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高三数学单元练习题：复数

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高考数学复数习题及答案 百度文库

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一、复数选择题1．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97-B ．7C ．97D ．7-3．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（ ） A ．1B ．0C ．－1D ．1＋i4．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（ ）A ．6BC ．5D 6．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．57．设()2211z i i=+++，则||z =（ ）A B ．1C ．2D8．若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若复数z 满足()322iz i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i10．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2 D ．511．若复数()41i 34iz +=+，则z =（ ）A ．45B ．35C ．25D ．512．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2 C ．10D13．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ） A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π 14．若()()324z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i -+二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 18．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =19．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =20．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =21．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点22．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 24．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=26．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 27．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数28．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z29．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B 解析：B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B2．B 【分析】先求出，再解不等式组即得解. 【详解】 依题意，，因为复数为纯虚数， 故，解得. 故选：B 【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B 【分析】 先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解.【详解】 依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+，因为复数z 为纯虚数， 故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =.故选：B 【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.3．C 【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可 【详解】 由题意可知＝， 故选C解析：C 【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可 【详解】由题意可知i e π＝cos sin 101i ππ+=-+=-， 故选C4．D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得，所以复数z 在复平面上所对应的点为，在第四象限， 故选：D.解析：D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D.5．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】，，所以，，故选：C.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】2z i=-，(12)(2)(12)43z i i i i∴⋅+=-+=+，所以，5z=，故选：C.6．D【分析】求出复数，然后由乘法法则计算．【详解】由题意，．故选：D．解析：D【分析】求出复数z，然后由乘法法则计算z z⋅．【详解】由题意12122iz ii i-==-+=--，22(2)(2)(2)5z z i i i⋅=---+=--=．故选：D．7．D【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D．本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ． 【详解】因为()()()()2221211*********i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．8．B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】 ，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限 故选：B解析：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】()()12i 1i 12i 33i 33i111i 2222z +++-+=-=-==-+-，所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限 故选：B9．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为，解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+，其虚部为35， 故选：A.10．B 【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可. 【详解】 ， .故选：B ．解析：B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i i i z i i i ++===-，∴z ==故选：B ．11．A 【分析】首先化简复数，再计算求模. 【详解】 ， . 故选：A解析：A 【分析】首先化简复数z ，再计算求模.()()()2242112434343434i i i z i i i i⎡⎤++⎣⎦====-++++ ()()()()43443412163434252525i i i i i --=-=-=-++-，45z ∴==.故选：A12．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 所以， 故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.13．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cossin )332Z i O OZ ππ=+=2111()222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.14．D 【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】 ，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D ．解析：D 【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限． 故选：D ．15．D 【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.【详解】设，则复数对应的向量，因为向量与共线，所以，又，所以，解得或，因为复数对应的点在第三象限，所以，所以，，解析：D【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，则复数z 对应的向量(),OZ a b =，因为向量OZ 与(3,4)a =共线，所以43a b =， 又10z =，所以22100+=a b ，解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+，故选：D二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】 本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 19．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.20．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】122z =-+，221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.21．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.22．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.23．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.24．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当zi 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 25．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 26．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.27．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.28．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.29．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。

高三数学复数概念和向量表示试题

高三数学复数概念和向量表示试题

高三数学复数概念和向量表示试题1.对任意复数、，定义，其中是的共轭复数.对任意复数、、，有如下四个命题：①；②；③；④.则真命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于命题①，，命题①正确；对于命题②，，命题②正确；对于命题③，左边，右边，左边右边，命题③错误；对于命题④，取，，则，，命题④错误.故选B.【考点】本题考查复数中的新定义运算，考查复数的概念，属于中等偏难题.2.若，则 .【答案】2【解析】由题意知：，所以由复数相等的定义知.【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.3.复平面内表示复数的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为复数，它在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A.【考点】1、复数的运算；2、复平面.4.已知复数z满足(1＋i)z＝3＋i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】解法一：由(1＋i)z＝3＋i可得z＝＝＝＝2－i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(2，－1)，显然该点在第四象限，故选D.解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入方程得(1＋i)(a＋bi) ＝3＋i，即(a－b)＋(a＋b)i＝3＋i，根据复数相等的充要条件可得，，解得，故复数z在复平面内对应的点的坐标为(2，－1)，显然该点在第四象限，故选D.5.已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】则，，选.【考点】复数的概念.6.已知复数（是虚数单位），则的虚部是．【答案】-2【解析】，所以z的虚部为-2.【考点】复数概念7.若复数z =（为虚数单位），则 | z | = ．【答案】【解析】．【考点】复数的模．8.已知是实数，是纯虚数，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】是纯虚数，则；，选A【考点】复数除法纯虚数9.如图所示，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0、3＋2i、－2＋4i，试求：(1)、所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数．【答案】（1）－3－2i.，－3－2i（2）5－2i（3）1＋6i.【解析】[审题视点]结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i.因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)＝＋＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.10.复数(3+4i)i(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由于(3+4i)i=-4+3i,因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(-4,3),相对应的点位于第二象限,故选B.11.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【思路点拨】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.解:z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】选A.z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.12.复数的虚部是（）A．B．i C．1D．i【答案】C【解析】，故它的虚部为．【考点】复数的运算．13.已知是实数，是纯虚数，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】是纯虚数解得.【考点】复数的分类.当时Z为纯虚数.14.已知复数z满足z（1+i）=i，则复数z为（）A．B．C．1+I D．1-i【答案】A【解析】依题意，由.【考点】复数的概念与运算15.如果复数为纯虚数，那么实数的值为【答案】-2【解析】因为，复数为纯虚数，所以，，解得，.【考点】复数的概念16.若复数满足，则复数的实部是 .【答案】1【解析】，，故复数的实部是.【考点】复数的概念与四则运算17.复数（是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将复数化成 ,形式,为虚部.所以复数的虚部为 .【考点】复数的概念及运算.18.复数（是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】将复数化成 ,形式,为虚部.所以复数的虚部为 .【考点】复数的概念及运算.19.已知是虚数单位，复数（其中）是纯虚数，则( )A．－2B．2C．D．【答案】 B【解析】因为复数为纯虚数，所以且，故,选B.【考点】复数的概念.20.设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】复数分母实数化，然后求出复数的共轭复数即可。

高三数学复数试题

高三数学复数试题

高三数学复数试题1.复数的共轭复数等于（）【答案】C【解析】依题意可得.故选C.【考点】复数的运算.2.已知复数，则的共轭复数是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵＝＝，∴，故选A．【考点】1、复数的运算；2、共轭复数．3.设z=1–i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是A．1B．－1C．i D．－i【答案】A【解析】根据复数的四则运算可得：＋i2= i,∴虚部是1.【考点】复数的概念与四则运算.4.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.【答案】-1-(-1)i【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.5.若a＋bi＝ (i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝()A．－2B．－1C．1D．2【答案】A【解析】因为a＋bi＝＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－26.若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】设,,,复数的坐标，故选D.【考点】复数运算与几何意义7.已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】【解析】，其实部为－1，虚部为0.选D.【考点】复数的基本运算及概念.8.复数的虚部为 ( )A．2B．C．D．【答案】B【解析】由复数的定义知其虚部为，选B.【考点】1.复数的定义；2.复数的计算.9.复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，虚部为-1.【考点】复数的概念和运算.10.已知复数（其中是虚数单位），则_________.【答案】.【解析】.【考点】复数的四则运算11.关于复数，下列说法中正确的是（）A．在复平面内复数对应的点在第一象限B．复数的共轭复数C．若复数为纯虚数，则D．设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上【答案】C【解析】由题可知，对应的点为（-1,1）为第二象限，故A错；，故B错；若为纯虚数，则，故选C；为（-1,1），在半径为的圆上，故D 错.【考点】复数的运算与性质12.=（）A．-8B．8C．D．【答案】A【解析】.故选A.【考点】复数运算13.复数的模为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B【考点】本题考查复数的运算。

