必修一教学训练(教师版)3.2.1
新教材高中数学3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)函数的最大值、最小值教师用书人教A版必修一
第2课时 函数的最大值、最小值问题导学预习教材P79－P81，并思考以下问题：1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？ 2．函数最大值、最小值的定义是什么？1．函数的最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． 2．函数的最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值． ■名师点拨函数最大值和最小值定义中的两个关键词(1)∃(存在)M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最小值是0，有f (0)＝0.(2)∀(任意)最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f (x )≤M (f (x )≥M )成立，也就是说，函数y ＝f (x )的图象不能位于直线y ＝M 的上(下)方．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )(3)若函数f (x )≤1恒成立，则f (x )的最大值为1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2 D.12，2 答案：C函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：选A.结合函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2＋2在(0，＋∞)上是增函数， 又因为x ∈N *，所以当x ＝1时，y min ＝2×12＋2＝4.答案：4图象法求函数的最值已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈（－∞，0），x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）.(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图象求出函数的最小值． 【解】 (1)函数的图象如图所示．由图象可知f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间． (2)由函数图象可知，函数的最小值为f (0)＝－1.图象法求最值的一般步骤1．函数f (x )在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－2，f (2)B ．2，f (2)C ．－2，f (5)D ．2，f (5)解析：选C.由函数的图象知，当x ＝－2时，有最小值－2；当x ＝5时，有最大值f (5)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x （0≤x ≤2），2x －1（x >2），求函数f (x )的最大值和最小值．解：作出f (x )的图象如图．由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14.所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.利用函数的单调性求最值已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3，5]． (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )是增函数．证明如下： ∀x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2），因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3，5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.函数的最值与单调性的关系(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．[注意] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．(2019·福州检测)已知函数f (x )＝x 2＋1x.(1)判断函数f (x )在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数f (x )在[－3，－1]上的最大值． 解：(1)函数f (x )在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x 1＜x 2≤－1，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 2x 1＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2，由－3≤x 1＜x 2≤－1可得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， 即有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 可得f (x )在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数f (x )在[－3，－1]上递增， 所以f (x )的最大值为f (－1)，即为－2.函数最值的应用问题某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，0≤x ≤5，x ∈N ，11，x >5，x ∈N ，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，x ∈N ，8.2－x ，x >5，x ∈N . (2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使利润最大，最大利润为3.6万元．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大，最大利润是多少？(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)解：设摊主每天从报社买进x (180≤x ≤400，x ∈N )份晚报，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188，180≤x ≤400，x ∈N .因为函数y ＝－0.6 x ＋1 188在180≤x ≤400，x ∈N 上是减函数，所以x ＝180时函数取得最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元．1.函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3)解析：选B.观察函数图象知，f (x )的最大值、最小值分别为f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32. 2．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值解析：选D.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x <0），画出f (x )的图象可知(图略)，f (x )既无最大值又无最小值．3．若函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________．解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数， 所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4. 答案：44．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1，2]上的值域．解：因为f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程为x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． 所以f (x )在[1，2]上递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21； 当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. 所以f (x )在[1，2]上的值域为[21，49]．[A 基础达标]1．函数y ＝x －1x在[1，2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2D ．3解析：选B.函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1，2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.2．(2019·河南林州一中期末考试)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1－x 2＋2，x <1的最大值为( )A ．1B ．2C.12D.13解析：选B.当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.3．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C.当a ＞0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2. 所以f (x )在[0，1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2， 所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.5．函数f (x )＝2－3x在区间[1，3]上的最大值是________．解析：因为f (x )＝2－3x在[1，3]上为单调增函数，所以f (x )的最大值为f (3)＝2－1＝1.答案：16．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________． 解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是直线x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3， 解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：67．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_______m.解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值18.答案：38．求函数y ＝f (x )＝x 2x －3在区间[1，2]上的最大值和最小值．解：∀x 1，x 2，且1≤x 1<x 2≤2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22（x 1－3）（x 2－3）＝（x 2－x 1）[3（x 1＋x 2）－x 1x 2]（x 1－3）（x 2－3），因为1≤x 1<x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4， 即6<3(x 1＋x 2)<12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0，x 1－3<0，x 2－3<0， 故f (x 1)－f (x 2)>0. 所以函数y ＝x 2x －3在区间[1，2]上为减函数，y max ＝f (1)＝－12，y min ＝f (2)＝－4.9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)若y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为x ∈[－5，5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值为1， 当x ＝－5时，f (x )取得最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为直线x ＝－a . 因为f (x )在[－5，5]上是单调的， 故－a ≤－5或－a ≥5.即实数a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.[B 能力提升]10．设f (x )为y ＝－x ＋6和y ＝－x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值为________． 解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象，由图可知f (x )的图象是图中的实线部分，观察图象可知此函数的最大值为6. 答案：611．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y )；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162， 所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30，54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30，54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，才能获得最大的日销售利润．12．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调减函数； (2)求f (x )在[－3，3]上的最小值． 解：(1)证明：∀x 1，x 2，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0， 所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调递减函数．(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3，3]上也是减函数，所以f (x )在[－3，3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3，3]上的最小值是－2.[C 拓展探究]13．请先阅读下面材料，然后回答问题．对应问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．所以当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值． (1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．(2)试研究函数y ＝1x 2＋x ＋2的最值情况． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，试研究其最值的情况． 解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0.正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4.当0＜u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14； 当u ＜0时，1u＜0，即f (x )＜0. 所以f (x )＜0或f (x )≥14. 即f (x )既无最大值，也无最小值．(2)因为x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74≥74， 所以0＜y ≤47，所以函数y ＝1x 2＋x ＋2的最大值为47⎝⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时，没有最小值． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)． 令u ＝ax 2＋bx ＋c ，①当Δ＞0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a＜0； 当4ac －b 24a ≤u ＜0时.1u ≤4a 4ac －b 2， 即f (x )≤4a 4ac －b 2； 当u ＞0时，即f (x )＞0.所以f (x )＞0或f (x )≤4a 4ac －b 2， 即f (x )既无最大值，也无最小值．②当Δ＝0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＝0，结合f (x )＝1u知u ≠0， 所以u ＞0，此时1u＞0，即f (x )＞0， f (x )既无最大值，也无最小值．③当Δ＜0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＞0，即u ≥4ac －b 24a＞0. 所以0＜1u ≤4a 4ac －b 2， 即0＜f (x )≤4a 4ac －b 2， 所以当x ＝－b 2a 时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，f (x )既无最大值，也无最小值．当Δ＜0时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2， 此时x ＝－ b 2a)，没有最小值．。
