2015年甘肃省高考真题——文科数学(新课标II卷)
2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案详解
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}{}30|,21|<<=<<-=x x B x x A ，则=⋃B A ( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数，且i iai +=++312，则=a ( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．向量()1,1-=a ，()2,1-=b ，则()=⋅+a b a 2 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．5B ．7C ．9D ．11 6.第6题图一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16 D.157．已知三点()01，A ()30，B ，()32，C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.438.第8题图右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a ( )A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列{}n a 满足411=a ，()14453-=a a a ，则=2a ( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1810．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C．144π D．256π11.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )12.设函数()()2111ln x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131-- 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-，则=a ________.14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则y x z +=2的最大值为________． 15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为________．16．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a ________. 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2=(1)求CB sin sin (2)若︒=∠60BAC ，求B ∠18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 分组频数281410 6 2015·新课标Ⅱ卷第4页(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分满意度等级 不满意 满意 非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19.(本小题满分12分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，16=AB ，10=BC ,81=AA ，点E ,F 分别在11B A ,11C D 上，411==F D E A .过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：12222=+by a x ()0.>>b a 的离心率为22，点()22，在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21.(本小题满分12分)已知函数()()x a x x f -+=1ln ．(1)讨论()x f 的单调性；(2)当()x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF ∥BC .（II ）若AG 等于⊙O 的半径,且23AE MN == ,求四边形EDCF 的面积23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；N M G OFE D C B A(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．2015·新课标Ⅱ卷第8页1、选A2、故选D3、选D4、选B5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++6、解：如图所示，选D.7、选B.8、故选B.9、解：因为{}),1(4,414531-==a a a a a n 满足所以， .21241,2,2),1(4123144424=⨯=====-=q a a q q a a a a a 所以，所以又解得故选C.10、解：因为A,B 都在球面上，又为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132==⨯⨯R R R ，所以R=6，所以球的表面积为 S=14442=R ππ，故选C.11、解：如图，当点P 在BC 上时， ,tan 4tan ,tan 4,tan ,22x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠ 当4π=x 时取得最大值51+，以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数，故选B.xP O DC B A12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2+∞∈+-+=x x x x f .131,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得 故选A.第二卷一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时，z=2x+y 取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x ）代入方程，解得，点（1422=-∴y x 双曲线的标准方程为16、解：.122,11'-=∴+=x y xy ，切线方程为切线的斜率为 .8120.08,08,021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行，不符。
2015年高考真题：文科数学(新课标II卷)试卷(含答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 II 卷文 科 数 学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则AB =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A考点：集合运算.2. 若为a 实数,且2i 3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年190020002100220023002400250026002700【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C. 考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】A【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） 1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D【解析】。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (文科)解析版
