高中数学必修5教学案第15课时：等比数列的前n项和(1)
高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案
高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案【一】教学目标熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。
教学重难点熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。
教学过程【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差(或公比)等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。
一、基础训练1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 ( )A、511B、512C、1023D、10242.若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为( )A、 B、C、 D、二、典型例题例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是(n-1)Ap……，第n期(即最后一期)的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少?评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。
存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。
计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。
用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期(存期+1)利率]例2：某人从1999到2002年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2003年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元?例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从2000年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%.(lg2=0.3)例4、.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数最多?并求这一天的新患者人数.高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案【二】整体设计教学分析本节是数列一章的最后内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用.等比数列的前n项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握、理解等比数列以及数列的知识有着很重要的作用.等比数列前n项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类比等能力的很好的一个工具.在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律).培养学生逻辑思维的习惯和代数运算技能.新大纲中对本知识有较高层次的要求，教学地位很重要，是教学全部学习任务中必须优先完成的任务.这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决.如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等许多方面均用到等比数列的知识，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜.掌握等比数列的基础知识，培养建模和解模能力是解决数列应用问题的基本途径.等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，an，q，n，Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练时要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.三维目标1.通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题.2.通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养.3.通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观.重点难点教学重点：等比数列前n项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题.教学难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(故事导入)国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法.国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩.高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢?数学家开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了.“好吧!”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求.国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢?”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧!”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天!我哪来这么多的麦子?”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋.假定千粒麦子的质量为40 g，那么，数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢?由此传说向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢?思路2.(问题导入)买24枚钉子，第一枚14分钱，第二枚12分钱，第三枚1分钱，以此类推，每一枚钉子的钱是前一枚的2倍，共要多少钱?请学生想一想，多数学生认为大概没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要4万2千元.事实上，这是等比数列的求和问题，即S=14+12+1+2+…+221=?那么怎样求等比数列的前n项和呢?在学生急于揭开谜底的强烈欲望下展开新课的探究.推进新课新知探究提出问题(1)回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?(2)对任意数列{an}，前n项和与通项an的关系是什么?(3)对首项为1的等比数列{an}，你能探究它的前n项和吗?(4)对任意等比数列{an}，怎样推导它的前n项和公式呢?你能联想到哪些推导思路?(5)对于思路1中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒?对于Sn=1+2+22+…+2n-1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢?活动：教师引导学生回忆前面学过的等差数列前n项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前n项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：an=a1，Sn-Sn-1，n=1，n≥2，还知道这个由数列Sn来确定an的方法适用于任何数列，且a1不一定满足由Sn-Sn-1=an求出的通项表达式.类比联想以上方法，怎样探究等比数列的前n项和呢?我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求S=1+2+…+263=?让学生充分观察这个式子的特点，发现每一项乘以2后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以2，再相减得和.通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前n项和可化为一个比较简单的形式，关键的问题是如何简化.再让学生探究首项为1的等比数列的前n项和，即1，q，q2，…，qn-1的前n项和.观察这个数列，由于各项指数不同，显然不能倒序相加减.但可发现一个规律，就是次数是依次增加的，教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其观察、思考、合作交流、自主探究.经过教师的点拨，学生的充分活动，学生会发现把两个Sn=1+q+q2+…+qn-1错一个位，两边再同乘以公比q，那么相同的指数就对齐了.这一发现是突破性的智慧发现，是石破惊天的发现.这样将Sn=1+q+q2+…+qn-1与qSn=q+q2+q3+…+qn两式相减就有(1-q)Sn=1-qn，以下只需讨论q的取值就可得到Sn了.在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记Sn=a1+a2+a3+…+an，那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.这里要提醒学生注意q的取值.如果q≠1，则有Sn=a1-anq1-q.上述过程我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q≠1，则有Sn=a11-qn1-q.上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1，q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四个;后者出现的是a1，q，Sn，n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.对于等比数列的一般情形，如果q=1会是什么样呢?学生很快会看出，若q=1，则原数列是常数列，它的前n项和等于它的任一项的n倍，即Sn=na1.由此我们得到等比数列{an}的前n项和的公式：Sn=na1，q=1，a11-qn1-q，q≠1或Sn=na1，q=1，a1-anq1-q，q≠1.教师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识，还能探究其他的方法吗?经过学生合作探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：根据等比数列的定义，我们有a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q，再由合比定理，则得a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an-1=q，即Sn-a1Sn-an=q，从而就有(1-q)Sn=a1-anq.当q=1时，Sn=na1，当q≠1时，Sn=a1-anq1-q.