高中数学 第3章 不等式 3.2.1 基本不等式的证明教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一第
3.2 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)基本不等式的证明学 习 目 标核 心 素 养1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．如下表所示，再任意取几组正数a ，b ，算出它们的算术平均数a ＋b2和几何平均数ab ，猜测一般情况下两个正数的算术平均数与几何平均数的大小．尝试用比较法加以证明．a 1 2b 1 4 a ＋b21 3 ab1221．算术平均数与几何平均数 对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．2．基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，我们把不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)称为基本不等式．思考：如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)?[提示] 因为a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 3．两个重要的不等式 假设a ，b ∈R ，那么(1)ab ≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)；(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)． 4．应用基本不等式求最值 在运用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等〞．一正： a ，b 是正数．二定：①和a ＋b 一定时，由ab ≤a ＋b2变形得ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即积ab 有最大值⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；②积ab 一定时，由ab ≤a ＋b2变形得a ＋b ≥2ab ，即和a ＋b 有最小值2ab ．三相等：取等号的条件都是当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝〞成立．] 2．a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，以下各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋bD [因为a ，b ∈(0,1)，所以a 2＜a ，b 2＜b ， 所以a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (因为a ≠b )， 所以2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又因为a ＋b ＞2ab (因为a ≠b )，所以a ＋b 最大．] 3．ab ＝1，a >0，b >0，那么a ＋b 的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8B [因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．]4．当a ，b ∈R 时，以下不等关系成立的是 ． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ．③[根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基本不等式的理解[例1] 给出下面三个推导过程： ①因为a ，b 为正实数，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②因为a ∈R ，a ≠0，所以4a ＋a ≥24a·a ＝4；③因为x ，y ∈R ，xy ＜0，所以x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2． 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①因为a ，b 为正实数，所以b a ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②因为a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， 所以4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是非负数．(2)“当且仅当〞的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．[跟进训练]1．以下不等式的推导过程正确的选项是 ． ①假设x ＞0，那么x ＋1x ≥2x ·1x＝2； ②假设x ＜0，那么x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－4x＝－4； ③假设a ，b ∈R ，那么b a ＋a b≥2b a ·ab＝2． ①②[③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋a b≥2 C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)a ，b ，c 是两两不等的实数，那么p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是 ．(1)D (2)p ＞q [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，所以A 成立； 因为b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，所以B 成立； 因为a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，所以C 成立；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，所以D 不一定成立．(2)因为a ，b ，c 互不相等，所以a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． 因此2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ．]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b ，(由a ＋b ＞a ＋b24，也就是由a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．]利用基本不等式证明不等式[例3] a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a ＋b ＋c>9．[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1〞换成“a ＋b ＋c 〞，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] 因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2b a ·ab ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 又因为a ，b ，c 互不相等， 所以1a ＋1b ＋1c>9．本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1>8．[证明] 因为a ，b ，c ∈R ＋， 且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋bc>0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋bc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 因为a ，b ，c 互不相等，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．1．条件不等式的证明，要将待证不等式与条件结合起来考虑，比如此题通过“1〞的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．[证明] 由基本不等式可得a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，所以(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．2a ＋b ＝1，a >0，b >0，求证：1a ＋1b≥3＋22．[证明]1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2a b，且2a ＋b ＝1，即a＝2－22，b ＝2－1时取等号．利用基本不等式求最值[例4] (1)x <4，求y ＝4x －2＋4x －5的最大值；(2)0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．[思路点拨] (1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y ＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解] (1)因为x <54，所以5－4x >0，所以y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝1． (2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116．所以当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形〞等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.[跟进训练]5．(1)x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；(2)0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] (1)因为y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9．(2)法一：因为0<x <13，所以1－3x >0．所以y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．所以当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：因为0<x <13，所以13－x >0．所以y ＝x (1－3x )＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．所以当x ＝16时，函数取得最大值112．1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a ≥0，b ≥0时，才会有ab ≤a ＋b2．对于“当且仅当a ＝b 时，‘＝’号成立〞这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼〞“凑〞“拆〞“合〞“放缩〞等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．3．利用基本不等式求最值的要点：一正、二定、三相等．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( )(2)假设a >2，那么a ＋1a≥2a ·1a＝2．( ) (3)假设a >0，b >0，那么ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．( )[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b ≥0时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立，当且仅当只有当a ＝1时取等号．(3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．函数y ＝9x －2＋x (其中x ＞2)取得最小值的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [当x ＞2时，由基本不等式知y ＝9x －2＋x ＝9x －2＋(x －2)＋2≥29x －2·x －2＋2≥8，当且仅当9x －2＝x －2时取等号 ，即x ＝5(x ＝－1舍去)．] 3．假设a ＞0，b ＞0，ab ＝1＋a ＋b ，那么a ＋b 的最小值为． 2＋22[1＋a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 所以(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0． 所以a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22． 因为a ＞0，b ＞0， 所以a ＋b ≥2＋22．所以a ＋b 的最小值为2＋22．]4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b ．[证明] 因为a >0，b >0，所以b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ，所以b 2a ＋a 2b≥a ＋b ．。
必修一 3.2 对数函数(教师版)
3．2.1 对数及其运算第一课时 对数的概念及常用对数考点一：指数式与对数式的互化[例1] 把下列各等式化为相应的对数式或者指数式．(1)53＝125；(2)(14)－2＝16； (3)log 128＝－3；(4)log 3127＝－3. [精解详析] (1)∵53＝125，∴log 5125＝3.(2)∵(14)－2＝16，∴log 1416＝－2. (3)∵log 128＝－3，∴(12)－3＝8. (4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127. 练1．求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝2－3；(2)log x 8＝6.解：(1)∵log 64x ＝－23， ∴x ＝642－3＝16423＝1（43）23＝142＝116. (2)∵log x 8＝6，∴x 6＝8，即(x 6)16＝816＝(23)16＝212.∴x ＝ 2.考点二：对数基本性质的应用[例2] 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1 (3)log (2－1)13＋22＝x ；(4)log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1.[精解详析] (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝1，∴x ＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3.∴x ＝103＝1 000.(3)∵log (2－1)13＋22＝x ， ∴(2－1)x ＝13＋22＝1（2＋1）2＝12＋1＝2－1， ∴x ＝1.(4)由对数的定义知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0且x ＋3≠1，x 2＋3x ＞0，x 2＋3x ＝x ＋3，∴x ＝1.练2．求下列各式中的x 的值：(1)log 2(log 5x )＝1；(2)log 3(lg x )＝2.解：(1)∵log 2(log 5x )＝1，∴log 5x ＝2，∴x ＝52＝25.(2)∵log 3(lg x )＝2，∴lg x ＝32＝9，∴x ＝109.考点三：对数恒等式的应用[例3] 计算：(1)71－log75；(2)a logb a ·log c b ·log N c (a ＞0，b ＞0，c ＞0，且均不等于1，N ＞0)．[精解详析] (1)71－log75＝1log5777＝75； (2)log a b a log b c log c N ＝log ()a b a log b c log c N ＝log b c b log c N ＝log ()b c b log c N ＝log c N c ＝N .