高二选修2-2《复数》单元测试卷及其答案

合集下载

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。

2.复数就像向量，有大小和方向。

3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。

4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。

改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。

一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。

②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。

③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。

其中类比得到的结论正确的是：A。

①③B。

②④C。

②③D。

①④2.删除明显有问题的段落。

3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。

14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。

4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。

0)和(2.+∞)。

2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。

又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)(5)

一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（） A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（） A ．2B ．10C ．2D ．44．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（）A ．55i -+B ．55i -C ．55i +D ．55i --5．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．26．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（） A 2B ．2C ．22D 58．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 9．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝ A ．2 B ．2C ．4D 210．复数z 满足(1i)2i z -=，则z =A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i +11．若i 为虚数单位，复数z 满足33z i ≤，则2z i -的最大值为（） A ．2B ．3C ．23D ．3312．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（）A ．()172,172-+ B ．()171,171-+ C ．()32,32-+D ．()31,31-+二、填空题13．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．14．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.15．计算：88112i i -⎛⎫-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭______________. 16．化简：2020201921i z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.17．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________. 18．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 19．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______. 20．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____三、解答题21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=. （1）求14z i +-的最小值与最大值；（2）若4z z+为实数，求z 的值. 22．化简下列复数（1）()()6532i i -++ （2）()()()56234i i i -+---+23．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．24．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-．（Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ．25．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位）（1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．26．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =. （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B 【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立，对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确，综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．C解析：C 【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =，所以(0,2)AB OB OA =-=，则22022AB AB ==+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．4．B解析：B 【分析】由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果. 【详解】向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复向量、复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ．【点睛】解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．5．A解析：A 【分析】利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.7．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+, 因此5,z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi8．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.9．A解析：A 【解析】【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y=⎧⎨=⎩，则2x y ==，224422x yi i +=+=+=. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．B解析：B 【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i111iz i i i ==+=-+-,选B. 11．D解析：D 【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解. 【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部，又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--=故选：D. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段；（3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为22(22)(30)5AB =--+-=，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1，则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.14．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所解析：74-【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320axax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=)则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=. 所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，b =所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74- 【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .15．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为：解析：0【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值．【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦．故答案为：0．16．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案. 【详解】2019201633i i i i i =⋅==-， ()1010202010102101010082222i 2i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --. 故答案为：1i --. 【点睛】本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43ii n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等.17．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到解析：51+【分析】根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解. 【详解】解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，点Q 到圆心C 的距离为5CQ = 所以|3|z -的最大值为51CQ r +=. 51. 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.18．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的解析：12- 【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解.【详解】因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-，又因为复数z 是纯虚数，所以()()11210,2055a a +=-≠，解得12a =-，所以a 的值为12-. 故答案为：12-【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.19．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题解析：4π或54π. 【解析】【分析】由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案.【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π，故答案为：4π或54π【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 20．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0 解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．三、解答题21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i+-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z +为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y-+=++=++=++-++++，因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+，即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=，又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以4z =或1z =+或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1）93i -；（2）11i -.【分析】利用复数的加减运算法则求解.【详解】（1）()()6532i i -++，()()6325i =++-，93i =-.（2）()()()56234i i i -+---+，()()523614i =--+---，11i =-.【点睛】本题主要考查复数的加减，相等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）1z =2）13a > 【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-. （1）13251122i z i i -+==---，∴12z =；（2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-，又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >．【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．24．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果；（Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果【详解】（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a＝4，z1＝2＋4i，∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；（Ⅱ）∵()() 126438 23425a a iz aiz i-+++==-是纯虚数，∴133,222a z i==+，故195442z=+=．【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.25．（1）23z i=-；（2）11m-<<【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i=-代入得()()23123Z m m m i=--+--，由复数的概念和几何意义得()210230mm m⎧-->⎨--<⎩，解得11m-<<.试题（1）1255z z i=-+，21555532i iz iz i-+-+===--+（2）()()()2323231z z m m m i⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i⎡⎤=--+-⎣⎦()()2123m m m i=--+--由于3z所对应的点在第四象限，，所以实数m的取值范围是26．（1）132z=-+.(2）33ABCS∆=.【解析】分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b=+<>，则z a bi=-，由题2z z=，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z，2z，3z在复平面上对应点A，B，C，利用三角形的面积公式，即可求解.详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b=+，则z a bi=-，故2222z a b abi z a bi=-+==-.所以22a b a -=，2ab b =-.又0a <，0b >，解得12a =-，3b =，132z i =-+. （Ⅱ）由（Ⅰ），得132z i =-+，2132z i =--，31z =. z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，如图所示：故1233311sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 2．213(1)i i +=+（） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 3．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．复数z 满足23z z i +=-，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -5．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 6．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --7．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -8．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = )A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +9．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（） A ．32- B ．23- C ．23 D ．3210．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 11．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（）A ．2B ．12CD ．212．若i 为虚数单位，复数z满足z i ≤，则2z i -的最大值为（） A ．2 B ．3 C．D．二、填空题13．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 14．若z a bi =+，21z R z ∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 15．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.16．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________. 17．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.18．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 19．设1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 20．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________. 三、解答题21．已知复数()12251z a i a =+--，()223105z a i a =+-+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若21z z +是实数（2z 是2z 的共扼复数），求1z 的值.22．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值；(2)若11iz z =-，求复数z 的模||z .24．已知复数z 满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求z ；(2)求()()2134i i z++的值. 25．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．26．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+，故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3．A解析：A【详解】因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．4．A解析：A【解析】令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==5．A解析：A【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-，即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +.故选：A【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解. 7．A解析：A【分析】根据欧拉公式求出2cos sin 22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .8．C解析：C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ，所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi10．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝， ()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题11．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝， 22112222z ⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝．故选A ． 12．D解析：D【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部，又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--= 故选：D.【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段；（3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线. 二、填空题13．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：23- 【分析】先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b ---=即得解. 【详解】由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b i i i i -----+==++-，因为复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23- 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．或【分析】根据复数的运算得出再由复数是实数的条件得出实数应满足的条件【详解】因为故有所以或即或是ab 应满足的条件故答案为：或【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念属于中档题解析：0b =或221a b +=【分析】根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+--，再由复数是实数的条件得出实数a ，b 应满足的条件.【详解】()22222211()1212z a bi a bi a bi z a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+()()222222212()14a b abi a bi a b a b+--=++--()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b+-++--+=+-- ()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b+-+++--=+-- ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b +-++--=+-- 因为21z R z ∈+，故有()2210b b a --=,所以0b =或2210b a --=，即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件.故答案为：0b =或221a b +=.【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.15．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：(1)cos sin 33z i i ππ⎛⎫=+⋅+= ⎪⎝⎭，故填1122++..【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.16．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到解析：51+【分析】根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解.【详解】解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆， |3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，点Q 到圆心C 的距离为5CQ =所以|3|z -的最大值为51CQ r +=.51.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 17．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模解析：20x y -+= 【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈2222(2)(2)x y x y +=++-简即可求解.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22z x y =+2222(2)(2)(2)(2)z i x y i x y +-=++-=++-=20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=.故答案为：20x y -+=.【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.18．【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组结合两角和的余弦公式化简求得的值【详解】得即故答案为：【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件考查两角和的余弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基解析：12【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组，结合两角和的余弦公式，化简求得cos()αβ+的值.【详解】1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ∴-=-++=+，5cos cos ,1312sin sin ,13αβαβ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①② 22+①②，得22cos()1αβ-+=，即1cos()2αβ+=. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．-2【分析】设（s ）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s ）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性解析：-2【分析】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．利用212x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，2212x x s t =+．2112210x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取12x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出．【详解】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+． ∵()223223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=，∴223s t =．∴122x x s +=，2212x x s t =+． ∴()22221212121242s x x x x x x x x =+=++=， ∴122110x x x x ++=，取12x x ω=，则210ωω++=，∴31ω=．则2481632248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220ωωωω=++++2=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.20．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z 为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和解析：6【分析】利用立方差公式，由38z =，得()2(2)240z z z -++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z +++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z =，得()2(2)240z z z -++=.又z 为虚数，得2240z z ++=.∴()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用. 三、解答题21．（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1z = 【分析】（1）根据复数1z 对应点所在的象限得出关于实数a 的不等式组，解出即可；（2）根据12z z +是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数a 的值，再利用复数的模长公式可计算出1z 的值.【详解】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则201250a a ⎧<⎪-⎨⎪-<⎩，解得152a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即512a <<.故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()223105z a i a =+-+，()223105a i a z =--+∴， ()()()2212233225102151551z z a i a i a a i a a a a∴+=+-+--=+++--++-. 12z z +是实数，2215015a a a a ⎧+-=⎪∴≠⎨⎪≠-⎩，解得3a =， ()122511z a i i a∴=+-=-+-，1z ∴= 【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.22．（1）5；（2）22i -或. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++，由2510z z +=+得()()222225410x y x y ++=++，化简得2225x y +=，因此，225z x y =+=；（2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得1023102x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1023102x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，10310i z =-或10310i -+. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解；（2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数，所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．（1）43i --；（2）2【分析】（1）先求出为34i 5+= ,即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求出z ；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．12-【解析】分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >，设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1212,12k k ⇒==．所以12k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题. 26．112m =【解析】分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=，因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=，由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.。

高中数学选修2-2分章节测试卷(含答案)