2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文 科 数 学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A考点：集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 3 4D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】2214x y -=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ． 【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义.三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.（I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明EF BC；（II）若AG等于圆O半径,且AE MN【答案】（I）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,+>；（II ）>是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析：解：（I ）因为22a b c d =++=++考点：不等式证明.。
2015高考数学(文科)真题试卷及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 2、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） （A ） 5 （B ）6 （C ）7 （D ）810、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14-11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1（B ）2 （C ）4 （D ）812、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -.19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分12分）已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN . 21. （本小题满分12分）设函数()2ln xf x ea x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是O 切线；（II ）若OA = ，求ACB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> . （I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文答案一、 选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、 填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16）三、 解答题17、解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b ，可得cosB=2222a c b ac+-=14 ……6分（II ）由（I ）知2b =2ac.因为B=o90，由勾股定理得222a c =b +.故22a c =2ac +，的所以△ABC 的面积为1. ……12分 18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o120 ，可得AG=GC=2x ，GB=GD=2x .因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的EG=2x .由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x .由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·3x =.故x =2 ……9分从而可得所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD故三棱锥E-ACD 的侧面积为……12分 19、解：（I ）由散点图可以判断，y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（II）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()iii i i w w y y w w ==--==-∑∑, 56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +,因此y 关于x 的回归方程为y 100.6=+（Ⅲ）（i ）由（II）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y 100.6=+，年利润z 的预报值z=576.60.24966.32⨯-= ……9分 （ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值=-20.12xx +. 13.6=6.82=，即x =46.24时，z 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分 20、解：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+. 因为l 与C 1.解得k所以k的取值范围为. ……5分 （II ）设()1122,,(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=.所以1212224(1)7,11k x x x x k k ++==++. 1212OM ON c x y y ⋅=+()()2121211k x x k x x =++++()24181k k k +=++.由题设可得()24181k k k+=++=12，解得k=1，所以l 的方程是y=x+1. 故圆心C 在l上，所以2MN =. ……12分 21、解：（I ）()f x 的定义域为()()20,,2(0)xaf x e x x'+∞=-〉. 当a ≤0时，()()0f x f x ''〉，没有零点； 当0a 〉时，因为2xe 单调递增，ax-单调递减，所以()f x '在()0,+∞单调递增，又()0f a '〉， 当b 满足0＜b ＜4a 且b ＜14时，()0f b '〈，故当a ＜0时()f x '存在唯一零点. ……6分（II ）由（I ），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0； 当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0.故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x .由于02020x a ex -=，所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+. 故当0a 〉时，()221f x a a n a≥+. ……12分 22、解：（I ）连接AE ，由已知得，AE ⊥BC,AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ，则∠OBE=∠OEB.又∠OED+∠ABC=o90，所以∠DEC+∠OEB=o90，故∠OED=o90，DE 是O 的切线.……5分（II ）设CE=1，AE=x ，由已知得AB=由射影定理可得，2AE CE BE =⋅，所以2x =42120x x +-=.可得x =ACB=60o.……10分 23、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ=.故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. ……10分 24、解：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +---＞. 当1x ≤-时，不等式化为40x -＞，无解；当11x -＜＜时，不等式化为320x -＞，解得213x ＜＜； 当1x ≥，不等式化为-x +2＞0，解得1≤x ＜2.所以()1f x >的解集为223x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭︱＜＜. ……5分（II ）由题设可得，()12,1312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++⎩＜＜所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,△ABC 的面积为()2213a +.由题设得()2213a +＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为()2+∞，. ……10分。
2015年高考试题(新课标Ⅱ卷)——文科数学(解析版)