练3．求3(1＋log 36)－2(4＋log 23)＋(13)log 34的值． 解：原式＝3·3log 36－24·2 log 23＋13 log 34 ＝3×6－16×3＋14＝18－48＋14＝－2934.课堂强化：1．如果N ＝a 2(a ＞0，a ≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝2解析：由指数式与对数式的互化可知：N ＝a 2⇔log a N ＝2.答案：D2．log x 64＝2，则x 等于( )A ．±8B ．8C ．4D ．－4解析：∵log x 64＝2，∴x 2＝64.∴x ＝±8，又∵x ＞0，∴x ＝8.答案：B3．(2011·陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________． 解析：∵f (－2)＝10－2＞0，∴f (f (－2))＝lg 10－2＝－2. 答案：－24．计算21－log 27＝________．解析：21－log 27＝2log 22－log 27＝2 log 227＝27. 答案：275．2lg x ＝8，则x 的值为________．解析：∵2lg x ＝8＝23，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000.答案：1 0006．将下列指数式写成对数式：(1)210＝1 024； (2)10－3＝11 000； (3)0.33＝0.027.解：(1)∵210＝1 024，∴10＝log 21 024.(2)∵10－3＝11 000，∴－3＝log 1011 000＝lg 11 000. (3)∵0.33＝0.027，∴3＝log 0.30.027.课下检测：一、选择题1．若2x ＝3，则x 的值等于( )A ．log 23B ．log 123C ．log 32D ．log 132 解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23.答案：A 2．log 7(log 3(log 2x ))＝0，则x 1－2等于( ) A.13B.123C.122D.133 解析：由已知及对数的性质知log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23.∴x 1－2＝(23) 1－2＝23－2＝1232＝12 2 .答案：C 3．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( )A.43B ．8C ．18D.12 解析：∵f (x 6)＝log 2x ，∴令x 6＝8，则x ＝816＝212.∴f (8)＝log 2212＝12. 答案：D4．2 2＋log 25的值等于( )A ．20B ．10C ．40D ．15解析：2 2＋log 25＝22×2 log 25＝4×5＝20.答案：A二、填空题5．若log 3(1－2x 9)＝1，则x ＝________． 解析：∵log 3(1－2x 9)＝1，∴1－2x 9＝3，∴x ＝－13. 答案：－136．若log x 3＝－35，则x ＝________． 解析：由对数与指数的互化知：x 3－5＝3， ∴(x 3－5)(5－3)＝35－3，即x ＝1353＝1335＝339. 答案：3397．已知a 23＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________． 解析：设log 23a ＝x ，则a ＝⎝⎛⎭⎫23x， 又a 23＝49， ∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x 23＝⎝⎛⎭⎫232，即⎝⎛⎭⎫2323x ＝⎝⎛⎭⎫232，∴23x ＝2，解得x ＝3. 答案：38．设f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)＝________． 解析：由已知令x ＝13，则有： f (1)＝f (3×13)＝log 29×13＋12＝log 22＝12log 22＝12. 答案：12三、解答题9．设A ＝{0，1，2}，B ＝{log a 1，log a 2，a }，且A ＝B ，求a 的值．解：由log a 1＝0，且a ＞0，a ≠1，A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，log a 2＝1， ∴a ＝2.10．已知x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x 的值． 解：∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝（2x ）3－（2x ）－32x －（2x ）－1＝33－3－33－3－1 ＝27－1273－13＝919. 第二课时 积、商、幂的对数考点一：对数运算法则的应用[例1] 计算下列各题：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2)log 34273log 5[412log 210－(33)23－7log 72]； (3)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.[精解详析] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. (2)原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log 72] ＝(34log 33－log 33)·log 5(10－3－2) ＝(34－1)·log 55＝－14.(3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2·lg (2×5)＋1－lg 2＝1.练1．计算：(1)4lg 2＋3lg 5－lg 15；(2)lg 3＋2lg 2－1lg 1.2； (3)log a n a ＋log a 1a n ＋log a 1n a. 解：(1)原式＝lg 16＋lg 125＋lg 5＝lg (16×125×5)＝lg 10 000＝4.(2)原式＝lg 3＋lg 4－lg 10lg 1.2＝lg3×410lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1. (3)原式＝1n －log a (a n )－log a n a ＝1n －n －1n＝－n . 考点二：换底公式的应用[例2] 求值：(1)log 927；(2)(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )·log 9n 32.[精解详析] (1)法一(换成以10为底)：log 927＝lg 27lg 9＝lg 33lg 32＝3lg 32lg 3＝32. 法二(换成以3为底)：log 927＝log 327log 39＝lg 3 33log 3 32＝3log 332log 33＝32. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫log 23＋2log 232log 22＋3log 233log 22＋…＋n log 23n log 22·log 9n 32 ＝(log 23＋log 23＋log 23＋…＋log 23)·log 9n 32＝n ·log 23·5n ·12log 32＝52. 练2．求下列各式的值：(1)log 169·log 2732；(2)(log 43＋log 83)·(log 32＋log 92)．解：(1)log 169·log 2732＝lg 9lg 16·lg 32lg 27＝2lg 3·5lg 24lg 2·3lg 3＝56.(2)(log 43＋log 83)·(log 32＋log 92)＝(12log 23＋13log 23)(log 32＋12log 32) ＝(56log 23)·32log 32＝54log 23·log 32＝54. 考点三：带有附加条件的对数式问题[例3] (1)已知：log 52＝a ，求2log 510＋log 50.5的值；(2)已知：lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log2x y 的值． [精解详析] (1)∵log 52＝a ，∴2log 510＋log 50.5＝2log 510＋1－log 510＝log 510＋1＝log 5(2×5)＋1＝log 52＋2＝a ＋2.(2)由lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，得lg xy ＝lg (x －2y )2. ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0.即(x －y )(x －4y )＝0，得x ＝y ，或x ＝4y .∵x ＞2y ＞0，∴x ＝y 舍去．∵x ＝4y ，即x y＝4. ∴log 2x y ＝log 24＝log 2(2)4＝4.练3．设a 、b 、c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，证明：2a ＋1b ＝2c. 证明：法一：设3a ＝4b ＝6c ＝k (a ，b ，c 均为正数，k >0)， 则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k .∴1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1c＝log k 6， ∴2log k 3＋log k 4＝2log k 6，即2a ＋1b ＝2c. 法二：对3a ＝4b ＝6c 同时取以10为底的对数，得lg 3a ＝lg 4b ＝lg 6c ，∴a lg 3＝b lg 4＝c lg 6，∴c a ＝lg 3lg 6＝log 63，c b ＝lg 4lg 6＝log 64， ∵2log 63＋log 64＝log 636＝2， 即2c a ＋c b ＝2，∴2a ＋1b ＝2c. 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.[解] 法一：∵18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182 ＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a ., 法二：∵18b ＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 法三：∵log 189＝a ，18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9 ＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a.课堂强化：1．2log 63－log 654等于( )A ．2B ．－1C ．－2D ．1 解析：∵2log 63－log 654＝log 632－log 654＝log 6954＝log 616＝log 61－log 66＝－1. 答案：B2．log 89·log 32的值为( )A.23B ．1 C.32 D ．2解析：∵log 89·log 32＝lg 9lg 8·lg 2lg 3＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23. 答案：A3．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( ) A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23.又∵log 483＝y ，∴y ＝12log 283. ∴x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3. 答案：A4．lg 12.5－lg 58＋lg 12＝________． 解析：原式＝lg 252－lg 58＋lg 12＝lg 25258＋lg 12＝lg 20＋lg 12＝lg 10＝1. 答案：15．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log x abc ＝________．解析：log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1. 答案：16．计算下列各式：(1)log 2148＋log 212－12log 224－(12)log 23； (2)1＋12lg 9－lg 2401－23lg 27＋lg 365. 解：(1)原式＝－12(log 216＋log 23)＋2＋log 23－12log 23－12log 28－2－log 23 ＝－2－12log 23＋2＋log 23－12log 23－32－13＝－116. (2)原式＝1＋lg 3－lg 3－lg 8－lg 101－2lg 3＋2lg 2＋2lg 3－lg 5＝－3lg 23lg 2＝－1.课下检测：一、选择题1．若log 34·log 8m ＝log 416，则m ＝( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27解析：∵log 34·log 8m ＝log 416，∴log 8m ＝log 416log 34＝2log 34＝2log 43＝log 49＝log 23，即13log 2m ＝log 23，∴m 13＝3，m ＝27. 答案：D2．已知2x ＝3y ，则xy ＝( )A.lg 2lg 3B.lg 3lg 2 C ．lg 23D ．lg 32解析：令2x ＝3y ＝t ，则x ＝log 2t ，y ＝log 3t ， ∴x y ＝log 2t log 3t ＝lg 3lg 2. 答案：B.3．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m ＞0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( )A.160 B ．60 C.2003D.320解析：log m (xyz )＝ log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y＝112－124－140＝160，即log z m ＝60. 答案：B4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512的值是( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a解析：log 512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .答案：C 二、填空题 5.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________．解析：原式＝lg 10－0lg 14＋lg 8·lg 322＝1lg 2·lg 16＝4lg 2lg 2＝4.答案：46．设a ＝lg (1＋17)，b ＝lg (1＋149)，用a 、b 表示lg 2、lg 7，则lg 2＝________，lg 7＝________．解析：lg (1＋17)＝lg 87＝3lg 2－lg 7＝a ，①lg (1＋149)＝lg 5049＝lg 50－2lg 7＝2－lg 2－2lg 7＝b ，②由①②解得lg 2＝2a －b ＋27，lg 7＝－a －3b ＋67.答案：2a －b ＋27 －a －3b ＋677．已知m ＞0且10x ＝lg (10m )＋lg 1m ，则x ＝________．解析：∵10x ＝lg (10m )＋lg 1m＝lg (10m ·1m )＝lg 10＝1＝100∴x ＝0. 答案：08．已知log a x ＝log a c ＋b ，则x ＝________．解析：法一：由对数定义可知x ＝a log a c ＋b ＝a log a c ·a b ＝c ·a b .法二：由已知移项可得log a x －lo log a c ＝b ，即log a x c ＝b ，由对数定义知xc ＝a b ，∴x ＝c ·a b .法三：∵b ＝log a a b ，∴log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b .∴x ＝c ·a b .答案：c ·a b 三、解答题 9．化简下列式子： 2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋14lg 16.解：原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1.10．(1)已知11.2a ＝1 000，0.011 2b ＝1 000，求1a －1b 的值；(2)设log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bc 的值．解：(1)因为11.2a ＝1 000，所以a ·lg 11.2＝3，1a ＝13lg 11.2.又因为0.011 2b ＝1 000，所以b ·lg 0.011 2＝3， 1b ＝13lg 0.011 2. 所以1a －1b ＝13(lg 11.2－lg 0.011 2)＝13lg 1 000＝1.