广东省化州市官桥中学高三数学单元练习 导数与复数 新课标 人教版

广东省化州市官桥中学高三数学单元练习 导数与复数 新课标 人教版

广东省化州市官桥中学高三数学单元练习 导数与复数一、选择题（每题5分）1．设1234,23z i z i =-=-+，则12z z -在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2．已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则hh x f h x f h )()(000lim--+→ 的值为（ ）A 、)(0x f 'B 、)(20x f 'C 、)(20x f '-D 、0 3．=+-2)3(31i i （ ）A ．i 4341+ B ．i 4341--C ．i 2321+ D ．i 2321--4．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ） A. 2 B.23C.2D.－235．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A ．5 , -15 B ，5 , 4 C ，4 , -15 D ，5 , -166．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7．如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ）A.6B.18C.54D.81 8．(文科做，理科不做)设复数ωω++-=1,2321则i = （ ）A ．ω-B ．2ωC ．ω1-D ．21ω8. (文科不做，理科做)⎰-+22)cos (sin ππdx x x 的值为（ ）A ．0 B.4πC. 2D.4 9. (文科做，理科不做)已知11mni i=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则 ( )A ．1+2i B. 1-2i C.2+i D.2-i10. (文科做，理科不做) 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个 C ．3个B ．2个 D ．4个二．填空题（每题5分）9． (文科不做，理科做)若⎰==+1,2)2(k dx k x 则________.10．(文科不做，理科做) 由曲线2,x y x y ==所围成图形的面积是_______________.11．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =12．过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.13.设x 、y 为实数，且ii y i x 315211-=-+-，则x +y =_________.14．设函数())()cos0f x ϕϕπ=+<<。

高三数学单元测试《平面向量及复数》

高三数学单元测试《平面向量及复数》

高三数学单元测试《平面向量及复数》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量=⋅︒︒=︒︒=b a b a 则),37cos ,53(cos ),67cos ,23(cos （ ）A ．23 B ．21 C ．－23 D ．－21 2．如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A ．2B ．32 C ．2 D ．－ 32 3．220041i i i ++++的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．i4．若a =(2,－3), b =(1,－2)，向量c 满足c ⊥a ,b •c =1,则c 的坐标是 （ ）A ．(3,－2)B ．(3,2)C ．(－3,－2)D ．(－3,2)5．使i R i a ()(4∈+为虚数单位）的实数a 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3||,3,3=-==AD e CD e AB ，则四边形ABCD 是 （ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O （0，0），A （3，0），B （0，3），点P 在线段AB 上，且OP OA t AB t AP ⋅≤≤=则),10(的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1281,2==，a 与b 的夹角为︒60，则使向量b a λ+与b a 2-λ的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． )31,(---∞B ． ),31(∞++-C ． ),31()31,(∞++----∞D ． )31,31(+---9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若212121,0,z z z z C z z >>-∈则且B ．22z z =C ．若,0=-z z 则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值为（ ）A ．)(42Z k k ∈-ππ B ．)(42Z k k ∈+ππC ．)(42Z k k ∈±ππD ．)(42Z k k ∈+ππ 11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，下列结论中正确的是（ ）A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数zz 12+（ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：i zi z 212||2+=-，则z= . 14．把函数)y =2x 2—4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =(1，－1)，b ·c =4，则b =_____________。

高三数学复数试题

高三数学复数试题

高三数学复数试题1.已知m(1+i)=2-ni(m,n∈R),其中i是虚数单位,则()3等于() A．1B．-1C．i D．-i【答案】C【解析】由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni,故m=2,m=-n,故m=2,n=-2,故()3=()3=i.2.设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i，则＝________.【答案】1－3i【解析】z＝－1＝1＋3i，∴＝1－3i.3.已知复数Z1和复数Z2，则Z1·Z2（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，复数Z1和复数Z2，所以，由复数的三角形式运算法则，Z1·Z2，故选A.【考点】复数的三角形式运算4.如果复数为纯虚数,则实数的值 ( )A．等于1B．等于2C．等于1或2D．不存在【答案】B【解析】复数为纯虚数，则实部，所以或2，又时，不为纯虚数，所以.【考点】纯虚数的定义5.设是虚数单位，则“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数，则，所以“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的充要条件.【考点】复数运算，充分必要条件.6.已知是虚数单位，如果复数满足，那么( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设，、都是实数，则，∵，∴，解方程得.∴.∴故选A.【考点】复数的基本运算.7. i是虚数单位，复数z=的虚部为_________.【答案】－3【解析】【考点】复数的运算.8.已知复数为虚数单位），且，则（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】即，所以，，解得，或，即或，选D。

【考点】复数的代数运算，复数的相等。

点评：简单题，复数的乘法，按多项式运算法则进行，化为-1。

本题解方程组，对计算能力要求较高。

9.设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．【答案】﹣2【解析】∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2【考点】复数的基本概念点评：本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题10.=（）A．-8B．8C．D．【答案】A【解析】.故选A.【考点】复数运算11.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】，故对应的点在第二象限.12.已知复数的共轭复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，所对应的点为（1，-2）位于第四象限。

第七章 复数 单元测试卷(解析版)

第七章 复数 单元测试卷(解析版)