第一章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x )C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)2．(2009·广东三校联考)函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A.12B ．－1C ．0D ．－123．如果f (x )为定义在R 上的偶函数，且导数f ′(x )存在，则f ′(0)的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－14．(2009·全国卷Ⅰ)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－25．已知f (x )＝(x －1)2＋2，g (x )＝x 2－1，则f [g (x )]( ) A ．在(－2,0)上递增 B ．在(0,2)上递增 C ．在(－2，0)上递增 D ．在(0，2)上递增6．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．2≤m ≤47．(2009·江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或78．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 9．由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成图形的面积可表示为( ) A.⎠⎛0π(sin x －cos x )dxC.⎠⎛0π(cos x －sin x )dx10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则f (a )的最大值为( )A ．－12B.19C.29D ．不存在11．(2009·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π412．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛02(2x －e x )dx ＝________.14．(2009·海淀区模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的导函数y＝f ′(x )的部分图象如右图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.15．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________． 16．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，当t ＝________ s 时，两物体相遇，相遇时物体A 走过________m.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2009·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)已知F(x)＝⎠⎛x－1t(t－4)dt，x∈(0，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．20．(本小题满分12分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根？(其中a>0)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明a>0；(2)求z＝a＋2b的取值范围．22．(本小题满分12分)(2009·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.第二章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．所有自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段推理( ) A ．正确 B ．推理形式不正确 C ．两个“自然数”概念不一致 D ．两个“整数”概念不一致 2．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －aB.b 2a <2b －aC.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 3．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋144．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有：①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中为真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④5．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．57．若O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心8．如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走( )A ．15B ．16C ．17D ．189．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：||AB ||＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||AC ||＋||CB ||＝||AB ||； ②在△ABC 中，若∠C ＝90°，则||AC ||2＋||CB ||2＝||AB ||2； ③在△ABC 中，||AC ||＋||CB ||>||AB ||. 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知a ，b ，c ，d 是正实数，P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ，则有( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <411．一个等差数列{a n }，其中a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (1≤n ≤19)．一个等比数列{b n }，其中b 15＝1.类比等差数列{a n }有下列结论，正确的是( )A ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)B ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－nC ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n 12．观察数表1 2 3 4 …第一行 2 3 4 5 …第二行 3 4 5 6 …第三行 4 5 6 7 …第四行 … … … …第一列第二列第三列第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n 列的交叉点上的数应该是( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________.14．若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是________．15．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…，则第104个括号内各数字之和为________．16．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －2x 2＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)证明对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.18．(本小题满分12分)(2009·江苏高考)如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．(本小题满分12分)求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N*，④当x>y时，有f(x)>f(y)．(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？22．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝x2＋abx－c(b，c∈N)有且只有两个不动点0,2，且f(－2)<－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知各项均不为零的数列{a n}满足4S n·f(1a n)＝1，求数列的通项a n；(3)如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证当n≥2时，恒有a n<3成立．第三章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能实数也可能是虚数D ．纯虚数 2．复数4＋3i1＋2i 的实部是( )A ．－2B ．2C ．3D ．43．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的对应点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．65．若3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个根，则q 的值是( ) A ．26B ．13C ．6D ．56．已知z 1＝2－5i ，z 2＝－3＋i ，z 1，z 2的对应点分别为P 1，P 2，则向量P 2P 1→对应的复数为( ) A ．－5＋6iB ．5－6iC ．5＋6iD ．－1－4i7．已知m1＋i ＝1＋n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 的值为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i8．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆9．“复数z ＝12＋32i ”是“z ＋1z ∈R ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10．复数－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i11．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i )n(n ∈N *)，则集合{x |x ＝f (n )}中的元素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个12．若复数z ，a ，x 满足x ＝a －z 1－a z，且|z |＝1，则|x |等于( )A ．0B ．1C ．|a |D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 14．复数z 满足|z ＋2＋2i|＝|z |，那么|z －1＋i|的最小值是________． 15．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab ＝________.16．对于n 个复数z 1，z 1，…，z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1，z 2，…，z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(1)设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )．若z 1z 2为实数，求实数x ； (2)计算：(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7－i 11)(4－3i)．18．(本小题满分12分)在复数范围内解方程|z 2|＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i .(i 为虚数单位)19．(本小题满分12分)已知z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知z ∈C ，z －1z ＋1是纯虚数，求|z 2－z ＋2|的最小值．21．(本小题满分12分)设虚数z 满足|2z ＋5|＝|z ＋10|. (1)求|z |的值；(2)若z m ＋mz为实数，求实数m 的值；(3)若(1－2i)z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .22．(本小题满分12分)对任意一个非零复数α，定义M α＝{ω|ω＝α2n －1，n ∈N *}．(1)设α是方程x ＋1x ＝2的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个元素，求其和为零的概率P ；(2)若集合M α中只有三个元素，试写出满足条件的一个α值，并说明理由．第一章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：y ′＝－cos(π4－x )＝－sin[π2－(π4－x )]＝－sin(π4＋x )．答案：D2．解析：f ′(x )＝ax ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题知当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值．答案：B3．解析：偶函数的导数为奇函数，即f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0. 答案：C4．解析：y ′＝1x ＋a ，设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切的切点为(x 0，x 0＋1)，则1x 0＋a ＝1，∴x 0＝1－a ，∴ln(1－a ＋a )＝2－a ，∴e 2－a ＝1， ∴a ＝2. 答案：B5．解析：F (x )＝f [g (x )]＝x 4－4x 2＋6，F ′(x )＝4x 3－8x .令F ′(x )>0，得－2<x <0或x >2，∴F (x )在(－2，0)上递增．答案：C6．解析：由题意，得f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋(15m 2－2m －7)，由于f ′(x )≥0恒成立，故Δ≤0，解得2≤m ≤4. 答案：D7．解析：设直线与曲线y ＝x 3的切点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30y 0x 0－1＝3x 20⇒切线斜率k ＝3x 20＝0或k ＝274. 若k ＝0，切线方程为y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9，消去y ，得ax 2＋154x －9＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－2564；若k ＝274，切线方程为y ＝274(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9消去y ，得ax 2－3x －94＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－1. 答案：A8．解析：∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，由题知，f ′(x )<0在(－1，＋∞)上恒成立，即－x ＋bx ＋2<0，∴b <x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1. ∴b <－1.又当b ＝－1时，f ′(x )＝－x －1x ＋2＝－x (x ＋2)＋1x ＋2＝－(x ＋1)2x ＋2<0，∴b ≤－1. 答案：C9．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成的图形，如下图的阴影部分．答案：B10．解析：⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 答案：C11．解析：根据几何概型的意义，所投的点落在阴影部分的概率是S 阴影S 矩形，由S 阴影＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x )|π0＝2，所求概率为S 阴影S 矩形＝22π＝1π. 答案：A 12．解析：设函数F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )≤0，∴F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a <b ，∴F (a )≥F (b )，即af (a )≥bf (b )．又∵0<a <b ，f (b )≥0，∴af (a )≤bf (a )，bf (b )≥af (b )．∴bf (a )≥af (b )．答案：A二、填空题：13.解析：⎠⎛02(2x －e x )dx ＝(x 2－e x )|20＝4－e 2＋1＝5－e 2. 答案：5－e 214．解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，依题意，得ω＝2,2cos(π3＋φ)＝－1，解得φ＝π3.答案：2 π315．解析：∵y ′＝a (3x 2－1)，令y ′<0，当a >0时，不等式的解集为(－33，33)；当a <0时，不等式的解集为(－∞，－33)∪(33，＋∞)．∵已知函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减， ∴a >0. 答案：a >016．解析：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有s A ＝s B ＋5，即10tdt＋5，t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，解得t 0＝5 s ．所以s A ＝5t 20＋5＝130(m)．答案：130三、解答题：17．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3，则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12，所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．18．解：F (x )＝⎠⎛x －1(t 2－4t )dt ＝(13t 3－2t 2)|x －1＝13x 3－2x 2－(－13－2)＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4，由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)∪(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F (x )在[1,4]上递减，[4,5]上递增．又∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253. 19．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.20．解：函数的定义域为R ，其导函数为y ′＝3x 2－3a .由y ′＝0，得x＝±a ，列表讨论如下：x (－∞，－a ) －a(－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得，函数x ＝－a 处取得极大值2＋2a 32；在x ＝a 处取得极小值2－2a 32.根据列表讨论，可作出函数的草图(如右图所示)，因为极大值f (－a )＝2＋2a 32>0，故当极小值f (a )＝2－2a 32<0，即a >1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f (a )＝2－2a 32>0，即0<a <1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有唯一的实根．21．解：求函数f (x )的导数得 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)证明：由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f ′(x )>0，函数为增函数，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎨⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A (47，67)，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．22．解：(1)f ′(x )＝x －ax ，∵x ＝2是一个极值点，∴2－a2＝0.∴a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x 2－4x ＝(x －2)(x ＋2)x.∵f (x )的定义域是{x |x >0}，∴当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. ∴当a ＝4时，x ＝2是f (x )的极小值点．∴a ＝4. (2)∵f ′(x )＝x －ax，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0有x >a ，∴函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0有0<x <a ，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴g (x )>g (1)＝16>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.第二章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．答案：A 2．解析：∵b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，∴b 2a≥2b －a . 答案：C 3．解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．故选D. 4．解析：若F (k )真，则F (k ＋1)一定真，其逆否命题为F (k ＋1)不真，则F (k )不真． ∴F (7)不真，则F (6)不真；F (6)不真，则F (5)不真．答案：A5．解析：x 2＋y 2＋2x ＝x 2＋(6x －2x 2)＋2x ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16≤16. 答案：C6．解析：∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2) ∴令x ＝－1则有 f (1)＝f (－1)＋f (2) ∴f (2)＝2f (1)又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1∴f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＋f (3) ＝f (2)＋f (2)＋f (1) ＝2f (2)＋f (1)＝2＋12＝52. 答案：C7．解析：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λ(e 1＋e 2)，∴AP 是∠A 的内角平分线．答案：B8．解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到H 点，需从F 、E 、G 走过来，F 、E 、G 各点又可由哪些点走过来，……，这样一步步倒推，最后归结到A ，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至B 、C 、D 的路数记在B 、C 、D 圆圈内，B 、C 、D 分别到F 、E 、G 的路数亦记在F 、E 、G 圆圈内，最后F 、E 、G 各个路数之和，即得至H 的总路数如答图1所示．答案：C9．解析：①当点C 在线段AB 上时，可知||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故①是正确的．②取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，则||AC ||2＝1，||BC ||2＝1，||AB ||2＝(1＋1)2＝4，故②是不正确的．③取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，证明||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故③不正确．故选B. 10．解析：P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b>a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋d ＋c ＋c c ＋d ＋a ＋b ＋d c ＋d ＋b ＋a ＝1， P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b<a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋d c ＋d ＝2， ∴1<P <2. 答案：B11．解析：在等差数列{a n }中，a 10＝0，知以a 10为等差中项的项和为0，如a 9＋a 11＝a 8＋a 12＝…＝a 2＋a 18＝a 1＋a 19＝0.而在等比数列{b n }中，b 15＝1，类比地有b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1.从而类似地总结规律应为各项之积．∵等差数列{a n }中a 10＝0，∴a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a 8＋a 12＝a 9＋a 11＝0. 即：a 19－n ＋a n ＋1＝0， a 18－n ＋a n ＋2＝0， a 17－n ＋a n ＋3＝0， …∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n . ∵b 15＝1，∴b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1. 即b 29－n b n ＋1＝b 28－n b n ＋2＝…＝b 14b 16＝1.∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)．故选A.12．解析：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行第n 列交叉点上的数应该是2n －1. 答案：A二、填空题：13．解析：由平面图形到空间图形的类比过程中，边长→面积，面积→体积．答案：13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．解析：答案不唯一．因为a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2，又(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，因此答案成立．同时：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )；a *(b ＋c )＝(a ＋b )*c ＝(b ＋c )*a ＝(a ＋c )*b ；(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 也符合题意．答案：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )15．解析：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515,517,519,521，其和为2072. 答案：207216．解析：P n (x 0)＝a 0x n －10＋…＋a n －2x 20＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1.故共需计算次数为n ＋n (n ＋1)2＝12n (n ＋3)．第二种运算中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1，需2次运算．P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2，需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算．答案：12n (n ＋3) 2n三、解答题：17．证明：(分析法)要证x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2，只需证明2(x 4＋y 4)≥xy (x ＋y )2，即证2(x 4＋y 4)≥x 3y ＋xy 3＋2x 2y 2.只需x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3与x 4＋y 4≥2x 2y 2同时成立即可．又知x 4＋y 4－2x 2y 2＝(x 2－y 2)2≥0，即x 4＋y 4≥2x 2y 2成立，只需再有x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立即可．由于x 4＋y 4－x 3y －xy 3＝(x －y )(x 3－y 3)， ∵x －y 与x 3－y 3同号，∴(x －y )(x 3－y 3)≥0，即x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立．∴对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2成立．18．证明：(1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ，又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．证明：假设三条抛物线均与x 轴无两交点，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ≤0，即12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≤0，∴a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．解：(1)∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)·f (1)，又f (2)＝2，∴f (1)＝1.又∵f (4)＝f (2·2)＝f (2)·f (2)＝4,2＝f (2)<f (3)<f (4)＝4，且f (3)∈N *.∴f (3)＝3.(2)由f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，猜想f (n )＝n (n ∈N *)．(3)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，f (1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n ＝k 时，f (k )＝k ，函数解析式成立．①若k ＋1＝2m (m ∈N *)，f (k ＋1)＝f (2m )＝f (2)·f (m )＝2m ＝k ＋1. ②若k ＋1＝2m ＋1(m ∈N *)，f (2m ＋2)＝f [2(m ＋1)]＝f (2)·f (m ＋1)＝2(m ＋1)＝2m ＋2，2m ＝f (2m )<f (2m ＋1)<f (2m ＋2)＝2m ＋2. ∴f (2m ＋1)＝2m ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时，函数解析式成立．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f (n )＝n (n ∈N *)成立． 21．解：(1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40， ∴d ＝3.(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)， a 30＝10[(d ＋12)2＋34]，当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[7.5，＋∞)；(3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求a 10(n ＋1)的取值范围研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)，依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×1－d n ＋11－d ，d ≠1，10(n ＋1)，d ＝1.当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)． 22．解：(1)依题意有x 2＋a bx －c＝x ，化简为(1－b )x 2＋cx ＋a ＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2＋0＝－c 1－b，2·0＝a 1－b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1＋c 2，代入表达式得f (x )＝x 2(1＋c 2)x －c ，由f (－2)＝－21＋c <－12，得c <3.又因为c ∈N ，b ∈N ，若c ＝0，b ＝1，f (x )＝x 不止有两个不动点，若c ＝1，b ＝32，则f (x )＝x只有一个不动点，所以c ＝2，b ＝2，故f (x )＝x 22(x －1)(x ≠1)．(2)由题设得4S n ·(1a n)22(1a n－1)＝1，得2S n ＝a n －a 2n ，(*) 且a n ≠1，把n －1代入得2S n －1＝a n －1－a 2n －1.(**)由(*)与(**)两式相减得2a n ＝(a n －a n －1)－(a 2n －a 2n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1＋1)＝0，所以a n ＝－a n －1或a n －a n －1＝－1，把n ＝1代入(*)得2a 1＝a 1－a 21，解得a 1＝0(舍去)或a 1＝－1.由a 1＝－1，a n ＝－a n －1，得a 2＝1，这与a n ≠1矛盾，所以a n －a n －1＝－1，即{a n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以a n ＝－n .(3)证明：(采用反证法)假设a n ≥3(n ≥2)，则由(1)知a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2a n －2，所以a n ＋1a n ＝a n 2(a n －1)＝12·(1＋1a n －1)≤12(1＋12)＝34<1，即a n ＋1<a n (n ≥2，n ∈N )，有a n <a n －1<…<a 2，而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，所以a 2<3.这与假设矛盾，故假设不成立，所以a n <3.第三章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数．答案：B2．解析：4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i)(1－2i)1＋22＝(4＋6)＋(3－8)i5＝2－i. 答案：B3．解析：m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(m －4)－2(m ＋1)i5，对于m 的值，不存在m 使m －4>0且m＋1<0，故对应的点不可能在第一象限．答案：A4．解析：∵z ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝a ＋65＋(3－2a )i 5.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，a ≠32.答案：C5．解析：由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，是互为共轭复数的，故另一根为3－2i ，则(3＋2i)·(3－2i)＝q2＝13.故选A.6．解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1→对应的复数为z 1－z 2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i. 答案：B7．解析：由m1＋i ＝1＋n i 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n i ＝2＋i. 答案：C8．解析：设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|. ∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.9．解析：由z ＝12＋32i 可得，z ＋1z ＝12＋32i ＋12－32i ＝1∈R . ∴z ＝12＋32i 是z ＋1z ∈R 的充分条件．但z ＋1z ∈R ⇒|z |＝1z ＝12＋32i ，所以z ＝12＋32i 是z ＋1z∈R 的充分非必要条件．答案：A10．解析：－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008＝i(35i ＋2)2＋35i ＋1i1004＝i ＋1. 答案：B11．解析：f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i1＋i )n ＝i n ＋(－i)n (n ∈N *)，根据i n 取值的周期性，给n 赋值发现集合{x |x ＝f (n )}＝{0，－2,2}，故应选C.12．解析：由|z |＝1，得|z |2＝1，即z ·z ＝1，所以x ＝a －z z z －a z ＝a －zz (z －a )＝－1z＝－z ，所以|x |＝|－z |＝1. 答案：B二、填空题：13．解析：由已知得z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝1－32i. 答案：1－32i14．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z ＋2＋2i|＝|z |得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2，即x ＋y ＋2＝0，点(1，－1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|1－1＋2|2＝2，∴|z －1＋i|的最小值为 2. 答案： 215．解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)4＋1＝－1＋3i由－1＋3i ＝a ＋b i 得a ＝－1，b ＝3 ∴ab ＝－3 答案：－316．解析：由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 2·(－2)＝0，即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0.∴k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.(答案不唯一，只需满足1∶2∶32的任何一组都行) 答案：{1,2，32}三、解答题：17．解：(1)z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x ＋2i ＋x i －2＝(x －2)＋(2＋x )i ，因为z 1z 2是实数，所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i －4i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.18．解：原方程化简为|z |2＋(z ＋z )i ＝1－i ，设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，代入上述方程；得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，2x ＝－1.解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.所以原方程的解是z ＝－12±32i.19．解：z ＝2＋4i －(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)＝1－i ，ω＝1＋(a －1)i ，ωz ＝1＋(a －1)i1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i 2，由|ωz |≤2，得(2－a 2)2＋(a2)2≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －1z ＋1＝(x －1)＋y i (x ＋1)＋y i ＝x 2＋y 2－1＋2y i(x ＋1)2＋y 2是纯虚数，∴x2＋y 2＝1且y ≠0，于是－1<x <1.而|z 2－z ＋2|＝|(x ＋y i)2－(x ＋y i)＋2|＝|(x 2－y 2－x ＋2)＋y (2x －1)i|＝(x 2－y 2－x ＋2)2＋y 2(2x －1)2＝8x 2－6x ＋2＝8(x －38)2＋78，∴当x ＝38时，|z 2－z ＋2|取得最小值144. 21．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 (2x ＋5)2＋(2y )2＝(x ＋10)2＋y 2. 化简得x 2＋y 2＝25.∴|z |＝5. (2)∵z m ＋m z ＝x ＋y i m ＋m x ＋y i＝(x m ＋mx x 2＋y 2)＋(y m －myx 2＋y2)i 为实数，∴y m －myx 2＋y 2＝0. 又y ≠0，且x 2＋y 2＝25， ∴1m －m25＝0，解得m ＝±5. (3)(1－2i)z ＝(1－2i)(x ＋y i)＝(x ＋2y )＋(y －2x )i ，依据题意，得x ＋2y ＝y －2x . ∴y ＝－3x .①又∵|z |＝5，即x 2＋y 2＝25.② 由①、②得⎩⎨⎧x ＝102，y ＝－3102或⎩⎨⎧x ＝－102，y ＝3102.∴z ＝102－3102i 或z ＝－102＋3102i. 22．解：(1)解方程x ＋1x ＝2，得x ＝22±22i.当α1＝22＋22i 时，ω＝α2n －11＝(α21)nα1＝[(22＋22i)2]n α1＝in α1.由i n 的周期性知，ω有四个值，n ＝1时，ω＝22＋22i ；n ＝2时，ω＝－22＋22i ；n ＝3时，ω＝－22－22i ；n ＝4是，ω＝22－22i. 当α2＝22－22i 时，ω＝α2n －12＝(α22)n α2＝(－i)nα2.当n ＝1时，ω＝22－22i ；n ＝2时，ω＝－22－22i ；n ＝3时，ω＝－22＋22i ；n ＝4时，ω＝22＋22i.∴不论α＝22＋22i 还是α＝22－22i ，都有 M α＝{22＋22i ，22－22i ，－22＋22i ，－22－22i}，P ＝2C 24＝13. (2)取α＝－12＋32i ，则α3＝1，α5＝－12－32i ，于是M α＝{α，α3，α5}＝{－12＋32i,1，－12－32i}．(或取α＝－12－32i ，则α3＝1，α5＝－12＋32i)。