思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an，得Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an)，从而得(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)在思路二中，我们巧妙地利用了Sn-Sn-1=an这个关系式，教师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子.但要注意这里n≥2，也就是n的取值应使这个关系式有意义，若写Sn-1-Sn-2=an-1，则这里n≥3，以此类推.教师引导学生对比等差数列的前n项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识这个公式，以便正确灵活地运用它.(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量;(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件q≠1，当q=1时，应按常数列求和，即Sn=na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，常应分类讨论q=1与q≠1两种情况.讨论结果：(1)倒序相加法;(2)an=Sn-Sn-1(n≥2);(3)利用错位相减法;(4)利用an=Sn-Sn-1(n≥2);(5)乘以2的目的是为了错位相减，共有麦粒264-1(颗)，每千粒麦子按40 g计算，共约7 000亿吨.应用示例例1求下列等比数列的前8项的和：(1)12，14，18，…;(2)a1=27，a9=1243，q<0.活动：本例目的是让学生熟悉公式，第(1)小题是对等比数列的前n项和公式的直接应用;第(2)小题已知a1=27，n=8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q.题目中要求q<0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q既可为正数，又可为负数.本题中由条件可得q8=a9a1=1243×27，再由q<0可得q=-13.将所得的值代入公式就可以了.本例可由学生自己探究解答.解：(1)因为a1=12，q=12，所以当n=8时，S8=12[1-128]1-12=255256.(2)由a1=27，a9=1243，可得q8=a9a1=1243×27，又由q<0，可得q=-13，于是当n=8时，S8=271-1243×271--13=1 64081.点评：通过本例要让学生熟悉方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项公式与前n项和公式中共五个量：a1，an，q，n，Sn，五个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中a1，q为最基本的两个量.同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很烦琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质.例2(教材本节例2)活动：本例是等比数列求和公式的直接运用，引导学生结合方程思想，按算法的思路来解答.本例可由学生自己完成.点评：通过本例让学生明确，等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量：a1，q，an，n，Sn，已知其中3个量就可以求出另外的2个量.变式训练设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}前7项的和为( )A.63B.64C.127D.128答案：C解析：∵a5=a1q4，∴16=q4.又∵q>0，∴q=2.∴S7=a11-q71-q=127.例3(教材本节例3)活动：本例仍属等比数列求和公式的直接应用.虽然原数列不是等比数列，不能用公式求和，但可这样转化：9=10-1,99=100-1,999=1 000-1，…，这样就容易解决了.点评：让学生体会本例中的转化思想.变式训练求和：2+22+222+…+ .解：原式=29(10-1)+29(102-1)+…+29(10n-1)=29(10+102+…+10n-n)=29[101-10n1-10-n]=2081(10n-1)-29n.例4求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n-1)an-1的前n项的和.活动：教师引导学生观察数列特点，其形式是{an•bn}型数列，且{an}是等差数列，{bn}是等比数列.根据本节等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减法进行求和.教学时可让学生自己独立探究，教师适时地点拨，要注意学生规范书写.解：当a=1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n-1)，则Sn=n[1+2n-1]2=n2.当a≠1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1，①aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an，②①-②，得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an，(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)=1-(2n-1)an+2•a1-an-11-a=1-(2n-1)an+2a-an1-a.又1-a≠0，∴Sn=1-2n-1an1-a-2a-an1-a 2.点评：通过本例，让学生反思解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论.在应用错位相减时，写出的“Sn”与“qSn”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.变式训练等差数列{an}中，a2=8，S6=66.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{Cn}的通项为Cn=2n，求数列{anCn}的前n项和An.解：(1)由已知，得a1+d=8，a1+a662=66，解得a1=6，d=2.∴an=2n+4.(2)由题意，知anCn=(2n+4)•2n，∴An=6•21+8•22+10•23+…+(2n+4)•2n.①在上式中两边同乘以2，得2An=6•22+8•23+10•24+…+(2n+4)•2n+1.②①-②，得-An=6•21+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+4)•2n+1=4-(2n+2)•2n+1，∴An=(n+1)•2n+2-4.例5已知数列{an}中，a1，a2，a3，…，an，…构成一个新数列：a1，(a2-a1)，…，(an-an-1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)求数列{an}的前n项和Sn.活动：教师引导学生观察新数列的各项，不难发现这样一个事实：新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了 .解：(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+13+(13)2+…+(13)n-1=32[1-(13)n].(2)Sn=a1+a2+a3+…+an=32(1-13)+32[1-(13)2]+…+32[1-(13)n]=32{n-[13+(13)2+…+(13)n]}=32n-34[1-(13)n]=34(2n-1)+14(13)n-1.点评：本例思路新颖，方法独特，解完本例后教师引导学生反思本例解法，注意平时学习中培养思路的灵活性.知能训练1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3=1∶2，则S9∶S3等于( )A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.1∶32.在等比数列{an}中，(1)已知a2=18，a4=8，求a1与q;(2)已知a5-a1=15，a4-a2=6，求a3.答案：1.C 解析：∵S6∶S3=1∶2，由a11-q61-q+a11-q31-q=12，得q3=-12.∴S9S3=1-q91-q3=34.2.解：(1)由已知得a1q=18，a1q3=8.解这个方程组，得a1=27，q=23或a1=-27，q=-23.(2)根据题意，有a1q4-a1=15，a1q3-a1q=6.方程两边分别相除，得a1q4-a1a1q3-a1q=156.整理，得2q2-5q+2=0.解这个方程，得q=2或q=12.当q=2时，a1=1;当q=12时，a1=-16.所以a3=4或a3=-4.课堂小结1.由学生总结本节学习的内容：等比数列前n项和公式的推导，特别是在推导过程中，学到了错位相减法;在运用等比数列求和时，注意q的取值范围是很重要的一点，需要放在第一位来思考.2.等比数列求和公式有两种形式，在应用中应根据题目所给的条件灵活选用，注意从方程的角度来观察公式，并结合等比数列的通项公式共5个量，知三可求二，并注意解题中的化简技巧.作业课本习题2—3 B组2、3.[设计感想“探索是教学的生命线”，本教案设计体现以学生为本的思想.为了让学生较好掌握本课内容，本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学.通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活.本教案设计加强数学思想方法的训练.因为数列内容几乎渗透了中学数学所有的数学思想方法，而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等有着不可替代的作用.教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用.“问题是数学的心脏”，本教案设计注重了情境教学.通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得的成功.(设计者：张晓君)第2课时导入新课思路1.(情境导入)一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，假设可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金?如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金?如果复利和存款连续计算呢?银行复利计息的计算方法正是我们今天要探究的内容，由此展开新课.思路2.(习题导入)在等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则数列前15项的和S15为( )A.112B.312C.5D.15本题如果运用方程的思想，求数列{an}的首项a1和公比q之后再求S15，是一种常规思路，但运算量较大.可将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解.具体解法如下：解析：设b1=a1+a2+a3=8;b2=a4+a5+a6=-4;…;b5=a13+a 14+a15，则b1，b2，b3，b4，b5构成一个等比数列，其首项为8，公比为-12.故S15=S5′=b1+b2+b3+b4+b5=112.选A.由此展开本课的进一步探究.答案：A推进新课新知探究提出问题1回忆等比数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?需要注意什么问题?2比较等差、等比数列的前n项和公式，从推导方法到应用有什么不同?怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式?3利用等比数列求和的关键是什么?4你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗?5应用等比数列可解决哪些类型的实际问题?活动：教师引导学生回忆上节课所学的等比数列的求和公式，通过“错位相减”的思路方法很巧妙地将等式Sn=a1+a1q+…+a1qn-1的两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位;然后通过求Sn-qSn把相同项消去，达到简化的目的，最后解出Sn.这种求和方法具有普通性，教师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓，注意的问题是必须注意q是否等于1，如果不确定，就应分q=1与q≠1两种情况或更多的情况进行讨论.等比数列求和的关键与等差数列求和一样，在于数列通项公式的表达形式，由通项公式的形式特点确定相应的求和方法.为了达到求和时的简化运算，应充分利用等比数列的前n项和的性质.(1)若某数列的前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,1)，则{an}成等比数列.(2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列;若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇=q.应用等比数列可解决的实际问题有：产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题.解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题，要让学生明了数列的实际应用一直是全国各地市高考的热点、重点，考题的形式多种多样，难度为中、高档.等比数列求和问题作为数列的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想方法，教学时可与等差数列对比，归纳、总结.(1)求和问题可以利用等差、等比数列的前n项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数.(2)非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是：①设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解或错位相减来完成.②不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和.一般地，如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法;如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法;如果每项可写成两项之差一般可用拆项法;如果能求出通项，可用拆项分组法.(3)数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题诀窍.(4)通项公式中含有(-1)n的一类数列，在求Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论.讨论结果：(1)(2)(3)(5)略.(4)数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法，这也是高考常考的几种求和方法.例1某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台?(结果保留到个位)活动：教师引导学生探究，根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.本例的解答应先根据等比数列的前n项和公式列方程，再用对数的知识解方程.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5 000，q=1+10%=1.1，Sn=30 000.于是得到5 0001-1.1n1-1.1=30 000，整理，得1.1n=1.6，两边取对数，得nlg1.1=lg1.6，用计算器算得n=lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.点评：本例是一道关于等比数列模型的应用题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型.从实际背景的角度讲，本例的设计一方面是想让学生了解计算机日益普及，其销量越来越大;另一方面，对于一个商场来讲，为实现一定的商品销售目标而制订计划也是一件自然的事情.变式训练某市2003年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13?解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1=128，q=1.5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a7=a1•q6=128×1.56=1 458(辆).(2)记Sn=a1+a2+…+an，依据题意，得Sn10 000+Sn>13.于是Sn=1281-1.5n1-1.5>5 000(辆)，即1.5n>65732，则有n-lg65732lg1.5≈7.5，因此n≥8.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.例2(教材本节例4)活动：这是本单元教材安排的最后一道例题.教师引导学生写出每个月的产值，建立等比数列的数学模型，通过数量分析理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法.例3某教师购买安居工程集资房72 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为1年，等额付款.签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款1次等等，共付10次，10年后还清.如果按年利率7.5%，每年复利1次计算，那么每年应付多少元?(计算结果精确到百元.下列数据供参考：1.0752≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)活动：教师引导学生理清问题中的基本数量关系，建立等比数列的模型，然后按等比数列的知识就很容易解决了.本例由教师与学生共同探究完成.解：设每年应付款x元，那么到最后1次付款时付款金额的本利和为x(1+1.075+1.0752+1.0753+…+1.0759)元;购房余款10年后的本利和为[1 000×72-(28 800+14 400)]•1.07510=28 800×1.07510元，根据10年后还清，得x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=28 800×1.07510，∴x=28 800×1.07510×1.075-11.07510-1≈4 200(元)，即每年应付4 200元.点评：解决本例的关键是建立等比数列模型.分期付款以及新生利息之和，应等于购房个人分担部分10年后的本息和.变式训练。
等比数列的前n项和(1) 教案 北师大版必修5
§2.5等比数列的前n 项和(1)学习目标1. 掌握等比数列的前n 项和公式；2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题.（预习教材P 55 ~ P 56，找出疑惑之处）复习1：什么是数列前n 项和？等差数列的数列前n 项和公式是什么？复习2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .二、新课导学新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0，公式的推导方法一：则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩ ()q -∴1n s =当1q ≠时，n S = ① 或n S = ②当q =1时，n S = 公式的推导方法二：由等比数列的定义，32121n n a a a q a a a -==== ， 有231121n n n n na a a S a q a a a S a -+++-==+++- ，即 1nn n S a q S a -=-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）公式的推导方法三：n S =123n a a a a +++ ＝11231()n a q a a a a -++++ ＝11n a qS -+＝1()n n a q S a +-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上） 试试：求等比数列12，14，18，…的前8项的和. ※ 典型例题例1已知33a =，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?练1. 等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及练2. 一个球从100m 高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m ）三、总结提升※ 学习小结1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展1. 若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,a a aq q. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为33,,,a a aq aq q q. 3. 证明等比数列的方法有：（1）定义法：1n na q a +=；（2）中项法：112+-=n n n a a a4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式111(1)n n n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）. A. 11n a a -- B. 111n a a+-- C. 211n a a+-- D. 以上都不对 2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）.A. 30B. 60C. 80D. 1603. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30123302a a a a ⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅=（ ）.A. 102B. 202C. 1D. 6024. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ .课后作业1. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及2. 在等比数列{}n a 中，32,335261==+a a a a ，求6S .。
最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列的前n项和》教案(1)
《等比数列的前n项和》教案（1）
教学目标
1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
2．经历等比数列前n项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.