第七章 复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知i 为虚数单位，则复数()i 12i z =-的虚部是（ ） A ．i B ．1 C ．2 D ．2i【答案】B 【分析】化简复数2i z =+即得解. 【详解】解：由题得()i i 122i z =-=+， 所以复数的虚部为1. 故选：B2．（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出55z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】 221i 22|2i |2(1)5i i +=+=-=+-=，55(1i)55z +=== 则复数z 在复平面内所对应的点坐标为55⎝⎭，在第一象限.故选：A3．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 是纯虚数，11i z+-是实数，则z =（ ）A ．－iB ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B4．（2022·广东茂名·一模）已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i -- D ．32i +【答案】A 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A5．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C.6．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是（ ） A ．||||||ab a b = B ．10a a+≠ C ．()20a b +≥D ．22a a =【答案】A 【分析】对于选项A ：结合复数的乘法和模长公式即可判断；选项B ：计算1a a+，然后根据复数运算结果举出反例即可；选项CD ：复数的平方可能为虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等. 【详解】不妨令11i a x y =+，22i b x y =+，选项A ：112212121221(i)(i)()i ab x y x y x x y y x y x y =++=-++，从而222222121212211122||()()||||ab x x y y x y x y x y x y a b =-++++，故A 正确； 选项B ：111111222211111111i ()i i x y a x y x y a x y x y x y +=++=++-+++， 当10x =，11y =时，10a a+=，故B 错误； 因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD 错误. 故选：A7．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】21i 12i i i 1i 2+++==-，且i 的乘方运算是以4为周期的运算 所以202120222021202221i i 1i 1i i i i i z +⎛⎫=+++ ===-⎝-⎪+⎭，所以复数z 所对应的点()1,1-，在第二象限. 故选：B8．（2022·全国·高一）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C二、多选题9．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC10．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知复数z 满足()12i 5z -=（其中i 为虚数单位），则下列选项正确的是（ ） A ．5z =B ．复数z 的共轭复数为12i z =+C ．复数z 在复平面表示的点位于第一象限D ．复数z 的虚部为2 【答案】CD 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数z ，然后逐一核对四个选项即可得出答案. 【详解】解：因为()12i 5z -=，所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+， 所以145z +A 错误； 复数z 的共轭复数为12i z =-，故B 错误；复数z 在复平面表示的点的坐标为()1,2，位于第一象限，故C 正确； 复数z 的虚部为2，故D 正确. 故选：CD.11．（2021·福建福州·高三期中）复数132z =-，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z= D ．2021132z = 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可． 【详解】解：因为132z =-，所以132z =-，对于A ： 2131313i 12244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确； 对于B ：22201131313133i 222414z z ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪ ⎭⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎝+=++⎝⎭⎭ ⎪ ⎪，故B 正确； 对于C ：2131132213213i i44z -===---+，2221313313i 2442z ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝=⎭， 所以21z z=，即选项C 正确；对于D ：132z =-+，2132z -=，2231313131222z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-⋅-+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎭⎝，4z z =，所以20212132z z -==，故D 错误．故选：ABC ．12．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第二象限 B ．i 2e π为纯虚数C i 3ix +12D ．i 6e π的共轭复数为132-【答案】ABC【分析】利用欧拉公式把选项A ，B ，D 化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C 的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A ，2i cos 2isin 2e =+，因22ππ<<，即cos20,sin20<>，复数2i e 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i2cos isini 22e πππ=+=，i 2e π为纯虚数，B 正确；对于C i (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos 3i 3i(3i)(3i)x x x x x x x+-+-+++-，于是得i 223cos sin 3sin cos 1()()4423ix x x x x +-++，C 正确； 对于D ，6i31cos isini 662e πππ=+=31i 2，D 不正确. 故选：ABC三、填空题13．（2021·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答. 【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-，由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =，所以m 的值是52.故答案为：5214．（2021·上海长宁·一模）在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号） 【答案】（2）（3） 【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案. 【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误.设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()()()2212i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⋅=-++=-++22222222a c b d a d b c =+++22222222222212z z a b c d a c b d a d b c ⋅+++++2）正确.222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）15．（2021·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x →=(a ，b )，对应复数z =a +ib ，向量x 逆时针旋转一个角度θ，得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++，于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1，2)，B (3，4)，则C 的坐标是___________.(任写一个即可) 【答案】(23,33)-(答案不唯一) 【分析】首先设出C 的坐标，然后分别写出AB →，AC →，利用向量的旋转公式即可求解. 【详解】不妨设C 的坐标为00(,)x y ，且AC →是AB →逆时针旋转60得到， 因为A (1，2)，B (3，4)，所以(2,2)AB →=，00(1,2)AC x y →=--， 从而AB →对应的复数为22i z =+，AC →对应的复数为'(22i)(cos 60isin 60)13(13)i z =++=-，所以00(1,2)(13,13)AC x y →=--=+，解得023x =033y = 故C 的坐标是(23,33). 故答案为：(23,33).16．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________． 【答案】4 【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆， 又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离， 所以62i z --的最小值为()()22163221514PC -=-++=-=．故答案为：4．四、解答题17．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数i()z b b =∈R ，31iz +-是实数. （1）求复数z ；（2）若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】 （1）3i z =-（2）(0,9)【分析】 （1）先将i z b =代入31iz +-化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ， （2）先对2()8m z m --化简，再由题意可得2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩从而可求得结果 （1） 因为i z b =，所以33i (3i)(1i)3(3)i 1i 1i 22z b b b b ++++-++===--， 因为31iz +-是实数，所以30b +=，解得3b =-. 故3i z =-.（2）因为3i z =-，所以()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+.因为复数2()8m z m --所表示的点在第二象限，所以2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩解得09m <<，即实数m 的取值范围是(0,9).18．（2021·全国·高一课时练习）求复数1i +，1i --2，2i -的辐角主值．【答案】π4，5π4，0，3π2 【分析】计算12r =11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩结合102πθ≤<，得到辐角主值，同理可得其他答案． 【详解】设这4个复数的模分别为1r ，2r ，3r ，4r ，辐角主值分别为1θ，2θ，3θ，4θ．因为221112r =+11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又102πθ≤<，故1π4θ=． 同理，可以求得：5π5π1i 2cos isin 44⎫--=+⎪⎭， )22cos0isin 0+，3π3π2i 2cos isin 22⎫-=+⎪⎭， 故4个复数的辐角主值分别为π4，5π4，0，3π2． 19．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数11i z =+，23i z =-.（1）求21z z ； （2）若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数，求||z .【答案】（1）12i -（2）5【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数a ，再根据复数模的计算公式即可求出．（1）213i (3i)(1i)33i i 112i 1i (1i)(1i)2z z ------====-++-． （2）因为2(3)3i z z a +=++为纯虚数，∴30a +=，∴3a =-.即34i z =-+，22||(3)45z =-+=．20．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）28x +；（2）223x x -+；（3）2321x x -+.【答案】（1）28(22i)(22i)x x x +=+-（2）223(12i)(12i)x x x x -+=--- （3）212123213((x x x x -+-+=） 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. （1）2228=8i (2i)(2i)x x x x +-=+- （2）()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-- （3）∵ 22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--( ∴ 212123213[()33x x x x -+=-- ∴ 212123213((x x x x -+-+=） 21．（2021·湖北·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． （1）求,p q 的值；（2）记复数i z p q =+，求复数1iz +的模． 【答案】（1）2,5p q =-=（258【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可； （2）由（1）得25i z =-+，故37i 1i 2z +=+，再求模即可. （1）解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根， 所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=， 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=（2）解：由（1）得复数25i z =-+， 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +9495844+= 22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数()31i 1i z =-． （1）求1arg z 及1z ；（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．【答案】（1）17arg 4z π=，122z = （2）221【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解． （2）z 设为三角形式，和复数1z 的代数形式，共同代入1z z -，化简后可求最大值． （1）解：()31i 1i 22i z =-=-，将1z 化为三角形式，得1772cos isin 44z ππ⎫⎪=⎭+， ∴17arg 4z π=，122z = （2） 解：由于复数z 满足1z =，设cos isin z αα=+，则()()1cos 2sin 2i z z αα-=-++， ()()2221cos 2sin 2924z z πααα⎛⎫-=-++=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，21z z -取得最大值942+ 所以1z z -的最大值为221．。

高考数学复数习题及答案

高考数学复数习题及答案

高考复习试卷含答案一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2017·山东)复数3－i1－i等于 ( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 答案：C解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C.2．(2017·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i答案：D解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i.3．(2017·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 答案：D解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－a ＋(a ＋2)i2，则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D.4．(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( )A ．2iB ．0C ．－2iD ．－2 答案：B解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B.5．(2017·北京朝阳4月)复数z ＝2－i1＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－32i ，它对应的点在第四象限，故选D.6．(2017·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则ba的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12答案：A解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a的值为－2，故选A.7．(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝14－3i ，故选B.8．(2017·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6C.23πD.56π 答案：D解析：3－i 对应的点为(3，－1)，所求直线的斜率为－33，则倾斜角为56π，故选D. 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i为实数，则( )A ．bc ＋ad ≠0B ．bc －ad ≠0C ．bc －ad ＝0D ．bc ＋ad ＝0 答案：C解析：因为a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ，所以由题意有bc －adc 2＋d2＝0⇒bc －ad ＝0.10．已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝ ( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25iD.15－25i 答案：D 解析：由z ＝1－2i 知z ＝1＋2i ，于是1z ＝11＋2i ＝1－2i 1＋4＝15－25i.故选D.11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．6B ．－6C ．0 D.16答案：A解析：z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝(3＋2b )＋(6－b )i 5是实数，则实数b 的值为6，故选A.12．(2017·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B解析：α(i )表示i n ＝1的最小正整数n ，因i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i )＝4.故选B. 13．若z ＝12＋32i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于( )A ．－12＋32i B ．－3＋33iC ．6＋33iD ．－3－33i 答案：B解析：∵T r ＋1＝C r 4x4－r (－z )r ， 由4－r ＝2得r ＝2，∴a 2＝C 24(－z )2＝6×(－12－32i )2＝－3＋33i .故选B.14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B解析：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞90°，B ＞90°－A ， ∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴z 对应的点在第二象限．15．如果复数2－bi1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2答案：C解析：2－bi 1＋2i ＝(2－bi )(1－2i )5＝(2－2b )5＋(－4－b )5i由2－2b 5＝－－4－b 5得b ＝－23.16．设函数f (x )＝－x 5＋5x 4－10x 3＋10x 2－5x ＋1，则f (12＋32i )的值为( )A ．－12＋32i B.32－12iC.12＋32i D ．－32＋12i 答案：C解析：∵f (x )＝－(x －1)5∴f (12＋32i )＝－(12＋32i －1)5＝－ω5(其中ω＝－12＋32i )＝－ω＝－(－12－32i )＝12＋32i .17．若i 是虚数单位，则满足(p ＋qi )2＝q ＋pi 的实数p ，q 一共有 ( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 答案：D解析：由(p ＋qi )2＝q ＋pi 得(p 2－q 2)＋2pqi ＝q ＋pi ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝0，q ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝－1，或⎩⎨⎧p ＝32，q ＝12，或⎩⎨⎧p ＝－32，q ＝12，因此满足条件的实数p ，q 一共有4对．总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特别注意不要出现漏解现象，如由2pq ＝p 应得到p ＝0或q ＝12.18．已知(2x 2－x p )6的展开式中，不含x 的项是2027，那么正数p 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：由题意得：C 46·1p 4·22＝2027，求得p ＝3.故选C. 总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x 的项，即找常数项．19．复数z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z ＝a ＋bi ，与复平面上的点Z (a ，b )对应，由z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )知：a ＝－lg(x 2＋2)＜0，又2x ＋2－x －1≥22x ·2－x －1＝1＞0；∴－(2x ＋2－x －1)＜0，即b ＜0.∴(a ，b )应为第三象限的点，故选C.20．设复数z ＋i (z ∈C )在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数ω在映射f 下的象为－1＋2i ，则相应的ω为 ( )A ．2B ．2－2iC ．－2＋iD ．2＋i 答案：A解析：令ω＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则ω＝[a ＋(b －1)i ]＋i ， ∴映射f 下ω的象为[a －(b －1)i ]·i ＝(b －1)＋ai ＝－1＋2i .∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝－1，a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝2.∴ω＝2. 第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案