高二数学周练试卷—复数苏教版选修2-2

某某省新沂高流中学高二数学周练试卷—复数命制人：徐飞翔班级某某得分一．填空题（每题5分，共70分）1．复数11z i=-的共轭复数是______. 2．在复平面内，O 是原点，OA ，OC ，AB 表示的复数分别为-+++23215i i i ，，，那么BC 表示的复数为______3.设,2321i w +-=则_______________2321,,=++==w w w w 4.设43z i =+，则1z的虚部是 5.若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位），其中m R ∈则____z = 6.164-x 在复数X 围内分解成一次式的乘积为7.已知C ∈z ，且i ,1|i 22|=--z 为虚线单位，则|i 22|-+z 的最小值是8.复数1011i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值是9.已知复数z x yi =+，其中实数,x y 满足方程222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，则z =10.对应的点的轨迹是则在复平面内＋且已知z z i z C z ,1621,1=++-∈ 11.复数),0(,,1321R b a ai b z bi a z z ∈>+=+==，且321,,z z z 成等比数列，则=2z 12.复数2(,12m iz m R i i-=∈+为虚数单位)在复平面上对应的点不可能．．．位于第象限. 13. 已知函数221)(x x x f +=，那么)4()31()3()21()2()1(i f i f i f i f i f f +++++)41(if +=__________ 14. 将给定的25个数排成如右图所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a 33＝i ，则表中所有数之和为二．解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共90分．）15.（13分）计算25(4)(2)i i i ++16.（13分）（在复数X 围内）解方程iii z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位)17.（15分）已知关于x 的实系数方程04a 4a ax 2x 22=+-+-的两根分别为,x ,x 21且3x x 21=+，求a 的值11121314152122232425a a a a a a a a a a a a a a a18（15分）已知1221++=x i x Z ，i a x Z )(22+=对于任意实数x ，都有21Z Z >恒成立，试某某数a 的取值X 围19.（16分）已知z 为复数，z ＋2i 和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，某某数a 的取值X 围．20.（18分）设z 是虚数，ω=z +z1是实数，且－1＜ω＜2 （1）求|z |的值及z 的实部的取值X 围；（2）设u =zz+-11，求证：u 为纯虚数；（3）求ω－u 2的最小值参考答案ii ii i i x i x x x i i i 381.1525.1427.13.122123.11.102,21.91.83.7)2)(2)(2)(2.(63.5253.40,1,2321.344.22121.1-+++-+-+------一椭圆16.[解]原方程化简为i i z z z -=++1)(2, 设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i,∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i. 17.解：1616)44(4422-=+--=a a a a ∆)1( （1）若0≥∆，则方程有实根，且0)2(221≥-=a x x23,322121±=∴==+=+∴a a x x x x 代入（1）得),23(23舍去不符题意-=a （2）若0<∆，则方程有两个共轭虚根，且32244222121=-=+-==+a a a x x x ，2127或=∴a 代入（1）得)27(21舍去=a 所以2123或=a18.解：∵|z 1|＞|z 2|，∴x 4+x 2+1＞(x 2+a )2 ∴(1－2a )x 2+(1－a 2)＞0对x ∈R 恒成立当1－2a =0，即a =21时，不等式成立; 当1－2a ≠0时，⎩⎨⎧<--->-0)1)(21(40212a a a⇒－1＜a 21综上，a ∈(－1，21]19. 4-2i ，（2，6）20（1）解：设z =a +b i(a 、b ∈R ，b ≠0)，则ω=a +b i+i 1b a +=(a +22b a a +)+(b －22b a b +)i ∵ω是实数，b ≠0， ∴a 2+b 2=1，即|z |=1∵ω=2a ，－1＜ω＜2，∴z 的实部的取值X 围是(－21，1)（2）证明：u =z z +-11=i1i1b a b a ++-- =i)-i)(11(i)i)(11(b a b a b a b a +++-+--=2222)1(i 21b a b b a ++--- =－1+a b i∵a ∈(－21，1)，b ≠0， ∴u 为纯虚数（3）解：ω－u 2=2a +22)1(+a b=2a +22)1(1+-a a =2a －11+-a a =2a －1+12+a =2［(a +1)+11+a ］－3∵a ∈(－21，1)，∴a +1＞0∴ω－u 2≥2×2－3=1当a +1=11+a ，即a =0时，上式取等号∴ω－u 2的最小值为1。