(2)因为log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧log a c ＋log b c ＝3，log a c ·log bc ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1log c a ＋1log c b ＝3，log c a ·log c b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧log c a ＋log c b ＝3，log c a ·log c b ＝1.所以log a b c ＝1log c a b ＝1log c a －log c b＝1±（log c a ＋log c b ）2－4log c a ·log c b＝1±5＝±55.3．2.2 对数函数第一课时 对数函数的图象及其性质[例1] 求下列函数的定义域：(1)y ＝log 214x －3；(2)y ＝log 3(2x －1)＋1log 4x ；(3)y ＝log (x ＋1)(16－4x )；(4)y ＝log 12x －14x －1.[精解详析] (1)要使函数有意义，则14x －3＞0，即4x －3＞0，x ＞34，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞34. (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，log 4x ≠0，x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12，x ≠1，x ＞0.∴x ＞12，且x ≠1.故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． (3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧16－4x＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x ＞－1，x ≠0.∴－1＜x ＜2且x ≠0.故所求函数的定义域是{x |－1＜x ＜2，且x ≠0}． (4)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 12x －1≥0，4x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ≤12，x ≠14.∴0＜x ≤12，且x ≠14.故所求函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ≤12，且x ≠14.(1)f (x )＝log 2(9－x 2)； (2)f (x )＝log (5－x )(2x －3)； (3)f (x )＝2x ＋3x －1log 2(3x －1)． 解：(1)由对数真数大于零，得9－x 2＞0， 即－3＜x ＜3，∴所求定义域为{x |－3＜x ＜3}． (2)要使f (x )＝log (5－x )(2x －3)有意义， 则必须有⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，5－x ＞0，5－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32，x ＜5，x ≠4.∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32＜x ＜4，或4＜x ＜5.(3)要使f (x )＝2x ＋3x －1log 2(3x －1)有意义， 则必须有⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＞0，2x ＋3≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞13，x ≥－32，x ≠1，∴所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13，且x ≠1.考点二：对数函数的值域(或最值) [例2] 求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[精解详析] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域为R . ∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.∴y ＝log 2(x 2＋4)的值域为{y |y ≥2}． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4， ∵u ＞0， ∴0＜u ≤4，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12u ≥log 124＝－2.∴y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为{y |y ≥－2}．巩固练习2．设x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝12.求函数z ＝log 12(8xy ＋4y 2＋1)的最大值与最小值．解：由x ＋2y ＝12得x ＝12－2y∵x ≥0，∴12－2y ≥0，∴0≤y ≤14令M ＝8xy ＋4y 2＋1＝8×(12－2y )y ＋4y 2＋1＝4y －16y 2＋4y 2＋1＝－12y 2＋4y ＋1＝－12×(y 2－y 3)＋1＝－12×[(y －16)2－136]＋1＝－12×(y －16)2＋43.易知1≤M ≤43，则z ＝log 12M ∈[log 1243，log 121]．即z 的最小值为log 1243，最大值为0.考点三：对数函数的图象3，[例3] 已知曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取43，35，110，则相应的C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35[精解详析] 法一：因为对数的底数越大，函数图象就越远离y 轴的正方向，所以C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次由大到小，即C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为3，43，35，110.法二：过(0，1)作平行于x 轴的直线，与C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标为(a 1，1)，(a 2，1)，(a 3，1)，(a 4，1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1＞a 2＞a 3＞a 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的底数值依次由大到小．[答案] A 巩固练习3．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( )解析：当a ＞1时，y ＝a x 是单调增函数，y ＝log a x 在(0，＋∞)是增函数，而函数y ＝log a (－x )与y ＝log a x 图象关于y 轴对称易知选B.答案：B 课堂强化：1．若log 2a ＜0，(12)b ＞1，则( )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：∵log 2a ＜0＝log 21，∴0＜a ＜1. 又∵(12)b ＞1＝(12)0，∴b ＜0.答案：D2．(2011·江西高考)若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，＋∞)C ．(－12，0)∪(0，＋∞)D ．(－12，2)解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ∈(－12，0)∪(0，＋∞)．答案：C3．函数y ＝2＋log 5x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：∵x ≥1，∴log 5x ≥0，∴y ≥2. 答案：C4．函数y ＝log a (x －1)－1的图象过定点________． 解析：∵令x －1＝1，则y ＝－1 ∴该函数过定点(2，－1)． 答案：(2，－1)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b （x ≤0），log c （x ＋19）（x ＞0）的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2， 又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0，2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1336．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，求实数a 的值．解：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数． ∴最大值为f (2a )，最小值为f (a )． ∴f (2a )－f (a )＝log a 2a －log a a ＝12，即log a 2＝12.∴a ＝4. 课下检测： 一、选择题1．函数y ＝log 2（x －1）的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：要使y ＝log 2（x －1）有意义，需有log 2(x －1)≥0＝log 21， ∴x －1≥1.∴x ≥2即定义域为[2，＋∞)． 答案：C2．若函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则( ) A ．a ＝2，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝1D ．a ＝2，b ＝ 2解析：∵y ＝log a (x ＋b )的图象过两点(－1，0)，(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （－1＋b ），1＝log ab .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2. 答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1），x ≥2，（12）x －1，x ＜2，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥2，log 2（x 0－1）＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜2，（12）x 0－1＞1，∴x 0＞3或x 0＜－1. 答案：C4．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1，1]，则函数f (x )的定义域是( )A ．[22，2] B ．[－1，1] C ．[12，2]D ．(－∞，22]∪[2，＋∞) 解析：∵－1≤2log 12x ≤1， ∴－12≤log 12x ≤12.∴log 12(12)1－2＝－12≤log12x ≤12＝log 12(12)12. ∵y ＝log 12x 是减函数．∴2＝(12)1－2≥x ≥(12)12＝22. 答案：A 二、填空题5．函数y ＝log 14(x 2＋1)的值域为________．解析：∵x 2＋1≥1， ∴log 14(x 2－1)≤log 141＝0，∴该函数的值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]6．若定义在(－1，0)上的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是________． 解析：∵－1＜x ＜0， ∴0＜x ＋1＜1. ∵f (x )＞0，∴0＜2a ＜1. 即0＜a ＜12.答案：(0，12)7．已知对数函数f (x )的图象过点P (8，3)，则f ⎝⎛⎭⎫132＝________． 解析：设对数函数f (x )＝log a x ， ∵f (x )的图象过点P (8，3)， ∴3＝log a 8. ∴a 3＝8，a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .f ⎝⎛⎭⎫132＝log 2132＝log 22－5＝－5. 答案：－58．已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，若a log b (x －3)＜1，则x 的取值范围为________．解析：∵0＜a ＜1，a log b (x －3)＜1，∴log b (x －3)＞0.又∵0＜b ＜1，∴0＜x －3＜1，3＜x ＜4.答案：3＜x ＜4三、解答题9．求下列函数的定义域：y ＝log 45x －12x －1.解：式中有三处限制条件：分式(分母不为0)，二次根式(根号下的代数式非负)，对数式(真数恒为正)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≠0，log 45x －1≥0，x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12，log 45x ≥1，x ＞0.解得0＜x ≤45且x ≠12，所以函数的定义域为(0，12)∪(12，45]． 10．若－1＜log a 34＜1，求a 的取值范围． 解：－1＜log a 34＜1，即log a 1a ＜log a 34＜log a a ， 当a ＞1时，由log a 1a ＜log a 34＜log a a 可得1a ＜34＜a ，解得a ＞43. 当0＜a ＜1时，由log a 1a ＜log a 34＜log a a 可得1a ＞34＞a ，解得0＜a ＜34. 综上可得，a 的取值范围为(0，34)∪(43，＋∞)．第二课时 对数函数的图象及其性质的应用考点一：对数函数的单调性[例1] 比较下列各组对数值的大小：(1)log 151.6，log 152.9；(2)log 78，log 0.34；(3)log a 5，log a 6(a ＞0，且a ≠1)．[精解详析] (1)∵y ＝log 15x 在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9.(2)∵log 78＞0，log 0.34＜0，∴log 78＞log 0.34.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，∴log a5＜log a6.当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，∴log a5＞log a6.巩固练习1．比较下列各题中两个值的大小：(1)ln2，ln 0.9；(2)log67，log76；(3)log3π，log20.8.解：(1)考察函数y＝ln x，因为底数为常数e(e＞1)，所以它在(0，＋∞)上是增函数，又2＞0.9，所以ln 2＞ln 0.9.(2)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76.(3)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8.考点二：对数函数的实际应用[例2]我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L表示，它们满足以下公式：L＝10lg II0，单位为分贝，L≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端．回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的取值范围为多少？[精解详析](1)由题意知，树叶沙沙声的强度水平为L1＝10lg I1I0＝10lg 1＝0；耳语声的强度水平为L2＝10lg I2I0＝10lg 102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度为L3＝10lg I3I0＝10×lg 104＝40(分贝)；(2)由题意知，0≤L ＜50，即0≤10lg I I 0＜50，所以1≤I I 0＜105，则1×10－12≤I ＜1×10－7. 故新建的安静小区的声音强度I 应大于等于1×10－12 W/m 2，同时小于1×10－7 W/m 2. 巩固练习2．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M (kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系为v ＝2 000ln (1＋M m)．当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s?解：由12 000＝2 000ln (1＋M m)， 即6＝ln (1＋M m)， 1＋M m ＝e 6，利用计算器算得M m≈402. 即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.