复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案

专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。

高三复习数学《第13章_复数》单元测试卷(有答案)

高三复习数学《第13章_复数》单元测试卷(有答案)

《第13章 复数》单元测试卷（上海市）一、填空题1. 复数z ＝3−2i ，Imz ＝________．2. 若复数z ＝(m 2−5m +6)+(m −3)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m ＝________．3. 复数(1−i)(1+i)i在复平面中所对应的点到原点的距离是________．4. 已知z ∈C ，则命题“z 是纯虚数”是命题“z 21−z 2∈R ”的________条件．5. 复数Z 满足(1+2i)Z ¯=4+3i ，那么Z ＝________．6. 若复数z 满足z +12|z ¯|＝−1+2i ，则z ＝________−83+2________ ．7. 设O 是原点，向量OA →、OB →对应的复数分别为2−3i ，−3+2i ，那么，向量BA →对应的复数是________．8. 若复数z =√2，则z 2+z 4+z 8＝________．9. 已知复数z 满足|z|＝1，则|z +iz +1|的最小值为________．10. 设非零复数x 、y 满足x 2+xy +y 2＝0，则代数式(xx+y )2008+(yx+y )2008的值是________． 二、选择题设f(n)＝i n +i −n (n ∈N)，则集合{x|x ＝f(n)}中元素的个数为（ ） A.1 B.2C.3D.无穷多个已知z1，z2都是虚数，则z1=z2¯的一个必要不充分条件是（）A.|z1+z2|＝0B.z2=z1¯C.z1＝z2D.|z1|＝|z2|有下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②若z1，z2∈C，z1−z2>0，则z1>z2；③若z1，z2∈C，则|z1+z2|＝|z1|+|z2|．④z1+z2∈R⇔z2=z¯1其中，正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3设x∈C，方程|x|2−|x|＝0的解集为（）A.{0, 1}B.{0, −1, 1}C.{0, −1, 1, −i, i}D.以上都不对三、解答题当m为何实数时，复数z=2m2−3m−2m2−25+(m2+3m−10)i：(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．（1）复数z满足(1+2i)z+(3−10i)z¯=4−34i，求z．（2）若ω=−12+√32i，ω3＝1，计算(√3+i2)6+(−√3+i2)6．已知复数z满足|z−2|＝2，z+4z∈R，求z．已知z为复数，z+2i和z2−i均为实数，其中i是虚数单位．(Ⅰ)求复数z；(Ⅱ)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．关于x的方程a(1+i)x2+(1+a2i)x+a2+i＝0 (a∈R)有实根，求a的值及方程的根．已知关于t的方程t2−2t+a＝0的一个根为1+√3i.(a∈R)（1）求方程的另一个根及实数a的值；(x2+a)≥m2−2km+2k对k∈（2）是否存在实数m，使对x∈R时，不等式loga[−1, 2]恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析《第13章 复数》单元测试卷（上海市）一、填空题 1.【答案】 −2【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念【解析】根据复数z ＝3−2i 直接得到虚部是−2． 【解答】∵ 复数z ＝3−2i ，∴ z 的虚部是−2， 2.【答案】 2【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念 【解析】由纯虚数的概念可得 {m 2−5m +6=0m −3≠0，求出实数m 的值．【解答】∵ 复数z ＝(m 2−5m +6)+(m −3)i 是纯虚数，∴ {m 2−5m +6=0m −3≠0，∴ m ＝2，3.【答案】 2【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质化简复数，求出其在复平面内的对应点的坐标，利用两点间的距离公式求得复数对应的点到原点的距离． 【解答】 复数(1−i)(1+i)i=i(1−i)(1+i)i×i=−2i ，其对应点的坐标为(0, −2)， 该点到原点的距离等于 2， 4.【答案】 充分不必要【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算充分条件、必要条件、充要条件 复数的基本概念 【解析】先判断充分性成立，即当z 是纯虚数时，z 21−z 2∈R ，反之z 可以取0，故可的结论．【解答】当z 是纯虚数时，不妨设z ＝bi(b ≠0)，则z 21−z 2=−b 21+b 2∈R 反之，z 21−z 2∈R ，则z 可以取0故命题“z 是纯虚数”是命题“z 21−z 2∈R ”的充分不必要条件5.【答案】 2+i 【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念【解析】根据已知条件，将等式的两边同除以1+2i ，利用复数除法的法则，分子、分母同乘以1−2i 求出z ¯，进一步求出复数z ． 【解答】因为(1+2i)Z ¯=4+3i ， 所以z ¯=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2−i 所以z ＝2+i ， 6.【答案】 ,i【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念【解析】设出复数的代数形式，根据所给的式子代入复数的共轭复数的模长和复数，根据两个复数相等的充要条件写出复数的实部和虚部相等，解方程组即可． 【解答】设z ＝a +bi ，∵ 复数z 满足z +12|z ¯|＝−1+2i ， ∴ a +bi +12√a 2+b 2=−1+2i ， ∴ a +12√a 2+b 2=−1，①b ＝2，②把②代入①得到a =−83， ∴ z =−83+2i7.【答案】 5−5i 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】根据向量OA →、OB →对应的复数分别为2−3i ，−3+2i ，得到向量BA →=OA →−OB →，代入所给的数据作出向量对应的结果． 【解答】∵ 向量OA →、OB →对应的复数分别为2−3i ，−3+2i ， ∴ 向量BA →=OA →−OB →=2−3i +3−2i ＝5−5i 8.【答案】 −i【考点】 复数的运算 【解析】 由z =√2，知z 2=1−2i+i 22=−i ，z 4＝(−i)2＝−1，z 8＝(−1)2＝1，由此能求出z 2+z 4+z 8．【解答】 ∵ z =√2，∴ z 2=1−2i+i 22=−i ，z 4＝(−i)2＝−1， z 8＝(−1)2＝1，∴ z 2+z 4+z 8＝−i −1+1＝−i ． 9. 【答案】 √3【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】设z＝cos x+sin x，则|z+iz+1|=√[1+√2cos(x+π4)]2+2sin2(x+π4)=√3+2√2cos(x+π4)≥√3．【解答】设z＝cos x+(sin x)i，|z+iz+1|=√[1+√2cos(x+π4)]2+2sin2(x+π4)=√3+2√2cos(x+π4)≥√3．当x=π4时取得最小值√3．所以|z+iz+1|的最小值为√3．10.【答案】−1【考点】复数的运算棣莫弗定理【解析】将已知方程两边同除以y2变形解得xy =−12±√32i=ω，利用ω3＝1，1+ω＝−ω2，及2005＝3×668+1化简原式可得答案．【解答】将已知方程变形为(xy )2+xy+1＝0，解这个一元二次方程，得xy =−12±√32i=ω，显然有ω3＝1，1+ω＝−ω2，而2008＝3×669+1，则原式＝( xx+y )2008+( yx+y)2008=ω2008(1+ω)2008+1(1+ω)2008=ω(−ω2)2008+1(−ω2)2008=−1二、选择题【答案】C【考点】虚数单位i及其性质复数的运算元素与集合关系的判断复数的基本概念【解析】根据i的性质，对n分4种情况讨论，分别计算n＝4k、n＝4k+1、n＝4k+2、n＝4k+3情况下的f(n)的值，进而结合集合中的元素的性质，可得答案．根据题意，在f(n)＝i n +i −n 中，n ＝4k 时，i n ＝1，i −n ＝1，则f(n)＝2；n ＝4k +1时，i n ＝i ，i −n =1i =−i ，则f(n)＝0； n ＝4k +2时，i n ＝−1，i −n ＝−1，则f(n)＝−2； n ＝4k +3时，i n ＝−i ，i −n =−1i =i ，则f(n)＝0；则集合{x|x ＝f(n)}中元素的个数为3； 【答案】 D【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算充分条件、必要条件、充要条件 复数的基本概念 【解析】由z 1=z 2¯可推出|z 1|＝|z 2|，但当|z 1|＝|z 2|时，不能推出z 1=z 2¯，由此得出结论． 【解答】由z 1，z 2都是虚数，z 1=z 2¯可推出|z 1|＝|z 2|．但当|z 1|＝|z 2|时，不能推出z 1=z 2¯，如|1−2i|＝|−2+i|，但1−2i ≠2+i ¯． 