试卷总评： 一、高考新动向2015年的数学考试大纲与2014年相比,几乎没有什么变化,题型、题量以及分值也都与去年保持一致,2015年新课标全国卷Ⅱ遵循《考试大纲》中“能力立意”的命题原则,以学科主干知识为载体,着重考查中学数学的基础知识、基本技能与方法,同时兼顾考查考生对数学思想方法、数学本质的理解与继续学习的潜能.题型相对稳定,难度适中,覆盖面广,试题入口宽、层次分明、叙述简明,无偏题、怪题,适度求新.与2014年新课标全国卷II 相比,客观题难度有所下降,部分试题难度相当于课本习题难度,有些题直接来源于课本（如第8 题）,但主观题20题、21题依然保持较大的难度,使得整个试卷有较好的区分度,利于高校选拔人才. 二、考点新变化考点上最突出的变化是18题把概率与频率分布直方图结合在一起进行考查,体现了知识的交汇,19题第一问首次在解答题中考查作截面图,没有考查线面位置关系的证明,21题避开常考的绝对值不等式,转而考查不等式的证明及充分条件与必要条件,这些变化应引起学生的注意. 三、试题新亮点今年数学试题注重常规思想与通性通法,淡化计算与特殊技巧,突出考查考生的基础知识与基本能力.试题的考点分布保持稳定,但在具体试题的考查形式与命题角度上体现了一定的新意,比如第2题考查统计知识,但与时下的热点环保问题结合紧密;第6题考查立体几何中三视图的体积问题,但与立体几何的切割结合在一起,很有新意;另外第8题、第10题、第18题、第19题都体现出高考稳中求变、变中求新的思路,是不可多得的好题.一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B = （ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A 【解析】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<< 故选A. 【考点定位】本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算.【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.2. 若为a实数,且2i3i1ia+=++,则a=( )A．4-B．3-C．3D．43. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.【考点定位】本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解【名师点睛】本题把统计知识与时下的热点环保问题巧妙地结合在一起,该题背景比较新颖,设问比较灵活,是一道考查考生能力的好题.解答此题的关键是学生能从图中读出有用的信息,再根据得到的信息正确作出判断.4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.7. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）5 A. 321B.325C.34D.3【答案】B 【解析】【名师点睛】解决本题的关键是求出圆心坐标,本题解法中巧妙利用了圆的一个几何性质：圆的弦的垂直平分线一定过圆心,注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到.8. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 【考点定位】本题主要考查程序框图及更相减损术.【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,更相减损术是人教版课本算法案例中的一个内容,本题以更相减损术为载体命制试题,故本题可看作课本例题的改编,这说明课本是高考试题的“生长点”,故在此提醒考生考试复习时不要忘“本”. 9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C. 【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算.【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质211n n n a a a -+= 得到一个关于4a 的一元二次方程,再通过解方程求4a 的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.36πB. 64πC.144πD. 256π 【答案】C 【解析】11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【名师点睛】本题综合性较强,考查的知识点包括函数的奇偶性及单调性和不等式的解法,本题解法中用到了偶函数的一个性质,即：()()f x fx =,巧妙利用此结论可避免讨论,请同学们认真体会；另外关于绝对值不等式21x x >-的解法,通过平方去绝对值,也是为了避免讨论. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .【考点定位】本题主要考查利用函数解析式求值.【名师点睛】本题考查内容单一，由()14f -=可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ．【答案】8 【解析】【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.15. 已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】2214x y -=【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x 轴上,还是在y 轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x 轴上,还是在y 轴上.一般的结论是：以()0,0by x a b a =±>>为渐近线的双曲线的方程可设为()22220x y m m a b-=≠.16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．【答案】8 【解析】三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠, 所以3tan ,30.3B B ∠=∠=【考点定位】本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-，就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频率分布表满意度评分分组 [50,60)[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)频数2814106（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 满意度评分 低于70分70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记A C 表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意”；B C 表示事件“B 地区的用户的满意度等级为不满意”.由直方图得()A P C 的估计值为()0.010.020.03100.6++⨯=,()B P C 的估计值为()0.0050.02100.25.+⨯=,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.【考点定位】本题主要考查频率分布直方图及概率估计.【名师点睛】本题考查主要内容是频率分布直方图及应用,注意在制作频率分布直方图或利用频率分布直方图估计概率时容易出现的一个错误是误将频率当作纵坐标画图错误或估计概率错误,故提醒考生：频率分布直方图中纵坐标是频率/组距,而不是频率.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A BC D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79 【解析】试题分析：（I ）分别在,AB CD 上取H ,G ,使10AH DG ==；长方体被平面α 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97 或79试题解析：解：（I ）交线围成的正方形EHGF 如图：20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上. （I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析试题解析：【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1.