考点三：对数函数性质的综合应用[例3] 求证：函数f (x )＝lg 1－x 1＋x (－1＜x ＜1)是奇函数且是减函数． [精解详析] ∵－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域关于原点对称，而f (－x )＝lg 1－（－x ）1＋（－x ）＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1 ＝－lg 1－x 1＋x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．设x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2，设t 1＝1－x 11＋x 1，t 2＝1－x 21＋x 2， 则t 1－t 2＝1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝（1－x 1）（1＋x 2）－（1＋x 1）（1－x 2）（1＋x 1）（1＋x 2） ＝2（x 2－x 1）（1＋x 1）（1＋x 2）. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴t 1－t 2＞0.∴t1＞t2.∴lg t1＞lg t2.∴f(x1)＞f(x2)．∴f(x)为减函数．练3．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)由a x－1>0得a x>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<a x1<a x2，故0<a x1－1<a x2－1，∴log a(a x1－1)<log a(a x2－1)，∴f(x1)<f(x2)，故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．同理，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上也为增函数．课堂强化：1．(2011·北京高考)如果log12x<log12y<0，那么()A．y<x<1B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x解析：根据对数函数的性质得x>y>1.答案：D2．函数f(x)＝ln |x－1|的图象大致是()解析：∵y ＝ln |x |是偶函数关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调增，∴f (x )＝ln |x －1|关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调增．答案：B3．(2011·天津高考)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96， ∴a ＞c ＞b .答案：B4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，0]，3x ，x ∈[0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________．解析：∵0＞log 312＞log 313＝－1， ∴f (log 312)＝(13)log 312＝(13)log 132＝2. 答案：25．满足log 34(x ＋1)＞log 34(3－x )的x 的取值范围为________．解析：依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，3－x ＞0，x ＋1＜3－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜3，x ＜1.∴－1＜x ＜1.答案：－1＜x ＜16．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)写出函数f (x )的单调递减区间．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |＞0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．课下检测：一、选择题1．下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln (ln 2)C ．ln 2D ．ln 2解析：ln 2∈(0，1)，∴ln (ln 2)＜0，且(ln 2)2＜ln 2，ln 2＝12ln 2＜ln 2. ∴最大的是ln 2.答案：D2．若0＜x ＜y ＜1，则( )A ．3y ＜3xB ．log x 3＜log y 3C ．log 4x ＜log 4yD ．(14)x ＜(14)y 解析：由于函数f (x )＝log 4x 为增函数，所以有log 4x ＜log 4y .答案：C3．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为下图的( )解析：当x ＞0时，函数f (x )＝log a x ＋1(0＜a ＜1)，图象是将函数y ＝log a x (0＜a ＜1)所有点向上平移一个单位；再将图象关于y 轴对称，得到函数图象为A.答案：A4．已知log m 4＜log n 4，则有( )A ．m ＞n ＞1B ．0＜n ＜m ＜1C ．m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜nD ．0＜n ＜1＜m解析：∵log m 4＜log n 4，∴1log 4m ＜1log 4n， 当m ＞1，n ＞1时，得0＜1log 4m ＜1log 4n， ∴log 4n ＜log 4m ，∴m ＞n ＞1.当0＜m ＜1，0＜n ＜1时，得1log 4m ＜1log 4n＜0， ∴log 4n ＜log 4m ，∴0＜n ＜m ＜1.当0＜m ＜1，n ＞1时，得log 4m ＜0，0＜log 4n ，∴0＜m ＜1，n ＞1，∴0＜m ＜1＜n .综上所述，m ，n 的大小关系为m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜n .答案：C二、填空题5．函数f (x )＝log 3(x 2＋2x ＋4)的值域为________．解析：∵x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3≥3，∴定义域为R ，∴f (x )≥log 33＝1，∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)6．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0，1]，则b －a 的最小值为________．解析：数形结合|log 3x |＝0，则x ＝1，|log 3x |＝1，则x ＝13或3.作图由图可知(b －a )min ＝1－13＝23. 答案：237．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________． 解析：易知a x 与log a (x ＋1)的单调性是相同的，∴f (0)＋f (1)＝a ，即(a 0＋log a 1)＋(a ＋log a 2)＝a ，得1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＝－1＝log a 1a ，∴1a ＝2，∴a ＝12. 答案：128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1. ∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2.∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}．答案：{x |－1＜x ≤0或x ＞2}三、解答题9．已知f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x，求f (12 011)＋f (－12 011)的值． 解：由1－x 1＋x＞0，得：－1＜x ＜1. 所以f (x )的定义域为：(－1，1)，又f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x ＝－(－x ＋log 21－x 1＋x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，所以f (12 011)＋f (－12 011)＝0. 10．f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k ＞0)． (1)求函数的定义域；(2)若函数f (x )在[10，＋∞)上是增函数，求k 的取值范围．解：(1)因为kx －1x －1＞0及k ＞0，所以x －1k x －1＞0. ①当0＜k ＜1时，得x ＜1或x ＞1k； ②当k ＝1时，由x －1x －1＞0可得x ∈R 且x ≠1； ③当k ＞1时，得x ＜1k或x ＞1. 故f (x )的定义域为：当0＜k ＜1时，定义域为(－∞，1)∪(1k，＋∞)；当k ＝1时，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；当k ＞1时，定义域为(－∞，1k)∪(1，＋∞)． (2)因为f (x )在[10，＋∞)上是增函数，所以10k －110－1＞0，所以k ＞110. 又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg (k ＋k －1x －1)对于任意的x 1，x 2，当10≤x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，即lg (k ＋k －1x 1－1)＜lg (k ＋k －1x 2－1)，得k －1x 1－1＜k －1x 2－1⇒(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)＜0，又因为1x 1－1＞1x 2－1，所以k －1＜0，k ＜1.综上所述k 的取值范围是(110，1)． 3．2.3 指数函数与对数函数的关系考点一：求反函数[例1] 写出下列函数的反函数：(1)y ＝lg x ； (2)y ＝log 13x ；(3)y ＝(2)x ； (4)y ＝(23)x . [精解详析] (1)y ＝lg x 的底数为10，它的反函数为指数函数y ＝10x .(2)y ＝log 13x 的底数为13，它的反函数为指数函数y ＝(13)x . (3)y ＝(2)x 的底数为2，它的反函数为对数函数y ＝log 2x .(4)y ＝(23)x 的底数为23，它的反函数为对数函数y ＝log 23x . 练1．求下列函数的反函数．(1)y ＝2x ；(2)y ＝log 3x ；(3)y ＝3－x . 解析：(1)由y ＝2x 得x ＝12y ， 所以函数y ＝2x 的反函数是y ＝12x (x ∈R )． (2)y ＝log 3x 的底数是3，它的反函数是指数函数y ＝3x (x ∈R )．(3)y ＝3－x ＝(13)x 的底数为13，它的反函数为对数函数y ＝log 13x (x ＞0). 考点二：指数函数与对数函数的关系[例2] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )等于( )A ．log 2xB ．log 12x C.12x D ．x 2[精解详析] 函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，故函数解析式为y ＝log a x ，因为其图象经过点(a ，a )，所以a ＝log a a ＝12，故f (x )＝log 12x . [答案] B练2．记f (x )＝log 3(x ＋1)的反函数为f －1(x )，则方程f －1(x )＝8的解x ＝________． 解析：由于同底的指数和对数函数互为反函数，可知f －1(x )＝3x －1，由题意f －1(x )＝3x －1＝8，即3x ＝9，解得x ＝2.答案：2考点三：解对数方程或不等式[例3] (1)解关于x 的方程：log 3(3x －1)·log 3(3x －1－13)＝2； (2)解关于x 的不等式：2log a (x －4)＞log a (x －2)．[精解详析] (1)原方程可化为log 3(3x －1)·log 3[13(3x －1)]＝2. 令t ＝log 3(3x －1)，则原方程化为t (t －1)＝2，解得t ＝2或t ＝－1.由log 3(3x －1)＝2，得3x ＝10，所以x ＝log 310.由log 3(3x －1)＝－1，得3x ＝43， 所以x ＝log 343. 经检验，x ＝log 310，x ＝log 343都是原方程的解．所以原方程的解为x 1＝log 310，x 2＝log 343. (2)原不等式化为log a (x －4)2＞log a (x －2)．①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＞x －2，x －4＞0，x －2＞0，即x ＞6.②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＜x －2，x －4＞0，x －2＞0，即4＜x ＜6.故当a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＞6}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |4＜x ＜6}．练3．(1)解关于x 的方程：lg (2x )·lg (3x )＝lg 2·lg 3；(2)设a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，求不等式log a (x －1)＞0的解集． 解：(1)原方程可化为(lg 2＋lg x )(lg 3＋lg x )＝lg 2·lg 3，即lg 2x ＋lg 6·lg x ＝0，解得lg x＝0或lg x ＝－lg 6，所以x ＝1或x ＝16.经检验，x ＝1，x ＝16都是原方程的解，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝16. (2)由a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值可知a ＞1，所以不等式log a (x －1)＞0可化为x －1＞1，即x ＞2.课堂强化：1．已知函数y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，下列说法不．正确的是( ) A ．两者的图象关于直线y ＝x 对称B ．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C ．两函数在各自的定义域内的增减性相同D ．y ＝a x 的图象经过平移可得到y ＝log a x 的图象解析：由反函数的定义及互为反函数的函数图象间的对称关系可知A 、B 、C 选项均正确．答案：D2．若3x ＝2，则x ＝( )A ．lg 2－lg 3B ．lg 3－lg 2C.lg 3lg 2D.lg 2lg 3解析：∵3x ＝2，∴x ＝log 32＝lg 2lg 3. 答案：D3．已知函数f (x )存在反函数，则方程f (x )＝0的根的情况是( )A ．有且仅有一个实数根B ．至少有一个实数根C ．至多有一个实数根D ．可能有两个实数根解析：由存在反函数的条件知，构成函数的映射为一一映射，因此，f (x )＝0的根的情况至多有一个实数根．答案：C4．函数y ＝3x 的反函数是________．解析：∵y ＝3x 的反函数为y ＝log 3x .答案：y ＝log 3x5．已知函数y ＝a x ＋b 的图象过点(1，4)，其反函数图象过点(2，0)则a ＝________，b ＝________．解析：由题意得y ＝a x ＋b 的图象过(1，4)与(0，2)点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，1＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1. 答案：3 16．求函数y ＝⎩⎨⎧（13）x ，x ≤0，log 13x ，x ≥1的反函数． 解：当x ≤0时，y ＝(13)x ≥1，则x ＝log 1y . 当x ≥1时，y ＝log 13x ≤0，则x ＝(13)y ， 交换x ，y 得y ＝⎩⎨⎧log 13x ，x ≥1，（13）x，x ≤0. 即所求反函数f －1(x )＝⎩⎨⎧log 13x ，x ≥1，（13）x，x ≤0. 课下检测：一、选择题1．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( )A ．f (2x )＝e 2x (x ∈R )B ．f (2x )＝ln 2·ln x (x ＞0)C ．f (2x )＝2e x (x ∈R )D ．f (2x )＝ln x ＋ln 2(x ＞0)解析：函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以f (x )是y ＝e x 的反函数，即f (x )＝ln x ，∴f (2x )＝ln (2x )＝ln x ＋ln 2(x ＞0)．答案：D2．