故z 1=z 2¯的一个必要不充分条件是 z 1=z 2¯， 【答案】 A【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念【解析】可利用复数的概念与性质逐个判断其正误． 【解答】令z ＝i ，z 2＝i 2＝−1，①错；令z 1＝2−i ，z 2＝1−i 满足z 1，z 2∈C ，z 1−z 2>0，但z 1与z 2不能比较大小，②错； 不妨令z 1＝5，z 2＝−3，显然不满足|z 1+z 2|＝|z 1|+|z 2|，③错； 不妨令z 1＝5，z 2＝−3，不能⇒z 2=z 1¯，④错． 【答案】 D【考点】复数的代数表示法及其几何意义 有理数域由已知中x ∈C ，令x ＝a +bi(a, b ∈R)，解方程|x|2−|x|＝0，可得a ＝b ＝0，或a 2+b 2＝1，即x ＝0，或x 为任意一个模为1的复数，故方程|x|2−|x|＝0的解集为一个无限集，比照四个答案，即可得到结论． 【解答】令t ＝|x|(t ≥0)则方程|x|2−|x|＝0可化为 t 2−t ＝0解得t ＝1，或她t ＝0 令x ＝a +bi(a, b ∈R) 则a ＝b ＝0，或a 2+b 2＝1 三、解答题 【答案】解：(1)z 为实数，则虚部m 2+3m −10=0，即{m 2+3m −10=0，m 2−25≠0，解得m =2，∴ m =2时，z 为实数； (2)z 为虚数，则虚部m 2+3m −10≠0，即{m 2+3m −10≠0，m 2−25≠0，解得m ≠2且m ≠±5．当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数；(3){2m 2−3m −2=0，m 2+3m −10≠0，m 2−25≠0，解得m =−12，∴ 当m =−12时，z 为纯虚数．【考点】复数的基本概念 【解析】（1）复数是实数，则虚部为零，求得m 的实数值；（2）复数是虚数，则虚部不为零，可求得m 的实数值；（3）复数是纯虚数，则实部为零，虚部不为零，即可求得m 的实数值． 【解答】解：(1)z 为实数，则虚部m 2+3m −10=0，即{m 2+3m −10=0，m 2−25≠0，解得m =2，∴ m =2时，z 为实数；(2)z 为虚数，则虚部m 2+3m −10≠0，即{m 2+3m −10≠0，m 2−25≠0，解得m ≠2且m ≠±5．当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数；(3){2m 2−3m −2=0，m 2+3m −10≠0，m 2−25≠0，解得m =−12，∴ 当m =−12时，z 为纯虚数．【答案】设z ＝x +yi (x, y ∈R)，则(1+2i)(x +yi)+(3−10i)(x −yi)＝4−34i ， 整理得(4x −12y)−(8x +2y)i ＝4−34i ． ∴ {4x −12y =48x +2y =34 ，解得{x =4y =1 ，∴ z ＝4+i ．若ω=−12+√32i ，ω3＝1，则 (√3+i 2)6+(−√3+i 2)6=(−i ⋅−1+√3i 2)6+(−i ⋅−1−√3i 2)6=i 6⋅[ω6+(ω2)6] ＝−2． 【考点】 复数的运算 【解析】（1）设z ＝x +yi (x, y ∈R)，有条件可得(4x −12y)−(8x +2y)i ＝4−34i ，利用两个复数相等的充要条件求出x 、y 的值，即得z 的值． （2）根据ω3＝1，以及要求的式子即 (−i ⋅−1+√3i 2)6+(−i ⋅−1−√3i 2)6=i 6⋅[ω6+(ω2)6]，运算求得结果．【解答】设z ＝x +yi (x, y ∈R)，则(1+2i)(x +yi)+(3−10i)(x −yi)＝4−34i ， 整理得(4x −12y)−(8x +2y)i ＝4−34i ． ∴ {4x −12y =48x +2y =34 ，解得{x =4y =1 ，∴ z ＝4+i ．若ω=−12+√32i ，ω3＝1，则 (√3+i 2)6+(−√3+i 2)6=(−i ⋅−1+√3i 2)6+(−i ⋅−1−√3i 2)6=i 6⋅[ω6+(ω2)6] ＝−2． 【答案】设z ＝x +yi ，x ，y ∈R ，则 z +4z =z +4z ¯zz¯=x +yi +4(x−yi)x 2+y 2=x +4x x 2+y 2+(y −4yx 2+y 2)i ，∵z+4z ∈R，∴y−4yx2+y2=0，又|z−2|＝2，∴(x−2)2+y2＝4，联立解得，当y＝0时，x＝4或x＝0 （舍去x＝0，因此时z＝0），当y≠0时，{x=1y=±√3，z＝1±√3，∴综上所得z1＝4，z2＝1+√3i，z3＝1−√3i．【考点】复数的运算【解析】设z＝x+yi，x，y∈R，根据复数及模的运算，建立方程组，求出x，y即可求出z．【解答】设z＝x+yi，x，y∈R，则z+4z =z+4z¯zz¯=x+yi+4(x−yi)x2+y2=x+4xx2+y2+(y−4yx2+y2)i，∵z+4z ∈R，∴y−4yx2+y2=0，又|z−2|＝2，∴(x−2)2+y2＝4，联立解得，当y＝0时，x＝4或x＝0 （舍去x＝0，因此时z＝0），当y≠0时，{x=1y=±√3，z＝1±√3，∴综上所得z1＝4，z2＝1+√3i，z3＝1−√3i．【答案】（1）设复数z＝a+bi(a, b∈R)，由题意，z+2i＝a+bi+2i＝a+(b+2)i∈R，∴b+2＝0，即b＝−(2)又z2−i =(a+bi)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i∈R，∴2b+a＝0，即a＝−2b＝（4）∴z＝4−2i．（2）由(Ⅰ)可知z＝4−2i，∵(z+ai)2＝(4−2i+ai)2＝[4+(a−2)i]2＝16−(a−2)2+8(a−2)i对应的点在复平面的第一象限，∴{16−(a−2)2>08(a−2)>0解得a的取值范围为2<a<(6)【考点】复数的运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和z2−i，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．(II)根据上一问做出的复数的结果，代入复数(z+ai)2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．【解答】（1）设复数z＝a+bi(a, b∈R)，由题意，z+2i＝a+bi+2i＝a+(b+2)i∈R，∴b+2＝0，即b＝−(2)又z2−i =(a+bi)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i∈R，∴2b+a＝0，即a＝−2b＝（4）∴z＝4−2i．（2）由(Ⅰ)可知z＝4−2i，∵(z+ai)2＝(4−2i+ai)2＝[4+(a−2)i]2＝16−(a−2)2+8(a−2)i对应的点在复平面的第一象限，∴{16−(a−2)2>08(a−2)>0解得a的取值范围为2<a<(6)【答案】设x＝x0是原方程的根，则a(1+i)x02+(1+a2i)x0+a2+i＝0即(ax02+x0+a2)+(ax02+a2x0+1)i＝0∴{ax02+x0+a2=0ax02+a2x0+1=0两式相减可得，(a2−1)x＝a2−1（1）当a2−1≠0时，x0＝1代入原方程可得，a2+a+1＝0没有实根（2）当a2−1＝0时，若a＝1，则x02+x0+1＝0没有实根若a＝−1，则x2−x−1＝0，解得x0=1±√52综上可得a=−1,x=1±√52【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】设x＝x0是原方程的根，则a(1+i)x02+(1+a2i)x0+a2+i＝0，即(ax02+x0+a2)+ (ax02+a2x0+1)i＝0根据复数相等的条件可得{ax02+x0+a2=0ax02+a2x0+1=0，从而可求【解答】设x＝x0是原方程的根，则a(1+i)x02+(1+a2i)x0+a2+i＝0即(ax02+x0+a2)+(ax02+a2x0+1)i＝0∴{ax02+x0+a2=0ax02+a2x0+1=0两式相减可得，(a2−1)x＝a2−1（1）当a2−1≠0时，x0＝1代入原方程可得，a2+a+1＝0没有实根（2）当a2−1＝0时，若a＝1，则x02+x0+1＝0没有实根若a＝−1，则x2−x−1＝0，解得x0=1±√52综上可得a=−1,x=1±√52【答案】由题设知一根为1−√3i，∴a=(1+√3i)(1−√3i)=4．设存在实数m满足条件，不等式为m2−2km+2k≤log4(x2+4)，∵log4(x2+4)的最小值为1，∴m2−2km+2k≤1对k∈[−1, 2]恒成立，即2(1−m)k+m2−1≤0对k∈[−1, 2]恒成立，设g(k)＝2(1−m)k +m 2−1则{g(−1)=m 2+2m −3≤0g(2)=m 2−4m +3≤0解得{−3≤m ≤11≤m ≤3∴ m ＝1， 因此存在m ＝1满足条件．【考点】函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)由题意知另一根为1−√3i ，由此能求出a =(1+√3i)(1−√3i)=4． (Ⅱ)设存在实数m 满足条件，不等式为m 2−2km +2k ≤log 4(x 2+4)，由log 4(x 2+4)的最小值为1，知m 2−2km +2k ≤1对k ∈[−1, 2]恒成立，由此能够推导出存在m ＝1满足条件．【解答】由题设知一根为1−√3i ，∴ a =(1+√3i)(1−√3i)=4．设存在实数m 满足条件，不等式为m 2−2km +2k ≤log 4(x 2+4)， ∵ log 4(x 2+4)的最小值为1，∴ m 2−2km +2k ≤1对k ∈[−1, 2]恒成立，即2(1−m)k +m 2−1≤0对k ∈[−1, 2]恒成立， 设g(k)＝2(1−m)k +m 2−1则{g(−1)=m 2+2m −3≤0g(2)=m 2−4m +3≤0解得{−3≤m ≤11≤m ≤3∴ m ＝1， 因此存在m ＝1满足条件．。