试题解析：【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II ）1633【考点定位】本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()330,0,,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（II ）4.【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,22230x y x +-=,联立解方程组可得交点坐标；（II ）先确定曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 进一步求出点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B 的极坐标为()23cos ,αα,,由此可得2sin 23cos 4sin 43AB πααα⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭.【考点定位】本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值.【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,则a b c d +>+；（II ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件.【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明()()22a b c d +>+,开方即得a b c d +>+.（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：【考点定位】：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.【名师点睛】不等式证明选讲往年多以绝对值不等式为载体命制试题,今年试题有所创新,改为证明不等式.这类代数证明问题,对逻辑推理的要求更高,难度有所增加,注意第二问是充要条件的证明,要分别证明充分性与必要性.。
2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案
2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案2015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=x-1<x<2$，$B=x<x<3$，则 $A\cup B=$A。
$(-1,3)$ B。
$(-1,0)$ C。
$(0,2)$ D。
$(2,3)$2.若 $a$ 是实数，且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$，则 $a=$A。
$-4$ B。
$-3$ C。
$3$ D。
$4$3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是此处删除明显有问题的段落）4.已知向量 $a=(1,-1)$，$b=(-1,2)$，则 $(2a+b)\cdot a=$A。
$-1$ B。
$0$ C。
$1$ D。
$2$5.设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。
若$a_1+a_3+a_5=3$，则 $S_5=$A。
$5$ B。
$7$ C。
$9$ D。
$11$6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A。
$\frac{1}{1111}$ B。
$\frac{1}{8576}$ C。
$\frac{2}{1254}$ D。
$\frac{1}{333}$7.已知三点 $A(1,-1)$，$B(2,3)$，$C(2,3)$，则 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为A。
$\sqrt{5}$ B。
$3$ C。
$2\sqrt{5}$ D。
$3\sqrt{2}$8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的$a,b$ 分别为14,18，则输出的 $a$ 为开始输入a,ba>b是a≠b 否输出a是否结束a=a-b b=b-aA。
2015年高考全国卷2文科数学试题和答案解析
2015年高考全国卷2文科数学试题及答案（word精校版）含详细解析一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1.已知集合A={x|-l<x<2},B={x|0<x<3},则A B=A.（-1,3）B.（-1,0）C.（0,2）D.（2,3）【答案】A【解析】试题分析：因为彳={x|-l<x<2},3={x|0<x<3},所以火汕={*|一1<*<3}.故选人.考点：集合运算.【名师点睛】本题属基础题，主要考查数列的交集运算。
2.若为a实数，且?+=3+i,则a=1+iA.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得2+tri=（l+i）（3+i）=2+4ina=4,故选D.考点：复数运算.【名师点睛】本题主要考查复数的乘除运算，及复数相等，难度不大，但要注意运算的准确性。
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D【解析】试题分析：由柱形图可知2006年以来，我国二氧化碳排放童基本成i走诚趋势，所以二氧化碳援放童与年份负相关，故选D.考点：柱形图【名师点睛】本题考查学生对柱形图的理解，要求学生能从图中读出有用信息，背景比较新颖。
4,己知«=(0,-1),*=(-1,2),贝i](2a+6)-a=A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】试题分析：由题意可得«2=1,a b=-2,所以(2a+b)a=2a1+a b=2-2=0.考点：向量数量积。
【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于基础题。
5.设&是等差数列｛%｝的前"项和，若tZ]+O,+a5=3,则S5=A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】试题解析：％+%+%= 3% = 3 => % = 1，S)=---------= 5角=5.考点：等差数列【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及前〃项和公式，具有小、巧、活的特点。
2015年全国高考文科数学试题及答案-新课标2
绝密★启用前2015 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A { x| 1 x 2} ，B {x |0x 3} ，则 A BA．( 1,3) B．( 1,0) C．(0,2) D．(2,3)2．若 a 为实数，且21aii3i，则 a=A．-4 B．-3 C．3 D．43．根据下面给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是2700260025002400230022002100200019002004 年2005 年2006 年2007 年2008 年2009 年2010 年2011 年2012 年2013 年A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．向量 a (1, 1) ，b ( 1,2) ，则 (2a b) aA．-1 B．0 C．1 D．35．设 S n 等差数列 { a n } 的前 n 项和。
若a1 + a3 + a5 = 3，则 S5 = A．5 B．7 C．9 D．116．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．18B．17C．16D．157．已知三点A(1,0) ，B(0, 3) ，C (2, 3) ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．53B．213C．2 53D．438．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学（文）试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x Y 则,30,21( ) A.( −1，3) B.( −1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)2.若a 实数，且=+=++a i iai则,312( ) A.-4 B. -3 C. 3 D. 43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是( )A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