若指数函数y ＝a x 当x ＜0时，有0＜y ＜1，则在同一坐标系中，函数y ＝a －x与函数y ＝log a x 的图象是( )解析：∵x ＜0时，y ＝a x ∈(0，1)，∴a ＞1.∴log a x 单调增，a －x ＝(1a)x 单调减． 答案：A3．函数y ＝10x 2－1(0＜x ≤1)的反函数是( )A ．y ＝－1＋lg x ⎝⎛⎭⎫x ＞110 B ．y ＝1＋lg x ⎝⎛⎭⎫x ＞110 C ．y ＝－1＋lg x ⎝⎛⎭⎫110＜x ≤1 D ．y ＝1＋lg x ⎝⎛⎭⎫110＜x ≤1 解析：两边取常用对数，得lg y ＝x 2－1⎝⎛⎭⎫110＜y ≤1，互换x 、y ，得lg x ＝y 2－1，化简得y ＝1＋lg x .由原函数值域，得反函数的定义域为⎝⎛⎦⎤110，1.答案：D4．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，f －1(2)＜0，则f －1(x ＋1)的图象是( )解析：本题考查互为反函数的函数之间的关系．f (x )＝a －x ，f －1(x )＝－log a x ，由f －1(2)＜0，即－log a 2＜0，log a 2＞0，所以a ＞1.f －1(x ＋1)＝－log a (x ＋1)(a ＞1)，过(0，0)点． 答案：A二、填空题5．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝________． 解析：由题意可知f (x )的图象过(－1，2)，∴a －1＝2，∴a ＝12. 答案：126．已知f (x )＝2x ，则方程f －1(x －1)＋f －1(x )＝1的解集为________． 解析：f －1(x )＝log 2x ，所以方程f －1(x －1)＋f －1(x )＝1，即log 2(x －1)＋log 2x ＝1，即x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.又x ＞0，故x ＝2.答案：{x |x ＝2}7．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)满足f (27)＝3，则f －1(log 92)的值是________． 解析：由f (x )＝log a x ，f (27)＝3，∴log a 27＝3，∴a ＝3，∴f －1(x )＝3x ， ∴f －1(log 92)＝3log 92＝3log 32＝ 2. 答案： 28．已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x ＞0)，则f (1)＋g (1)＝________． 解析：令g (x )＝1，则2lg x ＝0，∴x ＝1.∵f (x )与g (x )互为反函数，∴f (1)＝1，g (1)＝1＋2lg 1＝1.∴f (1)＋g (1)＝2.答案：2三、解答题9．解下列不等式：(1)⎝⎛⎭⎫123x ＋1≤⎝⎛⎭⎫12x －2；(2)log 73x ＜log 7(x 2－4)．解：(1)3x ＋1≥x －2，x ≥－32. (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，x 2－4＞0，3x ＜x 2－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜－2，x ＜－1或x ＞4. 解得：x ＞4.10．若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 解：要使不等式2x <loga x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x的图象在⎝⎛⎭⎫0，12内恒在函数y ＝2x 图象的上方，而y ＝2x 图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.由图可知，log a 12≥2，显然这里0<a <1，∴函数y ＝log a x 递减． 又log a 12≥2＝log a a 2，∴a 2≥12，即a ≥⎝⎛⎭⎫1222.故所求的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫122≤a <1.。
《3.2.1数据采集》教学设计教学反思-2023-2024学年高中信息技术人教版必修1
《数据采集》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：理解数据采集的概念，掌握数据采集的基本方法。
2. 过程与方法：通过实际操作，掌握使用数据采集器设备的过程和方法。
3. 情感态度与价值观：培养对数据采集的兴趣，增强数据意识。
二、教学重难点1. 教学重点：实际操作使用数据采集器，进行数据采集。
2. 教学难点：在复杂环境中进行数据采集，解决数据采集过程中的问题。
三、教学准备1. 准备数据采集器设备及配套软件。
2. 准备实验或实地考察场景，以便进行数据采集实验。
3. 预先设计好数据采集表格或问卷，以便学生进行实际操作。
4. 准备教学PPT，用于辅助教学。
5. 提醒学生注意安全，遵守实验规则。
四、教学过程：（一）导入新课1. 展示生活中的数据采集实例，如天气预报、运动比赛计分、商场购物小票等，让学生感受数据采集在日常生活中的重要性。
2. 引出本节课的主题——数据采集，并简要介绍数据采集的基本概念和步骤。
（二）任务驱动，实践操作1. 任务一：使用智能手机进行数据采集（1）选择一款具有传感器功能的智能手机，介绍其传感器的基本原理和使用方法。
（2）指导学生使用智能手机进行简单的数据采集任务，如测量室内温度、湿度等。
（3）讨论并总结数据采集过程中可能遇到的问题及解决方法。
2. 任务二：使用计算机设备进行数据采集（1）介绍常见的计算机数据采集设备，如传感器、数据采集卡等，并简要说明其工作原理和使用方法。
（2）指导学生使用计算机设备进行数据采集任务，如测量电压、电流等。
（3）讨论并总结使用计算机设备进行数据采集的优缺点。
3. 任务三：数据预处理（1）介绍数据预处理的基本概念和步骤，如数据清洗、数据转换等。
（2）引导学生对采集到的数据进行初步处理，如去除异常值、转换数据类型等。
（3）讨论并总结数据预处理的重要性及注意事项。
4. 任务四：数据展示与分享（1）介绍常见的图表类型及其特点，如柱状图、折线图、饼图等。
3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．
对数的概念教学设计(江苏南京师大附中张萍)
课题：3.2.1对数的概念(第1课时)授课教师：师大学附属中学萍教材：教版高中数学必修1一. 教材分析对数这节课是教版必修1第3章对数函数第1课时．学习对数的概念是对指数概念和指数函数的回顾与深化，是学习对数函数的基础．二. 学情分析高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质，对函数有了初步的认识．学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程．对数的概念对学生来说，是全新的，需要教师引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对数的概念．在教学过程中，力求让学生体会运用从特殊到一般，类比等数学方法来理解对数式与指数式之间的在联系，将对数这一新知纳入已有的知识结构中．三. 教学目标1. 理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化．2. 学生在解决具体问题中体会引入对数的必要性，在举例过程中理解对数．3. 学生在学习过程中感受化归与转化、数形结合、特殊到一般的数学思想，学会用相互联系的观点辩证地看问题．四. 重点与难点1. 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的互化．2. 难点：对数概念的理解．五. 教学方法与教学手段问题教学法，启发式教学．六．教学过程1. 创设情境 建构概念某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%．（设该物质最初的质量为1）【问题1】你能就此情境提出一个问题吗？[设计意图]通过学生熟悉的问题情境，让学生自主地提出问题，引发思考，体会这些问题之间的关联是指数式a b =N 中已知两个量求第三个量．[教学过程]师：写好的同学请和同桌交流一下.师：你提的是什么问题呢？生：经过5年，这种物质的剩留量为原来的多少？师：是多少呢？生：0.845=N.师：有不同的问题吗？生：经过多少年，这种物质的剩留量为原来的一半？师：这个问题怎么解决呢？ 0.84x=12. 师：同学们提出了很好的问题，这两个问题实际上都与我们学过的指数函数y=0.84x 有关．第一个问题是已知指数x 求幂y ；第二个问题是已知幂y 求指数x ．如果底数是未知的，那么，我们还可以解决已知指数x 和幂y 求底数a 的问题．[阶段小结]这些问题实际就是在研究a b=N (其中a ＞0且a ≠1)中已知两个量求第三个量．我们可以研究以下三类问题：设a b=N.(1)已知a，b，求N；比如32＝9，53＝125，……(2)已知b，N，求a；比如a5＝32⇒a＝2，a3＝5⇒a＝35，……(3)已知a，N，求b.2b＝2⇔b＝1，2b＝4⇔b＝2，【问题2】2b=3，这样的指数b有没有呢？[设计意图]利用具体的问题引发学生的认知冲突，引导学生运用数形结合的方法探索指数b是存在的，并且只有一个，进而想办法用数学符号表示指数b．[教学过程]生：2b＝3这个问题和指数函数y=2x有关，我们可以作出它的图象来观察.师：作出2x＝3与y=3的图象，发现它们有交点，而且只有一个，那么指数b 在哪里呢？生：交点的横坐标就是指数b．师：看来满足2b＝3的指数b可由“2和3”唯一确定，但它究竟是个什么数呢？现在用我们学过的数又不能把它写出来，怎么办呢？生：用一个新的符号来表示它.师：是的，数学家也是这么想的，他们解决这种问题的办法就是引进一个新的符号，比如这里的a3＝5，a等于什么呢？数学家就用a＝35来表示，a是由3和5确定的，将3和5写在相应的位置.师：现在如何表示这里的指数b 呢？指数b 由2和3确定，数学家用log 23来表示，读作以2为底3的对数，其中2为底数，写在下方，3叫真数．师：有了这个符号，就可以解决我们刚才的问题了，0.84x=12⇔ x ＝log 0.8412. 师：你能再举一些这样的对数吗？生：3b ＝10⇔ b ＝log 310；4b ＝5⇔ b ＝log 45；2b ＝7⇔ b ＝log 27；……师：这里的1能用对数表示吗？生：1= log 22．师：同样这里的2也可以表示为log 24. 对数b 其实就是一个数．思考：根据这些具体的例子，你能得到一般情况下，对数是怎么表示的吗？ 对数的概念：如果a 的b 次幂等于N (其中a ＞0，a ≠1)，即a b =N ，那么就称b 是以 a 为底 N 的对数，记作log a N ＝b ．其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．数学史简介：对数是由17世纪格兰数学家纳皮尔发明的，有兴趣的同学可以查阅相关的数学史资料.师：根据对数的概念，我们不难发现，对数来源于指数，这两个等式表示的是a ，b ，N 三个量之间的同一个关系，只是表现形式不同而已，比如在a b =N 中，a ＞0，a ≠1，a 叫底数，b 叫指数，N 叫幂，当变为对数式时，a 的围不变，a 还叫底数，指数b 现在叫对数，幂N 现在叫真数.2．具体实例 理解概念[学生活动]请每位同学写出2—3个对数，与同桌交流．[设计意图]深入理解对数．第一阶段，让学生体会对数可以转化为指数，对数式和指数式是等价的；第二阶段，认识特殊的对数，明确对数式中a ，b ，N 的围．[教学过程]师：大家都在积极地认识对数这个新朋友.我们一起来看看，有同学写了这样一个对数log 327. 你知道它是个什么样的数吗？师：为什么等于3呢？生：因为33 =27.师：还有同学写了log 139，这是个什么数啊？生：－2.师：为什么？生：因为(13)－2 =9. 师：想认识对数只要将它转化为相应的指数式就容易理解了.师：我也写一个log 926，这是个什么数呢？师：你知道它大概是多大吗?生：1到2之间.师：你怎么知道的呢？生：因为91=9，92=81，26在9和81之间.师：你是将问题转化为指数问题来考虑的.我们知道对数就是一个数，可以设它为b，转化为9b=26就好理解了.[阶段小结]其实想要认识同学写的对数，只要将它转化为相应的指数式就明白了，指数式和对数式是可以等价转化的.师：看大家写的对数有大于0的，有小于0的，有没有等于0的对数呢？生：log21=0.师：还有吗？生：只要底数取a>0，a≠1，真数为1的对数都等于0.师：怎么表示呢？生：log a1=0(a>0，a≠1).师：为什么？生：因为a0＝1(a>0,a≠1) .师：a0＝1是个特殊的指数式，还有其他特殊的指数式吗？生：a1＝a.师：由这个我们又能得到什么样的对数式呢？生：log a a=1(a>0，a≠1) .师：对数可正可负可为0，那对数是否能取到所有的实数呢？师：你怎么知道的呢？生：从指数式a b=N(其中a＞0且a≠1)中我们可以知道.师：对数b可以取到一切实数，底数a＞0，a≠1，真数N应满足什么要求呢？生：大于0.生：在a＞0且a≠1时，a b=N，根据指数函数的值域可知N只能取大于0的数.[阶段小结]通过讨论，我们认识了一些特殊的对数，知道对数b可以取到一切实数，但是真数N必须大于0. 在认识对数的过程中，我们运用了对数式与指数式之间的等价转化.3．概念应用方法总结练习求下列各式的值：(1)log264；(2)log101100；(3)log927．[设计意图](1)理解对数是个数，对数问题可以转化为指数问题来解决．(2)反思解题过程，从中得到两个对数性质log a a b=b，a log a N＝N (a＞0且a≠1)，为对数求值提供新的方法．(3)激起学生进一步探索对数相关结论的兴趣．(4)介绍常用对数和自然对数．[教学过程]师：回头看第1个问题的解决过程，log226=6，log1010-2=-2你有什么发现？师：一般情况下log a a b=b对吗？生：对，因为a b= a b.师：在log a a b=b这个式子中，真数N变成了a b，相当于将指数式a b=N带入对数式log a N=b，消去N.现在如果将对数式log a N=b带入指数式a b=N消去b，会得到什么呢？生：a log a N＝N (a＞0且a≠1)．师：从第3小题中，你又会有什么发现呢？对数还有很多有趣的性质，有兴趣的同学可以继续研究.师：大家看第2小题底数是10，我们通常将以10为底的对数叫常用对数，简记为log10 N＝lg N．以后在高等数学和物理学中还会经常用到以e为底的对数，叫做自然对数，loge N＝ln N．比如，lg2，ln3.【问题3】什么是对数？研究对数的基本方法是什么？[设计意图]回顾反思本节课学习的知识和方法．主要让学生体会研究一个新的数学对象的一般方法，即生：对数就是一个数．遇到对数问题转化为指数问题来解决．师：很好，我们通过一些具体的例子得到了对数的概念，又通过举例和练习进一步认识了对数，在认识的过程中，发现遇到对数的问题可以转化为指数问题来解决.这两个式子是等价的，表示的是a，b，N这三个量之间的同一种关系.师：既然对数就是一个数，你觉得下面我们可以研究什么？生：对数的运算．师：那如何研究对数的运算性质呢？请同学们先回去思考，我们下节课再研究．4. 课堂小结布置作业(1)课本P74 练习第1、3、4、5题．(2)探究对数的运算性质．[设计意图]布置作业的面向全体学生，旨在掌握对数的概念，熟练对数式与指数式的互化．探究对数的运算性质给学生提供进一步自主研究对数的机会．七. 教学设计说明对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念。
3.2.1函数的单调性与最值(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
−2 − 2 + 1, ＜0，
−（ + 1）2 + 2, ＜0，
函数图像如图所示,单调递增区间为（-∞，-1］和［0，1］,单调递减区间为
［-1,0］和［1,+∞）.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
方法感悟
利用图像法判断函数单调性的注意点
凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于
利用定义证明函数单调性的方法
注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因
式乘积的形式.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
2.用图像法证明函数的单调性
例2
求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
解（1）令f（x）＝x2+2x-3＝（x+1）2-4，作出f（x）的图像，保留其在x轴上方
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，
2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
1.用定义法证明函数的单调性
图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即
1
y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）
和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.
