人教版数学九年级下册教案：27.1 比例性质、黄金分割(补充)

27.1 比例性质、黄金分割（补充）一、教学目标 1．核心素养通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力． 2. 学习目标（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质．能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题． （2）知道黄金分割的定义，并能运用. 3．学习重点（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质． （2）了解黄金分割的意义，并能运用. 4．学习难点运用比例的基本性质解决有关问题；黄金比，找黄金分割点. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 上网学习，思考：什么是比例的基本性质？什么是合比性质？什么是等比性质？怎么推导？任务2 上网学习，思考：什么是黄金分割？黄金比是多少，怎么得来？黄金分割有怎样的应用？ 2．预习自测1.已知23a b =，则a bb +的值为（ ） A.23 B.34 C.53 D.35【知识点:比例性质】 答案：C 解析：略2.已知点M 是线段AB 的黄金分割点(AM>BM)，若AB=8cm ，则AM 的长为（ ） A.(4 5 –4)cm B.(12-4 5 )cm C.(2 5 –2)cm D.(6-2 5 )cm【知识点:黄金分割】 答案：A 解析：略3.若x ：6=(5+x)：8,则x=______. 【知识点:比例基本性质】 答案：x=15 解析：略 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.（2）比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

（3）比例：表示两个比相等的式子叫做比例. 2．问题探究问题探究一 什么是比例的基本性质？●活动1 交流学习，合作探究探究：已知80：2=200∶5，仔细观察：两个外项和两个内项，你发现了什么？ 两外项积是：80×5＝400 两内项积是：2×200＝400验证：6:10=9:15，463121：：=，644530=，2.4：3=5.6：7.归纳：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．这叫做比例的基本性质. 比例的基本性质：若四条线段满足a cb d=，则有ad=bc ． ●活动2 探究：已知 a·d=b·c ，你能得到哪些比例式? 对调内项或外项后，比例依然成立!!归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项交换外项同时交换内外项80 × 5=2 ×200反比性质(把比的前项、后项交换)：a cb d b d a c=⇔=． ●活动3 例题讲解，比例基本性质的应用 例1：判断：5x=6y ，则x ：y=5：6（ ） 【知识点:比例基本性质】解：× 由比例的基本性质得6x=5y ，与已知5x=6y 不符，所以错误.点拨：在改写比例时，x 作外项，和x 相乘的5一定也作外项。

把ax=by 改写成比例式后，a 和x 必须同时为外项，或同时为内项。

例2.已知1.3：x=5.2：(x+30), 则x=________. 【知识点:比例基本性质】解：由比例的基本性质得5.2x=1.3(x+30)，解得x=10. 点拨：由比例的基本性质转化为解方程. ●活动3 应用练习1.把1.6、6.4、20和5四个数组成比例式，应为______________. 【知识点:比例基本性质】解：答案不唯一，如1.6：6.4=5：20. 2.已知35x=6y ，则y ：x=________ ． 【知识点:比例基本性质】 解：5：18 由53x=6y ，得5x=18y ，由比例的基本性质y ：x=5：18.问题探究二 什么是合比性质？什么是等比性质？ ●活动1 让学生通过计算、推理证明，得出合比性质. 合作探究：（1）已知d c b a ==3,求b b a +和ddc +； （2）如果d c b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ （3）如果d c b a =，那么ddc b b a -=-成立吗？为什么？ 在学生的分析、讨论下，可得出; （1）∵d cb a ==3，∴a=3b ，c=3d ，则43=+=+b b b b b a ，43=+=+dd d d d c ．（2）∵d cb a ==k ，∴a=kb ，c=kd ，∴1+=+=+k b b kb b b a ，1+=+=+k dd kd d d c ， （3）∵d cb a ==k ，∴a=kb ，c=kd ，∴1-=-=-k bb kb b b a ，1-=-=-k d d kd d d c ， 归纳：合比性质：如果d cb a =，那么d dc b b a ±=±． ●活动2 引导学生探究，得出等比性质. 探究1：如图HG AD FG CD EF BC HE AB ,,,的值相等吗？HGFG EF HE ADCD BC AB ++++++的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？ 分析：由已知可得2====HGADFG CD EF BC HE AB ，所以 发现：若干个比的比值相等，且所有分母的和不为0,则所有分子的和与所有分母的和之比值与原来这些比的比值相等。