完整版)高考数学复数习题及答案

完整版)高考数学复数习题及答案

完整版)高考数学复数习题及答案1.(2013·山东) 求复数 $3-i$ 的共轭，答案为 $3+i$。

2.(2013·宁夏、海南) 求复数 $\frac{3-2i}{2+3i}$，答案为$-\frac{12}{13}+\frac{5}{13}i$。

3.(2013·陕西) 已知 $z$ 是纯虚数，且 $z$ 是实数，求 $z$，答案为 $-2i$。

4.(2013·武汉市高三年级2月调研考试) 求 $f(i)$，其中$f(x)=x^3-x^2+x-1$，答案为 $-2i$。

5.(2013·北京朝阳4月) 复数 $z=2+i$ 在复平面内对应的点位于第一象限。

6.(2013·北京东城3月) 若将复数 $\frac{ia}{a+bi}$ 表示为$x+yi$ 的形式，则 $x=\frac{a}{a^2+b^2}$，$y=-\frac{b}{a^2+b^2}$。

7.(2013·北京西城4月) 设 $i$ 是虚数单位，复数$z=\tan45^\circ-i\sin60^\circ$，则 $z^2=-3i$。

8.(2013·XXX一模) 过原点和复数 $3-i$ 在复平面内对应的点的直线的倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$。

9.设 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，且 $\frac{a+bi}{c+di}$ 是实数，则 $bc-ad\neq 0$。

10.已知复数 $z=1-2i$，求 $\frac{1}{z}+\frac{i}{z}$，答案为 $-\frac{525}{169}+\frac{12}{169}i$。

11.已知复数 $z_1=3-bi$，$z_2=1-2i$，若 $z_1z_2$ 是实数，则 $b=6$。

12.(2013·广东) 设 $z$ 是复数，$\alpha(z)$ 表示满足$z^n=1$ 的最小正整数 $n$，则 $\alpha(i)=4$。

高考数学复数习题及答案百度文库

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一、复数选择题1．i =（ ）A ．i -B ．iC i -D i 2．若20212zi i =+，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．12i -D ．12i +3．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．iC iD i4．设()2211z i i=+++，则||z =（ ）A B ．1C ．2D5．若复数z 满足()322iz i i-+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35i -C ．35D ．35i6．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ）A ．3i -B ．3i --C ．3i +D ．3i -+7．已知复数()211i z i-=+，则z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -8．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2D ．59．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（ ）A ．B ．4C ．D ．810．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2C ．10D11．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 12．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3B ．5C ．6D ．814．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则zi=（ ） A ．1i - B ．1i --C ．1i -+D ．1i +二、多选题16．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-17．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为218．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点19．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 20．复数z 满足233232iz i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =21．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件22．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =23．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >24．已知复数122,2z i z i =-=则（ ） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =25．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．下列命题中，正确的是（ ） A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数27．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =28．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模29．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( ) A．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】 . 故选：B. 解析：B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】()211ii i i ++==--. 故选：B.2．C 【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得，所以. 故选：C解析：C 【分析】根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i =-. 故选：C3．D 【分析】先对化简，求出，从而可求出 【详解】 解：因为， 所以， 故选：D解析：D 【分析】先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z 【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D4．D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解． 【详解】 因为， 所以，则． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ． 【详解】 因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．5．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为， 故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z ii i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A.6．A 【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】 因为， 所以，复数的共扼复数是， 故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133iz i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-， 故选：A7．B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】 由题意可得，则. 故答案为：B解析：B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i i i i ---===--=--++-，则1z i =-+. 故答案为：B8．B 【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可. 【详解】 ， .故选：B ．解析：B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i i i z i i i++===-，∴z ==故选：B ．9．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得． 【详解】 因为，所以， 所以 故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --．【详解】 因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A10．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 所以， 故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.11．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cos sin )332Z i O OZ ππ=+=2111()2222z z i --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.12．D 【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】 ，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D ．解析：D 【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限． 故选：D ．13．D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】 ，故 则故选：D解析：D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D14．A 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论. 【详解】 ，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.解析：A 【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论. 【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.15．A 【分析】根据复数对应的点的坐标是，得到,再利用复数的除法求解. 【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是， 所以, 所以, 故选：A解析：A 【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1)，得到1z i =+,再利用复数的除法求解. 【详解】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)， 所以1z i =+, 所以11i i i z i+==-,故选：A二、多选题16．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 18．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.19．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.20．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.21．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误； 当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.22．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题23．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.24．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确.故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．27．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．28．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模29．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。