高中数学
必修第一册
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
高中信息技术必修教案-3.2.1 明确任务需求2-粤教版
《表格信息的加工与表达》教学设计一、教材分析本节课是针对广东教育出版社出版的《信息技术基础》（必修）第三章第二节的内容进行教学的设计。
本节内容体现的课程内容标准是：能够根据任务需求，熟练使用图表处理工具软件加工信息，表达意图；初步掌握用计算机进行信息处理的几种基本方法，认识其工作过程和基本特征。
本节课通过学生身边的案例，引导学生从如何分析问题（任务需求）着手，学会从需求分析中寻找解决的办法或策略，从而实现利用恰当的技术表现形式呈现主题，表达意图。
二、学情分析教学对象为高一学生，他们具备基本的计算机操作能力，对表格信息的加工处理软件有了一定的认识，部分同学已能运用WPS表格进行创建表格和简单的函数计算，但在面对具体问题寻求解决方法时，大多数同学缺乏需求分析这一步骤，不会进行整体规划。
三、教学目标1、知识与技能（1）掌握几种常见图表（柱形图、折线图、饼图）的用途及特点（2）能根据表格数据关系选择合适的图表类型2、过程与方法结合学生身边的事例讲解，采用任务驱动，引导学生逐步领会利用工具软件解决问题的方法；运用学习资料（导学案）和个别指导，提高学生学习效率。
3、情感态度价值观目标培养学生利用计算机技术解决实际问题的能力，提高学生的观察能力和动手能力，在任务完成过程中举一反三，鼓励学生利用信息技术为自己的生活和学习服务。
四、教学重难点重点：（1）掌握图表处理工具软件加工表格信息的基本过程和方法。
（2）根据任务需求，对表格数据进行分析处理，以恰当的呈现方式（如恰当的图表类型及恰当的文本内容等）表达意图。
难点：如何根据任务需求，熟练使用合适的处理工具软件加工信息，以恰当的形式充分表达主题。
五、教学方法以生活中的实际案例作为任务驱动，结合学习资料（导学案）上设置的任务进行自主学习，教师及时解决学生在实践过程中遇到的各种问题，与学生交流，总结在实践过程中得到的经验。
六、教学过程七、教学反思本节课的成功之处在于案例引入和任务设计能够联系学生的生活实际，激发学生学习兴趣和探究问题的欲望。
高中数学人教A版() 选择性必修1第三章3.2.1《双曲线及其标准方程》（）教案
§3.2.1双曲线及其标准方程一．教学目标1．知识与能力目标：掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．过程与方法目标：体会推导双曲线标准方程的方法、初步会按特定条件求双曲线的标准方程；3．情感态度价值观目标：培养发散思维的能力，感受曲线的美二．教学重难点重点：双曲线标准方程及其简单应用难点：双曲线标准方程的推导及双曲线方程的求解三．教学过程（一）复习旧知1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系问题:平面内与两定点F1、F2的距离的差是常数的点的轨迹是什么?（二）双曲线的定义计算机模拟双曲线定义: 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1、F2——双曲线的焦点.双曲线定义的符号表述：P={M | | |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< 2c)}问题1：|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的哪一支？|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的哪一支？问题2：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？（三）双曲线的标准方程的推导类比椭圆，找到推导双曲线方程的方法求曲线方程的步骤：2.设点:3.列式:4.化简:双曲线的标准方程:焦点在 x 轴上焦点在y轴上呢？问题：如何判断焦点在哪个轴上？（看符号）牛刀小试求下列双曲线的a2,b2,并写出焦点坐标。
22(3) 25x-9=-225y22(4) -2=1x y例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差绝对值等于6，求双曲线的标准方程.练习1：（1）a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是_______________.（2）焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是 _______________.四.课堂小结五.作业课本 P121 1P127 7。
新教材苏教版高中数学必修第一册3.2基本不等式 精品教学课件
【跟踪训练】
1.若0<x< 8 ,则函数y=x(8-3x)的最大值为________.
4
4x 5
3.当x>1时,不等式x+ 1 ≥a恒成立,则实数a的最大值为________.
x 1
【思路导引】通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化,再用基本不
等式求解.
【解析】1.选B.因为0<x<1,所以1-x>0.
所以x(3-3x)=3x(1-x)≤3 ( x 1 x )2 3 .
2
所以m=- （[ x）（1x）] -2≤-2-2=-4, 当且仅当-x= 1 ,即x=-1时取等号.
-x
类型二 拼凑法利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为 ( )
A. 1
B. 1
C. 3
D. 2
3
2
4
3
2.已知x< 5 ,则4x-2+ 1 的最大值为________.
x
答案:-12
【解题策略】 基本不等式的使用条件 (1)一正:a>0,b>0,即:所求最值的各项必须都是正值; (2)二定:ab或a+b为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数; (3)三相等:当且仅当a=b时取等号;即:等号能否取得. 在应用基本不等式求最值时,要逐一验证三个条件是否成立.
【补偿训练】
2
(3)应用:求和式的最小值,乘积式的最大值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 ab 均成立.
3.2.1函数的性质单调性说课课件高一上学期数学人教A版
只要x1 x2,就有f (x1) f (x2 )
六、 教学过程
情境创设
思考: 这里对x1, x2有什么要求？只取 0， 上的某些数是否可以？ 请举例说明
六、 教学过程 画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
情境创设
当x≥0时,y随x的增大而增大
y
x
… 1 2 3 4…
f (x) = x2 … 1 4 9 16 …
学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 教学反思
四、教学重难点
重点：函数单调性定义的符号语言刻画。
难点：归纳函数单调性的定义及用定义 证明函数的单调性。
学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 教学反思
五、教学方法
教师为主导
启发 引导 点拨
通过活动 创设情境
y
y x 1
y x2 y
O
x
O
x
增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质， 而函数的单调 性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质. 一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性.
六、 教学过程
概念剖析
六、 教学过程
例题解析
例题探究---证明函数的单调性 例1. 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
当x从1增到2, f (x)则从1增大到4;
O
x
当x从2增到3, f (x)则从4增大到9; 当x从3增到4, f (x)则从9增大到16;
……
思考: 你觉得更严格的表达应该是怎样的？
六、 教学过程 画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
3.2.1 钠的性质与制备 教学设计 高一上学期化学苏教版(2019)必修第一册
专题3 从海水中获得的化学物质第二单元金属钠及钠的化合物第1课时钠的性质与制备教学目标1. 知道钠是一种很活泼的金属，记住钠的物理性质。
2. 能描述钠与水、钠与氧气反应的实验现象，能写出相关的化学方程式。
3. 了解钠的工业制取方法和应用。
教学重点钠的化学性质。
教学难点对实验现象的观察和分析。
课前准备1．学生的学习准备：准备化学1教材、笔记本。
2．教师的教学准备：搜集相关新闻、图片并结合教学设计制作成多媒体课件。
3．教学环境的设计与布置：（1）多媒体设备。
（2）实验展示台。
4．教学用具的设计和准备：实验仪器用品：烧杯、镊子、滤纸、石棉网、铁架台、火柴、酒精灯、滴管等。
实验试剂：金属钠、水、酚酞等。
教学过程活动1：创设情景，引入课题［新闻资料］我们说生活之中有化学。
如果大家平常多关注新闻，可以看到许多与化学有关的问题。
阅读下面一段新闻，思考你从中发现或想到什么化学问题？网上信息摘录：若干神秘“水雷”惊现珠江。
2002年7月7日，在珠江石溪附近，前前后后共飘着七个白色的来历不明的金属桶。
突然，从飘在水面上的一个金属桶内冒起一股白烟，窜起亮黄色火苗，紧接着一声巨响，蘑菇状的水柱冲天而起，这个铁桶接着又连续爆炸了多次，爆炸腾起的白色烟雾有近十米高，还有许多未燃尽的白烟飘进旁边的公司内，这些灰白色的物体一遇到水就不停地冒泡，有时甚至还突然着火。
据悉，其中另有一铁桶被过往船只发现，并将其打捞上船，打算清洗后使用，但当船员把盖子打开后，桶内冒起浓浓白烟，一接触桶内物质，双手立即感到剧烈地疼痛，于是他们又将其推入江里，一遇水，这个桶就又爆炸了。
所幸该船只迅速逃离，伤亡不大。
珠江水面上尚有五个一触即发的“水雷”漂浮着，消防队员、民警及广州化工集团的化学品专家赶来凑在一起，紧张地调查爆炸物的性质及研究“水雷”的处置对策。
［问题讨论］1. 专家分析引起爆炸的物质是金属钠,分析依据是什么？2. 如果桶内装满了金属钠,为什么铁桶不下沉？为什么会发生爆炸（金属桶为什么会成为水雷）？3. 为什么打捞上来的桶被打开盖子后，马上冒出白烟，而且一旦接触桶内物质，双手感到剧烈地疼痛？4. 如何防止爆炸（另五个没有爆炸的金属桶如何处理）？生：引起爆炸的物质可能是钠，因信息中“窜起亮黄色火苗”是钠元素的特征焰色反应。
【新教材精创】3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
3.2.1双曲线及其标准方程本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线及其标准方程学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。
从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。
正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。
而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。
在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。
重点：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 难点：双曲线的标准方程及其求法.多媒体双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。
本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
我们知道，平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？121如图，在直线上取两个定点,，是直线上的动点。
在平面内，取定点,，以点为圆心、线段为半径作圆，在以为圆心、线段为半径作圆。
l A B P l F F F PA F PB 12如图，在＞的条件下，让两圆的交点的轨迹是什么形状？F F AB M从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程。
F(-c,0),F(c,0)F(0,-c),F(0,c)解：建立平面直角坐标系，使并且原点与线段的中点重合。
3.2.1+基本不等式的证明+教学设计-苏教版高中数学必修第一册(wd无答案)
3.2.1+基本不等式的证明+教学设计-苏教版高中数学必修第一册
一、填空题
(★) 1. 限速40km∕h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过
40km∕h，写成不等式就是．
(★★) 2. 设，，那么的取值范围是________．
二、解答题
(★★★) 3. 比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）当，且时，与.
(★) 4. 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽
的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案
中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关
系）．
(★) 5. 证明不等式 a 2＋ b 2≥2 ab( a，b∈ R).
(★) 6. 证明不等式 ( ).