苏教版高中数学选修2-2高二年级复数单元测试卷.docx

常州市北郊中学高二年级数学复数单元测试卷班级：姓名：一．填空题：（每小题5分，共60分．）1.设43z i =+，则1z的虚部是 .2.已知||5z =，且(34)i z +是纯虚数，则z = .3.在复数范围内解方程2250x x ++=，解集是 .4.复数1011i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值是 .5.已知复数z x yi =+，其中实数,x y 满足方程222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，则z = .6.关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实根，则实数m 的取值范围是 .7.复数z 满足11zi z-=+，则|1|z += . 8.若210z z ++=，则200820081z z+= .9.复数2(,12m iz m R i i-=∈+为虚数单位)在复平面上对应的点不可能．．．位于第象限. 10.在复平面内，向量OP 对应的复数是1i -，将OP 向左平移一个单位后得到00O P ，则0P 对应的复数为 .11.复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最小值是 . 12.已知集合{|,}1x iM z z x R xi+==∈-，则M 中元素的个数为 .二．解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．每小题10分，共40分．）13.①计算25(4)(2)i i i ++；②计算1283122()()2213i i i+--+-.14.设(,)z a bi a b R =+∈，求证11z z -+是纯虚数的充要条件是||1z =且0b ≠.15.证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2iz i z i z i-+--+=+(i 为虚数单位)无解.16.复数3(1)()1i a bi z i++=-且||4z =，z 对应的点在第一象限，若复数0,,z z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数,a b 的值.常州市北郊中学高二年级数学复数单元测试卷答案123456325-(43)i ±+{12}i -±1-12,2i i ++112m =789 10111221-一i -1 113（1）（2）14 15 16138i -783i -+ 略略3,1a b =-=-。

人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆 2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( )A ．1BC ．2 D4．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i 5．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z =( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i -6．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 7．已知i 为虚数单位，复数32i 2i z +=-，则以下命题为真命题的是（） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75- C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限 8．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( )A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 10．复数z 满足(1i)2i z -=，则z = A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i + 11．设复数11i zi ，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______.14．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.15．已知复数342i z i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限. 16．复数2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭的辐角主值为________.17．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________. 18．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________.19．已知复数z ＝a i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．20．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足i 1i 1i z =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________. 三、解答题21．已知复数1z i =-.（1）设25341z z ω=+-+，求ω的值；（23≥的实数a 的取值范围. 22．已知m R ∈，复数2(1i)(5i 3)(46i)z m m =+-+-+，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？（4）z 在复平面内对应的点在第四象限？23．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位）（2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数；（iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．24．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z．（I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11m z n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 25．已知复数z 使得2z i R +∈，2z R i∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 26．已知m ∈R ，复数z ＝()()22211m m m m i m +++--，当m 为何值时：（1）z ∈R ；（2）z 是虚数；（3）z 是纯虚数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立，对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确，综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．A解析：A【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】：∵|z ＋i|＋|z －i|＝2∴点Z 到点A （0，-1）与到点B （0，1）的距离之和为2．∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|z ＋1＋i|表示为点Z 到点（-1，-1）的距离．数形结合，得最小距离为1故选A ．【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．4．C解析：C【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.5．A解析：A【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 6．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论.【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题.7．D解析：D【分析】利用复数的除法运算，化简32i 2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.【详解】 ()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，5z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.8．A解析：A【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-， ∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+．则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限．故选：A ．【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.9．A解析：A【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +.故选：A【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解. 10．B解析：B【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i 111iz i i i ==+=-+-,选B. 11．C解析：C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解.【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-，所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--，所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限.故选：C12．A解析：A【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+，所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限. 故选:A.本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复解析：38；【分析】假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为z ，23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则 ()232232p i z q i z ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数，所以32z i =-- ②把②代入①可知1226p q =⎧⎨=⎩所以38p q +=故答案为：38【点睛】本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题14．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所解析：74- 【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=) 则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，8b =±，所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z . 15．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识解析：一【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限.【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1），故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故答案为：一.【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 16．【分析】先化简再根据辐角主值的定义求解即可【详解】因为所以所以所以复数z 的辐角主值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析属于基础题解析：34π先化简2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭再根据辐角主值的定义求解即可.【详解】因为11i i i +=-,所以2021202111i i i i +⎛⎫== ⎪-⎝⎭所以331cos sin 44z i i ππ⎫=-+=+⎪⎭,所以复数z 的辐角主值为34π. 故答案为：34π 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析,属于基础题.17．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，12z z -==，因为45sin 26θ-，故12z z -..【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.18．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z 为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和解析：6【分析】利用立方差公式，由38z =，得()2(2)240z z z -++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z +++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z =，得()2(2)240z z z -++=.又z 为虚数，得2240z z ++=.∴()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用. 19．【分析】由题意可得a ＜0由|z|=2可得a 的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a ＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i 故答案为﹣1+i 【点睛】该题解析：【分析】由题意可得a ＜0，由|z|=2，可得a 的方程，解出即得．【详解】∵i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴a ＜0，由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去），∴z=﹣．故答案为﹣【点睛】该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i【解析】根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．（1）5i ；（2）1(2,][1,)6-+∞.【分析】（1）将复数1z i =-代入25341z z ω=+-+，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误；（2）将复数1z i =-≥，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.【详解】（1）1z i =-.()()255314311211i i i i ω∴=++-=+---+ ()()()512311212i i i i +=+--+ 12315i i i =++-=；（2≥3≥，即()2231220a a a a ⎧⎡⎤+-≥+⎪⎣⎦⎨⎪+>⎩，整理得26710a a -+≥且2a >-，解得126a -<≤或1a ≥，所以实数a 的取值范围是[)12,1,6⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.22．（1）6m =或1m =-（2）6m ≠且1m ≠-（3）4m =（4）46m <<【分析】由题意得解得22(34)(56)z m m m m i =--+--，（1）由2560m m --=，求出m 即可；（2）2560m m --≠，即可得出m ；（3）由22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得m 范围；（4）根据象限特征，由22340560m m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得m 范围. 【详解】解：()()()21i 5i 346i z m m =+-+-+=()()223456i m m m m --+--，（1）由2560m m --=得6m =或1m =-，即当6m =或1m =-时，z 为实数；（2）由2560m m --≠得6m ≠且1m ≠-，即当6m ≠且1m ≠-时，z 为虚数；（3）由22340{560m m m m --=--≠，，得4m =，即当4m =时，z 为纯虚数；（4）由22340{560m m m m -->--<，，解得46m <<，即当46m <<时，z 在复平面内对应的点在第四象限.【点睛】本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．23．（1）122z i =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩12z ∴=- （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z =()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211111211111a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭ 12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．24．（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-=【分析】（I ）设1z x yi =+，得出2z 的表达式，根据12(1)(1)z iz i -=+和1z =方程组求得,x y 的值，进而求得1z 的值.（II ）根据（I ）的结论确定1z 的值.代入11m z n i z +=+运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得,m n 的值. 【详解】解：（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ，∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z ，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+ （II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--，则有(1)1m i n i i +--=+-+，∴12112m n m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩．【点睛】本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题. 25．（1）42i +；（2）()2,2-.【分析】(1)根据2z i R +∈、2z R i∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x = 综上，有42z i =- ∴42z i =+（2）∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围26．（1）1m =-+1m =-2）1m ≠-+1m ≠-1m ≠；（3）0m =或2m =-.【分析】（1）解221m m +-=0，1m ≠，即可得解；（2）虚部不为0，则该复数为虚数，则2210m m +-≠，1m ≠即可得解；（3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，根据()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠即可得解.【详解】（1）z ∈R ，所以221m m +-=0，1m ≠，212m -±==-所以，当1m =-+1m =--z ∈R ；（2）z 是虚数，则2210m m +-≠，1m ≠，当1m ≠-+1m ≠--1m ≠时，z 是虚数；（3）z 是纯虚数，()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠，所以0m =或2m =-时，z 是纯虚数.【点睛】此题考查复数的概念，根据复数的分类求解参数的取值，需要熟练掌握复数的概念，准确求解.。