4.已知向量=•+-=-=则（2),2,1(),1,0(( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 25.设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则( )A. 5B. 7C. 9D. 116.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )2700260025002400210020001900)A.81 B.71 C. 61D. 51 7.已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( ) A. 35B. 321C. 352D. 348.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为( )A. 0B. 2C. 4D.149.已知等比数列{}=-==24531),1(4,41a a a a a a n 则满足( ) A. 2 B. 1 C. 21D. 8110.已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 144πD.256π11.如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠( )12.设函数的范围是成立的则使得x x f x f x x x f )12()(,11)1ln()(2->+-+= ( )A. )1,31(B. ),1()31,(+∞-∞YC. )31,31(-D. ),31()31,(+∞--∞Y二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13.已知函数=-=a x ax x f ），则的图像过点（4,1-2)(3 。
[精品]2015年高考真题文科高中数学新课标ii卷试卷和答案
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2015年普通高等学校招生全国统一考试 II 卷文 科 数 学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A考点：集合运算. 2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年19002000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 3 C.34D.3 【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ） A.π36 B. π64 C.π144 D. π256 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A. 考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- . 考点：函数解析式 14. 若x ,y满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ． 【答案】8考点：线性规划15.已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】2214x y -=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ． 【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义. 三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin BC∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠. （II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2s i nsB C ∠=∠,所以tan 30.3B B ∠=∠= 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体111A B C D A B CD -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I ）证明EF BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220+-=,220x y y+-=,联立解x y考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,+=+.证明：a b c d均为正数,且a b c d（I）若ab cd> ,（II-<-的充要条件.a b c d【答案】【解析】试题分析：（I）由a b c d>,可证明22+=+及ab cd>,开（II）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：解：（I）因为22=++=++a b c d考点：不等式证明.。
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2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学第Ⅰ卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) 1．选A (2)若a 实数，且=+=++a i iai则,312 A.-4 B. -3 C. 3 D. 42．解：因为.4,42)1)(3(2=+=++=+a i i i ai 所以故选D(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是2700260025002400210020001900)A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
3．选DA. -1B. 0C. 1D. 24．选B(5)设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则A. 5B. 7C. 9D. 115．解：在等差数列中，因为1353,a a a ++=所以15353()51,55,2a a a S a +⨯====故选A (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A.81B.71C. 61D. 51 6．解：如图所示，选D.(7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A.35B. 321C. 352D. 34 7．解：根据题意，三角形ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为D ，则(1,3D 所以，.32137341==+=OD 故选B. (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
数学_2015年甘肃省兰州市高考数学二诊试卷(文科)(含答案)