3．在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神．
教学重点难点
重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题．难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式．
教法与学法
教学方法：采用多媒体技术，体现直观性，激发学习兴趣、激活学生思维，在解决重、难点等方面起到辅助作用．
学习方法：指导学生学会“探究式发现法”的学习方法，从类比猜想中探索
研究从而找到问题的思路和方法．
教学过程
（一）创设情境导入新课
3
++
a q
n
-
a a q
二、作法总结，变式演练
三、思维拓展，课堂交流
2n a +．
数列的前
四、归纳小结，课堂延展
教学设计说明
1．教材地位分析
等比数列的前n项和为后面学习数列求和打下基础．本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点．本节课的教学任务主要是学生掌握求前n项和的方法，并理解其中蕴含的数学思想．
2．学生现实分析
（1）学生已经掌握了函数和数列的一些基础知识．比如等比数列的定义，通项公式及性质，并能够独立的解决一些简单的问题．了解等差数列的前n项和公式的推导方式．（2）学生在前面的学习当中已经具备了一些抽象思维能力，其学习模式知识结构，类比等差数列的情况学习等比数列有关知识．。
高中数学必修五教案-等比数列的前N项和
数列求通项教学设计一、目标分析1.知识目标 使学生掌握等差、等比数列求通项的公式法，特殊数列求通项的累加、累乘法，一般数列已知前n 项和求通项的做法和构造新数列的一般方法。
2.能力目标 培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过累加、累乘及构造等比数列的方法探究，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力等．3.情感目标 通过教师引导学生经历直观感知、操作确认等交流探索活动,激发学生的学习兴趣,使学生经历数学思维的过程,获得成功的体验. 二、教学重点、难点重点 等差等比数列公式的灵活运用，累加、累乘法的选择，已知nS 求通项的几种形式及新数列的构造方法。
难点 累加法、累乘法的运用，新数列的构造和运用。
三、教学模式与教法、学法 采用问题启发、讲练结合、归纳总结相结合的教学方法，让学生掌握并灵活应用数列求通项的几种常用方法。
教师的教法 讲练结合及时总结反馈.学生的学法 积极主动交流，合作交流展示。
四、教具：投影仪、多媒体课件、白板。
五、教学基本流（一）成果展示 （二）课标展示 （三）合作探究 （四）典例探究 （五）小结反思 六、教学过程七、板书设计：八、教学反思：后附学案设计 课题：数列求通项 【课标展示】教学目标：掌握数列求通项的六种常用方法：观察法、公式法、已知S n 求a n 、累加法、累乘法、构造等比数列的方法。
重难点：已知S n 求a n 、累加法、构造等比数列的方法。
【知识梳理】1．等差数列的通项公式：1 ; .n n m a a a a =+=+等差数列的性质：在等差数列{an}中，若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N*)，则——————.2．等比数列的通项公式：1 ; .n n m a a a a =⋅=⋅等比数列的性质： 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝ ． 3．a n 与S n 的关系：11 ;2 .n n a n a ==≥=当时，当时， 【学情检测】（1）.归纳数列1，-3，5，-7，9，……的通项公式________________________. （2）．已知数列{}n a 中，117,2n n a a a +=-=+，则11a = ． （3）．已知{}n a 是等差数列，且39524,8a a a a +==-，则该数列的公差d= ． （4）．在等比数列{a n }中，a 2＝4，a 5＝－12，则q= ；a n = ．（5）．在递增等比数列中，a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20.求a 11=___________________. （6）．已知数列{}n a 满足112,2n n a a a n +==+，则5a = ． （7）. 已知数列{}n a 满足1,111=-=-a nn a a n n ,则5a = ． 思考：对于上面的第6，7题，如果要求的是第n 项，应该如何处理？ 方法总结：1.观察归纳法：_________.2.公式法： ____________. 3.累加法：______________4.累乘法：_____________.[课后反馈]1．已知一个等差数列的前几项为：-1，3，7，11，则第n 项为 ． 2．在等比数列}{n a 中，已知972,494==a a ，则n a = ．3．已知数列 ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式： ． 4．已知数列}{n a 前项和1322++-=n n S n ，则=n a _____________．5．已知数列}{n a 前项和22+=n n a S ，则=n a _____________．。
高中数学必修五《等比数列的前n项和》优秀教学设计
课题：等比数列的前n 项和（第一课时）一、教学目标：1.知识与技能:掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。
通过对公式的推导、渗透分类讨论思想以及等价转化思想。
2过程与方法：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想。
3.情感、态度与价值观：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
二、教学重点与难点:教学重点：等比数列前n 项和公式的推导与简单应用。
教学难点：等比数列前n 项和公式的推导。
三、教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。
教学过程：一．复习旧知，铺垫新知：等比数列定义及通项公式说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以，从而为“错位相减法”求等比数列前和埋下伏笔。