高中数学选修2-2第三章复数测试题

选修2-2第三章复数测试题时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．i 为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i3．若复数z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．－2或2 4.如右图，在复平面内，向量OP→对应的复数是1－i ，将OP →向左平移一个单位后得到O 0P 0→，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i6．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i7.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i8．满足条件|z －1|＝|5＋12i|的复数z 在复平面上对应Z 点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cb d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i 10．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝a ＋(a ＋3)i ，且z 1z 2>0，则实数a 的值为( )A ．0B ．0或－5C ．－5D ．以上均不对 11．复数z 满足条件：|2z ＋1|＝|z －i|，那么z 对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 12．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．复数i 2(1＋i)的实部是__________．14．复数z ＝2＋i1＋i (i 为虚数单位)，则z 对应的点在第________象限．15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋，i 是虚数单位)是方程x 2－4x ＋5＝0的根．复数ω＝u ＋3i(u ∈R)满足|ω－z |<25，则u 的取值范围为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．18．(12分)计算：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ； (2)4＋5i (5－4i )(1－i ).19.(12分)已知复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i，ω＝z ＋a i(a ∈R)，当⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2时，求a 的取值范围． 20．(12分)在复平面内，复数z 1在连结1＋i 和1－i 的线段上移动，设复数z 2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z 1＋z 2在复平面上移动范围的面积．21.(12分)设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ≤3，求|z |的最大值和最小值．22.(12分)关于x 的方程x 2－(1＋3i)x ＋(2i －m )＝0(m ∈R)有纯虚根x 1.(1)求x 1和m 的值；(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x 2，并给予证明； (3)设x 1，x 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，求|AB |.答案1．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i 2i ＝－1，故选A. 2．A z 2－2z ＝z (z －2) ＝(1＋2i)(2i －1) ＝－2－1＝－3.3．A ∵z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数， ∴{ x 2－4＝0，x －2≠0，⇒x ＝－2.4．D 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道OP 0→，而OP 0→＝OO 0→＋O 0P 0→，从而可求P 0对应的复数．∵O 0P 0→＝OP →，OO 0→对应的复数是－1，∴P 0对应的复数即OP 0→对应的复数是－1＋(1－i)＝－i. 5．D 由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.6．B ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i. ∴z ·z ＝|z |2＝2.∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.7．D 设z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 由z ＋z ＝2，得2a ＝2，即a ＝1；又由(z －z )i ＝2，得2b i·i ＝2，即b ＝－1. 故z ＝1－i.8．C 本题中|z －1|表示点Z 到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数5＋12i 的模长，所以|z －1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注意复数的模的定义及常见曲线的定义．9．A 由定义，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝z i ＋z ，所以z i ＋z ＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.10．C z 1z 2＝(a ＋2i)·[a ＋(a ＋3)i]＝(a 2－2a －6)＋(a 2＋5a )i ，由z 1z 2>0知z 1z 2为实数，且为正实数，因此满足{ a 2＋5a ＝0，a 2－2a －6>0，解得a ＝－5(a ＝0舍去)． 11．A 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|2x ＋2y i ＋1|＝|x ＋y i －i|，即(2x ＋1)2＋4y 2＝x 2＋(y －1)2，所以3x 2＋3y 2＋4x ＋2y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝59. 12．C ∵α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i)表示满足i n＝1的最小正整数n .∵i 2＝－1，i 4＝1.∴α(i)＝4. 13.－1解析：∵i 2(1＋i)＝－1－i ， ∴i 2(1＋i)的实部为－1. 14．四解析：∵z ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )2＝3－i 2＝32－12i ，∴复数z 对应点的坐标为32，－12，为第四象限的点．15．8解析：∵a ＋b i ＝11－7i1－2i ，∴a ＋b i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8.16．(－2,6)解析：原方程的根为x ＝2±i.∵a ，b ∈R ＋，∴z ＝2＋i.∵|ω－z |＝|(u ＋3i)－(2＋i)|＝(u －2)2＋4<25，∴－2<u <6.17．解：∴z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，∴(1)由m 2－3m ＋2＝0，得m ＝1，或m ＝2，即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0，得m ≠1，且m ≠2，即m ≠1，且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i ＝2(1－2i )1－2i ＝2.(2)4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i(5－4i )(1－i ) ＝i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i －12 ＝－12＋12i.19．解：∵z ＝2＋4i －(1＋3i )i ＝1＋ii ＝－i(1＋i)＝1－i ， ∴ω＝1＋(a －1)i ， ∴ωz ＝1＋(a －1)i 1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i )2＝2－a ＋a i 2. 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设ω＝z 1＋z 2，z 2＝ω－z 1，|z 2|＝|ω－z 1|，∵|z 2|＝1，∴|ω－z 1|＝1.上式说明对于给定的z 1，ω在以z 1 为圆心，1为半径的圆上运动，又z 1在连结1＋i 和1－i 的线段上移动，∴ω的移动范围的面积为：S ＝2×2＋π×12＝4＋π.21.解：z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ≤3 ⇒x 2＋y 2＋(1－2i)(x ＋y i)＋(1＋2i)(x －y i)≤3⇒(x ＋1)2＋(y ＋2)2≤8，即|z ＋1＋2i|≤22，所以复数z 对应的点的集合是以C (－1，－2)为圆心，22为半径的圆面(包括边界)．又因为|OC |＝5<22，所以，原点在圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8的内部，如下图．所以，当z ＝－5＋2105－10＋4105i 时，|z |max ＝5＋22；当z ＝0时，|z |min ＝0.22．解：(1)由题意，设x 1＝b i(b ≠0且b ∈R)，代入方程，得(b i)2－(1＋3i)·b i ＋(2i －m )＝0，即－b 2－b i ＋3b ＋2i －m ＝0，即(－b 2＋3b－m )＋(2－b )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＋3b －m ＝0，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝2.所以x 1＝2i ，m ＝2.(2)由根与系数的关系知x 1＋x 2＝1＋3i ，所以x 2＝1＋3i －x 1＝1＋3i －2i ＝1＋i.证明：把x 2＝1＋i 代入原方程的左边，得(1＋i)2－(1＋3i)(1＋i)＋(2i －2)＝2i －(－2＋4i)＋(2i －2)＝0，所以x 2＝1＋i 是方程x 2－(1＋3i)x ＋(2i －2)＝0的根．(3)由(1)，(2)知，A (0,2)，B (1,1)，所以|AB|＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.。

人教A版选修2-2复数单元检测题.docx

复数单元检测题一、选择题1.若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数x 的值是A .1B . 1-C . 1±D . 以上都不对 2.已知()2i i ,ia b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则=+b a A.1- B. 1 C . 2 D. 33.在复平面内，复数65i,23i +-+对应的点分别为,A B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是A.48i +B.82i +C.24i +D.4i +4.若复数()2121i ,1i =+=-z z ，则复数12=z z z 的共轭．．复数所对应的点位于复平面的 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.()()22114i,m m m m m =++++-∈R z ，232i =-z ,则1=m 是12=z z 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.若∈C z ，且满足方程||13i =+-z z .则=zA.12 B.4i - C.43i -+D.12 7.已知=z 则501001++=z z A. 3 B. 1 C.2i + D. i 8.已知12,z z 是复数，定义复数的一种运算“⊗”为：()()1212121212||||||||⎧>⎪⊗=⎨+⎪⎩„z z z z z z z z z z 若12i =+z 且1234i ⊗=+z z ，则复数2=z A.2i + B.13i + C. 2i +或13i + D.条件不够，无法求出9.若cos isin θθ=-z ，则使21=-z 的一个θ值是 A. 0 B. 2π C. π D.2π 10. 对任意复数i x y =+z (,x y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 A. ||2y -=z z B. 222x y =+z C. ||2x -…z z D. ||||||x y +„z二、填空题11.在复平面内，若复数z 满足|1||i |+=-z z ，则z 所对应的点的集合构成的图形是 .12.已知复数122i,13i =-=-z z ，则复数21i 5+z z = . 13.若复数12i =-z ，则⋅+z z z = ．14．若复数z 满足i(2)=-z z (i 是虚数单位)，则=z ．15．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立：① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是．16．设复数z 满足(23i)=6+4i -z （其中i 为虚数单位），则z 的模为_______．三、解答题17.在复平面上，设点,,A B C 对应的复数分别为i,1,42i +.过,,A B C 做平行四边形ABCD .求此平行四边形的对角线BD 的长.18.已知复数z满足||=z ，2z 的虚部为2.（1）求z ；（2）设22,,-z z z z 在复平面对应的点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.复数单元检测题参考答案一、选择题ABCCA CDBBD二、填空题11.直线x y -= 12.i 13. 62i - 14. 1+i 15. ②④ 16. 2三、解答题17.由题知平行四边形三顶点坐标为()()()0,1,1,0,4,2A B C ，设D 点的坐标为(),D x y .因为BA CD =u u u r u u u r ，得()()1,14,2x y -=--，得4121x y -=-⎧⎨-=⎩得33x y =⎧⎨=⎩，即()3,3D ，所以()2,3BD =u u u r ，则||BD =18.（1）设i(,)x y x y =+∈R z .由题意得2222i x y xy =-+z∴(1)22(2)xy ==⎪⎩ 化简得()20,x y x y -=∴= 将其代入（2）得222x =，∴1x =±.故11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩故1i =+z 或1i =--z .（2）当1i =+z 时，22i =z ，21i -=-z z .所以(1,1),(0,2),(1,1)A B C - ∴1||2,1212ABC AC S ∆==⨯⨯=. 当1i =--z 时，22i =z ，213i -=--z z . (1,1),(0,2),(1,3)A B C ---. ∴ 1||4,1422ABC AC S ∆==⨯⨯=.。