(★★) 7. 已知 a， b， c为任意实数，求证：．
(★) 8. 对于不等式，将降次为，降次为，则由这个不等式可以得出什
么结论？
(★) 9. 已知，都是正数.求证：
；
(★★) 10. 已知、、都是正数，求证：
三、单选题
(★★) 11. 某工厂生产某种产品，第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x( a， b， x均大于零)，则（）
A．B．C．D．。
3.2.1单调性与最大(小)值教学设计-023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修一
课堂教学设计学科：高一数学姓名：课题：3.2.1 单调性与最大（小）值（第二课时）课型：新授课教学背景分析（一）课题及教学内容分析本节课是新课标人教A版（2019）必修1中第三章函数的性质之函数的单调性和最大（小）值的第2课时，也是对函数性质的进一步研究。
函数的最值问题对于学生来说并不陌生，初中已经学习了求二次函数的最大（小）值的问题。
本节在函数的单调性之后，目的在于引导学生用单调性探究函数的最值问题，同时对解决日常生活中的最值问题起着重要作用。
通过本节课的学习，可以让学生理解函数最值的定义和几何意义，进一步加深对函数性质的理解，同时，对于常见题型的研究，也将数学结合和分类讨论思想充分体现，对培养学生直观想象、数学建模等核心素养都具有重要意义。
（二）学生情况分析现阶段大部分学生学习的主动性较差，且随着高中数学难度的加大，学习信心不足。
通过对常见函数的单调性问题的学习，找到初中知识和高中知识的衔接点，从特殊到一般，再通过类比，使学生更容易掌握新知识。
因此，学生已经具备了探索、发现、研究函数单调性的基础，通过问题引导，使学生独立思考、大胆尝试和灵活应用，从中体会类比、归纳、转化等数学思想。
学习目标1.借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最大（小）值的概念及几何意义。
2.在最值概念的形成过程中，体会到以具体到抽象，从感性到理性的认知过程以及从特殊到一般的研究方法领会数形结合的数学思想。
教学重点和难点1.教学重点：抽象概括函数最大（小）值的定义，能利用单调性求一些函数最值2.教学难点：函数最大（小）值形式化定义的形成与理解教学资源和教学方法采用多媒体和黑板结合，创设情景，从具体函数图像引入新课。
以学生为主体，通过问题衔接，引导学生思考探究学习。
教学过程（第二课时）教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一复习回顾引出课题问题1：上节课我们研究了函数的单调性，请叙述单调性的定义，并回答单调性证明的一般步骤。
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大（小）值教学案新人教A 版必修第一册第2课时 函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解函数最大(小)值的含义并会用符号语言表达函数的最大(小)值.2.会求简单函数的最大(小)值.3.会运用函数的图象理解和研究函数的最值．教学重点：1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值． 教学难点：求较复杂函数的最值.【知识导学】知识点一 函数的最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有□01f (x )≤M ； ②∃x 0∈I ，使得□02f (x 0)＝M . 那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象□03最高点的纵坐标． 知识点二 函数的最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有□01f (x )≥M ； ②∃x 0∈I ，使得□02f (x 0)＝M . 那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象□03最低点的纵坐标． 【新知拓展】(1)并不是每一个函数都有最值，如函数y ＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(2)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值，如函数y ＝－x 2(y ＝x 2)． (3)特别地，对于常函数f (x )＝C ，它的最大值和最小值都是C .1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )(3)若函数y ＝f (x )有最大值，则这个最大值唯一．( )(4)若函数y ＝f (x )的最大值是M ，则使f (x 0)＝M 的x 0是唯一的．( )(5)对于函数y ＝f (x )，如果它的函数值都不小于3，那么该函数的最小值是3.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最大值是________．(2)函数y ＝1x在[2,6]上的最大值与最小值之和等于________．(3)函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 答案 (1)1 (2)23 (3)4题型一 利用图象求函数最值例1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值；(2)画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[解] (1)作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1；当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. (2)f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.金版点睛图象法求最值的一般步骤[跟踪训练1] 求函数y ＝|x ＋1|－|x －2|的最大值和最小值．解 y ＝|x ＋1|－|x －2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≥2，2x －1，－1<x <2，－3，x ≤－1.作出函数的图象，如图所示．由图可知，y ∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3. 题型二 利用单调性求函数最值例2 求函数f (x )＝x ＋4x在x ∈[1,3]上的最大值与最小值．[解] 设1≤x 1＜x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2.又因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0. 当1≤x 1＜x 2≤2时，1－4x 1x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 所以f (x )在[1,2]上单调递减．当2<x 1<x 2≤3时，1－4x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.所以f (x )在(2,3]上单调递增． 所以f (x )的最小值为f (2)＝2＋42＝4.又因为f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133<f (1)，所以f (x )的最大值为5. 金版点睛利用单调性求函数最值(1)利用函数的单调性求函数最值是常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍．[跟踪训练2] 求函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 令f (x )＝x 2x －3，∀x 1，x 2∈[1,2]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22(x 1－3)(x 2－3)＝(x 2－x 1)[3(x 1＋x 2)－x 1x 2](x 1－3)(x 2－3)，因为1≤x 1＜x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4，即6<3(x 1＋x 2)＜12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0， 故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上单调递减，所以y max ＝f (1)＝－12，y min ＝f (2)＝－4.题型三 求二次函数的最值例3 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[0,2]，求函数f (x )的最值； (2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值；(3)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]，求函数f (x )的最小值； (4)已知函数f (x )＝x －2x －3，求函数f (x )的最值．[解] (1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3图象的开口向上，对称轴x ＝1， ∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0)＝f (2)． ∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4.(2)由(1)知对称轴x ＝1， ①当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3，t ≤0，t 2＋2t －3，t >0，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.(3)f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2的图象开口向上，且对称轴为直线x ＝a .当a ≥1时，函数图象如图①所示，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，最小值为f (1)＝3－2a ；当－1＜a ＜1时，函数图象如图②所示，函数f (x )在区间[－1,1]上先单调递减后单调递增，最小值为f (a )＝2－a 2；当a ≤－1时，函数图象如图③所示，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增，最小值为f (－1)＝3＋2a .(4)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.∵y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当t ＝1，即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值． 金版点睛二次函数最值的求法(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．(3)对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f (x )＝x －2x －3.[跟踪训练3] (1)已知函数f (x )＝x 4－2x 2－3，求函数f (x )的最值； (2)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值； (3)求函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值g (t )． 解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3.令y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当t ＝1，即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值． (2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图①所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，∴最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图②所示，最小值为g (t )＝f (1)＝1； 当t >1时，函数图象如图③所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递增，∴最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可得，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.题型四 应用题中的最值问题例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400，其中x 是仪器的月产量(单位：台)．(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解] (1)月产量为x 台，则总成本为(20000＋100x )元， 从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25000，当x ＝300时，f (x )max ＝25000；当x >400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )<60000－100×400＝20000<25000. ∴当x ＝300时，f (x )max ＝25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元． 金版点睛解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．[跟踪训练4] 某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水量为8020t 吨，现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？解 设t 小时后，池中水量为y 吨，则y ＝450＋80t －8020t ＝4(20t －10)2＋50， 当20t ＝10，即t ＝5时，y min ＝50，所以，5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨．1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3,0B ．3,1C ．3，无最小值D ．3，－2答案 C解析 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.2．已知函数f (x )＝x 2－2，其中x ∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为( ) A ．－2和1 B ．2和－2 C ．2和－1 D ．－1和2答案 B解析 ∵f (x )＝x 2－2在区间[0,2]上单调递增， ∴y max ＝f (2)＝2，y min ＝f (0)＝－2.3．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x2时，面积S 最大，此时x 的值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析 ∵S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2＝－12x 2＋x ＋12＝－12(x －1)2＋252，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3－x2>0，即0<x <6，∴当x ＝1时，S 取最大值252.故选B.4．函数f (x )＝6x －2(x ∈[3,5])是________函数(填“增”或“减”)，它的最大值是________，最小值是________．答案 减 6 2解析 易知函数是减函数，从而f (x )的最大值是f (3)＝6，最小值是f (5)＝2. 5．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．解 (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5图象的对称轴为x ＝2且开口向上， ∴二次函数在x ∈[－1,0]上单调递减． ∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上单调递增，y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2，即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上单调递减，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1，即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.。
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A ．2x >x 12>lg x
B ．2x >lg x >x 12
C ．x 12>2x >lg x
D ．lg x >x 12
>2x 解析： 当0<x <1时，2x >1,0<x 12
<1， lg x <0，∴2x >x 12
>lg x ．故选A. 答案： A
2．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A 产品连续两次提价20%，B 产品连续两次降低20%，结果都以23.04元666出售，此时厂家同时出售A 、B 产品各一件，盈亏情况为( )
A ．不亏不赚
B ．亏5.92元
C ．赚5.92元
D ．赚28.96元
解析： 由题意得，A 产品原价为16元，B 产品原价为36元，若厂家同时出售A 、B 两种产品，亏5.92元，故选B.
答案： B
3．某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，若原来绿色植被的面积为1，那么，经过x 年，绿色植被面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )
解析： y ＝1.104x ，指数增长．
答案： D
4．△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB, 直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为下图中的( )
解析： 设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12
a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
解析： 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12
k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，
∴y ＝e 10ln2＝210＝1 024.
答案： 2ln 2 1 024
6．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问如果喝了少量酒的驾驶员，至少过______小时才能驾驶(精确到1小时)．
解析： 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL. 由题意知：0.3(1－50%)x ≤0.08，
⎝⎛⎭⎫12x ≤415
. 采用估算法，x ＝1时，⎝⎛⎭⎫121＝12>415；
x ＝2时，⎝⎛⎭⎫122＝14＝416<415，由于⎝⎛⎭
⎫12x 是减函数， 所以满足要求的x 的最小整数为2.
故至少过2小时驾驶员才能驾驶．
答案： 2 三、解答题(每小题10分，共20分)
7．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y .
(1)写出y 关于x 的函数关系式；
(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13
以下？(lg 3≈0.477 1) 解析： (1)y ＝a (1－10%)x (x ∈N *)
(2)由题意得a (1－10%)x ≤13
a 两边取对数得x lg 0.9≤lg 13
x ≥－lg 3lg 0.9≈－0.477 12×0.477 1－1
≈11. ∴通过11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13
以下．
8．函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3
的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.
(1)请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f (8)，g (8)，f (2 010)，g (2 010)的大小． 解析： (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x .
(2)∵g (1)＝1，f (1)＝2，g (2)＝8，f (2)＝4，g (9)＝729，f (9)＝512，g (10)＝1 000，f (10)＝1 024，
∴f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)．
∴1<x 1<2,9<x 2<10.∴x 1<8<x 2<2 010.
从图象上知，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )；
当x >x 2时，f (x )>g (x )，且g (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴f (2 010)>g (2 010)>g (8)>f (8)．
提高题
9．(10分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解析： (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，
所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，
即f (x )＝18x (x ≥0)，
g (x )＝1
2x (x ≥0)
(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元．
依题意得：y ＝f (x )＋g (20－x )
＝x
8＋1220－x (0≤x ≤20)
令t ＝20－x (0≤t ≤25)，
则y ＝20－t 2
8＋12t ＝－18(t －2)2＋3，
所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，最大收益是3万元．
因此，当投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时，收益最大，最大收益是3万元．。