二．创设情境，导入新课：1、问题情境，引出课题：阅读:有个农民急需一笔钱买地投资,于是到富人那里去借钱，原以为会遭到拒绝，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在六年里，富人每年借给穷人10万元，与此同时，农民也必须边还钱，只是第一年还1万元，第二年还2万元，以后每年所还的钱数都是上一年的2倍，六年后互不相欠。
农民听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。
请在座的同学思考一下,帮农民出个主意。
引导学生得出：借钱总额：10*6=60万还钱总额：5432222221+++++问题1：如果用以前学过的方法，则是对它们进行相加，结果为63万，明显亏了3万，因此不能签合同。
问题2： 5432222221+++++是个什么数列？ 有何特征？应归结为什么数学问题呢？ （学生知道是等比数列项前项和的问题）2、师生互动，新课探究：问题1：有没有其他方法求和：5432222221+++++注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，做必要启发：1）等式右边各项有什么特点？（等比数列前63项和）2）公比是多少？即：从第二项起每一项比前一项多乘以 2. 3）因此，如果两边……（语速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等式两边同乘以公比2） 从而有： =6S 5432222221+++++2=6S 65432222222+++++（注意：有意写成错位的形式，便于学生观察找方法）师：如何求6S ？（此处给学生充分的观察思考的时间，不忙给出结论，让他们自己得出求解的方法：作差） 注：①学生解出6S 。
新课程高中数学必修五教案《等比数列的前n项和(一)》
第二章 数列2.5等比数列的前n 项和（第一课时）【创设情景 引入新知】传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰他的功绩，准备进行奖赏．问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.”这是一个什么数学问题？国王能满足他的要求吗？由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：236312222,,,,,.这是一个以1为首项， 2为公比的等比数列，麦粒的总数为:要想知道国王能否满足发明者的要求，需要计算出麦粒总数.那么如何求这个等比数列的前64项的和呢？这就是这节课要学习的内容.【探索问题 形成概念】一般地，对于等比数列123,,,na a a a 它的前n 项和是=n S n a a a a +++321陛下国库里的麦子不够啊！陛下，赏小 人一些麦粒就可以。
你想得到什么样的 赏赐？根据11n n a a q -=，可将上式写成22111111①n n n S a a q a q a q a q --=++++用公比乘①的两边，可得23111111②n nn qS a q a q a q a q a q -=++++①与②相减，得111()n n q S a a q -=-∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1因为 11n n a a q -=，所以上面的公式还可以写为111()n n a a qS q q-=≠-当1q =时，12na a a ===，则1.n S n a=综上，等比数列的前n 项和公式为1111 (1) (1) (1)(1) (1)11或n n n n na q na q S S a a q a q q q qq ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩现在回到引言中的问题，用上述公式计算国王承诺奖赏的麦粒数626364124822S =++++++6464191(12)21 1.841012-==-≈⨯-，千粒麦子重约40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1710g ，约合7360多亿吨． 根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才当q=1时，等比数列的前n 项和s n 等于多少？能生产这么多小麦，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有五个量1,,,,n n a q n a S ，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量（“知三求二”）。
高中数学必修5《等比数列的前n项和》教学设计(第一课时)
《等比数列的前n项和（第一课时）》教学设计
10a +，但是不知道如何下手；）知道利用等比数列的前n 项和公式求10a +，但是把项数弄错了教师点拨：
解法一：把5610a a a ++看做首项为的等比数列的前6项和；
解法二：1010a a a S +++=
《等比数列的前n项和（第一课时）》教学点评
《等比数列的前n项和》是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学5（必修）中的第2章的2.5节内容，教学课时为2课时，本节课为第1课时，教学对象是高二年级的学生，这个阶段的学生已经具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，思维特点是活跃、敏捷，但缺乏冷静、深刻，不够严谨.
这节课授课教师采用了研究学习和问题解决策略，即“以境激情——研探论证——反馈矫正——应用评价”四个阶段设计教学.其中，以境激情是浅层次要求，使学生对本节课的主题有概括印象；研探论证为中层次要求，由浅入深通过层层设问引导学生推导等比数列的前n项和公式，突破难点，同时在推导公式的过程中，培养了学生严谨的思维品质；重点在反馈矫正阶段通过三道训练题从不同角度培养学生的知识应用能力，使学生领悟类比、分类讨论和方程等数学思想；课后开放式作业，促进了学生思维创新.
该教师在这四步教学中，以学生的分组讨论和自主探究为主辅之以启发性强的问题诱导点拨，运用完整直观的板书和计算机等教辅用具，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路.