2015年甘肃省兰州市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，集合A ={1, 3, 5, 6}，则∁U A =( )A {1, 3, 5, 6}B {2, 3, 7}C {2, 4, 7}D {2, 5, 7}2. i ⋅z ＝1−i （i 为虚数单位），则|z|＝（ ）A 2B √2C 1D √223. 已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝a 2+b 2+2abcosC ，则C ＝（ ）A π6B π4C π3D π2 4. 已知命题p:∃α∈R ，cos(π−α)＝cosα；命题q:∀x ∈R ，x 2+1>0．则下面结论正确的是（ ）A p ∧q 是真命题B p ∧q 是假命题C ￢p 是真命题D p 是假命题5. 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是（ ）A x 3+1>y 3+1B sinx >sinyC ln(x 2+1)>ln(y 2+1)D 1x 2+1>1y 2+16. 已知点F 是抛物线y 2=4x 焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN 中点到准线距离为( )A 32B 2C 3D 4 7. 四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）A √29B 5C √13D 2√28. 阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）A S ＝2∗i −2B S ＝2∗i −1C S ＝2∗iD S ＝2∗i +49. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在表面积为16π的球面上，且AB =√3AD ，AA 1＝2AD ，则四棱锥D 1−ABCD 的体积为（ ）A 2√63B 4√63C 2√6D 4√610. 定义运算：|a 1a 2a3a 4|=a 1a 4−a 2a 3，若将函数f(x)=|√3sinx 1cosx |的图象向左平移m(m >0)个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A 5π6 B π8 C π3 D 2π311. 已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1、F 2，M 是椭圆C 上一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆的离心率e ＝（ ）A 2√55B 23C √33D √63 12. 已知函数f(x)＝x +sinx(x ∈R)，且f(y 2−2y +3)+f(x 2−4x +1)≤0，则当y ≥1时，y x+1的取值范围是（ ）A [14,34]B [0,34]C [14,43]D [0,43]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量a →=（________．14. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．15. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k，z ＝x +y ，若z 的最大值为12，则k ＝________． 16. 如图所示，正方体ABCD −A′B′C′D′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB′、DD′交于M 、N ，设BM ＝x ，x ∈[0, 1]，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD′B′；②当且仅当x =12时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长l ＝f(x)，x ∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′−MENF 的体积v ＝ℎ(x)为常函数；以上命题中真命题的序号为________．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{a n }中，a 1＝1前n 项和S n =32n 2−12n ．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)设b n =2a n ，求证：b 1+b 2+...+b n >27． 18. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是BB 1、AA 1、AC 的中点，AC ＝BC ，AB =√2AC ．CD ⊥C 1D ．(Ⅰ)求证：CD // 平面BEF ；(Ⅱ)求证：平面BEF ⊥平面A 1C 1D ．19. 据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值．(2)为减轻学生负担，学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿．请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可申请在校内住宿．20. 已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F(1, 0)为定点，且满足PN →+12NM →=0→，PM →⋅PF →=0． (Ⅰ)求动点N 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA|2+|CB|2＝|AB|2成立，请说明理由．21. 已知函数f(x)＝2lnx +mx+1．(I)当函数f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线y −4x +1＝0垂直时，求实数m 的值； (Ⅱ)若x ≥1时，f(x)≥1恒成立，求实数m 的取值范围．四、选做题：请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，在正△ABC 中，点D 、E 分别在边BC ，AC 上，且BD =13BC ，CE =13CA ，AD ，BE 相交于点P ．求证：(Ⅰ)四点P 、D 、C 、E 共圆；(Ⅱ)AP ⊥CP ．【选修4-4：极坐标系与参数方程】23. 已知平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的方程为{x =cosαy =1+sinα ，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cosθ−sinθ)+5＝0． (I)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24. 设函数f(x)=|x −1|+|x −a|(a ∈R).(1)当a =4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．2015年甘肃省兰州市高考数学二诊试卷（文科）答案1. C2. B3. D4. A5. A6. C7. A8. C9. B10. A11. D12. A13. x 2−1，2+x)，b →=(x, 1)，若a → // b →，则x ＝−1214. 1315. 616. ①②④17. （1）∵ S n =32n 2−12n ．∴ 当n ≥2时，a n ＝S n −S n−1=32n 2−12n −[32(n −1)2−12(n −1)]=3n −2， 当＝1时，也成立．∴ a n ＝3n −2．（2）证明：∵ b n =2a n =23n−2，∴ b n+1b n =23(n+1)−223n−2=8，∴ 数列{b n }是以2为首项，以8为公比的等比数列，∴ b 1+b 2+...+b n =2(8n −1)8−1=27(8n −1)>27． 18. 证明：(Ⅰ)连接A 1C∵ D 、E 、F 分别是BB 1、AA 1、AC 的中点∴ A 1D // BF ，A 1C // EF∵ 在平面A 1CD 中A 1D ∩A 1C ＝A 1，在平面BEF 中BF ∩EF ＝F ， ∴ 平面A 1CD // 平面BEF ，而CD ⊂平面A 1CD∴ CD // 平面BEF（2）依题意有AC ⊥BC∴ A 1C 1⊥平面BCC 1B 1∴ A 1C 1⊥CD∵ CD ⊥C 1D∴ CD ⊥平面A 1C 1D ，而CD ⊂平面A 1CD∴ 平面A 1CD ⊥平面A 1C 1D由(Ⅰ)知平面A 1CD // 平面BEF∴ 平面BEF ⊥平面A 1C 1D19. 解：(1)由频率分布直方图可得(0.0030+0.0021+0.0014+0.0060+a +0.025)×20=1，即a =0.0125.(2) 新生上学所需时间不少于1小时的频率为：(0.0030+0.0021+0.0014)×20=0.13，所以，该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为 600×0.13=78．20. （1）设N(x, y)，则由PN →+12NM →=0，得P 为MN 的中点． ∴ P(0,y 2)，M(−x, 0)． ∴ PM →=(−x,−y 2)，PF →=(1,−y 2)． ∴ PM →⋅PF →=−x +y 24=0，即y 2＝4x ．∴ 动点N 的轨迹E 的方程y 2＝4x ．（2）设直线l 的方程为y ＝k(x −1)，由{y =k(x −1)y 2=4x，消去x 得y 2−4k y −4=0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则 y 1+y 2=4k ，y 1y 2＝−4．