高三数学复数综合运算试题

高三数学复数综合运算试题

高三数学复数综合运算试题1.已知复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知,z=,故选D.考点:复数运算2.若（a－4i）i=b－i，（a，b∈R，i为虚数单位），则复数z=a+bi在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】,,对应的点的坐标为,所以位于第二象限，故选B.【考点】复数的代数运算与几何意义3.设是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，故选D.【考点】1.复数的运算.4.是虚数单位，复数A．B．C．D．【答案】A．【解析】，故选A．【考点】复数的运算．5.实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴的上方．【答案】（1）m＝－1（2）m＝1（3）m<－3或m>5.【解析】解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.6.已知是虚数单位，则复数的模为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：所以，故选C.【考点】1、复数的概念；2、复数的运算.7.复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因此，复数的虚部是，故选A.【考点】1.复数的除法；2.复数的概念8.已知复数，，若为实数，则实数的值为（）A．1B．C．4D．【答案】D【解析】=是实数，所以m+4=0，解得m=-4，故选D.【考点】复数的运算和有关概念.9.复数的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因此复数的共轭复数为，故选D.【考点】1.复数的除法；2.共轭复数10.在复平面上，复数对应的点在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】【解析】由，所以对应的点为，所以在复平面上对应的点位于第四象限. 故选.【考点】复数的运算；复数的概念.11.若=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,则=________(用复数代数形式表示).【答案】-4-5i【解析】因为=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,所以=-=(-1-i)-(3+4i)=-4-5i.12.（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i【答案】B【解析】（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，故选B．13.在复平面内，复数对应的点的坐标为 .【答案】【解析】由题意，其对应的点的坐标为.【考点】1.复数的运算与对应的点位置.14.复数(，且)，若是实数，则有序实数对可以是．（写出一个有序实数对即可）【答案】或满足的任意一对非零实数对【解析】是实数，则，由于，故．【考点】复数的概念．15.复数等于A．-i B．1C．-l D．0【答案】D.【解析】因为，或因为，所以选D.复数运算中注意分母实数化时不要出错.【考点】复数运算16.已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．【答案】【解析】由题意是方程的另一根，因此，，．【考点】实系数二次方程的复数根．17.若R，为虚数单位，且，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】因为所以，，，选.【考点】复数的概念，复数的四则运算.18.设复数，其中、，则______.【答案】.【解析】，所以，，因此.【考点】1.复数的除法；2.复数相等19. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以选B.【考点】复数的运算20.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】，故复数在复平面内对应的点位于第二象限．【考点】复数的运算，复数几何意义．21.若复数z =（为虚数单位），则|z|= ．【答案】【解析】因为所以也可利用复数模的性质求解，即【考点】复数的模22.（为虚数单位），则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，选.【考点】复数的四则运算23.若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，求点P(a，b)到原点的距离．【答案】【解析】由已知ai＋2＝b－i，∴∴点P(－1，2)到原点距离|OP|＝.24.复数：＝________.【答案】38－i【解析】＝＝38－i.25.在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【答案】【解析】复平面上复数对应的点到原点的距离就是它的模，而，本题不需要把复数化简为形式.【考点】复数的模.26.满足的复数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，．【考点】复数的运算．27.已知i是虚数单位，若，则z＝（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选A.【考点】复数的基本运算.28.若为虚数单位，则等于（）A．B．C．1D．－1【答案】A【解析】，故选A.【考点】复数的运算.29.已知是虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.30.设是虚数单位，则等于（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】===，故选D.【考点】复数的运算和几何意义.31.复数的虚部是.【答案】-1【解析】，所以虚部为-1.【考点】复数的概念与运算32.已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】，，复数所对应的点所在象限为第一象限.【考点】1.复数的除法运算；2.复数和点的一一对应关系.33.复数．【答案】【解析】.【考点】复数的运算.34.复数的虚部为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】复数的概念与运算.35.若复数满足，是虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，选B.36.复数（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】复数的运算.37.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】复数的四则运算38.（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】.【考点】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.39.复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i【答案】A【解析】由,得.【考点】对复数概念的理解，考查学生的基本运算能力．40.= ．【答案】【解析】.【考点】复数的四则运算.41.设复数满足(为虚数单位），则= .．【答案】【解析】由，得，所以.【考点】复数的四则运算，复数模的概念.42.已知复数（，，为虚数单位），则【答案】C【解析】【考点】复数运算点评：复数化简时分子分母同乘以分母的共轭复数43.在复平面内，复数对应的点位于虚轴上，则【解析】因为，，其对应点（a，－1）位于虚轴上，所以，0.【考点】本题主要考查复数的代数运算，复数的概念。

高三数学 复数选择题专项训练知识点总结及解析

高三数学 复数选择题专项训练知识点总结及解析

高三数学 复数选择题专项训练知识点总结及解析一、复数选择题1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 答案：D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】 运用复数除法的运算法则化简复数534i i-的表示，最后选出答案即可. 【详解】 因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ⋅+-===-+--+， 所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D2．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2答案：C【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C ．解析：C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．3．若20212zi i =+，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．12i -D ．12i +答案：C【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得，所以.故选：C解析：C【分析】根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】 由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i =-. 故选：C4．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ）A ．－1B ．1C ．－iD ．i 答案：B【分析】，然后算出即可.【详解】由题意，则复数的虚部为1故选：B解析：B【分析】1i z i-+=，然后算出即可. 【详解】 由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B5．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y 答案：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 6．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 答案：C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z 的虚部是．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部．【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．7．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ）A ．3i -B ．3i --C ．3i +D ．3i -+答案：A【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为，所以，复数的共扼复数是，故选：A解析：A【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133i z i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-，故选：A8．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．4答案：B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =， 所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 9．若复数()41i 34i z +=+，则z =（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D．5答案：A【分析】首先化简复数，再计算求模.【详解】，.故选：A解析：A【分析】首先化简复数z ，再计算求模.【详解】()()()2242112434343434i i i z i i i i ⎡⎤++⎣⎦====-++++ ()()()()43443412163434252525i i i i i --=-=-=-++-，45z ∴==. 故选：A10．设复数z 满足41i z i=+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D【分析】先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为，所以，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D解析：D【分析】 先对41i z i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】 解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-， 所以22z i =-， 所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D11．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BCD ．3答案：C【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.解析：C【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可.【详解】 据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.12．复数22(1)1i i -+=-（ ）A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i 答案：C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：故选：C解析：C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】 解：22(1)1i i -+-()()()()2211211i i i i i +=-++-+12i i =+-1i =-故选：C13．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（ ）A ．15 B C D ．5答案：B【分析】利用复数除法运算求得，再求得.【详解】依题意，所以.故选：B解析：B【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z .【详解】依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z == 故选：B 14．题目文件丢失！15．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（ ）A ．1B ．0C ．－1D ．1＋i答案：C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知＝，故选C解析：C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知i e π＝cos sin 101i ππ+=-+=-，故选C二、复数多选题16．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 答案：AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1- 答案：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.18．下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z = 答案：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =答案：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.20．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为2答案：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.21．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 答案：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.22．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点答案：BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.23．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称答案：AC根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误； 对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．24．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥答案：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题.25．已知复数122,2z i z i =-=则（ ）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =答案：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.26．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z =- B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++= 答案：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确； 对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.27．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 答案：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题. 故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.28．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12答案：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.29．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =答案：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC30．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A ．1 B ．4- C ．0 D ．5答案：ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。