总之，这节课真实自然，体现了学生探索、练习、掌握和反思的过程.教师设计教学活动的思路清晰，例题和练习具有典型性，点评学生课堂练习时能够充分发现学生问题，具有很强的驾驭课堂的能力，与学生一起完成了教学目标.。
高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案
高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案一、教学目标：1.了解等比数列的概念及特点；2.能够应用等比数列的通项公式和前n项和公式求解实际问题。
二、教学重点：1.掌握等比数列的基本概念、公式和特点；2.能够灵活应用等比数列的通项公式和前n项和公式求解实际问题。
三、教学难点：1.掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，并能够准确运用；2.解决实际问题时，要能正确地建立等比数列模型。
四、教学方法：1.讲授法：通过讲解，让学生掌握等比数列的基本概念、公式和特点；2.练习法：通过多种类型的例题让学生掌握等比数列的解题方法；3.探究法：通过引导学生探究等比数列的通项公式和前n项和公式的推导过程，提高学生的自主学习和创新思维能力。
五、教学过程：1.引入新知识（1）老师出示一组数据：1，2，4，8，16，……让学生观察、思考。
（2）引导学生从数据中找出规律，并提问：这组数据有什么特点？如何表示这组数据？（3）引入等比数列的概念，并结合学生前面学习的等差数列，让学生比较两者的区别和联系。
2.掌握等比数列的基本概念、公式和特点（1）教师讲解等比数列的基本概念、公式和特点，并通过例题来加深学生的理解。
（2）让学生通过练习掌握等比数列的解题方法及技巧。
3.探究等比数列的通项公式和前n项和公式（1）教师引导学生进行探究，推导出等比数列的通项公式和前n项和公式。
（2）通过多种实例讲解如何应用通项公式和前n项和公式来解决实际问题。
4.巩固与拓展（1）让学生自学本节课所学内容，总结一下等比数列的相关知识点；（2）通过课堂练习、考试等方式进行巩固和拓展。
高中数学 等比数列的前n项和(第1课时)教案 新人教版必修5
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 等比数列的前n 项和（第1课时）教案 新人教版必修5教学目标：1.了解等比数列前n 项和公式及其获取思路，会用等比数列的前n 项和公式解决简单的与前n 项和有关的问题．2.提高学生的推理能力，培养学生应用意识．教学重点：等比数列前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：应用等差数列前n 项和公式解决一些简单的有关问题．教学过程：一． 材料1：数学小故事：国际象棋起源于印度。
棋盘上共有8行8列构成64个格子。
传说国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在棋盘的第2个格子里放上2颗麦粒，在棋盘的第3个格子里放上4颗麦粒，在棋盘的第4个格子里放上8颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。
请给我足够的粮食来实现上述要求。
”问题1：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是：1，2，4，8，…，263问题2：这是什么数列？等比数列问题3：那麦粒总数是多少呢？1+2+4+…+262+263。
即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，前64项和可表示为： 626364124822S =++++⋯++， ①材料2：就在国王犹豫是否要答应发明者的要求时，站在一旁一位将告老还乡的大臣听后不满地说：“我跟陛下这么多年战功卓著，请求陛下同样赏赐给我麦子，在棋盘的第一格子里放上2颗麦粒，在第2个格子里放上4颗麦粒，在第3个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止。
”问题4：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是：2，4，8，16，…，264问题5：这是什么数列？等比数列问题6：那麦粒总数是多少呢？2+4+4+…+263+264。
数学教学案必修5第15课时等比数列的前N项和1苏教版
总 课 题 等比数列总课时 第15课时 分 课 题 等比数列的前n 项和（一）分课时 第 3 课时教学目标知道等比数列前n 项和公式的推导过程，理解前n 项和公式的含义，并会用公式进行有关计算．重点难点 等比数列前n 项和公式以及公式的推导方法 引入新课1．推导公式：（1）研究633222221+++++Λ的计算；（2）研究112111-++++n q a q a q a a Λ的计算，从而导出等比数列的前n 项和公式．2．公式及有关说明：（1）推导公式的方法； （2）使用公式的注意点．3．练习：在等比数列{}n a 中，（1）====n S n q a ，，，6231_____；（2）==-=-=n S n q a ，，，53111_____； （3）==-=101214S q a ，，_____； （4）====n n S a q a ，，，212181_____； （5）===-=n S n q a ，，，10181_____；（6）====k k S q a a ，，，324311____；（7）====n S n a a ，，．，．400096012041_____． 例题剖析在等比数列{}n a 中，2632763==S S ，，求n a ．求数列ΛΛ，，，，，n n 21813412211+ + + +的前n 项和．例1 例2求等比数列32，94，278，…的第3项到第10项的和．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，求证：582a a a ，，成等差数列．巩固练习1．某厂去年的产值记为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长%10，则从今年 起到第五年，这个厂的总产值为 ． 2．求下列等比数列的各项和： （1）1，3，9，…，2187（2）51218141211-- - ，，，，，Λ． 3．求和：∑=+101)23(k k．课堂小结等比数列前n 项和公式以及公式的推导方法．例3 例4课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．在等比数列{}n a 中，42231==S a ，，则公比=q ．2．等比数列{}n a 的公比为整数，且12183241=+=+a a a a ，，则前8项和为 ． 3．在等比数列{}n a 中，6284==S S ，，则=+++20191817a a a a ． 4．等比数列的首项为2，公比为1-，则它的前99项和为____________． 5．等比数列{}n a 中，151==q a ，，则=100S ．6．等比数列{}n a 中，（1）已知965171-=-=a a ，．，求q 和n S ； （2）831215-==S q ，，求1a 和n a ；（3）已知26231==S a ，，求q 和n a ； （4）已知292333==S a ，，求1a 和q ．二 提高题7．在等比数列{}n a 中，已知12612866121===+-n n n S a a a a ，，，求q n ，三 能力题8．设等比数列的首项为)0(> a a ，公比为)0(> q q ，前n 项和为80，其中最大的一项为54，又它的前n 2项和为6560，求a 和q 值．。
北师大版高中数学必修五教学案等比数列的前n项和
2.等比数列中，已知Байду номын сангаас
三巩固练习
1.数列1， ， ， ，…， ，…的前n项和为（）.