探究2：如果d c b a ==fe =…=nm（b +d +f…+n ≠0）, 那么b a n f d b m ec a =++++++ΛΛ吗？ 解：设比值法： 归纳：等比性质：如果d c b a ==fe =…=nm（b +d +f…+n ≠0）,那么b a n f d b m ec a =++++++ΛΛ． ●活动3 例题讲解 例1.若1119=+y y x ，则_____=y x ；_____=-yyx ． 【知识点:合比性质】 解：∵1119=+y y x ，由合比性质，得118=y x ，11311118-=-=-y y x ． 例2.若3===f e d c b a ，则.____22_____,=+-+-=++++fd be c af d b e c a 【知识点:等比性质】 解：∵3===f e d c b a ，∴.322,3=+-+-=++++fd be c af d b e c a ●活动3 应用练习 1.已知57=b a ，则_____=+b b a ，_____3=-bb a ． 【知识点:合比性质】解：512557=+=+b b a ，3735855a b b --⨯==-. 2.若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a ，______3232=-+-+fd be c a . 【知识点:等比性质】解：4343，.问题探究三 什么是黄金分割？怎么求黄金比？ 重点、难点知识★▲ ●活动1. 探究黄金比. 动手操作，然后算一算，完成下面的填空： 度量线段AC 、BC 的长度，线段AC=____，BC=____，计算AB AC =____,AC BC =____, AB AC 与ACBC的值相等吗？活动2 计算黄金比. 你能求出黄金比吗？引导学生通过列方程求出黄金比。

归纳：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其中AB AC=215-≈0.618. 即215-==ACBC AB AC ，简记为：215-==长短全长． 说明：黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个. 黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为215-，精确到0.001为0.618. ●活动3 确定黄金分割点.提出问题：如何找到一条线段的黄金分割点？引导学生用尺规作图找出一条线段的黄金分割点。

合作探究，用尺归作图作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB. （3）在AB 上截取AC=AE. 点C 即为线段AB 的黄金分割点. ●活动4 黄金比的应用例： 如图，已知等腰ΔABC 中，AB=AC ，36BAC ∠=o ，BD 平分ABC ∠交BC 于点D ，求证：215-=AC BC 。

分析：由题意可证得BC=BD=AD 。

易证ΔBDC ∽ΔABC ，可得BC DC AC BC =，即ADDCAC AD =， ∴点D 是AC 的黄金分割点，∴215-=AC AD ，故215-=AC BC 。