人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知复数z 满足()20161i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -2．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（） A ．12B ．12－ C ．12i －D ．12i 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)4．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-15．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --6．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,87．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（）A ．1i --B ．1i +C ．55i + D ．55i - 8．i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．若11iai++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-10．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz+＝（） A ．32i+ B ．132i+ C ．332i+ D ．12i+ 11．已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么3132+z z z z --的最小值为（）A ．2B ．C ．2D ．12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.14．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.15．从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，其中虚数有______个.16．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.17．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________. 18．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________；（2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．19．若复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 20．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的为 __________．三、解答题21．已知()()212162=10,25,,51z a i z a i a R i a a--=+-∈+-为虚数单位.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值；（2）求12z z ⋅的值.22．已知1z i =+，i 为虚数单位. （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求实数a ，b 的值.23．设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ．（1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|． 24．已知复数1z a i =+，21z i =-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z -是纯虚数，求a 的值；（Ⅲ）若12z z 在复平面上对应的点在第二象限，求a 的取值范围． 25．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）.（1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .26．已知复数1sin 2i z x λ=+，2()i z m m x =+（,,m x λ∈R ），且12z z =. （1）若0λ=且0πx <<，求x 的值；（2）设()f x λ=；①求()f x 的最小正周期和单调递减区间； ②已知当x α=时，12λ=，试求cos(4)3πα+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.2．A解析：A 【解析】【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.3．A解析：A 【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路．其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 5．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.6．A解析：A 【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围. 【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-，即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．A解析：A 【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--.故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.8．C解析：C 【解析】(2)21122(2)(2)555i i i i z i i i i -----====--++-．故选C 9．B解析：B 【分析】设11ibi ai +=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】设()1,,1ibi a b R ai+=∈+，所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.10．B解析：B 【分析】由复数1z i =+，得到1z i =-，进而得到121z iz i++=-，根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】由题意，复数1z i =+，可得1z i =-，则()()()()2112131112i i z i i z i i i +++++===--+. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法则，以及熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．A解析：A 【分析】先求出复数123,,z z z 对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解. 【详解】1421, z i +-=表示1z 的轨迹是以A (4,2)-为圆心，以1为半径的圆； 2 41, z i -=表示2z 的轨迹是以B (0,4)为圆心，以1为半径的圆； 331z z i -=-，表示3z 的轨迹是直线y x =，如图所示：3132+z z z z --表示直线y x =上的点C 到圆A 和圆B 上的点的距离，先作出点B (0,4)关于直线y x =的对称点D (4,0)，连接AD , 与直线y x =交于点C .3132+z z z z --的最小值为2||||||2(44)222172CE CF AD +=-=++=. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到动点处于何位置时，3132+z z z z --取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平.12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+，所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定【详解】解：①成立满足加法的交换律故①正确；②在复平解析：①②③ 【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定； ③由221111z z z z ==判定； ④结合复平面中向量数量积判定； ⑤结合复平面中向量数量积判定. 【详解】解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确； ②在复平面内，根据复数模长的几何意义知，1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+，综上，1212z z z z +≤+，故②正确； ③221111z z z z ==成立，故③正确；④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立， ⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不成立.故答案为：①②③ 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.14．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题解析：二【分析】先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案. 【详解】由()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限.故答案为：二. 【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.15．36【分析】若复数为虚数则分两种情况讨论即得解【详解】从集合中任取两个互不相等的数组成复数当时对应的有6个值；当取123456时对应的只有5个值所以虚数有（个）故答案为:36【点睛】本题考查了虚数的解析：36 【分析】若复数i a b +为虚数，则0,0a b =≠，分0,0a a =≠两种情况讨论即得解. 【详解】从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，当0a =时，对应的b 有6个值；当a 取1,2,3,4,5,6时，对应的b 只有5个值.所以虚数有66536+⨯=（个）.故答案为:36. 【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题.16．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题解析：2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数. 【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ± 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.17．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值. 【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，12z z -==，因为45sin 26θ-，故12z z -.. 【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.18．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可； (2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可. 【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <，所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214t z t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论.【详解】 ()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦，在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.20．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题21．（1）3；（2）3i -+.【分析】（1）求出12z z +，再根据复数的分类求出a 值；（2）写出共轭复数，然后由复数的乘法运算法则计算．【详解】（1）()2116105z a i a =--+，()22251z a i a=+--， ()()()()2212162162102525105151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=--++-=++--- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭由题意知12z z +为实数， ∴()()225100,50,10,a a a a ⎧---=⎪⎨+≠⎪-≠⎩，解得3a =. （2）当3a =时，12z i =-，21z i =-+， 12z i =+，则()()12213z z i i i ⋅=+-+=-+.【点睛】本题考查复数的加法、乘法运算法则，考查共轭复数的概念，考查复数的分类，属于基础题．22．（1）ω；（2）12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω；（2）根据2211z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，()()213141i i i ω=++--=--∴，ω∴=（2）()()22211a b a z az b i z z i i+++++==--+， ()()21a b a i i ∴+++=+，121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解. 23．（1）a =4（2）54 【分析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a 值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简12z z ,由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由复数模的计算公式求|z 1|.【详解】解：（1）∵z 1=1-ai （a ∈R ），z 2=3+4i ，∴z 1+z 2=4+（4-a ）i ，由12z z R +∈，得4-a =0，即a =4；（2）由12z z =()()()()134134343434342525ai i ai a a i i i i ----+==-++-是纯虚数，得{340340a a -=+≠，即34a =， ∴|z 1|=|314i -54=．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．24．（Ⅰ）2i ；（Ⅱ）1；（Ⅲ）(1,1)-．【分析】（Ⅰ）写出共轭复数2z ，由复数乘法法则计算；（Ⅱ）由复数的概念可求；（Ⅲ）计算出12z z 的代数形式，得对应点坐标，由点在第二象限可得a 的范围．【详解】（Ⅰ）由题意12z z ⋅2(1)(1)122i i i i i =++=++=；（Ⅱ）由题意12(1)2z z a i -=-+为纯虚数，则10a -=，所以1a =；（Ⅲ）212()(1)111(1)(1)222z a i a i i a ai i i a a i z i i i ++++++-+====+--+，对应点11(,)22a a -+，它是第二象限点，则102102a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得11a -<<．故a 的范围是(1,1)-．【点睛】本题考查考查的乘法和除法运算，考查复数的概念，共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．25．（1）3,1a b ==-（2【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ，又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =- ∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．26．（1）6π，23π；（2）①周期T π=，单调减区间511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ；②78- 【分析】根据复数相等的概念列方程，求得关于,,sin 2,cos 2m x x λ的关系式.（1）将0λ=代入上述求得的关系式，由此解出x 的值.（2）由上述求得的关系式，求得()f x λ=的表达式.①利用辅助角公式和三角函数最小正周期和的单调减区间的求法，求得()f x 的最小正周期和单调递减区间.②利用二倍角公式和诱导公式，求得cos(4)3πα+的值.【详解】由于12z z =，所以sin 22x m m xλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故sin 22x x λ=. （1）当0λ=时，sin 220x x -=，则tan 2x =0πx <<所以022πx <<，所以π23x =或4π23x =，所以π6x =或2π3x =. （2）由于sin 22x x λ=，故()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. ①函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，解得5π11πππ1212k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z . ②依题意π1sin 222sin 232x αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 234α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以ππcos 4cos 2236αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ2cos 212sin 2163αα⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1721168=⨯-=-. 【点睛】本小题主要考查复数相等的概念，考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查二倍角公式和诱导公式，考查运算求解能力，属于中档题.。

高中数学人教B版选修2-2《复数概念》课时习题含答案

《复数的概念》40分钟课时习题含答案一、单选题1．22,13,i i i i --中是虚数的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．42．复数21i -的虚部为（）A ．1B ．1-C ．2iD ．23．若复数z ＝a ＋i 的实部与虚部相等，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．24．以2i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．2＋iC D 5．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab =0”是“复数a −bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．-17．下列说法正确的是（）A ．如果两个复数的实部的差与虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．ai 是纯虚数(a ∈R)C ．如果复数x +yi (x,y ∈R)是实数，则x =0且y =0D ．复数a +bi (a,b ∈R)不是实数8．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12B ．2C ．0D ．1 9．以复数)(24R m mi ∈+-的实部为首项。

虚部系数为公差的等差数列，当且仅当n=10时，其前n 项和最小，则m 的取值范围是（）A 512>m B.38512≤<m C.38512<≤m D.38512<<m二、填空题10．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________.11．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，则实数m 的取值范围为．12．=--=θθθ是纯虚数，则若复数)2cos 1(2sin i z三、解答题13．已知复数z ＝＋(a 2－5a －6)i (a ∈R)．实数a 取什么值时，z 是(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？参考答案一、选择题1．C【解析】22,13,1i i i i --=-中是虚数的有2,13i i i --三个，选C. 2．D【解析】复数2112i i -=-+的虚部为2,选D.3．B【解析】由于复数z ＝a ＋i 的实部与虚部分别为,1a ，故由题设可得1a =，应选答案B ． 4．A【解析】∵2i 2＋2i 2的实部为－2，∴所求复数为2－2i.5．B【解析】ab ＝0时，a ＝0或b ＝0，复数a －bi 为纯虚数时，a ＝0且b≠0，那么“ab ＝0”是“复数a －bi 为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.6．B【解析】由得12a =或，且101a a -≠≠得，2a ∴=．7．A【解析】两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部的差与虚部的差都为0，故A 正确；B 中当a ＝0时，ai 是实数0；C 中x ＋yi 是实数，只需y ＝0就可以了；D 中当b ＝0时，复数a ＋bi 为实数.8．D[解析] 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 9．D【解析】由题意，等差数列{}n a 的首项241-=a ，公差d=m,由当且仅当n=10时其前n 项和最小，知01024,09241110>+-=<+-=m a m a 。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数 2．已知复数z 满足()20161i z i-=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 3．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（）A B C ．2 D ．44．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（）A ．55i -+B ．55i -C ．55i +D ．55i -- 5．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2i C ．12i -+ D ．12i -- 6．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（） A ．1-B ．12-C ．12D ．1 8．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 9．若11i ai ++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-10．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z +＝（） A ．32i + B ．132i + C ．332i + D ．12i +11．若32a i i -+为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．32- B ．23- C ．23 D ．3212．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 14．定义运算a cad bc b d =-，复数z 满足z 1i 1i i =+，则复数z =______.15．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________． 16．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________.17．已知复数()2a i z a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 18．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B A C A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________19．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的为 __________．20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.三、解答题21．已知复数1212,34z i z i =-=+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数z . 22．已知复数()12251z a i a =+--，()223105z a i a =+-+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若21z z +是实数（2z 是2z 的共扼复数），求1z 的值.23．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i-++=+（i 为虚数单位）（2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数；（iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．24．已知复数(,)z a bia b =+∈R ，且2(1)430a i a b i --++=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若m z z+是实数，求实数m 的值． 25．已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．26．复数z 满足||1z =，且2120z z z++<．求z ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】 ()2222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.2．B解析：B【分析】根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】 20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.3．C解析：C【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =，所以(0,2)AB OB OA =-=，则202AB AB ===，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题． 4．B解析：B【分析】由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果.【详解】向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复向量、复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ．【点睛】解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．5．B解析：B【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 6．C解析：C【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,22z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.7．A解析：A【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 8．D解析：D【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-，复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．9．B解析：B【分析】设11i bi ai+=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】设()1,,1i bi a b R ai+=∈+，所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.10．B解析：B【分析】由复数1z i =+，得到1z i =-，进而得到121z i z i++=-，根据复数的除法运算法则，即可求解.【详解】由题意，复数1z i =+，可得1z i =-，则()()()()2112131112i i z i i z i i i +++++===--+. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法则，以及熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．C解析：C【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.【详解】由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a i i i i -----+==++-，因为32a i i-+为纯虚数，则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 故选：C【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.12．A解析：A【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+，所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限. 故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值解析：1【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．【详解】解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时取等号．故答案为：1．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．【分析】根据新运算定义得到即运算化简即得解【详解】由得得故答案为：【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生新概念理解数学运算的能力属于基础题解析：2i -【分析】根据新运算定义，得到z 1i 1i i =+，即i i 1i z -=+，运算化简即得解. 【详解】由z 1i 1i i =+，得i i 1i z -=+，得12i 2i iz +==-. 故答案为：2i -【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生新概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】解析：6 【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-，所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==，6.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .16．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的解析：4【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可. 【详解】解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位，复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆. 34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，223(4)14+--= .故答案为：4.【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 17．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的解析：12- 【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解.【详解】因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-，又因为复数z 是纯虚数，所以()()11210,2055a a +=-≠，解得12a =-，所以a 的值为12-. 故答案为：12-【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.18．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复解析：3：4：5【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案.【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +，则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++，所以43a c d =-，43b d c =+，所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a b d i d ci -=-+-=-，所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=，所以AC BC ⊥, 又B A C A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==，又AC BC ⊥,则43BC AC ==，所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5,故答案为：3:4:5.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题. 19．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),因为|z|=3,所以a 2+b 2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．（1）11(,)32-；（2）1255z i =-+. 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；（2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+，则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<，即实数a 的取值范围11(,)32-.（2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-，所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解.22．（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1z =【分析】（1）根据复数1z 对应点所在的象限得出关于实数a 的不等式组，解出即可；（2）根据12z z +是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数a 的值，再利用复数的模长公式可计算出1z 的值.【详解】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则201250a a ⎧<⎪-⎨⎪-<⎩，解得152a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即512a <<.故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()223105z a i a =+-+，()223105a i a z =--+∴， ()()()2212233225102151551z z a i a i a a i a a a a∴+=+-+--=+++--++-. 12z z +是实数，2215015a a a a ⎧+-=⎪∴≠⎨⎪≠-⎩，解得3a =， ()122511z a i i a∴=+-=-+-，1z ∴= 【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.23．（1）12z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12z ∴=- （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211111211111a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．24．（Ⅰ）33z i =-（Ⅱ）18m =【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得,a b （Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数m 的值．【详解】解：（Ⅰ）由题意240{30a ab a ++=-+=，解之得3,3a b ==-．所以33z i =-为所求（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()133333333666m i m m m m z i i i z i +⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ m z z +是实数，306m ∴-=，即18m =为所求．【点睛】本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题25．（1）=42z i -（2）1【详解】试题分析：（1）求复数z 时采用待定系数法，首先=(,)z a bi a b R +∈设，代入已知条件得到关于,a b 的方程，从而解得,a b ，得到复数z （2）采用待定系数法得到复数ω实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到ω的最小值试题（1）=(,)z a bi a b R +∈设，则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=①(12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，所以20,20a b b a +=-≠，②由①②解得4,2a b ==-.故=42z i -.（2）因为=42z i -，则42z i =+，设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-=又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小值，因为原点到点(4,2)=r=1，原点在圆外，所以ω的最小值即为1.考点：1.待定系数法；2.复数运算及相关概念；3.数形结合法26．1z =-或12z =-± 【分析】由题意可知设复数cos sin z i αα=+,计算出2z ,2z ,1z ,代入2120z z z++<中可得cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩可求得复数z . 【详解】由题意可知：cos sin z i αα=+,则222cos sin 2sin cos z i αααα=-+,22cos 2sin z i αα=+,1cos sin i zαα=-, ∴212(cos23cos )(2sin cos sin )0z z i zααααα++=+++<, ∴cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩,即()cos 23cos 0sin 2cos 10αααα+<⎧⎨+=⎩，若sin 0α=，则cos21α=，由cos23cos 0αα+<得cos 1α=-，所以1z =-，若1cos 2α=-，则1cos 2cos 23cos 02ααα=-+<，，得12z =-±，∴1z =-或12z =-±. 【点睛】本题考查复数的计算，关键在于设出复数z 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.。