A. B.
C. D.以上都不对
2.等比数列中，已知 ， ，则 （）.
A. 30 B. 60 C. 80 D. 160
3.设 是由正数组成的等比数列，公比为2，且 ，那么 （）.
A. B. C. 1 D.
4.等比数列的各项都是正数，若 ，则它的前5项和为.
5.等比数列的前n项和 ，则a＝.
6．在等比数列 中， ，求 .
四课后反思
五课后巩固练习
1等比数列 中， ， ，求 .
2.设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和
教学过程
一自主学习
1则
当 时， ①
或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
由等比数列的定义， ，
有 ，即 .
2、求等比数列 ， ， ，…的前8项的和
二师生互动
例1已知a1=27，a9= ，q<0，求这个等比数列前5项的和.
变式： ， .求此等比数列的前5项和.
例2等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是 ， ， ，求证： ， ， 也成等比.
教案、学案用纸
年级高二
学科数学
课题
等比数列的前n项和
授课时间
撰写人
学习重点
等比数列的前n项和公式
学习难点
能用等比数列的前n项和公式解决实际问题
学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式；
2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
3、探索并掌握等比数列的前n项和的公式；结合等比数列的通项公式研究等比数列的各量；在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，能用有关知识解决相应问题。
高中数学必修五《等比数列的前n项和》优秀教学设计
§2.5等比数列的前n 项和（第一课时）一、教学目标1、知识与技能掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.2、过程与方法经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.3、情感态度与价值观在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神.二、教学重、难点重点:等比数列的前n 项和公式推导.难点:灵活应用公式解决有关问题.三、教学过程（一）课题导入[创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”.（二）讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式.等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q,n a 时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n nn q a a a a a a S得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---nn n n n n q a q a q a q a q a qS qa q a q a q a a S 1113121111212111 .nn q a a S q 11)1(-=-∴论同上）∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q qa a S n n--=11 ②当q=1时，1na S n =公式的推导方法二： 有等比数列的定义，qa a a a a a n n ====-12312根据等比的性质，有qa S a Sa a a a a a n n n n n =--=++++++-112132即 qa S a S n n n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(.围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题.由11,2,64a q n ===可得1(1)1n n a q S q -=-=641(12)12⨯--=6421-.6421-这个数很大，超过了191.8410⨯.国王不能实现他的诺言.（三）例题讲解例1．求下列等比数列的各项的和： （1）11111,,,,24816； （2）127,9,3,,.243-.选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式．答案：（1）3116；（2）4921.243.例2．已知公比为12的等比数列的前5项和为318，求这个数列的1a 及5.a选题目的：逆向应用公式．答案：12a =，51.8a =. 例3．已知等比数列11,,1,93，求使得n S 大于100的最小的n 的值. 选题目的：综合应用公式．答案：使得n S 大于100的最小的n 的值为7.例4．设数列{}n a 的前n 项和为3n n S a =+．当常数a 满足什么条件时，{}n a 才是等比数列？ 选题目的：沟通n a 与n S 的关系，灵活应用公式．答案：1a =-.（四）反思总结，当堂检测：课本66页练习.教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测.（五）课后小结等比数列求和公式：当q=1时，1na S n = 当1≠q 时，q qa a S n n --=11 或q q a S n n --=1)1(1.四、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。
最新北师大版高中数学必修五等比数列的前n项和(一)教案(精品教学设计)
等比数列的前n项和（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；⑵探索并掌握等比数列前n项和公式；⑶用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；⑷体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想。
2、过程与方法：⑴采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；⑵发挥学生的主体作用，作好探究性活动。
3、情感态度与价值观：⑴通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；⑵在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；⑶通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。
二、教学重点1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前n项和公式的应用。
教学难点等比数列前n项和公式的推导。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言.师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算.生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263=?师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+2 63=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.（二）推进新课［合作探究］师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+q n=？师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生观察、独立思考、合作交流、自主探究.师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？生q+q2+…+q n+q n+1.生每一项就成了它后面相邻的一项.师对上面的问题的解决有什么帮助吗？师 生共同探索：如果记S n =1+q+q 2+…+q n ,那么qS n =q+q 2+…+q n +q n+1. 要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n . 师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值. 生 如果q ≠1，则有q q S n --=11.师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果. 生 如果q ＝1，那么S n =n.师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a 1+a 2+a 3+…+a n =？ ［教师精讲］师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n q,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n q.师 再次提醒学生注意q 的取值.如果q ≠1，则有qq a a S n n --=11.师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1,那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n ,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n .如果q ≠1，则有q q a S n n --=1)1(1.师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q ≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q ≠1时，我们才能用上述公式. 师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？生 独立思考、合作交流.生 如果q ＝1，S n =na 1.师 完全正确.如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍.师 对了，这就是认清了问题的本质.