高三数学 复数选择题专项训练知识点及练习题及答案

高三数学 复数选择题专项训练知识点及练习题及答案

高三数学 复数选择题专项训练知识点及练习题及答案一、复数选择题1．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1122i + D ．1122i - 答案：D【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其共轭复数为.故选：D.解析：D【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.2．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．9iB ．46i -C ．9D ．46- 答案：C【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可.【详解】解：所以的虚部为9.故选：C.解析：C【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可.【详解】解：()()()32351223469i i i i +=-++=-+所以()323i +的虚部为9.故选：C.3．i=（ ） A．i - B．iCi - Di 答案：B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】.故选：B.解析：B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】()21i i i+==-. 故选：B.4．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．z 的实部是1B ．z 的虚部是1 C．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 答案：C【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项.【详解】，，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误；，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误.故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项.()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正； 2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误. 故选：C.5．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 答案：C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z 的虚部是．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部． 【详解】因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．6．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，解析：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A7．若复数1z i =-，则1z z =-（ ）A B ．2C ．D ．4 答案：A【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.【详解】由，得，则，故选：A.解析：A【分析】将1z i =-代入1z z-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由1z i =-，得2111z i i i i z i i---===---，则11z i z=--==-，故选：A.8．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】 本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.9．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） ABC ．3D ．5答案：B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模.【详解】由复数（）为纯虚数，则 ，则所以故选：B解析：B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模.【详解】 由()()()()()()21i 2221112a i a a i a i i i i ----+-==++- 复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B10．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．4答案：B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 11．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8答案：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】，故 则故选：D解析：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D12．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.解析：A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.13．已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i -+=+，其中,ab ∈R ，则+a b 的值为（）A ．75 B ．75- C ．15 D ．15-答案：D【分析】先化简，求出的值即得解.【详解】，所以.故选：D解析：D【分析】 先化简345ia bi -+=，求出,ab 的值即得解.【详解】22(2)342(2)(2)5i i ia bi i i i ---+===++-，所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D 14．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1- B ．12- C ．13 D ．1答案：B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =- 故选：B15．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ）A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i -+ 答案：D【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.【详解】设，则复数对应的向量，因为向量与共线，所以，又，所以，解得或，因为复数对应的点在第三象限，所以，所以，，解析：D【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，则复数z 对应的向量(),OZ a b =，因为向量OZ 与(3,4)a =共线，所以43a b =， 又10z =，所以22100+=a b ，解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+，故选：D二、复数多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.18．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 答案：BC 【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项. 【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC 【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项. 【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.19．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i 答案：ABC 【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】 对选项由题得 .所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC 【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(,22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2答案：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确 选项B解析：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确 故选：ACD 【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围21．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数答案：AC 【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC 【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z ri θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cossin332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.22．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD 【分析】利用复数的运算法则直接求解． 【详解】解：复数（其中为虚数单位）， ，故错误； ，故正确； ，故正确； ．故正确． 故选：． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD 【分析】利用复数的运算法则直接求解． 【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．23．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】 因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确. 【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确； 因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.24．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为 C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限答案：AB 【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意，所以A 选项正确； ，虚部为，所以B 选项正确； ，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误. 故选解析：AB 【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；221111222212ω---====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB 【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=答案：ACD 【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】由可得，，所以，虚部为； 因为，所以，． 故选：ACD ． 【解析：ACD 【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ． 【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 26．以下为真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数答案：AD 【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项. 【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则， 即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确； 对于B解析：AD 【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项. 【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-， 即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误； 对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 27．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=答案：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠， 所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确； 对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件. C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x xx ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 28．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z答案：AC 【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是. 【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确； 取，；，满足，但且不解析：AC 【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.29．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =答案：AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.30．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 答案：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.。

高三数学虚数复数同步训练题

高三数学虚数复数同步训练题

高三数学虚数复数同步训练题高三数学虚数复数同步训练题1.(2013福建)已知复数z的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由条件知：z=1-2i，其在复平面内对应的点为(1，-2)，在第四象限，选D.答案：D2.(2013浙江)已知i是虚数单位，则(-1+i)(2-i)=()A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i解析：(-1+i)(2-i)=-1+3i，选B.答案：B3.(2013山东)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i解析：由题意得z=52-i+3=52+i2-i2+i+3=5+i，z=5-i，故选D.答案：D4.(2013辽宁)复数z=1i-1的模为()A.12B.22C.2D.2解析：z=1i-1=i+1i+1i-1=1+i-1-1=-12-12i.|z|= -122+-122=22，故选B.答案：B5.(2013广东)若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A.(2,4)B.(2，-4)C.(4，-2)D.(4,2)解析：由已知条件得z=2+4ii=4-2i，所以z对应的.点的坐标为(4，-2)，故选C.答案：C6.(2013课标全国Ⅰ)1+2i1-i2=()A.-1-12iB.-1+12iC.1+12iD.1-12i解析：1+2i1-i2=1+2i-2i=1+2ii-2ii=-2+i2=-1+12i，故选B.答案：B7.(2013湖北)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2=________.解析：在复平面内，复数z=a+bi与点(a，b)一一对应.∵点(a，b)关于原点对称的点为(-a，-b)，则复数z2=-2+3i.答案：-2+3i8.(2013天津)已知a，bR，i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi，则a+bi=________.解析：∵(a+i)(1+i)=a+ai+i+i2=(a-1)+(a+1)i.又由已知(a+i)(1+i)=bi，得a-1=0，a+1=b.解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i.答案：1+2i9.(2013江苏)设z=(2-i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________.解析：∵z=(2-i)2=3-4i，|z|=32+-42=5.答案：5。

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高三数学单元练习题：复数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、的展开式中所有奇数项的和是
A、-1
B、1
C、0
D、I
2、设z
1、z
2
是复数，且，则正确的是
A、 B、z
1、z
2
中至少有一个是虚数
C、z
1、z
2
中至少有一个是实数 D、z
1
、z
2
都不是实数
3、适合的复数z的个数是
A、0
B、1
C、2
D、无穷多
4、设元素，则在z的集合中
A、有复数30个
B、有实数5个
C、有纯虚数5个
D、虚数不足30个
5、z为复数，集合A=，集合B={z∣}，在复平面内所表示的图形的面积是
A、 B、 C、 D、
6、在复平面内有五个点与方程的五个根相对应，则这五个点中有两个点在
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
7、设复数2-i和3-i的辐角主值分别为，则等于
A、1350
B、3150
C、6750
D、5850
8、设复数，那么当n取一切可能的自然数时，可取不同的值的个数是
A、3
B、4
C、5
D、6
9、设，则复数z所对应的轨迹是
A、直线
B、圆
C、抛物线
D、双曲线
10、复数对应的向量按逆时针方向旋转后得到的向量对应的复数为，则复数
z等于
A、 B、 C、 D、
11、复数分别对应复平面内的点P、Q，O为坐标原点，若，则ΔPOQ是
A、等腰直角三角形
B、等边三角形
C、一锐角为600的直角三角形
D、顶角为300的等腰三角形
12、若关于，则实数m的值是
A、17
B、
C、8
D、4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、___________。

14、复数i的一个立方根是-i，它的另外两个立方根是____________________。

15、=________________。

16、若的最大值是________________。

三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17、（本小题满分10分）
已知z是虚数，，求z。

18、（本小题满分12分）
在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别是。

19、（本小题满分12分）
已知。

（ = 1 * ROMAN I）求；
（ = 2 * ROMAN II）若的值。

20、（本小题满分12分）
已知方程。

21、（本小题满分14分）
设复数z满足：，z在复平面内的对应点为Z，A、B的坐标分别为（-1，0），（0，
-1）。

当取最大值时，判断ΔABZ是什么三角形？
22、（本小题满分14分）
设
内是否存在是实数？
一、选择题：（每题5分，共60分）
1、B
2、B
3、C
4、C
5、C
6、B
7、C 8、D 9、B 10、B 11、C 12、B
二、填空题：（每题4分，共16分
13、1 14、 15、 16、
三、解答题（共六个小题，满分74分）
17、（10分）答案：z=1-2i
18、（12分）提要：利用z
A +z
C
=z
B
可求出。

19、（12分）（ = 1 * ROMAN I）
（ = 2 * ROMAN II）由，进而由。

20、（12分）
21、（14分）等腰直角三角形。

22、（14分）假设存在满足条件的θ，则由z
1、z
2
为纯虚数可得：。

要使。

但
故满足条件的θ存在，。

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