【精品单元】2021届高中数学选修2-2第三章复数精品测试卷复数(B)(含答案)

1【精品单元】2021届高中数学选修2-2第三章复数精品测试卷复数（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点之间的距离是（） A ．B ．C ．5D ．253．下面给出四个命题：①如果让实数与纯虚数对应，则实数集合可以与纯虚数集合一一对应；②任意两个复数一定不能比较大小；③是虚数；④，，为复数，若，则．其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．若复数是纯虚数，则实数的值为（）A ．B ．C ．或D ．5．复数（i 为虚数单位）的虚部是（）A ．B ．C ．D ．6．已知复数和复数，则复数的实部是（） A ． B ． C ． D ．7．，分别是复数，在复平面内对应的点，是坐标原点．若，则一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形8．若复数范围内将分解因式，所得的结果为（）A ．B ．C ．D ．9．设，方程的根有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．已知复数z 满足，则的最小值是（）A ．5B ．2C ．7D ．311．已知集合，此卷只装订不密封姓名准考证号考场号座位号，若，则，之间的关系是（）A．B．C．D．12．若，则的值为（）A．2B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．复平面内，已知复数所对应的点都在单位圆内，则实数的取值范围是__________．14．计算：________．15．若，且，则的最小值为_________．16．已知为虚数，且有，为实数，若为实系数一元二次方程的根，则此方程为____________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数(其中且，i为虚数单位)，且为纯虚数．（1）求实数a的值；（2）若，求复数z的模．18．（12分）设复数．（1）若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值．219．（12分）（1）计算：（i为虚数单位）；（2）已知是一个复数，求解关于的方程（i为虚数单位）．20．（12分）已知复数满足，的虚部为2．（1）求复数；（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积．321．（12分）已知复数满足，的虚部为，且在复平面内对应的点在第二象限．（1）求复数；（2）若复数满足，求在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．22．（12分）设复数满足．（1）若满足，求；（2）若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．4复数（B）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】，，本题正确选项C．2．【答案】C【解析】由于复数和对应的点分别为，，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为，故选C．3．【答案】A【解析】①当时，没有纯虚数与它对应，故①错；②当两个复数都是实数时，可以比较大小，故②错；③是实数，不是纯虚数，故③错；④当，时，，此时与无法比较大小，故④错，故选A．4．【答案】B【解析】由，得，且，得，．5．【答案】C【解析】化简可得，∴，复数的虚部为1，故选C．6．【答案】D【解析】，实部为，故选D．7．【答案】B【解析】根据复数加（减）法的几何意义及，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故为直角三角形，故选B．8．【答案】C【解析】方程的判别式，所以方程，有两个互为共轭复数的复数根，设，是方程的两个复数根，则，解得，．所以方程的两个复数根为．故复数范围内将分解因式得，故选C．9．【答案】C【解析】设，代入方程得，解得，或，所以方程的根有3个，故答案选C．10．【答案】D【解析】表示复数z在圆上，而表示圆上的点到的距离，∴当且仅当复数z所在的点在原点与构成的线段上，的最小．故的最小值为，故选D．11．【答案】C【解析】设，，则，化简整理得，即集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若，即直线与圆没有交点，，即，故选C．12．【答案】B【解析】因为，两边同乘，，所以，则，，所以原式，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】∵对应的点都在单位圆内，∴，即，∴，∴，∴．14．【答案】【解析】，，，，，，，，，故答案为．15．【答案】3【解析】∵，∴复数z在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．∵表示复数z在复平面内的对应点到点的距离，即圆上的点到点的距离，∴最小值为圆心与点的距离减去半径，∴的最小值为．16．【答案】【解析】设，且，则，，，，，，，所以方程的根为，，，，所以方程为，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），因为为纯虚数，所以，解得．（2），，∴．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，由①得，由②得，故不等式组的解集为，因此m的取值范围是．（2）由已知得，点在直线上，即，整理得，从而，即，解得，经验证得，当时，都能使，且，所以．19．【答案】（1）8；（2）或．【解析】（1）．（2）设，，即，，所以，，解得或，所以或，故答案为或．20．【答案】（1）或；（2）1．【解析】（1）设，由已知可得，即，解得或，∴或．（2）当时，，，∴，，，故的面积；当时，，，∴，，，故的面积，∴的面积为1．21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，则，由，的虚部为，且z在复平面内对应的点在第二象限，得，解得，∴．（2）由（1）知，，∴，∴，∴复数满足，由复数的几何意义，得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以为圆心，为半径的圆面，∴其面积为．22．【答案】（1）或；（2）存在，．【解析】（1）由，可得，代入已知方程得，即．令，所以，即，所以，解得或．所以或．（2）由已知得，又，所以，所以，所以，整理得，所以，即，所以存在常数，使得等式恒成立．。

高中数学人教B版选修2-2第三章《复数》单元测试题含答案

《复数》章末测试题含答案一．选择题(1～8单选;9～11为多选，每题5分)1.(2019·山东师大附中模拟)计算：（2＋i ）（1－i ）21－2i＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i2.已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i3.设 x ∈R ，则“ x =1 ”是“复数 z =(x 2−1)+(x +1)i 为纯虚数”的( ) A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 复数202013(-)2+的共轭复数是( ) A.132-+ B. 132- C. 132+ D. 132-- 5.(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－536.(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b i a ＋i ，则a ＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．97．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i，则|z |＝( )A ．2B ．2 2 C.22D.128.如图所示，向量OZ 1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i9.定义复数的一种运算12122z z z z +⊕= ，若复数,为z 的共轭复数,且实数a≥0，b ≥0，且满足,则12z z ⊕的最值为( )A.3B.C.D.10.设有下面四个命题 A ：若复数满足，则； B ：若复数满足，则；C ：若复数，满足，则； D ：若复数，则。

其中的真命题为（）。

11.(2019·安徽知名示范高中联考改编)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点一定不位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二．填空题（每题5分）12．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________． 13. 已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．14．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________． 15. 下列关于方程x 2+ax+1＝0(a ∈R)的结论中，错误的有( ) ①方程的两根互为共轭复数;②如果方程的两根互为共轭复数,则a ＝0③若x 为方程的一个虚根、则x 也为方程的根:④若a ＜0.则方程的两根一定都为正数三.解答题16.(本小题满分15分)计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4) 20191+i （）（5）2320182019i i i i i +++++L17. (本小题满分15分)已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.18．(本小题满分15分)已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.19. (本小题满分15分)复数范围内解方程：2220x x -+=20. (本小题满分15分)设复数z 的模是1，求221z z 的最小值21．(本小题满分15分) 已知z 为复数,为实数,且为纯虚数,其中i 是虚数单位. (1)求复数z; (2)若复数z 满足,求的最小值.综合测试卷答案一．选择题(1～8单选;9～11为多选) 1A .解析：(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i 1－2i ＝2，故选A.2.D 解析：由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.3. A 解析：因为复数 z =(x 2−1)+(x +1)i 为纯虚数，所以 {x 2−1=0x +1≠0,∴x =1. 因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“ x =1 ”是“复数 z =(x 2−1)+(x +1)i 为纯虚数”的充分必要条件. 故答案为：A.4. D 解析:法一：复数2020202012240404040(-)(cos sin )cos sin 23333i i ππππ=+=+22=cossin =33i ππ+1-2+复数20201()2+的共轭复数是: 1-2法二：31(-)=122+，20201()22+=3673111[(-)](-)-222222i ++=+所以复数20201(-)22+的共轭复数是: 1--22，所以D 选项是正确的. 5.解析： z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.6.A 解析：由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a ＋3)i＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.7．B 解析：法一：由z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ，得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.8.A 解析：由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 9.AB解析:由题意可得12122z z z z +⊕==,又实数a,b 满足,,,由二次函数可知当时,上式取最小值0≤a ≤3,所以当a=0或a=3 时，上式取得最大值3. 10. AD 解析:本题主要考查命题及其关系和复数的概念与几何意义。

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试(含答案解析)(4)