师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再由合比定理，则得q a a a a a a a a n n =++++++++-1321432......,即q a S a S n n n =--1,从而就有(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略) 思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n-1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n-1)=a 1+q(S n -a n ),从而得(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)师 探究中我们们应该发现，S n -S n-1=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？生 n ＞1. 师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n-1=a n ，n ＞1.师 综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n ［例题剖析］【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…；(2)a 1=27,a 9=2431,q ＜0.［合作探究］师生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可.由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了.生 写出解答：(1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，256255211)21(1[2188=--=S .(2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q ，又由q ＜0，可得31-=q ,于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S .【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题.生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S n =30 000.于是得到300001.11)1.11(5000=--n , 整理得1.1n =1.6,两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.（三）、练习：教材练习第1、2、3题.（四）、课堂小结：本节学习了如下内容： 1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”. 2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.（五）、布置作业课本习题1-3 B 组2、3五、教学反思：。
高中数学数学必修5《等比数列的前n项和公式》教学设计
《等比数列的前n项和》教学设计（第一课时）普通高中课程标准实验教科书数学必修5一、教学目标1．知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和公式及应用。
这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求．2．能力目标：培养学生观察问题、思考问题能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力，提高学生运算求解、数据处理的能力。
3．情感目标：通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。
．二、教学重点、难点分析教学重点：等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。
从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。
教学难点：等比数列前n项和公式推导方法的理解。
从学生认知发展水平看，探究能力和用数学语言交流的能力有待提高。
从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可比性低，无法进行类比推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的，何况错位相减法是初次接触，对学生来说是很新鲜的，因此，教师在发挥学生主体性前提下要给予适当的提示和指导。
三、教学方法数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现学生的主动地位，遵循学生的认知规律，教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、公式应用阶段。
探索与发现公式推导的方法是本节课的教学难点。
如果直接介绍“错位相减法”求和，对于学生无疑就魔术师手中的魔术一般神奇。
所以在教学中采用“启发――探究”的教学模式以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得推导公式的方法。
人教A版高中数学必修五等比数列的前n项和教案第一课时(1)
课 题：等比数列的前n 项和第一课时教学目的：1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题教学重点：等比数列的前n 项和公式推导教学难点：灵活应用公式解决有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前两节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， 1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;二、讲授新课一:求和公式:{}1.,,.n n G P a a q n S 的首项为公比为前项和12n a a a =+++n 则S11n n a a q -=又 211111(1)n n S a a q a q a q -∴=++++ 在(1)式的两边同时乘以q 得: 211111(2)n n n qS a q a q a q a q -=++++ 将上面两式相减,即(1)-(2)得:11(1)n n q S a a q -=- 接下来对q 进行分类讨论()11,q =当时1111n S a a a na =+++= ()21,q ≠当时()11111n n n a q a a q S q q--==-- 1(1)1n n na S q q ⎧⎪∴=-⎨≠⎪-⎩1 q=1a q 1 另外：1q ≠当时,111111111nn n n a a q S qa a q A Aq q qa A q-=--⋅=+--=- =其中 三、例题讲解:例1:求等比数列111,,,248的前8项和. 111::,22a q ==解由题知 881111255221125625612S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=-例2:已知等比数列{}n a 中, 23n n S a =⋅+，求首项1a 。
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1．推导公式：
（1）研究63
3
2
22221+++++ 的计算；
（2）研究112111-++++n q a q a q a a 的计算，从而导出等比数列的前n 项和公式．
2．公式及有关说明：
（1）推导公式的方法； （2）使用公式的注意点．
3．练习：在等比数列{}n a 中，
（1）====n S n q a ，，，6231_____；（2）==-=-=n S n q a ，，，53
1
11_____； （3）==
-=101214S q a ，，_____； （4）====n n S a q a ，，，2
1
2181_____； （5）===-=n S n q a ，，，10181_____；（6）====k k S q a a ，，，324311____； （7）====n S n a a ，，．，．400096012041_____．
例题剖析
在等比数列{}n a 中，2
632763==S S ，，求n a ．
求数列 ，，，，，n n 2
1
813412211+ + + +的前n 项和．
例1 例2 学习感悟
求等比数列
32，94，27
8，…的第3项到第10项的和．
设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，
求证：582a a a ，，成等差数列．
巩固练习
1．某厂去年的产值记为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长%10，则从今年 起到第五年，这个厂的总产值为 ． 2．求下列等比数列的各项和： （1）1，3，9，…，2187
（2）512
1
814121
1
- - - ，，，，， ． 3．求和：∑=+10
1
)2
3(k k
．
课堂小结
等比数列前n 项和公式以及公式的推导方法．
例3 例4 学习感悟
课后训练
班级：高一（ ）班 姓名：____________
一 基础题
1．在等比数列{}n a 中，42231==S a ，，则公比=q ．
2．等比数列{}n a 的公比为整数，且12183241=+=+a a a a ，，则前8项和为 ． 3．在等比数列{}n a 中，6284==S S ，，则=+++20191817a a a a ． 4．等比数列的首项为2，公比为1-，则它的前99项和为____________． 5．等比数列{}n a 中，151==q a ，，则=100S ．
6．等比数列{}n a 中，
（1）已知965171-=-=a a ，．，求q 和n S ； （2）8
31
215-==
S q ，，求1a 和n a ；
（3）已知26231==S a ，，求q 和n a ； （4）已知2
9
2333==S a ，，求1a 和q ．
学习感悟
二 提高题
7．在等比数列{}n a 中，已知12612866121===+-n n n S a a a a ，，，求q n ，
三 能力题
8．设等比数列的首项为)0(> a a ，公比为)0(> q q ，前n 项和为80，其中最大的一项
为54，又它的前n 2项和为6560，求a 和q 值．
学习感悟。