归纳：黄金三角形：底与腰的比是215-的等腰三角形叫做黄金三角形. 黄金矩形：宽与长的比是215-的矩形叫做黄金矩形. ●活动5 应用练习⒈已知线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC=________,BC=________. 【知识点：黄金分割，黄金比】 解：15-，53-.2.点C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，若AB=20cm ，则CD=_______cm. 【知识点：黄金分割，黄金比】 解：40-520.●活动6 课外在网上去搜索黄金分割的应用. 3．课堂总结 【知识点梳理】（1）比例的基本性质：比例的两外项之积等于两内项之积．即若dc ba =，则ad=bc ．（2）更比性质：交换比例的内项或外项，比例仍成立．即d b c a d c b a =⇔=． （3）反比性质：把比的前项、后项交换，比例仍成立．即c da b d c b a =⇔=．（4）合比性质：在一个比例里，第一个比的前后项的和（或差）与它后项的比，等于第二个比的前后项的和（或差）与它的后项的比.即如果d c b a =，那么ddc b b a ±=±．（5）等比性质：如果d c b a ==fe =…=nm（b +d +f…+n ≠0）,那么b a n f d b m ec a =++++++ΛΛ （6）黄金分割：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其中AB AC =215-≈0.618. （7）黄金三角形：底与腰的比是215-的等腰三角形叫做黄金三角形. 黄金矩形：宽与长的比是215-的矩形叫做黄金矩形. 【重难点突破】（1）比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（2）等比性质的证明可运用“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，引入比值k 的方法是解决有关比例计算变形中的一种重要方法，以后经常会用到．应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个.若点C 、D 是线段AB 的两个不同的黄金分割点，则AB CD )25(-=. 4．随堂检测（1）把mn=pq 写成比例式写错的是（ ） 【知识点：比例的基本性质】 答案：D 解析：略（2）若35=a b ，则=+a ba （ ） A ． 32 B ．58 C ．38 D ．52答案：C解析：略【知识点：比例的合比性质】 （3）若234a b c ==，则23a b ca++等于（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【知识点：比例的性质】 答案：C 解析：略（4）若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则BCAB的值为（ ）A.12B.12C.32- 2【知识点：黄金比】 1.答案：C 解析：略 二、填空题（5）0.618是黄金分割率，当环境温度与人的正常体温（36.5℃）的比值等于黄金分割率时，机体的新陈代谢、生理节奏功能均处于最佳状态，则环境温度为________时，人感到最舒适. 【知识点：黄金分割率】 2.答案：22.6℃ 解析：略 （三）课后作业 基础型 自主突破1. 已知523=x ，则x 的值是（ ） A.103 B.152 C.310 D.215 【知识点：比例性质】 答案：B 解析：略 2. 若45x y =，则2x y x y-+的值为（ ）A.13B.23C.1D.32 【知识点：比例性质】 答案：A 解析：略3. 若3a =4b ，则下列各式中不正确的是（ ）A.14a b a -=B.73a b b +=C.13a b b -=D.7b ab a +=- 【知识点：比例性质】 答案：D 解析：略4. 已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC 2=BC •AB ，则下列式子成立的是（ ）A.12AC BC =B.12AC AB =C.12BC AB =D.12CB AC = 【知识点：黄金分割】 答案：B 解析：略5. 若线段AB =2，且点C 是AB 的黄金分割点，则BC 等于（ ）1 B.3 C.121或【知识点：黄金分割】 答案：D 解析：略 6. 已知，2a c e b d f ===，则3535a c eb d f-+=-+（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 【知识点：比例性质】 答案：C 解析：略 能力型 师生共研7. 若a 、b 、c 、d 是互不相等的正数，且a cb d=，则下列式子错误的是（ ） A.a b c d b d --= B.a b c d a b c d --=++ C.2222a c b d = D.1111a cb d ++=++ 【知识点：比例性质】 答案：D 解析：略 8. 已知：234x y zk ===，且2x -3y +z =10，则x +y +z =（ ） A ．90 B ．-90 C ．70 D ．-70 【知识点：比例性质】 答案：B 解析:∵234x y zk ===，∴x=2k,y=3k,z=4k. ∵2x －3y+z=10，2×2k －3×3k+4k=10 解得10k =-，∴x+v+z ＝2k+3k ＋4k=9k=()910⨯-=﹣90. 故选B9. 如果c a bk a b b c c a===+++，那么k 的值为（ ） A ．-1 B ．12 C ．2或-1 D ．12或-1【知识点：比例性质；数学思想：分类讨论】 答案：D 解析：∵c a bk a b b c c a===+++，∴c=k(a+b), a=k(b+c), b=k(a+a). ∴a ＋b ＋c ＝k(a+b)+ k(b+c)+ k(a+a)=2k(a+b+c).当a ＋b ＋c ＝0时，1c c k a b c===-+- 当a ＋b ＋c ≠0时，2k=1，∴12k =故选D10.人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感．某女士身高1.65m ，下半身1m ，她应选择穿多高的高跟鞋看起来更美丽？（精确到0.1cm ）【知识点：黄金分割，黄金比；数学思想：方程思想】答案：见解析解析：设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则618.0516100=++xx ，解得：x≈5.2cm ． 经检验知x≈5.2是原方程的解，故她应选择穿5.2cm 的高跟鞋看起来更美丽探究型 多维突破11.宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形的画法：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【知识点：黄金分割，黄金矩形】答案：D解析：∵CG =CF )15(-，GH =2CF ， ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ． ∴矩形DCGH 是黄金矩形．故选D ．12.已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且（c-a ）︰（b-2a ）︰（2c-b ）＝4︰1︰7，试判断△ABC 的形状。