假设存在点C(m, 0)满足条件，则CA →=(x 1−m,y 1)，CB →=(x 2−m,y 2)， ∴ CA →⋅CB →=x 1x 2−m(x 1+x 2)+m 2+y 1y 2=(y 1y 24)2−m(y 12+y 224)+m 2−4 =−m 4[(y 1+y 2)2−2y 1y 2]+m 2−3 =m 2−m(4k 2+2)−3．∵ △=(4k 2+2)2+12>0，∴ 关于m 的方程m 2−m(4k 2+2)−3=0有解．∴ 假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA|2+|CB|2＝|AB|2成立．21. （1）∵ f′(x)=2x −m (x+1)2，∴ 函数f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率k ＝f′(1)＝2−m 4， ∵ 函数f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线y −4x +1＝0垂直， ∴ 2−m 4=−14，∴ m ＝9；（2）依题意不等式2lnx +m x+1≥1在x ≥1时恒成立，即m ≥x +1−2(x +1)lnx 在x ≥1时恒成立．令g(x)＝x +1−2(x +1)lnx(x ≥1)，则g′(x)＝1−[2lnx +2(x+1)x ]=−x+2+2xlnx x ，∴ x ≥1时，g′(x)<0，∴ 函数g(x)在[1, +∞)时为减函数，∴ g(x)≤g(1)＝2，∴ m ≥2即实数m 的取值范围是[2, +∞)．22. 证明：(I)在△ABC 中，由BD =13BC ，CE =13CA ，知： △ABD ≅△BCE ，∴ ∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC +∠BEC ＝π．所以四点P ，D ，C ，E 共圆．(II)如图，连结DE ．在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60∘，由正弦定理知∠CED ＝90∘．由四点P ，D ，C ，E 共圆知，∠DPC ＝∠DEC ，所以AP ⊥CP ．23. （I）由{x=cosαy=1+sinα（α为参数）转化成直角坐标方程得：x2+(y−1)2＝1由ρ(cosθ−sinθ)+5＝0．转化成直角坐标方程为：x−y+5＝0．(II)由(I)知c1为以(0, 1)为圆心，1为半径的圆，∵ c1的圆心(0, 1)到c2的距离d=√2=2√2>1∴ c1和c2没有公共点∴ |PM|max=1+2√2，|PM|min=2√2−1，∴ |PM|的取值范围是[2√2−1,2√2+1]24. 解：(1)当a=4时，不等式f(x)≥5，即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1，−2x+5≥5，或{1≤x≤4，3≥5，或{x>4，2x−5≥5，解得：x≤0或x≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0 或 x≥5 }．(2)因为f(x)=|x−1|+|x−a|≥|(x−1)−(x−a)|=|a−1|．（当x=1时等号成立）所以：f(x)min=|a−1|．由题意得：|a−1|≥4，解得a≤−3，或a≥5．。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标2卷）
文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1．已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B =
A ．()1,3-
B ．()1,0-
C ．()0,2
D ．()2,3
2．若为a 实数，且
231ai
i i
+=++，则a = A ．4- B ．3- C ．3 D ．4
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是
A ．逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4．已知()0,1a =-，()1,2b =-，则(2)a b a +=
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
1.8A 1.7B 1.6C 1
.5
D
7．已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为
5.3A 21.3B 25.3C 4
.3
D
8．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ） .0A .2B .4C .14D 9．已知等比数列{}n a 满足11
4
a =
，()35441a a a =-，则2a = .2A .1B 1.2C 1.8
D
10．已知B A ,是球O 的球面上两点，︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点。
若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为
A 、π36
B 、 π64
C 、π144
D 、 π256 11．如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记，将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设函数2
1
()ln(1||)1f x x x
=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 A ．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝⎭
C ．11,33⎛⎫-
⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知函数()3
2f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．
14.若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨
⎪-+≤⎩
,则z =2x +y 的最大值为
15.已知双曲线过点()
4,3,且渐近线方程为1
2
y x =±
,则该双曲线的标准方程为 ． 16.已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()2
21y ax a x =+++ 相切,则a = ． 三、解答题
17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠P AC ,BD =2DC . （I ）求
sin
sin B
C
∠∠ ；
（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.
18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A
,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.
（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）
（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分
别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>> 的离心率为2
2,点()
2,2在
C 上.
（I ）求C 的方程；
（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当()f x 有最大值,且最大值为22a -时,求a 的取值范围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.
（I ）证明EF BC ；
（II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EDCF 的面积. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨
=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为
极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明： （I ）若ab cd > ,则a b c d +>+；
（II ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件.。