一、选择题 1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（） A ．iB ．i -C ．1-D ．13．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i4．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（）A B ．2C ．D 6．设复数()()2cos sin z a a i θθ=+++（i 为虚数单位）.若对任意实数θ，2z ≤，则实数a 的取值范围为（）A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．55⎡-⎢⎣⎦D ．11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（） A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -8．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i - 11．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在下列命题中，正确命题的个数是（）①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．定义运算a c ad bcb d=-，复数z 满足z 1i 1i i=+，则复数z =______.14．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 15．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________. 16．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 17．若复数z 满足||1z =，则()()z i z i +-的最大值是________. 18．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____ 19．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________．20．已知复数z ＝a 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．三、解答题21．已知复数z 满足z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.22．已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值． 23．已知z 是纯虚数，并使得21z i+∈-R ，求z 24．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=. （1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.25．已知虚数z 满足4z z+是实数，且42z z ≤+≤（1）试求z 的模；（2）若22z i --取最小值m 时对应的复数z 记为0z ，试求 ①m 的值； ②求200z 的值．26．已知复数z 满足||z =2z 的虚部为2-，且z 在复平面内对应的点在第二象限.（1）求复数z ；（2）若复数ω满足1zz iω-≤+，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．D解析：D 【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【详解】12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1．故选D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．B解析：B【分析】利用复数的运算法则解得1z i =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.5．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi6．C解析：C 【分析】由1212z z z z +≤+可知()()cos sin 2cos sin 2i a ai i a ai θθθθ+++≤+++，令max2z≤，即可求出a 的范围.【详解】因为对任意θ，2z ≤，则max2z≤,()()cos sin 2cos sin 21z i a ai i a ai θθθθ=+++≤+++=，12∴≤，解得a ≤≤故选：C. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---，故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.8．A解析：A 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-， ∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+．则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限．故选：A ．【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.9．C解析：C 【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.10．A解析：A 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .11．C解析：C 【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+，则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===，所以该命题是错误的. 故选A.二、填空题13．【分析】根据新运算定义得到即运算化简即得解【详解】由得得故答案为：【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生新概念理解数学运算的能力属于基础题解析：2i -【分析】根据新运算定义，得到z 1i 1i i=+，即i i 1i z -=+，运算化简即得解.【详解】由z 1i 1i i=+，得i i 1i z -=+，得12i2i iz +==-. 故答案为：2i - 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生新概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为：解析：0【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值．【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦．故答案为：0．15．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的解析：4 【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可. 【详解】解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位，复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，14-= . 故答案为：4. 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.16．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的解析：12-【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解. 【详解】因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-，又因为复数z 是纯虚数，所以()()11210,2055a a +=-≠，解得12a =-，所以a 的值为12-. 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.17．【分析】设求出后再求其模利用可求模的最大值【详解】设则故其中当时故答案为：2【点睛】本题考查复数的乘法共轭复数以及复数的模处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实解析：2【分析】设,,z a bi a b R =+∈，求出()()z i z i +-后再求其模，利用221a b +=可求模的最大值. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，则()()()22()()111z i z i a b i a b i a b +-=+-+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故()()z i z i +-==[]1,1b ∈-.当1b =-时，max ()()2z i z i +-=，故答案为：2. 【点睛】本题考查复数的乘法、共轭复数以及复数的模，处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实数化即把复数的模的问题归结实部和虚部的问题（即实数范围内的问题），本题属于中档题.18．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识解析：7 【分析】利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部. 【详解】()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.19．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部 ∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．可得：b ≤≤，故答案：b ≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题20．【分析】由题意可得a ＜0由|z|=2可得a 的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a ＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i 故答案为﹣1+i 【点睛】该题解析：【分析】由题意可得a ＜0，由|z|=2，可得a 的方程，解出即得．【详解】∵i 在复平面内对应的点位于第二象限， ∴a ＜0，由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去）， ∴z=﹣．故答案为﹣【点睛】该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．三、解答题21．（1）1i +或1i --；（2）1 【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ；（2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1；当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．22．（1）=42z i -（2）1【详解】试题分析：（1）求复数z 时采用待定系数法，首先=(,)z a bi a b R +∈设，代入已知条件得到关于,a b 的方程，从而解得,a b ，得到复数z （2）采用待定系数法得到复数ω实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到ω的最小值试题（1）=(,)z a bi a b R +∈设，则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=①(12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，所以20,20a b b a +=-≠，②由①②解得4,2a b ==-.故=42z i -.（2）因为=42z i -，则42z i =+，设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-=又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小值，因为原点到点(4,2)=r=1，原点在圆外，所以ω的最小值即为1.考点：1.待定系数法；2.复数运算及相关概念；3.数形结合法23．-2i【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z .【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b i bi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题. 24．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i -=+22427z i -= 【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-，代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=，即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ，所以()22230a b i a bi +---=，即()222320a b b ai +---=，所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）由已知得212212iz z z i-=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+，所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-，整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常25．（1）2；（2）①2，②202-.【分析】（1）设,,,0z a bi a b R b =+∈≠，将4z z +化简后结合题设条件可得224a b +=. （2）22z i --=再利用2(1)2i i +=，即可求得200z .【详解】（1）设,,,0z a bi a b R b =+∈≠，则224444a bi z a bi a bi z a bi a b-+=++=++++，整理得到2222444a b z a b i z a b a b ⎛⎫+=++- ⎪++⎝⎭，因为4z z+是实数，故2240b b a b -=+，但0b ≠，故224a b +=，即z 的模为2. （2）由（1）可得42za z+=，故22a ≤≤1a ≤≤又22z i --=它表示圆224a b +=上的点到点()2,2Q 的距离，其最小值为2，当且仅当(),,,O P a bQ 共线时取最小值.由2241a b a b a ⎧=⎪+=⎨⎪≤≤⎩可得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故22z i --取最小值时0)z i=+，所以202020102102010200(1)2[(1)]22z i i i =⋅+=⋅+=⋅=-.故202002,2m z ==-.【点睛】本题考查复数的概念、复数的除法运算、复数的几何意义以及特殊复数的指数幂运算，一般地，对于较为复杂的复数问题，我们可以设出复数的实部和虚部，从而将复数问题转化为实数问题来处理，本题属于中档题.26．（1）1z i =-+；（2）25π（1）设出复数z ，利用已知列出方程组，求解可得复数z ；（2）把复数1i z =-+代入i z z +，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算i z z +，由复数ω满足1015ω-≤，由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积.【详解】(1)设z=x+yi(x,y ∈R),则z 2=x 2-y 2+2xyi,由|z|=,z 2的虚部为-2,且z 在复平面内对应的点在第二象限, 得解得 ∴z=-1+i.(2)由(1)知,z=-1+i,∴i z z +====-+i, ∴i z z +==, ∴复数ω满足|ω-1|≤. 由复数的几何意义,得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,∴其面积为π·=. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

复数单元测试题一、选择题。

（每小题5分，共60分） 1．若i 为虚数单位，则=+i i )1(（）A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1 2．0=a 是复数(,)a bia b R +∈为纯虚数的（）A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3．在复平面内，复数ii +-12对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4．设复数ω++-=ω1,2321则i =（） A ．ω-B ．ω-1C ．2ωD ．21ω5．设R ,,,∈d c b a ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是（） A ．0ad bc -= B ．0ac bd -= C ．0ac bd += D ．0ad bc +=6．如果复数ibi 212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（）A ．32-B ．32C ．2D ．27．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（）A ．22±B ．22- C ．i 22± D ．i 22-8．设O 是原点，向量,对应的复数分别为i 32-，i 23+-，那么向量BA 对应的复数是（）A ．i 55-B ．i 55+-C ．i 55+D ． i 55-- 9．i 表示虚数单位，则2008321i i i i ++++Λ的值是（）A ．0B ．1C ．iD ．i - 10．复数8)11(i+的值是（）A ． i 16B ． i 4C ．16D ． 4 11．对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（）A ． 1B ．2C ． 3D ．4 12．若C z ∈且1||=z ，则|22|i z --的最小值是（）A ．22B ．122+C ．122-D ．2二、填空题。

（每小题5分，共20分） 13．已知ni im-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=-ni m 14．在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是。

15．若2z=且1-=+z i z ，则复数z =16．对于非零实数ba ,，以下四个命题都成立：①12>+a ；②2222)(b ab a b a ++=+；③若b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =。

那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的所有序号是。

三、解答题。

17．若方程2(2)20x m i x mi ++++=至少有一个实数根，求实数m 的值。

（10分）18．已知复数),()sin 3(cos 2),()4(221R i z R m i m m z ∈++=∈-+=θλθλθ，并且z 1= z 2，求的取值范围。

（10分）19．把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+，求z 及z z。

（10分）20．求虚数z ，使R zz ∈+9，且33=-z .（10分）21．已知复数z 满足2||=z ，2z 的虚部为 2 。

（15分）（1）求z ；（2）设z ，2z ，2z z -在复平面对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.22．设。

是实数，且是虚数，11121121≤≤-+=z z z z z （15分）（1）求 | z 1| 的值以及z 1的实部的取值范围；（2）若1111z z +-=ω，求证：ω为纯虚数。

试卷答案：1、解：i i i i i i +-=-=+=+11)1(2。

答案：C2、解：若0=a ，当0=b 时，bi a +不是纯虚数，反之当bi a +是纯虚数时，0=a ，所以0=a 是),(R b a bi a ∈+的必要不充分条件。

答案：B3、解：231)1)(1()1)(2(12i i i i i i i -=-+--=+-。

所以ii+-12对应的点在第四象限。

答案：D 4、解：i i 2321232111+=+-=ω+，又i i i 23214)31(23121+=+=-=ω-。

故ω-=ω+11。

答案：B5、解：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++，))((di c bi a ++为实数等价于0ad bc +=。

答案：D6、解：5)4()22()21)(21()21)(2(212i b b i i i bi i bi +--=-+--=+-，由05)4()22(=+--b b 解得32-=b 。

答案：A 7、解：由022=+z 得i z 2±=，=3z i 22±。

答案：C 8、解：i i i 55)23()32(-=+---=-=。

答案：A9、解：=++++++3424144n n n n i i i i 0113210=+-+=+++i i i i i i 。

答案：A 10、解：[]16)2()1()1()11(44288=-=-=-=+i i i i。

答案：C11、解：14341=+=αβ；=βαi 2321--；12321=--=βαi ；21133=+=β+α，所以①③正确。

答案：B12、解：如图所示，1||=z 表示z 点的轨迹是单位圆，而|22|i z --表示的是复平面上表示复数z 的点M 与表示复数i 22+的点A 之间距离。

当M 位于线段AO 与单位圆交点时，AM 最小，为122-。

答案：C 13、解：由ni im-=+11得：i n n m )1()1(-++=，解得2,1==m n ，所以i ni m -=+2。

答案：i -2 14、解：方程|1|||z z i +=-表示的是复平面上的点z 到点1-和i 的距离相等的点的轨迹，是一条线段的中垂线。

所以表示的图形是直线。

答案：直线15、解：设),(Z b a bi a z ∈+=，则⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=+222222)1()1(2ba b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==22b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=22b a 。

答案：)1(2i z -=或)1(2i z --=16、解：实数的运算率对于复数系仍然成立，所以②④正确；对于①可举反例：i a =排除；对于③可举反例1,==b i a 排除。

17、解：设方程的实根为a ，则02)2(2=++++mi a i m a ，整理得：0)2()2(2=++++i m a am a ，即：⎩⎨⎧=+=++02022m a am a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==222m a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=222m a 。

所以m 的值为22或22-。

18、解：由z 1 = z 2得⎩⎨⎧+=-=θλθsin 34cos 22m m ，消去m 可得：169)83(sin 4sin 3sin 422--=-=θθθλ，由于1sin 1≤≤-θ，故7169≤≤-λ. 19、解：设),(R b a bi a z ∈+=，则bi a z -=，由已知得i bi a i 34))(21(+=-+，化简得：i i b a b a 34)2()2(+=-++，所以32,42=-=+b a b a ，解得1,2==b a ，所以i z +=2，i i i zz 545322+=-+=。

20、解：设)0,(≠∈+=b Z b a bi a z 且，则： i b a b b b a a a bi a bi a z z )9()9(992222+-+++=+++=+，由Rz z ∈+9得0922=+-b a bb ，又0≠b ，故922=+b a ①；又由33=-z 得：3)3(22=+-b a ②，由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==23323b a ，即i z 23323+=或i z 23323-=。

21、解：（1）设),(R y x yi x z ∈+=，由题意得xyi y x z 2)(222+-=，所以⎪⎩⎪⎨⎧==+1222xy y x ，解得：11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故i z +=1或i z --=1。

（2）当i z +=1时，i z z i z -=-=1,222， )1,1(),2,0(),1,1(-C B A ，故12121=⨯⨯=∆ABC S ；当i z --=1时，i z z i z 31,222--=-=，)3,1(),2,0(),1,1(----C B A ，故12121=⨯⨯=∆ABC S 。

22、解：(1)设)0,(1≠∈+=b R b a bi a z ，且，则：i ba b b b a a a bi a bi a z z z )()(112222112+-+++=+++=+=，因为 z 2是实数，b ≠0，于是有122=+b a ，即11=z ，还可得a z 22=，由112≤≤-z ，得121≤≤-a ，解得2121≤≤-a ，即z 1的实部的取值范围是]21,21[-. （2）i a bb a bi b a bi a bi a z z 1)1(211111222211+-=++---=++--=+-=ω，因为]21,21[-∈a ，b ≠0，所以ω为纯虚数。