x x l F